1. O documento apresenta o algoritmo de Euclides para calcular o máximo divisor comum (MDC) de dois números inteiros. 2. É explicado que o algoritmo de Euclides funciona através de sucessivas divisões euclidianas para gerar uma sequência de números até que um deles divida o anterior. 3. A aplicação do algoritmo é demonstrada através de um exemplo numérico de cálculo do MDC de 372 e 162, chegando ao resultado de 6.

1. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
Aritm´etica - MA14
AULA 3 - ALGORITMO DE EUCLIDES.
MDC. MMC.
Aline de Lima Guedes Machado
PROFMAT - IME/UERJ
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
aline.guedes@ime.uerj.br
25 de agosto de 2017
1 / 41

2. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
Sum´ario
1 M´aximo Divisor Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
2 M´ınimo M´ultiplo Comum
MMC
Propriedades do MMC
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3. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
Sum´ario
1 M´aximo Divisor Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
2 M´ınimo M´ultiplo Comum
MMC
Propriedades do MMC
3 / 41

4. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
MDC
Defini¸c˜ao: Divisor comum
Sejam dados dois inteiros a e b, distintos ou n˜ao. Um n´umero
inteiro d ser´a dito um divisor comum de a e b se d|a e d|b.
Exemplo: ±1, ±2, ±3, ±6 s˜ao divisores comuns de 12 e 18.
Defini¸c˜ao: M´aximo Divisor comum
Um n´umero inteiro d ≥ 0 ´e um m´aximo divisor comum (MDC)
de dois inteiros a e b se possuir as seguintes propriedades:
i) d ´e um divisor comum de a e b
ii) d ´e divis´ıvel por todo divisor comum de a e b
ii’) Se c ´e divisor comum de a e b ent˜ao c|d.
Exemplo: MDC entre 12 e 18 ´e 6.
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5. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
MDC
O mdc de dois n´umeros, quando existe, ´e ´unico!
Demonstra¸c˜ao da unicidade do MDC
Sejam d e d dois MDC de um mesmo par de n´umeros. Ent˜ao,
d|d e d |d. Mas com as condi¸c˜oes de d ≥ 0 e d ≥ 0, implicam
que d = d .
O mdc de dois n´umeros inteiros, que ser´a demonstrado SEMPRE
existir, ´e denotado por (a, b).
Como o MDC de a e b n˜ao depende da ordem em que a e b s˜ao
tomados, tem-se que:
(a, b) = (b, a)
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6. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
MDC
Propriedades: casos particulares do MDC
Se a ∈ Z, ent˜ao:
(0, a) = |a|, (1, a) = 1, (a, a) = |a|
. ∀b ∈ Z tem-se que:
a|b ↔ (a, b) = |a|
(a, b) = 0 ↔ a = b = 0
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7. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
MDC
MDC: maior divisor comum
O m´aximo divisor comum de dois n´umeros inteiros, n˜ao ambos
nulos, quando existe, ´e efetivamente o maior dentre todos os
divisores comuns desses n´umeros.
Demonstra¸c˜ao:
Se d > 0 ´e um MDC de a e b n˜ao nulos e c ´e um divisor comum
desses n´umeros, ent˜ao c divide d e, consequentemente, |c| divide
d. Portanto |c| ≤ d e como c ≤ |c|, temos que c ≤ d, ou seja, d ´e
o MDC e o maior divisor comum entre os divisores comuns.
Dados a, b ∈ Z. Se existir (a, b) ent˜ao:
(a, b) = (−a, b) = (a, −b) = (−a, −b)
Para o c´alculo do MDC, podemos supor todos os
n´umeros inteiros n˜ao negativos!
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8. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
MDC
Lema para provar a existˆencia do MDC de dois n´umeros inteiros n˜ao
negativos.
Lema (fundamental)
Sejam a, b, n ∈ Z. Se existe (a, b − na), ent˜ao:
(a, b) = (a, b − na).
Esse lema vem do fato que o conjunto dos divisores comuns entre
a e b ´e igual ao conjunto de divisores entre a e b − na.
Demonstra¸c˜ao:
Seja d = (a, b − na). Como d|a e d|(b − na), d|b, pois
b − na + na = b. Logo d ´e divisor comum de a e b. Seja c um
divisor comum de a e b. Logo, c|(b − na) e com isso c ´e um
divisor comum de a e b − na. Pela defini¸c˜ao de MDC, c|d. Isso
prova que d=(a,b), j´a que c ´e um divisor qualquer de a e b.
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9. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
MDC
Um exemplo para aplicar (a, b) = (a, b − na).
Esse lema ´e fundamental para estabelecer o algoritmo de Euclides,
que calcula o MDC.
Encontrar o MDC entre 96525 e 90
De fato,
(90, 96525) = (90, 96525 − 1000x90) = (90, 96525 − 90000)
=(90,6525)
=(90,6525 - 70x90)=(90,6525 - 6300)
=(90,225)
=(90,225 - 2x90)=(90,225-180)
=(90,45)
=45
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10. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
MDC
Solu¸c˜ao mais eficiente para a aplica¸c˜ao do Lema: ter subtra´ıdo de
b o maior m´ultiplo de 90 (90n) de modo que o n´umero obtido fosse
ainda positivo.
Encontrar o MDC entre 96525 e 90
De fato, isso ocorre quando n ´e o quociente q da divis˜ao de b por
a e nesse caso, temos b = aq + r, ou seja, r = b − aq, onde r ´e o
resto da divis˜ao de b por a.
Pela divis˜ao euclidiana, temos:
96525 = 90 · 1072 + 45
Ent˜ao
(90, 96525) = (90, 96525 − 1072x90) = (90, 45) = 45
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11. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
MDC
Exemplo: Dados a ∈ Z, com a = 1 e m ∈ N, mostrar que
am−1
a−1 , a − 1 = (a − 1, m)
m=1
am−1
a−1 , a − 1 = a−1
a−1, a − 1 = (1, a − 1) = (a − 1, 1)
m ≥ 2
Seja d o primeiro termo da igualdade. Pelo problema 3.8:
am−1
a−1 = am−1 + am−2 + ... + a + 1
Subtraindo 1 de cada parcela e somando m, temos:
= (am−1 − 1) + (am−2 − 1) + ... + (a − 1) + (1 − 1) + m
Cada parcela ´e divis´ıvel por a − 1. Logo essa soma ´e m´ultipla
de a − 1. Da´ı am−1
a−1 = c(a − 1) + m.
Pelo lema fundamental,
am−1
a−1 , a − 1 = (c(a − 1) + m, a − 1) = (m, a − 1)
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12. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
MDC
Exemplo: Calcular 10249−1
9 , 9
Pelo exemplo anterior:
am−1
a−1 , a − 1 = (a − 1, m). Da´ı:
10249−1
9 , 9 = (10249−1
10−1 , 10 − 1) = (249, 9)
Pelo crit´erio de divisibilidade: (249, 9) = 10249−1
9 , 9 = 3
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13. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
MDC: Algoritmo de Euclides
Prova construtiva da existˆencia do MDC dada por Euclides.
Dados a, b ∈ N, podemos supor a ≤ b. Se a = 1 ou a = b, ou
ainda a|b, j´a vimos que (a, b) = a. Suponhamos, ent˜ao, que
1 < a < b e que a |b. Logo, pela divis˜ao euclidiana, escrevemos:
b = aq1 + r1, 0 < r1 < a.
Temos duas possibilidades:
a)r1|a. Por propriedade anterior e pelo Lema fundamental,
r1 = (a, r1) = (a, b − q1a) = (a, b)
e termina o algoritmo;
Exemplo:(20,6)=?
Divis˜ao de b por a:
20 = 6x3 + 2 → b = 20, a = 6, r1 = 2. Da´ı: r1|a. Ent˜ao
d = (20, 6) = r1 = 2
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14. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
MDC: Algoritmo de Euclides
Prova construtiva da existˆencia do MDC dada por Euclides
b) r1 |a. Em tal caso, podemos efetuar a divis˜ao de a por r1,
obtendo
a = r1q2 + r2, 0 < r2 < r1.
Novamente, temos duas possibilidades:
a’)r2|r1. Por propriedade anterior e pelo Lema fundamental,
r2 = (r1, r2) = (r1, a−q2r1) = (r1, a) = (b−q1a, a) = (b, a) = (a, b)
e termina o algoritmo;
Exemplo:(40,15)=?
40 = 15x2 + 10 → b = 40, a = 15, r1 = 10. Da´ı: r1 |a.
Continuar... Divis˜ao de a por r1:
15 = 10x1 + 5 → a = 15, r1 = 10, r2 = 5. Da´ı, r2|r1.
Logo, r2 = (r1, r2) = (a, b) = 5
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15. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
MDC: Algoritmo de Euclides
Prova construtiva da existˆencia do MDC dada por Euclides
(Os Elementos).
b’) r2 |r1. Em tal caso, podemos efetuar a divis˜ao de r1 por r2,
obtendo
r1 = r2q3 + r3, 0 < r3 < r2.
Este procedimento n˜ao pode continuar indefinidamente, pois
ter´ıamos uma sequˆencia de n´umeros naturais
a > r1 > r2 > ...
que n˜ao possui menor elemento, o que n˜ao ´e poss´ıvel pela
Propriedade da Boa Ordena¸c˜ao.
Logo, para algum n, temos que rn|rn−1, o que implica que
(a, b) = rn.
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16. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
MDC: Algoritmo de Euclides
O algoritmo acima pode ser sintetizado e realizado na pr´atica, como
mostramos a seguir.
q1 q2 q3 ... qn−1 qn qn+1
a b r1 r2 ... rn−2 rn−1 rn = (a, b)
r1 r2 r3 r4 ... rn
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17. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
MDC: Algoritmo de Euclides
Exemplo: Calcular o MDC de 372 e 162: (372,162)
2 3 2 1 2
372 162 48 18 12 6
48 18 12 6 0
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18. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
MDC: Algoritmo de Euclides
Exemplo: Calcular o MDC de 372 e 162: (372,162)
2 3 2 1 2
372 162 48 18 12 6
48 18 12 6 0
Observe que, no exemplo acima, o Algoritmo de Euclides nos fornece:
6 = 18 − 1 · 12
12 = 48 − 2 · 18
18 = 162 − 3 · 48
48 = 372 − 2 · 162
Donde se segue que (fazendo as substitui¸c˜oes de tr´as pra frente):
6 = 18 − 1 · 12 = 18 − 1 · (48 − 2 · 18) = 3 · 18 − 48 =
3 · (162 − 3 · 48) − 48 = 3 · 162 − 10 · 48 =
3 · 162 − 10 · (372 − 2 · 162) = 23 · 162 − 10 · 372.
Temos ent˜ao, que:
(372, 162) = 6 = 23 · 162 + (−10) · 372 18 / 41

19. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
MDC: Algoritmo de Euclides
Conseguimos, atrav´es do uso do Algoritmo de Euclides de tr´as para
frente, escrever 6 = (372, 162) como m´utiplo de 162 mais um m´ul-
tiplo de 372.
(372, 162) = 6 = 23 · 162 + (−10) · 372
O Algoritmo de Euclides nos fornece, portanto, um meio pr´atico de
escrever o MDC de dois n´umeros como soma de dois m´ultiplos
dos n´umeros em quest˜ao. Esta ´e uma propriedade geral do MDC
que redemonstraremos com todo rigor na pr´oxima se¸c˜ao.
Algoritmo de Euclides Estendido: quando usar o Algoritmo de
Euclides para expressar (a, b) na forma ma + nb, com m, n ∈ Z.
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20. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
MDC: Algoritmo de Euclides Estendido
Ao mesmo tempo que calcula o MDC de a e b, determina inteiros
m e n tais que d = (a, b) = ma + nb.
Supor a ≥ b. Para calcular o MDC, montar a matriz A e no fim
chegaremos na matriz B:
A =
b 1 0
a 0 1
, B =
d n m
0 k l
OBS:k,l s˜ao n´umeros inteiros auxiliares.
Para o primeiro passo do algoritmo, subtrair da segunda linha q1
vezes a primeira linha, onde q1 ´e o quociente da divis˜ao de a por b.
Nesse momento, n˜ao fazer nenhuma opera¸c˜ao na primeira linha, s´o
copi´a-la. ”L2 = L2 − q1L1”
No segundo passo, subtrair da primeira linha a segunda linha vezes
q2, ou seja, o resultado da divis˜ao de q1 por r1.
Copiar a segunda linha.”L1 = L1 − q2L2”
Fazer esse procedimento at´e achar o ´ultimo resto igual a zero. 20 / 41

21. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
MDC: Algoritmo de Euclides Estendido
Exemplo: (372,162)
A =
b 1 0
a 0 1
=
162 1 0
372 0 1
→ L2 = L2−2L1
162 1 0
48 −2 1
→ L1 = L1−3L2 =
18 7 −3
48 −2 1
→ L2 = L2−2L1
18 7 −3
12 −16 7
→ L1 = L1−L2
6 23 −10
12 −16 7
→ L2 = L2−2L1
6 23 −10
0 −62 −27
(372, 162) = 6 = 23 · 162 + (−10) · 372
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22. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
MDC: Exerc´ıcios
1) Seja n ∈ N. Mostre que: (5.2)
a)(n, 2n + 1) = 1
b)(n + 1, n2 + n + 1) = 1
2) Mostre que (a, a2 + na + b)|b, ∀a, b, n ∈ N (5.3)
3)Calcule: (5.5)
a) 340−1
35−1
, 35 − 1
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23. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
Propriedades do MDC
Defini¸c˜ao do conjunto I
Sejam a, b ∈ Z. O conjunto a seguir desempenhar´a papel
importante na defini¸c˜ao e propriedades do MDC. Define-se o
conjunto
I(a, b) = {xa + yb; x, y ∈ Z}
Trata-se do conjunto cujos elementos s˜ao as somas dos
m´ultiplos de a e b.
Se a e b n˜ao s˜ao simultaneamente nulos, ent˜ao I(a, b) ∩ N = 0.
De fato, temos a · a + b · b = a2 + b2 ∈ I(a, b) ∩ N.
Pelo Princ´ıpio da Boa Ordena¸c˜ao (PBO), I(a, b) ∩ N possui um
menor elemento que ser´a chamado
min(I(a, b) ∩ N)
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24. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
Propriedades do MDC
Teorema
Sejam a, b ∈ Z, n˜ao ambos nulos. Ent˜ao se d = min I(a, b) ∩ N
ent˜ao:
d = (a, b) = MDC(a, b)
Demonstra¸c˜ao:
Suponha que um c inteiro divida a e b. Logo c divide todos os
n´umeros da forma xa + yb. Ent˜ao c divide todos os elementos de
I(a, b) e consequentemente c divide d, que ´e um elemento de
I(a, b), no caso o menor elemento n˜ao negativo de I(a, b).
Agora vamos mostrar que d divide todos os elementos de I(a, b),
em particular que d divide a e b.
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25. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
Propriedades do MDC
Teorema
Continua¸c˜ao da demonstra¸c˜ao:
Seja z ∈ I(a, b) e supor por absurdo que d |z. Logo, pela divis˜ao
euclidiana, a divisao de z por d gera um resto r:
z = dq + r, com 0 < r < d.
Como z ∈ I(a, b), z = xa + yb, d = ma + nb, para alguns
x, y, m, n ∈ Z. Da´ı:
r = (x − qm)a + (y − qn)b ∈ I(a, b) ∩ N
Isso gera um absurdo, j´a que chegamos em r < d com
r ∈ I(a, b) ∩ N , mas temos d = min I(a, b) ∩ N.
Logo, d|z e em particular, d|a e d|b. Pela defini¸c˜ao de MDC, d ´e
o MDC de a e b.
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26. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
Propriedades do MDC
O teorema anterior admite v´arios corol´arios.
Corol´ario 1:
Quaisquer que sejam a, b ∈ Z, n˜ao ambos nulos, e n ∈ N tem-se
que:
(na, nb) = n(a, b)
Exemplo: Sejam a = 20, b = 24. (20, 24) = 4(5, 6) = 4 · 1 = 4
Corol´ario 2:
Dados a, b ∈ Z, n˜ao ambos nulos,tem-se que:
a
(a, b)
,
b
(a, b)
= 1
Exemplo:
20
4
,
24
4
= (5, 6) = 1
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27. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
Propriedades do MDC: primos entre si
Defini¸c˜ao:
Dois n´umeros inteiros a e b ser˜ao ditos primos entre si ou
coprimos se:
(a, b) = 1
O ´unico divisor comum positivo de ambos ´e 1.
Proposi¸c˜ao:
Dois n´umeros inteiros a e b s˜ao primos entre si, se e somente se,
existem n´umeros inteiros m e n tais que:
ma + nb = 1
Teorema (Lema de Gauss):
Sejam a, b e c n´umeros inteiros. Se
a|bc e (a, b) = 1, ent˜ao a|c.
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28. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
Propriedades do MDC: primos entre si
Proposi¸c˜ao:
Dois n´umeros inteiros a e b s˜ao primos entre si, se e somente se,
existem n´umeros inteiros m e n tais que:
ma + nb = 1
Demonstra¸c˜ao:
Ida: a e b s˜ao primos entre si. Pelo teorema (em rela¸c˜ao ao
conjunto I(a, b)), existem m e n inteiros tais que ma + nb = (a, b).
Mas como eles s˜ao primos entre si, (a,b)=1. Logo, ma + nb = 1.
Volta: Sejam m e n inteiros tais que ma + nb = 1. Se d ´e o MDC
de a eb, d = (a, b), ent˜ao pela defini¸c˜ao de MDC,
d|a, d|b, d|(ma + nb). Logo d|1. Como o ´unico n´umero que divide
1 ´e o 1, ent˜ao d = 1.
28 / 41

29. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
Propriedades do MDC: primos entre si
Teorema (Lema de Gauss):
Sejam a, b e c n´umeros inteiros. Se a|bc e (a, b) = 1, ent˜ao a|c.
Demonstra¸c˜ao:
Se a|bc ent˜ao ∃e ∈ Z tal que bc = ae
Se (a, b) = 1, pela proposi¸c˜ao anteiror, existem n´umeros inteiros m
e n tais que ma + nb = 1.
Multiplicando por c ambos os lados da igualdade, temos:
mac + nbc = c
Substituindo bc por ae, temos:
mac + nae = c
a(mc + ne) = c
Logo c ´e m´ultiplo de a, ent˜ao a|c. 29 / 41

30. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
Propriedades do MDC
Propriedade:
Dados a, b e c n´umeros inteiros, com b e c n˜ao ambos nulos,
temos que:
b|a e c|a ↔ bc
(b,c) |a
Demonstra¸c˜ao:
Ida: Se b|a e c|a, ent˜ao ∃m, n ∈ Z tal que a = mb e a = nc.
Ent˜ao: mb = nc ou ainda m b
(b,c) = n c
(b,c) .
Por propriedade anterior, como b
(b,c), c
(b,c) = 1, ent˜ao s´o temos
que b
(b,c) |n. Da´ı, b
(b,c) c|nc. Como a = nc, ent˜ao b
(b,c) c|a.
Volta: Se bc
(b,c) |a. Ent˜ao existe p inteiro tal que a = p bc
(b,c) .
Tem-se c
(b,c) ´e um n´umero inteiro k e da´ı pk = k tamb´em ´e um
n´umero inteiro. Logo podemos reescrever a = k b, ent˜ao b|a. O
mesmo racioc´ınio vale para c|a.
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31. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
Propriedades do MDC
Defini¸c˜ao: MDC
Um n´umero natural d ser´a dito MDC de dados n´umeros inteiros
a1, ..., an, n˜ao todos nulos, se possuir as seguintes propriedades:
i) d ´e um divisor comum de a1, ..., an
ii) Se c ´e um divisor comum de a1, ..., an ent˜ao c|d.
O mdc, quando existe, ´e certamente ´unico e ser´a representado por:
(a1, ..., an)
31 / 41

32. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
Propriedades do MDC
Proposi¸c˜ao:
. Dados n´umeros inteiros a1, ..., an, n˜ao todos nulos, existe o seu
MDC e:
(a1, ..., an) = (a1, ..., (an−1, an))
Essa proposi¸c˜ao nos fornece um m´etodo indutivo para o c´alculo do
mdc de n inteiros.
Exemplo: (30,42,90)=(30,(42,90))=(30,6)=6
Defini¸c˜ao:
Os inteiros a1, ..., an ser˜ao ditos primos entre si, ou coprimos,
quando:
(a1, ..., an) = 1
.
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33. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
Exerc´ıcios de MDC
4) Mostre que, se n ´e impar, ent˜ao n(n2 − 1) ´e divis´ıvel por 24.
(Livro, 5.10,a)
5) Mostre que 24 divide n(n2 − 1)(3n + 2) para todo n natural.
(Livro, 5.10,b)
6) Sejam a e b dois n´umeros inteiros com (a, b) = 1. Mostre que
(b+a,b-a) ´e 1 ou 2.
(Livro, 5.13, a)
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34. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MMC
Propriedades do MMC
Sum´ario
1 M´aximo Divisor Comum
MDC
Algoritmo de Euclides
Propriedades do MDC
2 M´ınimo M´ultiplo Comum
MMC
Propriedades do MMC
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35. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MMC
Propriedades do MMC
MMC
Defini¸c˜ao:
Um n´umero inteiro ´e um m´ultiplo comum de dois n´umeros
inteiros dados se ele ´e simultaneamente m´ultiplo de ambos os
n´umeros.
Em qualquer caso os n´umeros ab e 0 s˜ao sempre m´ultiplos comuns
de a e b.
Defini¸c˜ao: MMC
Um n´umero inteiro m ≥ 0 (m=0 de acordo com a pr´oxima
propriedade) ´e um m´ınimo m´ultiplo comum (MMC) dos
n´umeros inteiros a e b, se possuir as seguintes propriedades:
i) m ´e um m´ultiplo comum de a e b, e
ii) se c ´e um m´ultiplo comum de a e b, ent˜ao m|c
Exemplo: 12 ´e um m´ultiplo comum de 2 e 3, mas n˜ao ´e o MMC
desses n´umeros. O n´umero 6 que ´e o MMC.
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36. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MMC
Propriedades do MMC
MMC
Unicidade do MMC:
O mmc, se existe, ´e ´unico e ´e o menor dos m´ultiplos comuns
positivos de a e b. Ele ser´a denotado por
[a, b]
Caso o MMC exista, temos que:
[a, b] = [−a, b] = [a, −b] = [−a, −b]
Assim podemos supˆo-los n˜ao negativos!
Propriedade do MMC:
[a, b] = 0 ↔ a = 0 ou b = 0
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37. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MMC
Propriedades do MMC
MMC
Rela¸c˜ao entre o MDC e o MMC:
Proposi¸c˜ao: Dados dois n´umeros inteiros a e b, temos que [a, b]
existe e
[a, b](a, b) = |ab|
Demonstra¸c˜ao:
Se a = 0 ou b = 0, a igualdade ´e verdadeira. Tamb´em ´e poss´ıvel
verificar que a igualdade ´e verdadeira se e somente se ela for
verdadeira para ±a e ±b. Ent˜ao podemos supor a, b ∈ N.
Ent˜ao seja m = ab
(a,b). Vamos mostrar que m ´e o MMC de a e b.
Para isso, devemos mostrar que se um outro c for m´ultiplo comum
de a e b, ent˜ao m|c, j´a que m ´e o menor dos m´ultiplos comuns.
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38. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MMC
Propriedades do MMC
MMC
Rela¸c˜ao entre o MDC e o MMC:
Proposi¸c˜ao: Dados dois n´umeros inteiros a e b, temos que [a, b]
existe e
[a, b](a, b) = |ab|
Continua¸c˜ao da demonstra¸c˜ao:
Seja m = ab
(a,b). Queremos mostrar que m ´e o MMC de a e b.
Podemos escrever m = a b
(a,b) = b a
(a,b). Assim, a|m e b|m.
Portanto m ´e um m´ultiplo comum de a e b. Falta mostrar m que ´e
o menor m´ultiplo comum.
Seja ent˜ao c um m´ultiplo comum de a e b. Logo, c = na = n b.
Segue, dividindo por (a, b) que n a
(a,b) = n b
(a,b). Como pelo
resultado anterior, a
(a,b) e b
(a,b) s˜ao primos entre si, segue que
a
(a,b) |n . Ent˜ao a
(a,b)b|n b ou ainda m|c.
Ent˜ao m ´e o MMC de a e b. 38 / 41

39. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MMC
Propriedades do MMC
MMC
Corol´ario:
Se a e b s˜ao n´umeros inteiros primos entre si, ent˜ao:
[a, b] = |ab|
Defini¸c˜ao:
Um n´umero natural m ´e um m´ultiplo comum dos n´umeros
inteiros n˜ao nulos a1, a2, ..., an se m ´e um m´ultiplo comum de
a1, a2, ..., an e se, para todo m´ultiplo comum m desses n´umeros,
tem-se que m|m .
O MMC se existir, ´e ´unico, sendo denotado por:
[a1, a2, ..., an]
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40. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MMC
Propriedades do MMC
MMC
Proposi¸c˜ao: MMC
Sejam a1, a2, ..., an n´umeros inteiros n˜ao nulos. Ent˜ao existe o
n´umero [a1, a2, ..., an] e:
[a1, a2, ..., an−1, an] = [a1, a2, ..., [an−1, an]]
Exemplo: [-56,16,24]=[56,[16,24]]=[56,48]=336
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41. M´aximo Divisor Comum
M´ınimo M´ultiplo Comum
MMC
Propriedades do MMC
MMC: Exerc´ıcio
Seja n ∈ N. Calcule [n2 + 1, n + 1].
Dica: Usar propriedade que relaciona MDC e MMC
[a, b](a, b) = |ab|
e a propriedade do MDC
(a, b) = (a, b − na)
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