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3er. año arit -guía 5 - potenciación y radicación de numermb

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POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN EL
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN EL
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ARITMÉTICA – 3ER. AÑO
 POTENCIACIÓN
Es el producto abreviado de un mismo número real
mediante una cantidad determinada de veces.
Así:
  
veces"n"
ax...axaxaxa
Donde se tiene:
a ⇒ base real
n ⇒ exponente entero
P ⇒ potencia real
∗ POTENCIA DE BASE REAL Y EXPONENTE
NATURAL:
Si an
, es una potencia donde n ∈ N, tenemos que:
OBSERVACIÓN:
En potenciación, el exponente natural “n” nos
indica la cantidad de veces que se repite la base
“a” real como factor.
Ejemplo:
1) (-3)2
= (-3) (-3) = 0
2) (-2,5)3
= (-2,5) (-2,5) (-2,5) = -15,625
♦ PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN DE
NÚMERO REALES:
1. Multiplicación de potencias de bases
iguales:
Ejemplo:
• 5
3 .
7
3 = 75
3
+
= 12
3
• (-3)8
. (-3)12
= (-3)8 + 12
= (-3)20
2. División de potencias de bases iguales:
o
Casos Particulares:
i) Si m = n, entonces:
Toda potencia de base real distinta
de cero y exponente NULO es igual a
1.
ii) Si m = 0, entonces:
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003 66
an
= P
an
=
  
aveces"n"
ax......xaxaxa
am
. an
= am + n
am
. an
= am - n
n
m
a
a
= am - n
n
m
a
a
= am – n
= a0
= 1
n
0
a
a
= a0 – n
= a-n
= n
a
1
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 5 TERCER AÑO
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ARITMÉTICA – 3ER. AÑO
3. Potencia de una multiplicación:
Ejemplo:
• ( )3
33
5.
7
1
5.
7
1






=





• ( )
5
5
5
3
1
2
3
1
.2 





=





4. Potencia de una División:
Ejemplo:
•
5
55
3
2
3
2
=








•
( )
23
22
3
3
36,0
3
36,0
=





5. Potencia de potencia:
Ejemplo:
• ( )[ ] 32
5,0 = (0,5)6
•
30
325
77 =












 RADICACIÓN
Es la operación inversa a la potenciación. En ella se
conoce la potencia y el exponente, debiendo hallar
la base.
Es decir:
Donde:
n : es el índice ; n ∈ N ; n ≥ 2
a : es el subradical o radicando; a ∈ R
: es el operador radical
r : es la raíz ; r ∈ R
Ejemplo:
3
8− = -2 ⇒ (-2)3
= -8
♦ SIGNOS DE RADICACIÓN:
1)
impar
A+ = + r
Ejemplo: 3
27+ = + 3
2)
impar
A+ = - r
Ejemplo: 5
32− = -2
3)
par
A+ = + r
Ejemplo: 81+ = 9
4) par
A+ = ∉ R
I. Efectuar las siguiente operaciones de
Potenciación y Radicación.
1) (-1/2 + 7)-2
+ 1050
=
2)
0
7 + (5/3)-1
+ (2/3)-1
=
3) [5/3]2 2
5
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 200367
(a . b)n
= an
. bn
n
b
a





 =
n
n
b
a
( )
p
nm
a 





= am – n - p
n
a = r ⇒ rn
= a
Ejercicios de
aplicación
Ejercicios de
aplicación
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ARITMÉTICA – 3ER. AÑO
4) (2 3 )2
( )
1805
7438












=
5) ( ) ( )[ ] 22
)2/1(3523 −
+ =
6) 33
88/1 −+ =
7) 4
16− =
8) 64− =
9) 35
6432 +− =
10) 33
278 −−− =
11)
021618
75:5 +




=
12)
117
3:3 =
13) ( ) ( ) 02
15750.2/10 +
−
=
14) (0,42)5
(0,42)10
=
15) [ ]
232
)5,2(






=
16) 3
27 + 1 =
17) 5
0
3217 +





=
18) 3 125,025,0 + =
19) 0
1271316 +−+ =
20) 3
27100 −+ =
II.Efectuar las siguientes operaciones combinadas
en R :
1) [ ] 323
8)2( −+− =
2) 32
12
2
−+ =
3) ( ) 322
12 −+ =
4) [ ]
1
25,0
02,15*25,7
−
− =
5) [ ]( )
225,02
3






=
6) [ ]( ) 035,02
5272 +−−− =
7) (-7)0
- 70
8) (1/2)-2
+ 5
32− - 30
9) (0,2) -2
-
02
23
264 +− =
10) ( ) [ ]
1
2 )2,0(57233
62,5222
−
−
+−
11) ( ) 5,0225
323
10
+− =
12) 04353
)3(88 +−−
−
=
13) ( ) 4
5033
1622
68
+


− =
14)
1
2 25
53
38
−



+− =
15) 1
)5,0(2
)2/1(3
1
−
−
+








−
=
16)
0550
171157510
2:323243 




−+ =
17) [ ] 1623
)2/1(648
02
−
++− =
18) ( ) ( )
1
)125,0(81
155
−
−−
++ π =
19) 253
)4/1(322
870
−
−−+ =
20) ( ) 1
2
2
7/1
8
1
5
13017
−
−
−




 −
+ =
I. Efectuar:
1)
6054
16
−
−
a) 1 b) 2 c) 4
d) 6 e) 8
2)
052)9(
−
−
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003 68
Tarea
DomiciliariaNº 5
Tarea
DomiciliariaNº 5
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ARITMÉTICA – 3ER. AÑO
a) 1 b) –1 c) 2
d) 3 e) ∄
3) [ ]
38083
27/1
−
−−
−
a) 2 b) –1 c) 1
d) –2 e) 3
4) (1/3) –1
+ (1/2) –1
+ (1/7) –1
a) 7 b) 10 c) 12
d) 15 e) 16
5) (1/2) -1
+ (1/8) –1
– (1/4) –1
a) 2 b) 1 c) 7
d) 6 e) 4
6) Simplificar: 2n+5
: 2n
a) 16 b) 2 c) 8
d) 1 e) 32
7) Reducir: mm2
5:5 +
a) 1 b) 5 c) 10
d) 25 e) 12
8) Dar la mitad de: [3n+1
x 2] : 3n
a) 3 b) 1 c) 6
d) 2 e) 9
9) Hallar la raíz cuadrada de M si:
M = [10n -2
] –1
x 10n
a) 100 b) 10 c) 8
d) 2 e) 5
10) Efectuar: 60 595 6
3x3
a) 2 b) 1 c) –10
d) 3 e) 5
11) Calcular P10
sabiendo que:
P = ( ) ( ) 09
326
25x5 


 −
a) 2 b) 0 c) –1
d) 1 e) 5
12) ¿Cuánto debemos aumentar a “x” para que se
anule?
x = 8 7
2x2
a) 1 b) –1 c) 2
d) 0 e) No se puede
13) Efectuar: 345
16:16
a) 1/2 b) 0 c) –1
d) 1 e) 2
14) Reducir: 2a
a5a
2x4
2x4*2
−
+
a) 32 b) 4 c) 28
d) 36 e) 18
15) Reducir: 1mm
m1m
2x4
8x28x7
+
+
−
a) 3 b) 18 c) 28
d) 56 e) 27
16) Efectuar: R =
[ ]
0621616
81/1
−−−−
a) 9 b) 2 c) 3
d) 1 e) 81
17) Simplificar:
[ ]
3
3
9
3
132
)9/8()3/2()5/4(8
−






−−−
−−
a) 2 b) 1 c) –4
d) 6 e) 8
18) Hallar la séptima parte de:
07242
−
a) 7 b) 2 c) 1
d) 3 e) 5
19) Calcular la mitad de:
052
)36/1(
−−
a) 6 b) 3 c) 1
d) 1,5 e) 8
20) Efectuar:
07865
)7/1(







 −−−−
a) 6 b) 5 c) –1
d) 2 e) 1
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 200369

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3er. año arit -guía 5 - potenciación y radicación de numermb

  • 1. POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ARITMÉTICA – 3ER. AÑO  POTENCIACIÓN Es el producto abreviado de un mismo número real mediante una cantidad determinada de veces. Así:    veces"n" ax...axaxaxa Donde se tiene: a ⇒ base real n ⇒ exponente entero P ⇒ potencia real ∗ POTENCIA DE BASE REAL Y EXPONENTE NATURAL: Si an , es una potencia donde n ∈ N, tenemos que: OBSERVACIÓN: En potenciación, el exponente natural “n” nos indica la cantidad de veces que se repite la base “a” real como factor. Ejemplo: 1) (-3)2 = (-3) (-3) = 0 2) (-2,5)3 = (-2,5) (-2,5) (-2,5) = -15,625 ♦ PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN DE NÚMERO REALES: 1. Multiplicación de potencias de bases iguales: Ejemplo: • 5 3 . 7 3 = 75 3 + = 12 3 • (-3)8 . (-3)12 = (-3)8 + 12 = (-3)20 2. División de potencias de bases iguales: o Casos Particulares: i) Si m = n, entonces: Toda potencia de base real distinta de cero y exponente NULO es igual a 1. ii) Si m = 0, entonces: COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003 66 an = P an =    aveces"n" ax......xaxaxa am . an = am + n am . an = am - n n m a a = am - n n m a a = am – n = a0 = 1 n 0 a a = a0 – n = a-n = n a 1 NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 5 TERCER AÑO
  • 2. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ARITMÉTICA – 3ER. AÑO 3. Potencia de una multiplicación: Ejemplo: • ( )3 33 5. 7 1 5. 7 1       =      • ( ) 5 5 5 3 1 2 3 1 .2       =      4. Potencia de una División: Ejemplo: • 5 55 3 2 3 2 =         • ( ) 23 22 3 3 36,0 3 36,0 =      5. Potencia de potencia: Ejemplo: • ( )[ ] 32 5,0 = (0,5)6 • 30 325 77 =              RADICACIÓN Es la operación inversa a la potenciación. En ella se conoce la potencia y el exponente, debiendo hallar la base. Es decir: Donde: n : es el índice ; n ∈ N ; n ≥ 2 a : es el subradical o radicando; a ∈ R : es el operador radical r : es la raíz ; r ∈ R Ejemplo: 3 8− = -2 ⇒ (-2)3 = -8 ♦ SIGNOS DE RADICACIÓN: 1) impar A+ = + r Ejemplo: 3 27+ = + 3 2) impar A+ = - r Ejemplo: 5 32− = -2 3) par A+ = + r Ejemplo: 81+ = 9 4) par A+ = ∉ R I. Efectuar las siguiente operaciones de Potenciación y Radicación. 1) (-1/2 + 7)-2 + 1050 = 2) 0 7 + (5/3)-1 + (2/3)-1 = 3) [5/3]2 2 5 COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 200367 (a . b)n = an . bn n b a       = n n b a ( ) p nm a       = am – n - p n a = r ⇒ rn = a Ejercicios de aplicación Ejercicios de aplicación
  • 3. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ARITMÉTICA – 3ER. AÑO 4) (2 3 )2 ( ) 1805 7438             = 5) ( ) ( )[ ] 22 )2/1(3523 − + = 6) 33 88/1 −+ = 7) 4 16− = 8) 64− = 9) 35 6432 +− = 10) 33 278 −−− = 11) 021618 75:5 +     = 12) 117 3:3 = 13) ( ) ( ) 02 15750.2/10 + − = 14) (0,42)5 (0,42)10 = 15) [ ] 232 )5,2(       = 16) 3 27 + 1 = 17) 5 0 3217 +      = 18) 3 125,025,0 + = 19) 0 1271316 +−+ = 20) 3 27100 −+ = II.Efectuar las siguientes operaciones combinadas en R : 1) [ ] 323 8)2( −+− = 2) 32 12 2 −+ = 3) ( ) 322 12 −+ = 4) [ ] 1 25,0 02,15*25,7 − − = 5) [ ]( ) 225,02 3       = 6) [ ]( ) 035,02 5272 +−−− = 7) (-7)0 - 70 8) (1/2)-2 + 5 32− - 30 9) (0,2) -2 - 02 23 264 +− = 10) ( ) [ ] 1 2 )2,0(57233 62,5222 − − +− 11) ( ) 5,0225 323 10 +− = 12) 04353 )3(88 +−− − = 13) ( ) 4 5033 1622 68 +   − = 14) 1 2 25 53 38 −    +− = 15) 1 )5,0(2 )2/1(3 1 − − +         − = 16) 0550 171157510 2:323243      −+ = 17) [ ] 1623 )2/1(648 02 − ++− = 18) ( ) ( ) 1 )125,0(81 155 − −− ++ π = 19) 253 )4/1(322 870 − −−+ = 20) ( ) 1 2 2 7/1 8 1 5 13017 − − −      − + = I. Efectuar: 1) 6054 16 − − a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 2) 052)9( − − COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003 68 Tarea DomiciliariaNº 5 Tarea DomiciliariaNº 5
  • 4. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ARITMÉTICA – 3ER. AÑO a) 1 b) –1 c) 2 d) 3 e) ∄ 3) [ ] 38083 27/1 − −− − a) 2 b) –1 c) 1 d) –2 e) 3 4) (1/3) –1 + (1/2) –1 + (1/7) –1 a) 7 b) 10 c) 12 d) 15 e) 16 5) (1/2) -1 + (1/8) –1 – (1/4) –1 a) 2 b) 1 c) 7 d) 6 e) 4 6) Simplificar: 2n+5 : 2n a) 16 b) 2 c) 8 d) 1 e) 32 7) Reducir: mm2 5:5 + a) 1 b) 5 c) 10 d) 25 e) 12 8) Dar la mitad de: [3n+1 x 2] : 3n a) 3 b) 1 c) 6 d) 2 e) 9 9) Hallar la raíz cuadrada de M si: M = [10n -2 ] –1 x 10n a) 100 b) 10 c) 8 d) 2 e) 5 10) Efectuar: 60 595 6 3x3 a) 2 b) 1 c) –10 d) 3 e) 5 11) Calcular P10 sabiendo que: P = ( ) ( ) 09 326 25x5     − a) 2 b) 0 c) –1 d) 1 e) 5 12) ¿Cuánto debemos aumentar a “x” para que se anule? x = 8 7 2x2 a) 1 b) –1 c) 2 d) 0 e) No se puede 13) Efectuar: 345 16:16 a) 1/2 b) 0 c) –1 d) 1 e) 2 14) Reducir: 2a a5a 2x4 2x4*2 − + a) 32 b) 4 c) 28 d) 36 e) 18 15) Reducir: 1mm m1m 2x4 8x28x7 + + − a) 3 b) 18 c) 28 d) 56 e) 27 16) Efectuar: R = [ ] 0621616 81/1 −−−− a) 9 b) 2 c) 3 d) 1 e) 81 17) Simplificar: [ ] 3 3 9 3 132 )9/8()3/2()5/4(8 −       −−− −− a) 2 b) 1 c) –4 d) 6 e) 8 18) Hallar la séptima parte de: 07242 − a) 7 b) 2 c) 1 d) 3 e) 5 19) Calcular la mitad de: 052 )36/1( −− a) 6 b) 3 c) 1 d) 1,5 e) 8 20) Efectuar: 07865 )7/1(         −−−− a) 6 b) 5 c) –1 d) 2 e) 1 COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 200369