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Algebra – Cátedra Bernardello - FCE                                                     2010

                                      Unidad 1 - Estructuras Algebraicas
                                     Ejercicios Adicionales de la Unidad 1
         1) Sea A {a , b , c } y " " una operación definida en él , tal que :

                     a       b        c          a)    Analizar si es " " una L.C.I en A
               a     a       b        c          b)    Indicar cual es el elemento neutro.
               b     b       c        c          c)    Hallar, si existe, el inverso de cada elemento de A
               c     c       b        a          d)    Determine si " " es conmutativa en A.

         2) Sea A {a , b , c} y " " una operación definida en él :
                                    Completar la siguiente tabla sabiendo:
                 a     b      c     a) " " es una L.C.I. en A.
              a                     b) e = a es el elemento neutro.
              b                     c) b’ = c y c’ = b
              c               c     d) " " es conmutativa en A

         3) Sea A {a , b , c , d} y " " una operación definida en él tal que

                    a    b       c        d           a)   Analizar si " " es una L.C.I en A
               a    c    a       b        a           b)   Indicar cual es el elemento neutro.
               b    a    b       c        d           c)   Hallar, si existe, el inverso de cada elemento de A
               c    d    c       a        b           d)   Determine si " " es conmutativa en A
               d    c    d       b        a

         4) Sea A {a , b , c, d} y " " una operación definida en él tal que:

                    a    b       c        d      Completar la siguiente tabla sabiendo:
               a                                  a) " " es una L.C.I. en A.
               b                 c        b       b) e = a es el elemento neutro.
               c         c       b                c) a’ = a b’ = b c’= d y d’ = c
               d                          c       d) " " es conmutativa en A

         5) Sea A { 1 ; 1} . Analizar si (A , +) y ( A , . ) tiene estructura de grupo siendo “+”
            y “.” la suma y la multiplicación habitual respectivamente.
         6) Sea A {x / x 3n               n   N0} .
             Analizar si (A; .) tiene estructura de grupo siendo “.” la multiplicación habitual.
         7) Indicar V ó F justificando la respuesta
            La ley a * b = a – 2b es asociativa en Z.

         8) Siendo A {x         / x 4} . Analizar si ( A, . ) tiene estructura de grupo
            abeliano y si la adición es ley interna en A
         9) Defina una operación en el conjunto A = {m, p, q, r} que sea ley interna, que tenga
            elemento neutro pero no inverso. Justificar

        10) Sea G {x      / 2 x 2} y " " el producto habitual en Z.
             Probar que (G, ) tiene estructura de grupo abeliano.


Alicia Fraquelli – Andrea Gache                                                                                  1
Algebra – Cátedra Bernardello - FCE                                           2010


                                  Ejercicios Adicionales -Unidad 1
                                             Respuestas
         1) a)   " " es una L.C.I en A
            b)   e = a.
            c)   a’= a , b’= no existe , c’= c
            d)   " " no es conmutativa en A.

         2)

                      a     b     c                          a     b     c
                 a    a     b     c                      a   a     b     c
                 b    b     b     a                      b   b     c     a
                 c    c     a     c                      c   c     a     c


         3) a)   " " es una L.C.I en A
            b)   e = b.
            c)   a’= no existe , b’= b , c’= d , d’= c
            d)   " " no es conmutativa en A

         4)

                      a     b     c     d
                 a    a     b     c     d
                 b    b     a     c     b
                 c    c     c     b     a
                 d    d     b     a     c

         5) (A, +) no es grupo. porque + no es ley interna en A.
            (A, . ) es grupo abeliano

         6) No es grupo, A no es simetrizable para la multiplicación

         7) Falso

         8) El conjunto es A { 4, 3, 2, 1, 0 , 1 , 2 , 3 , 4} entonces ( A, . ) no tiene estructura
            de grupo abeliano , la multiplicación de elementos de A no es ley de composición
            interna
            La adición en A no es ley de composición interna

         9) Sugerencia : Plantee el ejercicio usando una tabla a partir de la cual defina la
             operación

         10) Sugerencia: Se recomienda definir la operación mediante una tabla de doble
             entrada.



Alicia Fraquelli – Andrea Gache                                                                       2

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  • 1. Algebra – Cátedra Bernardello - FCE 2010 Unidad 1 - Estructuras Algebraicas Ejercicios Adicionales de la Unidad 1 1) Sea A {a , b , c } y " " una operación definida en él , tal que : a b c a) Analizar si es " " una L.C.I en A a a b c b) Indicar cual es el elemento neutro. b b c c c) Hallar, si existe, el inverso de cada elemento de A c c b a d) Determine si " " es conmutativa en A. 2) Sea A {a , b , c} y " " una operación definida en él : Completar la siguiente tabla sabiendo: a b c a) " " es una L.C.I. en A. a b) e = a es el elemento neutro. b c) b’ = c y c’ = b c c d) " " es conmutativa en A 3) Sea A {a , b , c , d} y " " una operación definida en él tal que a b c d a) Analizar si " " es una L.C.I en A a c a b a b) Indicar cual es el elemento neutro. b a b c d c) Hallar, si existe, el inverso de cada elemento de A c d c a b d) Determine si " " es conmutativa en A d c d b a 4) Sea A {a , b , c, d} y " " una operación definida en él tal que: a b c d Completar la siguiente tabla sabiendo: a a) " " es una L.C.I. en A. b c b b) e = a es el elemento neutro. c c b c) a’ = a b’ = b c’= d y d’ = c d c d) " " es conmutativa en A 5) Sea A { 1 ; 1} . Analizar si (A , +) y ( A , . ) tiene estructura de grupo siendo “+” y “.” la suma y la multiplicación habitual respectivamente. 6) Sea A {x / x 3n n N0} . Analizar si (A; .) tiene estructura de grupo siendo “.” la multiplicación habitual. 7) Indicar V ó F justificando la respuesta La ley a * b = a – 2b es asociativa en Z. 8) Siendo A {x / x 4} . Analizar si ( A, . ) tiene estructura de grupo abeliano y si la adición es ley interna en A 9) Defina una operación en el conjunto A = {m, p, q, r} que sea ley interna, que tenga elemento neutro pero no inverso. Justificar 10) Sea G {x / 2 x 2} y " " el producto habitual en Z. Probar que (G, ) tiene estructura de grupo abeliano. Alicia Fraquelli – Andrea Gache 1
  • 2. Algebra – Cátedra Bernardello - FCE 2010 Ejercicios Adicionales -Unidad 1 Respuestas 1) a) " " es una L.C.I en A b) e = a. c) a’= a , b’= no existe , c’= c d) " " no es conmutativa en A. 2) a b c a b c a a b c a a b c b b b a b b c a c c a c c c a c 3) a) " " es una L.C.I en A b) e = b. c) a’= no existe , b’= b , c’= d , d’= c d) " " no es conmutativa en A 4) a b c d a a b c d b b a c b c c c b a d d b a c 5) (A, +) no es grupo. porque + no es ley interna en A. (A, . ) es grupo abeliano 6) No es grupo, A no es simetrizable para la multiplicación 7) Falso 8) El conjunto es A { 4, 3, 2, 1, 0 , 1 , 2 , 3 , 4} entonces ( A, . ) no tiene estructura de grupo abeliano , la multiplicación de elementos de A no es ley de composición interna La adición en A no es ley de composición interna 9) Sugerencia : Plantee el ejercicio usando una tabla a partir de la cual defina la operación 10) Sugerencia: Se recomienda definir la operación mediante una tabla de doble entrada. Alicia Fraquelli – Andrea Gache 2