3.Arrels
a) Definició d'arrel
b) Solucions d'una expressió radical
c) Radicals equivalents
d) Potències d'exponent fraccionari
e) Propietats dels radicals
-Producte
-Quocient
-Potència
-Arrel
f) Extracció de factors

a) Definició d'arrel
Índex
Arrel (solució)
n
√ a=b
Radical
Radicand
-L'índex n és sempre un nombre natural
-Si no hi ha valor, vol dir que n=2 i parlem d'arrel quadrada
-Si n=3 parlem d'arrel cúbica
-Si n=4 parlem d'arrel quarta, si n=5 parlem d'arrel cinquena, etc.

a) Definició d'arrel
n
√ a=b
si es compleix que
= 3 i -3
√9
√ 36 = 6 i -6
3
√ 27 = 3
n
b =a
ja que
3 · 3 = 32 = 9
ja que
6 · 6 = 62 = 36
ja que
3 · 3 · 3 = 33 = 27
Exercici 1 fitxa d'arrels

b) Solucions d'una expressió radical
-Si l'índex és parell i el radicand positiu:
√ 36=+ 6
√ 36=−6
DUES SOLUCIONS: Una positiva i una negativa
-Si l'índex és parell i el radicand negatiu:
√ −9=∅
CAP SOLUCIÓ: Un nombre per ell mateix mai pot donar negatiu
-Si l'índex és senar:
3
√ 8=2
3
√ −8=−2
g.30
3 pà fitxa
1
i c i ci ci 2
xerc xer
E
E
UNA ÚNICA SOLUCIÓ. Si el radicand és positiu l'arrel serà
positiva, i si és negatiu serà negativa

c) Radicals equivalents
4
√ 4=±2
5
√ 16=±2
√ 32=2
-Si dos radicals tenen la mateixa arrel (solució), diem que
són equivalents o iguals
4
5
√ 4=√ 16= √ 32
Fixem-nos que:
4
5
√ 2 = √ 2 =√ 2
2
4
5
·2,5
·2
4
5
√ 2 = √ 2 =√ 2
2
4
5
Per passar d'un radical a l'altre estem multiplicant l'índex i
l'exponent del radicand pel mateix nombre

c) Radicals equivalents
És a dir:
Si multipliquem o dividim l'índex d'un radical i l'exponent del
radicand per un mateix nombre natural, obtindrem un radical
equivalent.
n
√a
3
3·3
√7 = √7
4
2
4 ·6
√ 3= √ 3
2· 3
1· 6
m
=
n· p
√a
m· p
9
6
√5 = √5
=√ 5
24
6
10
15/5
=√ 7
=√3
3
√2
15
2· 2
=
3· 2
10/5
√2
4
6
2
=√ 2
3
Exercici 3 fitxa
Exercicis 14, 15 i 16 pàg.30

d) Potències d'exponent fraccionari
1
2
1
2 2
9 =(3 ) =3
i sabem que:
per tant:
2·
1
2
2
2
=3 =3
√ 9=3
√ 9=9
1
2
Una potència d'exponent fraccionari és igual a un radical que té
com a índex el denominador de la fracció, i com a radicand la
base elevada al numerador.
fitxa
4
m
cici àg.31
xer 9 p
n m
E ,1
n
7
a =a
s1
i
rcic
1
3
2
Exe
√
5
√ 2 =2
3
5
7
√ 5 =5
2
7
11
√ 7=7
11

e) Propietats dels radicals
-El producte de radicals del mateix índex és un altre radical que
té com a índex l'índex comú, i com a radicand el producte dels
radicands.
n
n
n
√ a · √ b=√ a · b
3
3
3
3
√ 2 · √ 5=√ 2 · 5=√ 10
-El quocient de radicals del mateix índex és un altre radical que
té com a índex l'índex comú, i com a radicand el quocient dels
radicands.
n
n
n
√ a : √ b=√ a : b
5
5
5
5
√ 45 : √ 9=√ 45 :9=√ 5

e) Propietats dels radicals
-La potència d'un radical és un altre radical que té el mateix
índex i com a radicand la potència del radicand del primer.
m
n
( √ a) = √ a
n
m
4
4
3
( √ 23) = √ 23
3
-El radical d'un radical és un altre radical de mateix radicand que
té com a índex el producte dels índexs.
m n
√ √ a= √ a
m·n
3 4
√ √ 7=
3· 4
12
√ 7= √ 7
Exercici 5 fitxa
Exercicis 22 pàg.32
Exercicis 45 i 46 pàg.37

f) Extracció de factors
=
√ 108
√ 2 ·3
2
108
54
27
9
3
1
3
Aplicant la propietat del producte de radicals:
2
2
3
3
3
√ 2 · 3 =√ 2 · √ 3 =√ 2 · √ 3 · 3 =√ 2 · √ 3 · √ 3
2
3
2
3
2
2
1
2
2
Passant els radicals a potència d'exponent fraccionari:
√ 2 · √ 3 · √ 3=2
2
És a dir:
2
2
2
√ 108=6· √ 3
2
2
· 3 · √ 3=2· 3 · √ 3=6· √ 3
Hem tret fora del radical tots els
factors possibles per a obtenir
un radicand més senzill.

2
g.3
à
f) Extracció de factors
1 p g.32
ici 2 4 pà txa
c
xer ici 2 i 6 fi
Passos a seguir per extreure factors d'un radical:E xerc rcic
E Exe
1r: Descomposar en producte de factors el radicand
3
3
√ 432= √ 2 · 3
4
3
2n: Agrupar el factors en potències d'exponent igual a l'índex
del radical
3
√2
4
3
· 3 =√ 2 · 2 · 3
3
3
1
3
3r: Per simplificació, les bases de les potències d'exponent
igual a l'índex, s'extreuen fora de l'arrel
3
3
3
√ 2 · 2 · 3 =2 · 3 · √ 2=6 · √ 2
3
1
3