1. Unitat 3: Proporcionalitat i percentatges
1. Raons i proporcions
2. Magnituds directament proporcionals
2.1 Mètode de reducció a la unitat
2.2 La regla de tres
3. Magnituds inversament proporcionals
3.1 Mètode de reducció a la unitat
3.2 La regla de tres inversa
4. Problemes de repartiments proporcionals
5. Problemes de proporcionalitat composta
6. Percentatges
6.1 Definició
6.2 Augments i disminucions
Interès bancari

2. 1. Raons i proporcions
-Una raó és el quocient indicat entre dos nombres ( = fracció)
"3 és a 4"
3
4
Les proporcions compleixen la propietat de les fraccions equivalents,
és a dir, en podem calcular un nombre desconegut.
-Una proporció és la igualtat entre dues raons
"3 és a 4 com 9 és a 12"
3
4
=
9
12
3
4
=
9
12
3 · 12 = 36
4 · 9 = 36
mitjans extrems
3
4
=
x
12
x=
3·12
4
=9
Exercici 72 / 3.2, 3.4, 3.5

3. 2. Magnituds directament proporcionals
-Una magnitud és una propietat que podem mesurar, i es poden
relacionar entre si.
x 3
Exemple: Les taronges van a 2,10 eur/kg. En vull comprar tres kg.
kg que
compro
1 kg 2 kg 3 kg 4 kg 5 kg
euros que
pago
2,10 eur 4,20 eur 6,30 eur 8,40 eur 10,50 eur
x 3
x 2
x 2
Cada parella de valors corresponents
es pot escriure com a raó
Dues parelles de valors corresponents
es poden escriure com a proporció
1
2,10
4
8,40
=
5
10,50

4. -En les magnituds directament proporcionals, si multipliquem pel mateix
nombre una parella de valors corresponents, n'obtenim una altra.
x 3
kg que
compro
1 kg 2 kg 3 kg 4 kg 5 kg
euros que
pago
2,10 eur 4,20 eur 6,30 eur 8,40 eur 10,50 eur
x 3
x 2
x 2
1
2,10
4
8,40
=
5
10,50
-En una taula de valors directament proporcionals, el quocient de dos valors
corresponents és constant. S'anomena constant de proporcionalitat.
2,10
1
=
4,20
2
=
6,30
3
=
8,40
4
=
10,50
5
=2,10

5. Exercicis: completar taules i dir constant de proporcionalitat
1 2 4 8 30
2,5 5 7,5 25 50
k =
1 2 3 4 5 8
1/2 1 3 6
k =
2 5 21 25
18 30 60 90
k = 3
Núm. cotxes circulant 1 2 10
m3
de CO2
emesos 5 15 200
k =
k =
k =
m2
cultivats 2 5 20
t de tomàquets prod. 20 100 1000
Diàmetre circumf. cm 1 2 4 5
Longitud circumf. cm 9,42 15,71

6. 2. Magnituds directament proporcionals
2.1 Mètode de reducció a la unitat
Exemple: Una aixeta de cabal constant aboca aigua en un dipòsit cilíndric.
Sabem que en 5 minuts el nivell de l'aigua ha pujat 20 cm. Quant puja el
nivell en 13 minuts?
Temps (minuts) 1 5 13
Nivell (cm) ? 20 ?
-El m.r.u. consisteix en calcular primer el
valor associat a la unitat, per trobar després
el valor que m'interessi
En 5 minuts: 20 cm
En 1 minut: 20 : 5 = 4 cm
En 13 minuts: 4 · 13 = 52 cm
R) En 13 minuts l'aigua ha pujat 52 cm al dipòsit.
Problemes 73, 74, 75

7. 2. Magnituds directament proporcionals
2.2 Mètode de la regla de tres
Exemple: Una aixeta de cabal constant aboca aigua en un dipòsit cilíndric.
Sabem que en 5 minuts el nivell de l'aigua ha pujat 20 cm. Quant puja el
nivell en 13 minuts?
Temps (minuts) 5 13
Nivell (cm) 20 ?
-La regla de tres consisteix en
resoldre una proporció incompleta.
Problemes 76 / 3.15-18
5
20
=
13
x
x=
13· 20
5
=52cm
5 min.
13 min.
20 cm
x cm
5
13
=
20
x
x=
13· 20
5
=52cm

8. 3. Magnituds inversament proporcionals
: 2
Exemple: Un ciclista que va a 20 km/h triga 30 minuts per anar de A a B.
Quant temps trigaran: un patinador a 10 km/h
un tractor a 40 km/h
un camió a 60 km/h
un cotxe a 100 km/h
Velocitat
(km/h)
20 10 40 60 100
Temps
(min)
30
x 2
x 10
: 10
: 3
x 3

9. : 2
Velocitat
(km/h)
20 10 40 60 100
Temps
(min)
30 60 15 10 6
x 2
x 10
: 10
: 3
x 3
-En les magnituds inversament proporcionals, si multipliquem (dividim)
un valor per un nombre, el seu valor corresponent queda dividit (multiplicat)
pel mateix nombre.
-En una taula de valors inversament proporcionals, el producte de dos valors
corresponents és constant. S'anomena constant de proporcionalitat inversa.
20·30=10·60=40·15=60·10=100·6=600
Exercicis 3.19-20

10. 3. Magnituds inversament proporcionals
3.2 Mètode de la regla de tres inversa
Exemple: Quatre operaris pinten una paret en 5 hores. Quant de temps
trigaran 10 operaris a fer la mateixa feina?
Núm. operaris 1 4 10
Temps (hores) ? 5 ?
Problemes 77-79
Fitxa regla de tres
4 operaris
10 operaris
5 hores
x hores
10
4
=
5
x
x=
5· 4
10
=2hores
3.1 Mètode de reducció a la unitat
4 operaris: 5 hores
1 operari: 5 · 4 = 20 hores de feina total a fer
10 operaris: 20 : 10 = 2 hores
Cal invertir una de les dues raons!

11. 4. Problemes de repartiments proporcionals
80. Tres amics han anat a comprar discos. Un dels amics ha comprat dos
discos, un altre tres, i el darrer cinc. Quant ha de pagar cadascú, si el lot
sencer val 180 euros i tots els discos valen el mateix?
Dades:
1r amic: 2 discos
2n amic: 3 discos
3r amic: 5 discos
10 discos en total
180 euros en total
Caldrà repartir proporcionalment el què ha de pagar cadascú
(qui més s'emporti, més pagarà)
1a operació: Sempre! càlcul del total

12. Operacions:
Problemes 82, 83 i 84
2
10
=
x
180
x=
180· 2
10
=36euros
Dades:
1r amic: (x) 2 discos
2n amic: (y) 3 discos
3r amic: (z) 5 discos
10 discos en total
180 euros en total
3
10
=
y
180
y=
180·3
10
=54euros
5
10
=
z
180
z=
180·5
10
=90 euros
Resposta:
Al primer amic li tocarà pagar 36 euros, al segon 54, i al tercer 90 euros.
"el qui s'emporta 2 de 10, paga x de 180"

13. 5. Problemes de proporcionalitat composta
Una rentadora industrial, treballant 8 hores diàries durant cinc dies, ha
rentat 1000 kg de roba. Quants quilos de roba rentarà en 12 dies si
treballa 10 hores diàries?
Dades:
Hores Dies Quilos
8 5 1000
10 12 x
Operacions:
-Treballant 8 hores diàries durant 5 dies renta 1000 kg
-Treballant 8 hores diàries durant 1 dia renta 200 kg
-Treballant 1 hora diària durant 1 dia renta 25 kg
-Treballant 10 hores diàries durant 1 dia renta 250 kg
-Treballant 10 hores diàries durant 12 dies renta 3000 kg
1000 : 5 = 200
200 : 8 = 25
25 · 10 = 250
250 · 12 = 3000

14. 5. Problemes de proporcionalitat composta
En resum:
1r: Identificar les magnituds
2n: Identificar quina magnitud és el resultat de les altres dues
3r: Col·locar les dades
4t: Reduir a la unitat
5è: Buscar dada desconeguda
Problemes 87, 88, 89, 90 i 91

15. 6. Percentatges
Exercici 93 i 94
De 8 tirats
De 100
5 anotats
x
23
100
x=
5·100
8
=62,5
6.1 Definició
23 %
a) Calcular el tant per cent d'un total:
0,23
23 % de 258
23
100
·258=59,34 0,23 · 258 = 59,34
Exercici 92
b) Calcular quin percentatge representa una part sobre un total:
"Encistello 5 tirs dels 8 que he tirat. Quin percentatge de tir tinc?"
%
8
100
=
5
x
5
8
·100=0,625·100=62,5 %
Exercici 103, 105

16. De 100
De x
20 han faltat
6 han faltat
x=
6·100
20
=30
c) Calcular un total a partir d'un percentatge:
"Avui han faltat a l'assaig 6 músics, que representen el 20% del total.
Quants músics hi ha a l'orquestra?"
músics
100
x
=
20
6
Exercicis 104, 107

17. 6. Percentatges
Exercici 95
6.2 Descomptes i augments
a) Disminuir una quantitat en un a% equival a calcular el (100 - a) %
"Si trec el 15%, he de calcular el 85% (100-15=85)”
b) Augmentar una quantitat en un a% equival a calcular el (100 + a) %
"Si afegeixo el 15%, he de calcular el 115% (100+15=115)”
Exercici 96, 97, 98, 100, 106, 108
c) Per calcular un augment o descompte, quan sé la quantitat inicial i final,
faré una regla de tres: “Abans costava 145 eur, ara 116. Quin és el desc.?”
145
100
116
x
x=
116·100
145
=80 %
Exercici 112
100 - 80 = 20 %

18. 6. Percentatges
d) Per calcular una quantitat prèvia a un augment o descompte, faré una
regla de tres: “Ara costa 116, m'han descomptat un 20%. Quant costava?”
x
100
116
80
x=
116·100
80
=145 euros
Exercici 113, 114, 118