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ONEM 2010: Fase N°4- Nivel 2

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  1. 1. Ministerio OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEM´ATICA Sociedad Matem´atica de Educaci´on (ONEM 2010) Peruana Cuarta fase - Nivel 2 07 de noviembre de 2010 - La prueba tiene una duraci´on m´axima de 4 horas. - No est´a permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros. - Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso. - Entrega solamente el cuadernillo de soluciones. - Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas. Problema 1. En Duendelandia, cada duende es veraz o mentiroso. Un duende veraz siempre dice la verdad y uno mentiroso siempre miente. En cierta ocasi´on 10 duendes estaban formando una ronda (de esta forma cada uno tiene dos vecinos: el de la derecha y el de la izquierda) y cada duende dijo ((Ninguno de mis vecinos es veraz)). ¿Cu´al es la mayor cantidad de duendes mentirosos que puede haber en la ronda? Problema 2. Los enteros positivos a < b < c son tales que los n´umeros a + b, a + c y b + c son cuadrados perfectos. ¿Cu´al es el menor valor que puede tomar c? Problema 3. En cada cuadradito de la siguiente expresi´on se escribe uno de los n´umeros 2, 4, 5, 6, 7 en alg´un orden y sin repetir para obtener una ecuaci´on de cuarto grado: x4 + x3 + x2 + x + = 2010. Se sabe que, en cualquier orden en que se escriban esos n´umeros, la ecuaci´on resultante tiene exactamente una ra´ız positiva. a) ¿En qu´e orden deben escribirse los coeficientes para que la ra´ız correspondiente sea m´axima? b) ¿Es posible escribir los coeficientes en alg´un orden para que la ra´ız correspondi- ente sea un n´umero entero? 1
  2. 2. Problema 4. Sea n un entero positivo. Un hex´agono regular de lado n es dividido en 3n2 rombos formados por dos tri´angulos equil´ateros de lado 1, como el que se muestra a continuaci´on: 1 1 1 1 Demuestra que siempre es posible encontrar 3 de estos rombos que formen un hex´agono regular de lado 1. Ejemplo. En la siguiente figura se muestra un hex´agono regular de lado 2 que ha sido cubierto con 12 rombos, y los 3 rombos sombreados forman un hex´agono regular de lado 1. 2

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