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    Diseño de filtro de tiempo discreto tipo Butterworth
        por el método de la transformada bilineal.
                                                  Autores: Aarón García, Nelson Torres.
           Estudiantes Ingeniería en Telecomunicaciones e Ingeniería en Automatización de la Universidad Don Bosco.


   Abstracción—Este documento describe el proceso analítico y                        Filtro pasa bajo
matemático a seguir, para diseñar un filtro digital en tiempo                        Filtro pasa alto
discreto tipo Butterworth, utilizando el método de la
transformada bilineal, y su posterior simulación en el software
                                                                                     Filtro rechaza banda
Matlab.                                                                              Filtro pasa banda
                                                                                     Filtro pasa todo
   Índex Terms— Filtro digital, Filtro Butterworth, Señales y
sistemas discretos, Simulación en Matlab, Transformada bilineal,             El filtro pasa bajo, es aquel que mantiene una ganancia
                                                                             elevada para toda frecuencia inferior a la frecuencia de paso,
                                                                             y atenúa toda frecuencia por encima de la frecuencia de corte.
                          I. INTRODUCCIÓN

L    OS filtros, en su definición mas común, es un dispositivo o
    sistema con la habilidad de retener, reducir o eliminar
algún componente no deseado. Para el caso más simple, podría
                                                                             El filtro pasa alto, atenúa toda frecuencia por debajo de la
                                                                             frecuencia de corte, y aplica una ganancia elevada a toda
                                                                             frecuencia por encima de la frecuencia de paso.
decirse que el papel utilizado en las cafeteras, es un filtro,
dado que evita que los granos de café se mezclen en la tasa, y               El filtro Rechaza banda, necesita dos frecuencias de corte, ya
deja pasar únicamente el agua tenida en cafeína.                             que atenúa el rango entre ellas, y aplica una ganancia elevada
                                                                             al resto del espectro.
Ahora, aplicando este mismo concepto, a un análisis eléctrico,
un filtro es un sistema que elimina un componente no deseado                 El filtro pasa banda, necesita dos frecuencias de corte, y dos
en una señal. Para nuestro caso, en el análisis de señales en                frecuencias de paso, ya que aplica una ganancia elevada, entre
sistemas de telecomunicaciones, este componente por lo                       estas ultimas dos, y atenúa el resto.
general es la frecuencia.
                                                                             El filtro pasa todo, se diseña para trabajar en un rango de
Dado que una señal eléctrica, variante en el tiempo, posee                   frecuencias, y aplica una elevada ganancia todo el rango; es
amplitud, frecuencia, fase, y espectro; se diseñan filtros que               decir, no atenúa la señal. Su aplicación, radica en que modifica
atenúen la amplitud de la señal, a partir de la frecuencia                   la fase de la señal.
detectada.

En el análisis de filtros, se considera una frecuencia de paso                                 II. FILTRO BUTTERWORTH
(aquella frecuencia deseada, y cuya ganancia en el sistema no
                                                                               A. Filtro para señales continuas.
quiere verse afectada), y una frecuencia de corte (aquella
frecuencia no deseada, cuya ganancia en el sistema se desea                     El filtro de Butterworth es uno de los filtros electrónicos
atenuada). Por razones propias del mundo real, llevar a cabo                 más básicos, diseñado para producir la respuesta más plana
modelos ideales no es posible, por lo que existe un intervalo                que sea posible hasta la frecuencia de corte. En otras palabras,
de transición entre la frecuencia de corte, y punto con la                   la salida se mantiene constante casi hasta la frecuencia de
máxima atenuación. Dicho intervalo puede ser grande o no, y                  corte, luego disminuye a razón de 20n dB por década (ó ~6n
de ello depende el orden del filtro (a mayor orden, el intervalo             dB por octava), donde n es el número de polos del filtro. [1]
es mas pequeño).
                                                                               Fue descrito por primera vez por el ingeniero británico S.
Para ello se consideran que existen 5 tipos de filtros:                      Butterworth en 1930. [1]

                                                                                La respuesta en frecuencia del filtro es extremadamente
   Manuscrito recibido el 26 de septiembre de 2012.                          plana (con mínimas ondulaciones) en la banda pasante. Visto
   Este trabajo forma parte de las asignaciones de la catedra de SEÑALES Y   en un diagrama de Bode con escala logarítmica, la respuesta
SISTEMAS DISCRETOS impartido en la Universidad Don Bosco El
Salvador, por el Ing. WENCESLAO RIVAS, bajo el plan de estudios 2009.        decae linealmente desde la frecuencia de corte hacia menos
                                                                             infinito. Para un filtro de primer orden son -20 dB por década
2

(aprox. -6dB por octava).                                                        Que se interpreta como el filtro ideal, donde la función H
   El filtro de Butterworth es el único filtro que mantiene su                 representa la respuesta en amplitud del sistema, a partir de una
forma para órdenes mayores (sólo con una caída de más                          restricción de frecuencia de corte. Fuera de esa restricción, la
pendiente a partir de la frecuencia de corte). [1]                             componente deberá ser cero.


                                                                                 C. Método de la transformada bilineal.
                                                                                 El diseño de un filtro digital, para el procesamiento de
                                                                               señales en tiempo discreto, conlleva ciertas dificultades
                                                                               matemáticas, por lo que la complejidad de su diseño puede
                                                                               llevar a densos desarrollos algebraicos. [2]

                                                                                 En su lugar, se desarrollo un método mas simple, y hasta
                                                                               ingenuo, que consiste en diseñar un filtro en tiempo continuo
                                                                               (los cuales, llevan mucho mas tiempo en investigación y
                                                                               estudio por lo que se considera que su lógica matemática se ha
                                                                               simplificado y desarrollado en mayor proporción que un filtro
                                                                               en tiempo discreto), y luego, a partir de restricciones,
                                                                                 Convertirlo a un filtro discreto, por una transformada de
                                                                               variables.
Fig. 1. Representación de un filtro pasa bajo Butterworth, y la pendiente de
atenuación, según el orden del filtro.


Este tipo de filtro, posee la característica de giro de fase.




Fig. 2. Representación del cambio de fase de la señal que pasa a través del
filtro. El filtro pasa bajo, hace un giro de 180º en la señal.


Según la figura 2, existe un cambio incremental en la fase
antes de la frecuencia de corte, y posterior, ocurre un cambio
de fase, y un nuevo cambio incremental para la frecuencia                        Fig. 3. Representación grafica, de las relaciones de frecuencia de paso y
                                                                                 frecuencia de corte, entre un sistema de filtro continuo y un sistema de filtro
atenuada.                                                                        discreto. [2]


  B. Filtro discreto.                                                            El concepto de la transformada bilineal se describe
  Los filtros discretos, pertenecen a la categoría de sistemas                 gráficamente en la fig 3.
lineales e invariantes en el tiempo LTI; los cuales hacen una                    En donde se interpreta que la función de transferencia del
selección de señales, a partir de la frecuencia establecida en el
diseño.

  Cuando el sistema es diseñado en condiciones de alta
frecuencia de muestreo (no existe solapamiento), el sistema
completo se comporta como un sistema en tiempo continuó
lineal e invariante con el tiempo, cuya respuesta en frecuencia
es: [2]

                    𝐻(𝑒 𝑗Ω𝑇 ),     |Ω| < 𝜋⁄ 𝑇
  𝐻 𝑒𝑓𝑓 (𝑗Ω) = {                                                     (1)
                   0,              |Ω| > 𝜋⁄ 𝑇
                                                                                Fig. 4. Grafico de restricción utilizado para convertir de frecuencia angular, a
                                                                                frecuencia discreto, e el sistema de modelado de filtros discretos por la
                                                                                transformada bilineal. [2]
3

 filtro en tiempo continuo, es restringida por una función Ω,                      A. Conversión a frecuencia angular.
 que corta en los puntos de frecuencia de paso y frecuencia de                     Para fines de uniformidad y convención con los libros de
 corte del filtro continuo (es una restricción). Dicha restricción               textos, se utiliza la siguiente simbología:
 se asocia a un nuevo filtro discreto, cuyas frecuencias de corte
 y de paso, corresponden con las del filtro en tiempo continuo,                  fp: Frecuencia de paso.
 relacionándose a través de la restricción.                                      fs: Frecuencia de corte
                                                                                 fm: Frecuencia de muestreo
   Siendo la restricción (ver figura 4):                                         δ1: Respuesta en amplitud para el rango de frecuencias de
                                                                                 paso.
   En donde se convierte de frecuencia angular ω, a una                          δ2: Respuesta en amplitud para el rango de frecuencias de
 frecuencia discreta Ω, que este restringida de un intervalo de –                corte.
 π a π. [3]
                                                                                 Se convierten las frecuencias lineales, a frecuencias angulares
                          III. CASO DE ESTUDIO                                   del método bilineal:
    Como ejemplo de aplicación del método de la transformada
                                                                                     𝜔 = Ω𝑇                                                 (2)
 bilineal en el diseño de un filtro pasa bajo tipo Butterworth, se
 propone el siguiente problema:                                                      Donde:
                                                                                     Ω = 2𝜋𝑓                                                (3)
       Diseñar un filtro de tiempo discreto usando un tipo
                                                                                     Y
       de filtro Butterworth por el método de la                                          1           1
       transformada bilineal usando las siguientes                                   𝑇=        =             = 90.7029𝜇𝑠                    (4)
                                                                                          𝑓𝑚       11025𝐻𝑧
       especificaciones en tiempo continuo para el filtro:
                                                                                     Sea entonces, para las frecuencias de paso:
       1. Banda de paso: 0 a 1700 Hz
       2. Banda eliminada: 3000 a 5512.5 Hz                                              𝜔 𝑝 = 2𝜋𝑓 𝑝 𝑇
       3. Máxima atenuación en la banda de paso: 3 dB                                    𝜔 𝑝 = 2𝜋 ∗ (1700𝐻𝑧) ∗ (90.7029𝜇𝑠)
       4. Mínima atenuación en la banda eliminada 50 dB                                  𝜔 𝑝 = 0.30839𝜋
       5. Frecuencia de muestreo: 11025 Hz
                                                                                     Para las frecuencias de corte:

   Por analogía, puede interpretarse que el comportamiento                               𝜔 𝑠 = 2𝜋𝑓 𝑝 𝑇
 IDEAL del filtro, se cumple en la siguiente figura:
                                                                                         𝜔 𝑠 = 2𝜋 ∗ (3000𝐻𝑧) ∗ (90.7029𝜇𝑠)
                                                                                         𝜔 𝑠 = 0.54421𝜋
    Cuyo comportamiento, se cumplirá para todo el espectro
                                                                                 Ahora, examinando las respuestas en amplitud, se sabe que:
 contenido entre 0Hz y 5.5KHz, según el criterio de Nyquist.
 Obsérvese que el máximo de la banda eliminada, corresponde
                                                                                 𝑃 𝑑𝐵1 = 20log(1 − 𝛿1 )                                     (5)
 a la mitad de la frecuencia de muestreo.
                                                                                 y

                                                                                 𝑃 𝑑𝐵2 = 20log(𝛿2 )                                         (6)


                                                                                     Por lo que se obtiene que:

                                                                                                          −3𝑑𝐵⁄
                                                                                         𝛿1 = 1 − 10           20
                                                                                         𝛿1 = 0.29205

                                                                                     y

                                                                                                   −50𝑑𝐵
                                                                                                     ⁄20
                                                                                         𝛿2 = 10
                                                                                         𝛿1 = 0.00316
Fig. 5. Esquema representativo del desafió propuesto. Se destacan la
frecuencia de paso, y la frecuencia de corte, sus correspondientes amplitudes.
                                                                                     Obsérvese, que dada la naturaleza del modelo matemático,
4

se cumple la condición de la realidad, para las frecuencias                                 1
                                                                     |𝛿1 |2 =              Ω 𝑝 2𝑁
                                                                                                                          (8ª)
inferiores a la frecuencia de paso, se tiene una alta ganancia.                      1+(
                                                                                           Ω𝑐
                                                                                              )
Mientras que para las frecuencias por encima de la frecuencia
de corte se mantiene una baja ganancia (los factores δ1 y δ2         |𝛿2 |2 =
                                                                                            1
                                                                                        Ω 2𝑁
                                                                                                                          (8b)
respectivamente).                                                                    1+( 𝑠 )
                                                                                        Ω𝑐



  B. Sistema ficticio.                                             Despejando N se tiene: [2]
El sistema ficticio corresponde a aquellas variables expresadas
                                                                               1
en frecuencia, bajo las condiciones del modelo de                                  −1
transformadas bilineal, que deben ser convertidas, para que se                𝛿2 2
                                                                        𝑙𝑜𝑔 [ 1       ]
cumpla dicho modelo.                                                               −1
Sean entonces las ecuaciones:
                                                                      1       𝛿1 2
                                                                   𝑁=
                                                                      2          Ω
                                                                            𝑙𝑜𝑔 𝑠
      2          𝜔                                                               Ω𝑝
Ω=         𝑡𝑎𝑛                                             (7)
      𝑇𝑑         2                                                                                                            (9)

  Donde Td es la constante de diseño. Para fines de                Resolviendo se tiene:
simplificación se toma que Td=1.
                                                                                           1
                                                                                                 −1
  Sea entonces, nuestro sistema ficticio:                                            (0.00316)2
                  𝜔𝑝                                                           𝑙𝑜𝑔 [       1        ]
    Ω 𝑝 = 2 𝑡𝑎𝑛                                                                                2−1
                 2                                                           1       (0.29205)
                                                                          𝑁=
                                                                             2            2.2990
                       0.30839𝜋                                                       𝑙𝑜𝑔
      Ω 𝑝 = 2 𝑡𝑎𝑛                                                                         1.0524
                           2
                                                                          𝑁 = 5.84 ≈ 6
      Ω 𝑝 = 1.0524
                                                                   Se aproxima al siguiente entero, obteniendo un filtro de sexto
  y                                                                orden. Esto es valido, ya que nuestro sistema se
                       𝜔𝑠                                          sobredimensiona, por lo que el solapamiento no será
      Ω 𝑠 = 2 𝑡𝑎𝑛
                       2                                           problema. Es decir, el sistema será estable para algunos
                                                                   valores por encima de la mitad de la frecuencia de muestreo.
                       0.54421𝜋
      Ω 𝑠 = 2 𝑡𝑎𝑛
                           2                                       Tomamos la ecuación de la frecuencia de corte (8b) y
                                                                   despejamos la frecuencia crítica:
      Ω 𝑠 = 2.2990
                                                                                    Ω𝑠
                                                                   Ω𝑐 =                    1/2𝑁                                (8c)
 C. Respuesta en amplitud.                                                (
                                                                              1
                                                                                   2 −1)
                                                                              𝛿2


  Modelando la respuesta del sistema en amplitud, se sabe:         Sustituyendo:

                                                                                                    2.2990
                        1                                                 Ω𝑐 =
  |𝐻(𝑗Ω)|2 =                                            (8)                                              1/2(6)
                        Ω 2𝑁                                                                  1
                     1+( )
                        Ω𝑐                                                           (             2 − 1)
                                                                                         (0.00316)
   En donde Ωc corresponde a la frecuencia de respuesta del
                                                                          Ω 𝑐 = 0.88068
sistema ficticio, y se considera, que para que el sistema sea
estable, este debe ser menor de 1 (corresponde al radio vector
del plano Imaginario del sistema).                                  D. Selección de los polos.

La variable N corresponde al orden del filtro. Por lo que el       Dado que el sistema es de orden 6, tiene una cantidad de
sistema tiene aun 2 incogniticas, es decir la frecuencia crítica   polos:
y el orden del filtro. Para resolverlo, se plantean dos
ecuaciones a partir de las soluciones del sistema ficticio:        𝑃𝑜𝑙𝑜𝑠 = 2𝑁                                                  (10)

                                                                     Es decir, tiene 12 polos, y dado que el sistema tiene un
                                                                   radio Ωc=0.88068, el cual es inferior al círculo unitario, el
5

 sistema es estable, solo falta seleccionar a aquellos polos del                  Por lo que nuestro sistema de orden N=6, con simetría de
                                                                                parejas de polos, queda representado como:

                                                                                                  (Ω 𝑐 )2        (Ω 𝑐 )2            (Ω 𝑐 )2
                                                                                𝐻 𝑐(𝑆) = (𝑆−𝑆                ·
                                                                                                     )(𝑆−𝑆4 ) (𝑆−𝑆2 )(𝑆−𝑆5 )
                                                                                                                               · (𝑆−𝑆                   (12a)
                                                                                                   1                                 3 )(𝑆−𝑆6 )



                                                                                  Al desarrollar en forma individual los multiplicadores, se
                                                                                obtiene el siguiente esquema algebraico:

                                                                                                       𝑐       (Ω )2
                                                                                   𝐻 𝑐(𝑆) = (𝑆−(𝑥+𝑖𝑦))·(𝑆−(𝑥−𝑖𝑦))                                       (12b)

                                                                                                           (Ω 𝑐 )2
                                                                                   𝐻 𝑐(𝑆) =                                                             (12c)
                                                                                                  𝑆 2 −2·𝑆(𝑥)+(Ω 𝑐 )2


                                                                                  Donde (x+iy) corresponde a la forma rectangular de las
                                                                                funciones S.
Fig. 6. Esquema representativo de la distribución de los polos, a lo largo de
la circunferencia formada por Ωc. Existe simetría en los polos, y para que el     Convirtiendo nuestras funciones S a su forma rectangular:
sistema sea estable, se analizan los polos en el lado izquierdo.
                                                                                                                        7𝜋
                                                                                                 𝑆1 = 0.88068𝑒 𝑗 12 = −0.2294 + 0.8561𝑖
 plano izquierdo del sistema (fig. 6):                                                                                  3𝜋
                                                                                                 𝑆2 = 0.88068𝑒 𝑗 4 = −0.6227 + 0.6227𝑖
                                                                                                                        11𝜋
                                                                                                 𝑆3 = 0.88068𝑒 𝑗 12 = −0.8506 + 0.2279𝑖

                                                                                  Por simetría se sabe que:
   Dado que todos los polos tienen simetría entre si, pueden
 definirse mediante la ecuación:                                                                 𝑆4 = −0.2294 − 0.8561𝑖
                     𝑝𝜋
                                                                                                 𝑆5 = −0.6227 − 0.6227𝑖
     𝑆 𝑘 = |Ω 𝑐 |𝑒 𝑗2𝑁                                                   (11)                    𝑆6 = −0.8506 − 0.2279𝑖

   Y ya que solo se necesitan los polos del plano izquierdo, se                    Nótese que para realizar la operación, basta con conocer la
 obtiene que: [3]                                                               mitad de las funciones S, dado que según el análisis
                                                                                algebraico, no se necesita las componentes en el eje
                                7𝜋                                              imaginario para resolver el sistema; es decir, con conocer el
             𝑆1 = 0.88068𝑒 𝑗 12
                                                                                valor en el eje real (el valor x es el mismo para cada par de
                                    3𝜋                                          funciones S) puede resolverse.
             𝑆2 = 0.88068𝑒 𝑗 4
                                                                                  Nuestros multiplicadores quedan como:
                                    11𝜋
                                𝑗
             𝑆3 = 0.88068𝑒           12
                                                                                                                      0.7756
                                                                                                 𝐻 𝑐1(𝑆) =
                                                                                                             𝑆 2 + 0.4588𝑆 + 0.7756
    Y se obtiene por simetría:                                                                                        0.7756
                                                                                                 𝐻 𝑐2(𝑆)   = 2
                                                                                                             𝑆 + 1.2454𝑆 + 0.7756
                               7𝜋                                                                                     0.7756
             𝑆4 =   0.88068𝑒 −𝑗 12                                                               𝐻 𝑐1(𝑆)   = 2
                                                                                                             𝑆 + 1.7012𝑆 + 0.7756
                                     3𝜋
             𝑆5 = 0.88068𝑒 −𝑗 4                                                   Por lo que nuestro sistema completo es:

                                     11𝜋                                                             0.7756                 0.7756                 0.7756
             𝑆6 = 0.88068𝑒 −𝑗 12                                                 𝐻 𝑐(𝑆) =                         ·                      ·
                                                                                            𝑆 2 + 0.4588𝑆 + 0.7756 𝑆 2 + 1.2454𝑆 + 0.7756 𝑆 2 + 1.7012𝑆 + 0.7756



   E. Función de transferencia.                                                   F. Transformada bilateral.
 Ahora, se modela la respuesta en frecuencia en una función de                  Ahora, se realiza la transformada del dominio S al dominio Z,
 transferencia, utilizando la formula:                                          con la expresión:

                (Ω 𝑐 ) 𝑁                                                              2         1−𝑍 −1
  𝐻 𝑐(𝑆) = (𝑆−𝑆                                                          (12)   𝑆=          (            )                                               (13)
                                                                                      𝑇𝑑        1+𝑍 .1
                1 )…(𝑆−𝑆 𝑛)
6

  Donde Td =1, previamente definido en el proceso.                               𝐻(𝑧)
                                                                                 = 0.0015172 · (1 + 𝑍 −1 )6
  Para simplificar                 el     proceso,   pueden   utilizarse   las                                    1
                                                                                 ∗
equivalencias: [4]                                                                 (1 − 1.1327𝑍 −1 + 0.6776𝑍 −2 ) · (1 − 0.9755𝑍 −1 + 0.4447𝑍 −2 )
                                                                                                  1
                                                                                 ∗                −1 + 0.1678𝑍 −2 )
   𝑐𝑜𝑚 = 4 + 2𝑏 + 𝑐                                                (14a)           · (1 − 0.7893𝑍
        𝑐
   𝑏0 =                                                            (14b)
          𝑐𝑜𝑚
   𝑏1 = 2                                                          (14c)
   𝑏2 = 1                                                          (14d)
   𝑎0 = 1                                                          (14e)                                IV. CONCLUSIONES.
        −8+2𝑐
   𝑎1 =                                                            (14f)                Dada la complejidad del diseño de un filtro discreto, se
           𝑐𝑜𝑚
          4−2𝑏+𝑐                                                                        utiliza la técnica de transformada bilineal, que consiste en
   𝑎2 =                                                            (14g)
              𝑐𝑜𝑚                                                                       diseñar un filtro en tiempo continuo, y a partir de
                                                                                        criterios de restricción, convertirlo a un filtro discreto.
Para obtener una función de transferencia en el dominio de Z:
                                                                                        Dicho filtro, posee un Orden, que corresponde a la
                          1+2𝑍 −1 +𝑍 −2                                                 pendiente (en escala logarítmica) de la atenuación que
   𝐻(𝑧) = 𝑏0 ·                                                     (15)
                        𝑎0 −𝑎1 𝑍 −1 +𝑎3 𝑍 −2                                            recibe la señal, entre la frecuencia de corte, y la
                                                                                        frecuencia de paso. Por lo general, dicha atenuación se
  A partir de la función de transferencia en el dominio de S:                           mide en db/décadas. Es decir, para que el
                                                                                        comportamiento del filtro, se asemeje mas al filtro ideal,
                    𝑐
   𝐻 𝑐(𝑆) =                                                        (16)                 deberá ser de un orden muy alto. Pero dada las
              𝑆 2 +𝑏𝑆+𝑐
                                                                                        características y los costes del diseño, un filtro entre
  Remplazando y sustituyendo obtenemos:                                                 orden 4 y orden 10 ofrece muy buenos resultados, e
                                                                                        incluso puede diseñarse filtros de mayor orden, si se
                                                                                        dispone de filtros digitales programables, que reduzcan la
                           0.7756      1 + 2𝑍 −1 + 𝑍 −2                                 utilización de elementos electrónicos.
              𝐻1(𝑧) =             ·
                            5.69 1 − 1.1327𝑍 −1 + 0.6776𝑍 −2
                                                                                        Una restricción propia de cualquier filtro, en especial los
                           0.7756      1 + 2𝑍 + 𝑍     −1      −2                        discretos, es que funcionara muy bien dentro de un rango
              𝐻2(𝑧) =             ·                                                     de diseño, que según los criterios Nyquist, el sistema será
                            6.61 1 − 0.9755𝑍 −1 + 0.4447𝑍 −2                            estable si por ella es sometida una señal cuya frecuencia
                                                                                        sean menores o iguales a la mitad de la frecuencia de
                           0.7756      1 + 2𝑍 −1 + 𝑍 −2                                 muestreo. Considerándose, que mientras mas alta sea la
              𝐻3(𝑧) =             ·
                            8.17 1 − 0.7893𝑍 −1 + 0.1678𝑍 −2                            frecuencia de muestreo en comparación a la señal a
                                                                                        muestrear, se obtienen muy buenos resultados en la
                                                                                        selección del filtro, ofreciendo una salida muy cercana a
 G. Filtro discreto.                                                                    la real, ya que para la percepción humana, no existirá una
                                                                                        diferencia notoria.
 El filtro discreto se define como:
                                                                                        En cuanto al análisis matemático, puede resultar largo y
   𝐻(𝑧) = 𝐻1(𝑧) · 𝐻2(𝑧) · 𝐻2(𝑧)                                    (17)                 tedioso si se resuelve paso a paso. Pero si se pone
                                                                                        atención en atajos, y en ingeniosas y elegantes
  Por lo que basta con sustituir cada multiplicador y obtener:                          deducciones, se facilita enormemente el análisis.


                                1 + 2𝑍 −1 + 𝑍 −2                                                                ANEXOS
              𝐻(𝑧) = 0.1363 ·
                          1 − 1.1327𝑍 −1 + 0.6776𝑍 −2                                A. Deducción de la función de transferencia S.
                           1 + 2𝑍 −1 + 𝑍 −2
          ∗ 0.1173 ·
                     1 − 0.9755𝑍 −1 + 0.4447𝑍 −2                                     Tomando como referencia la ecuación para un multiplicador
                           1 + 2𝑍 −1 + 𝑍 −2                                          cualquiera (12a):
          ∗ 0.0949 ·
                     1 − 0.7893𝑍 −1 + 0.1678𝑍 −2                                                                         (Ω 𝑐 )2
                                                                                                        𝐻 𝑎𝑐(𝑆) =
                                                                                                                    (𝑆 − 𝑆 𝑎 )(𝑆 − 𝑆 𝑏 )
  De forma simplificada:
                                                                                     Donde, se sabe que por arreglo algebraico intencional, Sa y
                                                                                     Sb son expresiones complejas reciprocas (conjugadas) entre
                                                                                     si. Si se sigue la siguiente igualdad, puede deducirse la
                                                                                     forma rectangular, a partir de la forma exponencial:
7



                          𝑟 · 𝑒 𝑖𝜃 = 𝑟 · ∠𝜃 = 𝑥 + 𝑖𝑦
Donde:                                                                                                 REFERENCIAS
                                             𝑟
                                      𝑥=
                                           𝑐𝑜𝑠𝜃
                                             𝑟
                                      𝑦=                                 [1] License GPL, «Wikipedia.Org,» 20 octubre 2012. [En línea]. Available:
                                           𝑠𝑒𝑛𝜃                              http://es.wikipedia.org/wiki/Filtro_de_Butterworth. [Último acceso: 20
                                    𝑟2 = 𝑥 2 + 𝑦2                            octubre 2012].
                                                                         [2] Oppenheim, «Cap 7. Técnicas de diseño de filtros,» de Tratamiento de
Y sabiendo que las expresiones son conjugadas, se tiene:                     señales en tiempo discreto, pp. 441-476.
                                                                         [3] DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA, AUTOMÁTICA E, «Capítulo
                                                                             12: Introducción al Procesamiento digital de Señales,» de Contenido de
                                       (Ω 𝑐 )2                               Electrónica, UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID, pp. 52-62.
                𝐻 𝑐(𝑆) =
                           (𝑆 − (𝑥 + 𝑖𝑦)) · (𝑆 − (𝑥 − 𝑖𝑦))               [4] Ing. Oscar Wenceslao, Catedra de la asignatura Señales y Sistemas
                                                                             Discretos, Soyapango: Universidad Don Bosco, 2012.
Desarrollando:

                                     (Ω 𝑐 )2
     𝐻 𝑐(𝑆) =
                𝑆2   − 𝑆(𝑥 − 𝑖𝑦) − 𝑆(𝑥 + 𝑖𝑦) + (𝑥 + 𝑖𝑦)(𝑥 − 𝑖𝑦)          Nelson David Torres Pérez. Nació el día 26 de octubre de 1991 en San
                                                                         Salvador, empezó los estudios básicos en el colegio salesiano santa Cecilia
                                                                         obteniendo los cursos de primer ciclo, segundo ciclo, tercer ciclo y
Reduciendo:                                                              bachillerato con opción de electrónica, actualmente está cursando ingeniería
                                    (Ω 𝑐 )2                              en automatización en la universidad don Bosco de El Salvador a nivel de
𝐻 𝑐(𝑆) =
           𝑆 2 − 𝑆(𝑥 − 𝑖𝑦 + 𝑥 + 𝑖𝑦) + (𝑥 2 − 𝑥 ∗ 𝑖𝑦 + 𝑥 ∗ 𝑖𝑦 − (𝑖𝑦)2 )   tercer año.

                                                                         Samael Aarón García Meléndez. Salvadoreño por nacimiento. Ha estudiado
Simplificando:                                                           Técnico en Ingeniería en Telecomunicaciones graduándose con honores en la
                                          (Ω 𝑐 )2                        Universidad Don Bosco El Salvador en 2006. Actualmente estudiante de
                     𝐻 𝑐(𝑆) =
                                𝑆 2 − 𝑆(2𝑥) + (𝑥 2 + (𝑖𝑦)2 )             Ingeniería en Telecomunicaciones en la Universidad Don Bosco El Salvador,
                                                                         a nivel de quinto año, y estudiante de Licenciatura en Economía en la Facultad
                                                                         de Ciencias Económicas de la Universidad de El Salvador a nivel de segundo
Ya que se sabe que Ωc es el radio del vector en el plano                 año.
Real-imaginario, entonces:

                                  Ω2 = 𝑥 2 + 𝑦 2

Por lo que se llega finalmente a la expresión:
                                           (Ω 𝑐 )2
                         𝐻 𝑐(𝑆) =
                                    𝑆 2 − (2𝑥)𝑆 + (Ω 𝑐 )2

Esto facilita el desarrollo matemático, pues en lugar de
calcular el multiplicador para cada pareja de conjugadas,
basta con saber el valor de una variable de cada pareja en el
eje real X y el valor del radio vector.

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  • 1. 1 Diseño de filtro de tiempo discreto tipo Butterworth por el método de la transformada bilineal. Autores: Aarón García, Nelson Torres. Estudiantes Ingeniería en Telecomunicaciones e Ingeniería en Automatización de la Universidad Don Bosco.  Abstracción—Este documento describe el proceso analítico y  Filtro pasa bajo matemático a seguir, para diseñar un filtro digital en tiempo  Filtro pasa alto discreto tipo Butterworth, utilizando el método de la transformada bilineal, y su posterior simulación en el software  Filtro rechaza banda Matlab.  Filtro pasa banda  Filtro pasa todo Índex Terms— Filtro digital, Filtro Butterworth, Señales y sistemas discretos, Simulación en Matlab, Transformada bilineal, El filtro pasa bajo, es aquel que mantiene una ganancia elevada para toda frecuencia inferior a la frecuencia de paso, y atenúa toda frecuencia por encima de la frecuencia de corte. I. INTRODUCCIÓN L OS filtros, en su definición mas común, es un dispositivo o sistema con la habilidad de retener, reducir o eliminar algún componente no deseado. Para el caso más simple, podría El filtro pasa alto, atenúa toda frecuencia por debajo de la frecuencia de corte, y aplica una ganancia elevada a toda frecuencia por encima de la frecuencia de paso. decirse que el papel utilizado en las cafeteras, es un filtro, dado que evita que los granos de café se mezclen en la tasa, y El filtro Rechaza banda, necesita dos frecuencias de corte, ya deja pasar únicamente el agua tenida en cafeína. que atenúa el rango entre ellas, y aplica una ganancia elevada al resto del espectro. Ahora, aplicando este mismo concepto, a un análisis eléctrico, un filtro es un sistema que elimina un componente no deseado El filtro pasa banda, necesita dos frecuencias de corte, y dos en una señal. Para nuestro caso, en el análisis de señales en frecuencias de paso, ya que aplica una ganancia elevada, entre sistemas de telecomunicaciones, este componente por lo estas ultimas dos, y atenúa el resto. general es la frecuencia. El filtro pasa todo, se diseña para trabajar en un rango de Dado que una señal eléctrica, variante en el tiempo, posee frecuencias, y aplica una elevada ganancia todo el rango; es amplitud, frecuencia, fase, y espectro; se diseñan filtros que decir, no atenúa la señal. Su aplicación, radica en que modifica atenúen la amplitud de la señal, a partir de la frecuencia la fase de la señal. detectada. En el análisis de filtros, se considera una frecuencia de paso II. FILTRO BUTTERWORTH (aquella frecuencia deseada, y cuya ganancia en el sistema no A. Filtro para señales continuas. quiere verse afectada), y una frecuencia de corte (aquella frecuencia no deseada, cuya ganancia en el sistema se desea El filtro de Butterworth es uno de los filtros electrónicos atenuada). Por razones propias del mundo real, llevar a cabo más básicos, diseñado para producir la respuesta más plana modelos ideales no es posible, por lo que existe un intervalo que sea posible hasta la frecuencia de corte. En otras palabras, de transición entre la frecuencia de corte, y punto con la la salida se mantiene constante casi hasta la frecuencia de máxima atenuación. Dicho intervalo puede ser grande o no, y corte, luego disminuye a razón de 20n dB por década (ó ~6n de ello depende el orden del filtro (a mayor orden, el intervalo dB por octava), donde n es el número de polos del filtro. [1] es mas pequeño). Fue descrito por primera vez por el ingeniero británico S. Para ello se consideran que existen 5 tipos de filtros: Butterworth en 1930. [1] La respuesta en frecuencia del filtro es extremadamente Manuscrito recibido el 26 de septiembre de 2012. plana (con mínimas ondulaciones) en la banda pasante. Visto Este trabajo forma parte de las asignaciones de la catedra de SEÑALES Y en un diagrama de Bode con escala logarítmica, la respuesta SISTEMAS DISCRETOS impartido en la Universidad Don Bosco El Salvador, por el Ing. WENCESLAO RIVAS, bajo el plan de estudios 2009. decae linealmente desde la frecuencia de corte hacia menos infinito. Para un filtro de primer orden son -20 dB por década
  • 2. 2 (aprox. -6dB por octava). Que se interpreta como el filtro ideal, donde la función H El filtro de Butterworth es el único filtro que mantiene su representa la respuesta en amplitud del sistema, a partir de una forma para órdenes mayores (sólo con una caída de más restricción de frecuencia de corte. Fuera de esa restricción, la pendiente a partir de la frecuencia de corte). [1] componente deberá ser cero. C. Método de la transformada bilineal. El diseño de un filtro digital, para el procesamiento de señales en tiempo discreto, conlleva ciertas dificultades matemáticas, por lo que la complejidad de su diseño puede llevar a densos desarrollos algebraicos. [2] En su lugar, se desarrollo un método mas simple, y hasta ingenuo, que consiste en diseñar un filtro en tiempo continuo (los cuales, llevan mucho mas tiempo en investigación y estudio por lo que se considera que su lógica matemática se ha simplificado y desarrollado en mayor proporción que un filtro en tiempo discreto), y luego, a partir de restricciones, Convertirlo a un filtro discreto, por una transformada de variables. Fig. 1. Representación de un filtro pasa bajo Butterworth, y la pendiente de atenuación, según el orden del filtro. Este tipo de filtro, posee la característica de giro de fase. Fig. 2. Representación del cambio de fase de la señal que pasa a través del filtro. El filtro pasa bajo, hace un giro de 180º en la señal. Según la figura 2, existe un cambio incremental en la fase antes de la frecuencia de corte, y posterior, ocurre un cambio de fase, y un nuevo cambio incremental para la frecuencia Fig. 3. Representación grafica, de las relaciones de frecuencia de paso y frecuencia de corte, entre un sistema de filtro continuo y un sistema de filtro atenuada. discreto. [2] B. Filtro discreto. El concepto de la transformada bilineal se describe Los filtros discretos, pertenecen a la categoría de sistemas gráficamente en la fig 3. lineales e invariantes en el tiempo LTI; los cuales hacen una En donde se interpreta que la función de transferencia del selección de señales, a partir de la frecuencia establecida en el diseño. Cuando el sistema es diseñado en condiciones de alta frecuencia de muestreo (no existe solapamiento), el sistema completo se comporta como un sistema en tiempo continuó lineal e invariante con el tiempo, cuya respuesta en frecuencia es: [2] 𝐻(𝑒 𝑗Ω𝑇 ), |Ω| < 𝜋⁄ 𝑇 𝐻 𝑒𝑓𝑓 (𝑗Ω) = { (1) 0, |Ω| > 𝜋⁄ 𝑇 Fig. 4. Grafico de restricción utilizado para convertir de frecuencia angular, a frecuencia discreto, e el sistema de modelado de filtros discretos por la transformada bilineal. [2]
  • 3. 3 filtro en tiempo continuo, es restringida por una función Ω, A. Conversión a frecuencia angular. que corta en los puntos de frecuencia de paso y frecuencia de Para fines de uniformidad y convención con los libros de corte del filtro continuo (es una restricción). Dicha restricción textos, se utiliza la siguiente simbología: se asocia a un nuevo filtro discreto, cuyas frecuencias de corte y de paso, corresponden con las del filtro en tiempo continuo, fp: Frecuencia de paso. relacionándose a través de la restricción. fs: Frecuencia de corte fm: Frecuencia de muestreo Siendo la restricción (ver figura 4): δ1: Respuesta en amplitud para el rango de frecuencias de paso. En donde se convierte de frecuencia angular ω, a una δ2: Respuesta en amplitud para el rango de frecuencias de frecuencia discreta Ω, que este restringida de un intervalo de – corte. π a π. [3] Se convierten las frecuencias lineales, a frecuencias angulares III. CASO DE ESTUDIO del método bilineal: Como ejemplo de aplicación del método de la transformada 𝜔 = Ω𝑇 (2) bilineal en el diseño de un filtro pasa bajo tipo Butterworth, se propone el siguiente problema: Donde: Ω = 2𝜋𝑓 (3) Diseñar un filtro de tiempo discreto usando un tipo Y de filtro Butterworth por el método de la 1 1 transformada bilineal usando las siguientes 𝑇= = = 90.7029𝜇𝑠 (4) 𝑓𝑚 11025𝐻𝑧 especificaciones en tiempo continuo para el filtro: Sea entonces, para las frecuencias de paso: 1. Banda de paso: 0 a 1700 Hz 2. Banda eliminada: 3000 a 5512.5 Hz 𝜔 𝑝 = 2𝜋𝑓 𝑝 𝑇 3. Máxima atenuación en la banda de paso: 3 dB 𝜔 𝑝 = 2𝜋 ∗ (1700𝐻𝑧) ∗ (90.7029𝜇𝑠) 4. Mínima atenuación en la banda eliminada 50 dB 𝜔 𝑝 = 0.30839𝜋 5. Frecuencia de muestreo: 11025 Hz Para las frecuencias de corte: Por analogía, puede interpretarse que el comportamiento 𝜔 𝑠 = 2𝜋𝑓 𝑝 𝑇 IDEAL del filtro, se cumple en la siguiente figura: 𝜔 𝑠 = 2𝜋 ∗ (3000𝐻𝑧) ∗ (90.7029𝜇𝑠) 𝜔 𝑠 = 0.54421𝜋 Cuyo comportamiento, se cumplirá para todo el espectro Ahora, examinando las respuestas en amplitud, se sabe que: contenido entre 0Hz y 5.5KHz, según el criterio de Nyquist. Obsérvese que el máximo de la banda eliminada, corresponde 𝑃 𝑑𝐵1 = 20log(1 − 𝛿1 ) (5) a la mitad de la frecuencia de muestreo. y 𝑃 𝑑𝐵2 = 20log(𝛿2 ) (6) Por lo que se obtiene que: −3𝑑𝐵⁄ 𝛿1 = 1 − 10 20 𝛿1 = 0.29205 y −50𝑑𝐵 ⁄20 𝛿2 = 10 𝛿1 = 0.00316 Fig. 5. Esquema representativo del desafió propuesto. Se destacan la frecuencia de paso, y la frecuencia de corte, sus correspondientes amplitudes. Obsérvese, que dada la naturaleza del modelo matemático,
  • 4. 4 se cumple la condición de la realidad, para las frecuencias 1 |𝛿1 |2 = Ω 𝑝 2𝑁 (8ª) inferiores a la frecuencia de paso, se tiene una alta ganancia. 1+( Ω𝑐 ) Mientras que para las frecuencias por encima de la frecuencia de corte se mantiene una baja ganancia (los factores δ1 y δ2 |𝛿2 |2 = 1 Ω 2𝑁 (8b) respectivamente). 1+( 𝑠 ) Ω𝑐 B. Sistema ficticio. Despejando N se tiene: [2] El sistema ficticio corresponde a aquellas variables expresadas 1 en frecuencia, bajo las condiciones del modelo de −1 transformadas bilineal, que deben ser convertidas, para que se 𝛿2 2 𝑙𝑜𝑔 [ 1 ] cumpla dicho modelo. −1 Sean entonces las ecuaciones: 1 𝛿1 2 𝑁= 2 Ω 𝑙𝑜𝑔 𝑠 2 𝜔 Ω𝑝 Ω= 𝑡𝑎𝑛 (7) 𝑇𝑑 2 (9) Donde Td es la constante de diseño. Para fines de Resolviendo se tiene: simplificación se toma que Td=1. 1 −1 Sea entonces, nuestro sistema ficticio: (0.00316)2 𝜔𝑝 𝑙𝑜𝑔 [ 1 ] Ω 𝑝 = 2 𝑡𝑎𝑛 2−1 2 1 (0.29205) 𝑁= 2 2.2990 0.30839𝜋 𝑙𝑜𝑔 Ω 𝑝 = 2 𝑡𝑎𝑛 1.0524 2 𝑁 = 5.84 ≈ 6 Ω 𝑝 = 1.0524 Se aproxima al siguiente entero, obteniendo un filtro de sexto y orden. Esto es valido, ya que nuestro sistema se 𝜔𝑠 sobredimensiona, por lo que el solapamiento no será Ω 𝑠 = 2 𝑡𝑎𝑛 2 problema. Es decir, el sistema será estable para algunos valores por encima de la mitad de la frecuencia de muestreo. 0.54421𝜋 Ω 𝑠 = 2 𝑡𝑎𝑛 2 Tomamos la ecuación de la frecuencia de corte (8b) y despejamos la frecuencia crítica: Ω 𝑠 = 2.2990 Ω𝑠 Ω𝑐 = 1/2𝑁 (8c) C. Respuesta en amplitud. ( 1 2 −1) 𝛿2 Modelando la respuesta del sistema en amplitud, se sabe: Sustituyendo: 2.2990 1 Ω𝑐 = |𝐻(𝑗Ω)|2 = (8) 1/2(6) Ω 2𝑁 1 1+( ) Ω𝑐 ( 2 − 1) (0.00316) En donde Ωc corresponde a la frecuencia de respuesta del Ω 𝑐 = 0.88068 sistema ficticio, y se considera, que para que el sistema sea estable, este debe ser menor de 1 (corresponde al radio vector del plano Imaginario del sistema). D. Selección de los polos. La variable N corresponde al orden del filtro. Por lo que el Dado que el sistema es de orden 6, tiene una cantidad de sistema tiene aun 2 incogniticas, es decir la frecuencia crítica polos: y el orden del filtro. Para resolverlo, se plantean dos ecuaciones a partir de las soluciones del sistema ficticio: 𝑃𝑜𝑙𝑜𝑠 = 2𝑁 (10) Es decir, tiene 12 polos, y dado que el sistema tiene un radio Ωc=0.88068, el cual es inferior al círculo unitario, el
  • 5. 5 sistema es estable, solo falta seleccionar a aquellos polos del Por lo que nuestro sistema de orden N=6, con simetría de parejas de polos, queda representado como: (Ω 𝑐 )2 (Ω 𝑐 )2 (Ω 𝑐 )2 𝐻 𝑐(𝑆) = (𝑆−𝑆 · )(𝑆−𝑆4 ) (𝑆−𝑆2 )(𝑆−𝑆5 ) · (𝑆−𝑆 (12a) 1 3 )(𝑆−𝑆6 ) Al desarrollar en forma individual los multiplicadores, se obtiene el siguiente esquema algebraico: 𝑐 (Ω )2 𝐻 𝑐(𝑆) = (𝑆−(𝑥+𝑖𝑦))·(𝑆−(𝑥−𝑖𝑦)) (12b) (Ω 𝑐 )2 𝐻 𝑐(𝑆) = (12c) 𝑆 2 −2·𝑆(𝑥)+(Ω 𝑐 )2 Donde (x+iy) corresponde a la forma rectangular de las funciones S. Fig. 6. Esquema representativo de la distribución de los polos, a lo largo de la circunferencia formada por Ωc. Existe simetría en los polos, y para que el Convirtiendo nuestras funciones S a su forma rectangular: sistema sea estable, se analizan los polos en el lado izquierdo. 7𝜋 𝑆1 = 0.88068𝑒 𝑗 12 = −0.2294 + 0.8561𝑖 plano izquierdo del sistema (fig. 6): 3𝜋 𝑆2 = 0.88068𝑒 𝑗 4 = −0.6227 + 0.6227𝑖 11𝜋 𝑆3 = 0.88068𝑒 𝑗 12 = −0.8506 + 0.2279𝑖 Por simetría se sabe que: Dado que todos los polos tienen simetría entre si, pueden definirse mediante la ecuación: 𝑆4 = −0.2294 − 0.8561𝑖 𝑝𝜋 𝑆5 = −0.6227 − 0.6227𝑖 𝑆 𝑘 = |Ω 𝑐 |𝑒 𝑗2𝑁 (11) 𝑆6 = −0.8506 − 0.2279𝑖 Y ya que solo se necesitan los polos del plano izquierdo, se Nótese que para realizar la operación, basta con conocer la obtiene que: [3] mitad de las funciones S, dado que según el análisis algebraico, no se necesita las componentes en el eje 7𝜋 imaginario para resolver el sistema; es decir, con conocer el 𝑆1 = 0.88068𝑒 𝑗 12 valor en el eje real (el valor x es el mismo para cada par de 3𝜋 funciones S) puede resolverse. 𝑆2 = 0.88068𝑒 𝑗 4 Nuestros multiplicadores quedan como: 11𝜋 𝑗 𝑆3 = 0.88068𝑒 12 0.7756 𝐻 𝑐1(𝑆) = 𝑆 2 + 0.4588𝑆 + 0.7756 Y se obtiene por simetría: 0.7756 𝐻 𝑐2(𝑆) = 2 𝑆 + 1.2454𝑆 + 0.7756 7𝜋 0.7756 𝑆4 = 0.88068𝑒 −𝑗 12 𝐻 𝑐1(𝑆) = 2 𝑆 + 1.7012𝑆 + 0.7756 3𝜋 𝑆5 = 0.88068𝑒 −𝑗 4 Por lo que nuestro sistema completo es: 11𝜋 0.7756 0.7756 0.7756 𝑆6 = 0.88068𝑒 −𝑗 12 𝐻 𝑐(𝑆) = · · 𝑆 2 + 0.4588𝑆 + 0.7756 𝑆 2 + 1.2454𝑆 + 0.7756 𝑆 2 + 1.7012𝑆 + 0.7756 E. Función de transferencia. F. Transformada bilateral. Ahora, se modela la respuesta en frecuencia en una función de Ahora, se realiza la transformada del dominio S al dominio Z, transferencia, utilizando la formula: con la expresión: (Ω 𝑐 ) 𝑁 2 1−𝑍 −1 𝐻 𝑐(𝑆) = (𝑆−𝑆 (12) 𝑆= ( ) (13) 𝑇𝑑 1+𝑍 .1 1 )…(𝑆−𝑆 𝑛)
  • 6. 6 Donde Td =1, previamente definido en el proceso. 𝐻(𝑧) = 0.0015172 · (1 + 𝑍 −1 )6 Para simplificar el proceso, pueden utilizarse las 1 ∗ equivalencias: [4] (1 − 1.1327𝑍 −1 + 0.6776𝑍 −2 ) · (1 − 0.9755𝑍 −1 + 0.4447𝑍 −2 ) 1 ∗ −1 + 0.1678𝑍 −2 ) 𝑐𝑜𝑚 = 4 + 2𝑏 + 𝑐 (14a) · (1 − 0.7893𝑍 𝑐 𝑏0 = (14b) 𝑐𝑜𝑚 𝑏1 = 2 (14c) 𝑏2 = 1 (14d) 𝑎0 = 1 (14e) IV. CONCLUSIONES. −8+2𝑐 𝑎1 = (14f) Dada la complejidad del diseño de un filtro discreto, se 𝑐𝑜𝑚 4−2𝑏+𝑐 utiliza la técnica de transformada bilineal, que consiste en 𝑎2 = (14g) 𝑐𝑜𝑚 diseñar un filtro en tiempo continuo, y a partir de criterios de restricción, convertirlo a un filtro discreto. Para obtener una función de transferencia en el dominio de Z: Dicho filtro, posee un Orden, que corresponde a la 1+2𝑍 −1 +𝑍 −2 pendiente (en escala logarítmica) de la atenuación que 𝐻(𝑧) = 𝑏0 · (15) 𝑎0 −𝑎1 𝑍 −1 +𝑎3 𝑍 −2 recibe la señal, entre la frecuencia de corte, y la frecuencia de paso. Por lo general, dicha atenuación se A partir de la función de transferencia en el dominio de S: mide en db/décadas. Es decir, para que el comportamiento del filtro, se asemeje mas al filtro ideal, 𝑐 𝐻 𝑐(𝑆) = (16) deberá ser de un orden muy alto. Pero dada las 𝑆 2 +𝑏𝑆+𝑐 características y los costes del diseño, un filtro entre Remplazando y sustituyendo obtenemos: orden 4 y orden 10 ofrece muy buenos resultados, e incluso puede diseñarse filtros de mayor orden, si se dispone de filtros digitales programables, que reduzcan la 0.7756 1 + 2𝑍 −1 + 𝑍 −2 utilización de elementos electrónicos. 𝐻1(𝑧) = · 5.69 1 − 1.1327𝑍 −1 + 0.6776𝑍 −2 Una restricción propia de cualquier filtro, en especial los 0.7756 1 + 2𝑍 + 𝑍 −1 −2 discretos, es que funcionara muy bien dentro de un rango 𝐻2(𝑧) = · de diseño, que según los criterios Nyquist, el sistema será 6.61 1 − 0.9755𝑍 −1 + 0.4447𝑍 −2 estable si por ella es sometida una señal cuya frecuencia sean menores o iguales a la mitad de la frecuencia de 0.7756 1 + 2𝑍 −1 + 𝑍 −2 muestreo. Considerándose, que mientras mas alta sea la 𝐻3(𝑧) = · 8.17 1 − 0.7893𝑍 −1 + 0.1678𝑍 −2 frecuencia de muestreo en comparación a la señal a muestrear, se obtienen muy buenos resultados en la selección del filtro, ofreciendo una salida muy cercana a G. Filtro discreto. la real, ya que para la percepción humana, no existirá una diferencia notoria. El filtro discreto se define como: En cuanto al análisis matemático, puede resultar largo y 𝐻(𝑧) = 𝐻1(𝑧) · 𝐻2(𝑧) · 𝐻2(𝑧) (17) tedioso si se resuelve paso a paso. Pero si se pone atención en atajos, y en ingeniosas y elegantes Por lo que basta con sustituir cada multiplicador y obtener: deducciones, se facilita enormemente el análisis. 1 + 2𝑍 −1 + 𝑍 −2 ANEXOS 𝐻(𝑧) = 0.1363 · 1 − 1.1327𝑍 −1 + 0.6776𝑍 −2 A. Deducción de la función de transferencia S. 1 + 2𝑍 −1 + 𝑍 −2 ∗ 0.1173 · 1 − 0.9755𝑍 −1 + 0.4447𝑍 −2 Tomando como referencia la ecuación para un multiplicador 1 + 2𝑍 −1 + 𝑍 −2 cualquiera (12a): ∗ 0.0949 · 1 − 0.7893𝑍 −1 + 0.1678𝑍 −2 (Ω 𝑐 )2 𝐻 𝑎𝑐(𝑆) = (𝑆 − 𝑆 𝑎 )(𝑆 − 𝑆 𝑏 ) De forma simplificada: Donde, se sabe que por arreglo algebraico intencional, Sa y Sb son expresiones complejas reciprocas (conjugadas) entre si. Si se sigue la siguiente igualdad, puede deducirse la forma rectangular, a partir de la forma exponencial:
  • 7. 7 𝑟 · 𝑒 𝑖𝜃 = 𝑟 · ∠𝜃 = 𝑥 + 𝑖𝑦 Donde: REFERENCIAS 𝑟 𝑥= 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟 𝑦= [1] License GPL, «Wikipedia.Org,» 20 octubre 2012. [En línea]. Available: 𝑠𝑒𝑛𝜃 http://es.wikipedia.org/wiki/Filtro_de_Butterworth. [Último acceso: 20 𝑟2 = 𝑥 2 + 𝑦2 octubre 2012]. [2] Oppenheim, «Cap 7. Técnicas de diseño de filtros,» de Tratamiento de Y sabiendo que las expresiones son conjugadas, se tiene: señales en tiempo discreto, pp. 441-476. [3] DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA, AUTOMÁTICA E, «Capítulo 12: Introducción al Procesamiento digital de Señales,» de Contenido de (Ω 𝑐 )2 Electrónica, UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID, pp. 52-62. 𝐻 𝑐(𝑆) = (𝑆 − (𝑥 + 𝑖𝑦)) · (𝑆 − (𝑥 − 𝑖𝑦)) [4] Ing. Oscar Wenceslao, Catedra de la asignatura Señales y Sistemas Discretos, Soyapango: Universidad Don Bosco, 2012. Desarrollando: (Ω 𝑐 )2 𝐻 𝑐(𝑆) = 𝑆2 − 𝑆(𝑥 − 𝑖𝑦) − 𝑆(𝑥 + 𝑖𝑦) + (𝑥 + 𝑖𝑦)(𝑥 − 𝑖𝑦) Nelson David Torres Pérez. Nació el día 26 de octubre de 1991 en San Salvador, empezó los estudios básicos en el colegio salesiano santa Cecilia obteniendo los cursos de primer ciclo, segundo ciclo, tercer ciclo y Reduciendo: bachillerato con opción de electrónica, actualmente está cursando ingeniería (Ω 𝑐 )2 en automatización en la universidad don Bosco de El Salvador a nivel de 𝐻 𝑐(𝑆) = 𝑆 2 − 𝑆(𝑥 − 𝑖𝑦 + 𝑥 + 𝑖𝑦) + (𝑥 2 − 𝑥 ∗ 𝑖𝑦 + 𝑥 ∗ 𝑖𝑦 − (𝑖𝑦)2 ) tercer año. Samael Aarón García Meléndez. Salvadoreño por nacimiento. Ha estudiado Simplificando: Técnico en Ingeniería en Telecomunicaciones graduándose con honores en la (Ω 𝑐 )2 Universidad Don Bosco El Salvador en 2006. Actualmente estudiante de 𝐻 𝑐(𝑆) = 𝑆 2 − 𝑆(2𝑥) + (𝑥 2 + (𝑖𝑦)2 ) Ingeniería en Telecomunicaciones en la Universidad Don Bosco El Salvador, a nivel de quinto año, y estudiante de Licenciatura en Economía en la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de El Salvador a nivel de segundo Ya que se sabe que Ωc es el radio del vector en el plano año. Real-imaginario, entonces: Ω2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 Por lo que se llega finalmente a la expresión: (Ω 𝑐 )2 𝐻 𝑐(𝑆) = 𝑆 2 − (2𝑥)𝑆 + (Ω 𝑐 )2 Esto facilita el desarrollo matemático, pues en lugar de calcular el multiplicador para cada pareja de conjugadas, basta con saber el valor de una variable de cada pareja en el eje real X y el valor del radio vector.