хэрэглээний математик

1. ЛЕКЦ №3. Интеграл тоолол.
Тодорхой бус интеграл.
Тодорхойлолт: Хэрэв )
(x
F функцийн уламжлал )
(x
f -тэй тэнцүү бол )
(x
F
функцийг )
(x
f -ийн эх функц гэнэ.
Теорем: )
(
),
( 2
1 x
F
x
F функцүүд )
(x
f функцийн эх функцүүд бол
;
)
(
)
( 2
1 const
x
F
x
F =
− байна.
Энэ нь )
(x
f функцийн ямар нэг эх функц )
(x
F бол )
(x
f функцийн бүх эх функц
c
x
F +
)
( гэдгийг харуулж байна. Энд c дурын тогтмол тоо.
Тодорхойлолт: )
(x
f функцийн бүх эх функцийг )
(x
f функцийн тодорхой биш
интеграл гээд  +
= ;
)
(
)
( c
x
F
dx
x
f гэж тэмдэглэнэ.
Жишээ 17:  dx
x4
интегралыг бод.

=








;
5
4
'
5
x
x
 +
= ;
5
5
4
c
x
dx
x
Тодорхой бус интегралын чанар.

1 . ;
)
(
)
( dx
x
f
dx
x
f
d =


2 .  +
= ;
)
(
)
( c
x
F
x
dF

3 .  

=
 ;
)
(
)
( dx
x
f
k
dx
x
f
k Энд .
const
k =

4 .   

=
 ;
)
(
)
(
))
(
)
(
( dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f

5 .   +
+
=
+ );
(
)
(
)
( b
x
d
b
x
f
dx
b
x
f Энд .
const
b =

6 .  
= );
(
)
(
1
)
( ax
d
ax
f
a
dx
ax
f Энд .
const
a =
Жишээ 18:  + dx
x )
2
3
cos(
5 интегралыг бод.
 
   
);
2
3
sin(
3
5
)
2
3
(
)
2
3
cos(
3
5
5
)
3
(
)
2
3
cos(
3
5
6
)
2
3
cos(
5
3
)
2
3
cos(
5
+
=
+
+
=
=
=
+
=
=
=
+
=
=
+




x
x
d
x
x
d
x
dx
x
dx
x



Таблицын интеграл.
1.  +
+
=
+
;
1
1
c
n
x
dx
x
n
n
буюу )
1
(
;
1
1
−

+
+

=



+
n
c
n
d
n
n
2.  +
= ;
ln
1
c
x
dx
x
буюу  +

=


;
ln c
d
3.  +
= ;
c
e
dx
e x
x
буюу  +
=
 

;
c
e
d
e
4.  +
= ;
ln
c
a
a
dx
a
x
x
буюу  +
=



;
ln
c
a
a
d
a
5.  +
−
= ;
cos
sin c
x
xdx буюу  +

−
=

 ;
cos
sin c
d
6.  +
= ;
sin
cos c
x
xdx буюу  +

=

 ;
sin
cos c
d

2. 7.  +
= ;
cos2
c
tgx
x
dx
буюу  +

=


;
cos2
c
tg
d
8.  +
−
= ;
sin 2
c
ctgx
x
dx
буюу  +

−
=


;
sin 2
c
ctg
d
9.  +
=
+
;
1
2
2
c
a
x
arctg
a
x
a
dx
 +

=

+

;
1
2
2
c
a
arctg
a
a
d
10.  +
=
−
;
arcsin
2
2
c
a
x
x
a
dx
 +

=

−

;
arcsin
2
2
c
a
a
d
11.  +
+
−
=
−
;
ln
2
1
2
2
c
a
x
a
x
a
a
x
dx
буюу
 +
+

−

=
−


;
ln
2
1
2
2
c
a
a
a
a
d
12.  +

+
=

;
ln 2
2
2
2
c
a
x
x
a
x
dx
буюу
 +


+

=



;
ln 2
2
2
2
c
a
a
d
Жишээ 19:  dx
x
3
интегралыг бод.
 
;
4
3
3
4
1
3
1
1
3 4
3
4
1
3
1
3
1
3
c
x
c
x
c
x
таб
dx
x
dx
x
+
=
+
=
=
+
+
=
=
=
+


Жишээ 20:  + dx
x 3
)
1
2
( интегралыг бод.
 
  ;
8
)
1
2
(
1
3
)
1
2
(
2
1
1
)
1
2
(
)
1
2
(
2
1
5
,
6
)
1
2
(
4
1
3
3
3
c
x
c
x
таб
x
d
x
dx
x
+
+
=
+
+
+

=
=
=
+
+
=
=
+
+




Жишээ 21:  dx
x
x
sin
cos
интегралыг бод.
 
  ;
sin
ln
2
sin
sin
cos
sin
sin
cos
c
x
таб
x
x
d
xdx
x
d
dx
x
x
+
=
=
=
=
=
= 

Орлуулах арга.
 dx
x
f )
( интегралд )
(t
x 
= гэж орлуулбал 
 
= ;
)
(
'
))
(
(
)
( dt
t
t
f
dx
x
f 
 болно.
Yүнийг тодорхой бус интегралд хувьсагчийг солих томъёо гэнэ.
Жишээ 22:  +
 dx
x
x 3
1 интегралыг бод.

3. c
x
x
c
t
t
dt
t
dt
t
dt
t
t
dt
t
t
t
dt
t
dx
t
x
t
x
dx
x
x
+
+
−
+
=
=
+
−
=
−
=
−
=
=


−
=










=
−
=
=
+
=
+






4
)
1
(
3
7
)
1
(
3
)
4
7
(
3
)
(
3
)
(
3
3
)
1
(
3
1
;
1
1
3 4
3 7
4
7
3
6
3
6
2
3
2
3
3
3
Жишээ 23:  dx
x
x
ln
интегралыг бод.
;
2
ln
2
1
ln
ln 2
2
c
x
c
t
tdt
dt
dx
x
t
x
dx
x
x
+
=
+
=
=










=
=
= 

Жишээ 24: 
−
 dx
e
x x2
интегралыг бод.
;
2
1
2
1
2
1
)
2
(
2
,
2
2
2
2
c
e
c
e
dt
e
dt
e
dt
xdx
dt
xdx
t
x
dx
e
x
x
t
t
t
x
+
−
=
+
−
=
−
=
=
−

=










−
=
=
−
=
−
=

−
−



Жишээ 25:  − dx
x2
4 интегралыг бод.
;
2
4
2
arcsin
2
2
2
sin
)
)
2
(
2
cos
2
1
(
2
)
2
cos
(
2
2
1
2
cos
4
cos
4
cos
sin
1
4
cos
2
sin
4
4
cos
2
sin
2
4
2
2
2
2
2
c
x
x
x
c
t
t
c
t
t
td
dt
tdt
dt
t
tdt
tdt
x
tdt
x
tdt
dx
t
x
dx
x
+
−
+
=
+
+
=
=
+
+
=
+
=
=
+
=
=

−
=
=

−
=






=
=
=
−








Жишээ 26: 
+
dx
x
x
2
2
1
интегралыг бод.
;
1
1
ln
sin
1
cos
1
ln
sin
1
sin
1
sin
1
ln
2
1
sin
1
sin
1
sin
sin
sin
cos
cos
sin
cos
cos
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
1
cos
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
x
x
x
x
c
t
t
tgt
c
t
t
t
c
t
t
t
d
t
t
d
t
tdt
t
tdt
t
dt
dt
t
t
t
t
t
t
dt
t
dt
t
tg
t
tg
t
dt
dx
tgt
x
dx
x
x
+
+
−
+
+
=
=
+
−
+
=
+
−
−
+
=
=
+
−
−
=
+
=
=
+
=

+
=

=
=

+
=










=
=
=
+










4. Хэсэгчлэн интегралчлах арга.
)
(
),
( x
v
x
u дифференциалчлагдах функцүүдийн хувьд
 
−
= );
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( x
du
x
v
x
v
x
u
x
dv
x
u байна. Yүнийг хэсэгчлэн интегралчлах томъёо
гэнэ.
Жишээ 27:  + dx
e
x x
2
)
3
( интегралыг бод.
;
4
1
)
3
(
2
1
2
1
)
3
(
2
1
2
1
,
,
3
)
3
(
2
2
2
2
2
2
2
2
c
e
e
x
dx
e
e
x
e
dx
e
v
dv
dx
e
du
dx
u
x
dx
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
−
+
=
−
+
=
=










=
=
=
=
=
+
=
+



Жишээ 28:  −
+ xdx
x
x 3
cos
)
1
( 2
интегралыг бод.
;
3
sin
9
2
9
3
cos
)
1
2
(
3
sin
)
(
3
1
3
cos
3
2
9
3
cos
)
1
2
(
3
sin
)
(
3
1
2
)
3
3
cos
(
3
3
cos
)
1
2
(
3
1
3
sin
)
(
3
1
3
3
cos
,
3
sin
2
,
1
2
3
sin
)
1
2
(
3
1
3
sin
)
(
3
1
3
sin
3
1
3
cos
,
3
cos
)
1
2
(
,
3
cos
)
(
2
2
2
2
2
2
c
x
x
x
x
x
x
xdx
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
x
x
v
dv
xdx
du
dx
u
x
xdx
x
x
x
x
x
xdx
v
dv
xdx
du
dx
x
u
x
x
xdx
x
x
+
−
−
+
+
+
=
−
+
+
+
+
=







−
−
+
−
−
−
+
=










−
=
=
=
=
+
=
=
+
−
+
=
=










=
=
=
=
+
=
+
=
+





Жишээ 29:  xdx
e x
sin
2
интегралыг бод.
;
4
sin
2
cos
sin
4
sin
2
cos
)
sin
2
sin
(
2
cos
sin
,
cos
2
,
cos
2
cos
cos
,
sin
2
,
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
I
x
e
x
e
xdx
e
x
e
x
e
xdx
e
x
e
x
e
x
v
dv
xdx
du
dx
e
u
e
xdx
e
x
e
x
v
dv
xdx
du
dx
e
u
e
xdx
e
I
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−
=
−
−
+
−
=
−
+
+
−
=






=
=
=
=
=
+
+
−
=






−
=
=
=
=
=
=




буюу ;
4
sin
2
cos 2
2
I
x
e
x
e
I x
x
−
+
−
= болно. ;
5
sin
2
5
cos
sin
2
2
2
c
x
e
x
e
xdx
e
I
x
x
x
+
+
−
=
= 
Хэсэгчлэн интегралчлах аргаар бодогдох зарим интегралуудаас:
)
(x
Pn нь n зэргийн олон гишүүнт буюу ө.х. ;
)
( 1
1
1
0 n
n
n
n
n a
x
a
x
a
x
a
x
P +
+
+
+
= −
−

байг. Тэгвэл:
−  dx
e
x
P kx
n )
( хэлбэрийн интегралыг бодохдоо dv
dx
e
u
x
P kx
n =
= ,
)
( гэж
орлуулаад n удаа хэсэгчилнэ. Тухайлбал: (Жишээ 27).

5. − 
 kxdx
x
P
kxdx
x
P n
n sin
)
(
,
cos
)
( хэлбэрийн интегралуудыг бодохдоо олон
гишүүнтийг u , үлдсэнийг нь dv гэж орлуулаад n удаа хэсэгчилнэ.
Тухайлбал: (Жишээ 28).
−  dx
kx
x
Pn )
ln(
)
( хэлбэрийн интегралыг бодохдоо dv
dx
x
P
u
kx n =
= )
(
,
)
ln( гэж
орлуулаад 1 удаа хэсэгчилнэ.
− 
 ,
arcsin
)
(
,
arccos
)
( xdx
x
P
xdx
x
P n
n 
 ,
)
(
,
)
( arcctgxdx
x
P
arctgxdx
x
P n
n
хэлбэрийн интегралуудыг бодохдоо тригонометрийн урвуу функцүүдийг
u , үлдсэнийг нь dv гэж орлуулаад хэсэгчилнэ.
− 
 kxdx
e
kxdx
e ax
ax
sin
,
cos хэлбэрийн интегралуудыг бодохдоо аль ч
функцийг u -р орлуулж болно. Харин заавал 2 удаа хэсэгчилнэ.
Тухайлбал: (Жишээ 29).