(1) Se describe un problema de dos cilindros conductores concéntricos transportando corrientes uniformes. (2) Se calcula la densidad de campo magnético resultante en un punto P usando el principio de superposición. (3) También se describe un problema con un lazo triangular próximo a un conductor recto e infinito, calculando las fuerzas magnéticas sobre los lados del lazo.

1. ESCUELA SUPERIOR P OLITÉCNICA DEL LITORAL
POLITÉCNICA LIT
TEORÍA ELECTROMAGNÉT ICA I
ELECTROMAGNÉTICA
ING. JORGE ARAGUNDI R. ( ) ING. JORGE FLORES MACÍAS ( )
ING. CARLOS DEL POZO CAZAR ( ) ING. ALBERTO TAMA FRANCO (  )
SEGUNDA EVALUACIÓN Fecha: martes 31 de agosto de 2010
mart
Alumno: ________________________________________________________________________________
Resumen de Calificaciones
Total Segunda
Estudiante Examen Deberes Lecciones
Evaluación
Ing. Alberto Tama Franco
Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
FIEC
FIEC-ESPOL – 20 – 1S
2010

2. Primer Tema:
Un cilindro conductor, hueco e infinitamente largo, tiene un radio interior “a” y un radio
exterior “b”. Un cilindro macizo conductor de radio “c”, es colocado en el interior del cilindro
hueco antes mencionado, tal como se muestra en la figura. Los dos cilindros son paralelos
y sus centros se encuentran separados por una distancia “d”. Asumiendo que J es la
densidad de corriente en cada cilindro y que es uniforme, calcular la densidad de campo
magnético B(P).
y
yo P
Para obtener la solución del presente
problema, utilizaremos el principio de
J b a superposición.
c x
J xo
d
B1  P 
B1y
y y

yo P P
yo B2 x
B1x 
r1 r2 B2 y B2  P 
J b a
 
x c x
xo J xo
d
 B  P  .dl
 c
1 1  o  J1.dS1
1
 B1  P  2 r1  o J1  dS
1
1
o J  b 2  a 2 
B1  P  2  r1  o J   b 2  a 2   B1  P  
2r1
B1  P    B1  P  sen   x  B1  P  cos   y
Ing. Alberto Tama Franco
Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
FIEC-ESPOL – 2010 – 1S

3. yo xo
donde : sen   y cos   , por lo cual se tiene :
r1 r1
o J  b 2  a 2  o J  b 2  a 2 
B1  P    sen   x  cos   y
2r1 2r1
o J  b 2  a 2  yo o J  b 2  a 2  xo
B1  P    x  y
2r12 2r12
o J  b 2  a 2  yo o J  b 2  a 2  xo
B1  P    x  y
2  xo 2  yo 2  2  xo 2  yo 2 
 B  P  .dl
c
2 2  o  J 2 .dS2
2
 B2  P  2 r2  o J 2  dS
2
2
o J c 2
B2  P  2  r2  o J  c 2  B2  P  
2r2
B2  P   B2  P  sen   x  B2  P  cos   y
yo xo  d
donde : sen   y cos   , por lo cual se tiene :
r2 r2
o J c 2 o J c 2
B2  P   sen   x  cos   y
2r2 2r2
o J c 2 yo  J c 2  xo  d 
B2  P   x  o y
2r2 2 2r2 2
 o J c 2 yo o J c 2  xo  d 
B2  P   x  y
2  xo  d   yo 2  2  xo  d   yo 2 
2 2
   
BTOTAL  P   B1  P   B2  P 

 o J c 2 yo o J  b 2  a 2  yo 
  o 
  J b2  a 2 x
 o  o J c 2  xo  d   
BTOTAL  P      x    y
 xo  d 2  yo 2 
2 2  xo 2  yo 2    2  xo 2  yo 2  2  xo  d 2  yo 2  
     
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4. Segundo Tema:
Un lazo conductor triangular, que transporta una corriente I2, se encuentra ubicado muy
próximo a un conductor recto e infinitamente largo que transporta una corriente de I1, tal
como se muestra en la figura. Calcular: a) la fuerza ejercida sobre el lado 1 del lazo
triangular; y, b) la fuerza total ejercida sobre el lazo triangular.
I1 z
dF1 a
I2 x
dl1 y
a B
2a
r
a) Procedemos a calcular la fuerza magnética ejercida sobre el lado 1 del referido lazo
triangular:
 I 
dF1  I 2 dl1 xB  I 2  dl1  x x o 1  y 
 2 r 
La relación entre dl1 y dr es: dl1  dr , de lo cual se tendría lo siguiente:
 I   I I dr
dF1  I 2  dr  x x o 1  y   o 1 2 z
 2 r  2 r
r 3 a
o I1 I 2 dr II r 3a
F1 
2 
r a
r
 z  F1  o 1 2 ln r r  a  z
2
o I1 I 2
F1  ln 3  z
2
b) Procedemos a calcular la fuerza magnética ejercida sobre el lado 2 del referido lazo
triangular:
o I1
dF2  I 2 dl2 xB  I 2   dl2 sen 45o  x x  dl2 cos 45o  z  x y
2 r
dr
La relación entre dl 2 y dr es: dl2  , de lo cual se tendría lo siguiente:
cos 45o
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5. r
I1 B z
dF2 a
I2 dl2 x
y
a 2a
 dr dr  o I1
 cos 45o sen 45  x x  cos 45o cos 45  z  x 2 r  y
dF2  I 2   o o

 
o I1 II
dF2  I 2  dr tg 45o  x  dr  z  x  y  o 1 2  dr  x  dr z 
2 r 2 r
r 2a
II  dr dr  II
 z   F2  o 1 2 ln r r  a  x  z 
r 2a
F2  o 1 2
2  
r a 
r
x 
r  2
o I1 I 2
F2  ln 2   x   z 
2
c) Procedemos a calcular la fuerza magnética ejercida sobre el lado 3 del referido lazo
triangular:
r
I1 z
dl 3
B
dF3 a
I2 x
y
a 2a
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6. o I1
dF3  I 2 dl3 xB  I 2   dl3 sen 45o  x x  dl3 cos 45o  z  x y
2 r
dr
La relación entre dl3 y dr es: dl3  , de lo cual se tendría lo siguiente:
cos 45o
 dr dr  I
dF3  I 2  
 cos 45 o
sen 45o  x x + cos 45o  z  x o 1  y
 2 r
 cos 45o 
o I1 II
dF3  I 2  dr tg 45o  x  dr  z  x  y  o 1 2  dr x  dr z 
2 r 2 r
r 3 a
II  dr dr  II
 z   F3  o 1 2 ln r r  2 a  x  z 
r 3 a
F3  o 1 2
2  
r 2a 
r
x 
r  2
o I1 I 2 3
F3  ln    x   z 
2 2
De esta manera, la fuerza total ejercida sobre el lazo triangular sería:
FT  F1  F2 + F3
o I1 I 2  3 
FT 
2 ln 3  z  ln 2   x   z   ln  2   x   z  
   
o I1 I 2  3 3 
FT 
2 ln 3  z  ln 2  x  ln 2  z  ln  2   x  ln  2   z 
     
o I1 I 2   3  3 3 
FT   ln    z  ln 2  x  ln    x  ln    z 
2   2 
 2 2 

o I1 I 2 II
FT  ln 2 x  ln 3 x  ln 2 x   o 1 2  2 ln 2 x  ln 3 x 
2 2
o I1 I 2 o I1 I 2
FT  ln 22  x  ln 3  x   FT  ln 4 x  ln 3 x 
2   2
o I1 I 2 4
FT  ln   x
2 3
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Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
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7. Tercer Tema:
La sección transversal de un núcleo toroidal de permeabilidad  tiene forma triangular.
Sobre una parte del núcleo, se devana una bobina de N1 espiras; sobre otra parte del
mismo núcleo, se devana una bobina de N2 espiras, tal como se muestra en la siguiente
figura. Determinar la inductancia propia de cada bobina del toroide y la inductancia mutua
del sistema de bobinas.
y Ecuación de la recta
h h
y x a
b b
N2
r
N1 dA  y dx
x
a b

Sección transversal
h del núcleo toroidal
a b
Inductancia propia de la bobina de N1 espiras. Asumiremos la existencia de una corriente I1
que circule por la referida bobina, de tal manera que para obtener su inductancia propia,
aplicaremos el siguiente flujograma:
I1  B1  11  L11
 N1 I1
I1  B1   11   B1.dS1   B1 dS1 cos 0o
2 r 1 1
En el presente problema: dS1  dA y x  r , por lo cual se tiene lo siguiente:
r  a b
 N1 I1  h h   N1 I1h  a  a  b  
11  
r a
 r  a  dr 
2 r  b b 
1  ln 
2  b  a  



 N12 I1 h  a  a  b  
N111 2 1  b ln  a    N12 h  a  a  b  
  
L11    L11  1  ln  
I1 I1 2  b  a  
 
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8. Inductancia propia de la bobina de N2 espiras. Asumiremos la existencia de una corriente I2
que circule por la referida bobina, de tal manera que para obtener su inductancia propia,
aplicaremos el siguiente flujograma:
I 2  B2  22  L22
 N2 I2
I 2  B2   22   B2 .dS 2   B2 dS 2 cos 0o
2 r 2 2
En el presente problema: dS 2  dA y x  r , por lo cual se tiene lo siguiente:
r  a b
 N2 I2  h h   N2 I2h  a  a  b 
22  
r a
 r  a  dr 
2 r  b b 
1  ln 
2  b  a  



 N22 I 2 h  a  a  b 
N 2  22 2 1  b ln  a    N22h  a  a  b 
  
L22    L22  1  ln  
I2 I2 2  b  a  
 
Inductancia mutua del sistema de bobinas. Asumiremos la existencia de una corriente I1
que circule por bobina de N1 espiras, de tal manera que para obtener la referida inductancia
mutua, aplicaremos el siguiente flujograma:
I1  B12  12  E2  M 12
 N1 I1
I1  B12   12   B1.dS 2   B1 dS 2 cos 0o
2 r 2 2
En el presente problema: dS 2  dA y x  r , por lo cual se tiene lo siguiente:
r  a b
 N1 I1  h h   N1 I1h  a  a  b  
12  
r a
 r  a  dr 
2 r  b b 
1  ln 
2  b  a  



d 12 d   N I h  a  a  b    N1 N 2 h  a  a  b   dI1
E2   N 2   N 2  1 1 1  ln      1  ln  
dt dt  2  b  a    2  b  a   dt
 
d 12 dI
En virtud de que E2   N 2   M12 1 , se tendría:
dt dt
 N1 N 2 h  a  a  b  
M 12  1  ln  
2  b  a  
 
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9. Una segunda manera de determinar la inductancia mutua del sistema, sería la siguiente:
 N1 N 2 I1 h  a  a  b  
N 2 12 2 1  b ln  a  
  
M 12  
I1 I1
 N1 N 2 h  a  a  b  
M 12  1  ln  
2  b  a  
 
Para verificar las metodologías indicadas anteriormente, procederemos a determinar M 21
Asumiremos la existencia de una corriente I2 que circule por bobina de N2 espiras, de tal
manera que para obtener la referida inductancia mutua, aplicaremos el siguiente
flujograma:
I 2  B21  21  E1  M 21
 N2 I2
I 2  B21   21   B2 .dS1   B2 dS1 cos 0o
2 r 1 1
En el presente problema: dS1  dA y x  r , por lo cual se tiene lo siguiente:
r  a b
 N2 I2  h h   N2 I2 h  a  a  b 
21  
r a
 r  a  dr 
2 r  b b 
1  ln 
2  b  a  



d  21 d   N2 I2h  a  a  b    N1 N 2 h  a  a  b   dI 2
E1   N1   N1  1  b ln  a      2 1  b ln  a   dt
dt dt  2       
d  21 dI
En virtud de que E1   N1   M 21 2 , se tendría:
dt dt
 N1 N 2 h  a  a  b  
M 21  1  ln    M 12
2  b  a  
 
Con esto, se verifica que M 12  M 21
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