Modulo de ingreso matematica 2015

I.S.F.D “INSP. PROF. ALBINO SANCHEZ BARROS”
CICLO LECTIVO 2015
Módulo para Curso de Preparación para Ingreso
Profesorado en MATEMÁTICA

I.S.F.D. “INSP. PROF. ALBINO SANCHEZ BARROS”
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ÍNDICE
BIENVENIDA ..................................................................................................... 2
DATOS INSTITUCIONALES. AUTORIDADES. ORGANIGRAMA. UBICACIÓN............................ 3
ORGANIZACIÓN DEL CURSO INTRODUCTORIO ............................................................ 5
REQUISITOS DE INGRESO ...................................................................................... 5
CRONOGRAMA .................................................................................................. 6
INICIO DEL CURSO DE PREPARACIÓN PARA INGRESO 2014
OBJETIVOS GENERALES DEL CURSO ................................................................... 7
EJE: FORMACIÓN PEDAGÓGICA ....................................................................... 8
EJE: CONTENIDOS DISCIPLINARES ..................................................................... 9

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Bienvenido/a Ingresante:
A modo de bienvenida, querido estudiante, te seleccionamos este pequeño texto para que reflexiones sobre tu decisión a estudiar y deseamos que sean provechosos todos estos años en esta institución, tu casa desde ahora.
Vida Intelectual "El genio es fruto de una larga paciencia, pero una paciencia organizada, inteligente. No hay necesidad de facultades extraordinarias para realizar una obra; un término medio calificado es suficiente; la demás es provisto por la energía y sus sabias aplicaciones. Y así vemos el caso de un obrero probo, ahorrador y fiel al trabajo: este triunfa. En tanto, un genio enfatuado fracasa. Lo que digo sobre esto, vale para todos; empero la aplico especialmente a quienes disponen solamente de una parte de su vida, la menor, para dedicarse a las trabajos de la inteligencia. Estos, más que otros, deben ser consagrados. Lo que más vale es la voluntad; una voluntad ardiente y profunda, una voluntad dispuesta a triunfar, a ser alguien; a llegar a algo; ser ya por deseo, ese alguien calificado por su ideal. Todo lo demás tiene arreglo. Libros existen en todas partes. Los grandes seres están siempre presentes y desde su pasado animan al pensador entusiasta. Cuando se experimentan sentimientos tales, no importa dónde se está y de que se dispone. Uno está marcado con el sello; es un elegido por el Espíritu; no hay más que perseverar y confiar en la vida tal cual Dios la organiza." Jacques Maritain Del libro “Introducción a la Filosofía” Ed: Club de Lectores – Bs As 1999 .

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Datos institucionales. Autoridades. Organigrama. Ubicación.
El Instituto de Formación Docente “Prof. Insp. Albino Sánchez Barros” se encuentra ubicado enAvda. Facundo Quiroga N° 256-B° Ferroviario, provincia de La Rioja. Teléfono 380 – 4425904.
Rector: Prof. NAVARRO SANTA ANA, Alejandro
Vice Rectora: Prof. SIMONE, María Haydée

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Organización del Curso Introductorio
El Cursillo Introductorio se organiza en dos ejes; relacionados con la formación docente en general y otro con el abordaje del objeto de conocimiento específico de cada carrera, es decir, orientado Octubre y el 30 de Noviembre de 2013 y cerrará con una evaluación integradora para cada eje.
hacia la formación disciplinar. El Curso tendrá una duración de 1 mes a desarrollarse entre el ……. y cerrará con una evaluación integradora para cada eje.
Los dos ejes están repartidos entre los distintos encuentros:
 Eje 1: Formación Pedagógica
 Eje 2: Contenidos Disciplinares

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Requisitos de Ingreso
El curso se asienta fundamentalmente sobre la modalidad semi-presencial: dictándose clases teóricas presenciales obligatorias - dado que uno de los objetivos del curso es familiarizar con las formas de trabajo habituales de la carrera elegida - con resolución de actividades individuales y/o grupales a través de:
 Material impreso, con corrección mediante respuestas al final del módulo.
 Internet (uso de correo electrónico, plataformas educativas, blogs educativos, redes
sociales).
Para tu inscripción a los espacios curriculares de primer año en cada una de las carreras que ofrece el I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros”, se requiere:
 La aprobación de una evaluación integradora – por cada eje temático - con calificación 6 o
superior.
 Asistencia el 70% a las clases presenciales obligatorias.
Tendrás la posibilidad de una instancia de recuperatorio en caso de que no hayas alcanzado las capacidades planificadas cuando no se hubiera cubierto el cupo establecido de alumnos por carrera.
Inicio del Curso de Preparación para Ingreso 2014
Objetivos Generales del Curso:
 Presentar a los ingresantes los lineamientos generales y las incumbencias profesionales
correspondientes a la carrera en que se inscriban.
 Acompañar al postulante durante el proceso de preparación para rendir el examen y
brindarle herramientas de estudio, que le permitan afianzar los contenidos académicos
requeridos para ingresar a cada carrera, permitiendo una mejor articulación entre la escuela
media y el nivel terciario.
 Posibilitar la conformación de lazos sociales y afiliación al interior de la institución.

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Comencemos este recorrido …
En este eje abordaremos
Objetivos por capacidades
Actividades propuestas
Eje 1
•Formación Pedagógica

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En este eje abordaremos
 Aritmética y Algebra
 Geometría
Objetivos por capacidades
 Reflexionar sobre el perfil del egresado y las características de la carrera.
 Reconocer las distintas representaciones de la cantidad y propiedades.
 Operar numéricamente en cualquier campo numérico.
 Manejar las propiedades y trasformaciones numérica en cualquier campo.
 Reconocer propiedades de las formas bidimensionales y tridimensionales
 Calcular el perímetros, áreas cualquier polígono como así también el volumen de cuerpos
Símbolos Matemáticos1
Las matemáticas se valen de un dialecto o lenguaje coloquial para expresarse en forma concisa, abreviada e universal. Este lenguaje en algunos casos se compone de letras griegas y otras veces de diversos símbolos universales. El porqué de este lenguaje único de las matemáticas podría ser para darle un carácter universal, es decir, darle entendimiento en cualquier lugar sea cual sea el idioma que se hable.
1 Extraído de : matema-tic.blogspot.com
Eje 2
•Contenidos Disciplinares

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Muchos de los gráficos que contiene este módulo fuero hechos con el software GeoGebra. Este software se puede descargar gratuitamente desde la siguiente página web:
http://www.geogebra.org
Muchos de los videos recomendados en este módulo son de la página web www.Math2me.com

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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
REVISIÓN DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Y SUS OPERACIONES
1. Introducción
Aún en las etapas más primitivas de la evolución humana se encuentra en el Hombre el sentido del número. Esta capacidad le permite a él reconocer lo que ha cambiado en un conjunto de elementos, por ejemplo, si se ha extraído o añadido algún objeto.
¿Cómo pudo un hombre, hace 5000 años, saber que en su rebaño no faltaba ninguna de sus 41 ovejas, si ni siquiera sabía contar hasta 10?
Una simple solución es la siguiente: llevaba consigo tantas piedritas como ovejas, y al terminar la jornada guardaba por cada oveja una piedrita en su bolsa; si sobraba alguna sabía que debía buscar una oveja. Establecía una correspondencia biunívoca entre dos conjuntos de objetos.
Mucho tiempo después, los romanos usaron también piedritas para hacer sus cálculos; la palabra “cálculo” significa etimológicamente piedra, y de ahí el origen de la palabra calcular. La actividad de contar y la necesidad de simplificar la tarea de hacer cálculos, implicó la necesidad de utilizar símbolos escritos para representar lo que se había contado. Fue así que surgieron los distintos sistemas de numeración. A través de la historia se han usado distintos sistemas, y en cada uno de ellos cada número se representa como una combinación de símbolos. En algunos casos los símbolos representan cantidades y una combinación de símbolos representa la suma de estas cantidades; estos sistemas emplean una descomposición aditiva.
En otros casos, como el sistema decimal actual, importa la ubicación del símbolo en la representación del número. Por ejemplo, 21 significa veintiuno, mientras que 12 significa doce. Estos sistemas se llaman posicionales. Algunas culturas usaron una base de 20 símbolos, otros de 60, pero el sistema de numeración que ha predominado y es el que actualmente usamos tiene base 10, y por eso se llama decimal. Eso significa que podemos escribir números arbitrariamente grandes con tan sólo diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Así es como el número 10 ha dejado sus marcas en nuestra forma de contar y en las palabras para nombrar los números. Así por ejemplo “dieciséis” está compuesto por las palabras “diez” y “seis”, “treinta” hace alusión a “tres” veces 10.
La característica fundamental de este sistema de numeración está centrada entonces en la posición que el número ocupa:
Así el número 111, cada una de las cifras –que son iguales- tiene un valor absoluto que es el mismo y un valor relativo a la posición que ocupa:
1
1
1
Representa
1 unidad
Representa 1 decena, es decir 10 unidades
Representa 1 centena que equivale a 10 decenas y a 100 unidades

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Los números que se usan para contar se llaman números naturales: 1, 2, 3,.... Fueron los primeros números
que aparecieron en la historia de las matemáticas. Luego se agregó el 0 como una forma de representar lo
que no hay, los números negativos para poder resolver todas las restas, las fracciones para resolver todas las
divisiones, también los números irracionales y los imaginarios. De esta manera quedaron definidos los
distintos conjuntos numéricos: los naturales, los enteros, los racionales, los reales y los complejos.
Haremos, en este curso, un recorrido por los distintos conjuntos, justificando brevemente la necesidad de
construirlos.
2. Números naturales
2.1. Nociones básicas
Los números naturales son, tal como los conocemos, 1, 2, 3, 4, 5,. . . infinitos.
Llamamos N al conjunto de los números naturales, es decir:
N = { 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Estos números se usan a diario para contar. Matemáticamente, contar significa decir cuántos elementos
tiene un conjunto. Por ejemplo, el conjunto {a, b, c, d} tiene 4 elementos. ¿Cuántos elementos tiene el
conjunto vacío? Como el conjunto vacío no posee ningún elemento, necesitamos un símbolo nuevo que
represente la cantidad de elementos de este conjunto. Este símbolo es el 0. Llamamos N al conjunto de los
números naturales con el cero, o sea:
N0 = N  {0} = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
2.2. Propiedades
 Es un conjunto infinito, totalmente ordenado por la relación de menor o igual
( ≤ ).
 Tiene primer elemento, el número 1.
 No tiene último elemento, es un conjunto infinito.
 Todo número natural tiene un siguiente.
 Entre dos números naturales consecutivos no hay ningún número natural y entre dos naturales no
consecutivos hay un conjunto finito de números naturales, por eso es un conjunto discreto.
2.3. Operaciones
El conjunto de los números naturales tiene dos operaciones importantes: la suma y el producto. Ambas son
operaciones asociativas y conmutativas. El 1 es el neutro para el producto, y la suma no tiene elemento
neutro en N, pero sí en N₀: el 0. La suma repetida de un mismo número se llama multiplicación, o también
usaremos el término producto. Así, sumar 5 veces 8 es multiplicar 5 por 8, y coincidentemente, es lo mismo
que sumar 8 veces 5. Esto es:
8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 5 . 8 y además
8 + 8 + 8 + 8+ 8 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5
5 veces 8 veces
Por lo tanto, en el conjunto de los números naturales podemos definir 2 operaciones: suma y multiplicación.
Estas operaciones son cerradas, es decir, la suma y la multiplicación entre dos números naturales es otro
número natural. Además las operaciones cumplen con las siguientes propiedades:

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 Conmutatividad: esta propiedad se refiere a que el orden de los términos de una suma o de los
factores en una multiplicación no altera el resultado. Por ejemplo:
5 + 6 = 6 + 5 = 11 ; 2 . 3 = 3 . 2 = 6
 Asociatividad: esta propiedad se refiere a que la forma de agrupar los términos en una suma o en
una multiplicación no altera el resultado. Por ejemplo:
2 + ( 3 + 4 ) = ( 2 + 3 ) + 4 = 9
2 . ( 3 . 4 ) = ( 2 .3) .4 = 24
 Distributividad: de la multiplicación respecto de la suma: la multiplicación distribuye respecto de la
suma.
 En forma general, las dos operaciones: suma y producto están relacionadas por la siguiente
propiedad:
Para toda terna de números naturales a, b, c, vale que
a · (b + c) = a · b + a · c propiedad distributiva del producto respecto de la suma
(a + b) · c = a · c + b · c
Por ejemplo: (2+1) . 3 = 2 . 3 + 1 . 3 3 . (2+1) = 3 . 2 + 3 . 1
3 . 3 = 6 + 3
9 = 9
Así como la multiplicación por un natural es una suma iterada de términos iguales, se conviene en
representar la multiplicación iterada de factores iguales, como una potencia:
8 . 8 . 8 . 8 = 8⁴
En este caso, 8 se llama la base y 4 el exponente. El exponente indica el número de veces que se multiplica a
la base por sí misma. Notemos por ejemplo que:
5² . 5⁴ = 5²⁺⁴ = 5⁶ puesto que
(5 .5) (5 . 5 . 5 . 5) = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5
2 veces 4 veces 6 veces
La multiplicación de dos potencias de igual base es otra potencia con la misma base, y cuyo exponente es
la suma de los exponentes.
Veamos cómo se pueden usar estas propiedades para calcular el cuadrado de la suma de dos números
naturales:
(a + b) 2 = (a + b) · (a + b)
= (a + b) · a + (a + b) · b
= a · a + b · a + a · b + b · b
= a² + a b + a b + b²
= a² + 2 a b + b²
Puedes ver el siguiente video sobre este tema:
http://www.math2me.com/curricula/mexico/preparatoria/algebra-intermedia-i-cobach-bc/
binomio-al-cuadrado-version-nueva

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Esto también puede verse geométricamente como muestra el dibujo de la figura 1:
Ejercicio: Encontrar una fórmula para (a + b)³
Divisibilidad
Sean a y b números naturales. Se dice que a es divisible en b si el resto de a ÷ b es cero.
Ejemplos
48 es divisible en 8, el cociente (resultado) de la división es 6 y el resto es cero. Decimos entonces que 8 es divisor de 48. ¿Qué otros divisores tiene 48?
48 se puede dividir por: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48
Entonces un número es b es divisor de otro a, si y sólo si el resto de la división es cero.
Un número tiene una cantidad finita de divisores.
 Todo número se puede dividir por sí mismo y por uno. Pero sí un número sólo se puede dividir por sí
mismo y por uno, entonces es un número primo.
 Si un número además de ser divisible por sí mismo y por la unidad, lo es por otros divisores;
entonces es número compuesto.
 1 es divisor de todos los números.
 El número 1 no es primo, ni compuesto.
Ejemplos
12 es número compuesto, porque tiene como divisores al: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
28 es número compuesto, porque tiene como divisores al: 1, 2, 4, 7, 14 y 28.
5 es número primo, porque sólo se puede dividir por 1 y por 5.
7 es número primo, porque sólo se puede dividir por 1 y por 7.
2 es el menor de los números primos.
http://www.youtube.com/watch?v=jHuQ518FKg4

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Tabla de números primos
Para obtener los primeros n números primos de los números naturales se puede utilizar la criba de Eratóstenes2, la cual consiste en hacer una tabla con los números del 1 hasta n.
El procedimiento es señalar con un paréntesis los números que sean primos y tachar los que no lo sean. Se empieza por tachar el 1 y escribir entre paréntesis el 2, a continuación se tachan los múltiplos de 2, posteriormente se busca el primer número no tachado, en este caso (3), se pone entre paréntesis y se tachan todos sus múltiplos. El procedimiento se sigue hasta tener marcados todos los números.
Por tanto, los números primos entre 1 y 100 son:
{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97}
Múltiplos
El múltiplo de un número es el que lo contiene un número exacto de veces o son los resultados de la tabla de multiplicar de un número.
Ejemplos
36 es múltiplo de 9, porque lo contiene 4 veces, también 36 está en la lista de resultados de la tabla de multiplicar del 9.
240 es múltiplo de 12, porque lo contiene 20 veces.
Los múltiplos de un número k se obtienen al multiplicar k por los números naturales: k.n siendo n cualquier número natural.
Ejemplos
Los múltiplos de 3 son: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, … , porque 3(1) = 3, 3(2) = 6, 3(3) = 9, 3(4) = 12, 3(5) = 15, 3(6) = 18, ...
Los múltiplos de 5 son: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … , porque 5(1) = 5, 5(2) = 10,
5(3) = 15, 5(4) = 20, 5(5) = 25
2 Eratóstenes: Eratóstenes era hijo de Aglaos. Estudió en Alejandría y durante algún tiempo en Atenas. Fue discípulo de Aristón de Quíos, de Lisanias de Cirene y del poeta Calímaco y también gran amigo de Arquímedes. En el año 236 a. C., Ptolomeo III le llamó para que se hiciera cargo de la Biblioteca de Alejandría, puesto que ocupó hasta el fin de sus días. La Suda afirma que, tras perder la vista, se dejó morir de hambre a la edad de 80 años; sin embargo, Luciano dice que llegó a la edad de 82 años; también Censorino sostiene que falleció cuando tenía 82 años. http://es.wikipedia.org/wiki/Erat%C3%B3stenes

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 A diferencia de los divisores, los múltiplos de un número son infinitos.
 0 es múltiplo de todos los números.
Criterios de divisibilidad
Divisibilidad en 2: Un número es divisible por 2 si termina en 0, 2, 4, 6 u 8, los números divisibles por 2 se llaman pares.
Divisibilidad en 3: Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3.
51 es divisible entre 3, ya que 5 + 1 = 6 y 6 es múltiplo de 3.
486 es divisible entre 3, ya que 4 + 8 + 6 = 18 y 18 es múltiplo de 3.
Divisibilidad en 4: Un número es divisible por 4, si sus últimos 2 dígitos son 0 o un múltiplo de 4.
900 es divisible entre 4, porque termina en doble 0.
628 es divisible entre 4, porque 28 es múltiplo de 4.
Divisibilidad en 5: Un número entero es divisible por 5, si su último dígito es 0 o 5.
5 215 y 340 son divisibles entre 5, ya que terminan en 5 y 0 respectivamente.
Divisibilidad en 6: Un número entero es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3 a la vez.
24 es divisible por 2 porque termina en número par y es divisible por 3 porque la suma de sus cifras da 6, por lo tanto es también divisible por 6.
216 es divisible por 2, ya que termina en 6, y es divisible por 3, porque la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Por lo tanto, 216 es divisible por 6.
Divisibilidad por 7: Un número es divisible entre 7, cuando al multiplicar el último dígito por 2 y restar el producto al número que se forma con los dígitos restantes, la diferencia es 0 o un múltiplo de 7.
315 es divisible por 7, ya que 5 × 2 = 10 y 31 − 10 = 21 y 21 es múltiplo de 7.
147 es divisible por 7, porque 7 × 2 = 14 y 14 − 14 = 0.
Divisibilidad en 8: Un número es divisible por 8, cuando sus 3 últimos dígitos de la derecha son 0 o forman un múltiplo de 8.
6 000 es divisible por 8, ya que sus últimos 3 dígitos son 0.
3 160 es divisible por 8, porque los 3 últimos dígitos, 160, forman un múltiplo de 8.
Divisibilidad en 9: Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9.
1 233 es divisible por 9, ya que 1 + 2 + 3 + 3 = 9, y 9 es múltiplo de 9.
6 786 es divisible por 9, ya que 6 + 7 + 8 + 6 = 27, y 27 es múltiplo de 9.
Divisibilidad en 10: Un número es divisible por 10, si el último dígito es 0.
360 es divisible por 10, porque su último dígito es 0.
2 500 es divisible por 10, ya que termina en 0.
Divisibilidad en 11: Un número es divisible por 11, si el valor absoluto de la diferencia entre la suma de los dígitos en posición par y la suma de los dígitos en posición impar es 0 o múltiplo de 11.
1 364 es divisible por 11, ya que (3 + 4) – (1 + 6) = 7 – 7 = 0
82 918 es divisible por 11, porque (8 + 9 + 8 ) – ( 1 + 2 ) = 25 – 3 = 22 y 22 es múltiplo de 11
http://www.youtube.com/watch?v=jvjib50-gQY

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Descomposición de un número en sus factores primos
La descomposición de un número en sus factores primos es su expresión como producto de sus factores primos. Para obtenerlo, se divide el número por el menor divisor primo posible, el cociente que se obtiene se vuelve a dividir por el menor divisor primo posible, y así hasta que el último cociente sea 1, este procedimiento también se conoce como factorización de un número compuesto.
Por ejemplo:
Máximo común divisor (MCD)
Es el mayor de los divisores en común de 2 o más números.
Ejemplo 1
Los divisores de 18 y 24 son:
Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9 y 18
Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
Los divisores comunes son: 1, 2, 3 y 6, el mayor de los divisores en común es el 6
Por tanto, el máximo común divisor de 18 y 24 es 6.
Para calcular el MCD de varios números se descomponen simultáneamente en sus factores primos, hasta que ya no tengan un divisor primo en común. Cuando los números sólo tienen a la unidad como común divisor, los números reciben el nombre de “primos relativos”.
Ejemplo 2

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Mínimo común múltiplo (mcm)
El mínimo común múltiplo es el menor de todos los múltiplos comunes de 2 o más números.
Ejemplo 1
Al obtener los múltiplos de 4 y 6 se tiene:
Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, …
Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, …
Los múltiplos comunes son: 12, 24, 36, 48, …
El menor de todos los múltiplos en común es 12
Por tanto, el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12
Para calcular el mcm de varios números se descomponen simultáneamente en factores primos hasta que los cocientes sean 1, si alguno de los números no es divisible entre el factor dado, se baja y se continúa hasta encontrar el factor primo que lo divida.
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Problemas
http://www.youtube.com/watch?v=_gfhSZgAKlQ

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3. Números Enteros
Quedó planteado ya que los números naturales sirven para contar y ordenar. Sin embargo, hay situaciones
que para ser descriptas correctamente requieren de otro tipo de números. Los números enteros negativos
se usan en diversos contextos, por ejemplo, para expresar o calcular: S
 En geografía, profundidades o diferencias de altura:
o la capa más superficial de la estructura de la Tierra, llamada corteza terrestre, llega hasta los -30 km
en el fondo oceánico;
o la diferencia de altura que hay desde la cima del o Aconcagua, que se halla a 6.959 metros sobre el
nivel del mar, hasta el fondo de la laguna del Carbón, en la provincia de Santa Cruz, donde el altímetro marca
105 metros bajo el nivel del mar. (Figura 2)
figura 2
 Temperaturas bajo cero: el día más frío del año 2008 en Ushuaia fue el 16 de agosto, con una temperatura
mínima de -5°C y una temperatura máxima de 7°C.
 En contabilidad, los números negativos significan deudas y los positivos haberes o activos poseídos.
 Fechas en la antigüedad, años antes de Cristo: Platón, el más importante filósofo de la antigüedad, fue
alumno de Sócrates y maestro de Aristóteles; nació en Grecia en el año 427 a.C. y murió en el año 347 a.C.; por lo tanto,
vivió 80 años.
3.1. Construcción de los números enteros
Para continuar el estudio de los números, consideremos N0 el conjunto de los números naturales y el
cero, y pensemos en la siguiente situación. En el capítulo anterior, estudiamos operaciones de números
naturales y vimos que dos números naturales se pueden sumar y se obtiene como resultado otro número
natural; también se pueden multiplicar y el resultado es un número natural.
Por ejemplo, 3+6 = 9 ∈ N y 3·6 = 18 ∈ N.
Además, si quisiéramos restar uno de otro, por ejemplo, hacer 6 - 3 también se puede dentro del
conjunto N, es decir 6 - 3 = 3 ∈ N. Una situación cotidiana que refleja esta situación matemática es la
siguiente: si Luis tiene 6 pesos, Marcos le puede pedir prestados 3 pesos y a Luis todavía le quedan 3. En
cambio, si Luis tuviera sólo 3 pesos, Marcos no debería esperar que le preste 6 porque no tiene más de 3.
Es decir, ¿qué ocurre si queremos efectuar la operación de resta en el otro sentido, o sea, 3 - 6? ¿A 3 se
le puede restar 5? Veremos enseguida que, en realidad, sí se puede efectuar esta operación, pero el
resultado ya no es un número natural.
Recordemos que la operación suma dentro de N₀ tiene al cero como elemento neutro porque a + 0 = a
y 0 + a = a para todo número natural a. Pero ningún número natural tiene un inverso dentro de N₀,
respecto de la suma. La pregunta es qué tipo de números deberíamos agregarle a N₀ para que todo
elemento tenga inverso respecto de la operación suma. Es decir, si Paula tuviera 3 remeras, Lorena podría

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pedirle las 3 remeras (por lo menos para probárselas) y en este caso, Paula no se quedaría con ninguna. Es
decir, 3 - 3 = 0, o, mejor dicho, 3 + (-3) = 0 que no es un natural pero sí pertenece a N₀.
En otras palabras, agreguémosle a N₀ todos los “opuestos” de sus elementos, es decir, el -1, el -2, etcétera.
Llamaremos al nuevo conjunto que construimos de esta forma conjunto de los números enteros y lo
denotamos con la letra Z.
3.2. Propiedades
 Es un conjunto infinito totalmente ordenado por la relación de ≤ (menor o igual).
 No tiene primero ni último elemento.
 Todo número entero tiene un antecesor y un siguiente.
 Entre dos números enteros existe un número finito de números enteros, por lo tanto es un conjunto
discreto.
Propiedad del número 0
 Elemento Neutro para la Suma: si lo sumamos con cualquier número se obtiene el mismo número.
Por ejemplo: 7 + 0 = 7, −4 + 0 = −4
 Multiplicación por Cero: la multiplicación por cero siempre da como resultado cero.
Por ejemplo: 6 . 0 = 0 , (−3) . 0 = 0
 Potencia Cero: Se conviene definir la potencia de un número no nulo con exponente cero, igual a 1.
Por ejemplo: 7⁰ = 1 y (−5)⁰ = 1
Propiedad del número 1
 Elemento Neutro para la Multiplicación: si se lo multiplica por cualquier número se
Obtiene el mismo número; por ejemplo: 4 . 1 = 4 , (−9) .1 = −9 y 0 .1 = 0
3.3. Representación de los números enteros en la recta numérica
Los números enteros suelen representarse como puntos de una recta. Esto es, se eligen dos puntos
distintos, uno representa el 0 y el otro el 1. Así se tiene un segmento unidad. Transportando este segmento
hacia un lado de la recta se representan todos los enteros positivos, y hacia el otro todos los enteros
negativos. Claramente, existen muchos puntos de la recta que no se corresponden con ningún entero.
3.4. Valor absoluto de un número
Es la distancia que existe desde cero hasta el punto que representa a dicha cantidad en la recta numérica. El
valor absoluto de un número a se representa como a .
Ejemplos: Determina el valor absoluto de – 3
Se representa − 3 en la recta numérica:

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De cero a − 3 se observa que hay 3 unidades de distancia, por tanto, el valor absoluto de − 3 es igual a 3 y se
representa como:  3 = 3
Para encontrar el valor absoluto de 8:
En la recta numérica la distancia entre el origen y 8 es de 8 unidades, por consiguiente, 8  8
3.5. Operaciones con números enteros y propiedades.
Suma
En esta operación los elementos reciben el nombre de sumandos y el resultado suma o adición. La suma o adición de
números enteros se efectúa sólo si los signos de los números son iguales.
3 + 9 = 12 y − 3 – 9= -12
Si los números tienen el mismo signo (−), se suman sus valores absolutos y el signo del resultado es el mismo que el de
los sumandos (−).
− 3 – 9 = − 12
Esta operación que genera, por lo general, dificultades para resolverla se puede interpretar a través de ejemplos
prácticos o través de gráficos:
Ejemplo 1:
Supongamos que Luciano tiene cuenta en el kiosco de la escuela. El día lunes compró un sandwich y le
anotaron 3 pesos; el día martes compró una gaseosa y un sandwich y le anotaron 9 pesos. La anotación en el
cuaderno es la siguiente:
Veámoslo en la recta:
Partiendo de C, avanzamos 3 unidades a la izquierda y llegamos a A, luego avanzamos 9 unidades más a la
izquierda y llegamos a B.
Suma y resta con signos de agrupación
Los signos de agrupación son ( ) paréntesis, [ ] cochetes, { } llaves
Al realizar sumas y restas de números enteros que tienen signos de agrupación, primero es necesario eliminar dichos
signos, para hacerlo debes seguir el siguiente procedimiento: Si a un signo de agrupación lo precede un signo positivo,
el número entero que encierra conserva su signo.
Luciano debe:
Día lunes: $ 3
Día martes: $ 9
La cuenta es:
-3
-9
-12
http://www.youtube.com/watch?v=3NPHB8oOB-s

21
Analicemos los siguientes ejemplos:
¿Cuál es el resultado de (− 8) + (− 3)?
Puesto que ambos signos de agrupación están precedidos por signos positivos, entonces se suprimen y se realiza la operación para obtener el resultado:
(− 8) + (− 3) = − 8 − 3 = −11
Efectúa (+ 6) + (− 8)
Al estar precedidos por signos positivos, ambos enteros conservan su signo y se obtiene como resultado:
(+ 6) + (− 8) = 6 − 8 = − 2
Si un signo de agrupación es precedido por un signo negativo, entonces el entero que encierra cambia su signo:
Por ejemplo: Para resolver − (14) − (− 10)
Como a los signos de agrupación le anteceden signos negativos, entonces se deben cambiar los signos de los enteros y realizar la operación que resulta.
− (14) − (−10) = −14 + 10 = − 4
El resultado de la operación es − 4
¿Cuál es el resultado de (− 6) + (− 3) − (−11)?
Se aplican los procedimientos correspondientes a cada signo de agrupación y se procede a efectuar la operación con enteros:
(− 6) + (− 3) − (−11) = − 6 − 3 + 11 = − 9 + 11 = 2
Para resolver (6 − 8) + (5 − 2)
Una forma de realizar la operación es efectuar las operaciones que encierran cada uno de los signos de agrupación:
(6 − 8) + (5 − 2) = (− 2) + (3) = 1
Para resolver (8 − 3) − (− 4 + 6) + (2 − 7 − 3) + 5=
= 8 − 3 + 4 − 6 + 2 − 7 − 3 + 5
= 8 + 4 + 2 + 5 − 3 − 6 − 7 – 3 ó = (8 + 4 + 2 + 5 ) – (3 + 6 + 7 + 3 )
= 19 – 19 = (19 ) – ( 19)
= 0 = 19 – 19 = 0
¿Cuál es el resultado de [(− 8 + 6) − (− 3 − 2)] + [4 − (2 − 1)]?
Se efectúan las operaciones contenidas en los paréntesis:
[(− 8 + 6) − (− 3 − 2)] + [4 − (2 − 1)] =
= [ (− 2) − (− 5) ] + [4 − (1)]
Se eliminan los paréntesis y se realizan las operaciones que encierran los corchetes:
= [− 2 + 5] + [4 − 1]
= [3] + [3]
= 3 + 3 = 6
Resta
Es la operación inversa de la suma o adición. Los elementos de una resta son el minuendo (+), sustraendo (−) y la diferencia.
a Minuendo
− b Sustraendo
c Diferencia

22
Cuando se restan 2 números enteros la diferencia lleva el signo del entero de mayor valor absoluto, como lo muestran los siguientes ejemplos:
9 – 7 = 2
¿Cuál es el resultado de 3 − 4?
Se realiza la operación 4 − 3 = 1, y al resultado se le antepone el signo negativo, debido a que el número de mayor valor absoluto es negativo, por tanto:
3 − 4 = −1
La multiplicación
Leyes de los signos
1. El producto de dos números con signos iguales da como resultado un número positivo.
Ejemplo: (8) (5) = 40 ; (− 3) (− 7) = 21
2. El producto de dos números con signos diferentes da como resultado un número negativo.
Ejemplo: (− 6) (4) = − 24 ; (9)(− 3) = − 27
En general, la aplicación simbólica de las leyes de los signos anteriores es:
(+) (+) = + (−) (−) = +
(−) (+) = − (+) (−) = −
Efectúa (− 3)(− 4)(− 6)
Solución
Se realiza el producto de (− 3)(− 4) y el resultado, 12, se multiplica por − 6, entonces:
(− 3)(− 4)(− 6) = (12)(− 6) = − 72
Finalmente, el resultado de la multiplicación es − 72
¿Cuál es el resultado de (3) (− 5) (− 2) (4)?
Solución
Se multiplican 3 por − 5 y − 2 por 4, los resultados se vuelven a multiplicar para obtener el resultado final de la operación.
= (3) (− 5) (− 2) (4)
= (−15) (− 8) = 120
Por tanto, el producto es 120.
Multiplicación con signos de agrupación
Los signos de agrupación que se utilizan son: ( ), [ ], { }, ; cuyos nombres respectivamente son: paréntesis, corchetes y llaves.
Para simplificar y obtener el resultado de una operación con signos de agrupación, hay que suprimir éstos y multiplicar los números del interior de los signos por el número o signo que los anteceden.
Después se agrupan y suman los números del mismo signo y los resultados se restan.
Efectúa 3 (4 − 2) – 5 (1 − 4) − (8 + 9) = aplicamos propiedad distributiva y suprimimos paréntesis
3. (4 − 2) – 5 (1 − 4) − (8 + 9) = = 12 − 6 − 5 + 20 − 8 – 9 Se agrupan y suman los números con el mismo signo, los resultados se restan:
= 12 + 20 − 6 − 5 − 8 − 9
= 32 − 28
= 4
¿Cuál es el resultado de 6 – 4 {2 – 5 (4 − 3) + 3 (3 − 2)}?

23
En este caso, primero se suprimen los paréntesis y los números se multiplican por los números que les anteceden:
6 – 4 {2 – 5 (4 − 3) + 3 (3 − 2) } =
= 6 – 4 {2 − 20 + 15 + 9 − 6}
Ahora, se eliminan las llaves al multiplicar por −4,
= 6 − 8 + 80 − 60 − 36 + 24
Por último, se realiza la operación al agrupar signos iguales y los resultados obtenidos se restan:
= 6 + 80 + 24 − 8 − 60 – 36 ó = (6 + 80 + 24 ) – (8 + 60 + 36 )
= 110 – 104 = 110 - 104
= 6 = 6
División
Partes de la división
a b
Si a y b son números enteros, la división de a por b, siendo b un número entero diferente de cero, consiste en encontrar a los números enteros p y r tales que:
p . b + r = a para todo a > b y b < r.
Ejemplo
En la división de 25 en 4, el cociente es 6 y el resto, 1 ya que:
25 = 4 .6 + 1
Ejemplo
En la división de 36 en 9, el cociente es 4 y el resto es 0, ya que:
36 = 9 . 4 + 0
Cuando en una división el resto es igual a 0, entonces se dice que la división es exacta.
La división entera es una operación que sólo tiene sentido en el conjunto de los números enteros. Ahora bien, si bien el cociente entre 25 y 4 es 6, no es cierto que 4 por 6 sea igual a 25. Así como con los naturales no podemos resolver el problema de hallar el número que sumado a 5 de como resultado 3, en el conjunto de los enteros no es posible resolver problemas como hallar el número que multiplicado por 6 sea igual a 25.
Para encontrar la solución a esta operación necesitamos trascender el conjunto de los números enteros, es decir ampliarlo y esa ampliación va a dar por resultado la aparición del Conjunto de los números racionales en el que no sólo 25 dividido en 4 es posible resolver sino cualquier división en la que:
 El dividendo no es múltiplo del divisor
 El dividendo es menor que el divisor
p
r
Dividendo
Divisor
b ≠ 0
Resto
Cociente

24
casos éstos que no tienen solución en el conjunto de los números enteros Z.
Por ejemplo: 25 : 4 ó 3 : 7
En el conjunto de los números racionales:
25 4 =
4
25
= 6,25 y 3 : 7 =
7
3
= 0,428571
4. Números Racionales
Este conjunto numérico resulta de las sucesivas ampliaciones que se vienen produciendo desde los naturales
a los enteros y de los enteros a los racionales, para que la división sea siempre posible.
Un número racional es aquel que puede ser expresado como una fracción.
Cabe entonces la pregunta:
¿2 es un número racional? ¿ y -3? ¿y 0?
Veamos:
Si cada uno de estos números tiene la posibilidad de escribirse como fracción, entonces son números
racionales:
2 = ...
5
10
3
6
2
4
   ; -3= ...
4
12
3
9
2
6
      ; 0 = ...
4
0
3
0
2
0
  
Un número natural como 2, tiene la posibilidad de ser escrito como una fracción.
Un número entero como -3, también tiene la posibilidad de ser escrito como una fracción. Además el 0 es
otro número entero que puede escribirse como una fracción. Por lo tanto, será que los números naturales y
los enteros son también racionales?
 Si a y b son dos números naturales cualesquiera, entonces
b
a
es un racional.
 Si a y b son dos números enteros cualesquiera, entonces
b
a
es un número racional.
 Si n es cualquier número entero, exceptuando el 0, entonces
n
0
es un número racional.
Naturales: N
Cero: 0 Enteros: Z
Negativos: Z  Racionales: Q
Fraccionarios
La fracción
, indica que la unidad se divide en 4 partes iguales, de las cuales se
toman únicamente 3, la representación gráfica de esta fracción es:
http://www.youtube.com/watch?v=7rgIk3obmXk

25
4.1. Propiedades
 Es un conjunto totalmente ordenado por la relación ≤.
 No tiene primer ni último elemento.
 Entre dos números racionales existen infinitos racionales, esto determina que Q sea un conjunto
denso. Como consecuencia, ningún racional tiene antecesor, ni sucesor.
4.1.1 Números Decimales
Los números decimales son valores que denotan números racionales e irracionales, es decir que los números decimales son la expresión de números no enteros, que a diferencia de los números fraccionarios, no se escriben como el cociente de dos números enteros sino como una aproximación de tal valor. Existen dos tipos de números decimales, los exactos y los inexactos.
Números decimales exactos. Son aquellos que tienen un número finito de cifras decimales.
 0.25, es un número de 2 cifras decimales
 0.732, tiene 3 cifras decimales
 2.1, tiene una cifra entera y una decimal
Números decimales inexactos. Son aquellos que tienen un número infinito de cifras decimales. En estos números, los puntos suspensivos indican que existe un número infinito de cifras o que el residuo de la división nunca es cero.
 Números decimales inexactos periódicos, son los números decimales que tiene una o más
cifras que se repiten indefinidamente después de la coma o de una cierta cifra decimal. La cifra o
cifras repetidas reciben el nombre de periodo o cifras periódicas
- 0,3333333…. = 0, el periodo consta de una cifra (número periódico puro)
- 0,1265353535353….. = 0,16 el periodo es 35 y la parte no periódica o decimal es 16
- 5, 12373737373737….. =5,12 el período es 37 la parte decimal es 12 y la parte entera es 5.
 Números decimales inexactos no periódicos, son los números decimales que no tiene un
periodo. Estos números representan a los números irracionales, o sea que este tipo de números no
pertenecen al campo de los racionales (no se expresan como el cociente de 2 números enteros) por
ejemplo:
4.1.2. Lectura y escritura de los decimales
Para leer o escribir números decimales, se toma como referencia la siguiente tabla.
Por ejemplo: 12, 3752 se lee: “doce unidades, tres mil milésimos setecientos cincuenta y dos décimos”

26
4.2. Conversiones
Las conversiones se dan entre los tipos de números racionales donde se realizan procesos aritméticos para trasformar un número a otro, como por ejemplo una fracción impropia a un número mixto.
Para realizar la conversión de una fracción impropia a mixta se efectúa la división del numerador entre el denominador, el cociente es la parte entera, el residuo es el numerador de la fracción y el divisor es el denominador. Para hacer el proceso inverso se multiplica el denominador por el entero y el resultado se suma con el numerador obteniendo así el numerador de la fracción, el denominador pasa como esta.
Para realizar la conversión de una fracción impropia a un número decimal se coloca la en el numerador el número decimal sin coma y en el denominador se coloca la unidad seguida de tantos ceros como cifras que tiene la parte decimal, luego se simplifica la fracción. Para hacer el proceso inverso se realiza el algoritmo de la división decimal tomando como dividendo el numerador y el denominador es el divisor, el resultado en el decimal que se quiere encontrar.
3,25
Para realizar la conversión de una fracción impropia a un número periódico el proceso es el mismo que el de números decimales solo que el algoritmo no se cerraría ya que siempre va a quedar el mismo resto. Para hacer el proceso inverso se debe identificar si el número periódico es puro (solo tiene cifras decimales periódicas) o bien las cifras decimales solo algunas son periódicas. Se toma el número periódico sin la coma y se lo coloca en el numerador de la fracción y se le resta la parte no periódica, en el denominador se coloca tantos 9 como cifras periódicas tiene el número. Si el número tiene cifras decimales y periódicas se coloca tantos 9 como cifras periódicas y luego se agrega ceros como cifras decimales y se lo coloca en el denominador, por ejemplo:
5, y 5, 2
Para el primer caso: Segundo Caso
5, 5, 2
4.3. Fracciones equivalentes
Son aquellas que se expresan de manera diferente, pero representan la misma cantidad. Para averiguar si 2 fracciones son equivalentes se efectúa la multiplicación del numerador de la primera fracción por el
8 3
2 2
Se multiplica el entero por el denominado
Se suma el numerador con el resultado de la multiplicación
13 4
1 0 3, 25
20
http://www.youtube.com/watch?v=DFdf3ZftmXw

27
denominador de la segunda, y el resultado debe ser igual a la multiplicación del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.
y son fracciones equivalentes 3x15 = 5x9
45 = 45
4.3.1. Amplificación de una fracción
El valor de una fracción no se altera al multiplicar su numerador y denominador por un mismo número.
o bien
4.3.2. Simplificación de una fracción
El valor de una fracción no se altera cuando al numerador y denominador se les divide entre el mismo número. A este procedimiento se le conoce como “simplificación de una fracción”.
o bien
4.4. Ubicación en la recta numérica
Para ubicar la fracción en la recta numérica, se divide cada unidad en el número de partes que indica el denominador b y se toman las partes que indica el numerador a. Por ejemplo:
O bien
4.5. Suma y resta con igual denominador
Se suman o restan los numeradores y se escribe el denominador en común. Se simplifica el resultado siempre que sea posible.
4.6. Suma y resta con diferente denominador
Se busca el mínimo común múltiplo de los denominadores, también conocido como común denominador, éste se divide entre cada uno de los denominadores de las fracciones y los resultados se multiplican por su correspondiente numerador. Los números que resultan se suman o se restan para obtener el resultado final.
Se puede combinar sumas y restas en un ejercicio

28
a)
b)
c)
4.7. Multiplicación
Para realizar esta operación se multiplican los numeradores y los denominadores. En caso de que existan fracciones mixtas, se deben convertir a fracciones impropias y posteriormente realizar los productos.
4.8. División
 Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, el
producto es el numerador de la fracción resultante.
 Se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de
la segunda fracción, el producto es el denominador de la fracción resultante.
a)
b)
4.9. Operaciones con signos de agrupación
Se realizan las operaciones que se encuentran dentro de un signo de agrupación, posteriormente éstos se suprimen, como se muestra en los siguientes ejemplos:
a)
se resuelve
b) se
resuelve
Simplifica
http://www.youtube.com/watch?v=1ktyVZthSX4
http://www.youtube.com/watch?v=xlpWZXxhJsg

29
4.10. Potenciación y radicación de fracciones
Para reforzar estos contenidos puedes ver los siguientes videos:
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=yw1lx9htI2I
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=PaT2DdRhkMo
Potencianción: Es la operación en la cual la cantidad llamada base se debe multiplicar por ella misma las veces que lo indique el exponenteDe lo anterior se define:
donde: a es la base y n el exponente.
Para n veces
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Radicación: Operación que permite hallar un valor que multiplicado tantas veces como lo indica el índice, dé el valor que se encuentra dentro del radical, el cual recibe el nombre de radicando. Para lo anterior se define:
donde: a es la base, m el exponente y n el índice.
Ejemplo:
Propiedades:
- Distributividad con respeto al producto
- Distributividad con respeto al cociente
- Raíz de una raíz
Cuando un número negativo se eleva a una potencia par, el resultado es positivo, pero si se eleva a una potencia impar el resultado es negativo.

30
5. Números Irracionales
Un número irracional es un número que no puede ser escrito como una relación (o fracción). En forma decimal, nunca termina o se repite. Los antiguos griegos descubrieron que no todos los números son racionales; hay ecuaciones que no pueden ser resueltas usando relaciones de enteros.
¿Qué son números irracionales? Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.
La primera ecuación a ser estudiada fue 2 = x2. Qué número por sí mismo es igual a 2?
La es alrededor de 1.414, porque 1.4142 = 1.999396, que está cerca de 2. Pero Usted nunca lo hallará elevando al cuadrado una fracción (o decimal terminante). La raíz cuadrada de 2 es un número irracional, que significa que su decimal equivalente continúa por siempre, con ningún patrón repetitiva
Otros números irracionales famosos son la Relación Dorada, un número con gran importancia en la biología:
π (pi), la relación de la circunferencia de un círculo a su diámetro:
π = 3.14159265358979...
e, el número de Neperiano i Número de Euler es el número más importante en calculo:
e = 2.71828182845904...
También son irracionales los números ; ; ; … o sea que si el numero racional n no es un cuadrado perfecto, entonces no es un número racional es un número irracional.
5.1. Propiedades de los Números Irracionales
Los números irracionales pueden ser subdivididos aún más en números algebraicos, que son las soluciones de alguna ecuación polinomial (como la y la Relación Dorada), y los números transcendentales, que no son las soluciones de cualquier ecuación polinomial. π y e ambos son transcendentales.
5.2. Representación gráfica de los Números Irracionales
A cada número racional le corresponde un punto en la recta pero en realidad éstos no completan la recta, también la constituyen los irracionales. En general, representar un número con infinitas cifras decimales no periódicas es imposible y por lo tanto nos tendríamos que conformar con una aproximación. De todas maneras, hay métodos geométricos que permiten representar algunos números irracionales en la recta numérica.
Veamos cómo se puede representar, por ejemplo:
hay que tener claro que =1,414...,es decir, 1< < 2
http://www.youtube.com/watch?v=BR9f114SJU0

31
Observa el cuadrado del dibujo, si ampliamos el teorema de Pitágoras para hallar su diagonal comprendemos esto
Con la ayuda de un compás podemos representar exactamente en la recta numérica.
Sabemos que es un número irracional, por lo tanto, el punto P de la recta no puede estar ocupado por ningún otro número irracional.
En esta recta representamos los números irracionales
http://www.youtube.com/watch?v=lvk3TGSYYxk

32
6. Numeros Reales
El Conjunto de los números reales es el conjunto que contiene a todos los números racionales y a todos los números irracionales .
6.1. Radicales
Un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar. Las raíces pares de números negativos no pertenecen al conjunto de los números reales ya que son cantidades imaginarias, las raíces impares de números negativos son negativas.
Se puede expresar un radical en forma de potencia:

33
Ejemplo: Verifica que se cumpla la igualdad
Se descomponen ambas bases en factores primos y se aplica el teorema correspondiente de exponentes y la defi nición:
6.2. Radiacales equivalentes
o bien lo podemos expresar
Podemos deducir lo siguiente:
6.2.1 Simplificación de radicales
Procedimiento que consiste en expresar un radical en su forma más simple. Para simplifi car un radical, el exponente de la base debe ser mayor que el índice del radical
Ejemplo:
Se descompone el radicando en factores primos:
A la base 23 se expresa como 22 .2 y se aplica el teorema correspondiente de radicales
Por consiguiente, la simplificación de = 2
Este procedimiento permite la extracción de factores fuera del signo radical, para ello Se descompone el radicando en factores.
http://www.youtube.com/watch?v=WOFhNT4Eqdc
http://www.youtube.com/watch?v=DsjeDKEhk4I

34
Para la Introducción de factores dentro del signo radical se toman los factores y los elevamos al índice correspondiente del radical.
Ejemplo:
6.3. Suma y resta de radicales
Estas operaciones se pueden efectuar si y sólo si el índice del radical y el radicando son iguales (radicales semejantes).
Ejemplo:
Los radicales son semejantes, por tanto se realizan las operaciones con los números que les anteceden (coeficientes del radical).
Para la retas se precede de la misma manera solo que se restan los coeficientes del radical. También se pueden hacer combinaciones de sumas y retas de radicales
Ejemplo:
Al ser semejantes los radicales, se efectúan las operaciones con los coeficiente
Si los radicandos son diferentes, no se pueden sumar o restar los radicales de primera instancia, entonces se simplifican; si resultan semejantes se efectúan las operaciones, de lo contrario, se dejan indicadas.
Ejemplo:
Se simplifican los radicales hasta transformarlos en radicales semejantes (siempre y cuando se puedan transformar) y se realiza la operación.
6.4. Multiplicación de radicales
6.4.1. Multiplicación de radicales con índices iguales.
Cuando los índices de los radicales son iguales, se multiplican los radicandos y de ser posible se simplifica el resultado.
Ejemplo: Resuelve:
Se realiza el producto y se simplifica el resultado
radicales semejantes
http://www.youtube.com/watch?v=-AVYPYhIlrs

35
6.4.2. Multiplicación de radicales con índices diferentes.
Para multiplicar radicales con índices diferentes se busca un índice común, que resulta del mínimo común múltiplo de los índices de los radicales y recibe el nombre de “mínimo común índice”.
Ejemplo: ¿Cuál es el resultado de?
El mínimo común índice es 6 entonces los índices de los radicales se convierten a dicho índice:
Se efectúa el producto y se observa que no se puede simplificar el radical, por consiguiente se desarrollan las potencias y se realiza la multiplicación.
6.5. División de radicales
6.5.1 División de radicales con índices iguales.
Para efectuar la división se aplica el siguiente teorema:
Ejemplo: ¿Cuál es el resultado de
Se simplifican los radicales y se realiza la operación.
Para introducir una cantidad a un radical se debe elevar la cantidad a un exponente igual al índice del radical
Ejemplo: Resuelve
El divisor se expresa como 2 = y se realiza la operación para obtener el resultado.
6.5.1 División de radicales con índices diferentes.
Se transforman los radicales a un índice común y después se realiza la división.
Ejemplo: Resuelve
Se transforman los índices de los radicales a 12 (que es el índice común de 3 y 4) y se realiza la operación.
http://www.youtube.com/watch?v=M1Vl3a3ChMw

36
6.6. Racionalización
Racionalizar es representar una fracción en otra equivalente que contenga una raíz en el numerador, cuyo numerador o denominador sea un número racional respectivamente.
6.6.1. Racionalización del denominador
Dada una expresión de la forma , se racionaliza en forma general de la siguiente manera:
Ejemplo: Racionaliza la expresión
Se debe separar la expresión en raíces y se multiplican por tanto numerador como denominador, para obtener el resultado:
6.6.1. Racionalización de un denominador binomio.
Para racionalizar una fracción cuyo denominador es un binomio y alguno o ambos elementos tienen una raíz cuadrada, se multiplica por el conjugado del binomio . Observa que los signos de los binomios se alternan, o sea que cuando el binomio suma su conjugado resta y viceversa.
Ejemplo: Racionaliza la expresión
Se multiplica por el conjugado del denominador y se simplifica para obtener el resultado.
7. Razones y proporciones
7.1. Cantidades proporcionales
Si se tienen 2 cantidades tales que al multiplicar una de ellas por un número la otra queda multiplicada por el mismo número, o al dividir una de ellas la otra queda dividida por el mismo número, se dice que las cantidades son directamente proporcionales
Puedes ver los siguientes videos sobre este tema:
http://www.youtube.com/watch?v=DLStWUxuUFM
http://www.youtube.com/watch?v=VfWecE-1hac

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Ejemplo
Si 18 hombres construyen una barda en 12 días, entonces 6 hombres construirán la misma barda en el triple de tiempo, es decir, 36 días. Al dividir el número de hombres por 3, el número de días quedó multiplicado por 3, por consiguiente las cantidades son inversamente proporcionales.
7.2. Razón.
Es el cociente entre 2 cantidades, donde el numerador recibe el nombre de antecedente y el denominador de consecuente.
Para las cantidades a, b en la razón = K con b ≠ 0, a recibe el nombre de antecedente y b el de consecuente donde K es la constante de proporcionalidad.
Ejemplo
En la razón = 1,75 donde 7 es el antecedente y 4 es el consecuente, como resultado 1,75 es la cosntante de proporcionalidad.
7.3. Proporción
Es la igualdad entre 2 razones. con b≠0 y d≠0 y ambas razones tienen la misma cosntante de proporcionalidad k = k
Se lee: “a es a b como c es a d”
Ejemplo
3 es a 6 como 8 es a 16, se escribe. Al simplifi car cada fracción se obtiene
la razón de proporcionalidad o bien
0,5 = 0,5 que es la cosntante de proporcionalidad
7.4. Propiedad fundamental de las proporciones
En toda proporción se llaman EXTREMOS al numerador de la primera razón y el denominador de la seguna, y se llaman MEDIOS al denominador de la primera razón y el numerador de la seguda.
donde a y d son EXTREMOS y b y c son MEDIOS.
La Propiedad fundamental de las proporciones dice que en toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios:
Donde
7.5. Otras Propiedades Si , entonces:
a) Alternar Extremos:
b) Alternar Medios:

38
c) Permutar:
d) Invertir:
e) Componer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente:
f) Descomponer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente:
g) Componer y descomponer a la vez:
h) Serie de Razones:
7.6. Regla de tres simple}
Directa: Es la operación que se utiliza para encontrar el cuarto término en una proporción. A la parte que contiene los datos conocidos se le llama supuesto y a la que contiene el dato no conocido se le llama pregunta.
Propiedad: el producto entre primer término del supuesto con el segundo término de la pregunta es igual al producto entre el segundo término del supuesto con el primer término la pregunta.
a ------------------- b (supuesto)
c ------------------- d (pregunta) es igual a . d = c . d
Ejemplo:
El precio de 25 latas de aceite es de $248, ¿cuántas latas se podrán comprar con $1 240?
Supuesto Pregunta
25 latas ----------------------------$248 (supuesto)
X latas -----------------------------$1240 (pregunta)
Es igual: 25 latas . $1240 = X latas . $248
Despejamos X latas
Obtenemos X latas = 125 latas
Inversa: Se utiliza cuando las cantidades son inversamente proporcionales. Se invierte cualquiera de las razones y se iguala con la otra. Las cantidades son inversamente proporcionales, ya que al disminuir uno de sus términos, disminuirá el mismo concepto del mismo término de la otra razón.
Ejemplo: Se ha planeado que una reja sea construida por 24 hombres en 18 días; sin embargo, sólo se logró contratar a 12 hombres, ¿en cuántos días la construirán?
http://www.youtube.com/watch?v=pbCV7_9CyEk
http://www.youtube.com/watch?v=N_4u028U5Wg

39
Supuesto: 24 hombres construyen la reja en 18 días.
Pregunta: 12 hombres la construirán en x días.
12 hombres . x días = 24 hombres . 18 días
X días
8. Notación científica
La notación científica se utiliza para expresar cantidades en función de potencias de 10 y por lo regular se usa para cantidades muy grandes o muy pequeñas.
Potencias de 10
Para expresar una cantidad en notación científica el punto se recorre una posición antes de la primera cifra, si la cantidad es grande, o un lugar después de la primera cifra si la cantidad es pequeña. El número de lugares que se recorre el punto decimal es el exponente de la base 10.
Ejemplo:
La longitud de una bacteria es de 0.000052 m, expresa esta longitud en notación científica.
La longitud de la bacteria expresada en notación científica es:
0.000052 m = 5.2 × 10−5 m
8.1. Escritura en forma desarrollada.
El número a × 10n se expresa en forma desarrollada de las siguientes formas:
 Si el exponente n es positivo, entonces indica el número de posiciones que se debe recorrer el punto
decimal a la derecha y los lugares que no tengan cifra son ocupados por ceros.
Ejemplo: Escribe en su forma desarrollada 25,36 × 106
El exponente 6 indica el número de lugares que se recorren hacia la derecha y los lugares que no tengan cifra serán ocupados por ceros.
25,36 × 10 6 = 25 360 000
 Si el exponente n es negativo, entonces indica el número de posiciones que se debe recorrer el
punto decimal a la izquierda y los lugares que no tengan cifra son ocupados por ceros.
Ejemplo: Expresa en notación desarrollada 7,18 × 10−4
http://www.youtube.com/watch?v=lQJ1pAbetVM
http://www.youtube.com/watch?v=CqKxuOW_bVc

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En este número, el punto decimal se recorre 4 lugares hacia la izquierda.
7,18 × 10−4 = 0,000718
9. Funciones
Una Función es una relación entre dos conjuntos, llamados el dominio y la imagen (contadominio o codominio), de tal manera que a cada elemento del dominio le corresponde a lo más un elemento de la imagen. Una función puede verse como una máquina que transforma a los números que le vamos dando, de manera que nos devuelve un número cada vez que le damos un valor.
El conjunto X formado por todos los valores que nosotros le damos a la función, para los cuales nos devuelve un valor, es su dominio, denotado por Df. El conjunto Y formado por todos los valores que la función nos devuelve es el contradominio de la misma. Por ejemplo, para la función y = , su dominio es el conjunto X = {f x/x 0}, pues solamente podemos calcular raíz cuadrada de números no negativos.
El contradominio de esta función es: Y = {y/y 0}, pues el resultado de calcular la raíz cuadrada de un número siempre es un número no negativo.
En este caso, se dice que y es la variable dependiente, porque sus valores dependen del valor que le demos a la variable x . Se dice que x es la variable independiente de la función. Decimos que y está en función de x , y matemáticamente lo escribimos como: y = f (x ). El concepto de función es uno de los más importantes en matemáticas.
De manera informal, podemos decir que una función es la relación que existe entre dos cantidades variables.
Recordemos que las funciones de pueden representar mediante una función, una tabla de valores o bien por medio de un sistema de ejes de coordenadas cartesianas.
Tipos de funciones
http://www.youtube.com/watch?v=CJqjiNowcBw
http://www.youtube.com/watch?v=AjGdPukgjoM
Hay varias formas de clasificar a las funciones una de ellas es según el tipo de ya sean algebraicas o trascendentes

41
 Funciones algebraicas: pueden ser:
 Funciones explícitas: Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x − 2
 Funciones implícitas: Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino
que es preciso efectuar operaciones.
5x − y − 2 = 0
 Funciones polinómicas
Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1 x + a2 x² + a2 x³ +··· + an xn
Su dominio es, es decir, cualquier número real tiene imagen.
 Funciones constantes: y = k
Su gráfica es una recta horizontal
y = 3 y = -5
 Funciones de afin: es del tipo:
y = mx + n
m es la pendiente de la recta.
n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.
Ejemplo: y = 2x - 1
 Función de proporcionalidad
Es la función lineal del tipo y = mx
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas, o se que su ordenada al origen es 0. Se llama función de proporcionalidad directa porque se establece una proporción entre las variables.
Ejemplo:
y = 2x

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 Función identidad. Es la del tipo:
y = x
Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
 Funciones cuadráticas
En la función del tipo f(x) = ax² + bx +c
Las funciones polinómicas es de segundo grado cuando el término principal tiene la variable elevada a la segunda potencia, siendo su gráfica una parábola.
La función cuadrática más sencilla es
f(x) = x2
cuya gráfica es:
Pasos para representar gráficamente a una función cuadrática:
Ejemplo: Representar la función f(x) = x² − 4x + 3
De esta de deduce que a=1 ; b= -4 y c= 3
1. Cálculo del Vértice: para calcular el vértice se aplica las siguientes.
X v =
Y v = 2² − 4· 2 + 3 = −1 siendo el vértice V(2, −1)
2. Puntos de corte con el eje OX
x² − 4x + 3 = 0
X1 (3, 0) X2 (1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY (Ordenada al origen)
(0, 3)
 Funciones cúbicas
Es la de forma a: y = ax3 + bx2 + cx + d
Ejemplo: y = 2x3 + 3x2 – 12x.
Generamos una tabla de valores, graficamos y verificamos el dominio y el recorrido.
X –4 –3 –2 –1 0 1 2 3
Y –32 9 20 13 0 –7 4 45

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 Funciones Cuartas
Es la de forma a: y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
Su gráfica responde a la siguiente forma
 Funciones potenciales de
exponente natural
La siguiente figura muestra la gráfica de varias funciones potenciales de exponente natural

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GEOMETRÍA
Fundamentos para su enseñanza3
La geometría forma parte de nuestro lenguaje cotidiano: Nuestro lenguaje verbal diario paseé muchos términos geométricos, por ejemplo: punto, recta, plano, curva, ángulo, paralela, círculo, cuadrado, perpendicular, etc. Si nosotros debemos comunicamos con otros a cerca de la ubicación, el tamaño o la forma de un objeto la terminología geométrica es esencial. En general un vocabulario geométrico básico nos permite comunicamos y entendemos con mayor preedición acerca de observaciones sobre el mundo en que vivimos.
La geometría tiene importantes aplicaciones en problemas de la vida real: Por ejemplo, está relacionada con problemas de medida que a diario nos ocupan, corno diseñar un cantero o una pieza cerámica, o un folleto, cubrir una superficie ó calcular el volumen de un cuerpo; con leer mapas y planos, o. con dibujar o construir un techo con determinada inclinación.
La geometría se usa en todas las ramas de la matemática: Ella se 'comporta como un tema unificante (crea vínculos entre distintas áreas) de la matemática curricular ya que es un rico recurso de visualización para conceptos aritméticos, algebraicos y estadísticos. Los docentes usamos frecuentemente ejemplos y modelos geométricos para ayudar a que los estudiantes comprendan y razonen sobre conceptos matemáticos no geométricos.
Son ejemplos o modelos geométricos usados en la enseñanza:
 La recta numérica para números y operaciones
 Las figuras y formas ·geométricas que se usan para desarrollar el significado de conceptos relativos a
números fraccionarios
 Los arreglos rectangulares para estudiar propiedades de los números naturales, o la multiplicación
entre ellos.
 Las ideas de curvas, figuras y cuerpos relacionadas directamente con los conceptos longitud,
superficie y volumen.
 Las coordenadas en un plano y la idea de representar puntos a través de pares Ordenados de
números reales para relacionar el algebra con la geometría.
 Los gráficos dé barra, círculos, lineales, etc. que permiten la descripción de datos numéricos
utilizando elementos geométricos.
 El geoplano para representar fracciones o recorridos
La geometría es un medio para desarrollar la percepción espacial y la visualización. Sin considerar la necesidad de una buena percepción espacial en ocupaciones especificas todos necesitamos la habilidad de visualizar objetos en el espacio y captar sus relaciones, o de la capacidad de" leer representaciones bidimensionales de objetos tridimensionales. "
La geometría como modelo de disciplina organizada lógicamente: Ideas acerca de la lógica y la deducción en geometría no necesitan' esperar para ser enseñada hasta los niveles superiores de la escolaridad.
3 Extraído del Cuaderno para el curso de ingreso Geometría- Profesorado de Matemática- Albino S. Barros. Año 2011

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La geometría ayuda a estimular, ejercitar habilidades de pensamiento y estrategias de resolución de problemas. Da oportunidades" para observar, comparar, "medir, conjeturar, imaginar, crear, generalizar y deducir. Tales oportunidades pueden ayudar al alumno a aprender como descubrir relaciones por ellos mismos y tornarse mejores solucionadores de problemas.
OBJETIVOS
 Introducir a los alumnos ingresantes al profesorado de Matemática en el uso del lenguaje
geométrico adecuado y descubran otros nuevos.
 Lograr un conocimiento básico de las formas geométricas y las relaciones espaciales, indispensables
para el desenvolvimiento en la vida cotidiana y en el aula.
 Lograr que los alumnos se familiaricen y manipulen los elementos de la geometría y su correcto uso.
(regla, escuadra, compás, transportador, como así también utilizar tecnologías que colaboren a mejorar el ,
aprendizaje geométrico)
 Comprender y adecuar estrategias para la resolución de problemas geométricos
 Trabajar cooperativarnente asumiendo responsabilidades, respetando las normas acordadas,
valorando la tenacidad y el esfuerzo necesario en' el que hacer geométrico para el desarrollo personal y
social.
Introducción
La geometría es una de las ramas más antiguas de la matemática. Fue la primera en desarrollarse como un cuerpo teórico ordenado, con axiomas, teoremas, y demostraciones; este desarrollo fue imitado luego por el resto de las matemáticas. La propia geometría desarrolló sus propias ramas, y por ese motivo es difícil hablar hoy de una única geometría. Cada vez que las herramientas teóricas se demostraban insuficientes para resolver nuevos desafíos, distintos problemas prácticos motivaron el desarrollo de estas nuevas geometrías.4
Geometría (del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea.
Geometría demostrativa primitiva
El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la
4 "Las Geometrías"- Autores varios: Juan Pablo Pinasco, Pablo Amster, Nicolás Saintier, Inés Saltiva – Ed: INET - Ciudad Autónoma de Buenos Aires. Argentina. 2009

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geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios. Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación: "una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos axiomas. Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras). La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro Los elementos. El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días.
Conceptos básicos
Cada vez que en matemática se inicia el desarrollo de una teoría se debe fijar, como punto de partida, los conceptos primitivos, que se aceptan sin definir y ciertas propiedades que se aceptan sin demostrar, llamadas axiomas. A partir de ellos, se definen nuevos conceptos (definiciones) y se demuestran nuevas propiedades (teoremas).
El lenguaje que usa el matemático para desarrollar su teoría es la lógica, en consecuencia, en una teoría matemática intervienen los siguientes elementos:
 Conceptos o Términos primitivos (elementos sin definir)
 Axiomas (propiedades sin demostrar)
 Definiciones
 Teoremas (propiedades demostradas)
 Lenguaje lógico
Antes de iniciar el estudio de la geometría y trigonometría, analizaremos algunos conceptos básicos:
GEOMETRIA EUCLIDEANA5
El mérito principal de los Elementos de Euclides es haber llevado a cabo este procedimiento, eligiendo unos pocos axiomas, como base para desarrollar la geometría. El sistema axiomático de la geometría euclídea se divide en dos grupos de afirmaciones: unas son de carácter más general, y las otras se refieren específicamente a los objetos geométricos. Suele llamarse nociones comunes a los del primer grupo, y postulados a los del segundo.
Comencemos por las nociones comunes:
1. Cosas iguales a una misma, son iguales entre sí.
2. Si a iguales se agregan iguales, los todos son iguales.
5 Juan Pablo Pinasco – “Las geometrías”- INET -República Argentina.2009

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3. Si de cosas iguales se restan cosas iguales, las restas son iguales.
4. Cosas coincidentes son iguales entre sí.
5. El todo es mayor que la parte.
Esta lista de afirmaciones nos permite comparar “cosas”: pueden ser números, figuras, etc. El término iguales hay que tomarlo en un sentido muy general, porque tendrá distintos significados según el contexto. Euclides utiliza indistintamente iguales, congruentes, o equivalentes, si bien hoy día, se utiliza cada uno de estos términos en determinados contextos. Por ejemplo, hablamos por un lado de igualdad de números, y por otro de congruencia de ángulos o de segmentos. No debemos olvidar que esta es una convención arbitraria que no constituye una cuestión clave o fundamental de la matemática.
Los postulados son los siguientes:
1. Por dos puntos puede trazarse una recta.
2. Una recta dada puede extenderse indefinidamente.
3. Dado un centro y un radio puede trazarse un círculo.
4. Todos los ángulos rectos son congruentes a uno dado.
5. Si dos líneas cruzan una tercera de tal manera que la suma de los ángulos interiores en un lado es menor de dos ángulos rectos, entonces las dos líneas deben cruzarse una a la otra de ese lado, prolongadas lo suficiente.
GEOMETRÍA. Rama de las matemáticas que estudia las propiedades, las formas y las dimensiones de fi guras y cuerpos geométricos.
Elementos de la geometría euclidiana
Punto. Según Euclides: “Punto es lo que no tiene partes”, para evitar confusiones al dar una definición más compleja sólo diremos que la idea de punto, nos la da la marca que deja un lápiz sobre el papel, tan pequeña que carece de dimensión.
Línea recta. Sucesión infinita de puntos que tienen la siguiente forma: podemos agregar una línea recta es aquélla que yace por igual respecto de los puntos que están en ella”.
Recta
Semirrecta. Si se fija un punto C en una recta, al conjunto de puntos que le siguen o preceden se le llama semirrecta.
http://www.youtube.com/watch?v=wIf9Cy9ANGY

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A
B
α r
Semirrecta
Segmento. Porción de recta limitada por 2 puntos no coincidentes.
Segmento
Curva. Es aquella línea que no tiene partes rectas.
Figura geométrica. Extensión limitada por puntos, líneas y superficies.
Cuerpo sólido. Es todo aquello que
ocupa un lugar en el espacio y posee
longitud, anchura y altura.
El Plano y El Espacio. El plano al igual que El Espacio
geométrico, es un plano es el ente ideal que sólo posee dos
dimensiones en el caso del plano, y el caso del espacio tres
(lago, ancho y profundidad) . Contienen infinitos puntos y
rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales junto
con el punto y la recta.
Solamente puede ser definido o descripto en relación a otros
elementos geométricos similares. Se suele describir
apoyándose en los postulados característicos, que determinan
las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
Cuando se habla de un plano, se está haciendo referencia a la superficie geométrica que no posee volumen
(es decir, que es sólo bidimensional) y que posee un número infinito de rectas y puntos que lo cruzan de un
lado al otro.

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Semiplano. Cuando a un plano cualquiera se define una recta el mismo se divide en dos semiplanos opuestos.
Sp [r,A) se lee “Semiplano de borde r que contiene a A”
Sp [r,B) se lee “Semiplano de borde r que contiene a B”
Cuando se verifica que la recta r no pertenece al semiplano o sea que r Sp (r,A), se definen dos semiplanos abiertos opuestos.
Semiespacio. De manera analógica un plano que está incluido en un espacio geométrico, divide a éste en dos semiespacios opuestos.
En la siguiente gráfica podemos de encortar dos semiespacios a los que definimos como:
Se [α,J) se lee: “Semiespacio de borde α que contiene a J
Se [α,L) se lee: “Semiespacio de borde α que contiene a L
Axiomas importantes
Lee atentamente los siguientes axiomas y trata de identificarlos en las gráficas:6
i. Tres puntos determinan un plano.
ii. Una recta y un punto no pertenecientes a la misma caracterizan un mismo plano.
iii. Por un punto cualquiera perteneciente a un plano, y por él pueden pasar infinitas rectas.
iv. Una recta, determinada por dos puntos distintos de un
plano,
está incluida en dicho plano.
v. Dados dos puntos que determinan un segmento, por el
cual,
pueden pasar infinitos planos.
vi. Dos planos que se cortan forman una única recta.
Rectas Paralelas
6 Graficas realizadas en GeoGebra.

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Son rectas paralelas aquellas que están separadas por una misma distancia hasta el infinito, es decir, no se tocan nunca.
La recta r es paralela a la recta s. Las dos rectas son paralelas entre sí.
Perpendiculares
Se trata de dos rectas que se cortan en un punto, es decir, tienen un punto en común. En este punto que se cortan forman un ángulo recto (ángulo de 90º). También se dice que dos rectas son perpendiculares cuando en el punto en que se cortan, dividen al espacio en 4 partes iguales, formándo ángulos de 90º.
La recta r es perpendicular a la recta s. De la misma forma, la recta s es perpendicular a la recta r (carácter recíproco de la perpendicularidad). Entre las dos rectas se forma un ángulo de 90º.
Para indicar que dos rectas son perpendiculares entre sí, se pone un arco o un ángulo recto pequeño, con un punto dentro.
Ángulos
Sean tres puntos (E, F, y G) no alineados pertenecientes a un mismo plano, se pueden considerar los semiplanos Sp [ ,G) y Sp [ ,F). Podemos definir “ángulo” como la intersección de estos semiplanos.
=Sp [ ,G)  Sp [ ,F)
Se lee: ángulo convexo GEF
Elementos de los ángulos:
Vértice: Punto en común que tienen sus lados.
Lados: Cada una de las semirrectas que lo forman.
Amplitud: Es la apertura de sus lados y se mide en grados
Tambien se puede tener la siguientes notaciones
α ó (se lee ángulo α)
A ó (se lee ángulo en el vértice A)
http://www.youtube.com/watch?v=1D6K_hxZrq8

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Clasificación de los ángulos según su amplitud
Llano, es el ángulo formado por dos semirrectas opuestas. Tiene sus lados en la misma recta. Su amplitud es la mitad de un ángulo completo, es decir, de 180º.
Ángulo Recto, es uno cualquiera de los ángulos en que la bisectriz divide al llano. Su amplitud o abertura es de 90º.
Agudo, es todo ángulo cuya amplitud sea menor que la del recto, es decir, es como máximo de 90º.
Obtuso, es aquel cuya amplitud es mayor que la del ángulo recto y menor que la del llano, es decir, está comprendida entre 90º y 180º.
Nulo, es aquel que carece de amplitud y sus semirectas componentes son coincidentes y forman 0°. El ángulo nulo es congruente con el ángulo Giro que tiene una amplitud de 360°.
Complementarios, son aquellos cuya suma es igual a un ángulo recto (90°).
a + b = 90°
Suplementarios, son aquellos cuya suma es igual a dos ángulos rectos (180°).
a + b = 180°
Conjugados, son los ángulos cuya suma es igual a cuatro ángulos rectos (360°)

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a +b = 360°
Ángulos determinados por una recta incidente a otras dos incluidas en un plano
Sea la recta a⊂α, b⊂α y t incidente a a y a b en dos
puntos distinto A y B, respectivamente. En ese plano
se forman los ángulos α1, α2, α3, α4, β1, β2, β3 y β4.
La recta t suele llamase transversal o secante.
Los ángulos contenidos en un mismo semiplano de
borde t se llaman colaterales.
Ángulos colaterales son: α1, α4, β1 y β4
También en otro semiplano son colaterales: α2, α3, β2 y β3
Ángulos internos: α3, α4, β1 y β2
Ángulos externos: α1, α2, β3 y β4
Podemos clasificar ciertos pares de ángulos:
 Dos ángulos colaterales, uno interno y otro externo, no adyacentes se llaman
correspondientes. Son pares de ángulos correspondientes:
α1 y β1 - α4 y β4 - α3 y β3 - α4 y β4
 Dos ángulos colaterales e internos se llaman conjugados internos. Son pares de
ángulos conjugados internos:
α4 y β1 - α3 y β2
 Dos ángulos colaterales y externos se llaman conjugados externos. Son pares de
ángulos conjugados externos:
α1 y β4 - α2 y β3
 Dos ángulos no colaterales e internos, pero no adyacentes, se llaman alternos
internos. Son pares de ángulos alternos internos:
α3 y β1 - α4 y β2
 Analógicamente dos ángulos no colaterales e internos, pero no adyacentes, se llaman
conjugados externos. Son pares de ángulos alternos internos:
α2 y β4 - α1 y β3
a
b
α
t
α1 α2
α4 α3
β1 β2
β4 β3
http://www.youtube.com/watch?v=yMGIxyIN1oQ
http://www.youtube.com/watch?v=ow2Fs2vitQs

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Medida de ángulos - sistemas de medición de ángulos
Se utilizan varias unidades para medir los ángulos, la más empleada en la vida cotidiana es la sexagesimal, también es utilizada sobre todo por los topógrafos la centesimal y por los matemáticos el radian.
Sexagesimal. Aproximadamente en el año 1000 a.c los babilonios extienden a los círculos celestes la división del día en 360 partes, y a cada una de estas partes les llaman grado sexagesimal. La cuarta parte le corresponden 90 grados sexagesimales, que se denota por 90º. Ahora bien como los babilonios utilizan el sistema de numeración de base 60, dividen el grado en 60 partes iguales y cada una de estas partes la denominan minuto y se nota por 1'. Cada minuto lo subdividen a su vez en 60 segundos y cada una de estas subdivisiones lo nota por 1''.
Así pues tenemos que un ángulo recto mide 90º, 1º= 60' y 1'= 60''.
CENTESIMAL. LA MEDIDA DE ÁNGULOS CENTESIMAL SE ADOPTÓ CON EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL. EL ÁNGULO COMPLETO
360º EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL SE DIVIDE EN 400 PARTES IGUALES Y UN ÁNGULO RECTO EN 100, SE NOTAN POR 100G Y
LE LLAMA GRADIAN. A SU VEZ CADA GRADO CENTESIMAL (GRADIAN) SE DIVIDE EN 100 PARTES IGUALES QUE SON LOS
MINUTOS, SE NOTA POR 1M Y CADA MINUTO SE SUBDIVIDE EN 100 SEGUNDOS QUE LO NOTAREMOS POR 1S.
RADIANES. DADA UNA CIRCUNFERENCIA DE CENTRO O Y RADIO R, SE DENOMINA RADIAN AL ÁNGULO CENTRAL CUYO ARCO
COINCIDE CON EL RADIO.
1 rad= 57° 17' 44.8''
360º = 2rad
Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes; un ángulo de 180° equivale a π radianes (recordemos que el número
π ≈ 3,14159265359…)
Las equivalencias de los principales ángulos se muestran en las siguientes figuras:
La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad = 180°
La equivalencia entre grados centesimales y radianes es: π rad = 200g
La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.
http://www.youtube.com/watch?v=Tw10kabyV_c

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Técnica para trazar rectas paralelas y perpendiculares
En los siguientes dibujos se explica cómo trazar paralelas y perpendiculares con la ayuda de la escuadra y del cartabón. Observemos, como muestran los dibujos, que el cartabón no se mueve durante todo el proceso.
1. Primero se trazan varias líneas paralelas (en este caso, horizontales). Para ello solo se mueve la escuadra sobre el borde del cartabón, que permanece fijo.
Varias líneas Varias líneas
2. Luego se gira la escuadra, como muestra el dibujo, y se apoya de nuevo sobre el borde del cartabón, que permanece fijo.
Giro de la escuadra Giro de la escuadra
3. Por último se trazan las rectas perpendiculares a las anteriores (en este caso, las verticales). El cartabón sigue fijo durante todo el trazado.
Trazado de perpendiculares Trazado de perpendiculares
Mediatriz de un segmento. La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio del segmento M y es perpendicular al él dividiendo en dos segmentos iguales .
Pasos para trazar una mediatriz
1. Trazamos el segmento .
2. Con centro en A se traza una circunferencia de radio mayor que la mitad del segmento .
3. Desde B se traza una circunferencia de igual radio que la primera.
4. La recta que pasa por la intersección de las circunferencias (puntos C y D) es la mediatriz del segmento
Bisectriz de un ángulo. La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice del ángulo lo divide en dos partes iguales.
Pasos para trazar una bisectriz
1. Con centro en el vértice del ángulo se traza una circunferencia de
cualquier amplitud encontrando los puntos A y B.
2. Desde los puntos de corte A y B de la circunferencia con los lados
del ángulo se trazan dos circunferencias con el mismo radio que se cortan
formando el punto C.
3. La recta que pasa por el vértice del ángulo y el punto C de corte de
las circunferencias es la bisectriz.
http://www.youtube.com/watch?v=m0jxh5djGY4
http://www.youtube.com/watch?v=yKVVI79X1Ls

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Polígonos.
La palabra polígono está formada por dos voces de origen griego: “polys”: muchos y “gonía”: ángulos; por lo tanto, es
una figura con varios ángulos.
Un polígono es la región interior de una línea poligonal cerrada y no cruzada. Sus elementos son: los lados, los vértices
y las diagonales. A la línea que lo rodea se la llama contorno del polígono.
Podemos clasificar a los polígonos en regulares e
irregulares, fijándonos en sus lados y, en cóncavos o
convexos, fijándonos en sus ángulos.
Polígonos regulares y polígonos irregulares
Polígonos Regulares. Son todos los polígonos cuyos lados
y ángulos son iguales. Una característica particular de los
polígonos regulares, es que siempre pueden ser inscritos
en una circunferencia. Por ejemplo, un triángulo es un
polígono regular de 3 lados. Si te fijas en el dibujo, podrás
ver que todos sus vértices tocan a la circunferencia, sin
embargo, en el triángulo que está al lado, sólo dos de sus
puntos tocan a la circunferencia, lo que nos muestra que es un polígono irregular.
Polígono Irregular. A su vez, decimos entonces que un polígono es irregular cuando sus lados no son iguales, y
podemos ver también, que no todos sus puntos tocan la circunferencia.
Clasificación de polígonos regulares según el número de lados
Según su número de lados los polígonos reciben los siguientes nombres:
Triángulo: 3 lados.
Cuadrilátero: 4 lados
Pentágono: 5 lados
Hexágono: 6 lados
Heptágono: 7 lados
Octógono: 8 lados
Eneágono: 9 lados
Decágono: 10 lados
Undecágono: 11 lados
Dodecágono: 12 lados

56
CUADRADO
L
A= L
2
d1
d2
ROMBO
A =
d1 . d2
2
TRAPECIO
B
b
h
A =( B . b ) . h
2 TRIANGULO
B
h
A =
B . h
2
RECTANGULO
b
h
A = b.h
PARALELOGRAMO
b
h
A = b.h
PENTAGONO
Ap
L
A=
5L . Ap
2
CIRCULO
r
A= π.r2
Elementos de un polígono En
un polígono podemos distinguir:
 Lado, L: es cada uno de los segmentos que
conforman el polígono.
 Vértice, V: el punto de unión de dos lados
consecutivos.
 Diagonal, D: segmento que une dos vértices no
contiguos.
 Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.
 Ángulo interior y ángulo exterior.
En un polígono regular podemos distinguir, además:
 Centro, O: el punto equidistante de todos los
vértices y lados.
 Apotema, Ap: segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho
lado.
Cálculo de áreas de polígonos
sencillos
En la siguiente figura presentamos en forma
general el cómo se debe calcular el área de
algunas figuras sencillas.
También hay figuras como el Romboide y el
trapesoide que se calculan sus areas como el
Rombo y el trapecio respectivamenete.
Para calcular el área de los POLÍGONOS
REGULARES de n lados se los puede
descomponer en triángulos congruentes
y adyacentes de vértice o y apotema Ap.
Área del polígono =n .área AOB
Área AOB =
por lo que
Entonces el Área AOB =
y deducimos que el
Área polígono =
y como el perímetro de un
polígono es P = n . L
d1
d2
ROMBOIDE TRAPESOIDE
B
b
h
+

57
Nos queda: Área polígono =
http://www.youtube.com/watch?v=HX1LKGUv4D8
http://www.youtube.com/watch?v=nwm3MNI42Xc
http://www.youtube.com/watch?v=s4l-jE3RhVg

58
Triángulos
Se llama triángulos a toda figura convexa cuya intersección de tres semiplanos definidos por tres puntos A, B, y C no alineados pertenecientes a un mismo plano.
Se llama triángulo ABC a:
ABC = Sp [ ,C)  Sp [ ,B)  Sp [ ,A)
Los puntos A, B y C del triángulo se llaman vértice y los segmentos son los lados de los mismos. Los ángulos interiores son .
El ángulo tiene por opuesto al segmento y es adyacente a los
Clasificación de los triángulos
Como ya se sabe, un triángulo tiene tres lados y tres ángulos. Se obtienen diferentes tipos de triángulos dependiendo del valor de sus ángulos y sus lados.
http://www.youtube.com/watch?v=9gpvfGWNyno

59
Teorema de Pitágoras
Este es quizás uno de los teoremas matemáticos que más demostraciones presenta
a lo largo de toda la historia. Este teorema solo funciona para los triángulos
rectángulos.
Pitágoras llama HIPOTENUSA al
lado opuesto al ángulo interior
recto, o sea el lado más largo de un
triángulo rectángulo, a los otros
dos lados les llama CATETOS.
Enunciado: “En todo triángulo rectángulo la
medida de la hipotenusa al cuadrado es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos.”
Demostración: El ángulo es común a los triángulos BMA y BAC,
donde vemos que por ser ambos rectos. Además el ángulo
es común a los triángulos AMC y BAC, y vemos que por
ser ambos rectos. Luego demostramos que BAC AMC.
Sea el triángulos rectángulo BAC y la altura se concluye por
propiedad que
En consecuencia, sus lados homólogos son proporcionales y en particular tenemos pares de
triángulos semejantes y los triángulos que por lo que deducimos:
y
por propiedad fundamental de las proporciones
obtenemos: y si sumamos miembro a
miembro obtenemos:
Si sacamos factor común
Pero como nos queda
demostramos que
Otra demostración: El área del cuadrado construido sobre la
hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las
áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Cateto
Hipotenusa
Cateto
H
a
b
http://www.youtube.com/watch?v=EwMp3NB_8gU

60
Trigonometría
La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios. El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyó fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad. Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática.
El término Trigonometría proviene de las palabras griegas: Trígono y Metrón, que quieren decir: Triángulo y Medida
respectivamente. Sin embargo el estudio de la Trigonometría no solamente está limitado a la medición de los
triángulos, pues el campo de estudio de esta disciplina matemática se ha ido enriqueciendo progresivamente hasta
llegar a ser un instrumento indispensable en el Análisis Matemático, en la Física y en varias ramas de la Ingeniería.
Trigonometría circular
La circunferencia trigonométrica tiene como elementos y fundamentos principales al sistema de ejes cartesianos, una circunferencia Cr(O,1) (centro O origen y de radio 1) y un punto móvil P(x,y) , de coordenadas x en el eje de las abscisas e y en el eje de las ordenadas, que gira por sobre el contorno de la circunferencia en sentido anti- horario .
Los ejes son rectas reales perpendiculares que tienen como cero coincidentes en el punto O (origen).Dichos ejes separan al plano cartesiano en cuatro cuadrantes como muestra la figura. El primer cuadrante tiene los valores de las ordenadas y de las abscisas positivas. En cambio en el segundo cuadrante tiene las ordenadas negativas y abscisas positivas. En el tercer cuadrante tiene los valores de las ordenadas y de las abscisas negativas. Por último en el cuarto cuadrante tiene las ordenadas positivas y las abscisas negativas.
El segmento define el radio vector cuyo módulo siempre es igual a en la circunferencia trigonométrica. Además el radio vector define un ángulo α que depende de su valor de la posición del punto móvil P.
A su vez cada posición que tome el punto P y sus coordenadas definirá un triángulo rectángulo único para cada posición.
http://www.youtube.com/watch?v=ML-aUanNUcs
http://www.youtube.com/watch?v=-7i3x5MxSGk

61
El triángulo rectángulo OPX está compuesto por la hipotenusa
= ρ que es el radio vector, y por los catetos = Y y = X. Con los valores las medidas de los
lados ρ, X e Y podemos formar las siguientes razones:
Estas 6 razones determinan 6 valores que están vinculados con el valor que
toma el ángulo α. O sea que el ángulo α es una variable independiente, el
valor de ρ=1 es constante y los valores e X e Y son variables dependientes
del valor que toma α. En consecuencia podemos afirmar que estas razones
son funciones del ángulo , y se las denomina funciones trigonométricas,
que son las siguientes:
Seno α =
o sea Sen α =
al ser ρ=1 queda Sen α= Y
Coseno α =
o sea Cos α =
al ser ρ=1 queda Cos α= Y
Tangente α =
o sea Tg α =
Cotangente α =
o sea Cotg α =
Secante α =
o sea Sec α =
Cosecante α =
o sea Sec α =
Resolución trigonométrica de triángulos rectángulos
Resolver un triángulo rectángulo es hallar el valor de sus
lados, sus ángulos y de su área. Es necesario conocer dos
datos, uno de ellos sí o sí tiene que ser un lado, el otro dato
puede ser un ángulo u otro lado. Además se sabe que al ser
un triángulo rectángulo, sus ángulos agudos son
correspondientes. La resolución de triángulos: resolver un
triángulo consiste en averiguar la longitud de sus tres lados y
la amplitud de sus ángulos. Para resolver el triángulo
rectángulo hay que averiguar los elementos que faltan
partiendo de dos datos conocidos. Es por eso que se nos
presentan 4 casos:
1er caso: Resolución de un triángulo rectángulo conociendo su Hipotenusa y un Cateto
Datos Incógnitas
H y a b ; α ; β ;
Calculo de b
Despejando
Calculo de α
Cos α =
despejando α =
Calculo de β
Sen α =
despejando β =
Calculo de
=
Remplazando b nos queda
=

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