Capítulo 7Distribución deprobabilidad normal
Características de la distribución deprobabilidad normal   La curva normal es acampanada y presenta    sólo un pico en el...
Características de la distribución deprobabilidad normal   La distribución de probabilidad normal es    simétrica con res...
Características de la distribución deprobabilidad normal   La curva normal es simétrica.   Media, mediana y moda son igu...
La distribución de probabilidad normalestándar   La distribución normal estándar es una    distribución normal con media ...
Ejemplo 1   El salario inicial de los primeros dos meses de    los recién graduados de MBA siguen la    distribución norm...
Ejemplo 1 (Continuación)   ¿Cuál es el valor z de $1,700?        Z = (x – µ)/σ = (1,700 – 2,000)/200 = -1.50   Un valor ...
Áreas bajo la curva normal   Aproximadamente 68% del área bajo la curva normal    está entre la media más una y menos una...
Áreas bajo la curva normal              µ-σ µ µ+σ          µ-2σ 68% µ+2σ                  95%
Ejemplo 2   El uso diario de agua por persona en Vista    Bella, Naucalpan, está distribuido normalmente    con una media...
Ejemplo 3   ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de    Vista Bella seleccionada al azar consuma entre    20 y 24 g...
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Factor de corrección de continuidad   El valor 0.5 que se resta o se suma,    dependiendo de la situación, a un valor    ...
Ejemplo 5   Un estudio reciente de una firma de estudios de    mercado mostró que 15% de residentes americanos    son pro...
Ejemplo 5 (Continuación)   ¿Cuál es la varianza?     σ = nπ (1 − π ) = (30)(1 − .15) = 25.5       2   ¿Cuál es la desvia...
Ejemplo 5 (Continuación)   ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 40    hogares en la muestra tengan videocámaras?   U...
Ejemplo 5 (Continuación)   Del apéndice D el área entre 0 y 1.88 en la    escala z es .4699.   Por lo tanto, el área a l...
Ejemplo 5 (Continuación)                                P(z<1.88)                                =.50000 + .4699          ...
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  1. 1. Capítulo 7Distribución deprobabilidad normal
  2. 2. Características de la distribución deprobabilidad normal La curva normal es acampanada y presenta sólo un pico en el centro de la distribución. La media aritmética, la mediana y la moda de la distribución son iguales y están localizadas en el pico. De esta forma, la mitad del área bajo la curva se encuentra por arriba de este punto central, y la otra mitad por abajo.
  3. 3. Características de la distribución deprobabilidad normal La distribución de probabilidad normal es simétrica con respecto a su media. La curva normal decrece uniformemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es asintótica, esto significa que la curva se acerca cada vez más al eje x, pero en realidad nunca llega a tocarlo. Esto es, los puntos extremos de la curva se extienden indefinidamente en ambas direcciones.
  4. 4. Características de la distribución deprobabilidad normal La curva normal es simétrica. Media, mediana y moda son iguales.
  5. 5. La distribución de probabilidad normalestándar La distribución normal estándar es una distribución normal con media cero y desviación estándar de 1. También es llamada distribución z. Un valor z es la distancia entre un valor seleccionado llamado x, y la media de la población µ, dividida entre la desviación estándar, σ. La fórmula es: Z = (x – µ)/σ
  6. 6. Ejemplo 1 El salario inicial de los primeros dos meses de los recién graduados de MBA siguen la distribución normal con una media de $2,000 y una desviación estándar de $200. ¿Cuál es el valor z para un salario de $2,200? Z = (x – µ)/σ = (2,200 – 2,000)/200 = 2.00
  7. 7. Ejemplo 1 (Continuación) ¿Cuál es el valor z de $1,700? Z = (x – µ)/σ = (1,700 – 2,000)/200 = -1.50 Un valor z de 1 indica que el valor de $2,200 es una desviación estándar arriba de la media de $2,000. Un valor z de -1.50 indica que $1,700 es 1.5 desviación estándar debajo de la media de $2,000.
  8. 8. Áreas bajo la curva normal Aproximadamente 68% del área bajo la curva normal está entre la media más una y menos una desviaciones estándar, y se expresa µ +- 1σ. Alrededor de 95% del área bajo la curva normal está entre la media más dos y menos dos desviaciones estándar, lo que se expresa µ +- 2σ. Prácticamente toda el área bajo la curva normal está entre la media y tres desviaciones estándar (a uno y otro lados del centro), es decir µ +- 3σ.
  9. 9. Áreas bajo la curva normal µ-σ µ µ+σ µ-2σ 68% µ+2σ 95%
  10. 10. Ejemplo 2 El uso diario de agua por persona en Vista Bella, Naucalpan, está distribuido normalmente con una media de 20 galones y una desviación estándar de 5 galones. Aproximadamente 68% de ellos ¿cuántos galones de agua consumen? Aproximadamente 68% del uso diario de agua cae entre 15 y 25 galones.
  11. 11. Ejemplo 3 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de Vista Bella seleccionada al azar consuma entre 20 y 24 galones por día? Z = (x – µ)/σ = (20 – 20)/5 = 0.00 Z = (x – µ)/σ = (24 – 20)/5 = 0.80
  12. 12. Ejemplo 3 (Continuación) El área bajo la curva normal entre un valor z de cero y un valor z de 0.80 es 0.2881. Concluimos que 28.81% de los residentes consumen entre 20 y 24 galones de agua por día. Observe el siguiente diagrama.
  13. 13. Ejemplo 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 P(0<z<.8) = .2881
  14. 14. Ejemplo 3 (Continuación) ¿Qué porcentaje de la población consume entre 18 y 26 galones por día? Z = (x – µ)/σ = (18 – 20)/5 = – 0.40 Z = (x – µ)/σ = (26 – 20)/5 = 1.20
  15. 15. Ejemplo 3 (Continuación) El área asociada con un valor z de – 0.40 es de .1554. El área asociada con un valor z de 1.20 es de . 3849. Sumando estas áreas, el resultado es .5403. Concluimos que 54.03% de los residentes consumen entre 18 y 26 galones de agua por día.
  16. 16. Ejemplo 4 El profesor Velasco ha determinado que las calificaciones en su curso de estadística, están aproximadamente distribuidas en forma normal con una media de 72 y desviación estándar de 5. Él avisa a la clase que el 15% más alto obtendrá una calificación de A. ¿Cuál es la puntuación límite más baja que obtendrá calificación de A?
  17. 17. Ejemplo 4 (Continuación) Para comenzar, sea x la puntuación que separa una A de una B. Si el 15% de los estudiantes tienen puntuación superior a x, entonces el 35% deberá estar entre la media de 72 y x. El valor z asociado correspondiente al 35% es 1.04.
  18. 18. Ejemplo 4 (Continuación) Tomamos z = 1.04 y resolvemos la ecuación de la normal estándar para x. El resultado es la puntuación que separa a los estudiantes que separan una A de aquellos que ganaron una B. 1.04 = (x – 72)/5 = 72 + 5.2 = 77.2 Aquellos cuya puntuación sea de 77.2 o más ganarán una A.
  19. 19. La aproximación normal a la binomial La distribución normal (una distribución continua) proporciona una buena aproximación de la distribución binomial (una distribución discreta) para valores grandes de n. La distribución de probabilidad normal es generalmente una buena aproximación para la distribución de probabilidad binomial cuando nπ y n(1 – π ) son ambos mayores que 5.
  20. 20. La aproximación normal (Continuación)Recordemos que para un experimento binomial: En un experimento sólo existen dos resultados mutuamente excluyentes: éxito y fracaso. La distribución es el resultado de contar el número de éxitos en una cantidad fija de ensayos. Cada ensayo es independiente. La probabilidad, π , permanece igual de un ensayo a otro.
  21. 21. Factor de corrección de continuidad El valor 0.5 que se resta o se suma, dependiendo de la situación, a un valor seleccionado cuando una distribución de probabilidad discreta se aproxima por medio de una distribución de probabilidad continua.
  22. 22. Ejemplo 5 Un estudio reciente de una firma de estudios de mercado mostró que 15% de residentes americanos son propietarios de una videocámara. Para una muestra de 200 hogares, ¿cuántos de los hogares esperaría que tengan videocámara? µ = nπ = (.15)(200) = 30 Esta es la media de una distribución binomial.
  23. 23. Ejemplo 5 (Continuación) ¿Cuál es la varianza? σ = nπ (1 − π ) = (30)(1 − .15) = 25.5 2 ¿Cuál es la desviación estándar? σ = 25.5 = 5.0498
  24. 24. Ejemplo 5 (Continuación) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 40 hogares en la muestra tengan videocámaras? Usamos el factor de corrección, por lo tanto x es 39.5. El valor z es 1.88 Z = (x – µ)/σ = (39.5 – 40)/5.0498 = 1.88
  25. 25. Ejemplo 5 (Continuación) Del apéndice D el área entre 0 y 1.88 en la escala z es .4699. Por lo tanto, el área a la izquierda de 1.88 es . 5000 + .4699 = .9699. La probabilidad de que menos de 40 de los 200 hogares tengan videocámara es aproximadamente 97%.
  26. 26. Ejemplo 5 (Continuación) P(z<1.88) =.50000 + .4699 =.9699 0 1 2 3 Z = 1.88

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