Cinemática punto

CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL.
ELEMENTOS Y MAGNITUDES
DEL MOVIMIENTO
05
Estudiar el movimiento es importante: es el fenómeno más
corriente y fácil de observar en la Naturaleza. Todo el Uni-
verso está en constante movimiento: los astros que se des-
plazan por el cielo, un niño que juega, un pájaro que vuela,
etc. Los conceptos de vida y movimiento van íntimamente
unidos, hasta el punto que consideramos su capacidad para
moverse por sí mismos como una de las características más
evidentes de los seres vivos. En esta Unidad estudiarás los
elementos y las magnitudes que utiliza la Cinemática para
determinar el movimiento de una partícula. Y los cono-
cimientos adquiridos te permitirán analizar los movimien-
tos más corrientes que tienen lugar en nuestro entorno.
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188 cinemática del punto material. Elementos y magnitudes del movimiento
05
■ Para repasar…
Movimiento (4.°)
Movimiento es un cambio de posición respecto de un punto fijo que se toma como
referencia.
Trayectoria (4.°)
Recibe el nombre de trayectoria el conjunto de las sucesivas posiciones que va tomando
el móvil. Dependiendo de la trayectoria, los movimientos pueden ser rectilíneos y
curvilíneos.
• Velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido por el móvil y el tiempo
empleado en recorrerlo.
• Velocidad instantánea es la velocidad que posee el móvil en un momento dado. La
velocidad se mide en m/s (SI) y en km/h.
Aceleración (4.°)
• Aceleración media es el cociente entre la variación de la velocidad que ha experimen-
tado un móvil y el intervalo de tiempo que ha empleado en dicha variación, a =
vt – v0
t
.
Se mide en m s–2
.
• Aceleración instantánea es la aceleración que tiene un móvil en un momento dado.
Movimiento rectilíneo y uniforme (4.°)
Un móvil tiene movimiento rectilíneo y uniforme cuando se desplaza en línea recta
con velocidad constante. El espacio recorrido se obtiene con la ecuación e = v t.
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (4.°)
Este movimiento tiene lugar cuando el móvil se desplaza en línea recta con acelera-
ción constante. Sus ecuaciones son:
• vt = v0 + a t, para hallar la velocidad en cualquier instante.
• e = v0 t + 1/2 a t2
, para hallar el espacio recorrido.
Caída libre de cuerpos
Cuando un cuerpo se mueve bajo la acción de la gravedad se dice que tiene movimiento
de caída libre. Es un caso particular del movimiento rectilíneo y uniformemente acele-
rado (a = g = –9,8 m s-2
).
Movimiento circular (4.°)
Un móvil tiene movimiento circular cuando su trayectoria es una circunferencia. Si lo
hace con velocidad constante, el movimiento recibe el nombre de circular uniforme.
La velocidad angular es el ángulo recorrido en la unidad de tiempo. Se mide en vueltas
o revoluciones por minuto, (rpm) y en radianes por segundo.
Radián es el ángulo en que el arco correspondiente tiene una longitud igual a la del
radio con que se ha trazado dicho arco. Una circunferencia (360°) corresponde a
2 p radianes.
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189cinemática del punto material. Elementos y magnitudes del movimiento
05
Cuestiones básicas
1> ¿En qué tipo de movimiento la velocidad media
coincide con la velocidad instantánea?
Inténtalo
Recuerda que si una magnitud es constante, tendrá
siempre el mismo valor en cualquier momento.
2> Se dice que el guepardo es un animal capaz de
llegar a correr a 30 m/s. Calcula su velocidad
en km/h.
Inténtalo
Para utilizar los factores de conversión, recuerda
las equivalencias: 1 km = 1 000 m; 1 h = 3 600 s
3> ¿Cuánto tiempo tardará el guepardo en recorrer
1 km si mantiene la velocidad de 30 m/s?
Inténtalo
Ten en cuenta el tipo de movimiento con que se
desplaza el guepardo y utiliza la ecuación corres-
pondiente.
4> Desde un puente dejas caer un objeto y observas
que tarda 1,5 s en llegar al agua. ¿Cuál es la altura
del puente?
Inténtalo
Se trata de una caída libre. En este caso toma el
valor de la gravedad como positiva.
5> Un automóvil pasa de 90 km/h a 115 km/h en 8 s.
¿Qué aceleración tiene el coche?
Inténtalo
Te piden la aceleración media. Recuerda que se
mide en m s–2
.
6> Un coche parte del reposo con aceleración cons-
tante de 1,8 m s–2
. Después de 20 s de estar acele-
rando, ¿qué distancia habrá recorrido el vehículo?
Inténtalo
De acuerdo con el tipo de movimiento, utiliza la ecua-
ción correspondiente.
7> Un ciclista inicia el movimiento por una calle con
aceleración constante hasta alcanzar una velocidad
de 36 km/h en 10 s. ¿Cuánto vale la aceleración?
¿Qué distancia ha recorrido en el tiempo indicado?
Inténtalo
Observa que el ciclista parte del reposo; este he-
cho equivale a un dato numérico. Suponemos que
la calle es recta. Una vez identificado el movi-
miento del ciclista, utiliza las ecuaciones corres-
pondientes.
8> Un avión que parte del reposo acelera uniforme-
mente hasta alcanzar una velocidad de despegue
de 75 m/s en 10 s. ¿Con qué velocidad en km/h
despega el avión? ¿Qué longitud de pista ha reco-
rrido hasta despegar?
Inténtalo
Se trata de un movimiento rectilíneo con acelera-
ción constante. Utiliza los factores de conversión
para el cambio de unidades.
9> Un disco gira a 30 rpm. Calcula esta velocidad en
radianes por segundo. Calcula la frecuencia y el
periodo de este movimiento.
Inténtalo
Recuerda cuántos radianes tiene una circunferen-
cia. Período es el tiempo en segundos que tarda en
dar una vuelta. El valor de la frecuencia coincide
con el inverso del período.
10> Un ciclista recorre la pista circular de 50 m de ra-
dio de un velódromo con velocidad constante de
36 km/h. ¿Qué longitud de pista recorre en un mi-
nuto? ¿Qué tiempo tarda en dar una vuelta a la
pista? ¿Cuántas vueltas da en 10 minutos?
Inténtalo
Aunque el movimiento es circular, te piden el es-
pacio recorrido con velocidad constante. Todas
las preguntas las puedes calcular utilizando la
ecuación del espacio en un movimiento uniforme.
Recuerda el valor de la longitud de la circunfe-
rencia.
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05
La Cinemática estudia el movi-
miento sin tener en cuenta sus
causas.
La Dinámica estudia el movi-
miento y analiza sus causas.
■ 5.1 Dos ciencias para estudiar
el movimiento
Supongamos que en un momento dado un avión sobrevuela tu casa. Si tienes curiosidad
por conocer mejor este fenómeno, puedes plantearte una serie de preguntas sobre él,
como ¿cuánto tiempo tardará el avión en desaparecer por el horizonte?, ¿qué distancia
recorrerá en un minuto?, ¿lleva siempre la misma velocidad?, etcétera. Para contestar
a estas preguntas no necesitas saber por qué se mueve el avión. En cambio, hay pre-
guntas más complejas, como ¿qué fuerza ejerce el motor?, ¿qué potencia desarrolla?,
¿qué energía consume?, etc., cuya respuesta requiere más información. Debes conocer,
ante todo, las características de los motores, que son los causantes del movimiento del
avión.
Como ves, hay dos formas de estudiar el movimiento: prescindiendo de las causas que
lo originan, que es lo que hace la Cinemática, y teniendo en cuenta estas causas, como
ocurre con la Dinámica. Dedicaremos una Unidad a cada una de estas dos ciencias del
movimiento.
■ 5.2 ¿Qué es el movimiento?
Desde muy pequeños tenemos un concepto intuitivo que nos permite afirmar si un cuer-
po, en un momento dado, está en reposo o en movimiento. ¿Qué criterio empleamos
para distinguirlo? Se suele decir que un cuerpo se mueve cuando cambia de lugar. Sin
embargo, este criterio no es preciso, porque existen cuerpos que se mueven sin cambiar
de lugar. Por ejemplo, la polea de la Figura 5.1, cuando gira alrededor de su eje, perma-
nece siempre en el mismo sitio. Debemos distinguir, pues, entre dos tipos diferentes de
movimiento: el de traslación y el de rotación.
En cambio, en el movimiento de rotación son los distintos puntos P1, P2... del cuerpo
los que cambian de lugar (Fig. 5.2), pero no lo hace el cuerpo en su conjunto. Un punto
solamente puede tener movimiento de traslación.
Por tanto, si consideramos que el cuerpo que se mueve es un punto, el criterio que
dimos anteriormente sería correcto. En este curso solamente trataremos del movimiento
de traslación. Por eso estudiamos la Cinemática del punto material. Más adelante
explicaremos qué se entiende por punto material.
Si de un automóvil (Fig. 5.3) solamente tenemos en cuenta su movimiento de trasla-
ción, lo estamos considerando como un punto que cambia de posición respecto a, por
ejemplo, un semáforo. Si esa posición no varía, diremos que está en reposo respecto al
semáforo.
Un cuerpo tiene movimiento de traslación cuando todo él, tomado en
su conjunto como un solo punto, cambia de lugar o de posición.
En general, cuando un cuerpo gira en torno a un eje fijo se mueve, pero
no se desplaza. Este movimiento recibe el nombre de movimiento de
rotación.
Fig. 5.1. Rotación y traslación. Cuando la
polea se mueve no cambia de lugar. Pero
sí lo hace el cubo cuando asciende.
Fig. 5.2. Rotación. En un movimiento
de rotación, los puntos del sólido que
gira cambian de lugar describiendo
circunferencias.
Eje
P1 P2
Fig. 5.3. Traslación. El automóvil se
mueve porque se aleja del semáforo.
A
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05
Un modelo es una idealización
mental o gráfica que permite sim-
plificar el estudio de un fenóme-
no. Aunque es un producto de la
imaginación, el modelo tiene una
gran ventaja: es lo suficientemente
sencillo como para analizar cómo
afectan las leyes fundamentales de
la Física a su comportamiento.
Para que un modelo cumpla bien su
misión es necesario que sea senci-
llo, esté de acuerdo con los hechos
experimentales y sea extrapolable;
es decir, que permita aplicar sus
conclusiones a otros fenómenos
hasta formular nuevas leyes.
No olvides que…
• La localización de un punto en el espacio respecto de otro punto que tomamos como
referencia recibe el nombre de posición.
• Movimiento de un punto es un cambio de posición respecto de otro punto que se
toma como referencia.
• Reposo y movimiento son dos términos relativos, puesto que dependen del objeto
que se tome como referencia (una farola está en reposo respecto de la calle, pero está
en movimiento si tomamos el Sol como referencia).
• Movimiento absoluto es aquél en el que el punto de referencia se supone fijo respecto
del punto que se mueve.
• Movimiento relativo es aquél en el que el punto cambia de posición respecto de otro
que también se mueve.
■ 5.3 Elementos fundamentales
del movimiento
En todo movimiento hay que distinguir tres elementos básicos: el objeto que se mueve,
el sistema de referencia que se utiliza y la trayectoria seguida por el móvil.
El objeto que se mueve: un punto material
Para conocer el movimiento que realmente tiene un cuerpo habría que conocer el de
todos sus puntos. Cuando un automóvil se desplaza por una carretera, además del movi-
miento de traslación que se observa, posee otros movimientos: el de balanceo al tomar
una curva, el de cabeceo en un cambio de rasante, etc., y el movimiento particular de
los distintos componentes: volante, ruedas, pistones, etcétera.
No nos interesa tener en consideración estos movimientos, por lo que prescindiremos
de todos los componentes del coche y sus dimensiones, y lo trataremos como si fuese
un punto material.
Como en la Naturaleza no existe un móvil con masa y sin dimensiones, esto es, en rea-
lidad, una idealización o un modelo ideal de la existencia, los científicos recurren con
frecuencia a modelos físicos para simplificar el estudio de la Naturaleza.
Hay muchos objetos que en su movimiento se comportan como puntos materiales. Todo
depende del sistema de referencia elegido. Por ejemplo, un automóvil no se comporta
como un punto para el que lo conduce; sin embargo, sí lo hace con respecto al agente
de tráfico que sobrevuela la carretera en helicóptero.
ACTIVIDADES
1 Indica qué afirmaciones son correctas. El movi-
miento es:
a) Un cambio de lugar.
b) Un cambio de lugar si el cuerpo que se mueve es
un punto material.
c) Un desplazamiento.
d) Un cambio de posición.
2 Escribe tres ejemplos de movimientos absolutos y
otros tantos de movimientos relativos.
3 Señala las afirmaciones correctas. El movimiento
de un coche que se desplaza por una carretera es
respecto de una gasolinera:
a) Rotación c) Absoluto
b) Traslación d) Relativo
4 Indica si el coche de la actividad anterior, respec-
to de un camión al que pretende adelantar, tiene
movimiento absoluto o relativo.
Llamamos punto material a un
cuerpo cuyas dimensiones no se
tienen en cuenta.
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05
En resumen:
• Partícula material o punto material es un término relativo que depende de las dimen-
siones que intervengan en cada problema concreto.
• Un cuerpo, por grande que sea, se considera un punto si sus dimensiones son despre-
ciables, comparadas bien con la distancia que hay desde él al punto de referencia o
bien con la trayectoria. Así, un barco se puede considerar como un punto respecto a
la costa. Un coche se puede considerar como un punto respecto a la longitud de la ca-
rretera. La Tierra en su movimiento de traslación se puede considerar como un punto.
El sistema de referencia
Para determinar la posición de un punto en cualquier instante es necesario fijar otro punto
en el espacio como referencia. El punto de referencia elegido se toma como origen O de
tres ejes cartesianos (Fig. 5.4), que constituyen un sistema de referencia cartesiano. Así,
la posición del punto P vendrá determinada por las coordenadas x, y y z de dicho punto.
No olvides que:
• El punto O de referencia puede ser cualquier objeto, real o imaginario, que esté en
reposo relativo respecto al punto P.
• Un sistema de referencia es inercial cuando el punto O está en reposo o se mueve
con velocidad constante.
• La Tierra se puede considerar como un sistema de referencia inercial, aunque realmen-
te no lo es, ya que tiene movimiento de rotación sobre sí misma. Sin embargo, este
movimiento nos pasa inadvertido.
Fig. 5.4. Sistema cartesiano de
referencia. Este sistema está formado
por un punto del espacio y tres ejes
cartesianos concurrentes en dicho punto.
5 Indica si es falso o verdadero:
a) Se puede estudiar el movimiento prescindiendo
del sistema de referencia.
b) El movimiento es un cambio de lugar.
c) Un punto solamente puede tener movimiento de
traslación.
d) La Tierra se puede considerar un punto material
cuando se mueve alrededor del Sol.
6 Observa la barca de la Figura 5.5 e indica cuál es la
afirmación correcta:
a) Tiene movimiento relativo respecto del agua y
de la orilla.
b) Tiene movimiento absoluto respecto de la orilla
y relativo respecto del agua.
c) La barca solamente tiene movimiento absoluto.
7 Para determinar la posición de un punto sobre un
plano, ¿cuántos ejes cartesianos necesitas?
8 Para determinar la posición de un barco en el océa-
no, ¿cuántas coordenadas necesitas? ¿Qué nombre
reciben?
9 Un coche parte desde un semáforo y se mueve por
una calle recta. ¿Cuántas coordenadas necesitas
para determinar la posición del automóvil respecto
al semáforo?
10 Además del punto material, ¿qué otros modelos
utilizados por la Física o la Química conoces?
ACTIVIDADES
Fig. 5.5. El movimiento relativo de la barca depende
del punto de referencia.
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05
Trayectoria
Fíjate en el punto P (x, y, z) de la Fig. 5.6. Este punto estará en reposo respecto al pun-
to O si sus coordenadas permanecen constantes con el tiempo, y estará en movimiento
cuando al menos una coordenada varíe con respecto a él.
Cuando el punto P se mueve, sus coordenadas van tomando distintos valores. El conjun-
to de puntos correspondientes a estos valores forman una línea que recibe el nombre
de trayectoria.
Las magnitudes son las variables
que intervienen en un fenómeno
o las características de un cuerpo
que se pueden medir. Las magni-
tudes físicas pueden ser escalares
o vectoriales.
http://teleformacion.edu.
aytolacoruna.es/FISICA/
document/applets/Hwang/
ntnujava/vector/vector_s.htm
Se trata de una simulación applet
para sumar vectores en dos y tres
dimensiones.
Trayectoria es el lugar geométrico de las sucesivas posiciones que va
tomando un punto móvil en el espacio.
Un punto se mueve en el plano Oxy según las ecuaciones:
x = t – 1; y = 2 t
a) ¿Qué significado tienen estas ecuaciones?
b) Dibuja la trayectoria de ese punto.
Solución
a) Al moverse el punto en un plano, su posición en todo momento viene deter-
minada por dos coordenadas (x, y). Las ecuaciones dadas indican cómo varía
esa posición con el tiempo. Por tanto, las distintas posiciones que va tomando
el punto en el transcurso del tiempo se obtienen dando valores a t en dichas
ecuaciones.
b) Las posiciones (–1, 0), (0, 2), (1, 4), (2, 6) son puntos de la línea que forma
la trayectoria (Fig. 5.7). Se trata de una recta.
EJEMPLO 1
Fig. 5.7. Trayectoria rectilínea del punto descrito en el Ejemplo 1.
t 0 1 2 3
x –1 0 1 2
y 0 2 4 6
Fig. 5.6. Coordenadas de un punto en el
espacio. Si ese punto se mueve, sus
coordenadas varían, dando lugar a una
línea llamada trayectoria.
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05
■ 5.4 Magnitudes del movimiento
Ya sabes que existen ciertas características de los cuerpos y de los fenómenos naturales,
llamadas magnitudes, que se pueden medir o evaluar en todo momento. Para entender
el movimiento es importante que conozcas las magnitudes que utiliza la Cinemática en
su desarrollo. Además del tiempo, son las siguientes: posición, desplazamiento, espacio
recorrido, velocidad y aceleración. El espacio recorrido es una magnitud escalar, mien-
tras que las demás son magnitudes vectoriales.
Posición
Ya hemos dicho que la posición de un punto P es su localización en el espacio. Existen dos
formas de localizar un punto en el espacio: mediante tres coordenadas cartesianas P (x, y, z)
y mediante un vector r
→
, o también OP
⎯→
, que une el origen del sistema de referencia con
el punto P y que recibe el nombre de vector de posición. El origen de este vector se
halla siempre en el origen de coordenadas y su extremo coincide en cada instante con
la posición del punto móvil (Fig. 5.8). Ambas formas están relacionadas. Para que com-
prendas la relación que existe entre las coordenadas x, y, z de un punto y su vector de
posición, debes recordar algunas nociones de cálculo vectorial.
Unas nociones de cálculo vectorial
Un vector u
→
se dice que es unitario cuando su módulo vale 1: |u
→
|= 1. Supongamos que el
vector a
→
de la Figura 5.9 tiene cinco unidades de longitud. Por tanto, su módulo es cinco
veces mayor que el módulo del vector unitario u
→
. De acuerdo con esto, se puede escribir:
|a
→
| = 5 · |u
→
| = 5. En general, un vector cualquiera se puede expresar en función de un
vector unitario que tenga su misma dirección y sentido mediante el producto v
→
= |v
→
|
u
→
, siendo |v
→
| el módulo o longitud del vector v
→
y u
→
el vector unitario de igual dirección
y sentido que v
→
.
Si llamamos u
→
x, u
→
y y u
→
z a los vectores unitarios que tienen la misma dirección y sentido
que los semiejes cartesianos (Fig. 5.10), podremos expresar el vector de posición de un
punto en función de dichos vectores.
La suma de dos vectores v
→
1 y v
→
2 viene dada por la diagonal del paralelogramo construido
sobre dichos vectores, tomándolos como lados que parten del mismo vértice (Fig. 5.11):
s
→
=v
→
1 +v
→
2.LaposicióndelpuntoP(x,y)delaFigura5.12vienedeterminadaporelvectorr
→
.
El vector r
→
es la diagonal del paralelogramo OAPBO. Por tanto, se cumple que:
r
→
= OA
⎯→
+ OB
⎯→
= |OA
⎯→
| u
→
x + |OB
⎯→
| u
→
y = x u
→
x + y u
→
y
ya que |OA
⎯→
| = x, |OB
⎯→
| = y.
Aplicando el teorema de Pitágoras, podemos calcular el módulo de un vector si cono-
cemos x e y, ya que |r
→
|2
= x2
+ y2
→ |r
→
|= Îx2
+ y2
.
v
v
Fig. 5.11. Suma de vectores. Se aplica la regla del paralelogramo.
Fig. 5.8. Vector de posición. La posición
de un punto P queda definida por el
vector que une el punto O con el punto P.
Fig. 5.12. El vector r
→
en función de los
vectores OA
⎯⎯
, OB
⎯⎯
: r
→
= OA
⎯→
+ OB
⎯→
.
Fig. 5.9. Un vector se puede expresar
como el producto de su módulo por
un vector unitario que tenga la misma
dirección y sentido.
Fig. 5.10. Representación de los vectores
unitarios según los ejes cartesianos.
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05
En el espacio, el vector de posición del punto P (x, y, z) será r
→
= x u
→
x + y u
→
y + z u
→
z.
Cuando el punto P se mueve, su vector de posición variará con el tiempo, lo que se
puede expresar de la siguiente forma:
r
→
(t) = x (t) u
→
x + y (t) u
→
y + z (t) u
→
z
Esta expresión recibe el nombre de posición instantánea. Dando valores a t se obtienen
las distintas posiciones de la partícula móvil durante un intervalo de tiempo.
El movimiento de una partícula viene dado por las ecuaciones x = 4 t, y = 2 t – 2,
en donde x e y se miden en metros y t, en segundos. Calcula:
a) La posición de la partícula en cualquier instante.
b) La posición en los instantes t = 0, t = 2.
c) ¿Dónde se encuentra la partícula a los 5 segundos?
d) ¿A qué distancia del origen del sistema de referencia se encuentra la
partícula en ese instante?
Solución
a) La posición de la partícula en cualquier instante viene determinada por el
vector de posición: r
→
= x u
→
x + y u
→
y = 4 t u
→
x + (2 t – 2) u
→
y.
b) En la expresión anterior sustituimos los valores del tiempo que nos indican:
Para t = 0 r
→
0 = (4 · 0) u
→
x + (2 · 0 – 2) u
→
y = –2 u
→
y
Para t = 2 r
→
2 = 8 u
→
x + 2 u
→
y
En los instantes t = 0 y t = 2 s, la partícula se encuentra en los puntos P0 (0, –2),
P2 (8, 2).
c) A los 5 s la partícula se encontrará en la posición r
→
5 = 20 u
→
x + 8 u
→
y, es decir, en
el punto (20,8).
d) La distancia pedida viene dada por el módulo del vector r
→
5:
|r
→
5| = Îx2
+ y2
= Î202
+ 82
= 21,5 m
EJEMPLO 2
El vector es un segmento que está
orientado:
Tiene un punto de origen, O, y un
extremo, P, que determina el sen-
tido del vector OP
⎯→
. La dirección de
un vector viene determinada por
la recta sobre la que se apoya.
El módulo es un número real
positivo que indica la longitud del
vector y que determina el valor
de la magnitud asociada. Una
magnitud vectorial se representa
algebraicamente con una flecha
sobre su valor, v
→
, o bien escri-
biéndolo en negrita, v. En este
libro hemos optado por la primera
fórmula por considerarla más fácil
de reconocer.
ACTIVIDADES
11 Escribe los vectores de posición correspondientes
a los siguientes puntos respecto al origen:
a) P1 (2, –3, 5)
b) P2 (–1, 0, 6)
c) P3 (0, 0, –2).
12 Un punto móvil se desplaza en el espacio de acuerdo
con las siguientes ecuaciones expresadas en el SI:
x = t + 2; y = 4 t – 2; z = t2
a) Completa la siguiente tabla de valores:
b) Halla la posición del punto móvil para t = 15 s.
c) Escribe el vector correspondiente a esa posición.
t 0 1 2 3 4
x
y
z
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Desplazamiento
Si en un instante dado un móvil se encuentra en la posición P0 (x0, y0, z0) y al cabo de
un tiempo su posición es P1 (x1, y1, z1), diremos que el móvil se ha desplazado desde el
punto P0 al punto P1. Este desplazamiento viene definido por un vector, llamado vector
desplazamiento, Dr
→
, que tiene las siguientes características:
Tiene su origen en el punto de partida o posición inicial y su extremo en el punto de
llegada o posición final, P
⎯
0
⎯
P
→
1 (Fig. 5.13).
El desplazamiento entre dos posiciones es siempre el mismo, cualquiera que sea la
trayectoria que una dichas posiciones (Fig. 5.14).
El vector desplazamiento se obtiene restando del vector de posición final el vector de
posición inicial (Fig. 5.15):
Dr
→
= r
→
1 – r
→
0
Por tanto, si
r
→
1 = x1 u
→
x + y1 u
→
y + z1 u
→
z r
→
0 = x0 u
→
x + y0 u
→
y + z0 u
→
z
el vector desplazamiento será:
Dr
→
= (x1 – x0) u
→
x + (y1 – y0) u
→
y + (z1 – z0) u
→
z = Dx u
→
x + Dy u
→
y + Dz u
→
z
siendo Dx = x1 – x0; Dy = y1 – y0; Dz = z1 – z0.
Esto quiere decir que el desplazamiento total equivale a la suma de desplazamientos
parciales a lo largo de los ejes cartesianos.
Fig. 5.15. Vector desplazamiento. Se
obtiene restando los vectores de posición
correspondientes al punto de llegada y al
punto de partida.
Fig. 5.13. Vector desplazamiento. Une la
posición inicial y final del móvil.
Fig. 5.14. Diferentes trayectorias para un
mismo desplazamiento.
Fig. 5.16. Representación del movimiento
del automóvil del Ejemplo 3.
x
Un automóvil se mueve en línea recta por una carretera. A las nueve de la
mañana se encuentra en el punto kilométrico 40 y media hora más tarde se
encuentra en el punto kilométrico 100. Calcula el desplazamiento que ha
experimentado el coche en el tiempo indicado.
Solución
Si el coche se mueve en línea recta, podemos tomar como sistema de referencia
el punto kilométrico 0 y la dirección de la carretera como eje cartesiano Ox. Por
tanto, el vector de posición en este caso será: r
→
= x u
→
x.
El coche en media hora se ha desplazado desde el punto P0 (40 km, 0) al punto
P1 (100 km, 0) (Fig. 5.16).
Por tanto, el desplazamiento será:
Dr
→
= r
→
1 – r
→
0 = (x1 – x0) u
→
x = 60 u
→
x km
El coche se ha desplazado 60 km alejándose del origen.
EJEMPLO 3
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05
ACTIVIDADES
13 Carlos sale de su casa a comprar el periódico en una
papelería situada a 120 m de la vivienda y luego
regresa a su casa. ¿Qué afirmación es la correcta?
a) Carlos se ha desplazado 120 m.
b) Carlos se ha desplazado 240 m.
c) Carlos no se ha desplazado.
d) Carlos ha recorrido 240 m.
14 Un ciclista se desplaza en línea recta 750 m. Si
su posición final está a 1 250 m del punto de re-
ferencia, el ciclista inició su recorrido desde una
posición situada a:
a) 750 m del punto de referencia. b) 1 250 m del pun-
to de referencia. c) 500 m del punto de referencia.
d) No se puede hallar la posición de partida.
Elige la respuesta correcta.
Espacio recorrido
No debes confundir espacio recorrido con desplazamiento. Espacio recorrido es la longitud
de trayectoria que ha seguido el móvil. Es una magnitud escalar que coincide con el módu-
lo del desplazamiento, solamente en el caso de que el movimiento sea rectilíneo y que ade-
más no cambie de sentido. Si lanzas una pelota hacia arriba, el espacio recorrido coincide
con el desplazamiento mientras la pelota está subiendo; pero cuando inicia el descenso, el
desplazamiento disminuye, y cuando la pelota llega al punto de partida, el desplazamiento
es nulo. En cambio, el espacio recorrido es igual al doble de la altura alcanzada.
EJEMPLO 4
Una partícula material se mueve en el espacio de
forma que su posición en cualquier instante viene
dada por las ecuaciones x = t2
; y = t – 2, expresadas
en el SI. Calcula:
a) Dónde se encuentra la partícula en los instantes t
= 0 s, t = 1 s, t = 2 s.
b) El desplazamiento en el intervalo de tiempo com-
prendido entre cero y dos segundos.
Solución
a) La posición de la partícula en cualquier instante
viene dada por el vector r
→
= (t2
) u
→
x + (t – 2) u
→
y, que
para los instantes dados toma los valores r
→
0 = –2 u
→
y;
r
→
1 = u
→
x – u
→
y; r
→
2 = 4 u
→
x.
Es decir, se encuentra en los puntos (0, –2), (1, –1)
y (4, 0), respectivamente.
b) Para hallar el desplazamiento basta restar los vectores
r
→
2 y r
→
0 :Dr
→
= r
→
2– r
→
0 =(4–0)u
→
x +(0–(–2))u
→
y =4u
→
x +2u
→
y
Una persona sale de paseo. Recorre 2 km hacia el norte, después se dirige hacia el
este y recorre 1 km, y por último, se dirige hacia el sur y recorre 4 km. Calcula:
a) ¿Qué espacio ha recorrido?
b) ¿Cuánto vale el desplazamiento?
Solución
a) En la Fig. 5.17 están representados los distintos desplazamientos. El espacio
total recorrido es de 7 km.
b) El desplazamiento es un vector con sentido sur-este, y vale:
|P
⎯
0
⎯
P
→
1| = |Dr
→
| = Î(4 – 2)2
+ 12
= Î5 = 2,24 km
EJEMPLO 5
Fig. 5.17. Desplazamiento total.
Corresponde al vector P
⎯
0
⎯
P
→
1.
Unidad 05.indd 197 28/12/07 11:50:24

05
15 Una vez iniciado el movimiento, ¿el espacio reco-
rrido puede ser cero? ¿Puede ser cero el desplaza-
miento? Cita un ejemplo en que el espacio recorri-
do y el desplazamiento tengan el mismo valor.
16 Un ciclista recorre una pista circular de 20 m de ra-
dio partiendo del punto O en el sentido que indica
la flecha de la Fig. 5.18.
Calcula el espacio recorrido y el desplazamiento:
a) Cuando el ciclista está en el punto A.
b) Cuando se halla en el punto B.
c) Cuando se encuentra en C.
d) Cuando ha dado una
vuelta completa.
ACTIVIDADES
Fig. 5.18
Velocidad
Para determinar el movimiento de una partícula es necesario conocer cómo varía la posi-
ción de esa partícula en el transcurso del tiempo. A la variación de la posición la hemos
llamado desplazamiento. Para relacionar el desplazamiento que ha experimentado un
móvil con el tiempo transcurrido introducimos una magnitud muy importante en Cinemá-
tica: la velocidad. Podemos distinguir entre velocidad media y velocidad instantánea.
Velocidad media
La velocidad media se define como el desplazamiento que experimenta
el punto móvil en la unidad de tiempo. Es un vector que resulta de divi-
dir el desplazamiento producido entre el intervalo de tiempo empleado y
que tiene la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento, ya
que el tiempo es una magnitud escalar positiva.
v
→
= Dr
→
Dt
Una araña se mueve sobre el cristal de una ventana siguiendo una trayectoria
definida por x = t2
e y = t + 2 en el SI. Calcula:
a) El vector de posición de la araña en cualquier instante.
b) El desplazamiento en el intervalo de tiempo comprendido entre t = 1 s y t = 3 s.
c) La velocidad media con que se ha desplazado la araña durante ese tiempo.
Solución
a) El vector de posición viene dado por r
→
= x u
→
x + y u
→
y = t2
u
→
x + (t + 2) u
→
y
b) Hallamos las posiciones correspondientes a los instantes que se indican:
Para t = 1 s; r
→
1 = ux + 3 u
→
y Para t = 3 s; r
→
3 = 9 u
→
x + 5 u
→
y
El desplazamiento será: Dr
→
= r
→
3 – r
→
1 = (9 – 1) u
→
x + (5 – 3) u
→
y = 8 u
→
x + 2 u
→
y
c) La velocidad media vendrá dada por: v
→
=
Dr
→
Dt
=
8 u
→
x + 2 u
→
y
2
= 4 u
→
x + u
→
y m/s
EJEMPLO 6
http://newton.cnice.mec.
es/4eso/trayectoria/trayec0.htm
En esta página se recoge una expli-
cación con simulaciones interac-
tivas de la diferencia entre des-
plazamiento y trayectoria (espacio
recorrido).
Si r
→
(t) representa la posición del
punto móvil en el instante t y r
→
(t + Dt) representa la posición al
cabo de un intervalo de tiempo
Dt, la velocidad media también se
obtiene:
v
→
= Dr
→
Dt
= r
→
(t + Dt) – r
→
(t)
Dt
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05
Una partícula se mueve a lo largo del eje Ox según la ecuación x = t2
+ 2. Calcula su velocidad media.
Solución
En este caso, el vector de posición es r
→
(x, 0) y no se especifica el intervalo de tiempo. Por ello hallaremos la velocidad
media utilizando la expresión:
|v
→
| =
|Dr
→
|
Dt
=
|r
→
(t + Dt) – r
→
(t)|
Dt
=
[(t + Dt)2
+ 2 – (t2
+ 2)]
Dt
=
t2
+ 2 t Dt + (Dt)2
+ 2 – t2
– 2
Dt
= 2 t + Dt
EJEMPLO 7
Velocidad instantánea es la que tiene una partícula en un instante
determinado o en un punto determinado de la trayectoria.
ACTIVIDADES
17 La rapidez de un móvil se mide en m/s en el SI, y
en la práctica, en km/h. Expresa en m/s la rapidez
con la que se mueve un coche que va a 144 km/h.
18 Si la velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s,
¿cuál será la velocidad de un avión en km/h cuan-
do rompe la barrera del sonido?
En general, la velocidad media
depende del instante inicial y del
intervalo de tiempo considerados.
Si estos valores están determina-
dos, la velocidad media toma un
valor concreto, como ha ocurrido
en el Ejemplo 6. Pero si el instante
inicial y el intervalo de tiempo no
están definidos, la velocidad media
es indeterminada, como sucede en
el Ejemplo 7.
Fig. 5.19. Velocímetro. Instrumento
que mide el módulo de la velocidad
instantánea del vehículo.
Observa cómo el resultado es indeterminado porque depende de dos variables: el instan-
te t y el intervalo de tiempo Dt. Si el intervalo de tiempo se hace infinitamente pequeño
(Dt → 0), la velocidad media toma el valor |v
→
| = 2 t y solamente depende del instante
que se considere. Por ello recibe el nombre de velocidad instantánea. Y se suele defi-
nir como el valor que toma la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a
0: v
→
i = lim
Dr
→
Dt
· Este límite se conoce en Matemáticas como la derivada del vector de
posición respecto al tiempo.
Velocidad instantánea
En la resolución del ejemplo anterior se ha visto cómo la velocidad media, en general,
es indeterminada. Además, nos da poca información del movimiento que tiene lugar.
Solamente relaciona el desplazamiento total producido con el intervalo de tiempo em-
pleado. No nos dice nada sobre la trayectoria que ha seguido la partícula, ni si ha lle-
vado la misma velocidad durante todo el intervalo de tiempo.
Por ejemplo, si un coche ha tardado 5 horas en desplazarse desde Madrid a Valencia, a
350 km de distancia, diremos que ha hecho el recorrido con una velocidad media de
70 km/h. Pero este dato no nos responde a preguntas como: ¿ha sido ésa la velocidad
real del coche?, ¿ha hecho el recorrido manteniendo siempre la misma velocidad?, ¿qué
carretera ha seguido?, ¿qué velocidad tenía el coche cuando pasó por el punto kilomé-
trico 100?, ¿y cuando faltaban 20 minutos para llegar a Valencia?
La verdadera velocidad del coche es la que marca el velocímetro en el instante en que obser-
vas dicho aparato (Fig. 5.19). El velocímetro mide el módulo de la velocidad instantánea.
La velocidad instantánea es un vector cuyo módulo recibe el nombre de rapidez y
representa el espacio recorrido en la unidad de tiempo, cuya dirección es tangente a la
trayectoria y cuyo sentido coincide con el sentido del movimiento.
Dt→0
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05
Aceleración
Cuando un automóvil se desplaza no siempre lo hace con la misma velocidad. Cuando
un coche, por ejemplo, aumenta de velocidad decimos que acelera. Si el aumento de ve-
locidad se produce en menos tiempo, intuitivamente decimos que el coche tiene mayor
aceleración. Por tanto, la aceleración relaciona la velocidad con el tiempo.
Mediante algunos ejemplos, vamos a ver cuándo un movimiento tiene aceleración:
1. Se lanza una pelota a 10 m/s contra la pared de un frontón. La pelota rebota y sale a
10 m/s en la misma dirección. ¿La velocidad es la misma antes y después del rebote?
No, la pelota se mueve con la misma rapidez antes y después del rebote, pero no
con la misma velocidad. Existe aceleración porque la velocidad ha cambiado de
sentido.
2. Un coche se mueve por una pista recta. En un momento dado su velocímetro marca
90 km/h y en un instante posterior 100 km/h. Existe aceleración porque ha cambia-
do el módulo de la velocidad. El coche no se mueve con la misma rapidez.
3. El coche anterior toma una curva con una rapidez constante de 45 km/h. Existe ace-
leración porque la dirección de la velocidad está cambiando continuamente.
La velocidad es una magnitud
vectorial. Por tanto, existirá ace-
leración siempre que la velocidad
varíe en cualquiera de sus elemen-
tos: módulo, dirección o sentido.
El módulo de la aceleración se
mide en m/s2
.
Aceleración, en general, es la variación de la velocidad con el tiempo.
19 Cita algún ejemplo en que la velocidad de un vehí-
culo cambia en módulo y dirección.
20 En el movimiento de un péndulo, ¿qué elementos
de la velocidad se modifican?
ACTIVIDADES
Aceleración media y aceleración instantánea
Para determinar el movimiento de una partícula no basta saber que la velocidad varía.
Es necesario saber cómo se produce esta variación en el transcurso del tiempo. Por ello,
se introducen los conceptos de aceleración media y aceleración instantánea.
Si la pelota del ejemplo citado anteriormente ha estado en contacto con el frontón
durante una décima de segundo, ha experimentado una aceleración media:
v
→
1 = +10 u
→
x m/s v
→
2 = –10 u
→
x m/s
a
→
=
v
→
2 – v
→
1
Dt
=
(–10 u
→
x) – (10 u
→
x)
0,1 s
= –200 u
→
x m/s2
La aceleración media se define como el vector que resulta de dividir la
variación de la velocidad que se ha producido en un intervalo de tiempo
entre el valor de dicho intervalo:
a
→
=
Dv
→
Dt
=
v
→
2 – v
→
1
Dt
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05
Componentes intrínsecas de la aceleración
Sabemos que la velocidad instantánea es tangente a la trayectoria (Fig. 5.20). Por
tanto, en cada punto se conoce bien su dirección. Pero ¿cuál es la dirección de la ace-
leración instantánea? ¿Es también tangente a la trayectoria?
En la Figura 5.21 se ha obtenido gráficamente el vector Dv
→
. Se observa cómo este vec-
tor no es tangente a la trayectoria. Su dirección es variable.
Pero cualquiera que sea esta dirección, siempre se puede descomponer en dos vectores:
uno en la dirección de v
→
1 y otro perpendicular a v
→
1 (Fig. 5.22).
Si elegimos el sistema de referencia formado por un punto de la trayectoria y dos vec-
tores unitarios, uno t
→
con la dirección de la tangente y el otro n
→
con la dirección de la
normal (perpendicular) a la tangente en dicho punto, hemos definido un sistema de re-
ferencia ligado a la propia trayectoria y que recibe el nombre de sistema de referencia
intrínseco a la trayectoria (Fig. 5.23).
Utilizando este sistema de referencia, podemos escribir: Dv
→
= Dv
→
t + Dv
→
n. Por tanto, la
aceleración será:
a
→
=
Dv
→
Dt
=
Dv
→
t
Dt
+
Dv
→
n
Dt
= a
→
t + a
→
n = |a
→
t| t
→
+ |a
→
n|n
→
La aceleración se puede descomponer en dos, una en la dirección de la tangente (acele-
ración tangencial) y otra en la dirección de la normal (aceleración normal) en cada punto
de la trayectoria. Estas aceleraciones reciben el nombre de componentes intrínsecas de
la aceleración.
Fig. 5.21. La variación de la velocidad
se obtiene gráficamente uniendo los
extremos de las velocidades v
→
1 y v
→
2.
Fig. 5.20. Dirección de la velocidad
instantánea.
Fig. 5.23. Sistema de referencia
intrínseco a la trayectoria.
Fig. 5.22. Descomposición de la variación
de la velocidad.
La aceleración tangencial es debida a la variación de la rapidez o mó-
dulo de la velocidad.
La aceleración normal es la que se debe al cambio de dirección de la
velocidad y recibe el nombre de aceleración centrípeta. Su módulo vale
v2
R
, siendo v la rapidez y R el radio de la curva.
La aceleración instantánea es el valor límite que toma la aceleración
media cuando el intervalo de tiempo es extremadamente pequeño.
a
→
i = lim Dv
→
Dt
Este límite recibe el nombre de derivada del vector velocidad respecto al
tiempo.
Dt→0
ACTIVIDADES
13 El automóvil anterior toma una curva de forma que al
principio de ella el velocímetro marca 90 km/h y
al final 30 km/h.
a) ¿Tiene aceleración tangencial el coche? ¿Por qué?
b) ¿Tiene aceleración normal? ¿Por qué?
c) ¿Qué tipo de aceleración hubiera tenido el coche
si durante toda la curva se hubiera desplazado
a 30 km/h?
c) ¿Cuánto vale la aceleración media?
Para restar dos vectores se traslada uno de ellos sobre su paralela de manera que co-
incidan los orígenes de ambos. El vector diferencia es el que une el extremo del vector
sustraendo, v
→
1, con el vector minuendo, v
→
2.
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05
■ 5.5 Clasificación de los movimientos
más relevantes
Los movimientos que tienen lugar en nuestro entorno se pueden clasificar atendiendo a
dos criterios principales: la trayectoria (Fig. 5.24) y la aceleración (Fig. 5.25).
Según la trayectoria, los movimientos pueden ser rectilíneos y curvilíneos. Como
ejemplo más sencillo de estos últimos está el movimiento circular.
De acuerdo con la aceleración, los movimientos pueden ser uniformes y acelerados. De
los últimos, los que más vamos a tener en cuenta en este primer curso de Bachillerato
son los llamados uniformemente acelerados.
Fig. 5.24. Clasificación de los movimientos según su trayectoria.
SEGÚN LA TRAYECTORIA
Fig. 5.25. Clasificación de los movimientos según su aceleración.
Fig. 5.26. Movimiento rectilíneo.
En estos movimientos se puede tomar
la trayectoria como eje de referencia.
x
v
O
Fig. 5.27. Vector de posición de un punto
P. Este vector tiene una sola componente.
x
O
P (x, 0, 0)
■ 5.6 Movimientos rectilíneos
La caída libre de un cuerpo, la propagación del sonido, el desplazamiento de un avión
por una pista antes de despegar de un aeródromo, etc., son ejemplos de movimientos
rectilíneos.
El estudio de estos movimientos resulta sencillo si utilizamos un sistema de referencia
adecuado: situamos el origen O del sistema sobre la trayectoria y además hacemos que
ésta coincida con uno de los ejes cartesianos (Fig. 5.26).
Con este sistema de referencia, todas las magnitudes del movimiento tienen la misma
dirección del eje elegido y, por tanto, una sola componente:
Vector de posición r
→
(x, 0, 0) |r
→
| = x
Vector desplazamiento Dr
→
(Dx, 0, 0) |Dr
→
| = Dx
Vector velocidad v
→
(vx, 0, 0) |v
→
| = vx = v
Vector aceleración a
→
(ax, 0, 0) |a
→
| = ax = a
De todo ello podemos sacar las siguientes conclusiones:
El módulo de estos vectores coincide con el valor de su única componente. El sentido
lo expresaremos mediante un signo (+, –) según sea el sentido del movimiento.
Por ejemplo: en lugar de r
→
emplearemos (+x) o (–x), en lugar de v
→
utilizaremos (+v) o
(–v), etc., de acuerdo con el criterio de signos que te daremos. En la Fig. 5.27 se pone
de manifiesto la única componente que posee el vector de posición.
Los movimientos rectilíneos se caracterizan porque su trayectoria es una
línea recta. Por tanto, la dirección de la velocidad se mantiene constante.
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05
Fig. 5.29. Módulo del desplazamiento. En
el movimiento rectilíneo, el módulo del
desplazamiento casi siempre coincide con
el espacio recorrido, x1 – x0 = s.
En general, en los movimientos rectilíneos, el módulo del desplazamiento coincide con
el espacio recorrido si no se invierte el sentido del movimiento (Fig. 5.29).
Criterio de signos para las ecuaciones
del movimiento rectilíneo
Recuerda que la posición, la velocidad y la aceleración son magnitudes vectoriales cuya
dirección coincide con la trayectoria y cuyo sentido viene determinado por los signos +
y –. Para averiguar qué signo tienen en cada problema concreto utilizaremos el siguien-
te criterio:
– Para la posición. El signo de la posición coincide con el signo de los semiejes carte-
sianos, como se deduce de la Fig. 5.28.
– Para la velocidad. La velocidad es positiva cuando el móvil se desplaza en el sentido
del semieje Ox o del semieje Oy (hacia la derecha o hacia arriba), y es negativa si se
desplaza en sentido contrario (hacia la izquierda o hacia abajo).
– Para la aceleración. Una aceleración es positiva si su sentido coincide con el de la
velocidad positiva y es negativa si su sentido es contrario a la misma.
Fig. 5.28. Criterio de signos: a) para la posición en movimiento horizontal; b) para la posición en
movimiento vertical; c) para la velocidad.
ACTIVIDADES
22 Escribe el signo correspondiente a la posición y a la velocidad en los
siguientes casos:
a) La partícula de la figura se encuentra en el punto P1, a 20 m del pun-
to O que se toma como referencia.
b) La partícula se halla en P2, a 10 m del punto O.
c) El coche de la Fig. 5.26 se aleja del punto O con una rapidez de
20 m/s.
d) Dicho coche retrocede a 2 m/s.
a) b) c)
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05
Cinemática del movimiento rectilíneo
y uniforme (MRU)
Un móvil posee MRU cuando se desplaza en línea recta y sin aceleración,
es decir, manteniendo constante la velocidad. En este movimiento, la
velocidad media coincide con la velocidad instantánea.
Ecuación del MRU
Se trata de obtener una expresión matemática que permita hallar en cualquier instante
la posición de un móvil si conocemos la posición inicial y la velocidad. Fíjate en el
sistema de referencia (Fig. 5.30): la posición del punto móvil P1, en cualquier instante,
viene dada por la distancia x que hay entre él y el origen de coordenadas.
Supongamos que inicialmente, cuando empezamos a cronometrar el intervalo de tiempo
transcurrido, el móvil se encuentra en el punto P0, cuya posición viene dada por x0, posi-
ción inicial. Si este punto se desplaza a lo largo del eje Ox con una velocidad v, al cabo
de un tiempo t la posición del móvil será xt. El desplazamiento habrá sido Dx = xt – x0.
De la definición de velocidad media, v =
xt – x0
t
, se deduce:
xt = x0 + v t
que es la ecuación del MRU, donde:
xt es la posición en cualquier instante t;
x0 es la posición inicial, para t = 0;
v es la velocidad constante del movimiento y
t es el tiempo transcurrido.
Diagramas del movimiento rectilíneo y uniforme
Las gráficas se usan para determinar la relación que existe entre dos magnitudes. Si
hablamos de movimiento, los diagramas son representaciones gráficas, en función del
tiempo, de las magnitudes posición, velocidad y aceleración.
El MRU tiene dos diagramas, x-t y v-t, puesto que no tiene aceleración.
• Diagrama x-t. Se trata de representar gráficamente la ecuación del movimiento tomando la
posición instantánea como función y el tiempo como variable independiente: xt = x0 + vt.
La línea obtenida es una recta cuya ordenada en el origen es la posición inicial y cuya
pendiente es la velocidad (Fig. 5.31).
• Diagrama v-t. Es la representación gráfica de la función v = f (t). Se trata de una recta
paralela al eje de los tiempos (Fig. 5.32). El área contenida debajo de la línea de la
velocidad representa el desplazamiento: Dx = base · altura = t v = v t.
Fig. 5.30. Posición de partida o posición
inicial. Es la distancia x0 (para t = 0).
Fig. 5.32. Diagrama v-t del MRU. El
área del recinto en color representa el
desplazamiento.
Fig. 5.31. Diagrama x-t del MRU.
En el MRU, normalmente, el espa-
cio recorrido coincide con el des-
plazamiento. Por tanto, la ecuación
xt = x0 + v t también se puede
escribir:
s = xt – x0 = v t
que recibe el nombre de ecuación
horaria del movimiento rectilíneo
y uniforme.
23 Un coche pasa por un punto A situado a 20 km del punto de referencia.
¿En qué punto se encontrará media hora más tarde si se desplaza con
una velocidad media de 100 km/h?
ACTIVIDADES
Unidad 05.indd 204 28/12/07 11:50:58

05
ACTIVIDADES
24 Dado el diagrama de la Fig. 5.34, indica qué afirma-
ciones son falsas:
a) En el tramo OA la velocidad ha sido 0,8 m/s.
b) En el tramo AB la velocidad es 4/5 m/s.
c) En el tramo BC la velocidad es –2 m/s.
d) En el tramo AB el móvil está parado.
25 El movimiento rectilíneo de una partícula está des-
crito en el diagrama x-t de la Fig. 5.35.
a) ¿Qué representa el valor x = 5 m?
b) ¿Qué significa el tramo horizontal?
c) ¿Qué velocidad tiene la partícula en los interva-
los de t = 0 a t = 2 s y de t = 2 s a t = 4 s?
d) ¿Qué distancia recorre la partícula en 4 s?
Fig. 5.34 Fig. 5.35
El movimiento de una partícula está descrito mediante el diagrama x-t de la
Fig. 5.33. Calcula:
a) La velocidad media durante los dos primeros segundos.
b) La velocidad media en el intervalo de 0 a 5 s.
c) El desplazamiento total que ha experimentado la partícula.
d) Describe el movimiento de la partícula.
Solución
a) De acuerdo con la Fig. 5.33, para t0 = 0, la partícula se encuentra en la posición
x0 = 2 m, y en el instante t1 = 2 s se encuentra en la posición x2 = 4 m.
Luego, la velocidad media será: v =
Dx
Dt
=
x1 – x0
t1 – t0
=
4 m – 2 m
2 s
= 1 m/s
b) En el instante t5 = 5 s la partícula se halla en la posición x5 = 0. Por tanto,
durante el intervalo de tiempo t5 – t0 = 5 s la velocidad media ha sido:
v =
x5 – x0
t5 – t0
=
0 – 2 m
5 s
= –0,4 m/s
c) Recuerda que el desplazamiento viene dado por la diferencia entre las
posiciones final e inicial: x5 – x0 = 0 – 2 m = –2 m.
d) Según la Fig. 5.33, la partícula inicia el movimiento desde un punto situado
a 2 m del sistema de referencia. Permanece en movimiento durante 1 s hasta
llegar a un punto situado a 4 m del sistema de referencia; en ese punto
permanece parada durante 2 s más. Al cabo de ese tiempo, la partícula se
mueve en sentido contrario dirigiéndose hacia el punto de referencia, adonde
llega en el instante t = 5 s.
EJEMPLO 8
Fig. 5.33. Movimiento de la partícula
del Ejemplo 8.
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05
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)
Es un movimiento rectilíneo que se realiza con aceleración constante.
Por tanto, la aceleración media y la aceleración instantánea coinciden.
Ecuaciones del MRUA
Supongamos que en la posición P1 de la Fig. 5.36, una partícula tiene una velocidad instan-
tánea v0 y en otro punto P1 de la trayectoria la velocidad es vt. Si ha empleado un tiempo t
en desplazarse desde P0 hasta P1, la aceleración media de la partícula habrá sido:
a =
vt – v0
t
m/s2
Ésta es la velocidad en cualquier instante, conocida la aceleración:

vt = v0 + a t

(1)
La velocidad media aritmética de la partícula entre las posiciones P0 y P1 viene dada por:
v
–
=
v0 + vt
2
=
v0 + (v0 + a t)
2
= v0 +
1
2
a t
Sin consideraciones vectoriales, y como la velocidad media es constante en el intervalo,
podemos aplicar la ecuación del MRU para hallar la posición instantánea:
xt = x0 + v
–
t = x0 + (v0 +
1
2
a t)t → xt = x0 + v0 t +
1
2
a t2 (2)
En resumen, si conoces la aceleración constante con que se mueve una partícula,
puedes averiguar la velocidad que posee en cualquier instante utilizando la ecuación
(1). Además, mediante la ecuación (2) puedes hallar también la posición. Eliminando el
tiempo entre las dos ecuaciones anteriores se obtiene una tercera ecuación muy útil que
permite calcular la velocidad en cualquier posición, si no conoces el valor del tiempo:

vt
2
– v0
2
= 2 a (xt – x0)

(3)
Un automóvil parte de una gasolinera donde estaba en situación de reposo. Después de recorrer 200 m alcanza
una velocidad de 108 km/h. Calcula:
a) El valor de la aceleración, que se supone constante.
b) El tiempo que ha tardado en alcanzar la velocidad indicada.
Solución
Tomamos la gasolinera como sistema de referencia. Empezamos a contar el tiempo cuando el coche.
Posición inicial x0 = 0 Posición final xt = 200 m
Velocidad inicial v0 = 0 Velocidad al final de los 200 m, vt = 108 km/h = 30 m/s
a) De acuerdo con estos datos, la aceleración se obtiene a partir de la ecuación: vt
2
– v0
2
= 2 a (xt – x0).
a =
vt
2
– v0
2
2 (x1 – x0)
=
(30 m/s)2
– 0
2 (200 m – 0)
=
900 m2
/s2
400 m
= 2,25 m/s2
b) El tiempo transcurrido lo despejamos en la ecuación: vt = v0 + a t; t =
vt – v0
a
=
30 m/s – 0
2,25 m/s2 = 13,3 s
EJEMPLO 9
Fig. 5.36. Aceleración media. Entre
las posiciones P0 y P1 la aceleración es
constante.
O
P0 (x0)
v0 vt
P1 (x1)
y
x
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05
Un coche al pasar por un punto A de una carretera se desplaza a 120 km/h y al hacerlo por otro punto B de la misma
carretera la velocidad es de 90 km/h. Si ha tardado 5 s en desplazarse desde A hasta B, calcula:
a) El valor de la aceleración, que se supone constante.
b) La distancia entre A y B.
c) ¿A qué distancia de A se detendrá el automóvil?
Solución
Tomamos el punto A como sistema de referencia. Empezamos a cronometrar cuando el coche pasa por dicho punto. De
acuerdo con esto, conoces:
– La posición inicial x0 = 0.
– La velocidad inicial v0 = 120 km/h = 33,3 m/s.
– El tiempo transcurrido t = 5 s.
– La velocidad en el punto B vt = 90 km/h = 25 m/s.
a) La aceleración se obtiene a partir de la ecuación vt = v0 + a t
a =
vt – v0
t
=
25 m/s – 33,3 m/s
5 s
= –1,7 m/s2
b) La distancia entre A y B viene dada por la posición del coche al cabo de 5 s:
xt = x0 + v0 t +
1
2
a t2
= 33,3 m/s · 5 s +
1
2
· (–1,7 m/s2
) · (5 s)2
= 145,3 m
c) El coche se detendrá cuando su velocidad sea cero, y eso ocurre en una posición xt que se obtiene despejando de
vt
2
– v0
2
= 2 a (xt – x0) siendo vt = 0
xt – x0 =
v2
t – v2
0
2 a
=
0 – (33,3 m/s)2
2 (–1,7 m/s2
)
= 326 m; x = x0 + 326 m = 0 + 326 m = 326 m
EJEMPLO 10
Diagramas del MRUA
Diagrama a-t. Es la representación gráfica de la función a = f (t). Al ser constante
la aceleración, la gráfica es una recta paralela al eje de los tiempos (Fig. 5.37). El
área contenida debajo de la aceleración representa el incremento de la velocidad:
Dv = base · altura = t a = a t.
Diagrama v-t. Es la representación de la función v = f (t) = v0 + a t. Es una recta cuya
ordenada en el origen es la velocidad inicial y cuya pendiente representa la aceleración
(Fig. 5.38). Aquí el área es el vector desplazamiento:
Dx = rectángulo + triángulo = v0 t +
1
2
(vt – v0) t = v0 t +
1
2
a t2
Diagrama x-t. Es la representación de la función xt = x0 + v0 t +
1
2
at2
. Se trata de una
parábola.
Fig. 5.37. Diagrama a-t del MRUA. El área
de color representa el incremento de v.
Fig. 5.38. Diagrama v-t del MRUA. El área
en color representa el desplazamiento.
El diagrama x-t de un movimiento
no representa la trayectoria, sola-
mente indica cómo varía la posición
del móvil con el tiempo.
O t (s)
x (m)
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05
Criterio de signos para la caída
libre
– La posición es positiva si el móvil
está por encima del nivel Ox.
– La velocidad es positiva si el
cuerpo sube y es negativa si el
cuerpo baja.
– La aceleración de la gravedad es
siempre negativa.
26 Un cuerpo que se mueve en línea recta posee una
velocidad que varía con el tiempo, según el diagra-
ma de la Figura 5.39. Indica cuáles de las siguien-
tes afirmaciones son correctas:
a) Durante todo el recorrido ha tenido un MRUA.
b) La aceleración media es 4 m/s2
.
c) La velocidad máxima es 72 km/h.
d) La distancia recorrida en los diez primeros se-
gundos es de 100 m.
e) En el intervalo de 0 a 5 s el cuerpo está parado.
f) En el intervalo de 10 s a 15 s el cuerpo se mueve
sin aceleración.
27 Un vehículo se mueve sobre una pista rectilínea du-
rante 5 s con aceleración constante. Sigue con ve-
locidad constante durante 15 s y luego frena de ma-
nera constante hasta parar, lo que consigue en 20 s.
Dibuja los diagramas a-t y v-t de este movimiento.
ACTIVIDADES
Fig. 5.39
■ 5.7 La caída libre: un movimiento
rectilíneo uniformemente acelerado
El 2 de agosto de 1971, estando en la superficie de la Luna, el astronauta David Scott
dejó caer simultáneamente un martillo de geólogo y una pluma de halcón y observó que
ambos cuerpos tocaban simultáneamente la superficie lunar. Había comprobado en la
Luna la hipótesis de Galileo: «En ausencia de la fricción con el aire, todos los cuerpos
caen hacia la Tierra con la misma aceleración».
En la caída libre no importa el movimiento inicial que tenga el cuerpo. Todos aquellos ob-
jetos que se lanzan hacia arriba o hacia abajo, y los que se dejan caer a partir del reposo,
caen libremente. Una vez que se encuentran en caída libre, todos los cuerpos están some-
tidos a la aceleración de la gravedad. En las proximidades de la Tierra esta aceleración es
prácticamente constante.
Si tomamos como punto de referencia un punto O de la trayectoria vertical y como
eje Oy dicha trayectoria (Fig. 5.40), las ecuaciones que definen este movimiento son:
El movimiento de un cuerpo bajo la acción de la gravedad, despreciando
la resistencia del aire, recibe el nombre de caída libre.
La caída libre es un movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado.
Velocidad media v
–
= v0 +
1
2
a t
Velocidad instantánea vt = v0 + a t v2
t – v2
0 = 2 a (yt – y0)
Posición instantánea yt = y0 + v0 t +
1
2
a t2
yt = y0 +
1
2
(v0 + vt) t
En donde a = g = –9,8 m/s2
.Fig. 5.40. Sistema de referencia para un
movimiento en caída libre.
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05
Desde la terraza de un edificio de 20 m de altura dejas caer una pelota.
a) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo?
b) ¿Con qué velocidad llega al suelo?
Solución
Tomamos un punto del suelo que esté en la vertical de caída de la pelota como sistema de referencia. Por tanto, la
posición inicial del cuerpo es 20 m. Si la pelota se suelta, quiere decir que inicia la caída partiendo del reposo (v0 =
0) y con aceleración constante.
a) La pelota llegará al suelo cuando la posición final sea cero. Por consiguiente, el tiempo transcurrido se obtiene
resolviendo la ecuación:
0 = y0 + v0 t +
1
2
a t2
0 = 20 m +
1
2
(–9,8 m/s2
) t2
De donde se deduce que t = 20 m
Î 4,9 m/s2
= 2 s.
b) La velocidad con que llega a la calle será:
vt = v0 + a t = 0 + (–9,8 m/s2
) · 2 s = –19,6 m/s
El signo menos indica el sentido descendente.
EJEMPLO 11
Desde una altura de 80 m se deja caer un objeto. Dos segundos más tarde se lanza otro desde el suelo hacia
arriba en la misma vertical con una velocidad de 20 m/s. ¿A qué altura se cruzan?
Solución
Tomamos el suelo como referencia.
Los dos objetos se cruzarán cuando estén a la misma altura. Es decir, en la misma posición:
y = y0 + v0 t +
1
2
a t2
Objeto 1: y = 80 m – 0,5 · 9,8 m/s2
· t2
Objeto 2: y = 20 m/s · (t – 2 s) – 0,5 · 9,8 m/s2
· (t – 2 s)2
Al ser común la posición de los dos objetos, la podemos eliminar igualando las dos ecuaciones:
80 m – 4,9 m/s2
· t2
= 20 m/s · (t – 2 s) – 4,9 m/s2
· (t – 2 s)2
De donde se obtiene que se cruzan al cabo de 3,5 s desde que salió el primero.
Sustituimos este valor en la ecuación del primer objeto:
y = 80 m – 4,9 m/s2
· t2
= 80 m – 4,9 m/s2
· (3,5 s)2
= 20 m
Se cruzarán, pues, a 20 m del suelo.
EJEMPLO 12
Datos Primer objeto Segundo objeto
Posición inicial (y0)
Velocidad inicial (v0)
Aceleración (a)
Tiempo transcurrido (t0)
y0 = 80 m
v0 = 0 m/s
a = –9,8 m/s2
t1 = t s
y0 = 0 m
v0 = 20 m/s
a = –9,8 m/s2
t2 = (t – 2) s
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05
A una circunferencia completa
(360°) le corresponde un ángulo
de:
w =
s
R
=
2 p R
R
= 2 p radianes
Fig. 5.43. Radián. Si s = R, el ángulo w
mide un radián.
Fig. 5.42. Movimiento circular. Este
movimiento viene dado por un vector de
posición giratorio. El ángulo w girado está
relacionado con el espacio recorrido s.
■ 5.8 Movimiento circular. Magnitudes
angulares
El movimiento circular se caracteriza porque su trayectoria es una circunferencia. Si
tomamos el centro de la circunferencia como punto de referencia, el vector de posición
de la partícula gira cambiando cada instante de dirección (Fig. 5.42), aunque su módulo
permanece constante: |r
→
| = R.
Si la partícula inicia el movimiento desde un punto P1 de la trayectoria y después de
un tiempo t la partícula se encuentra en el punto P2, al espacio s recorrido por la par-
tícula le corresponde un ángulo w comprendido entre los vectores r
→
1 y r
→
2 (Fig. 5.42).
Si la longitud del arco s es igual al radio de la circunferencia, entonces el ángulo sub-
tendido w se dice que mide un radián (rad) (Fig. 5.43). De acuerdo con esto, el valor de
un ángulo en radianes se obtiene dividiendo su arco entre el radio de la circunferencia
correspondiente:
w (rad) =
s
R
→ s = w R
Se mide en rad/s, aunque en la práctica también se utilizan las revoluciones por minuto
(rpm).
Entre ambas unidades existe la relación: 1 rpm =
1 rev
min
·
1 min
60 s
·
2 p rad
1 rev
=
p
30
rad/s
De las igualdades v =
s
t
y v =
w
t
y de s = w R se obtiene la importante relación:
v = v R
En el movimiento circular se distinguen dos velocidades: la velocidad v, que recibe el
nombre de velocidad lineal y es tangente a la trayectoria, y la velocidad angular v.
28 En la Figura 5.41 está representado el diagrama v-t
del movimiento de un objeto lanzado verticalmente
hacia arriba desde el suelo.
Fig. 5.41
Tomando para la gravedad el valor –10 m/s2
, indica
qué afirmaciones son falsas:
a) La aceleración cambia de sentido a los 2 s.
b) La velocidad cambia de sentido a los 2 s.
c) La altura máxima se alcanza a los 2 s.
d) El objeto a los 3 s se encuentra a 10 m del suelo.
e) La máxima altura alcanzada fue de 20 m.
f) A los 4 s llega al suelo.
ACTIVIDADES
Se define la velocidad angular v como el ángulo girado por el vector de
posición en la unidad de tiempo:
v = w
t
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05
El movimiento circular uniforme
no tiene aceleración tangencial,
pero sí aceleración normal.
Movimiento circular uniforme
Este movimiento se caracteriza porque la circunferencia se recorre siempre con la misma
rapidez; es decir, el módulo de la velocidad lineal permanece constante, siendo en
todo momento tangente a la trayectoria (Fig. 5.44).
Si la partícula inicia el movimiento desde un punto A de la trayectoria (Fig. 5.45), el
espacio recorrido al cabo de un tiempo t será:
s = v t o bien w = v t
si queremos hallar el ángulo descrito correspondiente al espacio s.
El módulo de la velocidad se obtiene de la expresión anterior:
v =
s
t
=
2 p R
T
donde T representa el tiempo que se tarda en dar una vuelta y recibe el nombre de
periodo.
Recuerda, sin embargo, que este movimiento tiene aceleración normal o centrípeta,
porque la velocidad varía cada instante, cambiando de dirección.
La aceleración centrípeta viene dada por:
an =
v2
R
Si no existiera la aceleración centrípeta, una partícula no podría describir una trayectoria
circular. Si en un momento dado la aceleración centrípeta se redujera a cero, la partícula
se movería en línea recta, siguiendo la dirección de la tangente.
Se denomina frecuencia, f, al número de vueltas dadas en un segundo.
El periodo y la frecuencia son inversos: T f = 1.
Calcula la velocidad con que se desplaza un automóvil sabiendo que sus
ruedas tienen un diámetro de 80 cm y giran a 500 rpm.
Solución
En primer lugar expresamos la velocidad de las ruedas en rad/s:
500 rpm = 500
rev
min
·
1 min
60 s
·
2 p rad
1 rev
= 52,4 rad/s
La rapidez de las ruedas coincide con la rapidez del coche:
v = v R = 52,4 rad/s · 0,4 m/rad = 21 m/s = 76 km/h
EJEMPLO 13
ACTIVIDADES
29 Calcula la aceleración centrípeta de un objeto que
se mueve sobre una circunferencia de 10 m de ra-
dio a 90 km/h.
30 Una piedra se ata a una cuerda de 1 m de longitud
y se la hace girar describiendo circunferencias con
una frecuencia de cinco vueltas por segundo.
Calcula:
a) La velocidad angular en rpm.
b) La rapidez, en km/h, con que gira la piedra.
c) La aceleración centrípeta a que está sometido el
cuerpo.
Fig. 5.45. En un movimiento circular la
longitud s del arco descrito representa el
espacio recorrido.
Fig. 5.44. Velocidad tangencial. Vt es
tangente a la trayectoria en cualquier
punto.
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05
Movimiento circular uniformemente acelerado
Si la velocidad angular instantánea cambia desde un valor v0 hasta vf en el intervalo de
tiempo Dt, la partícula que describe la circunferencia posee aceleración angular.
De esta expresión se obtiene el valor de la velocidad angular para cualquier instante t:
vt = v0 + a t (1)
La velocidad angular media entre dos instantes t0 y t también se puede expresar como
una media aritmética:
v
–
=
v0 + vt
2
=
v0 + (v0 + a t)
2
= v0 +
1
2
a t
Teniendo en cuenta que este valor medio es constante en el intervalo de tiempo
indicado, podemos aplicar la ecuación del movimiento circular uniforme para hallar el
desplazamiento angular:
w = v
–
t = (v0 +
1
2
a t)t → w = v0 t +
1
2
a t2 (2)
• Si conoces la aceleración angular con que se mueve una partícula, puedes averiguar
la velocidad angular que posee en cualquier instante utilizando la ecuación (1).
• Además, mediante la ecuación (2) puedes hallar también el ángulo girado.
• Si eliminas el tiempo entre las dos ecuaciones anteriores, obtienes una tercera
ecuación que permite calcular la velocidad en función del ángulo girado:
v2
t – v2
0 = 2 a w (3)
• Si no conoces la aceleración, puedes aplicar la siguiente ecuación, que se obtiene a
partir de la velocidad media:
w = 1/2 (v0 + vt) t (4)
Observa la semejanza que existe entre las ecuaciones del movimiento rectilíneo y del
movimiento circular, que se hace patente en la Tabla 5.1.
Debes poner como unidades del
radio en las fórmulas m/rad, aun-
que el rad no tiene en sí sentido
físico.
Al fin y al cabo, el radio representa
los metros que tiene un radián.
La aceleración angular media se define como el cociente entre la varia-
ción de la velocidad angular y el tiempo transcurrido. Se mide en rad/s2
.
a =
vt – v0
t
El movimiento circular uniforme-
mente acelerado tiene at = a R
y an =
v2
R
.
La aceleración normal no es cons-
tante porque varía v sin variar R.
Tabla 5.1. Comparación entre movimiento rectilíneo y circular.
Movimiento rectilíneo Movimiento circular
v = v0 + a t
x = x0 + v0 t +
1
2
a t2
v2
– v2
0 = 2 a (x – x0)
x = x0 +
1
2
(v0 + vt) t
vf = v0 + a t
w = v0 t +
1
2
a t2
v2
t – v2
0 = 2 a w
w =
1
2
(v0 + vt) t
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05
Una partícula describe una circunferencia de 5 m de radio con una velocidad constante de 2 m/s. En un instante
dado frena con una aceleración constante de 0,5 m/s2
hasta pararse. Calcula:
a) La velocidad angular en rpm de la partícula antes de empezar a frenar.
b) La aceleración de la partícula antes de empezar a frenar.
c) La aceleración 2 s después de empezar a frenar.
d) La aceleración angular mientras frena.
e) El tiempo que tarda en parar.
f) El número de vueltas que da desde que empieza a frenar hasta que se para.
Solución
a) La velocidad angular se obtiene de la relación v = v R.
v =
v
R
=
2 m/s
5 m/rad
= 0,4 rad/s =
0,4 rad/s · 60 s/min
2 p rad/rev
= 4 rpm
b) Antes de empezar a frenar, el módulo de la velocidad es constante. Por tanto, la única aceleración que tiene es la
aceleración normal:
an =
v2
R
=
4 m2
/s2
5 m/rad
= 0,8 m/s2
c) En este instante también tiene aceleración tangencial at = –0,5 m/s2
.
an =
v2
R
=
(v0 + a t )2
R
=
(2 m/s – 0,5 m/s2
· 2 s)2
5 m/rad
= 0,2 m/s2
Por tanto, la aceleración de la partícula será:
a = Îa2
t + a2
n = Î(–0,5 m/s2
)2
+ (0,2 m/s2
)2
= 0,54 m/s2
d) La aceleración angular se puede obtener de la relación:
at = a R → a =
at
R
=
–0,5 m/s2
5 m/rad
= –0,1 rad/s2
e) De la ecuación v = v0 + a t despejamos el tiempo:
t =
vt – v0
a
=
0 – 2 m/s
–0,5 m/s2
= 4 s
Comprueba que sale lo mismo utilizando t =
vt – v0
a
f) Número de vueltas:
n =
s
2 p R
=
v0 t + 1/2 a t2
2 p R
=
2 m/s · 4 s – 1/2 · 0,5 m/s2
· 16 s2
31,4 m/vuelta
= 0,13 vueltas
O bien
n =
w
2 p
=
v0 t + 1/2 a t2
2 p
=
0,4 rad/s · 4 s – 1/2 · 0,1 rad/s2
· 16 s2
6,28 rad/vuelta
=
=
1,6 rad – 0,8 rad
6,28 rad/vuelta
= 0,13 vueltas
EJEMPLO 14
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05
■ 5.9 Composición de movimientos
Observa la Fig. 5.46; en ella se representa una pelota que se desliza por el tablero de
una mesa.
¿Qué ocurre con el movimiento de esta pelota cuando alcanza el borde A de la mesa?
¿Por qué toma una trayectoria parabólica?
A estas preguntas dio respuesta Galileo en 1633 con las siguientes palabras: «... enton-
ces la partícula que se mueve, que imaginamos pesada, al sobrepasar el borde del plano,
además de su perpetuo movimiento uniforme previo, adquiere una propensión hacia
abajo debido a su propio peso; de forma que el movimiento resultante, que llamaré
proyección, está compuesto de uno que es uniforme y horizontal y otro que es vertical
y acelerado naturalmente».
De acuerdo con las ideas de Galileo, un movimiento parabólico es el resultado de com-
poner dos movimientos rectilíneos perpendiculares entre sí: uno uniforme y otro uni-
formemente acelerado.
Mientras la pelota está en contacto con la mesa solamente existe un movimiento, que
es uniforme porque suponemos que no interviene ningún tipo de rozamiento; pero cuan-
do la pelota abandona la mesa empieza a actuar la gravedad originando un movimiento
de caída libre.
La fuerza vertical de la gravedad no influye en el movimiento horizontal; de igual mane-
ra, la existencia del movimiento horizontal no cambia el efecto de la fuerza gravitatoria
sobre el movimiento vertical. En otras palabras, los movimientos horizontal y vertical
son independientes.
La independencia de estos movimientos se pone de manifiesto en la Fig. 5.47. En ella
aparecen las distintas posiciones de dos pelotas de golf.
La bola 1 se ha dejado caer libremente, sin ningún tipo de velocidad inicial. La bola 2 se
ha lanzado horizontalmente en el mismo instante en que se deja caer la bola 1. Se ob-
serva cómo las dos caen con la misma aceleración, llegando al suelo al mismo tiempo.
La pelota 2 cae verticalmente con aceleración constante, aunque simultáneamente
tenga otro movimiento horizontal. Por tanto, la fuerza gravitatoria produce la misma
aceleración vertical independientemente de que el cuerpo posea movimiento horizon-
tal o no.
Principio de superposición
Además del movimiento parabólico, existen otros ejemplos de composición de movi-
mientos. Todos los casos se resuelven aplicando el siguiente método, que recibe el
nombre de principio de superposición y que dice:
¿Cómo se suman vectorialmente dos movimientos? Sencillamente, sumando por separado
las posiciones, los desplazamientos, las velocidades, etcétera.
Si una partícula está sometida simultáneamente a varios movimientos
elementales independientes, el movimiento resultante se obtiene su-
mando vectorialmente dichos movimientos parciales.
Fig. 5.47. Exposición múltiple de dos
pelotas de golf. Una cae libremente
partiendo del reposo y la otra ha sido
lanzada horizontalmente. Las líneas
horizontales están separadas 15 cm
entre sí y los intervalos entre cada dos
exposiciones son de 1/30 s.
Fig. 5.46. Superposición de movimientos.
La trayectoria parabólica de la pelota
es el resultado de dos movimientos
independientes: uno horizontal uniforme
y otro vertical uniformemente acelerado.
Componer dos movimientos equiva-
le a sumar sus magnitudes homó-
logas:
r
→
= r
→
1 + r
→
2
v
→
= v
→
1 + v
→
2
a
→
= a
→
1 + a
→
2
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05
Un barquero quiere cruzar un río de 120 m de anchura; para ello va a remar
perpendicularmente a la corriente. Si la velocidad que imprime a la barca
es de 2 m/s respecto a la corriente y el agua del río desciende a 1 m/s, el
barquero quiere saber:
a) ¿Cuántos movimientos posee la barca? ¿Son o no independientes?
b) ¿Con qué velocidad se mueve la barca respecto de la orilla del río?
c) ¿Cuánto tiempo tardará en cruzar el río? ¿Necesitaría el mismo tiempo si
el agua estuviera en reposo?
d) ¿En qué punto de la orilla opuesta desembarcará?
e) ¿Habrá recorrido 120 m cuando la barca haya cruzado el río?
Solución
Elegimos el sistema de referencia en el punto O de salida de la barca, de forma que
el eje Ox sea la dirección de la corriente y el eje Oy perpendicular a ésta (Fig. 5.48).
a) La barca está sometida a dos movimientos rectilíneos y uniformes: el movimiento
producido por los remos v
→
1 y el de arrastre debido al agua v
→
2 (Fig. 5.48).
Ambos son perpendiculares entre sí e independientes: la barca sería arrastrada
con la misma velocidad si el barquero dejase de remar y el barquero impulsaría
la barca con la misma velocidad aunque no hubiera corriente.
El movimiento global de la barca es la suma de dichos movimientos, cuyas
ecuaciones son:
Movimiento según el eje Ox: x = vx t, siendo vx = 1 m/s.
Movimiento según el eje Oy: y = vy t, siendo vy = 2 m/s.
b) Lavelocidadquerealmentetienelabarcaeslasumadelavelocidadrelativarespecto
del agua más la velocidad con que es arrastrada por la corriente (Fig. 5.48):
v
→
= v
→
1 + v
→
2
De acuerdo con el sistema de referencia elegido, se cumple que v
→
1 (0, vy) y v
→
2
(vx, 0). Luego, la velocidad resultante será: v
→
= |vx| u
→
x + |vy| u
→
y = u
→
x + 2 u
→
y m/s,
cuyo módulo es:
v = Îv2
x + v2
y = Î5 m2
/s2
= 2,24 m/s
Por tanto, la barca avanzará con una rapidez de 2,24 m/s.
c) El tiempo que tarda en cruzar el río solamente depende de la anchura de éste
y de la velocidad vy. La barca llegará a la otra orilla cuando y = 120 m.
t =
y
vy
=
120 m
2 m/s
= 60 s
d) Mientras la barca está recorriendo los 120 m, es arrastrada por el agua con una ve-
locidad vx = 1 m/s. Por tanto, la distancia que es arrastrada por la corriente será:
x = vx t = 1 m/s · 60 s = 60 m
El barquero desembarcará en un punto situado a 60 m aguas abajo del pun-
to P de referencia (Fig. 5.49).
e) El desplazamiento real de la barca es igual a la suma de los desplazamientos según
los ejes x e y, de acuerdo con el principio de superposición:
Dr
→
= 60 u
→
x + 120 u
→
y m
cuyo módulo vale |Dr
→
| = Î602
+ 1202
= 134,2 m, que es la distancia real
recorrida por la barca hasta llegar a la orilla opuesta.
EJEMPLO 15
El módulo del vector v
→
se repre-
senta de dos maneras:
|v
→
| y v
Fig. 5.48. Figura correspondiente al
Ejemplo 15.
Fig. 5.49. Figura correspondiente al
Ejemplo 15.
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05
Una partícula está sometida a dos movimientos definidos por las siguientes
ecuaciones expresadas en el SI:
x = 4 t
y = 2 t2
– 1
a) Clasifica los movimientos de la partícula.
b) ¿Dónde se encuentra la partícula y qué velocidad tiene en el instante t = 2 s?
c) Dibuja la trayectoria.
Solución
a) Se trata de dos movimientos independientes.
La ecuación del primero es del tipo x = x0 + v t. Se trata, pues, de un movimiento
rectilíneo y uniforme cuya posición inicial es cero y la velocidad constante
vale 4 m/s.
La ecuación del segundo es del tipo y = y0 + v0 t + 1/2 a t2
. Se trata de un
movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, siendo y0 = –1 m; v0 = 0;
a = 4 m/s2
.
b) De acuerdo con las ecuaciones dadas, la partícula tiene dos velocidades: vx = 4 m/s;
vy = v0 + a t = 4 t m/s.
El movimiento resultante se obtiene aplicando el principio de superposición.
Posición: r
→
= x u
→
x + y u
→
y = (4 t) u
→
x + (2 t2
– 1) u
→
y m.
Esta expresión te permite calcular la posición de la partícula en cualquier
instante. Para t = 2 s la partícula se encuentra en el punto P2 (8, 7).
Velocidad en cualquier instante:
v
→
= v
→
1 + v
→
2 = 4 u
→
x + (4 t) u
→
y m/s
que para t = 2 s toma el valor v = 4 u
→
x + 8 u
→
y m/s. Su módulo vale v = 8,9 m/s.
c) Para dibujar la trayectoria obtenemos las distintas posiciones que va tomando
la partícula en el transcurso del tiempo: para t = 0 s, t = 1 s, t = 2 s, t = 3 s,
etcétera.
Las posiciones obtenidas son: P0 (0, –1), P1 (4, 1), P2 (8, 7), P3 (12, 17),
etcétera.
Si unes estos puntos obtenemos la trayectoria. Se trata de un movimiento
parabólico (Fig. 5.50).
EJEMPLO 16
31 Calcula la velocidad de la barca del Ejemplo 15 en el
caso de que el barquero:
a) Reme a favor de la corriente.
b) Reme contra la corriente.
32 Representa gráficamente la trayectoria del movi-
miento definido por
x = 2 + t2
y = –1 + 2 t
ACTIVIDADES
Fig. 5.50. Trayectoria del movimiento
descrito en el Ejemplo 16.
Cuando lanzamos un objeto, la
fuerza de lanzamiento se conser-
va o permanece en el proyectil,
actuando continuamente.
Esto es falso
Porque la fuerza que ejerce la mano
es una fuerza de contacto; por
tanto, cesa en cuanto desaparece
el contacto entre el proyectil y la
mano.
Lo correcto sería…
El tiempo que ha durado el contac-
to origina un impulso (I = Ft) que
produce una cantidad de movimien-
to o momento lineal p = m v, que sí
queda almacenada en el cuerpo, y
que tiende a conservarse de forma
que, si no existiera ningún tipo de
obstáculo o rozamiento, la velo-
cidad horizontal sería constante
indefinidamente.
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05
■ 5.10 Movimiento de proyectiles
El ser humano, desde siempre, ha lanzado objetos con el fin de hacer blanco en algún
punto determinado, sea por motivos bélicos, cinegéticos, deportivos, etcétera.
Un proyectil se puede lanzar de tres formas:
– Verticalmente: es el caso de caída libre que ya hemos visto.
– Horizontalmente: tiro horizontal.
– Formando un ángulo con el horizonte: tiro oblicuo.
Tiro horizontal
Supongamos que se lanza horizontalmente un objeto desde el punto A con una velocidad
vx. Si el rozamiento con el aire es despreciable, el objeto conservará esta misma velocidad
mientras no colisione con otro objeto. Simultáneamente, su velocidad vertical descenden-
te aumenta con el tiempo debido a la caída libre.
De acuerdo con el sistema de referencia indicado en la Fig. 5.52, las ecuaciones que de-
finen estos movimientos son:
• Movimiento horizontal uniforme:
– Velocidad en cualquier instante: vx = v0
– Posición en cualquier instante: x = vx t
• Movimiento vertical de caída libre:
– Velocidad en cualquier instante: vy = –g t
– Posición en cualquier instante y = y0 –
1
2
g t2
Balística es la ciencia que estudia el conjunto de técnicas y conocimientos
teóricos encaminados a aumentar la precisión del tiro de un proyectil.
Recibe el nombre de proyectil todo cuerpo que, una vez disparado
(o proyectado, como decía Galileo), se mueve bajo la acción de la grave-
dad, en caída libre (Fig. 5.51).
Una fuente tiene el caño a una distancia vertical del suelo de 70 cm. El chorro del agua da en el suelo a 1 m
del pie de la vertical. ¿Con qué velocidad sale el líquido? (Fig. 5.53).
Solución
El agua, una vez que abandona el caño, describe una parábola. Esto quiere decir que el líquido tiene dos movimientos:
1) horizontal uniforme producido por la presión del agua, y 2) vertical de caída libre, cuyas ecuaciones son:
x = v t siendo v la velocidad de salida
y = y0 –
1
2
g t2
siendo y0 = 0,70 m
Cuando el agua llega al suelo, y = 0, la posición x = 1 m
1 m = v t
0 m = 0,70 m – 4,9 m/s2
t2
Este sistema de ecuaciones te permite calcular la velocidad v con que sale el agua
y el tiempo que tarda en caer al suelo. De donde v = 2,65 m/s.
EJEMPLO 17
⎫
⎬
⎭
Fig. 5.51. Flecha lanzada por un arquero. Se
trata de un ejemplo de proyectil que se mueve
por la acción de la gravedad.
Fig. 5.52. Tiro horizontal. Este tipo de
lanzamiento presenta dos movimientos
independientes y perpendiculares entre sí.
0
y
xO
Fig. 5.53.
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05
Tiro oblicuo
Si queremos que el proyectil alcance mayor distancia, lo lanzaremos un poco hacia arriba.
En efecto, si la velocidad tiene una componente inicial hacia arriba, tardará más tiempo
en caer al suelo y, por tanto, tendrá más tiempo para desplazarse horizontalmente.
El tiro oblicuo tiene lugar cuando la velocidad inicial de lanzamiento forma un ángulo a
con el horizonte. Este ángulo recibe el nombre de ángulo de tiro o ángulo de elevación
(Fig. 5.54).
Para estudiar el movimiento parabólico que tiene lugar tomamos el punto de lanza-
miento como origen de los ejes cartesianos: como eje Ox, la horizontal (el suelo); como
eje Oy, la vertical (Fig. 5.54).
Según este sistema de referencia, la velocidad inicial tiene ahora dos componentes:
v0x = v0 cos a v0y = v0 sen a
y los dos movimientos independientes están definidos por las ecuaciones:
• Movimiento horizontal uniforme:
– Velocidad: vx = v0 cos a
– Posición: x = (v0 cos a) t
• Movimiento vertical de caída libre:
– Velocidad: vy = v0 sen a – g t
– Posición: y = y0 + (v0 sen a) t – 1/2 g t2
Estas ecuaciones, entre otras cosas, te permiten calcular:
1. La altura máxima que alcanza el proyectil. El proyectil está en el punto más alto
de su trayectoria cuando su velocidad vertical es cero. Para calcular la altura máxima
despejas el tiempo en la ecuación:
0 = v0 sen a – g t, y lo sustituyes en la ecuación de la posición vertical
2. Alcance máximo. Recibe el nombre de alcance máximo la distancia horizontal desde
el punto de partida al punto en el cual el proyectil vuelve a alcanzar su altitud inicial.
Es decir, cuando se cumple y = y0. En la Fig. 5.54 el alcance máximo viene dado por D.
Para hallar el alcance máximo despejas el tiempo en la ecuación 0 = (v0 sen a) t – 1/2 g t2
y lo sustituyes en la ecuación de la posición horizontal.
3. Tiempo de vuelo. Es el tiempo durante el cual el proyectil está en el aire. Cuando
éste toca el suelo se cumple y = 0 en la ecuación de la posición vertical.
4. Ecuación de la trayectoria. Se obtiene eliminando el tiempo t entre las ecuaciones
que determinan las posiciones horizontal y vertical.
5. Ángulo que describe la trayectoria del proyectil en cualquier instante. El ángulo
en que se encuentra el proyectil con respecto a la horizontal viene dado por:
tg a =
vy
vx
33 ¿Cuáles de los siguientes objetos tendrán una tra-
yectoria parabólica aproximada?
a) Una pelota lanzada en una dirección arbitraria.
b) Un avión a reacción.
c) Un paquete que se suelta desde el avión anterior.
d) Un cohete que sale de la plataforma de lanza-
miento.
e) La lámpara que se desprende del techo de un va-
gón del AVE cuando éste se mueve a 200 km/h.
ACTIVIDADES
Fig. 5.55. Para ángulos de elevación
complementarios el alcance es el mismo.
Fig. 5.54. Tiro oblicuo. Es el lanzamiento
de un objeto cuya velocidad inicial forma
un ángulo a con la horizontal.
El alcance máximo para una velo-
cidad de lanzamiento determinada
tiene lugar cuando el ángulo de
elevación vale 45°. Además, salvo
para 45°, es posible conseguir el
mismo alcance para dos valores
complementarios del ángulo de
elevación, tales como 75° y 15°
(Fig. 5.55).
Para un mismo alcance, el ángu-
lo mayor nos permite superar una
altura mayor (si hubiera obstácu-
los intermedios), mientras que
el menor nos permite alcanzar el
objetivo en menos tiempo.
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05
Un jugador de golf lanza una pelota desde el suelo con un ángulo de 60° con
respecto al horizonte y con una velocidad de 60,0 m/s. Calcula:
a) La velocidad de la pelota en el punto más alto de la trayectoria.
b) La altura máxima alcanzada.
c) El alcance máximo.
Solución
a) Se trata de un tiro oblicuo con un ángulo de elevación de 60°. El movimiento
parabólico de la pelota, en todo su recorrido, viene definido por las ecuaciones:
– Movimiento horizontal: x = x0 + (v0 cos a) t vx = v0 cos a
– Movimiento vertical: y = y0 + (v0 sen a) t +
1
2
g t2
vy = v0 sen a + g t
Tomamos el punto de lanzamiento como origen del sistema cartesiano de
referencia. En este caso, pues, se cumple que x0 = 0, y0 = 0 (Fig. 5.56). Cuando
la pelota se encuentra en el punto más alto, la velocidad vy = 0. En ese punto
solamente posee velocidad horizontal, que es constante, y vale:
vx = v0 cos a = 60,0 m/s · cos 60° = 30,0 m/s
b) El tiempo que tarda en alcanzar el punto más alto se obtiene de
vy = v0 sen a + g t, cuando vy = 0
t =
vy – v0 sen a
g
=
0 – 60,0 m/s · sen 60°
–9,8 m/s2
= 5,3 s
La altura máxima se obtiene sustituyendo el tiempo anterior en la ecuación
que nos da la posición vertical en cualquier instante:
y = (v0 sen a) t + 1/2 g t2
=
= 60,0 m/s · sen 60° · 5,3 s – 1/2 · 9,8 m/s2
· (5,3 s)2
= 138 m
c) El alcance máximo tiene lugar cuando la pelota vuelve al suelo. Es decir,
cuando y = 0.
El tiempo que tarda en volver al suelo se obtiene de la ecuación
y = (v0 sen a) t +
1
2
g t2
, haciendo y = 0
t =
–2 v0 sen a
g
=
–2 · 60,0 m/s · sen 60°
–9,8 m/s2
= 10,6 s
Observa cómo este tiempo es el doble del tiempo transcurrido hasta alcanzar
la altura máxima. La pelota tarda lo mismo en subir que en bajar.
El alcance máximo se obtiene sustituyendo el tiempo hallado anteriormente
en la ecuación del desplazamiento horizontal:
x = (v0 cos a) t = 60,0 m/s · cos 30° · 10,6 s = 318 m
EJEMPLO 18
Fig. 5.56. Figura correspondiente
al Ejemplo 18.
y
x
60°
Los vectores que definen el movi-
miento parabólico de un proyectil
tienen dos componentes:
Aceleración: ax = 0, ay = –g
Velocidad: vx = v0 cos a,
vy = v0 sen a – g t
Posición: x = (v0 cos a) t,
y = (v0 sen a) t –
1
2
g t2
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05
Un bombero desea apagar el fuego de una casa. Para
ello deberá introducir agua por una ventana situada
a 10 m de altura. Si sujeta la manguera a 1 m del
suelo apuntándola bajo un ángulo de 60° hacia la
fachada, que dista 15 m, ¿con qué velocidad debe
salir el agua? ¿Cuánto tiempo tarda el agua en llegar
a la ventana?
Solución
Tomamos O (Fig. 5.57) como punto de referencia. Por
tanto, x0 = 0, y0 = 1 m.
Las ecuaciones que definen el movimiento parabólico
del agua son:
x = x0 + (v0 cos a) t
y = y0 + (v0 sen a) t +
1
2
g t2
El agua entrará por la ventana cuando x = 15 m,
y = 10 m.
Sustituimos estos valores en las ecuaciones anteriores:
15 m = (v0 · cos 60°) · t
10 m = 1 m + (v0 · sen 60°) · t – 4,9 m/s2
· t2
Si despejas el tiempo en la primera:
t =
15 m
v0 · cos 60°
,
y lo sustituyes en la segunda ecuación, obtendrás el
valor de la velocidad v0 = 16 m/s.
El tiempo transcurrido será:
t =
15 m
v0 · cos 60°
=
15 m
16 m/s · 0,5
= 1,9 s
EJEMPLO 19
O
x
v
y
34 Desde lo alto de una torre de 50 m se deja caer un objeto; en el mismo
instante se dispara contra él una bala a 200 m/s desde un punto del
suelo situado a 100 m de la base de la torre. ¿Hará blanco la bala? En
caso afirmativo, ¿en qué punto?
ACTIVIDADES
Fig. 5.57.
Unidad 05.indd 220 28/12/07 11:51:40

05
Ciencia, tecnología y sociedad
Velocidad y seguridad vial
Los países desarrollados tienen en la carretera una de
las principales causas de defunción. Esto es debido a las
altas velocidades que pueden alcanzar los vehículos mo-
dernos. ¿Cómo tratan de resolver la Ciencia y la Tecnolo-
gía este grave problema que afecta a nuestra sociedad?
Entre otras cosas, mejorando constantemente el sistema
de frenado y utilizando el airbag.
Historia y eficacia del sistema de frenos
La historia de los frenos está íntimamente ligada a la
historia de la velocidad. En los vehículos de tracción ani-
mal el frenado era muy simple: se aplicaba un patín de
madera sobre la llanta metálica de una de las ruedas. Esto
bastaba para detener un vehículo que no alcanzaba una
velocidad superior a 25 km/h.
A finales del siglo xix, con la aparición de los neumáticos,
los automóviles comenzaron a alcanzar velocidades más
altas; a partir de 1899 se franqueaba ya la barrera de los
100 km/h. Estos vehículos usaban frenos de tambor que
rozaban sobre las cadenas de transmisión. Al desaparecer
la transmisión por cadena, hacia 1907, las superficies de
rozamiento pasarán a ser dos zapatas articuladas.
En el año 1909 nace el ferodo, una guarnición compuesta
de una capa de amianto con hilo de latón entrecruzado
e impregnado de resina. Se había descubierto el material
más adecuado para los frenos, pero faltaba un sistema de
mando eficiente. En 1922, M. Loughead utiliza por pri-
mera vez un mando hidráulico. Este sistema se extenderá
poco a poco, hasta el punto de que en el año 1950 la casi
totalidad de los vehículos lo tienen instalado.
Pero al ser las velocidades cada vez más altas, surge un
nuevo problema: el aumento de la cantidad de calor a
disipar en el frenado. La solución a este problema la trajo
un Jaguar equipado con frenos de disco, ganador de las
24 horas de Le Mans de 1953. Actualmente, los fabrican-
tes de coches de alta cilindrada están muy sensibilizados
con la seguridad vial. Por ello, a los frenos de disco se
añaden sistemas basados en la electrónica que permiten
evitar el blocaje de las ruedas: son los frenos ABS.
Un buen freno debe retener y parar un vehículo en un
tiempo y sobre una distancia mínimos, conservando la
trayectoria del vehículo y con el menor esfuerzo posible
por parte del conductor. Que esto se consiga o no depende
de tres factores: el automóvil, o factor mecánico, la ca-
rretera, o factor físico y el conductor, o factor humano.
Factor mecánico. Se trata de crear una fuerza que se
oponga al avance del vehículo. ¿Cómo? Utilizando el roza-
miento entre un elemento fijo del chasis y un elemento de
la rueda en movimiento (zapatas-tambor, pastillas-disco).
Esta fuerza de rozamiento disminuye la velocidad.
Factor físico. Un factor fundamental del frenado es la
adherencia de las ruedas al pavimento. Si a la rueda se le
aplica el frenado muy bruscamente, bloca y se desplaza sin
girar. El vehículo continúa avanzando. Se dice entonces que
la rueda no tiene adherencia o que el vehículo derrapa.
La adherencia del vehículo depende de su peso, de las
características y estado de los neumáticos y de la na-
turaleza y estado de la carretera. Una buena adherencia
permite transmitir una fuerza mayor de la rueda a la cal-
zada. Si la adherencia es grande, tanto más corta será la
distancia de frenado. Pero si la adherencia es pequeña,
bien sea por la presencia de hielo o porque las ruedas se
bloquean, pueden surgir situaciones comprometidas:
– Si efectuamos una frenada brusca, el vehículo tiende a
cruzarse. Este fenómeno se produce por la diferencia de
adherencia antes y después del bloqueo.
– Con las ruedas bloqueadas, el vehículo continúa su tra-
yectoria y gira sobre sí mismo.
– Si se desbloquean las ruedas, el vehículo toma una tra-
yectoria diferente a la primera.
– Si las ruedas delanteras se bloquean, la dirección se
vuelve inoperante.
Factor humano. Un factor fundamental en la frenada de un
automóvil es el tiempo de reflejo del conductor. Se llama así
al tiempo de reacción que transcurre entre el instante en que
la causa del frenado aparece (percibir el obstáculo) y el ins-
tante en que el conductor interviene activamente (comien-
za el frenado). Este tiempo, variable según los individuos y
según su estado general, es por término medio de 0,75 s. Si
la velocidad del vehículo es muy alta, éste puede recorrer
durante el tiempo de reflejo una distancia no prevista por
el conductor, produciéndose así la colisión.
En la tabla adjunta se muestra la distancia de parada en
función de la velocidad durante el tiempo de reflejo sobre
un suelo seco y con una deceleración de 5 m/s2
.
Velocidad
(km/h)
Distancia recorrida en
el tiempo
de reflejo (m)
Distancia total
para que el vehículo
se detenga (m)
50
70
90
110
120
130
150
170
10,3
14,6
18,7
23
25
27,1
31,3
35,4
29,5
52,4
81,2
116,3
136
157,5
214
258,4
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05
Ciencia, tecnología y sociedad
Teorías sobre la caída libre de los cuerpos
El estudio del comportamiento de los cuerpos en caída
libre es un excelente ejemplo de la diferencia que existe
entre un análisis científico riguroso y un tratamiento he-
cho sin tener en cuenta la realidad.
Los filósofos antiguos, Platón y Aristóteles sobre todo,
trataron el movimiento de los cuerpos como algo metafí-
sico; así, para explicarlo se sirvieron de ideas tan vagas
como acción, causa eficiente, fin y posición natural de
los cuerpos, etc. Todo esto era completamente inútil para
Galileo, que no deseaba estudiar por qué ocurría el movi-
miento, sino cómo tenía lugar.
Los conceptos de espacio y tiempo tenían una categoría
muy secundaria en el pensamiento aristotélico, y sola-
mente con Galileo toman el carácter fundamental que han
conservado en la Ciencia física hasta nuestros días.
Vamos a describir tres formas de entender la caída de los
cuerpos.
• Platón
La caída y elevación de los cuerpos era explicada por este
filósofo suponiendo que los cuerpos de naturaleza seme-
jante tendían a estar juntos. Así, una parte de cualquier
objeto tendía a reunirse con la masa principal: una piedra
caía hacia la esfera terrestre situada en el centro del Uni-
verso; el fuego se elevaba para alcanzar la esfera ígnea,
en el límite más externo del Universo.
• Aristóteles
La explicación de Aristóteles es muy semejante a la teo-
ría platónica. Supone que los cuerpos están formados por
cuatro elementos: tierra, aire, fuego y agua. Los que están
constituidos primordialmente por tierra y agua tratan de
alcanzar su estado natural de reposo. Esto ocurre cuando
están en contacto con la Tierra. Por eso caen. Los objetos
que se componen de aire y fuego tratan de subir a su es-
tado natural de reposo: el cielo.
Los cuerpos pesados caen más deprisa que los ligeros.
• Galileo
En 1250 comenzó a surgir la Ciencia tal como la cono-
cemos hoy día. Roger Bacon (1214-1294) fue uno de los
primeros en afirmar que la experiencia (o conocimiento
experimental) es necesaria para la formulación de teorías
acerca del comportamiento de la Naturaleza.
En 1605, Francis Bacon (1561-1626) insistió, en contra de
las tendencias aristotélicas predominantes de su época,
que las teorías debían fundarse en hechos determinados
mediante experimentos.
Fue Galileo (1564-1642) (Fig. 5.58) quien, finalmente, abrió
el camino al desarrollo de la verdadera ciencia, realizando
multitud de experimentos que confirmaban sus hipótesis.
Galileo centra su atención en el movimiento observado
realmente en la Naturaleza. En su obra Dos ciencias nuevas
escribe: «Porque cualquiera puede inventar un tipo de mo-
vimiento y estudiar sus propiedades... Pero hemos decidido
considerar los fenómenos de los cuerpos que caen con una
aceleración, tal como ocurre realmente en la Naturaleza.»
Y concluía afirmando que había tenido éxito al hacerlo así por
el acuerdo exacto de su definición con los resultados de los
experimentos de una bola que caía por un plano inclinado.
Galileo deja, pues, toda consideración filosófica y se cen-
tra en la descripción de lo que observa. Para éste, la caída
de los cuerpos y el movimiento ascendente de los proyec-
tiles lanzados hacia arriba deben expresarse según la mis-
ma ley. La oscilación de un péndulo, sobre la cual meditó
largamente, le mostró que el movimiento hacia arriba es
una réplica invertida del movimiento hacia abajo.
En 1604, en una carta a Paolo Sarpi, afirma que la caída de
los cuerpos está regida por la siguiente ley: Los espacios
recorridos en tiempos iguales son como los números im-
pares ab unitate. Años más tarde describe que la velocidad
de caída crece con el tiempo, llegando a la conclusión de
que todos los cuerpos caen libremente con movimiento uni-
formemente acelerado, y además, que el peso de los cuer-
pos no influye en su aceleración a condición de que sean
despreciables los efectos de la fricción del aire. Aunque los
métodos de la ciencia se han refinado con los años, el expe-
rimento sigue siendo parte esencial de dichos métodos.
Recuerda que para que las teorías científicas tengan valor
deben basarse en hechos experimentales.
Fig. 5.58. Galileo Galilei.
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05
Experiencia de laboratorio
Diferencia entre espacio recorrido
y desplazamiento
Objetivo
Distinguir entre distancia recorrida y desplazamiento uti-
lizando planos a escala para calcular distancias y suma de
vectores para calcular el desplazamiento.
Material
• Un lapicero bien afilado.
• Un papel.
• Una regla graduada.
Procedimiento
En la Figura 5.59 se representa un plano parcial de la
ciudad de Pamplona. Una persona se ha desplazado desde
San Miguel hasta San Francisco Javier.
a) Ha seguido el siguiente itinerario: calle Francisco Ber-
gamín, calle Francisco Gorriti y calle Olite. Dibuja este
itinerario, y usando la escala que se indica en el mapa,
calcula en metros la distancia recorrida.
b) Repite la experiencia, pero con el siguiente itinerario:
calle Francisco Bergamín, calle Tafalla. Calcula la dis-
tancia recorrida.
c) Une, usando una regla, San Miguel con San Francisco
Javier. Dibuja el vector desplazamiento y calcula su
módulo usando la escala.
d) Calcula el módulo de desplazamiento utilizando el teo-
rema de Pitágoras.
Analiza y responde
1. ¿La distancia recorrida es la misma en los dos itinera-
rios? ¿Por qué?
2. ¿Qué representa en esta experiencia la distancia entre
las dos iglesias? ¿Esta distancia depende del itinerario
seguido? ¿Por qué?
3. ¿Cuántas distancias recorridas puede haber? ¿Cuántos
desplazamientos?
4. Compara los valores del desplazamiento utilizando pri-
mero la escala y luego la suma de vectores.
5. Observa la Fig. 5.60: ¿El desplazamiento P
⎯
1
⎯
P
→
2 coincide
con la suma de las distancias a, b, c, d? ¿Coincide con
la suma de los vectores a
→
, b
→
, c
→
, d
→
?
Fig. 5.59
Fig. 5.60
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Cinemática punto

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