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DERIVADAS: APLICACIONES A LOS NEGOCIOS
                                         Prof. Luis Hernández M.

PARTE I
    1. Utiliza la regla del producto para mostrar que la derivada de la función es la expresión
       escrita a la derecha:
                                                            d f ( p)
       a)   f ( p ) = ( p 5 + 3 p − 4 )(4 p 2 − 5) ⇒                 = 28 p 6 − 25 p 4 + 36 p 2 − 32 p − 15
                                                              dp
                                                dy
       b)   y = (5 + 6 x − x 7 ) ( x 2 + 2 x − 1) ⇒ = −9 x8 − 16 x 7 + 7 x 6 +18 x 2 + 34 x + 4
                                                dx
                                                                                             1
            W = ( 4 m − 2) (4 + 8m − 12m2 ) ⇒ W ' = −27 m + 48m + 10 m − 16 + 4 3
                                                        4   5                 4
       c)
                                                                                             m
                                                dy   3   1    1
       d)   y = ( x +1)( 4 x − 2) ⇒                = 4
                                                       −   +
                                                dx 4 x       4
                                                          x 4 x3


       e)              (            )
            g ( x ) = 6 x − 5 ( x 2 + 4 x − 7 ) ⇒ g ′( x) = 15 x3 − 10 x + 36 x − 20 −
                                                                                                 21
                                                                                                   x

    2. Utiliza la regla del cociente para mostrar que la derivada de la función es la expresión
       escrita a la derecha:
                           −x            df ( x)       1
       a)   f ( x) =            ⇒                =
                           x −1           dx       ( x − 1) 2
                 5x4 + 7 x                      5 x 6 − 54 x 3 − 14
       b)   y=             ⇒             y' =
                  x3 − 2                             ( x 3 − 2) 2
                       2n−3                           dT     14
       c)   T ( n) =          ⇒          T´ (n) =        =
                       4n + 1                         dn ( 4n+1 )2

            8 x 2 − 2 x +1                            8 x 4 − 4 x 3 + 43 x 2 − 16 x − 3
          W= 3             ⇒             W´ = −
                                                             (x       − 5 x +1 )
       d)
            x − 5x + 1                                            3                2




    3. Usando la regla de la cadena para obtener la derivada de la función (la respuesta se
       encuentra escrita a la derecha):
                              5
       a) y = (3 x + 2)                             y' = 15(5 x + 2) 4

       b)   y = ( x 2 − x)3                           y' = 3(2 x − 1)( x 2 − x ) 2


                                                                                                               
(2 x 2 +1) 4
       c)  y=                                         y' = 8 x (2 x 2 + 1)3
                     2
                       4                                            40(6 x − 5)
       d) y =                                         y'= −
              7(3x − 5 x + 2)10
                   2
                                                                 7(3 x 2 − 5 x + 2)11
                                                                    5x2
       e)    y = 5x − 4
                   3     3
                                                      y' =
                                                             3
                                                                 (5 x 3 − 4) 2
                                                                    10 x − 1
       f)    y = 5 x 2 − x + 10                       y'=
                                                             2 5 x 2 − x + 10
                                                                   −3 x
       g)    y = 7 − 3x 2                             y'=
                                                                 7 − 3x 2
                                                      y' = 12( x + 5) 2 + 9
       h) y = 4( x + 5) + 9 x − 3
                       3



             y = 7 x + (2 x + 5)3                     y' = 7 + 6(2 x + 5) 2
       i)


             y = 2 x 4 − 8 x 3 + 3(2 x + 5)5          y' = 8 x 3 − 24 x 2 + 30(2 x + 5) 4
       j)
                  3         2                                     3        24 x 3
       k) y =       +                                 y' = −          −
                 2 x 7 ( x 4 + 2 )3                              2 x 2 7 ( x 4 + 2 )4

                                   3                                      3
       l)   y = 6x + 7 +                              y' = 6 −
                             10 ( 2 x +1)                            ( 2 x +1)
                                            5                                      6


                                                                 68(2 x + 3)3
                               4                      y' = −
               ⎛ 2x + 3 ⎞                                         ( 3x − 4 )
                                                                               5

       m) y = ⎜           ⎟
               ⎝ 3x − 4 ⎠
                  3( x 2 − 10 x − 2)( x 2 + 2) 2                 3( x 2 − 10 x − 2)( x 2 + 2) 2
       n) y' = -                                      y' = −
                             (5 −)                                          (5 − x )
                                   3                                                   4




    4. Determine las derivadas de las siguientes funciones:
                                                        1 − 2x
       (a) f ( x) = 3 x 2 + 2 x ln( x) , (b) f ( x) =          .
                                                         x−3
       Solución:

       (a) f ′( x ) = 6 x + 2 ln x + 2
                       − 2( x − 3) − (1 − 2 x)       5
       (b) f ′( x) =                           =            .
                               ( x − 3) 2
                                                 ( x − 3) 2

    5. Determine las derivadas de las siguientes funciones:



                                                                                                   
(a) h( x) = ( x 3 + 5 x + 1) , (b) f ( x ) = 1 − 2 x .

       Solución:
                     ⎛        1         ⎞ 2              3x 2 + 5
       (a) h′( x) = ⎜                   ⎟ (3x + 5) =                   .
                     ⎝ 2 ( x + 5 x + 1) ⎠            2 ( x3 + 5 x + 1)
                            3


                        −2          −1
       (b) f ′( x) =           =           .
                     2 1 − 2x      1 − 2x

                                        x
    6. Hallar f ′′(x) para f ( x ) =        .
                                       1− x
        Solución:
                                                (1 − x )(1) − ( −1)( x )       1
       La primera derivada es f ′( x) =                                  =            .
                                                       (1 − x ) 2
                                                                           (1 − x ) 2

                                                − 2(1 − x)(−1)       2
       La segunda derivada es f ′′( x) =                       =           .
                                                   (1 − x) 4
                                                                 (1 − x) 3

    7. Determine los puntos (si los hubiese) en los que la tangente a x + y 2 = 1 es perpendicular a
        la recta x + 2 y = 0 .


       Solución:
       Derivamos x + y = 1 , respecto de x : 1 + 2 yy′ = 0
                      2



                                 1                     1
        Despejamos y′ = −           . Igualamos y′ = −    = 2 , que es la pendiente de la perpendicular
                                 2y                    2y
       a la recta x + 2 y = 0 . De aquí se obtiene y = −1 / 4. .

       Luego el punto en el que la tangente a x + y = 1 es perpendicular a la recta x + 2 y = 0 ,
                                                   2

           15 1
       es ( ,− ) .
           16 4
                              x +1               d3y
    8. Para la función: y =         . Encuentre      ( x = 0)
                             2x +1               dx3
                                    




                                                                                                       
PARTE II

    1. El    costo           (en    dólares)      de      x unidades de cierto artículo es
                                                       producir
       C ( x) = 5000 + 10 x + 0.05 x . Halle la razón instantánea de cambio de C con respecto a x ,
                                              2


       cuando x = 100 . (Esto se conoce como costo marginal).

       Solución:
       Derivamos C respecto de x.
        dC                     dC
           = 10 + 2 ⋅ 0.05 x ⇒    (100) = 10 + 2 ⋅ 0.05(100) = 20 Dólares/unidad.
        dx                     dx

    2. El costo total en dólares de producción de x libras de cierta sustancia química esta dado
       por: C ( x ) = 45 + 5 x 2 . Determinar el costo marginal cuando se producen 3 libras de dicha

       sustancia química.
       Solución:

        dC          dC
           = 10 x →                         = 10(3) = $30/unidad extra producida, es decir que, si la
        dx          dx               x =3

       producción se incrementara en una libra, el costo de producción se incrementaría en 30
       dólares.

    3. Un fabricante vende un producto a 3 x + 50 pesos/unidad. Determinar la función del
       ingreso marginal y el ingreso marginal para x = 100.
       Solución:
                                                        dR
        R = px = ( 3x + 50 ) x = 3x 2 + 50 x →             = 6 x + 50
                                                        dx

            dR
        →                  = $650 por unidad extra vendida
            dx   x =100




    4. El costo de producción de x unidades es: C ( x ) = 0.002 x 3 − 0.4 x 2 + 50 x + 100.000.

       Determinar la función de costo marginal y el costo marginal para producir 40 unidades.
       Solución:
       dC
           = 0.006 x 2 − 0.8 x + 50 → C ′ ( x ) = 0.006 x 2 − 0.8 x + 50(función costo marginal)
        dx

            dC
        →                  = 9.6 − 32 + 50 = $27.60 por unid. adicional producida.
            dx    x = 40




                                                                                                        
200 x
    5. La función de ingreso para la venta de un producto es R( x) =                              , donde x es el
                                                                                            x+2
       número de unidades vendidas y R es el ingreso en miles de pesos. Encuentra e interpreta
       el ingreso marginal para x = 8.
       Solución.
                       400
        R ′( x) =              , R ′(8) = $4 mil pesos / unidad extra vendida.
                    ( x + 2) 2

                                                                               720 x
    6. La función de costo para un producto es C ( x) = 120 x +                      , donde x es el número de
                                                                               x +1
       unidades producidas y C es el costo en miles de pesos. Encuentra e interpreta el costo
       marginal para x = 35.
       Solución.
        C ′(35) = $120.56 mil pesos/unidad adicional producida.


    7. Usando la regla del producto, calcular el ingreso marginal de la siguiente función de
       demanda: p = 15 − 0.1x 0.6 − 0.3x 0.3 .
       Solución:
                        dR     ⎛ dx ⎞  ⎛ dp ⎞
        R = px →           = p ⎜ ⎟ + x ⎜ ⎟ → R′( x) = p (1) + xp′( x) = p + xp′( x) .
                        dx     ⎝ dx ⎠  ⎝ dx ⎠

       Ahora bien,

        p′( x ) = −0.06 x −0.4 − 0.09 x −0.7 → R′( x ) = (15 − 0.1x 0.6 − 0.3 x 0.3 ) + x ( −0.06 x −0.4 − 0.09 x −0.7 )

        R′( x) = 15 − 0.1x 0.6 − 0.3x 0.3 − 0.06 x 0.6 − 0.09 x 0.3 = 15 − 0.16 x 0.6 − 0.39 x 0.3 .

       Otra forma de resolverlo:

                                                                                   dR
        R = px = (15 − 0.1x 0.6 − 0.3 x 0.3 ) x = 15 x − 0.1x1.6 − 0.3 x1.3 →         = 15 − 0.16 x 0.6 − 0.39 x 0.3
                                                                                   dx

    8. Usando la regla del producto, calcular el ingreso marginal de la siguiente función de
       demanda: x = 10, 000 − 25 p .

       Solución:
       Primero despejaremos el valor de p: 25 p = 10, 000 − x → 625 p = (10, 000 − x )
                                                                                       2




                                                                                                                            
100 '000, 000 − 20, 000 x + x 2
        625 p = 100′000, 000 − 20, 000 x + x 2 → p =                                       .
                                                                       625

             100 '000, 00 20, 000     1 2
        p=               −        x+     x →           p = 160, 000 − 32 x + 0.0016 x 2 →
                 625       625       625
        dp
           = −32 + 0.0032 x 2
        dx

                                   ⎛ dp ⎞     ⎛ dp ⎞
                        = p (1) + x⎜ ⎟ = p + x⎜ ⎟ = 160,000 − 32 x + 0.0016 x 2 + x(− 32 + 0.0032 x )
                     dR
        R = px →
                     dx            ⎝ dx ⎠     ⎝ dx ⎠
        dR
           = 160,000 − 32 x + 0.0016 x 2 − 32 x + 0.0032 x 2 = 160,000 − 64 x + 0.0048 x 2 .
        dx

       Otra forma de resolverlo:

        R = px = (160,000 − 32 x + 0.0016 x 2 ) x = 160,000 x − 32 x 2 + 0.0016 x3
            dR                                                                     .
        →       = 160,000 − 64 x + 0.0048 x 2
             dx

    9. Una fábrica posee una cantidad de producción de 25 artículos por semana. La experiencia
       ha demostrado que n artículo por semana pueden ser vendidos a un precio de p dólares
       cada uno, donde          p = 110 − 2n , y el costo de producción de n artículos es
        (600 + 10n + n ) dólares. ¿Cuántos artículos deberían fabricarse cada semana a fin de
                       2


       obtener el mayor beneficio?

       Solución:
       El beneficio ( P dólares) en la venta de n artículos es P = np − (600 + 10n + n 2 ) , es decir
        P = 100 n − 600 − 3n 2 . Podemos simplificar los cálculos suponiendo que la función
        f ( x) = 100 x − 600 − 3 x 2 , 0 ≤ x ≤ 25, coincide con la función obtenida anteriormente en
       los valores de x = n enteros.  

       Derivando se obtiene: f ′( x ) = 100 − 6 x. Haciendo            f ′( x ) = 100 − 6 x = 0 , obtenemos:
            50
        x=      ≈ 16, 66. Calculando f (16) y f (17) nos damos cuenta que la elección debe ser
             3
        x = 17 . (¿Cómo sabemos que este valor corresponde el mayor beneficio?)



    10. La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es 10 p + x + 0.01x 2 = 700 y

       la función de costo es C ( x) = 1,000 + 0.01x 2 .


                                                                                                            
Calcular la función utilidad marginal y también evaluar la utilidad marginal para
       a) x = 100          b) p = 10 .


       Solución:
       Sabemos que la utilidad está dada por P( x) = R( x) − C ( x) y que el ingreso es R = px . Por
       lo tanto despejamos p de la ecuación de la demanda y lo multiplicamos por x para obtener
       la función ingreso:

       10 p = 700 − x − 0.01x 2 → p = 70 − 0.1x − 0.001x 2 → R( x) = px = 70 x − 0.1x 2 − 0.001x3

        P( x) = ( 70 x − 0.1x 2 − 0.001x3 ) − (1,000 + 0.01x 2 ) = −0.001x 3 − 0.11x 2 + 70 x − 1,000

        P′( x) = −0.003 x 2 − 0.22 x + 70 . Esta es la función utilidad marginal, para evaluarla en x =
       100 simplemente sustituimos este valor de x en dicha función.

       Para evaluarla en p = 10 tenemos que calcular primero cuánto vale x para ese valor de p
       en la ecuación de la demanda: 10(10) + x + 0.01x 2 = 700. Ordenando la ecuación cuadrática

       nos queda: −0.01x − x + 600 = 0.
                        2




       Resolviendo la ecuación:

             −1 ± 1 − 4(0.01)(−600) −1 ± 1 + 24 −1 ± 25 −1 ± 5   4
        x=                         =           =       =       =   = 200
                    2(0.01)             0.02      0.02   0.02 0.02

       a) P′(100) = −0.003(100)2 − 0.22(100) + 70 = −30 − 22 + 70 = $18 / por unidad adicional

       b) P′(200) = −0.003(200)2 − 0.22(200) + 70 = −120 − 44 + 70 = $94 / por unidad extra .


    11. Los ingresos mensuales de una clínica están determinados por la cantidad de personas que
       son    atendidas,      y   estos    se    calculan     de    acuerdo      al    siguiente    modelo
        I ( p ) = p 3 − 15 p 2 + 63 p, I ( p ) = ingreso cientos de miles, p = en decenas.

       Determine cuantas personas se deben atender para maximizar el ingreso y cuál es el
       ingreso máximo.
       Solución
                                                                                                ⎧p = 7
        I ( p ) = p 3 − 15 p 2 + 63 p → I ' ( p) = 3 p 2 − 30 p + 63 →∴ 3 p 2 − 30 p + 63 = 0 ⇒ ⎨
                                                                                                ⎩p = 3


                                                                                                              
I '' ( p) = 6 p − 30; I '' (7) ≥ 0 ⇒ ( 7, I (7) ) mínimo, I '' (3) ≥ 0 ⇒ ( 3, I (3) ) máximo

    12. Una empresa determina que los ingresos totales de la venta de “x” unidades es
        R( x) = 100 x − 3,5 x 2 y que el costo de producir “x” unidades de dicho producto es
       C ( x ) = 12 x + 35 . Determine:
       a) Los ingresos marginales de la venta.
       b) Los costos marginales de la producción.
       c) Las utilidades marginales respecto al número de unidades “x”, producidas y vendidas.

    13. Sean las funciones económicas de venta de artículos (en miles de pesos)de una empresa:
             Ingresos R ( x ) = ln( x + 1) + 0, 25 x;    Costos C ( x ) = 0, 4 x + 200

           Determine:

       a) Ingresos obtenidos al vender 200 artículos.
       b) Calcule el ingreso marginal al producir 100 artículos.
       c) Calcule la utilidad marginal.

    14. El Departamento de Marketing de cierta empresa ha definido la ganancia de dinero
       obtenida al invertir (x) millones de pesos en publicidad, con la fórmula:
                                           U ( x) = −0,5 x 2 + 14 x + 40

       a) Determine la ganancia de la empresa al invertir 25 millones en publicidad.
       b) Obtenga la ganancia marginal al invertir 12 millones.



    15. Un fabricante ha calculado una función de costo que expresa el costo anual de la compra,
       posesión y mantenimiento del inventario de sus materias primas en términos del tamaño
       de cada pedido. La función de costo está dada por:
                                 C ( q ) = 625.000 q − 1 + 10 q + 150.000

       Donde q es el tamaño de cada pedido (en toneladas) y C el costo anual del inventario.

       a) Determine el tamaño del pedido que minimice el costo anual del inventario.

       b) ¿Cuáles se esperan que sean los mínimos costos de inventario?



                                                                                                        
PARTE III

    1. Encuentre la ecuación de la recta tangente y normal a la curva y = x 4 − 3x 2 + 2, en el
        punto (1, 0)


    2. Dada la curva y = ( 1 / 3 ) x 3 + x 2 − 8 x + 1
        a) Determine y clasifique los puntos críticos.
        b) Determine (si existen) puntos de inflexión.
        Solución:
                                                                                   ⎧x = 2
        y = (1/ 3) x3 + x 2 − 8 x + 1 → y ' = x 2 + 2 x − 8 →∴ x 2 + 2 x − 8 = 0 ⇒ ⎨
                                                                                   ⎩ x = −4

        y '' = 2 x + 2 ⇒ x = −1    Puntos críticos
        y '' (2) ≥ 0 ⇒ ( 2, y (2) ) mínimo
        y '' (−4) ≤ 0 ⇒ ( −4, y (−4) ) máximo

    3. El costo de producir y vender q cantidades de lámparas está dado por:
        C (q) = 0, 25q 2 + 3q + 4 y el ingreso es I ( q ) = ( 5 / 4 ) q 2 − 1 3 q . Determine La utilidad

        mínima dado que U ( q ) = I ( q ) − C ( q ).


    4. El producto nacional bruto (PNB) de cierto país está aumentando con el tiempo de
        acuerdo con la ecuación I = 200 + t (miles de millones de dólares). La población en el
        instante t es P = 80t + 27 (millones). Encontrar la tasa de cambio del ingreso per cápita
                                         dW
        (W) en el instante t, es decir
                                          dt
        Solución:
        Ingreso per cápita = PNB/Población.

                  I   200 + t   dW (80t + 27 )(1) − ( 200 + t )(80)
        → W=        =         →     =
                  P 80t + 27     dt        (80t + 27 )2
        dW 80t + 27 − 16, 000 − 80t     −15,973
            =                       =              2 .
                 ( 80t + 27 )         ( 80t + 27 )
                              2
         dt



                                                                                                         
5. El ingreso per cápita promedio en cierto país al tiempo t es W = 1, 000 + 60t + t 2 (W está
       en dólares y t en años). El tamaño de la población en el instante t (en millones) es
                                                                                                      dI
        P = 4 + 0.1t + 0.01t 2 . Calcule la tasa de cambio del PNB en el instante t, es decir            .
                                                                                                      dt
       Solución:
       PNB = (Ingreso per cápita)(Tamaño de la población)

        → I = WP = (1,000 + 60t + t 2 )(4 + 0.1t + 0.01t 2 ) .

        dI
           = (1,000 + 60t + t 2 )(0.1 + 0.02t ) + (4 + 0.1t + 0.01t 2 )(60 + 2t )
        dt

        dI
           = 100 + 6t + 0.1t 2 + 20t + 1.2t 2 0.02t 3 + 240 + 6t + 0.6t 2 + 8t + 0.2t 2 + 0.02t 3
        dt
        dI
           = 0.04t 3 + 2.1t 2 + 40t + 340.
        dt


    6. La     función       de     ingreso       para     el     producto       de     un      fabricante    es
        R ( x ) = 2 x3 - 90 x 2 + 1, 200 x, 0 ≤ x ≤ 50 , siendo x el número de unidades vendidas y R el

       ingreso en miles de pesos. El fabricante actualmente vende 20 unidades por semana, pero
       está considerando incrementar las ventas a 24 unidades.
       a) Calcula el incremento en el ingreso.
       b) Determina la tasa de cambio promedio del ingreso por las unidades extra vendidas.
       Solución.
       a) Δ R = 4,608 – 4,000 = 608. Es decir $608,000.
        b)TCP = 608/4 = 152. Es decir $152,000/unidad extra vendida.

    7. Para el producto de un monopolista la función de costo total, está dada por
        C ( x ) = 10 x 3 - 60 x 2 + 90 x + 1.200, calcula el incremento en los costos si la producción x

       cambia de 5 a 7 unidades diarias. Determina la tasa de cambio promedio del costo por las
       unidades extra producidas.




                                                                                                                   
8. La función de costo de cierto artículo es C ( x ) = 0.032 x3 − 16 x 2 + 4000 x + 320, 000 , calcula el
        incremento en los costos si la producción x cambia de 100 a 105 unidades. Determina la
        tasa de cambio promedio del costo por las unidades extra producidas.
        Solución.
        Δ C = 600,644 – 592,000 = $8,644. TCP = 8,644/5 = $1,728.80/unidad extra producida.


    9. La función de utilidad de una compañía está dada por P ( x ) = -0.004 x + 40 x - 20 , para
                                                                              2



        0 ≤ x ≤ 65 . El fabricante actualmente produce y vende 50 unidades diariamente, pero
        está considerando incrementar las ventas a 53 unidades.
        a) Calcula el incremento en la utilidad.
        b) Determina la tasa de cambio promedio de la utilidad por las unidades extra vendidas.
        Solución.
        Δ P = $2,088.76 – 1,970 = $118.76 TCP = 118.76/3 = $39.59/ unidad extra producida y
        vendida.


    10. Las ecuaciones de ingreso y de costo de cierto producto de un fabricante son
        R ( q ) = 30q − 0,30q 2 y C ( q ) = 4,5q + 100 respectivamente, donde q es el número de
        unidades.
        a) Calcula los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad si q cambia de
            40 a 42 unidades
        b) Determina la tasa de cambio promedio de la utilidad por unidad extra producida.
        Solución.

        Δ C = 289 – 280 = $9 Δ R = 730.8 – 720 = $10.80 Δ P = 10.8 – 9 = $1.80
        TCP = 1.8/2 = $0.90/ unidad extra producida y vendida.



    11. El volumen de ventas de gasolina (No. de litros vendidos por día) es q = 1, 000 ( 200 − p ) ,

        en donde p es el precio por litro en centavos. Calcular el incremento en el volumen de
        ventas de gasolina que corresponde a un incremento en el precio por litro, de $1.50 a
        $1.60. ¿Cuál es el incremento en el precio?
        Solución



                                                                                                             
Δp = p2 − p1 = 160 − 150 = 10 centavos/litro.

        ⎧q1 = 1, 000(200 − 150) = 50, 000 litros/dia
        ⎨                                            → Δq = q2 − q1 = 40, 000 − 50, 000 = −10, 000
        ⎩q2 = 1, 000(200 − 160) = 40, 000 litros/dia
       litros/día.

       Lo cual quiere decir que al aumentar el precio por litro en 10 centavos, el volumen de
       ventas disminuye en 10,000 litros diarios.


    12. El costo total de la compañía Acme al producir x artículos está dado por:

       C ( x) = 600 + 50 +15 x 2                para 0 ≤ x ≤ 200 . Encuentra la función de costo marginal y
       evalúa el costo marginal cuando se producen 12 unidades.
                                         15 x
       Solución: C ′( x) =                        . C´(12) = $3.83 / unidad extra producida.
                                 50 + 15 x 2

    13. La utilidad semanal de un fabricante por la venta de x tazas está dada por

       P ( x ) = 3 x 3 + 12 x +120 − 200 , donde 0 ≤ x ≤ 2000 .
       a)     Encuentra P(50), P(100),                    P(200) y   P(1,000). ¿Por qué algunos valores son
              negativos?
       b) Encuentra la función de ganancia marginal.
       c) Evalúa e interpreta la utilidad marginal en 50, 100, 200 y 1000 unidades.
            Solución:

             a) P(50) = -$149.90 , P(100) = -$99.96 , P(200) = $0.02 y P(1,000) = $800.00. Los
                 dos primeros son negativos porque para esos niveles de producción y venta no hay
                 ganancias, sino pérdidas. Empieza haber utilidades a partir de una venta de 200
                 unidades.
                                         x2 + 4
             b) P ′( x) =
                                (x       + 12 x + 120 )
                                     3                    2
                            3



             c) P´(50) = $0.9978/unidad extra, P´(100) = $0.99952/u.e., P´(200) = $0.99989/ u.e.,
                 P´(1,000) = $0.9999592/unidad extra. Significa el incremento en la utilidad por
                 cada unidad adicional producida y vendida, para cada nivel de producción.


                                                                                                               
14. Para la gráfica de la función siguiente, expresa si es
       que existen:
        a) Los intervalos de x donde la función es creciente y
       también decreciente.
        b) Las coordenadas de los puntos máximos y mínimos
       relativos o locales de la función.
        c) Los intervalos de x donde la función es cóncava hacia arriba y también hacia abajo.
        d) Las coordenadas de sus puntos de inflexión.
         Solución.

       a) Creciente en el intervalo ( −4, −2 ) ∪ ( −1, ∞ ) ; decreciente en: ( −∞, −4 ) ∪ ( −2, −1)

       b) Punto máximo local: Pmáx (−2, 0) . Puntos mínimos locales: Pmin1 (−4, −4); Pmin 2 (−1, −4) .

       c) Cóncava hacia arriba: ( −∞, −3) ∪ ( −1, ∞ ) ; Cóncava hacia abajo en (-3, -1).

       d) Puntos de inflexión: PInf 1 (−3, −2); PInf 2 (−1, −4) .


    15. Expresa los intervalos abiertos en los que cada función es cóncava hacia arriba o cóncava
       hacia bajo, además encuentra la posición de los puntos de inflexión si es que existen.

         a)     y = x3 − 6 x 2 + 9 x + 1
         Solución.

         Cóncava hacia arriba en (2, ∞ ); cóncava hacia abajo en (- ∞ , 2). Punto de inflexión:
         PInf (2, 3) .


         b) y = x − 6 x + 9 x + 1
                 4     2



         Solución.

         Cóncava arriba en (- ∞ , -1) ∪ (1, ∞ ); Cóncava abajo en (-1, 1). Punto de inflexión:
         PInf 1 (−1, −13); PInf 2 (1,5) .

                      x +1
         c)    y=
                      x −1
         Solución.



                                                                                                          
Cóncava hacia arriba en (1, ∞ ); cóncava hacia abajo en (- ∞ , 1); no tiene puntos de
            inflexión.

    16. Para las funciones siguientes expresa si es que existen:
       a) Los intervalos de x donde la función es creciente y también decreciente.
       b) Las coordenadas de los puntos máximos y mínimos relativos de la función.
       c) Los intervalos de x donde la función es cóncava hacia arriba y también hacia abajo.
       d) Las coordenadas de los puntos de inflexión.
       Con la información anterior bosqueja la gráfica de la función.
                y = 3x − x3   ii) y = − x + 9 x − 54         iii) y = 2 x − 6 x − 48 x + 30
                                         3     2                         3     2
       i)


    17. Una cadena nacional ha encontrado que la publicidad genera ventas, pero que demasiada
       publicidad de un producto tiende a alejar a los consumidores, de manera que las ventas se
       reducen. Con base en experiencias pasadas, la cadena espera que el número N ( s ) de
       cámaras vendidas durante una semana se relacione con la cantidad gastada en publicidad

       por medio de la función: N ( s ) = −3s +135s + 3, 600 s +12, 000, ( 0 ≤ s ≤ 40 ) donde s es
                                             3     2



       la cantidad gastada en publicidad en miles de dólares. ¿Cuál es el punto de rendimiento
       decreciente para el número de cámaras vendidas?
        Respuesta: s = 15 mil dólares.


    18. Una compañía determina que los ingresos R ( s ) por venta en miles de dólares depende de
       s la cantidad gastada en publicidad en miles de dólares por medio de la función
        R ( s ) = 10, 000 − s 3 + 42s 2 + 800s, ( 0 ≤ s ≤ 20 ) . ¿Cuál es el punto de rendimiento

       decreciente para el ingreso por venta?
       Respuesta: s = 14 mil dólares.


    19. Debido a la escasez de materia prima, es cada vez más caro producir puros (habanos) de
       alta calidad. La ganancia en miles de dólares por producir x cientos de miles de puros es
       aproximada por P ( x ) = − x + 28 x + 20 x − 60 donde 0 ≤ x ≤ 20 . Calcula el punto de
                                   3      2



       rendimiento decreciente.


                                                                                                      
Respuesta: x = 9.33 cientos de miles de puros.


    20. Para el producto de un fabricante la función ingreso está dada por r = 240q + 57 q ² − q .
                                                                                                3


       Determine la producción para obtener un ingreso máximo.
       Solución.

       La función es continua para todo número real, ya que se trata de una función polinomio

        r ′ = 240 + 114q − 3q ² = −3(q ² − 38q − 80) = −3(q − 40)(q + 2) .

       Valores críticos: q = −2 y q = 40.

       El valor negativo no tiene sentido, ya que el dominio de la función es q ≥ 0 .

        Si 0 ≤ q < 40 ⇒ r ′ = −3(−)(+ ) > 0 ⇒ r es creciente

        Si q > 40 ⇒ r ′ = −3( + )( + ) < 0 ⇒ r es decreciente

    21. Una compañía que hace relojes digitales tiene las siguientes funciones de ingreso y costo:
        R ( x) = 36 x − 0.0015 x 2 , C ( x ) = 0, 00000034 x 3 − 0, 05 x 2 + 27 x + 25, 000 ,        donde
        0 ≤ x ≤ 12.000
       Expresa en qué intervalo la función de ganancia es positiva y creciente. ¿Cuál es la
       ganancia máxima posible?
       Solución.
       En el intervalo (2000, 8000); Ganancia máxima = $100,000.


    22. Un fabricante vende cuchillos con las siguientes funciones de costo e ingreso, donde x es

                                         vendidos: C ( x) = 4.000 + 4 x, R ( x ) = 20 x − 0.001x ;
                                                                                                2
       el     número    de    juegos                                                                  para
        0 < x < 17.000 Exprese los intervalos donde la función de ganancia es positiva y
       creciente.
       Solución. En el intervalo (254.03, 8000), es decir, entre 254 y 8,000 juegos de cuchillos.




                                                                                                              

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Guiay taller aplicacionesdeladerivada

  • 1. DERIVADAS: APLICACIONES A LOS NEGOCIOS Prof. Luis Hernández M. PARTE I 1. Utiliza la regla del producto para mostrar que la derivada de la función es la expresión escrita a la derecha: d f ( p) a) f ( p ) = ( p 5 + 3 p − 4 )(4 p 2 − 5) ⇒ = 28 p 6 − 25 p 4 + 36 p 2 − 32 p − 15 dp dy b) y = (5 + 6 x − x 7 ) ( x 2 + 2 x − 1) ⇒ = −9 x8 − 16 x 7 + 7 x 6 +18 x 2 + 34 x + 4 dx 1 W = ( 4 m − 2) (4 + 8m − 12m2 ) ⇒ W ' = −27 m + 48m + 10 m − 16 + 4 3 4 5 4 c) m dy 3 1 1 d) y = ( x +1)( 4 x − 2) ⇒ = 4 − + dx 4 x 4 x 4 x3 e) ( ) g ( x ) = 6 x − 5 ( x 2 + 4 x − 7 ) ⇒ g ′( x) = 15 x3 − 10 x + 36 x − 20 − 21 x 2. Utiliza la regla del cociente para mostrar que la derivada de la función es la expresión escrita a la derecha: −x df ( x) 1 a) f ( x) = ⇒ = x −1 dx ( x − 1) 2 5x4 + 7 x 5 x 6 − 54 x 3 − 14 b) y= ⇒ y' = x3 − 2 ( x 3 − 2) 2 2n−3 dT 14 c) T ( n) = ⇒ T´ (n) = = 4n + 1 dn ( 4n+1 )2 8 x 2 − 2 x +1 8 x 4 − 4 x 3 + 43 x 2 − 16 x − 3 W= 3 ⇒ W´ = − (x − 5 x +1 ) d) x − 5x + 1 3 2 3. Usando la regla de la cadena para obtener la derivada de la función (la respuesta se encuentra escrita a la derecha): 5 a) y = (3 x + 2) y' = 15(5 x + 2) 4 b) y = ( x 2 − x)3 y' = 3(2 x − 1)( x 2 − x ) 2    
  • 2. (2 x 2 +1) 4 c) y= y' = 8 x (2 x 2 + 1)3 2 4 40(6 x − 5) d) y = y'= − 7(3x − 5 x + 2)10 2 7(3 x 2 − 5 x + 2)11 5x2 e) y = 5x − 4 3 3 y' = 3 (5 x 3 − 4) 2 10 x − 1 f) y = 5 x 2 − x + 10 y'= 2 5 x 2 − x + 10 −3 x g) y = 7 − 3x 2 y'= 7 − 3x 2 y' = 12( x + 5) 2 + 9 h) y = 4( x + 5) + 9 x − 3 3 y = 7 x + (2 x + 5)3 y' = 7 + 6(2 x + 5) 2 i) y = 2 x 4 − 8 x 3 + 3(2 x + 5)5 y' = 8 x 3 − 24 x 2 + 30(2 x + 5) 4 j) 3 2 3 24 x 3 k) y = + y' = − − 2 x 7 ( x 4 + 2 )3 2 x 2 7 ( x 4 + 2 )4 3 3 l) y = 6x + 7 + y' = 6 − 10 ( 2 x +1) ( 2 x +1) 5 6 68(2 x + 3)3 4 y' = − ⎛ 2x + 3 ⎞ ( 3x − 4 ) 5 m) y = ⎜ ⎟ ⎝ 3x − 4 ⎠ 3( x 2 − 10 x − 2)( x 2 + 2) 2 3( x 2 − 10 x − 2)( x 2 + 2) 2 n) y' = - y' = − (5 −) (5 − x ) 3 4 4. Determine las derivadas de las siguientes funciones: 1 − 2x (a) f ( x) = 3 x 2 + 2 x ln( x) , (b) f ( x) = . x−3 Solución: (a) f ′( x ) = 6 x + 2 ln x + 2 − 2( x − 3) − (1 − 2 x) 5 (b) f ′( x) = = . ( x − 3) 2 ( x − 3) 2 5. Determine las derivadas de las siguientes funciones:    
  • 3. (a) h( x) = ( x 3 + 5 x + 1) , (b) f ( x ) = 1 − 2 x . Solución: ⎛ 1 ⎞ 2 3x 2 + 5 (a) h′( x) = ⎜ ⎟ (3x + 5) = . ⎝ 2 ( x + 5 x + 1) ⎠ 2 ( x3 + 5 x + 1) 3 −2 −1 (b) f ′( x) = = . 2 1 − 2x 1 − 2x x 6. Hallar f ′′(x) para f ( x ) = . 1− x Solución: (1 − x )(1) − ( −1)( x ) 1 La primera derivada es f ′( x) = = . (1 − x ) 2 (1 − x ) 2 − 2(1 − x)(−1) 2 La segunda derivada es f ′′( x) = = . (1 − x) 4 (1 − x) 3 7. Determine los puntos (si los hubiese) en los que la tangente a x + y 2 = 1 es perpendicular a la recta x + 2 y = 0 . Solución: Derivamos x + y = 1 , respecto de x : 1 + 2 yy′ = 0 2 1 1 Despejamos y′ = − . Igualamos y′ = − = 2 , que es la pendiente de la perpendicular 2y 2y a la recta x + 2 y = 0 . De aquí se obtiene y = −1 / 4. . Luego el punto en el que la tangente a x + y = 1 es perpendicular a la recta x + 2 y = 0 , 2 15 1 es ( ,− ) . 16 4 x +1 d3y 8. Para la función: y = . Encuentre ( x = 0) 2x +1 dx3        
  • 4. PARTE II 1. El costo (en dólares) de x unidades de cierto artículo es producir C ( x) = 5000 + 10 x + 0.05 x . Halle la razón instantánea de cambio de C con respecto a x , 2 cuando x = 100 . (Esto se conoce como costo marginal). Solución: Derivamos C respecto de x. dC dC = 10 + 2 ⋅ 0.05 x ⇒ (100) = 10 + 2 ⋅ 0.05(100) = 20 Dólares/unidad. dx dx 2. El costo total en dólares de producción de x libras de cierta sustancia química esta dado por: C ( x ) = 45 + 5 x 2 . Determinar el costo marginal cuando se producen 3 libras de dicha sustancia química. Solución: dC dC = 10 x → = 10(3) = $30/unidad extra producida, es decir que, si la dx dx x =3 producción se incrementara en una libra, el costo de producción se incrementaría en 30 dólares. 3. Un fabricante vende un producto a 3 x + 50 pesos/unidad. Determinar la función del ingreso marginal y el ingreso marginal para x = 100. Solución: dR R = px = ( 3x + 50 ) x = 3x 2 + 50 x → = 6 x + 50 dx dR → = $650 por unidad extra vendida dx x =100 4. El costo de producción de x unidades es: C ( x ) = 0.002 x 3 − 0.4 x 2 + 50 x + 100.000. Determinar la función de costo marginal y el costo marginal para producir 40 unidades. Solución: dC = 0.006 x 2 − 0.8 x + 50 → C ′ ( x ) = 0.006 x 2 − 0.8 x + 50(función costo marginal) dx dC → = 9.6 − 32 + 50 = $27.60 por unid. adicional producida. dx x = 40    
  • 5. 200 x 5. La función de ingreso para la venta de un producto es R( x) = , donde x es el x+2 número de unidades vendidas y R es el ingreso en miles de pesos. Encuentra e interpreta el ingreso marginal para x = 8. Solución. 400 R ′( x) = , R ′(8) = $4 mil pesos / unidad extra vendida. ( x + 2) 2 720 x 6. La función de costo para un producto es C ( x) = 120 x + , donde x es el número de x +1 unidades producidas y C es el costo en miles de pesos. Encuentra e interpreta el costo marginal para x = 35. Solución. C ′(35) = $120.56 mil pesos/unidad adicional producida. 7. Usando la regla del producto, calcular el ingreso marginal de la siguiente función de demanda: p = 15 − 0.1x 0.6 − 0.3x 0.3 . Solución: dR ⎛ dx ⎞ ⎛ dp ⎞ R = px → = p ⎜ ⎟ + x ⎜ ⎟ → R′( x) = p (1) + xp′( x) = p + xp′( x) . dx ⎝ dx ⎠ ⎝ dx ⎠ Ahora bien, p′( x ) = −0.06 x −0.4 − 0.09 x −0.7 → R′( x ) = (15 − 0.1x 0.6 − 0.3 x 0.3 ) + x ( −0.06 x −0.4 − 0.09 x −0.7 ) R′( x) = 15 − 0.1x 0.6 − 0.3x 0.3 − 0.06 x 0.6 − 0.09 x 0.3 = 15 − 0.16 x 0.6 − 0.39 x 0.3 . Otra forma de resolverlo: dR R = px = (15 − 0.1x 0.6 − 0.3 x 0.3 ) x = 15 x − 0.1x1.6 − 0.3 x1.3 → = 15 − 0.16 x 0.6 − 0.39 x 0.3 dx 8. Usando la regla del producto, calcular el ingreso marginal de la siguiente función de demanda: x = 10, 000 − 25 p . Solución: Primero despejaremos el valor de p: 25 p = 10, 000 − x → 625 p = (10, 000 − x ) 2    
  • 6. 100 '000, 000 − 20, 000 x + x 2 625 p = 100′000, 000 − 20, 000 x + x 2 → p = . 625 100 '000, 00 20, 000 1 2 p= − x+ x → p = 160, 000 − 32 x + 0.0016 x 2 → 625 625 625 dp = −32 + 0.0032 x 2 dx ⎛ dp ⎞ ⎛ dp ⎞ = p (1) + x⎜ ⎟ = p + x⎜ ⎟ = 160,000 − 32 x + 0.0016 x 2 + x(− 32 + 0.0032 x ) dR R = px → dx ⎝ dx ⎠ ⎝ dx ⎠ dR = 160,000 − 32 x + 0.0016 x 2 − 32 x + 0.0032 x 2 = 160,000 − 64 x + 0.0048 x 2 . dx Otra forma de resolverlo: R = px = (160,000 − 32 x + 0.0016 x 2 ) x = 160,000 x − 32 x 2 + 0.0016 x3 dR . → = 160,000 − 64 x + 0.0048 x 2 dx 9. Una fábrica posee una cantidad de producción de 25 artículos por semana. La experiencia ha demostrado que n artículo por semana pueden ser vendidos a un precio de p dólares cada uno, donde p = 110 − 2n , y el costo de producción de n artículos es (600 + 10n + n ) dólares. ¿Cuántos artículos deberían fabricarse cada semana a fin de 2 obtener el mayor beneficio? Solución: El beneficio ( P dólares) en la venta de n artículos es P = np − (600 + 10n + n 2 ) , es decir P = 100 n − 600 − 3n 2 . Podemos simplificar los cálculos suponiendo que la función f ( x) = 100 x − 600 − 3 x 2 , 0 ≤ x ≤ 25, coincide con la función obtenida anteriormente en los valores de x = n enteros.   Derivando se obtiene: f ′( x ) = 100 − 6 x. Haciendo f ′( x ) = 100 − 6 x = 0 , obtenemos: 50 x= ≈ 16, 66. Calculando f (16) y f (17) nos damos cuenta que la elección debe ser 3 x = 17 . (¿Cómo sabemos que este valor corresponde el mayor beneficio?) 10. La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es 10 p + x + 0.01x 2 = 700 y la función de costo es C ( x) = 1,000 + 0.01x 2 .    
  • 7. Calcular la función utilidad marginal y también evaluar la utilidad marginal para a) x = 100 b) p = 10 . Solución: Sabemos que la utilidad está dada por P( x) = R( x) − C ( x) y que el ingreso es R = px . Por lo tanto despejamos p de la ecuación de la demanda y lo multiplicamos por x para obtener la función ingreso: 10 p = 700 − x − 0.01x 2 → p = 70 − 0.1x − 0.001x 2 → R( x) = px = 70 x − 0.1x 2 − 0.001x3 P( x) = ( 70 x − 0.1x 2 − 0.001x3 ) − (1,000 + 0.01x 2 ) = −0.001x 3 − 0.11x 2 + 70 x − 1,000 P′( x) = −0.003 x 2 − 0.22 x + 70 . Esta es la función utilidad marginal, para evaluarla en x = 100 simplemente sustituimos este valor de x en dicha función. Para evaluarla en p = 10 tenemos que calcular primero cuánto vale x para ese valor de p en la ecuación de la demanda: 10(10) + x + 0.01x 2 = 700. Ordenando la ecuación cuadrática nos queda: −0.01x − x + 600 = 0. 2 Resolviendo la ecuación: −1 ± 1 − 4(0.01)(−600) −1 ± 1 + 24 −1 ± 25 −1 ± 5 4 x= = = = = = 200 2(0.01) 0.02 0.02 0.02 0.02 a) P′(100) = −0.003(100)2 − 0.22(100) + 70 = −30 − 22 + 70 = $18 / por unidad adicional b) P′(200) = −0.003(200)2 − 0.22(200) + 70 = −120 − 44 + 70 = $94 / por unidad extra . 11. Los ingresos mensuales de una clínica están determinados por la cantidad de personas que son atendidas, y estos se calculan de acuerdo al siguiente modelo I ( p ) = p 3 − 15 p 2 + 63 p, I ( p ) = ingreso cientos de miles, p = en decenas. Determine cuantas personas se deben atender para maximizar el ingreso y cuál es el ingreso máximo. Solución ⎧p = 7 I ( p ) = p 3 − 15 p 2 + 63 p → I ' ( p) = 3 p 2 − 30 p + 63 →∴ 3 p 2 − 30 p + 63 = 0 ⇒ ⎨ ⎩p = 3    
  • 8. I '' ( p) = 6 p − 30; I '' (7) ≥ 0 ⇒ ( 7, I (7) ) mínimo, I '' (3) ≥ 0 ⇒ ( 3, I (3) ) máximo 12. Una empresa determina que los ingresos totales de la venta de “x” unidades es R( x) = 100 x − 3,5 x 2 y que el costo de producir “x” unidades de dicho producto es C ( x ) = 12 x + 35 . Determine: a) Los ingresos marginales de la venta. b) Los costos marginales de la producción. c) Las utilidades marginales respecto al número de unidades “x”, producidas y vendidas. 13. Sean las funciones económicas de venta de artículos (en miles de pesos)de una empresa: Ingresos R ( x ) = ln( x + 1) + 0, 25 x; Costos C ( x ) = 0, 4 x + 200 Determine: a) Ingresos obtenidos al vender 200 artículos. b) Calcule el ingreso marginal al producir 100 artículos. c) Calcule la utilidad marginal. 14. El Departamento de Marketing de cierta empresa ha definido la ganancia de dinero obtenida al invertir (x) millones de pesos en publicidad, con la fórmula: U ( x) = −0,5 x 2 + 14 x + 40 a) Determine la ganancia de la empresa al invertir 25 millones en publicidad. b) Obtenga la ganancia marginal al invertir 12 millones. 15. Un fabricante ha calculado una función de costo que expresa el costo anual de la compra, posesión y mantenimiento del inventario de sus materias primas en términos del tamaño de cada pedido. La función de costo está dada por: C ( q ) = 625.000 q − 1 + 10 q + 150.000 Donde q es el tamaño de cada pedido (en toneladas) y C el costo anual del inventario. a) Determine el tamaño del pedido que minimice el costo anual del inventario. b) ¿Cuáles se esperan que sean los mínimos costos de inventario?    
  • 9. PARTE III 1. Encuentre la ecuación de la recta tangente y normal a la curva y = x 4 − 3x 2 + 2, en el punto (1, 0) 2. Dada la curva y = ( 1 / 3 ) x 3 + x 2 − 8 x + 1 a) Determine y clasifique los puntos críticos. b) Determine (si existen) puntos de inflexión. Solución: ⎧x = 2 y = (1/ 3) x3 + x 2 − 8 x + 1 → y ' = x 2 + 2 x − 8 →∴ x 2 + 2 x − 8 = 0 ⇒ ⎨ ⎩ x = −4 y '' = 2 x + 2 ⇒ x = −1 Puntos críticos y '' (2) ≥ 0 ⇒ ( 2, y (2) ) mínimo y '' (−4) ≤ 0 ⇒ ( −4, y (−4) ) máximo 3. El costo de producir y vender q cantidades de lámparas está dado por: C (q) = 0, 25q 2 + 3q + 4 y el ingreso es I ( q ) = ( 5 / 4 ) q 2 − 1 3 q . Determine La utilidad mínima dado que U ( q ) = I ( q ) − C ( q ). 4. El producto nacional bruto (PNB) de cierto país está aumentando con el tiempo de acuerdo con la ecuación I = 200 + t (miles de millones de dólares). La población en el instante t es P = 80t + 27 (millones). Encontrar la tasa de cambio del ingreso per cápita dW (W) en el instante t, es decir dt Solución: Ingreso per cápita = PNB/Población. I 200 + t dW (80t + 27 )(1) − ( 200 + t )(80) → W= = → = P 80t + 27 dt (80t + 27 )2 dW 80t + 27 − 16, 000 − 80t −15,973 = = 2 . ( 80t + 27 ) ( 80t + 27 ) 2 dt    
  • 10. 5. El ingreso per cápita promedio en cierto país al tiempo t es W = 1, 000 + 60t + t 2 (W está en dólares y t en años). El tamaño de la población en el instante t (en millones) es dI P = 4 + 0.1t + 0.01t 2 . Calcule la tasa de cambio del PNB en el instante t, es decir . dt Solución: PNB = (Ingreso per cápita)(Tamaño de la población) → I = WP = (1,000 + 60t + t 2 )(4 + 0.1t + 0.01t 2 ) . dI = (1,000 + 60t + t 2 )(0.1 + 0.02t ) + (4 + 0.1t + 0.01t 2 )(60 + 2t ) dt dI = 100 + 6t + 0.1t 2 + 20t + 1.2t 2 0.02t 3 + 240 + 6t + 0.6t 2 + 8t + 0.2t 2 + 0.02t 3 dt dI = 0.04t 3 + 2.1t 2 + 40t + 340. dt 6. La función de ingreso para el producto de un fabricante es R ( x ) = 2 x3 - 90 x 2 + 1, 200 x, 0 ≤ x ≤ 50 , siendo x el número de unidades vendidas y R el ingreso en miles de pesos. El fabricante actualmente vende 20 unidades por semana, pero está considerando incrementar las ventas a 24 unidades. a) Calcula el incremento en el ingreso. b) Determina la tasa de cambio promedio del ingreso por las unidades extra vendidas. Solución. a) Δ R = 4,608 – 4,000 = 608. Es decir $608,000. b)TCP = 608/4 = 152. Es decir $152,000/unidad extra vendida. 7. Para el producto de un monopolista la función de costo total, está dada por C ( x ) = 10 x 3 - 60 x 2 + 90 x + 1.200, calcula el incremento en los costos si la producción x cambia de 5 a 7 unidades diarias. Determina la tasa de cambio promedio del costo por las unidades extra producidas.    
  • 11. 8. La función de costo de cierto artículo es C ( x ) = 0.032 x3 − 16 x 2 + 4000 x + 320, 000 , calcula el incremento en los costos si la producción x cambia de 100 a 105 unidades. Determina la tasa de cambio promedio del costo por las unidades extra producidas. Solución. Δ C = 600,644 – 592,000 = $8,644. TCP = 8,644/5 = $1,728.80/unidad extra producida. 9. La función de utilidad de una compañía está dada por P ( x ) = -0.004 x + 40 x - 20 , para 2 0 ≤ x ≤ 65 . El fabricante actualmente produce y vende 50 unidades diariamente, pero está considerando incrementar las ventas a 53 unidades. a) Calcula el incremento en la utilidad. b) Determina la tasa de cambio promedio de la utilidad por las unidades extra vendidas. Solución. Δ P = $2,088.76 – 1,970 = $118.76 TCP = 118.76/3 = $39.59/ unidad extra producida y vendida. 10. Las ecuaciones de ingreso y de costo de cierto producto de un fabricante son R ( q ) = 30q − 0,30q 2 y C ( q ) = 4,5q + 100 respectivamente, donde q es el número de unidades. a) Calcula los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad si q cambia de 40 a 42 unidades b) Determina la tasa de cambio promedio de la utilidad por unidad extra producida. Solución. Δ C = 289 – 280 = $9 Δ R = 730.8 – 720 = $10.80 Δ P = 10.8 – 9 = $1.80 TCP = 1.8/2 = $0.90/ unidad extra producida y vendida. 11. El volumen de ventas de gasolina (No. de litros vendidos por día) es q = 1, 000 ( 200 − p ) , en donde p es el precio por litro en centavos. Calcular el incremento en el volumen de ventas de gasolina que corresponde a un incremento en el precio por litro, de $1.50 a $1.60. ¿Cuál es el incremento en el precio? Solución    
  • 12. Δp = p2 − p1 = 160 − 150 = 10 centavos/litro. ⎧q1 = 1, 000(200 − 150) = 50, 000 litros/dia ⎨ → Δq = q2 − q1 = 40, 000 − 50, 000 = −10, 000 ⎩q2 = 1, 000(200 − 160) = 40, 000 litros/dia litros/día. Lo cual quiere decir que al aumentar el precio por litro en 10 centavos, el volumen de ventas disminuye en 10,000 litros diarios. 12. El costo total de la compañía Acme al producir x artículos está dado por: C ( x) = 600 + 50 +15 x 2 para 0 ≤ x ≤ 200 . Encuentra la función de costo marginal y evalúa el costo marginal cuando se producen 12 unidades. 15 x Solución: C ′( x) = . C´(12) = $3.83 / unidad extra producida. 50 + 15 x 2 13. La utilidad semanal de un fabricante por la venta de x tazas está dada por P ( x ) = 3 x 3 + 12 x +120 − 200 , donde 0 ≤ x ≤ 2000 . a) Encuentra P(50), P(100), P(200) y P(1,000). ¿Por qué algunos valores son negativos? b) Encuentra la función de ganancia marginal. c) Evalúa e interpreta la utilidad marginal en 50, 100, 200 y 1000 unidades. Solución: a) P(50) = -$149.90 , P(100) = -$99.96 , P(200) = $0.02 y P(1,000) = $800.00. Los dos primeros son negativos porque para esos niveles de producción y venta no hay ganancias, sino pérdidas. Empieza haber utilidades a partir de una venta de 200 unidades. x2 + 4 b) P ′( x) = (x + 12 x + 120 ) 3 2 3 c) P´(50) = $0.9978/unidad extra, P´(100) = $0.99952/u.e., P´(200) = $0.99989/ u.e., P´(1,000) = $0.9999592/unidad extra. Significa el incremento en la utilidad por cada unidad adicional producida y vendida, para cada nivel de producción.    
  • 13. 14. Para la gráfica de la función siguiente, expresa si es que existen: a) Los intervalos de x donde la función es creciente y también decreciente. b) Las coordenadas de los puntos máximos y mínimos relativos o locales de la función. c) Los intervalos de x donde la función es cóncava hacia arriba y también hacia abajo. d) Las coordenadas de sus puntos de inflexión. Solución. a) Creciente en el intervalo ( −4, −2 ) ∪ ( −1, ∞ ) ; decreciente en: ( −∞, −4 ) ∪ ( −2, −1) b) Punto máximo local: Pmáx (−2, 0) . Puntos mínimos locales: Pmin1 (−4, −4); Pmin 2 (−1, −4) . c) Cóncava hacia arriba: ( −∞, −3) ∪ ( −1, ∞ ) ; Cóncava hacia abajo en (-3, -1). d) Puntos de inflexión: PInf 1 (−3, −2); PInf 2 (−1, −4) . 15. Expresa los intervalos abiertos en los que cada función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia bajo, además encuentra la posición de los puntos de inflexión si es que existen. a) y = x3 − 6 x 2 + 9 x + 1 Solución. Cóncava hacia arriba en (2, ∞ ); cóncava hacia abajo en (- ∞ , 2). Punto de inflexión: PInf (2, 3) . b) y = x − 6 x + 9 x + 1 4 2 Solución. Cóncava arriba en (- ∞ , -1) ∪ (1, ∞ ); Cóncava abajo en (-1, 1). Punto de inflexión: PInf 1 (−1, −13); PInf 2 (1,5) . x +1 c) y= x −1 Solución.    
  • 14. Cóncava hacia arriba en (1, ∞ ); cóncava hacia abajo en (- ∞ , 1); no tiene puntos de inflexión. 16. Para las funciones siguientes expresa si es que existen: a) Los intervalos de x donde la función es creciente y también decreciente. b) Las coordenadas de los puntos máximos y mínimos relativos de la función. c) Los intervalos de x donde la función es cóncava hacia arriba y también hacia abajo. d) Las coordenadas de los puntos de inflexión. Con la información anterior bosqueja la gráfica de la función. y = 3x − x3 ii) y = − x + 9 x − 54 iii) y = 2 x − 6 x − 48 x + 30 3 2 3 2 i) 17. Una cadena nacional ha encontrado que la publicidad genera ventas, pero que demasiada publicidad de un producto tiende a alejar a los consumidores, de manera que las ventas se reducen. Con base en experiencias pasadas, la cadena espera que el número N ( s ) de cámaras vendidas durante una semana se relacione con la cantidad gastada en publicidad por medio de la función: N ( s ) = −3s +135s + 3, 600 s +12, 000, ( 0 ≤ s ≤ 40 ) donde s es 3 2 la cantidad gastada en publicidad en miles de dólares. ¿Cuál es el punto de rendimiento decreciente para el número de cámaras vendidas? Respuesta: s = 15 mil dólares. 18. Una compañía determina que los ingresos R ( s ) por venta en miles de dólares depende de s la cantidad gastada en publicidad en miles de dólares por medio de la función R ( s ) = 10, 000 − s 3 + 42s 2 + 800s, ( 0 ≤ s ≤ 20 ) . ¿Cuál es el punto de rendimiento decreciente para el ingreso por venta? Respuesta: s = 14 mil dólares. 19. Debido a la escasez de materia prima, es cada vez más caro producir puros (habanos) de alta calidad. La ganancia en miles de dólares por producir x cientos de miles de puros es aproximada por P ( x ) = − x + 28 x + 20 x − 60 donde 0 ≤ x ≤ 20 . Calcula el punto de 3 2 rendimiento decreciente.    
  • 15. Respuesta: x = 9.33 cientos de miles de puros. 20. Para el producto de un fabricante la función ingreso está dada por r = 240q + 57 q ² − q . 3 Determine la producción para obtener un ingreso máximo. Solución. La función es continua para todo número real, ya que se trata de una función polinomio r ′ = 240 + 114q − 3q ² = −3(q ² − 38q − 80) = −3(q − 40)(q + 2) . Valores críticos: q = −2 y q = 40. El valor negativo no tiene sentido, ya que el dominio de la función es q ≥ 0 . Si 0 ≤ q < 40 ⇒ r ′ = −3(−)(+ ) > 0 ⇒ r es creciente Si q > 40 ⇒ r ′ = −3( + )( + ) < 0 ⇒ r es decreciente 21. Una compañía que hace relojes digitales tiene las siguientes funciones de ingreso y costo: R ( x) = 36 x − 0.0015 x 2 , C ( x ) = 0, 00000034 x 3 − 0, 05 x 2 + 27 x + 25, 000 , donde 0 ≤ x ≤ 12.000 Expresa en qué intervalo la función de ganancia es positiva y creciente. ¿Cuál es la ganancia máxima posible? Solución. En el intervalo (2000, 8000); Ganancia máxima = $100,000. 22. Un fabricante vende cuchillos con las siguientes funciones de costo e ingreso, donde x es vendidos: C ( x) = 4.000 + 4 x, R ( x ) = 20 x − 0.001x ; 2 el número de juegos para 0 < x < 17.000 Exprese los intervalos donde la función de ganancia es positiva y creciente. Solución. En el intervalo (254.03, 8000), es decir, entre 254 y 8,000 juegos de cuchillos.