SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 4
Descargar para leer sin conexión
42
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
CAPÍTULO 5
MATRIZ MUDANÇA DE BASE
Definição: Seja V um espaço vetorial e consideremos duas de suas bases }v,...,v,v{B n21= e
}u,...,u,u{C n21= . Podemos escrever os vetores da base C como combinação linear
da base B. Então existem escalares Kaij ∈ , tais que:







+++=
+++=
+++=
nnn2n21n1n
n2n222112
n1n2211111
va...vavau
..................................
va...vavau
va...vavau
:S 2
. A matriz












=
nn2n1n
n22221
n11211
a...aa
............
a...aa
a...aa
P é
chamada de Matriz mudança da base B para C, e denotada por
B
C]M[P = .
OBS: Na matriz mudança de base












=
nn2n1n
n22221
n11211
a...aa
............
a...aa
a...aa
P , as colunas representam as
coordenadas de cada vetor da base C em relação a base B , ou seja,












=












=












=
nn
n2
n1
Bn
2n
22
12
B2
1n
21
11
B1
a
...
a
a
]u[,...,
a
...
a
a
]u[,
a
...
a
a
]u[ . A matriz mudança de base é sempre
inversível.
Exemplo (1): Sejam )}0,1(),1,1{(B = e )}3,4(),2,1{(C −−= duas bases do ℜ2
. Determine a
matriz de mudança da base B para a base C.
Solução: Para determinar
B
C]M[P = , temos que escrever os vetores da base C como combinação
linear da base B. Então:



+=−−
+=
)0,1(d)1,1(c)3,4(
)0,1(b)1,1(a)2,1(
:S . Vamos obter dois sistemas
43
lineares:



=
+=
a2
ba1
e



=−
+=−
c3
dc4
. Resolvendo os sistemas vamos obter






−−
−
=





==
11
32
db
ca
]M[P B
C . Note que, na combinação linear S os escalares
estão em linha e na matriz P eles estão em colunas.
Teorema (1): Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Sejam B e C duas bases de V e P a matriz
de mudança da base B para C. Então:
a) BPC t
⋅=
b) C]P[B 1t
⋅= −
Teorema (2): Seja V um espaço vetorial e B, C e D, três de suas bases. Seja
B
C]M[P = a matriz de
mudança da base B para C e
C
D]M[Q = a matriz de mudança da base C para D.
Então, a matriz de mudança de B para D é
C
D
B
C ]M[]M[QP ⋅=⋅ .
Teorema (3): Seja V um espaço vetorial e B e C, duas de suas bases. Seja
B
C]M[P = a matriz de
mudança da base B para C e .Vv ∈∀ Então:
a) B
1
C ]v[P]v[ ⋅= −
b) CB ]v[P]v[ ⋅=
Exemplo (2): Sejam }t2,2{C += uma base de )(P2 ℜ e 





=
10
22
P a matriz mudança da
base B para a base C. Determine a base B.
Solução: Pelo teorema (1) temos que C]P[B 1t
⋅= −
. Então, 





−
=−
11
0
)P( 2
1
1t
e escrevemos
os vetores da base C, tomando apenas os coeficientes dos polinômios e dispondo-os como
linhas de uma matriz. Assim: 





=





⋅





−
=
10
01
12
02
11
0
B 2
1
, ou seja, a base B é a
base canônica de )(P2 ℜ , isto é, }t,1{B = .
44
É claro que o teorema (1) nos ajuda muito, mas poderíamos resolver este problema
usando a definição da matriz mudança da base de B para C , a qual é constituída dos
escalares, quando escrevemos cada vetor da base C com combinação linear dos vetores
da base B. Seja, então, a base }tbb,taa{B 1o1o ++= . Assim:



+++=+
+++=
)tbb(1)taa(2t2
)tbb(0)taa(22
1o1o
1o1o
⇒



+++=+
+=+
t)bta2()ba2(t12
ta2a2t02
11oo
1o
⇒



=⇒=
=⇒=
0aa20
1aa22
11
o0
e



=⇒+=
=⇒+=
1bba21
0bba22
111
oo0
. Portanto, a base }t,1{B = .
Exemplo (3): Sejam )}1,1(),2,1{(B −= uma base do
2
ℜ e 





=
3
5
3
1
3
2
3
1
P a matriz de mudança
da base B para a base C. Determine as coordenadas do vetor )3,2(v = em relação a
base C.
Solução: Vamos aplicar o teorema (3), onde B
1
C ]v[P]v[ ⋅= −
. Primeiro determinamos as
coordenadas do vetor v em relação a base B. Então: )1,1(b)2,1(a)3,2( −+= ⇒



+=
−=
ba23
ba2
⇒ 





−
=





=
3
1
3
5
B
b
a
]v[ e 





−
−
=−
11
25
P 1
. Assim:






−
⋅





−
−
=
3
1
3
5
C
11
25
]v[ ⇒ 





−
=
2
9
]v[ C
Igualmente ao exemplo (2), poderíamos resolver este problema usando a definição da
matriz mudança da base de B para C e a definição de coordenadas de um vetor. Seja a
base )}d,c(),b,a{(C = . Então:



−=−+=
=−+=
)3,1()1,1()2,1()d,c(
)1,0()1,1()2,1()b,a(
3
5
3
2
3
1
3
1
. Assim,
)}3,1(),1,0{(C −= . Escrevendo as coordenadas do vetor )3,2(v = em relação a base
C, teremos: )3,1()1,0()3,2( −β+α= ⇒



β+α=
β−=
33
2
⇒ 





−
=
2
9
]v[ C
45
Exercícios Propostos
1) Sejam )}1,1(),0,1{(B = , )}2,3(),1,2{(C −= e D, três base do ℜ2
. Seja 





−
=
31
02
Q a
matriz de mudança da base C para a base D. Determine a matriz de mudança da base B para a
base D. Quem é a base D?
Resp: 





−
=
64
35
]M[ B
D e )}6,9(),4,1{(D −=
2) Determine a matriz mudança da base }t21,t3,2{B 2
+−+−= para a base
}t3,tt2,t1{C 22
++−+= . Resp:










−
−−
==
2
1
2
1
4
7
4
13
B
C
0
021
1
]M[P
3) Sejam B a base canônica do espaço )(M 2x2 ℜ e 




−
=
85
32
A . Sabendo que a matriz de
mudança da B para a base C é












−
−
=
1100
0110
0012
0001
P , determine as coordenadas de A em
relação a base C. Quem é a base C?
Resp:












−
−
=
4
12
7
2
]A[ C e












−










 −






=
10
00
,
11
00
,
01
10
,
00
21
C
4) No
3
ℜ , consideremos as bases }g,g,g{Ce}e,e,e{B 321321 == relacionadas da seguinte
forma:





++=
++=
+=
3213
3212
311
ee2eg
eee2g
eeg
. Sabendo que










−
−
=
1
5
2
]v[ B são as coordenadas do vetor v em
relação a base B, determine C]v[ . Resp:










−
−
=
3
1
3
]v[ c
5) Sejam )}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1{(Ce)}1,1,1(),2,4,3(),1,2,1{(B =−= . Verifique que a matriz
de mudança da base B para a base C pode ser determinada por
t1B
C ]BC[]M[P −
⋅== .

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Exercícios Resolvidos: Equação da reta tangente
Exercícios Resolvidos: Equação da reta tangenteExercícios Resolvidos: Equação da reta tangente
Exercícios Resolvidos: Equação da reta tangenteDiego Oliveira
 
Exercícios Resolvidos: Taxa relacionada
Exercícios Resolvidos: Taxa relacionadaExercícios Resolvidos: Taxa relacionada
Exercícios Resolvidos: Taxa relacionadaDiego Oliveira
 
Exercícios Resolvidos: Máximo e minimo absoluto
Exercícios Resolvidos: Máximo e minimo absolutoExercícios Resolvidos: Máximo e minimo absoluto
Exercícios Resolvidos: Máximo e minimo absolutoDiego Oliveira
 
Respostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterle
Respostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterleRespostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterle
Respostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterlesamuelsaocristovao
 
23 integrais triplas
23 integrais triplas23 integrais triplas
23 integrais triplasflanucos1968
 
Exercícios Resolvidos: Reta normal
Exercícios Resolvidos: Reta normalExercícios Resolvidos: Reta normal
Exercícios Resolvidos: Reta normalDiego Oliveira
 
Lei De InduçãO De Faraday
Lei De InduçãO De FaradayLei De InduçãO De Faraday
Lei De InduçãO De Faradaydalgo
 
Lei De Ampere
Lei De AmpereLei De Ampere
Lei De Amperedalgo
 
Resolução Petrobras 2018 - Engenheiro de Petróleo
Resolução Petrobras 2018 - Engenheiro de PetróleoResolução Petrobras 2018 - Engenheiro de Petróleo
Resolução Petrobras 2018 - Engenheiro de PetróleoVictor Sousa e Silva
 
14 produto misto volume paralelepipedo
14 produto misto volume paralelepipedo14 produto misto volume paralelepipedo
14 produto misto volume paralelepipedoRodrigo da Silva
 
Matematica 4 exercicios gabarito 02
Matematica 4 exercicios gabarito 02Matematica 4 exercicios gabarito 02
Matematica 4 exercicios gabarito 02comentada
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Potenciação
www.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Potenciaçãowww.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Potenciação
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - PotenciaçãoAulas De Matemática Apoio
 
Gabarito simulado1 beta_2017
Gabarito simulado1 beta_2017Gabarito simulado1 beta_2017
Gabarito simulado1 beta_2017Edorigan
 

La actualidad más candente (19)

Exercícios Resolvidos: Equação da reta tangente
Exercícios Resolvidos: Equação da reta tangenteExercícios Resolvidos: Equação da reta tangente
Exercícios Resolvidos: Equação da reta tangente
 
Exercícios Resolvidos: Taxa relacionada
Exercícios Resolvidos: Taxa relacionadaExercícios Resolvidos: Taxa relacionada
Exercícios Resolvidos: Taxa relacionada
 
Exercícios Resolvidos: Máximo e minimo absoluto
Exercícios Resolvidos: Máximo e minimo absolutoExercícios Resolvidos: Máximo e minimo absoluto
Exercícios Resolvidos: Máximo e minimo absoluto
 
Respostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterle
Respostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterleRespostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterle
Respostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterle
 
23 integrais triplas
23 integrais triplas23 integrais triplas
23 integrais triplas
 
Exercícios Resolvidos: Reta normal
Exercícios Resolvidos: Reta normalExercícios Resolvidos: Reta normal
Exercícios Resolvidos: Reta normal
 
Vetores
VetoresVetores
Vetores
 
Lei De InduçãO De Faraday
Lei De InduçãO De FaradayLei De InduçãO De Faraday
Lei De InduçãO De Faraday
 
Ed eletricidade-basica
Ed eletricidade-basicaEd eletricidade-basica
Ed eletricidade-basica
 
Lei De Ampere
Lei De AmpereLei De Ampere
Lei De Ampere
 
Resolução Petrobras 2018 - Engenheiro de Petróleo
Resolução Petrobras 2018 - Engenheiro de PetróleoResolução Petrobras 2018 - Engenheiro de Petróleo
Resolução Petrobras 2018 - Engenheiro de Petróleo
 
Integral de linha
Integral de linhaIntegral de linha
Integral de linha
 
14 produto misto volume paralelepipedo
14 produto misto volume paralelepipedo14 produto misto volume paralelepipedo
14 produto misto volume paralelepipedo
 
Matematica 4 exercicios gabarito 02
Matematica 4 exercicios gabarito 02Matematica 4 exercicios gabarito 02
Matematica 4 exercicios gabarito 02
 
Ufbagab mat 2013
Ufbagab mat 2013Ufbagab mat 2013
Ufbagab mat 2013
 
Equações 3
Equações 3Equações 3
Equações 3
 
4ªtarefa
4ªtarefa 4ªtarefa
4ªtarefa
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Potenciação
www.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Potenciaçãowww.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Potenciação
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Potenciação
 
Gabarito simulado1 beta_2017
Gabarito simulado1 beta_2017Gabarito simulado1 beta_2017
Gabarito simulado1 beta_2017
 

Destacado

UBC Phar400 Employment Law-11Oct2013
UBC Phar400 Employment Law-11Oct2013UBC Phar400 Employment Law-11Oct2013
UBC Phar400 Employment Law-11Oct2013Gerry Spitzner
 
We remember the holocaust
We remember the holocaustWe remember the holocaust
We remember the holocaustLuseland School
 
Algebra Linear cap 03
Algebra Linear cap 03Algebra Linear cap 03
Algebra Linear cap 03Andrei Bastos
 
Algebra Linear cap 02
Algebra Linear cap 02Algebra Linear cap 02
Algebra Linear cap 02Andrei Bastos
 
Informe ODM espanol - Hacia un desarrollo sostenible que no deje a nadie atrás
Informe ODM espanol - Hacia un desarrollo sostenible que no deje a nadie atrásInforme ODM espanol - Hacia un desarrollo sostenible que no deje a nadie atrás
Informe ODM espanol - Hacia un desarrollo sostenible que no deje a nadie atrásMovimiento ATD Cuarto Mundo España
 
Mineria en el Ecuador por Liliana Yanchaguano
Mineria en el Ecuador por Liliana YanchaguanoMineria en el Ecuador por Liliana Yanchaguano
Mineria en el Ecuador por Liliana YanchaguanoLilianaYanchaguano
 

Destacado (7)

UBC Phar400 Employment Law-11Oct2013
UBC Phar400 Employment Law-11Oct2013UBC Phar400 Employment Law-11Oct2013
UBC Phar400 Employment Law-11Oct2013
 
We remember the holocaust
We remember the holocaustWe remember the holocaust
We remember the holocaust
 
Algebra Linear cap 03
Algebra Linear cap 03Algebra Linear cap 03
Algebra Linear cap 03
 
Algebra Linear cap 02
Algebra Linear cap 02Algebra Linear cap 02
Algebra Linear cap 02
 
Secuencia fisica 1er bimestre
Secuencia fisica 1er bimestreSecuencia fisica 1er bimestre
Secuencia fisica 1er bimestre
 
Informe ODM espanol - Hacia un desarrollo sostenible que no deje a nadie atrás
Informe ODM espanol - Hacia un desarrollo sostenible que no deje a nadie atrásInforme ODM espanol - Hacia un desarrollo sostenible que no deje a nadie atrás
Informe ODM espanol - Hacia un desarrollo sostenible que no deje a nadie atrás
 
Mineria en el Ecuador por Liliana Yanchaguano
Mineria en el Ecuador por Liliana YanchaguanoMineria en el Ecuador por Liliana Yanchaguano
Mineria en el Ecuador por Liliana Yanchaguano
 

Similar a Algebra Linear cap 05

Gabarito da 4ª lista de geometria
Gabarito da 4ª lista de geometriaGabarito da 4ª lista de geometria
Gabarito da 4ª lista de geometriaProfessor Carlinhos
 
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADA
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAProva do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADA
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAthieresaulas
 
PARTE I – CINEMÁTICA Tópico 5.pdf
PARTE I – CINEMÁTICA Tópico 5.pdfPARTE I – CINEMÁTICA Tópico 5.pdf
PARTE I – CINEMÁTICA Tópico 5.pdfMANOELJOSECOSTA2
 
Mat em geometria analitica sol vol3 cap1
Mat em geometria analitica sol vol3 cap1Mat em geometria analitica sol vol3 cap1
Mat em geometria analitica sol vol3 cap1trigono_metrico
 
Gabarito da lista de triângulos retângulos
Gabarito da lista de triângulos retângulosGabarito da lista de triângulos retângulos
Gabarito da lista de triângulos retângulosProfessor Carlinhos
 
Mat em geometria sol vol3 cap1_4
Mat em geometria sol vol3 cap1_4Mat em geometria sol vol3 cap1_4
Mat em geometria sol vol3 cap1_4trigono_metrico
 
Mat lei dos cossenos resolução
Mat lei dos cossenos resoluçãoMat lei dos cossenos resolução
Mat lei dos cossenos resoluçãotrigono_metrico
 
Intro teoria dos numerros cap4
Intro teoria dos numerros cap4Intro teoria dos numerros cap4
Intro teoria dos numerros cap4Paulo Martins
 
Geometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidosGeometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidoscon_seguir
 
Geometria analítica: ponto, reta e circunferência
Geometria analítica: ponto, reta e circunferênciaGeometria analítica: ponto, reta e circunferência
Geometria analítica: ponto, reta e circunferênciaMarcos Medeiros
 
08 algoritmo de euclides propriedades do m.m.c. e m.d.c.
08 algoritmo de euclides propriedades do m.m.c. e m.d.c.08 algoritmo de euclides propriedades do m.m.c. e m.d.c.
08 algoritmo de euclides propriedades do m.m.c. e m.d.c.luiggi50
 
2 testeformativo11ano201516
2 testeformativo11ano2015162 testeformativo11ano201516
2 testeformativo11ano201516Sónia Alexandre
 
Porto Editora - Maximo - 10 Ano 2019-20 - 1 Teste.pdf
Porto Editora - Maximo - 10 Ano 2019-20 - 1 Teste.pdfPorto Editora - Maximo - 10 Ano 2019-20 - 1 Teste.pdf
Porto Editora - Maximo - 10 Ano 2019-20 - 1 Teste.pdfMatildeSilva37
 

Similar a Algebra Linear cap 05 (20)

áLgebra linear
áLgebra linearáLgebra linear
áLgebra linear
 
Geometria analitica
Geometria analiticaGeometria analitica
Geometria analitica
 
Gabarito da 4ª lista de geometria
Gabarito da 4ª lista de geometriaGabarito da 4ª lista de geometria
Gabarito da 4ª lista de geometria
 
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADA
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAProva do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADA
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADA
 
PARTE I – CINEMÁTICA Tópico 5.pdf
PARTE I – CINEMÁTICA Tópico 5.pdfPARTE I – CINEMÁTICA Tópico 5.pdf
PARTE I – CINEMÁTICA Tópico 5.pdf
 
Mat em geometria analitica sol vol3 cap1
Mat em geometria analitica sol vol3 cap1Mat em geometria analitica sol vol3 cap1
Mat em geometria analitica sol vol3 cap1
 
Gabarito da lista de triângulos retângulos
Gabarito da lista de triângulos retângulosGabarito da lista de triângulos retângulos
Gabarito da lista de triângulos retângulos
 
Mat em geometria sol vol3 cap1_4
Mat em geometria sol vol3 cap1_4Mat em geometria sol vol3 cap1_4
Mat em geometria sol vol3 cap1_4
 
Sf1n3 2018
Sf1n3 2018Sf1n3 2018
Sf1n3 2018
 
Caderno deexercicios1 2
Caderno deexercicios1 2Caderno deexercicios1 2
Caderno deexercicios1 2
 
126 prova ita_2000
126 prova ita_2000126 prova ita_2000
126 prova ita_2000
 
Mat lei dos cossenos resolução
Mat lei dos cossenos resoluçãoMat lei dos cossenos resolução
Mat lei dos cossenos resolução
 
Intro teoria dos numerros cap4
Intro teoria dos numerros cap4Intro teoria dos numerros cap4
Intro teoria dos numerros cap4
 
Apostila de geometria plana exercícios resolvidos - crbrasil
Apostila de geometria plana   exercícios resolvidos - crbrasilApostila de geometria plana   exercícios resolvidos - crbrasil
Apostila de geometria plana exercícios resolvidos - crbrasil
 
Geometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidosGeometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidos
 
Geometria analítica: ponto, reta e circunferência
Geometria analítica: ponto, reta e circunferênciaGeometria analítica: ponto, reta e circunferência
Geometria analítica: ponto, reta e circunferência
 
08 algoritmo de euclides propriedades do m.m.c. e m.d.c.
08 algoritmo de euclides propriedades do m.m.c. e m.d.c.08 algoritmo de euclides propriedades do m.m.c. e m.d.c.
08 algoritmo de euclides propriedades do m.m.c. e m.d.c.
 
2 testeformativo11ano201516
2 testeformativo11ano2015162 testeformativo11ano201516
2 testeformativo11ano201516
 
Porto Editora - Maximo - 10 Ano 2019-20 - 1 Teste.pdf
Porto Editora - Maximo - 10 Ano 2019-20 - 1 Teste.pdfPorto Editora - Maximo - 10 Ano 2019-20 - 1 Teste.pdf
Porto Editora - Maximo - 10 Ano 2019-20 - 1 Teste.pdf
 
Ponto reta
Ponto retaPonto reta
Ponto reta
 

Más de Andrei Bastos

Lógica de programação em ppt
Lógica de programação em pptLógica de programação em ppt
Lógica de programação em pptAndrei Bastos
 
Geometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidosGeometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidosAndrei Bastos
 
Apostila vetores e geometria analitica
Apostila vetores e geometria analiticaApostila vetores e geometria analitica
Apostila vetores e geometria analiticaAndrei Bastos
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 09
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 09GEOMETRIA ANALÍTICA cap 09
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 09Andrei Bastos
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 08
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  08GEOMETRIA ANALÍTICA cap  08
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 08Andrei Bastos
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 07
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  07GEOMETRIA ANALÍTICA cap  07
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 07Andrei Bastos
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 06
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  06GEOMETRIA ANALÍTICA cap  06
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 06Andrei Bastos
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 05
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  05GEOMETRIA ANALÍTICA cap  05
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 05Andrei Bastos
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 04
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  04GEOMETRIA ANALÍTICA cap  04
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 04Andrei Bastos
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 03
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  03GEOMETRIA ANALÍTICA cap  03
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 03Andrei Bastos
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 02
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 02GEOMETRIA ANALÍTICA cap 02
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 02Andrei Bastos
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 01
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  01GEOMETRIA ANALÍTICA cap  01
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 01Andrei Bastos
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 10
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 10GEOMETRIA ANALÍTICA cap 10
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 10Andrei Bastos
 
Algebra Linear cap 07
Algebra Linear cap 07Algebra Linear cap 07
Algebra Linear cap 07Andrei Bastos
 
Algebra Linear cap 06
Algebra Linear cap  06Algebra Linear cap  06
Algebra Linear cap 06Andrei Bastos
 
Algebra Linear cap 01
Algebra Linear cap 01Algebra Linear cap 01
Algebra Linear cap 01Andrei Bastos
 
Algebra Linear cap 09
Algebra Linear cap 09Algebra Linear cap 09
Algebra Linear cap 09Andrei Bastos
 
Java Comunicação Serial
Java Comunicação SerialJava Comunicação Serial
Java Comunicação SerialAndrei Bastos
 
Provas Discursivas UFES 2010
Provas Discursivas UFES 2010Provas Discursivas UFES 2010
Provas Discursivas UFES 2010Andrei Bastos
 
C a linguagem de programação
C   a linguagem de programaçãoC   a linguagem de programação
C a linguagem de programaçãoAndrei Bastos
 

Más de Andrei Bastos (20)

Lógica de programação em ppt
Lógica de programação em pptLógica de programação em ppt
Lógica de programação em ppt
 
Geometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidosGeometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidos
 
Apostila vetores e geometria analitica
Apostila vetores e geometria analiticaApostila vetores e geometria analitica
Apostila vetores e geometria analitica
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 09
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 09GEOMETRIA ANALÍTICA cap 09
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 09
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 08
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  08GEOMETRIA ANALÍTICA cap  08
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 08
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 07
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  07GEOMETRIA ANALÍTICA cap  07
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 07
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 06
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  06GEOMETRIA ANALÍTICA cap  06
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 06
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 05
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  05GEOMETRIA ANALÍTICA cap  05
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 05
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 04
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  04GEOMETRIA ANALÍTICA cap  04
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 04
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 03
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  03GEOMETRIA ANALÍTICA cap  03
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 03
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 02
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 02GEOMETRIA ANALÍTICA cap 02
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 02
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 01
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  01GEOMETRIA ANALÍTICA cap  01
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 01
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 10
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 10GEOMETRIA ANALÍTICA cap 10
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 10
 
Algebra Linear cap 07
Algebra Linear cap 07Algebra Linear cap 07
Algebra Linear cap 07
 
Algebra Linear cap 06
Algebra Linear cap  06Algebra Linear cap  06
Algebra Linear cap 06
 
Algebra Linear cap 01
Algebra Linear cap 01Algebra Linear cap 01
Algebra Linear cap 01
 
Algebra Linear cap 09
Algebra Linear cap 09Algebra Linear cap 09
Algebra Linear cap 09
 
Java Comunicação Serial
Java Comunicação SerialJava Comunicação Serial
Java Comunicação Serial
 
Provas Discursivas UFES 2010
Provas Discursivas UFES 2010Provas Discursivas UFES 2010
Provas Discursivas UFES 2010
 
C a linguagem de programação
C   a linguagem de programaçãoC   a linguagem de programação
C a linguagem de programação
 

Algebra Linear cap 05

  • 1. 42 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR CAPÍTULO 5 MATRIZ MUDANÇA DE BASE Definição: Seja V um espaço vetorial e consideremos duas de suas bases }v,...,v,v{B n21= e }u,...,u,u{C n21= . Podemos escrever os vetores da base C como combinação linear da base B. Então existem escalares Kaij ∈ , tais que:        +++= +++= +++= nnn2n21n1n n2n222112 n1n2211111 va...vavau .................................. va...vavau va...vavau :S 2 . A matriz             = nn2n1n n22221 n11211 a...aa ............ a...aa a...aa P é chamada de Matriz mudança da base B para C, e denotada por B C]M[P = . OBS: Na matriz mudança de base             = nn2n1n n22221 n11211 a...aa ............ a...aa a...aa P , as colunas representam as coordenadas de cada vetor da base C em relação a base B , ou seja,             =             =             = nn n2 n1 Bn 2n 22 12 B2 1n 21 11 B1 a ... a a ]u[,..., a ... a a ]u[, a ... a a ]u[ . A matriz mudança de base é sempre inversível. Exemplo (1): Sejam )}0,1(),1,1{(B = e )}3,4(),2,1{(C −−= duas bases do ℜ2 . Determine a matriz de mudança da base B para a base C. Solução: Para determinar B C]M[P = , temos que escrever os vetores da base C como combinação linear da base B. Então:    +=−− += )0,1(d)1,1(c)3,4( )0,1(b)1,1(a)2,1( :S . Vamos obter dois sistemas
  • 2. 43 lineares:    = += a2 ba1 e    =− +=− c3 dc4 . Resolvendo os sistemas vamos obter       −− − =      == 11 32 db ca ]M[P B C . Note que, na combinação linear S os escalares estão em linha e na matriz P eles estão em colunas. Teorema (1): Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Sejam B e C duas bases de V e P a matriz de mudança da base B para C. Então: a) BPC t ⋅= b) C]P[B 1t ⋅= − Teorema (2): Seja V um espaço vetorial e B, C e D, três de suas bases. Seja B C]M[P = a matriz de mudança da base B para C e C D]M[Q = a matriz de mudança da base C para D. Então, a matriz de mudança de B para D é C D B C ]M[]M[QP ⋅=⋅ . Teorema (3): Seja V um espaço vetorial e B e C, duas de suas bases. Seja B C]M[P = a matriz de mudança da base B para C e .Vv ∈∀ Então: a) B 1 C ]v[P]v[ ⋅= − b) CB ]v[P]v[ ⋅= Exemplo (2): Sejam }t2,2{C += uma base de )(P2 ℜ e       = 10 22 P a matriz mudança da base B para a base C. Determine a base B. Solução: Pelo teorema (1) temos que C]P[B 1t ⋅= − . Então,       − =− 11 0 )P( 2 1 1t e escrevemos os vetores da base C, tomando apenas os coeficientes dos polinômios e dispondo-os como linhas de uma matriz. Assim:       =      ⋅      − = 10 01 12 02 11 0 B 2 1 , ou seja, a base B é a base canônica de )(P2 ℜ , isto é, }t,1{B = .
  • 3. 44 É claro que o teorema (1) nos ajuda muito, mas poderíamos resolver este problema usando a definição da matriz mudança da base de B para C , a qual é constituída dos escalares, quando escrevemos cada vetor da base C com combinação linear dos vetores da base B. Seja, então, a base }tbb,taa{B 1o1o ++= . Assim:    +++=+ +++= )tbb(1)taa(2t2 )tbb(0)taa(22 1o1o 1o1o ⇒    +++=+ +=+ t)bta2()ba2(t12 ta2a2t02 11oo 1o ⇒    =⇒= =⇒= 0aa20 1aa22 11 o0 e    =⇒+= =⇒+= 1bba21 0bba22 111 oo0 . Portanto, a base }t,1{B = . Exemplo (3): Sejam )}1,1(),2,1{(B −= uma base do 2 ℜ e       = 3 5 3 1 3 2 3 1 P a matriz de mudança da base B para a base C. Determine as coordenadas do vetor )3,2(v = em relação a base C. Solução: Vamos aplicar o teorema (3), onde B 1 C ]v[P]v[ ⋅= − . Primeiro determinamos as coordenadas do vetor v em relação a base B. Então: )1,1(b)2,1(a)3,2( −+= ⇒    += −= ba23 ba2 ⇒       − =      = 3 1 3 5 B b a ]v[ e       − − =− 11 25 P 1 . Assim:       − ⋅      − − = 3 1 3 5 C 11 25 ]v[ ⇒       − = 2 9 ]v[ C Igualmente ao exemplo (2), poderíamos resolver este problema usando a definição da matriz mudança da base de B para C e a definição de coordenadas de um vetor. Seja a base )}d,c(),b,a{(C = . Então:    −=−+= =−+= )3,1()1,1()2,1()d,c( )1,0()1,1()2,1()b,a( 3 5 3 2 3 1 3 1 . Assim, )}3,1(),1,0{(C −= . Escrevendo as coordenadas do vetor )3,2(v = em relação a base C, teremos: )3,1()1,0()3,2( −β+α= ⇒    β+α= β−= 33 2 ⇒       − = 2 9 ]v[ C
  • 4. 45 Exercícios Propostos 1) Sejam )}1,1(),0,1{(B = , )}2,3(),1,2{(C −= e D, três base do ℜ2 . Seja       − = 31 02 Q a matriz de mudança da base C para a base D. Determine a matriz de mudança da base B para a base D. Quem é a base D? Resp:       − = 64 35 ]M[ B D e )}6,9(),4,1{(D −= 2) Determine a matriz mudança da base }t21,t3,2{B 2 +−+−= para a base }t3,tt2,t1{C 22 ++−+= . Resp:           − −− == 2 1 2 1 4 7 4 13 B C 0 021 1 ]M[P 3) Sejam B a base canônica do espaço )(M 2x2 ℜ e      − = 85 32 A . Sabendo que a matriz de mudança da B para a base C é             − − = 1100 0110 0012 0001 P , determine as coordenadas de A em relação a base C. Quem é a base C? Resp:             − − = 4 12 7 2 ]A[ C e             −            −       = 10 00 , 11 00 , 01 10 , 00 21 C 4) No 3 ℜ , consideremos as bases }g,g,g{Ce}e,e,e{B 321321 == relacionadas da seguinte forma:      ++= ++= += 3213 3212 311 ee2eg eee2g eeg . Sabendo que           − − = 1 5 2 ]v[ B são as coordenadas do vetor v em relação a base B, determine C]v[ . Resp:           − − = 3 1 3 ]v[ c 5) Sejam )}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1{(Ce)}1,1,1(),2,4,3(),1,2,1{(B =−= . Verifique que a matriz de mudança da base B para a base C pode ser determinada por t1B C ]BC[]M[P − ⋅== .