Neste trabalho apresentamos o recorte de uma pesquisa de Mestrado, em andamento, ao qual se propõe investigar os conhecimentos de professores de Matemática da Educação Básica sobre como o Princípio Fundamental da Contagem (PFC), também conhecido como o princípio multiplicativo, pode ser usado na resolução de variados problemas combinatórios e na construção das fórmulas de Análise Combinatória. Para isso, foi realizada uma entrevista semiestruturada, com três professores, baseada nos tipos de conhecimentos sugeridos por Ball, Thames e Phelps (2008): conhecimento comum do conteúdo; conhecimento especializado do conteúdo; conhecimento horizontal do conteúdo; conhecimento do conteúdo e alunos; conhecimento do conteúdo e seu ensino; conhecimento do conteúdo e currículo. A investigação destes conhecimentos se deu por meio de protocolos com situações combinatórias resolvidas por alunos, estas situações contemplavam os quatro tipos de problemas combinatórios (produto cartesiano, arranjo, permutação e combinação).

1. 1
GT 19 – Educação Matemática
CONHECIMENTOS DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA SOBRE O USO DO
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM EM SITUAÇÕES
COMBINATÓRIAS1
Ana Paula Barbosa de Lima (UFPE)
INTRODUÇÃO
O ensino dos conteúdos da Análise Combinatória são recomendados desde os anos
iniciais do Ensino Fundamental pelos Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (BRASIL,
1997) e, a partir de então, é sugerido um ensino gradual no qual estes conteúdos serão
tratados de uma forma mais construtiva até a formalização de seus conceitos no Ensino
Médio.Para os anos finais do Ensino Fundamental, os PCN (BRASIL, 1998), recomendam
que os problemas combinatórios devem ser apresentados com números maiores do que os
apresentados nos anos iniciais, dessa maneira, acredita-se que os estudantes irão perceber o
princípio multiplicativo que está implícito nas questões apresentadas. As Orientações
Educacionais Complementares aos PCN do Ensino Médio (BRASIL, 2002) e o Programa
Nacional do Livro Didático (PNLD), para o Ensino Médio, (BRASIL, 2011), recomendam
um ensino que não foque apenas no uso da fórmula para resolução destes problemas e que
elas sejam consequência do raciocínio desenvolvido pelos alunos e tenham a função de
simplificar cálculos quando os dados apresentados forem demasiadamente grandes.
1 Trata-se de um estudo de Mestrado, em andamento, sob a orientação da Profa. Dra. Rute Elizabete de Souza
Rosa Borba - UFPE.

2. 2
Sobre o desenvolvimento deste raciocínio, Borba (2010) recomenda que os
professores aproveitem as estratégias espontâneas desenvolvidas pelos estudantes - como
desenhos, diagramas, listagens e operações aritméticas - e, gradativamente, sejam
desenvolvidos os procedimentos formais para a resolução destes problemas.
Dessa forma, acredita-se que um trabalho envolvendo o PFC como estratégia de
ensino para problemas combinatórios seja um processo válido e que a partir dele
O PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
O Princípio Fundamental da Contagem (PFC), ou princípio multiplicativo, é
enunciado, segundo Lima (2006), como, “Se uma decisão D1 pode ser tomada de p modos e,
qualquer que seja esta escolha, a decisão D2 pode ser tomada de q modos, então o número de
maneiras de se tomarem consecutivamente as decisões D1 e D2 é igual a pq”. O princípio pode
ser ampliado para outras decisões, como D3, D4, D5 e assim por diante.
OPrincípio Fundamental da Contagem (PFC), pode ser aplicado a distintas situações
combinatórias – como produtos cartesianos, arranjos, combinações e permutações e pode
servir de base para a construção de procedimentos formais da Análise Combinatória, pois,
como afirmam Pessoa e Borba (2009), o PFC é entendido como um princípio implícito na
resolução de todos os tipos de problemas combinatórios.
No exemplo, a seguir, apresentamos um problema de combinação, no qual é possível
observar a aplicação do PFC em sua resolução.
Se um técnico fosse escolher, dentre 12 atletas, cinco para comporem a equipe titular
de um time de basquete, usando o PFC se teria: para a escolha do primeiro componente 12
possibilidades de escolha, ou seja, qualquer um dos 12 atletas; para a escolha do segundo
componente haveria 11 possibilidades de escolha, já que um atleta já foi escolhido; 10
possibilidades para a escolha do terceiro atleta; 9 possibilidades para a escolha do quarto
atleta e 8 possibilidades para a escolha do quinto e último componente da equipe. Nesse caso,
além dessa aplicação do PFC, seria necessário aplicá-lo outra vez, dividindo o resultado
obtido pelo produto 12 x 11 x 10 x 9 x 8 pela permutação dos cinco elementos escolhidos
entre si, pois um time composto por André, Beto, Carlos, Daniel e Ênio, por exemplo, é
idêntico ao time composto por Beto, Carlos, Daniel, Ênio e André. A permutação dos cinco
elementos, semelhantemente ao exemplo anterior, poderia ser obtido pelo produto 5 x 4 x 3 x
2 x 1, e o resultado final seria dado por: ଵଶ × ଵଵ × ଵ଴ × ଽ × ଼
ହ × ସ × ଷ × ଶ × ଵ .

3. 3
Borba e Braz (2012) estudaram problemas combinatórios condicionais e observaram
que o PFC é uma estratégia válida para as situações propostas. O uso direto de fórmulas nem
sempre é útil quando o problema apresenta condições de escolha (implícita ou explícita), de
ordenação, de posicionamento e/ou de proximidade de elementos.No Quadro 01,
apresentamos exemplos de problemas combinatórios e como os mesmos podem ser resolvidos
com a aplicação do PFC.
Quadro 01 - Representação de situações combinatórias através do PFC.
TIPO PROBLEMAS REPRESENTAÇÃO USANDO O PFC
PC
Joaquim foi à livraria comprar seu material escolar.
Para montar seu kit a livraria lhe ofereceu: 3 modelos
de caderno, 4 modelos de lápis, 8 modelos de
borracha e 2 modelos de caneta azul. De quantas
formas diferentes Joaquim pode montar seu kit?
3 x 4 x 8 x 2
caderno x lápis x borracha x caneta
AR
Na final do campeonato de judô, 5 meninas estão
disputando os 3 primeiros lugares do torneio. De
quantas formas diferentes podemos ter os três
primeiros colocados?
5 x 4 x 3
1º lugar x 2º lugar x 3º lugar
PER
De quantos modos distintos 5 pessoas podem se
posicionar em um banco de 5 lugares?
5 x 4 x 3 x 2 x 1
1º lugar x 2º x 3º x 4º x 5º
COM
Um técnico tem que escolher, dentre 12 atletas, 5
para compor a equipe titular de um time de basquete.
Qual o total de possibilidades que o técnico tem para
montar sua equipe?
1º atleta x 2º x 3º x 4º x 5º
Permutação de 5
AR - C
Ana, Julia, Marcos, Pedro e Laís estão participando
de uma corrida. De quantos modos diferentes
podemos ter os 3 primeiros colocados se Julia sempre
chegar em primeiro lugar?
1 x 4 x 3
1º lugar x 2º lugar x 3º lugar
COM - C
Marta precisa escolher entre seus 8 amigos (Tiago,
Simone, Daniele, Jéssica, Pedro, Amanda, Rafael e
Felipe), 4 para ir ao cinema com ela. De quantas
formas diferentes Marta pode escolher esses três
amigos desde que Jéssica sempre esteja entre os
escolhidos?
1º amigo x 2º x 3º x 4º
Permutação de 4
PC = Produto Cartesiano; AR = Arranjo; PER = Permutação; COM = Combinação; AR – C = Arranjo
Condicional; COM – C = Combinação Condicional.

4. 4
É preciso, entretanto, que professores tenham conhecimento de como o PFC pode ser
utilizado para a resolução de distintas situações combinatórias e como este princípio é base
das fórmulas.
TIPOS DE CONHECIMENTOS DOCENTES SEGUNDO BALL, THAMES E
PHELPS (2008)
Ball, Thames e Phelps (2008), ao investigarem as demandas para a pratica de ensino
da Matemática, buscaram identificar os conhecimentos matemáticos a partir do trabalho dos
professores em sala de aula.A partir das categorias: conhecimento do conteúdo (em inglês:
content knowledge) e conhecimento pedagógico do conteúdo (em inglês: pedagogical content
knowledge) de Shulman (1987), estes autores identificaram e definiram domínios de
conhecimento matemático para o ensino em cada uma dessas categorias.
Para a categoria de conhecimento do conteúdo, os domínios definidos foram:
conhecimento comum do conteúdo (em inglês: common content knowledge), que é definida
como o tipo de conhecimento matemático e a habilidade usada para o professor ensinar,
porém não é um conhecimento usado exclusivamente para o ensino; conhecimento
especializado do conteúdo (em inglês: specialized content knowledge), que é o conhecimento
matemático e uma habilidade voltada para se ensinar e que, possivelmente, não será
necessário para qualquer outra área de conhecimento. Outro domínio incluído nesta categoria
foi o que Ball, Thames e Phelps (2008) chamaram de conhecimento horizontal do conteúdo
(em inglês: horizon content knowledge), quando o professor tem a consciência de que existe
uma relação entre os conteúdos matemáticos, e também a previsão de conteúdos futuros para
aprofundamento dos conteúdos que estão sendo trabalhados.
Na categoria conhecimento pedagógico do conteúdo, os domínios definidos foram: o
conhecimento do conteúdo e alunos (em inglês: knowledge of content and students), que é o
domínio que combina o conhecimento sobre os alunos e o conhecimento sobre a Matemática;
conhecimento do conteúdo e seu ensino (em inglês: knowledge of content and teaching), que é
o domínio que combina conhecimentos sobre ensino e conhecimentos sobre a
Matemática.Ball, Thames e Phelps (2008) incluíram a terceira categoria de Shulman,
conhecimento do conteúdo e currículo (em inglês: knowledge of content and curriculum)
dentro da categoria conhecimento pedagógico do conteúdo. Este é definido como o domínio
especial dos materiais e programas que servem como ferramentas de trabalho para o
professor.

5. 5
A partir destes domínios, apresentamos exemplos aplicados ao ensino de
Combinatória. São eles:
Conhecimento da Combinatória;
· Conhecimento comum da Combinatória - por exemplo, conhecimento do princípio
fundamental da contagemna resolução de problemas combinatórios;
· Conhecimento especializado da Combinatória - por exemplo, conhecimento das
características dos diferentes tipos de problemas combinatórios: arranjo, combinação,
permutação e produto cartesiano e como o PFC se aplica a cada tipo;
· Conhecimento horizontal da Combinatória - por exemplo, conhecimento do nível de
dificuldade de situações combinatórias e como podem ser abordadas nos diferentes
níveis de ensino (de desenhos e listagens ao PFC e fórmulas.
Conhecimento Pedagógico da Combinatória;
· Conhecimento da Combinatória e aluno – por exemplo, quando o professor reconhece
as dificuldades dos alunos diante da aplicação do PFC a diferentes situações
combinatórias;
· Conhecimento da Combinatória e ensino – por exemplo, identificação de diferentes
estratégias (desenhos, listagens ... PFC, fórmulas) usadas na resolução de diferentes
tipos de problemas;
· Conhecimento da Combinatória e currículo – por exemplo, conhecimento dos
Parâmetros Curriculares, projetos político-pedagógicos e quadro curriculares e as
recomendações destes referentes ao PFC.
OBJETIVOS
A partir do que foi exposto, temos como objetivo geral investigar o conhecimento
dos professores sobre como o Princípio Fundamental da Contagem (PFC) pode ser utilizado
na resolução de problemas combinatórios.
Como objetivos específicos têm-se: analisar de que modo o professor reconhece o
PFC como estratégia para a resolução de problemas combinatórios; investigar como o
professor avalia resoluções de alunos de problemas combinatórios (usando ou não o PFC); e
sondar se o professor utiliza, ou não, o PFC na construção das fórmulas usadas na
Combinatória.
Estes objetivos tentam responder as seguintes questões:

6. 6
· Que conhecimentos os professores de Matemática mobilizam, durante o ensino, sobre
como o Princípio Fundamental da Contagem (PFC) pode ser utilizado na resolução
dos diferentes tipos de problemas combinatórios?
· Os professores relacionam o PFC com os procedimentos formais da Combinatória e a
partir dele constroem as fórmulas usadas nos diferentes tipos problemas?
MÉTODO
Foram realizadas entrevistas semiestruturadas com três professores de formação em
Matemática de escolas públicas (do 6º ao 9º ano do Ensino Fundamental e do Ensino Médio),
que estavam lecionando Matemática nos últimos cinco anos e que tinham no mínimo cinco
anos de experiência. Estas foram as condições de seleção, por acreditar-se que os participantes
já teriam uma base formada na prática de ensino. A entrevista foi dividida em três fases com
objetivos distintos. As respectivas fases estão descritas a seguir.
A primeira fase da entrevista teve como objetivo identificar a formação inicial e
continuada, e também a experiência profissional, dos professores. Os questionamentos feitos,
para conseguir estas informações, foram os seguintes:
1. Você fez algum curso de pós-graduação? Se sim, qual?
2. Há quanto tempo leciona?
3. Leciona em quais redes de ensino?
4. Há quanto tempo leciona no atual nível de ensino?
5. Você estudou Combinatória em seu curso de graduação? Se sim, este estudo lhe
auxilia no seu ensino em sala de aula?
As fases seguintes foram elaboradas visando identificar os tipos de conhecimentos
propostos por Ball,Thames e Phelps (2008).
Na segunda fase foi investigado o conhecimento que os professores têm sobre o
Princípio Fundamental da Contagem (PFC) como estratégia para resolução de problemas e
também seus conhecimentos sobre os tipos de problemas combinatórios. Para esta fase foram
apresentados quatro protocolos2 com justificativas de alunos em resposta a problemas
combinatórios com foco no PFC. Vale ressaltar que as respostas indicadas pelos alunos
estavam todas incorretas. Assim, foi possível identificar, de maneira indireta, se os
2 Protocolos retirados de Pontes e Evangelista (2012) e Assis e Azevedo (2012), pesquisas apresentadas, no
semestre 2012.2, na disciplina Tópicos em Educação Matemática (do Programa de Pós-Graduação em Educação
Matemática e Tecnológica - EDUMATEC, UFPE.

7. 7
professores sabem diferenciar os tipos de problemas combinatórios e, também, seus
conhecimentos sobre o PFC. Os protocolos usados nesta fase do estudo piloto são
apresentados nas Figuras 01, 02, 03 e 04.
Figura 01 - Exemplo de justificativa incorreta quanto ao uso do PFC na resolução de um problema de arranjo.
Fonte: Pontes e Evangelista (2012).
Figura 02 - Exemplo de justificativa incorreta quanto ao uso do PFC na resolução de um problema de arranjo.
Fonte:Azevedo e Assis(2012).
Figura 03 - Exemplo de justificativa incorreta quanto ao uso do PFC na resolução de um problema de
permutação.

8. 8
Fonte: Azevedo e Assis (2012).
Figura 04 - Exemplo de justificativa incorreta quanto ao uso do PFC na resolução de um problema de
combinação.
Fonte: Pontes e Evangelista (2012).
Esta fase da entrevista foi dividida em dois momentos. No primeiro deles, os
problemas foram apresentados individualmente e eram feitos alguns questionamentos aos
professores. As perguntas eram as seguintes:
1. Que tipo de problema é este?
2. Este tipo de problema pode ser trabalhado a partir de que ano?
Na primeira questão pretendemos investigar o conhecimento especializado do
conteúdo, que é o tipo de conhecimento exclusivo para o ensino. A segunda objetivava o
conhecimento do conteúdo e currículo, que é o domínio dos materiais e programas de ensino
que servem como ferramentas para o trabalho do professor.

9. 9
No segundo momento os problemas eram distribuídos lado a lado e feitos os
seguintes questionamentos:
1. Em qual bloco de conteúdos estes problemas estão inseridos?
2. No que estes problemas se assemelham e no que se diferenciam?
3. Os estudantes estão corretos em suas respostas e justificativas?
§ Se correto, por quê?
§ Se incorreto, qual das alternativas é mais adequada para este tipo de
problema?
§ Se incorreto, qual a dificuldade você acha que o aluno apresentou na
compreensão deste problema?
4. Como você auxiliaria o aluno a compreender este problema?
A primeira questão tinha como objetivo investigar o conhecimento do conteúdo e
currículo; a segunda questão objetivava verificar o conhecimento especializado do conteúdo;
na terceira questão foi investigado o conhecimento do conteúdo e alunos, que é o domínio que
combina o conhecimento do aluno e do conteúdo matemático; a quarta, e última questão desta
fase, foi sondado o conhecimento do conteúdo e ensino, que é o domínio que combina
conhecimentos sobre o ensino e sobre a Matemática.
Na terceira e última fase deste estudo piloto foi feita uma investigação sobre os
procedimentos formais da Combinatória e sua relação com o PFC. Nesta fase foram
apresentados problemas combinatórios retirados da tese de Pessoa (2009) e do trabalho de
Assis e Azevedo (2012), sem a indicação do tipo de problema, seguidos pela fórmula
matemática de cada tipo de problema e pela resolução do aluno utilizando como estratégia o
PFC de maneira correta. Seguem os problemas utilizados.
Problema 01 - Produto Cartesiano
Para a festa de São João da escola, tem 3 meninos (Pedro, Gabriel e João) e 4 meninas (Maria,
Luiza, Clara e Beatriz) que querem dançar quadrilha. Se todos os meninos dançarem com
todas as meninas, quantos pares diferentes poderão ser formados?
Exemplo de fórmula Matemática. Exemplo de Estratégia usando o PFC.
Fonte: Pessoa (2009).

10. 10
Problema 02 - Arranjo
As semifinais da Copa do Mundo serão disputadas pelas seguintes seleções: Brasil, França,
Alemanha e Argentina. De quantas maneiras diferentes podemos ter os três primeiros
colocados?
Exemplo de fórmula Matemática. Exemplo de Estratégia usando o PFC.
Fonte: Pessoa (2009).
Problema 03 - Permutação
Na prateleira do meu quarto, desejo colocar fotos dos meus 5 artistas favoritos. Sabendo que
posso organizaras fotos de diferentes maneiras, uma ao lado da outra, qual alternativa abaixo
indica a operação necessáriapara obter o total de possibilidades?
Exemplo de Estratégia usando o PFC.
Fonte Assis e Azevedo (2012).
Exemplo de fórmula Matemática.
Problemas 04 - Combinação
Na seleção brasileira de Basquete, o técnico convocou 12 atletas. Sabendo que poderão ser
formadosdiferentes grupos com 5 desses jogadores que irão compor a equipe titular, qual
alternativa abaixo indica aoperação necessária para obter o total de possibilidades?
Exemplo de fórmula Matemática. Exemplo de Estratégia usando o PFC.
Fonte Assis e Azevedo (2012)

11. 11
Num primeiro momento dessa fase da entrevista, os problemas, com suas respectivas
estratégias, foram apresentados individualmente seguidos do questionamento:
Existe alguma relação entre as soluções matemáticas e as resoluções dos alunos? Se sim,
qual?
Com essa questão procuramos identificar o conhecimento horizontal do conteúdo
que se trata do professor ter consciência da relação entre os conteúdos matemáticos e uma
previsão de como os conteúdos serão tratados futuramente com o avançar dos anos de
escolarização. Aqui o professor terá que apontar se existe relação entre a fórmula Matemática
e o uso do PFC como estratégia de resolução.
No segundo momento dessa fase, os problemas foram agrupados lado a lado e feitos
outros questionamentos ao professor.
1. Qual a estratégia utilizada por estes alunos?
2. Ela se aplica a todos os tipos de problemas combinatórios?
3. Como esta estratégia se relaciona com as fórmulas?
4. Como se poderiam construir junto com os alunos as fórmulas da Combinatória?
Os tipos de conhecimento que objetivamos neste momento são respectivamente:
conhecimento do conteúdo e aluno; conhecimento especializado do conteúdo; conhecimento
horizontal do conteúdo; e conhecimento do conteúdo e ensino.
Os resultados preliminares deste estudo serão apresentados na próxima seção.
Deseja-se, a partir do proposto, colaborar para o levantamento de conhecimentos
docentes e práticas de ensino, em particular da Combinatória, e, assim, trazer contribuições
para o ensino de Matemática na Educação Básica. De modo mais específico, deseja-se trazer
contribuições referentes ao papel do Princípio Fundamental da Contagem como eficiente
estratégia de ensino da Combinatória, por possibilitar a resolução de diferentes tipos de
problemas combinatórios.
RESULTADOS PRELIMINARES
Mostra-se aqui resultados preliminares da entrevista feita com um dos professores
entrevistados, ao qual chamaremos de P1. Procurou-se intercalar algumas resposta obtidas
com os tipos de conhecimento propostos por Ball, Thames e Phelps (2008). O Professor P1
possui licenciatura em Matemática, atua a sete anos em turmas do Ensino Fundamental e
Médio.

12. 12
Sobre os tipos de conhecimento identificados durante a entrevista, quanto ao
conhecimento especializado do conteúdo e conhecimento do conteúdo e aluno, oProfessor P1,
de modo geral, consegue reconhecer e diferenciar os tipos de problemas combinatórios e
perceber a aplicação do PFC através das respostas dos alunos, como apresentado no Quadro
02. Neste quadro, 0 (zero) representa resposta incorreta ou incompleta do professor e 1 (um)
representa resposta correta.
Quadro 02 - Reconhecimento e diferenciação dos tipos de problemas combinatórios através de respostas de
alunos
PC Ar Per Com
Termo
Aplicação
do PFC
Termo
Aplicação
do PFC
Termo
Aplicação
do PFC
Termo
Aplicação
do PFC
P
1
1* 1 1 0 0** 1 1 1
* Diz que é um problema de Contagem;
**Diz que é um problema de Princípio Fundamental da Contagem.
Como observado, apenas nos problemas do tipo produto cartesiano o Professor P1 o
nomeia como sendo um problema de contagem. Acreditamos que isso se deva ao fato dos
livros didáticos não classificarem este tipo de problema como sendo do tipo produto
cartesiano.
Sobre o conhecimento do conteúdo e aluno, o professor P1, de modo geral, consegue
identificar as dificuldades que os alunos apresentam na resolução dos problemas. Uma
dificuldade citada peloProfessor P1é a de que os alunos não compreenderam os conceitos
envolvidos nos problemas apresentados.
Quanto ao conhecimento do conteúdo e ensino, o Professor P1 sugere, o uso do
Princípio Fundamental da Contagem como forma de ajudar os estudantes com dificuldade na
aprendizagem de problemas combinatórios e que este ensino seja feito de forma gradual, com
problemas envolvendo grandezas e etapas menores para depois fazer uma generalização. Em
relação à construção das fórmulas, o professor P1 afirma que usa exemplos simples para
resolver problemas de arranjo e permutação, por exemplo, e que a partir desses exemplos faz
a dedução das fórmulas utilizadas no ensino de Combinatória, mas quando questionando
sobre de que maneira isso é feito o Professor P1 não consegue explicar como se dá este
processo.

13. 13
Com relação ao conhecimento do conteúdo e currículo, o Professores P1 aponta que
todos os tipos de problemas apresentados podem ser trabalhados desde os anos finais do
Ensino Fundamental. Porém, disse que se estes problemas não forem trabalhados durante o
Ensino Fundamental, podem ser trabalhados, sem prejuízo para os alunos, apenas no Ensino
Médio. O Professor p1 não soube classificar este grupo de problemas dentro do bloco de
conteúdos tratamento da informação conforme os Parâmetros Curriculares Nacionais
(BRASIL, 1997; 1998) e no bloco análise de dados de acordo com as Orientações
Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio
(BRASIL, 2002). Percebe-se, aqui, uma falta de conhecimento sobre documentos curriculares
que orientam os professores e os documentos que regularizam o ensino de Matemática nas
escolas.
Sobre o conhecimento horizontal do conteúdo, o Professor P1 disse não haver
relação entre as duas estratégias de resolução, afirmando que o aluno conhecia o tipo de
problema apresentado e aplicou a fórmula para se chegar ao resultado.
CONCLUSÕES
Diante das análises apresentadas, percebe-se que o professor tem conhecimento dos
tipos de problemas apresentados e também consegue apontar dúvidas que os alunos tiveram e
até mesmo possíveis soluções.
Apesar de sugerir o uso do Princípio Fundamental da Contagem como uma forma de
ajudar os alunos na superação de dificuldades, não fica claro que ele o considera como uma
estratégia válida para a resolução de todos os tipos de problemas combinatórios.
De modo geral, o professor não considera os problemas combinatórios importantes
durante o Ensino Fundamental, apesar de reconhecer que estes tipos de problemas podem ser
trabalhados desde o Ensino Fundamental, afirma que os estudantes não seriam prejudicados se
sua inserção ocorresse apenas durante o Ensino Médio.
Faz-se necessário uma análise mais detalhada da entrevista deste professor à luz dos
conhecimentos propostos por Ball, Thames e Phelps (2008) para que se encontre, se possível,
mais elementos que nos mostrem quais conhecimentos sobre o PFC este professor mobiliza
para justificar suas respostas.

14. 14
REFERÊNCIAS
ASSIS,Adryanne; AZEVEDO, Juliana. Princípio fundamental da contagem: alunos do
curso de graduação em Pedagogia resolvendo problemas combinatórios.UFPE, 2012.
Trabalho não publicado.
BALL, Deborah; THAMES, Mark; PHELPS, Geoffrey. Content Knowledge for Teaching:
What Makes It Special? Journal of Teacher Education, v.59, n.5, p. 389-407, 2008.
BORBA, Rute. O raciocínio combinatório na Educação Básica. In: ENCONTRO
NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA.ENEM, 10., 2010. Anais...Salvador, 2010.
BORBA, Rute; BRAZ, Flávia. O que é necessário para compreender problemas
combinatórios condicionais? In:SIMPÓSIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA.SIPEMAT, 3., 2012. Anais...Fortaleza, 2012.
BRASIL. Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação, Secretaria de Educação Básica.
Guia de livros didáticos: PNLD 2012 para o Ensino Médio: Matemática. Brasília: Ministério
da Educação, 2011.
______. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. PCN+ Ensino Médio: Orientações
Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. Ciências da Natureza,
matemática e suas tecnologias. Brasília: MEC; SEMTEC, 2002.
______. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN):
Matemática. Ensino de primeira à quarta séria. Brasília: MEC, 1997.
______. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN)
5ª a 8ª séries: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998.
CUNHA, Maria de Jesus. Raciocínio combinatório: compreensão dos professores dos anos
finais do Ensino Fundamental. UFPE, 2012. Trabalho não publicado.
LIMA, Elon; CARVALHO, Paulo; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto. Temas e
problemas elementares. 12. ed. Rio de Janeiro:Sociedade Brasileira de Educação
Matemática, 2006.
PERNAMBUCO. Secretária de Educação. Parâmetros para a Educação Básica do Estado
de Pernambuco. Recife: SE, 2012.
PESSOA, Cristiane; BORBA, Rute. Quem dança com quem: o desenvolvimento do
raciocínio combinatório de crianças de 1ª a 4ª série.Zetetiké,Campinas, v. 17, n. 31, jan./jun.
2009.
PONTES, Danielle; EVANGELISTA, Maria Betânia. Princípio fundamental da contagem:
a compreensão de estudantes do 3º ano do Ensino Médio sobre os problemas de
Combinatória.Universidade Federal de Pernambuco - UFPE, 2012. Trabalho não publicado.

15. 15
ROCHA, Cristiane; RODRIGUES, Ademilson. Princípio fundamental da contagem e a
compreensão de problemas combinatórios:olhares de professores do Ensino Médio. UFPE,
2012.Trabalhonãopublicado.
SHULMAN, Lee. Knowledge and teaching: foundations of the New Reform.Harvard
Educational Review. v. 57, n.1,feb.1987.