value at risk

1. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Partie 1. Value-at-Risk
Intoduction à la Value-at-Risk
Christophe Hurlin, Université d’
Orléans, Laboratoire
d’
Economie d’
Orléans (UMR CNRS 6221)
Master Econométrie et Statistique Appliquée (ESA), Université d’
Orléans
Septembre 2008
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

2. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Introduction
Introduction
Qu’ ce que la VaR ?
est
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

3. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Qu’ ce que la VaR ?
est
Un bref aperçu historique :
La notion de Value-at-Risk (VaR) est apparue pour la
première fois dans le secteur de l’
assurance.
A la …n des années 1980, la banque Bankers Trust fut l’
une
des premières institutions à utiliser cette notion sur les
marchés …nanciers aux Etats-Unis.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

4. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Qu’ ce que la VaR ?
est
Le terme VaR est apparu pour la première fois dans une
publication grand public en juillet 1993 dans un rapport d’
une
réunion du G-30
Mais c’ principalement la banque JP Morgan qui, dans les
est
années 90, a popularisé ce concept notamment grâce à son
système RiskMetrics (1994).
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

5. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Qu’ ce que la VaR ?
est
Fact
La Value-at-Risk est devenue, en moins d’
une dizaine d’
années,
une mesure de référence du risque sur les marchés …nanciers,
consacrée notamment par la réglementation prudentielle dé…nie
dans le cadre des accords de Bâle II.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

6. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Qu’ ce que la VaR ?
est
De…nition (Value-at-Risk)
De façon générale, la Value-at-Risk correspond au montant des
pertes qui ne devraient pas être dépassées pour un niveau de
con…ance donné sur un horizon temporel donné (Jorion, 2007)
Jorion, P. (2007), Value-at-Risk, Third edition,
McGraw-Hill.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

7. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Qu’ ce que la VaR ?
est
La Value-at-Risk correspond à une perte maximale potentielle
qui ne devrait être atteinte qu’
avec une probabilité donnée
sur un horizon temporel donné
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

8. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Qu’ ce que la VaR ?
est
De…nition (Value-at-Risk)
VaR is an estimate of how much a certain portfolio can lose within
a given time period, for a given con…dence level (Engle et
Manganelli, 2004).
Engle, R. F., and Manganelli, S. (2004), ”CAViaR :
Conditional Autoregressive Value-at-Risk by regression
quantiles”, Journal of Business and Economic Statistics, 22,
pp. 367-381.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

9. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Qu’ ce que la VaR ?
est
Example (Value-at-Risk)
Si une banque annonce une VaR quotidienne sur son portefeuille
de 50 millions de dollars pour un niveau de con…ance de 99%, cela
implique qu’ y a seulement une chance sur 100, sous des
il
conditions normales de marché, que la perte associée à la détention
de ce portefeuille sur une journée excède 50 millions de dollars.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

10. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Qu’ ce que la VaR ?
est
La simplicité de cette dé…nition constitue l’ des principaux
un
attraits de la Value-at-Risk : il est en e¤et très facile de
communiquer sur la VaR et de ainsi proposer une mesure
homogène et générale (quelle que soit la nature de l’
actif, la
composition du portefeuille etc.) de l’
exposition au risque.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

11. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Introduction
Introduction
Comment utiliser la VaR ?
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

12. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Comment utiliser la VaR ?
Comment utiliser la VaR ?
La VaR peut être utilisée de trois façons principales (Jorion, 2007) :
1
de façon passive : reporting d’
information
2
de façon défensive : contrôle des risques
3
de façon active : management des risques
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

13. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Comment utiliser la VaR ?
Reporting des risques
La VaR peut être utilisée de façon passive dans le cadre d’
un
reporting régulier sur le risques
Ce fut historiquement la première utilisation de la VaR en vue
de mesurer un risque agrégé (JP Morgan)
La VaR est une mesure du risque simple à interpréter
exprimée en unité monétaire
La VaR est une mesure du risque sur laquelle on peut
communiquer de façon non technique
La VaR permet de synthétiser en une seule mesure une
appréciation sur le risque global
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

14. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Comment utiliser la VaR ?
Contrôle des risques
La VaR peut être utilisée de façon défensive dans le cadre d’
un
contrôle des risques
La VaR est utilisée pour déterminer des positions limites qui
seront imposées aux traders (limites individuelles) ou aux
business units (limites collectives)
Le principal avantage de la VaR est qu’ fournit un
elle
dénominateur commun permettant de comparer les
risques engendrés par les activités menées sur di¤érents
marchés, di¤érents produits etc.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

15. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Comment utiliser la VaR ?
Management des risques
La VaR peut être utilisée de façon active dans le cadre d’
un
management des risques
La VaR est utilisée dans l’
allocation du capital entre les
tradeurs, les business lines, les produits et ou les institution.
La VaR est généralement retenue pour le calcul des
rendements ajustés du risque ou Risk-adjusted
performance measures (RAPM)
Optimisation de portefeuille avec des critères de type
moyenne-VaR.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

16. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Introduction
Introduction
Qui utilise la VaR ?
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

17. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
En raison de ces très nombreuses utilisations possibles, les
utilisateurs de la VaR sont très di¤érents :
1
Institutions …nancières
2
Régulateurs
3
Entreprises non …nancières
4
Asset Managers
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

18. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Les institutions …nancières
Les institutions …nancières ont été à l’
avant garde de la di¤usion
et l’
utilisation de la VaR dans le cadre de la mise en place de
systèmes centralisés de management / surveillance des risques
nécessité liée à l’
évolution de la réglementation
nécessité liée à la complexité croissante des instruments
…nanciers et à la diversi…cation croissante des risques
…nanciers
nécessité liée à la connaissance de grands désastres
…nanciers (Barings, Daiwa..)
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

19. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Les régulateurs
Les réglementations prudentielles visent de façon générale à
imposer aux institutions …nancières de garantir un niveau minimum
de capitaux disponibles au regard des risque …nanciers. Par
conséquent se pose le problème de l’
évaluation de ces risques :
Comment évaluer ces risques …nanciers sur des
multi-activités, des actifs très di¤érents, des produits
complexes ?
Qui doit évaluer ces risques ? les autorités de régulation ou
les institutions …nancières elles-mêmes ?
Dans ce dernier cas comment garantir la validité des
évaluations du risque proposées par les institutions
…nancières ?
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

20. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Les régulateurs
Fact
Dans les années 80-90, on a assisté à une convergence des
réglementations prudentielles (comité de Bâle sur le contrôle
bancaire, US Federal Reserve, US Securities and Exchange
Commission etc) vers l’
adoption de la VaR comme mesure de
référence du risque.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

21. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Les institutions non …nancières
Les institutions non …nancières : l’
usage de la VaR dépasse le
contexte des seules institutions …nancières :
Le management centralisé des risques est utile à toutes les
entreprises exposées aux risques …nanciers.
On peut citer en exemple les multinationales qui doivent
évaluer et se prémunir contre les risques de change, on peut
alors mener des analyses de type CFAR (Cash Flow at Risk)
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

22. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Les asset managers
La gestion d’
actifs et la VaR : utilisation de la VaR pour gérer
les risques …nanciers et développer les stratégies d’
asset
management
"We can now view our total capital at risk on a
portfolio basis, by asset class and by individual manager.
Our main goal was to ... have the means to evaluate our
portfolio risk going forward" Director of Chrysler pension
fund", cité dans Jorion (2007), interview réalisé après
l’
achat d’ system de VaR
un
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

23. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Introduction
Introduction
Quels types de risques mesure la VaR ?
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

24. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Mesurer quels types de risques ?
Quels types de risques peut mesurer la VaR ?
La VaR est une mesure homogène permettant de mesurer
di¤érents risques, sur di¤érents marchés, di¤érents actifs (change,
actions, dérivés..)
De…nition (Portée de la VaR )
L’
objectif de la VaR fournit une mesure du risque total de
portefeuille. Par conséquent, la VaR doit tenir compte des e¤ets
de levier et de diversi…cation (corrélation).
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

25. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Mesurer quels types de risques ?
Les risques …nanciers sont généralement classés en grandes
catégories :
1
Risques de marché
2
Risques de liquidité
3
Risques de crédit
4
Risques opérationnels
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

26. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Mesurer quels types de risques ?
De…nition
Le risque de marché désigne le risque de perte lié à l’
évolution
des niveaux ou des volatilités des prix de marché. Ces risques
peuvent être exprimés sous deux formes :
1
risques absolus, mesurés en unité monétaire
2
risques relatifs exprimés par rapport à un benchmark (notion
de tracking error ou déviation par rapport à un indice)
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

27. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Mesurer quels types de risques ?
Risque de marché
Fact
La VaR a été conçue comme une mesure de risque de marché et le
risque de marché demeure aujourd’ le principal champ
hui
d’
application de la VaR, même si ce n’ plus de façon exclusive.
est
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

28. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Mesurer quels types de risques ?
Risque de liquidité
De…nition (risque de liquidité)
La notion de risque de liquidité regroupe deux types de risques :
le risque de liquidité d’
actif (asset liquidity risk) et le risque de
liquidité de …nancement (funding liquidity risk ou cash ‡ow risk).
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

29. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Mesurer quels types de risques ?
Risque de liquidité
De…nition (asset liquidity risk)
Le risque de liquidité d’
actif (asset-market-product liquidity risk)
survient lorsqu’
une transaction ne peut pas intervenir au prix au
prix prévu du fait de la taille relative de la position au regard du
volume des transactions usuelles (Jorion, 2007).
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

30. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Mesurer quels types de risques ?
Risque de liquidité
Remarque : la notion de risque de liquidité est à distinguer de la
notion marché liquide / non liquide (exemple : marché de change
verus emerging-market equities) puisque ce risque peut survenir sur
un marché liquide suivant l’
importance de la position.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

31. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Mesurer quels types de risques ?
Risque de liquidité
De…nition (cash ‡ow liquidity risk)
Le risque de liquidité de …nancement (cash ‡ow liquidity risk)
fait référence à l’
impossibilté de faire face à ses obligations de
paiement, impliquant des liquidations de position et donc la
transformation de pertes "papier" en pertes réalisées (Jorion,
2007).
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

32. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Mesurer quels types de risques ?
Risque de liquidité
La VaR ne s’
applique pas directement au concept de risque
de liquidité, mais :
Il est possible de construire des transformations de la VaR
intégrant ce type de risque comme la LVAR (Liquidity
adjusted Value-at-Risk)
Proposer des concepts similaires dans le domaine des données
de hautes fréquences portant sur la durée séparant deux
transactions successives comme le TaR (Time-at-Risk,
Gouriéroux, 2004)
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

33. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Mesurer quels types de risques ?
Risque de crédit
De…nition (risque de crédit)
Le risque de crédit désigne le risque de pertes engendrées par une
situation dans laquelle les contreparties sont incapables ou ne
désirent pas remplir leurs obligations contractuelles.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

34. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Mesurer quels types de risques ?
Risque de crédit
Le risque de crédit peut être exprimé sous forme d’
exposition
(exposure) c’ à dire de montant soumis au risque ou de taux
est
de recouvrement (recovery rate) qui désigne la proportion
remboursée par l’
emprunteur.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

35. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Mesurer quels types de risques ?
Risque de crédit
Dans le cas du risque de crédit, les facteurs de risques sont
nombreux : statut du défaut (partiel ou total), exposition au
défaut, et les pertes étant donnée le défaut sont di¢ ciles à
calculer.
Ce qui explique que la VaR est rarement utilisée en tant
que telle dans le domaine de crédit
On préferre généralement des notions plus spéci…ques comme
l’
expected credit losses (ECT) ou la Worse Credit
Exposure (WCE)
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

36. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Mesurer quels types de risques ?
Risque opérationnel
De…nition (risque opérationnel)
Le risque opérationnel est le risque qui résulte de processus
internes inapropriés, ou de systèmes défecteux ou d’
événements
externes (Jorion, 2007).
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

37. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Mesurer quels types de risques ?
Risque opérationnel
Les risques opérationnels couvrent notamment :
1
le risque de modèle (model risk)
2
risque de personne ou de personnel (people risk)
3
risque légal (legal risk)
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

38. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Mesurer quels types de risques ?
Risque opérationnel
Etant donnée l’
importance des risques opérationnels et
certains exemples de désastres …nanciers, il existe aujourd’
hui
une volonté de quanti…er ces risques
Dans ce contexte, des calculs de VaR peuvent
théoriquement être appliqués aux risques opérationnels
Toutefois, la collecte de données de référence permettant
d’
établir la P&L associée à ces risques pose généralement de
très gros problèmes et limite par conséquent la portée de
l’
application de la VaR à ce contexte.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

39. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Préambule
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

40. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
De…nition (Value-at-Risk)
La Value-at-Risk (VaR) dé…nie pour un taux de couverture
de α% correspond au quantile d’
ordre α de la distribution de
pro…ts et pertes (pro…ts and losses, P&L) associée à la
détention d’ actif ou d’ portefeuille d’
un
un
actifs sur une
période donnée.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

41. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Christophe Hurlin
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Value-at-Risk

42. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Ainsi, la dé…nition de la Value-at-Risk est fondée sur trois éléments
1
La distribution des pro…ts et pertes (P&L) du portefeuille
ou de l’
actif
2
Le niveau de con…ance (ou de façon équivalente le taux de
couverture égal à un moins le niveau de con…ance) ; appelé
aussi taux de couverture
3
La période de détention de l’
actif (ou horizon du risque)
qui pose parfois le problème de l’
agrégration temporelle de
la VaR
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

43. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Au délà des éléments de cette dé…nition, divers aspects de la VaR
doivent être évoqués à ce niveau :
1
La notion de VaR (ou de P&L) conditionnelle
2
et plus générallement la prévision de VaR
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

44. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Mesurer les rendements
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Value-at-Risk

45. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Pro…ts et Pertes (P&L)
Quelles sont les données qui servent au calcul de la VaR ?
Comment transformer les données de sorte à les exprimer sous
forme de P&L ?
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

46. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Pro…ts et Pertes (P&L)
Fact
Les données de P&L à partir desquelles on calcule une
Value-at-Risk peuvent prendre di¤érentes formes, mais elles sont
généralement exprimées sous forme de rendements (Dowd,
2005)
Dowd, K. (2005), Measuring market risk, John Wiley & Sons
Ltd.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

47. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Pro…ts et Pertes (P&L)
De…nition (pro…ts et pertes)
On note Pt la valeur d’ actif (ou d’ portefeuille) à la …n de la
un
un
période t. On note Dt l’
ensemble des paiements intermédiaires
obtenus entre les dates t 1 et t. Les pro…ts et pertes (P&L)
associés à la détention de l’
actif (ou du portefeuille) sont alors
dé…nis par :
P/Lt = Pt + Dt Pt 1
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

48. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Pro…ts et Pertes (P&L)
Remarque 1 si les données sont exprimées sous forme de P&L, les
valeurs positives indiquent des pro…ts et les valeurs
négatives indiquent des pertes.
Remaqrue 2 Il est aussi possible d’
exprimer les données sous forme
de pertes et pro…ts (L&P pour losses and pro…ts)
telles que :
L/Pt = P/Lt
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

49. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Pro…ts et Pertes (P&L)
Remarque 3 Il conviendrait de tenir compte d’ facteur
un
d’
actualisation dans la comparaison des valorisations
aux dates t et t 1. Si l’ évalue la valeur présente
on
des P&L à la …n de la date t 1, il vient :
present value P/L =
Pt + Dt
(1 + d )
Pt
1
où d désigne le taux d’
escompte psychologique.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

50. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Pro…ts et Pertes (P&L)
Remarque 4 Si l’ évalue la valeur future des P&L à la …n de la
on
date t, il vient :
forward value P/L = Pt + Dt
(1 + d ) Pt
1
Remarque 5 Généralement on néglige l’
escompte psychologique
dans le calcul des P&L sur des horizons courts
(quotidiens, hebdomadaires, mensuels, etc.)
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

51. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
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Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Pro…ts et Pertes (P&L)
Les P&L sont généralement exprimées sous forme de rendements :
1
Rendements arithmétiques
2
Rendements géométriques
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

52. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
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Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Pro…ts et Pertes (P&L)
De…nition (rendements arithmétiques)
Les rendements arithmétiques associés aux pro…ts et pertes
(P&L), notés rt , sont dé…nis comme :
rt =
Pt + Dt
Pt
Pt
1
1
=
Pt + Dt
Pt 1
1
Cette dé…nition des rendements suppose que les paiements
intérmédiaires Dt ne sont pas ré-investit (problème sur longue
période).
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

53. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
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Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Pro…ts et Pertes (P&L)
De…nition (rendements géométriques)
Les rendements géométriques associés aux pro…ts et pertes
(P&L), notés Rt , sont dé…nis comme suit :
Rt = ln
Christophe Hurlin
Pt + Dt
Pt 1
Value-at-Risk

54. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
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Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Pro…ts et Pertes (P&L)
On peut passer de l’
une à l’
autre dé…nition par les formules
d’
approximation suivantes :
Rt = ln (1 + rt )
ce qui implique que si les rendements sont "petits" alors :
rt ' Rt
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

55. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Pro…ts et Pertes (P&L)
Example (rendements géométrique et arithmétique )
Supposons qu’ une certaine date t les rendements arithmétiques
à
rt par unité de temps soient égaux à 5%. Les rendements
géométriques correspondants sont alors égaux à :
Rt = ln (1 + 0.05) = 0.0488
Inversement, si les rendements géométriques sont égaux à 5%, les
rendements arithmétiques sont alors égaux à
rt = exp(Rt )
1 = exp(0.05)
Christophe Hurlin
Value-at-Risk
1 = 0.0513

56. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
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Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Pro…ts et Pertes (P&L)
Les rendements géométriques supposent implicitement que les
paiements intermédiaires Dt sont ré-investis de façon continue.
Les rendements géométriques garantissent que le prix d’
actifs
ne devient jamais négatif (contrairement au rendement
arithmétique), y compris en cas de pertes massives
Généralement, on préfére utiliser les rendements
géométriques en lieu et place des rendements arithmétiques
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

57. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
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Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Example (Rendements géométriques)
Considérons à titre d’
exemple l’
indice Standard & Poor observé en
clôture sur la période du 03/07/1989 au 24/11/2003 ainsi que le
rendement géométrique quotidien associé
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

58. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
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Value-at-Risk
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Horizon de détention et agrégation temporelle
Value-at-Risk

59. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
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Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Value-at-Risk

60. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
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Horizon de détention et agrégation temporelle
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Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
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Value-at-Risk

61. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
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Introduction
Value-at-Risk
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Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
De…nition (distribution de pro…ts et pertes)
La distribution de pro…ts et de pertes (P&L pour pro…t and
losses) correspond à la fonction de densité des pertes et pro…ts,
supposées aléatoires, associées à la détention de l’
actif ou du
portefeuille sur un horizon donné.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

62. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
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Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
On considère les rendements géométriques, notés Rt ,
associés à la détention d’ actif sur un horizon donné
un
(exemple quotidien)
Ces rendements sont exprimés sous une forme P&L : un
rendement positif indique un gain, un rendement négatif une
perte
On suppose que ces rendements sont aléatoires : Rt est une
variable aléatoire réelle (v.a.r)
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

63. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
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Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Comme toute v.a.r., le rendement à la date t, Rt , est caractérisé
par une fonction de densité, notée
fR t ( r )
8r 2 R
De…nition (P&L distribution)
C’ précisèment cette fonction de densité que l’ quali…e de
est
on
distribution de pro…ts et pertes (P&L distribution).
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

64. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
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Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Remarque 1 : l’
idéal pour caractériser le risque serait de connaître
l’
ensemble de la densité de P&L, toutefois on se limite
généralement à une caractérisation du risque au travers de la
connaissance de certains moments (variance, skeweness, kurtosis)
ou de certains fractiles (VaR).
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

65. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
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Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Remarque 2 : si la distribution de P&L est connue, on en déduit
immédiatement la VaR, puisque la VaR n’ rien d’
est
autre qu’
un
fractile de cette fonction de distribution
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

66. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
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Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Dé…nition de la Value-at-Risk
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
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67. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
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Mesurer les rendements
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Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
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Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Dé…nition de la Value-at-Risk
De…nition (dé…nition statistique de la VaR)
Pour un taux de couverture (coverage rate) de α%, la
Value-at-Risk, notée VaRt (α) , correspond à l’
opposé du
fractile d’
ordre α de la distribution de pro…ts et pertes
(P&L).
VaRt (α) = FR t 1 (α)
où FR t (.) désigne la fonction de répartition associée à la
fonction de densité fR t (r ) .
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

68. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
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Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Dé…nition de la Value-at-Risk
Remarque : la VaR est généralement négative (perte) dans
une représentation P&L. Dès, lors par souci de simpli…cation, dans
la plupart des ouvrages on dé…nit la VaR en valeur positive en
considérant l’
opposé du fractile
VaRt (α) =
Christophe Hurlin
FR t 1 ( α )
Value-at-Risk

69. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
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Value-at-Risk
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Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Dé…nition de la Value-at-Risk
Remarque : par dé…nition, on a :
Z
VaR t (α)
∞
Christophe Hurlin
fR t (r ) dr = α
Value-at-Risk

70. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
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Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Dé…nition de la Value-at-Risk
De…nition (taux de couverture)
Quelle que soit la dé…nition retenue (positive ou négative) de la
VaR, la probabilité d’
observer une perte supérieure à la VaR sur
l’
horizon de détention …xé est égale par dé…nition au taux de
couverture (coverage rate) :
Pr [Rt <
VaRt (α)] = α si VaRt (α) =
FR t 1 ( α )
Pr [Rt < VaRt (α)] = α si VaRt (α) = FR t 1 (α)
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

71. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
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Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Dé…nition de la Value-at-Risk
Remarque : Dans certains ouvrages (Jorion, Dowd..) ou certains
articles, on exprime la VaR en fonction du niveau de con…ance :
VaR (1
α) =
FR t 1 ( α )
On évoque par exemple une VaR à 99% pour un taux de
couverture de 1%, une VaR à 95% de niveau de con…ance etc.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

72. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
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Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Dé…nition de la Value-at-Risk
De…nition (convention de notation)
Dans le cadre de ce cours, on adoptera pour convention de
dé…nir la VaR de façon positive et en fonction du taux de
couverture et non du niveau de con…ance :
VaRt (α) =
Pr [Rt <
Christophe Hurlin
FR t 1 ( α )
VaRt (α)] = α
Value-at-Risk

73. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
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Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Dé…nition de la Value-at-Risk
Le principe des méthodes paramétriques de calcul de la VaR
(cf. section 5) :
1
Postuler une distribution paramétrique de P&L (normale,
Student, GED etc..)
2
Donner une valeur aux paramètres de cette distribution
(estimation ou étalonnage)
3
Calculer le fractile correspondant
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74. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
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Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Dé…nition de la Value-at-Risk
Hypothèse H1 : On suppose que la distribution des P&L à la date
t est une distribution normale d’
espérance µ et de variance σ2
Rt
Christophe Hurlin
N µ, σ2
Value-at-Risk

75. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Dé…nition de la Value-at-Risk
Par dé…nition de la VaR on sait que :
Pr [Rt <
VaRt (α)] = α
Par conséquent :
Pr
Rt
µ
σ
VaRt (α)
σ
<
µ
=α
où sous l’
hypothèse H1 la variable centrée réduite (Rt
une loi normale standard N (0, 1)
Rt
µ
σ
Christophe Hurlin
N (0, 1)
Value-at-Risk
µ) /σ suit

76. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Dé…nition de la Value-at-Risk
Si l’ note Φ (.) la fonction de répartition de la loi N (0, 1), il
on
vient :
VaRt (α) µ
Φ
=α
σ
Ou encore :
VaRt (α)
σ
µ
=Φ
1
(α)
1
(α)
On en déduit l’
expression de la VaR :
VaRt (α) =
Christophe Hurlin
µ
σΦ
Value-at-Risk

77. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Dé…nition de la Value-at-Risk
De…nition (VaR sous hypothèse de normalité)
Sous l’
hypothèse de normalité de la distribution de P&L, la VaR
associée à un taux de couverture de α% est égale à :
VaRt (α) =
µ
σΦ
1
(α)
où µ désigne l’
éspérance et σ2 la variance de la distribution de
P&L.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

78. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Dé…nition de la Value-at-Risk
Example (VaR sous normalité)
On suppose que le rendement géométrique quotidien d’ actif
un
observé à la date t, noté Rt , suit une loi normale d’
espérance égale
à 0.01% et d’
écart-type égale à 1.5. On en déduit immédiatement
les VaR à 1% et 5% :
VaRt (0.01) =
0.01
1.5 Φ
1
(0.01) = 3.2451%
VaRt (0.05) =
0.01
1.5 Φ
1
(0.05) = 2.4573%
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

79. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Dé…nition de la Value-at-Risk
Example (VaR sous normalité, suite)
Si l’ détient cet actif sur une journée, il y a 1% de chance de
on
réaliser une perte au moins égale à 3.2451% du capital investit.
Pour un montant investit de 1M d’ on a :
e
VaR (5%) = 24 573e VaR (1%) = 32 451e
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

80. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
VaR sous hy pothèse de normalité
0.35
P&L Distribution
1% VaR = 3.2451
5% VaR = 2.4573
0.3
Distribution de P&L
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-5
-4
-3
-2
-1
Christophe Hurlin
0
x
1
Value-at-Risk
2
3
4
5

81. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Dé…nition de la Value-at-Risk
Hypothèse H2 : On suppose que la distribution des P&L à la date
t est une distribution de Student à v degrés de liberté
Rt
t (v )
Comment calculer la VaR sous l’
hypothèse H2 ?
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

82. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Dé…nition de la Value-at-Risk
De…nition (VaR et distribution de Student)
Sous l’
hypothèse de distribution de Student, la VaR associée à un
taux de couverture de α% est égale à :
VaRt (α) = G (α; v )
1
où G (α; v ) désigne la fonction de répartition d’
une loi de Student
à v degrés de liberté.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

83. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Dé…nition de la Value-at-Risk
Example (VaR sous hypothèse de Student)
On suppose que le rendement géométrique quotidien d’ actif
un
observé à la date t, noté Rt , suit une loi de Student à 5 degrés de
liberté, on en déduit :
VaRt (0.01) = G
VaRt (0.05) = G
Christophe Hurlin
1
(0.01; 5) = 3.3649%
1
(0.05; 5) = 2.015%
Value-at-Risk

84. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Dé…nition de la Value-at-Risk
Example (VaR sous hypothèse de Student, suite)
Si l’ détient cet actif sur une journée, il y a 1% de chance de
on
réaliser une perte au moins égale à 3.3649% du capital investit.
Pour un montant investit de 1M d’ on a :
e
VaR (1%) = 33 649e VaR (5%) = 20 015e
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

85. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
VaR sous distribution de Student
0.4
0.35
0.3
Distribution de P&L
0.25
0.2
0.15
P&L Dis tribution de Student t(5)
1% VaR = 3.3649
5% VaR = 2.015
0.1
0.05
0
-5
-4
-3
-2
-1
Christophe Hurlin
0
x
1
Value-at-Risk
2
3
4
5

86. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

87. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Généralement, on caractérise la distribution de P&L de façon
conditionnelle et non de façon marginale.
On dé…nit alors une distribution de pertes et pro…ts
conditionnelle, c’
est-à-dire une fonction de densité
conditionnelle à un ensemble d’
information disponible à la
date t, noté Ωt .
Cette densité conditionnelle est notée :
fR t ( r j Ω t )
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

88. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
De…nition (VaR conditionnelle)
Pour un taux de couverture (coverage rate) de α%, la
Value-at-Risk conditionnelle à un ensemble d’
information
Ωt , notée VaRt ( αj Ωt ) , correspond à l’
opposé du fractile d’
ordre
α de la distribution conditionnelle de pro…ts et pertes (P&L) :
VaRt ( αj Ωt ) =
FR t 1 ( α j Ω t )
où FR t ( r j Ωt ) désigne la fonction de répartition associée à la
fonction de densité conditionnelle fR t ( r j Ωt ) .
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

89. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Cette densité conditionnelle peut elle aussi être di¤érente
d’
une date à l’
autre, mais généralement on se restreint à des
densités conditionnelles invariantes dans le temps, i.e. telles
que :
fR t ( r j Ω t ) = fR ( r j Ω t ) 8 t
Cela revient à supposer que conditionnellement à un
ensemble d’
information (ou lorsque l’ cherche à
on
prévoir la Value-at-Risk), les rendements sont
identiquement distribués.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

90. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
De…nition (prévision de VaR)
La prévision de la Value-at-Risk pour la date t + 1 et pour
un taux de couverture de α%, obtenue conditionnellement à
l’
ensemble d’
information Ωt disponible à la date t, notée
VaRt +1 ( αj Ωt ) , est dé…nie par :
VaR t +1 jt (α) = VaRt +1 ( αj Ωt ) =
FR 1 ( α j Ω t )
où FR ( r j Ωt ) désigne la fonction de répartition associée à la
fonction de densité conditionnelle fR ( r j Ωt ) .
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

91. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Example (prévision de VaR)
Supposons que les P&L à la date t + 1, notées Rt +1 , soient
normalement distribués. On cherche à prévoir la moyenne et la
variance de cette distribution conditionnellement à l’
information
disponible. Supposons que ces estimateurs soient dé…nis par les
moments conditionnels suivants :
b
µ t +1 jt = E ( Rt +1 j Ωt )
bt
σ2 +1 jt = V ( Rt +1 j Ωt )
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

92. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Example (prévision de VaR, suite)
La distribution de P&L conditionnelle est alors :
Rt +1 j Ωt
bt
b
N µ t +1 jt , σ 2 +1 jt
On en déduit immédiatement une prévision de la VaR de t + 1
pour un taux de couverture de α% :
VaR t +1 jt (α) =
b
µ t +1 jt
Christophe Hurlin
b
σ t +1 jt Φ
Value-at-Risk
1
(α)

93. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Horizon de détention et agrégation temporelle
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

94. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Horizon de détention et agrégation temporelle
Le deuxième élément fondamental dans le calcul de la
Value-at-Risk est la période de détention (ou l’
horizon de
risque) de l’
actif ou du portefeuille d’
actifs.
Il n’
existe aucune règle quant au choix de la période de
détention dans le calcul de la Value-at-Risk puisque ce
choix dépend fondamentalement de l’
horizon de reporting ou
de l’
horizon d’
investissement des opérateurs.
Toutefois, les autorités de régulation peuvent spéci…er des
horizons de détention spéci…ques notamment dans le cadre
des procédures de validation de la Value-at-Risk.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

95. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Horizon de détention et agrégation temporelle
Un problème se lorsque la fréquence d’
observations des
P&L (intra-day, quotidienne, hebdomadaire, mensuelle etc..)
ne correspond pas à l’
horizon de risque
On doit alors transformer une mesure de risque adaptée à un
horizon en une mesure de risque adaptée en autre horizon,
généralement plus long : c’ le problème de l’
est
agrégation
temporelle
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

96. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Horizon de détention et agrégation temporelle
Le problème de l’
agrégation temporelle peut se poser de la
même façon lorsque l’ cherche à prévoir la VaR à un horizon
on
supérieur h à l’
unité. En e¤et pour ce faire deux solutions existent :
1
Soit prévoir directement la VaR en t + h, c’ à dire
est
VaR t +h jt (α) , dans ce cas le problème de l’
agrégation
temporelle ne se pose pas
2
Soit on cherche à établir la prévision de la VaR en t + h,
VaR t +h jt (α) , à partir de prévisions réalisées à un horizon
inférieur, typiquement à un horizon d’
une période, c’ à dire
est
VaR t +1 jt (α) , VaR t +2 jt +1 (α) , .., VaR t +h jt +h 1 (α) .
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

97. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dans le cadre du problème de l’
agrégation temporelle des
mesures de VaR, on doit distinguer deux cas :
1
le cas où l’ suppose que les rendements sont i.i.d.
on
2
le cas où l’ suppose que les rendements ne sont pas i.i.d.
on
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

98. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dans le cas où les rendements sont i.i.d., le problème est
relativement simple.
Supposons que l’ dispose de l’
on
espérance et de la variance de
la P&L exprimés en base annuelle. Soient µy et σ2 ces valeurs.
y
On cherche à déterminer les moments correspondants sur un
horizon di¤érent de l’
année sous l’
hypothèse de rendements
i.i.d. et sous l’
hypothèse que les mêmes positions ont été
maintenues sur l’
année.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

99. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Horizon de détention et agrégation temporelle
Sous l’
hypothèse i.i.d., on a alors :
E (Rt ) = µy T
V (Rt ) = σ2 T
y
où T désigne l’
horizon du risque mesuré en nombre d’
années.
Exemple : 1/12 pour un horizon mensuel, 1/252 pour un horizon
quotidien si il y a 252 journée de cotation dans une année.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

100. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Horizon de détention et agrégation temporelle
Example (Jorion, 2007)
Sur une base mensuelle, on suppose que le rendement moyen du
change EUR/$ est -0.15% et la volatilité est 3.28%. Sur une base
annuelle, sous l’
hypothèse i.i.d., le rendement espéré est égal à :
0.15
12 =
1.8% par an
et la volatilité annuelle
3.28
p
12 = 11.4% par an
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

101. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dans le cas où les rendements ne sont pas i.i.d., il convient de
postuler un modèle de dépendance entre les rendements :
Supposons par exemple que les rendements véri…ent
Rt = ρRt
1
+ εt
où εt est i.i.d. 0, σ2 .
ε
Dans ce cas, on montre que :
V
T
∑ Ri
i =1
h
= σ 2 T + 2 (T
R
où σ2 = σ2 1
ε
R
référence
1) ρ + 2 (T
2) ρ2 + .. + 2 (1) ρT
ρ2 désigne la variance sur l’
horizon de
Christophe Hurlin
Value-at-Risk
1

102. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Horizon de détention et agrégation temporelle
Example (Jorion, 2007)
Supposons que la volatilité quotidienne soit égale à 1%. Sur deux
semaines (10 jours de cotations), la volatilité est multipliée par
p
10 = 3.16 si l’ suppose l’
on
absence de dépendance des
rendements (ρ = 0). En revanche, si ρ = 0.2, la volatilité
augmente de 3.79. Si ρ = 0.5, il faut mutiplier la volatilité
quotidienne par 5.10 pour obtenir la volatilité en base
bi-hebdomadaire.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

103. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Préambule
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

104. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
On dénombre trois grandes classes de méthodes d’
estimation de la
VaR :
1
Méthodes non-paramétriques (Historical Simulation,
Weighted Historical Simulation, Filtered Historical
Simulation...).
2
Méthodes semi-paramétriques (CAViaR, théorie des
extrêmes).
3
Méthodes paramétriques (ARCH, GARCH univarié, GARCH
multivarié, RiskMetrics).
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

105. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Dans cette section, nous limiterons notre analyse aux méthodes
d’
estimation de la VaR de type univariées applicables :
1
aux rendements associés à la détention d’ actif
un
2
aux rendements associés à la détention d’ portefeuille
un
d’
actifs en négligeant les gains liés à la diversi…cation des
risques et les corrélations entre actifs.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

106. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Remarque : on trouve dans certains ouvrage le terme "méthodes
de calcul"’de la VaR. Ce terme est impropre, on doit plutôt utiliser
le terme de "méthodes d’
estimation" de la VaR. La VaR est le
fractile d’
une distribution de P&L, dès lors deux solutions
1
Soit la distribution de P&L est connue, et à ce moment on
calcule le fractile correspondant
2
Mais généralement, la distribution de P&L n’ pas
est
connue ou les paramètres de cette distribution ne sont
pas connues. On doit estimer la densité associée, ou les
paramètres de cette densité, ou son fractile directement. On
parle alors de méthodes d’
estimation de la VaR.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

107. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Méthodes non paramétriques
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

108. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
De…nition (Méthodes non paramétriques)
Le principe général des méthodes non paramétriques
d’
estimation / prévision de la Value-at-Risk est que l’ impose a
on
priori aucune distribution paramétrique de pertes et pro…ts.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

109. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Les principales méthodes sont les suivantes :
1
Historical Simulation (HS)
2
Bootstrapped Historical Simulation
3
Simulation Historique et Estimation Non Paramétrique de
Densité
4
Weighted Historical Simulation (WHS) ou Hybrid
Method
5
Filtered Historical Simulation (FHS)
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

110. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Simulation Historique
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

111. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
1
La simulation historique (Historical Simulation, ou HS) est
une méthode très simple qui est sans doute la plus utilisée
actuellement
2
Formellement, la VaR est estimée simplement par le fractile
empirique des rendements passés.
3
Si l’ considère par exemple un niveau de con…ance de 95%
on
et que l’ dispose d’ échantillon de 1000 observations
on
un
historiques de rendements, la VaR est donnée par la valeur du
rendement qui correspond à la 50ème plus forte perte.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

112. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
De…nition
Soit fR1 , R2 , ..RT g la séquence des rendements Rt de l’
actif ou du
portefeuille, observés aux dates t = 1 à T . A cette séquence
correspond un échantillon de T observations fr1 , r2 , .., rT g.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

113. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Problem
Théoriquement, à chaque date, le rendement Rt est une v.a.r qui
admet une certaine distribution, notée fR t (.) , et donc un fractile
d’
ordre α, noté VaRt (α) , qui lui est propre. Or, on ne dispose que
d’une seule réalisation, rt , de cette distribution. A partir de cette
unique réalisation, sans hypothèse supplémentaire, il est
impossible d’
estimer le fractile de la distribution des P&L à la date
t, c’ à dire la VaR.
est
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

114. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Dans l’
approche HS, on fait deux hypothèses très fortes :
1
On suppose que la distribution non conditionnelle des
rendements est identique quelle que soit la date t :
fR t ( w ) = fR ( w ) 8 t
par conséquent le fractile de cette distribution non
conditionnelle (la VaR) est aussi identique :
VaRt (α) = VaR (α) 8t
2
On suppose que les rendements R1 , .., RT sont
indépendamment distribués.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

115. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Hypothèse : on suppose que les rendements Rt associés aux P&L,
observés à toute date t, sont identiquement et
indépendamment distribués (i.i.d) avec :
fR t ( w ) = fR ( w ) 8 t
VaRt (α) = VaR (α) 8t
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

116. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Solution
Sous l’
hypothèse i.i.d, on dispose alors d’ échantillon de T
un
réalisations fr1 , r2 , .., rT g de T v.a.r. admettant la même
distribution (ou de la même variable aléatoire) et donc la même
VaR. Il est dès lors possible d’
estimer cette VaR.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

117. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
De…nition (VaR HS)
Sous l’
hypothèse de rendements i.i.d., un estimateur convergent
de la VaR pour un taux de couverture de α% est dé…ni par le
fractile empirique d’
ordre α associés aux T réalisations historiques
des rendements, notées fr1 , r2 , .., rT g.
b
V aR (α) = percentile frj gT 1 , 100α
j=
b
V aR (α)
p
! VaR (α)
T !∞
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

118. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Fig.: Source : Jorion (2007)
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

119. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Example
On considère les rendements quotidiens dé…nies à partir des cours
à la clotûre du Nikkei entre le 05/01/2004 et le 02/05/2006, soit
un total de 5550 observations. Supposons que l’ classe par ordre
on
croissant les observations r1 , .., r5550 . La VaR HS à 1% est alors
`
égale à la 56eme , soit :
b
V aRt (1%) =
Christophe Hurlin
0, 01507%
Value-at-Risk

120. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Fig.: Rendements Quotidiens Nikkei 05/01/2004 - 02/05/2006
0.06
0.04
0.02
0.00
-0.02
-0.04
1000
2000
Christophe Hurlin
3000
4000
Value-at-Risk
5000

121. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Empiric al CDF of NIKKEI
Quantiles of NIKKEI
1.0
0.06
0.8
0.04
0.6
0.02
0.4
0.00
0.2
-0.02
0.0
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
Christophe Hurlin
-0.04
0.0
0.2
Value-at-Risk
0.4
0.6
0.8
1.0

122. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Remarque : La VaR HS est l’
estimateur d’
une VaR non
conditionnelle (ou associée à une distribution de P&L non
conditionnelle).
Par conséquent la prévision de VaR selon la méthode HS sera
relativement "invariante" aux modi…cations de
l’
environnement économique.
Les prévisions de VaR selon la méthode HS sont "plates"
ou "pratiquement plates" (dans le cas rolling estimates).
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

123. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
C’ le principal défaut de cette méthode (Hendricks, 1996 ;
est
Boudoukh et al. 1998 ; Pritsker, 2006) : il est invraisemblable que
les nombreux facteurs microstructurels et macroéconomiques
concourant à la formation du prix d’ actif demeurent inchangés
un
dans le temps.
Hendricks, D.. (1996), ”Evaluation of Value-at-Risk Models
Using Historical Data ”,Economic Policy Review, Federal
Reserve Bank of New York, April, pp. 39-69.
Pritsker, M. (2006), "The hidden dangers of historical
simulation", Journal of Banking & Finance, Volume 30, Issue
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

124. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Problem
Comment construire une prévision de VaR selon la méthode
HS ?
La solution consiste tout simplement à utiliser le fractile empirique
associé aux observations passées R1 , .., R2
VaR T +1 jT (α) = percentile frj gT 1 , 100α
j=
L’
idée est alors que puisque le rendement en T + 1 à la même
distribution que R1 , .., RT , un estimateur de sa VaR peut être
obtenu à partir de l’
estimateur de la VaR des rendements passés.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

125. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Problem
Comment construire une séquence de prévisions de la VaR
selon la méthode HS (backtesting) ?
Comme pour tous les estimateurs, il y a deux solutions :
soit on construit un estimateur glissant (rolling estimate)
de la VaR en t + 1 à partir d’ sous ensemble
un
d’
informations récentes de taille …xe (idée de
conditionnement).
soit on construit une successions d’
estimateurs de la VaR
conditionnellement à toute l’
information disponible, qui
croît au fer et à mesure que le temps passe
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

126. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Fig.: Prévision Glissante (Rolling Estimate)
1ère Estimation
Prévision
temps
1
T-N
2ème Estimation
1
T-N+1
Prévision
2
T-N+1
Christophe Hurlin
Value-at-Risk
T-N+2

127. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Fig.: Prévision HS non Glissante
1ère Estimation
Prévision
temps
1
T-N
2ème Estimation
1
T-N+1
Prévision
2
T-N+1
Christophe Hurlin
Value-at-Risk
T-N+2

128. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Fact
Dans la littérature, on utilise généralement des séquences de
prévisions construites à partir d’
une estimation glissante
(rolling estimate) a…n d’
introduire un "minimum de
conditionnement" dans la VaR-HS et de ne pas accorder trop de
poids aux réalisations des rendements les plus anciennes.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

129. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
De…nition (Prévisions VaR-HS)
Les prévisions glissantes de VaR pour un taux de couverture de α%
obtenues par la méthode de simulation historiques correspondent
au fractile empirique d’
ordre α de la chronique des rentabilités
passées observées sur une fenêtre de taille Te :
VaR t jt
1 (α)
= percentile frj gt=t1
j
Christophe Hurlin
Value-at-Risk
T e , 100α

130. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Plus la taille de la fenêtre Te est petite, plus les prévisions de
VaR seront volatiles
Plus la taille de la fenêtre Te est grande, plus la VaR prévue
convergera vers la VaR non conditionnelle et sera par
conséquent quasi "constante" dans le temps.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

131. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Example (Candelon et al. 2008)
Les auteurs considèrent les rendements quotidiens du Nasdaq et
appliquent trois méthodes de prévisions de la VaR à 5% dont la
méthode HS. Ils considèrent une estimation glissante (rolling
estimation) sur une fenêtre de 250 observations. Sur le graphique
suivant est reportée une séquence de 250 prévisions obtenues pour
la période du 22 Juin 2005 au 20 Juin 2006 ainsi que les
rendements observés ex-post.
Candelon, B, Colletaz, G, Hurlin C. et Tokpavi. (2008),
”Backtesting Value-at-Risk : A GMM duration-based test”,
Working Paper.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

132. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Fig.: Historical Returns and 5% VaR Forecasts. Nasdaq (June 2005June 2006)
Na s d a d
0.03
Re tu rn s
Hi s toric al Sim ulation 5% VaR
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
0
50
100
Christophe Hurlin
150
200
Value-at-Risk
250

133. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Example (Christo¤ersen et Pelletier, 2004)
Les auteurs proposent un test de backtesting. A…n d’
étudier les
propriétés de ce test, ils proposent des simulations de Monte Carlo
dans lesquelles ils simulent des rendements selon un processus
GARCH sous Student, puis appliquent la méthodologie HS pour
prévoir les VaR sur ces rendements simulés.
Christoffersen, P. F. and D. Pelletier (2004),
"Backtesting Value-at-Risk : A duration-based approach",
Journal of Financial Econometrics, 2, 1, pp. 84-108.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

134. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Fig.: Source : Christo¤ersen and Pelletier (2004)
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

135. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Bootstrapped Historical Simulation (BHS)
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

136. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Une amélioration simple de la méthode HS consiste à
estimer la VaR à partir de données simulées par Bootstrap.
Le Bootstrap consiste à ré-échantillonner les données
historiques de rendements avec remise.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

137. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Plus précisément, la procédure consiste à créer un grand
nombre d’
échantillons de rendements simulés, où chaque
observation est obtenue par tirage au hasard à partir de
l’
échantillon original.
Chaque nouvel échantillon constitué de la sorte permet
d’
obtenir une estimation de la VaR par la méthode HS
standard, et l’ dé…nit au …nal une estimation en faisant la
on
moyenne de ces estimations basées sur les ré-échantillonnages.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

138. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
De…nition (Bootstrapped Historical Simulation)
n oT
Soit ejs
r
une séquence de rendements tirés au hasard avec
j =1
remise dans l’
échantillon de rendements historiques, et soit
e
V aR s (α) la VaR-HS associée à cet échantillon de rendements
bootstrappés. L’
estimateur BHS (Bootstrapped Historical
Simulation) de la VaR correspond à la moyenne empirique des
VaR-HS obtenues à partir de S échantillons de rendements
boostrappés :
1 S e
b
V aR (α) = ∑ V aR s (α)
S s =1
e
r j=
V aR s (α) = percentile fejs gT 1 , 100α
Christophe Hurlin
Value-at-Risk
s = 1, .., S

139. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Remarque 1 : Le fait de construire la moyenne d’ grand nombre
un
de VaR-HS obtenues sur des échantillons de rendements
boostrapés fait que l’ limite l’
on
in‡uence des pertes extrêmes,
notamment lorsque l’ utilise cette méthode pour la prévision. On
on
obtient ainsi des prévisions plus volatiles.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk

140. Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la
Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Remarque 2 : pour construire une prévision glissante par la
méthode BHS, il su¢ t de ré-échantilloner (pour chaque prévision)
non plus T valeurs, mais uniquement Te valeurs, où Te désigne la
taille de la fenêtre.
Christophe Hurlin
Value-at-Risk