Unitat 3: Polinomis
1. Introducció
2. Monomis
a) Nomenclatura
b) Grau d'un monomi
c) Monomis semblants
3. Polinomis
a) Nomenclatura
b) Grau d'un polinomi
4. Valor numèric d'un polinomi
5. Operacions amb monomis
6. Suma i resta de polinomis
7. Producte de polinomis
8. Identitats notables

1. Introducció
Parts de les matemàtiques que coneixeu:
-Treball amb nombres, operacions,
jerarquia, etc.
Aritmètica
-Treball amb figures planes i cossos,
al pla o a l'espai.
-Treball amb relacions de dependència
entre nombres: funcions.
-Treball amb dades: recopilació,
representació i interpretació.
Geometria
Anàlisi
Estadística i probabilitat
-Treball amb nombres desconeguts,
que substituïm per lletres: x, y, z, a, b,...
Àlgebra

2. Monomis
Un monomi és una expressió algèbrica formada pel
producte entre un nombre racional conegut (el coeficient) i
una o més lletres elevades a un exponent natural (la part
literal).
2
Són monomis o no?
3x + 4x
4xy
2
x2 y
7
7x
1
x
5√ x
2
a
3
9xt
3
2
x
-Les lletres o incògnites no poden trobar-se al denominador, ni estar
elevades a un nombre que no sigui natural.
-No poden aparèixer ni sumes ni restes.
Exercici 9 pàg.65

2. Monomis
a) Nomenclatura
1 3
b ·h
2
Monomi de grau 4
(3+1=4)
Part literal
(les lletres)
Coeficient
(el número)
ici
rc
1
,1
10
.6 5
àg
3p
i1
xe
E
El grau és la suma de tots els exponents de la part literal.
b) Grau d'un monomi
c) Monomis semblants
Si dos o més monomis tenen la mateixa part literal, direm que
són monomis semblants.
3x
2
−5 2
x
3
−4x
2
2
x
3

3. Polinomis
Un polinomi és la suma indicada de diversos monomis no
semblants. ("poli"="molts", "mono"="un de sol")
a) Nomenclatura
Polinomi de grau 4
3
2
11x y−7xy + 5x−13
Terme
Grau 4
Terme
Terme
Grau 3
Grau 1
Terme
Grau 0
b) Grau d'un polinomi
El grau d'un polinomi és el grau més alt dels termes que el
formen.
Exercici 14, 15, 16 pàg.66

4. Valor numèric d'un polinomi
El valor numèric d'un polinomi és el nombre o resultat que
s'obté en substituir les lletres per nombres determinats i
realitzar les operacions indicades.
Exemple: Trobar el valor numèric del següent polinomi per a x = 5.
2
3x + x+ 10
si x = 5
2
3 · 5 + 5+ 10
2
3 · 5 + 5+ 10=3 · 25+ 5+ 10=75+ 5+ 10=90
Exercici 5 i 6 pàg.64

5. Operacions amb monomis
a) Suma i resta:
Dos monomis només es poden sumar si són semblants. En aquest
cas, sumarem o restarem els coeficients i deixarem la mateixa part
literal.
3x 2+ 4x 2−9x 2=−2x 2
2a+ b−4a+ 2b=−2a+ 3b
Exercici 1 full monomis
b) Producte i quocient:
El producte o quocient d'un o més monomis és un monomi que té
com a coeficient el producte/quocient dels coeficients, i com a part
literal el producte/quocient de les parts literals.
3a · 5b=(3 · 5)·(a · b)=15ab
2
3
2
3
5x · 2x =(5 · 2)·( x · x )=10x
5
Exercicis 2 i 3 full monomis

5. Operacions amb monomis
c) La propietat distributiva:
Si tenim un factor multiplicant un parèntesi, podem aplicar la
propietat distributiva "distribuint" aquest factor a cada un dels termes
de l'interior del parèntesi.
3
3x ·(5x −2x)
3
3
3x ·(5x −2x)=3x ·5x −3x · 2x
3
4
3x ·5x −3x · 2x=15x −6x
2
Exercici 5 full monomis

5. Operacions amb monomis
d) Extracció de factor comú:
Extreure factor comú d'una expressió algebraica és aplicar la
propietat distributiva a la inversa: mirarem quins factors comuns
ténen cada un dels termes, i els "extraurem" a fora d'un parèntesi.
15x 4−6x 2
3 · 5· x · x · x · x−3 · 2 · x · x
3 · x · x ·(5 · x · x−2)
2
2
3x ·(5x −2)
Exercici 4 full monomis

6. Suma i resta de polinomis
a) Suma:
Per sumar o restar polinomis, només ens caldrà sumar o restar els
termes semblants. Els disposarem en columnes, de grau major a menor.
Exemple:
P ( x)=5x 3−1
P ( x )+ Q( x)
3
+
Q ( x)=7x 3−5x 2+ 3
5x
−1
3
2
7x −5x + 3
3
2
12x −5x + 2

6. Suma i resta de polinomis
b) Resta:
Cal recordar que restar és el mateix que sumar l'oposat. Així,
procedirem de la mateixa manera però sumant l'oposat del polinomi que
actua de subtrahend.
Exemple:
3
3
P ( x)=5x −1
P ( x)−Q ( x)
2
Q ( x)=7x −5x + 3
3
+
−1
5x
3
2
−7x + 5x −3
3
2
−2x + 5x −4
Exercici 21 pàg 67

7. Producte de polinomis
Per multiplicar polinomis els disposarem també en columnes
ordenades, multiplicant cada terme del primer polinomi per cada terme del
segon polinomi, i reduint finalment els termes semblants.
Exemple:
2
P ( x)=3x −2x+ 7
Q ( x)=3x−5
2
P ( x)· Q( x)
x
3x −2x+ 7
3x−5
2
−15x + 10x−35
3
2
9x −6x + 21x
3
2
9x −21x + 31x−35
Exercicis 26 i 27 pàg.68

8. Les identitats notables
a) Quadrat de la suma
2
2
2
(a+ b) =a + b + 2ab
Demostració:
2
(a+ b) =(a+ b)·(a+ b)=a · a+ a · b+ b · a+ b · b
2
2
a · a+ 1a · b+ 1a · b+ b · b=a + b + 2ab
Exemple:
2
2
2
2
2
(2x+ 3y) =(2x) + (3y) + 2 · 2x · 3y=4x + 9y + 12xy

8. Les identitats notables
b) Quadrat de la diferència
2
2
2
(a−b) =a + b −2ab
Demostració:
2
(a−b) =(a−b)·(a−b)=a · a+ a ·(−b)−b · a−b ·(−b)
2
2
a · a−a · b−a · b+ b · b=a + b −2ab
Exemple:
3
2
3 2
2
3
6
2
(2x −6x) =(2x ) + (6x) −2 · 2x · 6x=4x + 36x −24x
4

8. Les identitats notables
c) Suma per diferència
2
(a+ b)·(a−b)=a −b
2
Demostració:
(a+ b)·(a−b)=a · a+ a ·(−b)+ b · a+ b ·(−b)
2
a · a−1a · b+ 1a · b−b · b=a −b
2
Exemple:
2
2
2
( x+ 2y )·( x−2y)=( x) −(2y) = x −4y
2
Exercicis 30 pàg.69