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Tasa de Capitalizacion

Alberto Carranza Garcia
Alberto Carranza Garcia
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Tasa de Capitalizacion

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CAPITALIZACIÓN
•Tasa de Capitalización
•Tasa Nominal
•Tasa Efectiva
IrvingLo




 Capitalización:

Operación para calcular valores futuros de cantidades de
dinero. Consiste en invertir o prestar un capital,
produciéndonos intereses durante el tiempo que dura la
inversión o el préstamo.

Se divide en:
• Simple
• Compuesta
IrvingLo




 Capitalización simple:
Los intereses son satisfechos por el deudor al final del
periodo de tiempo

Símbolos a utilizar:

•   P= valor presente o capital
•   F= valor futuro
•   i= tasa de interés, tanto por ciento
•   n= número de periodos de interés
IrvingLo



Puesto que una unidad            Para periodos de tiempo
monetaria produce una tasa       distintos del año:
de interés i, tendremos que
los intereses en n años serán:         Semestres        K=2
                                       Trimestres       K=4
        Intereses:                     Meses            K=12
          I= Pin                        Días            K=360

La suma del capital y los               Intereses:
intereses se denomina valor              I= Pink
futuro:                                 Valor futuro:
        Valor futuro:                  F = P (k+1n) ó
         F=P+Pin ó                        P(1+ink)
           P(1+in)                            k
IrvingLo


• Ejemplo:
Calcular los intereses simples de $500 000 al 10%
anuales en 3 años.

I=P·n·i
I= (500 000)(3)(.10) = $150 000

2. Calcular los intereses simples de $500 000 al 10% anual
correspondientes a 6 meses.

I= Pin
   k

I=(500 000)(.10)(1) = 25, 000
         2
IrvingLo


 Capitalización continua:

Al final del periodo, se agregan los intereses al capital y,
por lo tanto, en los periodos siguientes producirán intereses.

                     • I = P((1+i^n)-1)

                       • F=P(1+i)^n

Se caracterizan porque los intereses, a diferencia de lo que
ocurre en régimen de simple, a medida que se van
generando pasan a formar parte del capital de partida, se
van acumulando, y producen a su vez intereses en períodos
siguientes (son productivos).
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Tasa de Capitalizacion

  • 2. IrvingLo  Capitalización: Operación para calcular valores futuros de cantidades de dinero. Consiste en invertir o prestar un capital, produciéndonos intereses durante el tiempo que dura la inversión o el préstamo. Se divide en: • Simple • Compuesta
  • 3. IrvingLo  Capitalización simple: Los intereses son satisfechos por el deudor al final del periodo de tiempo Símbolos a utilizar: • P= valor presente o capital • F= valor futuro • i= tasa de interés, tanto por ciento • n= número de periodos de interés
  • 4. IrvingLo Puesto que una unidad Para periodos de tiempo monetaria produce una tasa distintos del año: de interés i, tendremos que los intereses en n años serán: Semestres K=2 Trimestres K=4 Intereses: Meses K=12 I= Pin Días K=360 La suma del capital y los Intereses: intereses se denomina valor I= Pink futuro: Valor futuro: Valor futuro: F = P (k+1n) ó F=P+Pin ó P(1+ink) P(1+in) k
  • 5. IrvingLo • Ejemplo: Calcular los intereses simples de $500 000 al 10% anuales en 3 años. I=P·n·i I= (500 000)(3)(.10) = $150 000 2. Calcular los intereses simples de $500 000 al 10% anual correspondientes a 6 meses. I= Pin k I=(500 000)(.10)(1) = 25, 000 2
  • 6. IrvingLo  Capitalización continua: Al final del periodo, se agregan los intereses al capital y, por lo tanto, en los periodos siguientes producirán intereses. • I = P((1+i^n)-1) • F=P(1+i)^n Se caracterizan porque los intereses, a diferencia de lo que ocurre en régimen de simple, a medida que se van generando pasan a formar parte del capital de partida, se van acumulando, y producen a su vez intereses en períodos siguientes (son productivos).
  • 7. IrvingLo Ejemplos: • 1.Calcular los intereses que generan 2 millones de dólares a un tipo del 10% durante un plazo de 1 año. Datos: P= 2 000 000 F= ? I = P((1+in)-1) i= 10% = 0.1 n= 1 I = 2 000 000 * (((1 + 0.1)1) - 1) I = 2000 000 * (1.1 - 1) I = 200 000 dlls
  • 8. AleTzec • 2.Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al 5% anual durante 10 años en régimen de capitalización compuesta. Datos: P= 2 000 F= ? F=P(1+i)^n i= 5% = 0.5 n= 10 años F10 = 200 x (1 + 0,05 )10 = 325,78 € Si se hubiese calculado en simple: F10 = 200 x (1 + 0,05 x 10) = 300 € • La diferencia entre los dos montantes (25,78 euros) son los intereses producidos por los intereses generados y acumulados hasta el final.
  • 10. CelesteHe Interés simple: los intereses siempre se calculan sobre el monto inicial. Las tasas de interés nominales y efectivas tienen la misma relación que entre sí guardan el interés simple y el compuesto. Interés compuesto: Los intereses obtenidos al final de cada periodo no se retiran, sino que se añaden al capital principal. Por lo tanto, los intereses se reinvierten.
  • 11. CelesteHe • Tasa de Interés Nominal Se conoce como tasa de interés nominal o tasa nominal al interés que capitaliza más de una vez al año. La tasa de interés nominal, r, es una tasa de interés que NO considera la capitalización de intereses. r = tasa de interés del periodo X número de periodos
  • 14. AlbertoCa • Tasa de Interés Efectiva La tasa de interés efectiva es la tasa real aplicable de tiempo establecido. La tasa de interés efectiva toma en cuenta la acumulación del interés durante el periodo de la tasa nominal correspondiente. Se expresa como tasa anual efectiva ia, pero puede ser otro periodo de base.
  • 15. AlbertoCa TPA • Tasa Porcentual Anual • Tasa de Interés Nominal RPA • Rendimiento Porcentual Anual • Tasa de Interés Efectiva
  • 16. AlbertoCa • La frecuencia de los pagos o ingresos se conoce como el periodo de pago (PP). • Periodo de tiempo (t), es la unidad fundamental del tiempo de la tasa de interés (la más común es 1 año). • Periodo de composición o de capitalización (PC) es la unidad de tiempo utilizada para determinar el efecto del interés. • Frecuencia de composición o de capitalización (m), es decir, el número de veces que se lleva a cabo la composición durante el periodo (t).
  • 17. AlbertoCa • Por ejemplo, si una compañía depositó dinero mensualmente en una cuenta que paga una tasa de interés nominal del 14% anual compuesto semestralmente, el periodo de pago sería 1 mes mientras que el periodo de capitalización sería 6 meses y la frecuencia de la composición sería de 2.
  • 18. AlbertoCa • Tasa efectiva por Periodo de Capitalización Se acostumbra expresar la tasa efectiva sobre la misma base de tiempo de composición. La tasa efectiva correspondiente por PC se determina mediante la fórmula: r % por periodo de tiempo r m periodos de composición por t =m
  • 19. AlbertoCa • Ejemplos 1.Tasas de préstamo bancario para dos proyectos distintos de equipos de generación de electricidad. Determine la tasa efectiva considerando el PC. a) 9% anual, compuesto trimestralmente b) 9% anual, compuesto mensualmente a) r = 9% anual x trimestre ; m= 9/4 tasa efectiva por PC = 2.25% b) r= 9% anual x mes; m= 9/12 tasa efectiva por PC = 0.75%
  • 20. SalmaVa • Tasa De Interés Efectiva Anual La deducción de una fórmula para la tasa de interés efectiva es semejante a la lógica que se sigue para establecer la relación del valor futuro F=P (1+i)n. El valor futuro F al final de 1 año es el principal P más los intereses acumulados P (i) durante el año. Puesto que el interés se puede capitalizar varias veces durante el año, se reemplaza i con la tasa anual efectiva ia. Ahora escribamos la fórmula para F al final de 1 año. • F = P + Pia = P (1+ia)
  • 21. SalmaVa Tasa de interés efectiva anual: ia = (1+i)m -1 Sirve para calcular la tasa de interés anual efectiva para cualquier número de periodos de composición cuando i es la tasa para un periodo de composición. r = tasa de interés nominal anual m = núm. de periodos de capitalización x año i = tasa de interés efectiva por PC ia = tasa de interés efectiva anual
  • 22. SalmaVa Ejemplo: Jacky obtuvo una nueva tarjeta de crédito con un banco nacional (MBNA), con una tasa establecida de 18% anual y un periodo de composición mensual. Para un saldo de $1000 al principio del año, calcule la tasa anual efectiva y el adeudo total al blanco MBNA después de un año, tomando en cuenta el hecho de que no se efectúa ningún pago durante el año. Solución Hay 12 periodos de composición por un año. Por lo tanto, m=12 e i=18%/12= 1.5% mensual. Si el saldo de $1000 no se reduce durante el año se aplica la ecuación, ia=(1+i)m – 1 ; Y enseguida la ecuación para el valor futuro, F=P+Pia= P(1+ia)
  • 23. SalmaVa ia=(1+0.015)12 – 1= 1.9562 – 1= 0.19562 (19.5%) F= $ 1 000 (1.19562)= $ 1 195.62 Jacki pagará 19.562%, o $195.62 más los $1 000 del saldo, por la utilización del dinero del banco durante el año $1196.62
  • 24. SalmaVa 1. La señora Jones planea colocar dinero en un certificado de depósito JUMBO que paga 18% anual compuesto diariamente. ¿Qué tasa efectiva recibirá ella a) anualmente r= 0.18 y m= 365, i anual = (1 + 0.18/365)365 - 1 = 0.19716 (19.716%) Es decir, la señora Jones obtendrá un 19.716% efectivo sobre su depósito. b) semestralmente b) r= 0.09 durante 6 meses y m= 182 días: i por 6 meses = 0.09415 (9.415%)
  • 25. GenaroVi • Tasa de Interés Efectivas Para Cualquier Periodo Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composición podemos decir que una compañía deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de interés nominal de 14% anual, con un periodo de composición semestral, es periodo de pago es un mes, mientras que el periodo de composición es de 6 meses.
  • 26. GenaroVi Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan con mayor frecuencia que la anual, es decir, PP< 1 año, debe utilizarse la tasa de interés efectiva durante el PP. La fórmula de la tasa de interés anual efectiva se generaliza fácilmente para cualquier tasa nominal: r m i efectivo = (1 + m) -1 donde, r = tasa de interés nominal por periodo de pago PP m = núm. de periodos de composición por periodo de pago (PC por PP)
  • 27. GenaroVi • Ejemplo: Una tarjeta de crédito nacional tiene una tasa de interés del 2% mensual sobre el saldo no pagado. a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral b) Si la tasa de interés se expresa como 5% por trimestre, encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y anuales. Solución a) En esta parte del ejemplo, el periodo de capitalización es mensual. Dado que se desea obtener la tasa de interés efectiva por periodo semestral, la tasa nominal por 6 meses. r = 2% mensual x 6 meses por periodo semestral r = 12% por periodo semestral
  • 28. GenaroVi 6 0.12 por cada 6 meses = 1 + −1 6 = 0.1262 12.62% b) Para una tasa de interés del 5% por trimestre, el periodo de capitalización es trimestral. Por consiguiente, en un periodo semestral, m=2 y r= 10%. En consecuencia: 2 0.10 i por cada 6 meses = 1 + −1 2 = 0.2155 21.55%
  • 29. GenaroVi • Tasa De Interés Efectiva Que Varía Con El Tiempo Las tasas de interés reales para una corporación varían año con año, dependiendo del estado financiero de la empresa, de su sector den el mercado, de las economías nacional e internacional, de las fuerzas de inflación y de muchos otros factores.
  • 30. GenaroVi Ejemplos: • Las hipotecas de bienes inmuebles financiados mediante un interés HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable). La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada año para que refleje la antigüedad del préstamo, el costo actual del dinero de la hipoteca, etc.
  • 31. GenaroVi • Los bonos protegidos contra la inflación (emitidos por el gobierno de Estados Unidos y otras agencias.) La tasa de dividendos que paga el bono permanece constante a lo largo de su periodo de vida; sin embargo, a la cantidad global que se debe al propietario del bono cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste ascendente, de acuerdo con el índice de inflación del índice de precios al consumidor (IPC). Esto significa que la tasa anual de rendimiento se incrementará cada año de acuerdo con la inflación observada.
  • 32. NancyLu Tasas De Interés Efectivas Para Capitalización Continua A medida que el periodo de capitalización disminuye, el valor de m, número de periodos de capitalización por periodo de interés, aumenta. Cuando el interés se capitaliza en forma continua, m se acerca a infinito y la fórmula de tasa de interés efectiva en la ecuación puede escribirse de una nueva forma. definición de la base del logaritmo natural.
  • 33. NancyLu A medida que m se acerca a infinito, el límite de la formula de las tasa de interés efectiva se encuentra utilizando r/m = lh, lo que hace m =hr Ecuación que se utiliza para calcular la tasa de interés efectiva continua.
  • 34. NancyLu • Ejemplo: a) Para una tasa de interés del 18% anual compuesto en forma continua, calcule la tasa de interés efectiva anual y mensual. b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo menos el 15% sobre su dinero, ¿Cuál es la tasa mínima anual nominal aceptable si tiene lugar una capitalización continua. Solución: a) La tasa de interés mensual r, es =1812 = 1.5 mensual. La tasa efectiva mensual es: En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 0.18 anual es:
  • 35. NancyLu b) En este problema, es preciso resolver la ecuación de la tasa de interés efectiva en sentido contrario puesto que se tiene i y se desea r. por lo tanto para i=15% anual, debe resolverse para r tomando el logaritmo natural. Por consiguiente, una tasa del 13.976% anual compuesto en forma continua generara una tasa de retorno efectiva anual del 15%.
  • 36. NancyLu • Ejemplo: Si se depositan $2000 cada año durante 10 años a una tasa de intereses del 10% anual, compare el valor presente para capitalización (a) anual y (b) capitalización continua. Solución Para capitalización anual, P = 2000(P/A,10%,10) = 2000(6.1446) = $12,289 (b) Para capitalización continua, ianual = e⁰· ¹⁰ – 1 = 0.10517 (10.517%) P= 2000(P/A,10.517%,10) = 2000(6.0104) = $12,021
  • 37. ErickMe RELACIONES DE EQUIVALENCIA: Comparación entre la duración del periodo de pago y del periodo de capitalización (PP versus PC) En los cálculos de equivalencia con porcentajes altos, la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalización de los intereses. Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalización y el periodo de pago, y en consecuencia la tasa de interés se ajuste. Cuando solo existen pagos únicos, no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo. La duración del PP, por lo tanto, queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de interés.
  • 38. ErickMe • Ejemplo: Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses (PP semestral), y que el interés tiene un periodo de capacitación trimestral (PC trimestral). Después de 3 meses no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto de la composición trimestral. Sin embargo, en el mes 6 es necesario considerar los intereses acumulados durante los dos periodos de composición trimestrales anteriores.
  • 39. ErickMe RELACIONES DE EQUIVALENCIA: Pagos únicos con PP≥PC Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago único, hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores P/F y F/P. Método 1: Se determina la tasa de interés efectiva durante el periodo de composición PC, y se iguala n al número de periodos de composición entre P y F. Las relaciones para calcular P y F son: P=F (P/F, i% efectiva por PC, número total de periodos n) F=P (F/B, i% efectiva por PC, número total de periodos n)
  • 40. ErickMe • Ejemplo: Suponga que la tarjeta de crédito es una tasa efectiva de 15% anual, compuesto mensualmente. En este caso, PC es igual a un mes. Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos años, se calcula la tasa mensual efectiva de 15% / 12= 1.25% Y el total de meses de 2 (12)=24. Así, los valores 1.25% y 24 se utiliza para el cálculo de los factores P/F y F/P.
  • 41. ErickMe Método 2: Se determina la tasa de interés efectiva para el periodo t de la tasa nominal, y sea n igual al número total de periodos utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo. Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones antes mencionadas, salvo que el termino i% efectiva por t se sustituye por la tasa de interés.
  • 42. ErickMe • Ejemplo: En el caso de una tasa de tarjeta de crédito de 15% anual compuesto mensualmente, el periodo t es 1 año. La tasa de interés efectiva durante un año y los valores n son: El factor P/F es el mismo por ambos métodos: (P/F, 1.25%,24)=0.7422, utilizando la tabla 5; y(P/F, 16.076%, 2)=0.7422 aplicando la fórmula del factor P/F.
  • 43. ErickMe • Ejemplo: En el caso de una tasa de tarjeta de crédito de 15% anual compuesto mensualmente, el periodo t es 1 año. La tasa de interés efectiva durante un año y los valores n son: El factor P/F es el mismo por ambos métodos: (P/F, 1.25%,24)=0.7422, utilizando la tabla 5; y(P/F, 16.076%, 2)=0.7422 aplicando la fórmula del factor P/F.
  • 44. AleTzec RELACIONES DE EQUIVALENCIA: Series con PP ≥ PC Si los flujos de efectivo son trimestrales, el PP es de un trimestre y, por consiguiente, se necesita una tasa de interés efectiva trimestral. El valor n es el número total de trimestres. Si PP es igual a un trimestre, 5 años se traducen en un valor de n de 20 trimestres. Esto constituye una aplicación directa de la siguiente directriz general: Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo, A, G, g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de capitalización, * Se calcula la tasa de interés efectiva i por periodo de pago * Se determina n como el número total de periodos de pago.
  • 45. AleTzec La siguiente tabla muestra la formulación correcta de diversas series de flujo de efectivo y tasa de interés. Observe que n siempre es igual al número total de periodos de pago y que i es una tasa de interés efectiva que se expresa de acuerdo con el mismo periodo que n.
  • 46. AleTzec RELACIONES DE EQUIVALENCIA: Pagos únicos y series con PP < PC • Ejemplos Si un banco le cobra a una persona intereses el día 15 del mes en sus pagos de tarjeta de crédito, y si la persona hace el pago completo el día primero, ¿reduce la institución financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado? La respuesta común es no. Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir un préstamo bancario de $10 millones, con un interés compuesto trimestral, el ejecutivo de finanzas de la empresa probablemente insistiría en que el banco redujera la cantidad de intereses, basándose en el pago anticipado.
  • 47. AleTzec El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de efectivo entre puntos de capitalización implica la pregunta de cómo manejar la capitalización inter-periódica. Fundamentalmente existen dos políticas: los flujos de efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un interés compuesto.
  • 48. Fin