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Aplicacion de las derivadas

  1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Instituto Universitario de Tecnología Antonio José de Sucre Aplicaciones de las derivadas  Daniela M. Amaro Mújica C.I 26.238.105
  2. Derivadas en el cálculo de la velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en línea recta Una función f es derivable en a si f'(a) existe. Es derivable en un intervalo abierto (a, b) (o [a,¥) o (-¥,a), (-¥,¥)) si es derivable en todo número del intervalo. Velocidad: Sea s =f(t) la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta numérica. L a velocidad (instantánea) del objeto en el instante t esta dada por: V(t)= ds /dt = f ´(t) La velocidad es positiva o negativa, si el objeto se desplaza en el sentido positivo o negativo de la recta numérica. Si la velocidad es cero el objeto está en reposo. Ejemplo: Un objeto se mueve sobre una recta de acuerdo a la ecuación s= 3t2-8t+7 Donde s se mide en centímetros y t en segundos Hallar la velocidad del objeto cuando t=1 y cuando t=5 Solución Tenemos que V(t)= ds / dt = 6t-8 (ds/dt = d(3t2-8t+7) / dt= 6t-8) Luego v(t)= 6(1) - 8= -2 cm/seg (evaluando para t=1) y v(t)= 6(5) - 8= 22 cm/seg (evaluando para t=5)
  3. Derivada Implícita Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero. Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que: x'=1 En general y'≠1. Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'. Ejemplo: Cálculo de la Derivada en un Punto de la Circunferencia Considere que y es una función de x definida por la siguiente ecuación: x2 + y2 = 16 Determinar y' y encontrar su valor en el punto (3,7). Solución Vamos a derivar a ambos lados de la ecuación, pero teniendo el cuidado de recordar que y es función de x: x2 + y2=16 (x2+y2)' = (16)' (vamos a derivar ambos miembros) 2x+2y·y'= 0 aplicamos la regla ([f(x)]n)'=n[f(x)]n-1·f'(x)) 2y·y'=-2x y'=-2x/2y y'=-x/y Ahora, en el punto (3,7) tenemos x=3, y=7. Por lo tanto, aquí se tiene y'=-3/7.
  4. Derivada de orden superior Considérese una función f y sus derivadas f´. Si existe funciones f",f"´,f iv,........... , fn Tal que: f"(x)=[f´(x)]´ f´´´(x)=[f"(x)]´ f iv (x)=[f´´´(x)]´ . . . f n(x)=Dx [f n-1 (x)]´ .
  5. Funciones crecientes y decrecientes  Se dice que una función f definida en un intervalo es creciente, si sólo si, f(x1) < f(x2), siempre que x1< x2 donde x1 y x2 son dos números cualesquiera en el intervalo.  Se dice que una función f definida en un intervalo es decreciente en ese intervalo, si y sólo si, f(x1) > f(x2), siempre que x1< x2, donde x1 y x2 son dos números cualesquiera en el intervalo. Ejemplo: Dadas las siguientes funciones, determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento: f(x)=3x+8 Solución : f´(x)=3 Se observa que f´(x)=3>0 para todo x en R. En consecuencia, la función es creciente en R.
  6. Criterio de la Primera Derivada para Extremos Relativos Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b): 1. Si f´( x)>0 para toda x en (a,b), entonces f es creciente en [a,b]. 2. Si f´( x)<0 para toda x en (a,b), entonces f es decreciente en [a,b] Prueba de la Primera Derivada para Extremos Sea f una función continua en todos los puntos de un intervalo abierto (a,b) que contiene a c, y supongamos que f´( x) existe en todos los puntos de (a,b) excepto posiblemente en c: 1. Si f´(x)>0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo derecho, y si f´( x)<0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo izquierdo, entonces f tiene un valor máximo relativo en c. 2. Si f´(x)<0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo derecho, y si f´( x)>0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo izquierdo, entonces f tiene un valor mínimo relativo en c.
  7. Máximos y Mínimos Absolutos Definición. Sea c un punto del dominio de la función f. Diremos que: 1. F(c) >f(x) para toda x en el dominio de la función. 2. F(c) es el valor mínimo de f si f(x) < f(x) para todo x en el dominio de la función. Teorema del Valor Extremo Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a,b,] entonces f tiene máximo mínimo en [a,b]. Es decir, existen dos puntos c y d en [a,b] tales que f(c) es el valor máximo y f(d) es el valor mínimo. Punto Crítico Definición. Un punto crítico de una función f es un punto c de su dominio tal que: f´(c)=0 ii). f´(c) no existe
  8. Concavidad y Criterio de la derivada Segunda 1. La gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en punto (c,f (c)) Si existe f´(c) y un intervalo abierto (a,b) que contiene a c, tal que todo punto de la gráfica, en ese intervalo, se encuentra por encima de la tangente a la curva en el punto indicado. 2. La gráfica de una función f es cóncava hacia abajo en punto (c,f (c)) Si existe f´(c) y un intervalo abierto (a,b) que contiene a c, tal que todo punto de la gráfica, en ese intervalo, se encuentra por debajo de la tangente a la curva en el punto indicado. Ejemplo. Determinar las concavidades y puntos de inflexión de las gráfica de la función f( x)=x3+3x2-3x-3 Solución. Hallaremos aquellos valores de x en donde f(x)=0 o no existe f´(x)=3x2+6x-3; f"(x)=6x+6 f"(x)=6(x+1); hacemos 6x+6=0 (f"(x) existe para toda x) Luego x= -1. Estudiaremos las concavidades en los intervalos (-¥ ,-1) y (-1,+ ¥ ), con el signo de f"(x) en cada intervalo. Si xÎ (-¥ ,-1)Þ f"(x)<0. La función es cóncava hacia abajo. Si xÎ (-1,+ ¥ )Þ f"(x)<0. La función es cóncava hacia arriba. En consecuencia el punto (-1,f(-1))=(-1,2) es un punto de inflexión.
  9. Funciones indeterminadas Si una función toma para ciertos valores de la variable una de las formas siguientes: Entonces decimos que es indeterminada. En este caso fue fácil evitar la discontinuidad presentada, pero no siempre es así. Por eso, cuando tenemos expresiones más complejas, existe una regla que se conoce como regla de L´Hopital. Teorema: Dadas f y g funciones diferenciables en un intervalo abierto I, excepto posiblemente en el número a en I, y supongamos que para toda x ¹ a en I, g`(x) ¹ 0. Entonces, si límite cuando x tiende a de f(x) es más o menos infinito y límite cuando x tiende a "a" de g(x) = más o menos infinito y si límite cuando x tiende a "a" del cociente de las respectivas derivadas de las funciones existe, entonces el límite cuando x tiende a "a", también existe y tendrá el mismo valor.
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