Tema de matrius per a 2n de Batxillerat

1. Tema 6.1 (1): Matrius
1. Nomenclatura i classificació
2. Operacions amb matrius
3. El rang d'una matriu
4. Matrius inverses
5. Equacions matricials

2. 1. Nomenclatura i classificació
p10 1,2,3,4,5
element
Matrius iguals: mateixa dimensió i elements coincidents.
(
a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
... ... ... ... ...
am1 am2 am3 ... amn
) columna
fila
Dimensió: m x n
Tipus de matrius: matriu fila, matriu columna, matriu nul·la,
matriu quadrada d'ordre tal, matriu rectangular.

3. Tipus de matrius quadrades: matriu triangular superior, matriu
triangular inferior, matriu diagonal, matriu identitat o unitat (I).
p12 6,7,8,9
Matriu transposada At
: S'obté de canviar les files per les columnes.
Si A = (aij
), aleshores At
= (aji
)
p13 E6,10
Només en les matrius quadrades:
-Matrius simètriques: A = At
, per tant aij
= aji
-Matrius antisimètriques: -A = At
, per tant -aij
= aji
A=
(
a m n
m b v
n v c)
A=
(
a m n
−m b v
−n −v c)p13 E7 i 11

4. 2. Operacions amb matrius
p14 E8, E9, 12, 13 i 14
Suma i resta: A + B = C, essent cij
= aij
+ bij
Multiplicació per un nombre: k · A = C, essent cij
= k · aij
Multiplicació d'una matriu fila per una matriu columna:
(a11 a12 ... a1n )·
(
b11
b21
...
bn1
)=a11·b11+ a12·b21+ ...+ a1n ·bn1
p15E10,E11,15i16
(
b11
b21
...
bm1
)·(a11 a12 ... a1n )=
(
b11·a11 b11·a12 ... b11·a1n
b21 ·a11 b21 ·a12 ... b21 ·a1n
... ... ... ...
bm1·a11 bm1·a12 ... bm1·a1n
)
“El resultat té tantes files com files té el primer factor (el primer mana)”

5. 2. Operacions amb matrius
Multiplicació de dues matrius:
p16 17, 18, 19, E12, 20
full a part: 44,45,46,49,51,52,54,60,61
(c11 c12
c21 c22
)
-Només podrem multiplicar dues matrius si el nombre de columnes
de la primera coincideix amb el nombre de files de la segona.
-La resultant té tantes files com la primera i tantes columnes com la
segona.
-Atenció: en general, NO es presenta la propietat commutativa.
(5 −3 4
0 1 2)·
(
4 2
0 5
1 3)=
c11=5· 4+ (−3)·0+ 4·1=24
c21=0·4+ 1·0+ 2·1=2
c12=5· 2+ (−3)·5+ 4·3=7
c22=0·2+ 1·5+ 2·3=11
=(24 7
2 11)

6. 3. El rang d'una matriu
El rang d'una matriu és el nombre de files no nul·les linealment
independents. Sempre coincideix amb el nombre de columnes.
A=(5 −3 4
10 −6 8)
Exemples:
B=(−4 −4 0
0 3 −3)Rang(A) = 1 Rang(B) = 2
C=
(
2 0 3 −4
3 −5 2 3
8 −10 7 2 ) Rang(C) = 2 Ja que F1 = -2F2 + F3
No és immediat! MÈTODE DE GAUSS

7. Consisteix en transformar la matriu de tal manera que quedin 0
sota la diagonal. El rang serà el nombre de files no nul·les.
Mètode de Gauss per calcular el rang d'una matriu:
A=
(
0 −2 2 4
2 −1 −1 1
2 −2 0 3)
1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila
F3 – F1(
2 −1 −1 1
0 −2 2 4
2 −2 0 3) (
2 −1 −1 1
0 −2 2 4
0 −1 1 2)Canvi
fila
2n pas: Segona columna tot 0's menys la primera i segona files
(
2 −1 −1 1
0 −2 2 4
0 0 0 0)2F3 – F2
Rang(A) = 22 files no nul·les
p18 21, 22, 23, 24, 92, 93, 94

8. 4. Matrius inverses
Només poden tenir inversa, i del mateix ordre, les matrius
quadrades. Si la tenen parlem de matrius regulars o invertibles, en què
sempre Rang (A) = n; si no la tenen de matrius singulars.
A· A−1
=In
-Propietats:
A−1
· A=I n
(A−1
)−1
=A
(A· B)−1
=B−1
· A−1
(At
)−1
=(A−1
)t
p20 E16, 25!, 26, 27

9. 4. Matrius inverses
Trobar la matriu inversa: el mètode de Gauss-Jordan.
A=
(
2 −1 2
4 −3 −1
−6 4 −2) (
2 −1 2 1 0 0
4 −3 −1 0 1 0
−6 4 −2 0 0 1)
(
2 −1 2 1 0 0
0 −1 −5 −2 1 0
0 1 4 3 0 1)
1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's
menys segona fila, i així successivament fins que quedi una matriu diagonal.
F3 + 3F1
(a11=0)
F2 – 2F1
(
2 0 7 3 −1 0
0 −1 −5 −2 1 0
0 0 −1 1 1 1)F3 + F2
F1 – F2
(
2 0 0 10 6 7
0 −1 0 −7 −4 −5
0 0 −1 1 1 1 )F2 - 5F3
F1 + 7F3

10. (
2 −1 2 1 0 0
0 −1 −5 −2 1 0
0 1 4 3 0 1)
1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's
menys segona fila, i així successivament fins que quedi una matriu diagonal.
F3 + 3F1
F2 – 2F1
(
2 0 7 3 −1 0
0 −1 −5 −2 1 0
0 0 −1 1 1 1)F3 + F2
F1 – F2
(
2 0 0 10 6 7
0 −1 0 −7 −4 −5
0 0 −1 1 1 1 )F2 - 5F3
F1 + 7F3
2n pas: Quan la matriu inicial està en format diagonal, la transformem en la
matriu identitat.
(
1 0 0 5 3 7/2
0 1 0 7 4 5
0 0 1 −1 −1 −1 )- F2
1/2F1
- F3
p21 28, 29

11. 5. Equacions matricials
a) Tipus AX = B
AX =B
Identitat
A
−1
· AX =A
−1
· B X =A
−1
· B
b) Tipus XA = B
XA=B
Identitat
XA· A
−1
=B· A
−1
X =B· A
−1
c) Tipus AX + B = C
AX + B=C
Identitat
A
−1
· AX =A
−1
·(C−B)
X =A
−1
·(C−B)
AX =C−B
p22 SF, 30, 31, 32, 33, operació sele10