TRIGONOMETRÍA

1. HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA
LOS ÁNGULOS Y SUS COMPONENTES
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
SENTIDO DE UN ÁNGULO
ÁNGULOS COTERMINALES
SISTEMAS DE MEDICIÓN
CONVERSIÓN DEL SISTEMA DECIMAL AL SEXAGESIMAL
SISTEMA CIRCULAR
GRADOS MINUTOS Y SEGUNDOS
CONVERSIÓN DEL SISTEMA SEXAGESIMAL A DECIMAL
CONVERSIÓN DEL SISTEMA CIRCULAR AL SEXAGESIMAL
CONVERSIÓN DEL SISTEMA SEXAGESIMAL AL CIRCULAR

2. OS NATU
TRIÁNGULOS
COMPONENTES DE UN TRIANGULO
PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
BIBLIOGRAFÍA PITÁGORAS
TEOREMA DE PITÁGORAS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
ÁNGULOS DE REFERENCIA
SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
CIRCUNFERENCIA UNITARIA
CUADRANTES
LEY DEL SENO
LEY DEL COSENO

3. OS NATU
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
ANÁLISIS DE GRÁFICAS
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
IDENTIDADES DE SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS
IDENTIDADES DE ÁNGULOS DOBLES Y MEDIOS
SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES TRIGONOMÉTRICAS
DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

4. HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA
ÁNGULOS Y SUS COMPONENTES
Un ángulo es una abertura que forman dos semirrectas con un punto en común llamado vértice.

5. Los ángulos los puede denotar con letras mayúsculas o con el alfabeto griego.
Los ángulos se pueden clasificar según su medida.
Agudo: Son aquellos que miden menos de 90º.
Recto: Son aquellos que miden 90º.
Obtuso: Son aquellos que miden más de 90º y menos de 180º.
Llano: Son aquellos que miden 180º.
Cóncavos: Son aquellos que miden más de 180ºy menos de 360º.
Vuelta entera: Son aquellos que miden 360º.

6. ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
Un ángulo está en posición normal cuando el vértice de este coincide con el origen del plano cartesiano.
SENTIDO DE UN ÁNGULO.
Según el sentido de rotación podemos determinar si el ángulo es positivo o negativo.

7. ÁNGULOS COTERMINALES
Dos ángulos son coterminales si están en posición normal y tienen el mismo lado terminal.

8. SISTEMAS DE MEDICIÓN
Los sistemas existentes para los ángulos son el sexagesimal y el decimal.
Sistema sexagesimal: Consiste en dividir la circunferencia en 360 partes iguales cada unidad se denomina grado.
Este sistema se puede representar en dos tipos de notación:
 Decimal
 Grados, minutos y segundos.

9. Sistema decimal: Cuando se emplean décimas, centésimas y milésimas de grado al representar un ángulo.
Ejemplo:
GRADOS, MINUTOS Y SEGUNDOS
Para expresar grados, minutos y segundos de un ángulo se utilizan.
Ejemplo:

10. CONVERSIÓN SEXAGESIMAL A DECIMAL
Se tiene en cuenta la siguiente tabla:
Ejemplo: Convertir 50º 32’ 24”
50°32′24"=50°+32( 160) 표 +45( 13600) 표 =50,54° Aprox.
CONVERSIÓN DECIMAL A SEXAGESIMAL
Para convertir decimales a sexagesimal se hace lo siguiente.
Ejemplo: Convertir 50,54° a grados minutos y segundos.
Se multiplican los decimales por 60. (54).(60)=3240
Los dos primeros son los minutos, los otros dos se multiplican por 60. (40).(60)=2400
Los dos primeros es la parte entera de los segundos, y los otros la parte decimal. 50°32′24"

11. SISTEMA CIRCULAR
Este sistema utiliza como unidad el radián que equivale a la medida de un ángulo donde la medida del radio es igual a la medida de la longitud de la circunferencia.
Si se divide la longitud de la circunferencia (S) con el diámetro (d) de esta, se obtiene el valor del número π.
Se despeja “S” para la ecuación de la longitud de la circunferencia.

12. 휋= 푆 푑
La división de la longitud de la circunferencia con el diámetro es π.
푑.휋=푆
Se despeja la longitud de la circunferencia.
2.푟.휋=푆
El diámetro equivale a “2” veces el radio.
La medida del ángulo completo de una circunferencia en radianes es: 훼= 푆 푟
Entonces se puede deducir que una vuelta en radianes es: 훼= 2.푟.휋 푟 =2.휋 푟푎푑
Y un radian en grados equivale a:
2.휋 푟푎푑=360°
Se iguala una vuelta en radianes a una vuelta en grados.
푟푎푑= 360° 2.휋
Se despeja la unidad rad.
푟푎푑≈57.30°
Se divide y se obtiene el valor de un radian en grados.
CONVERSIÓN SISTEMA CIRCULAR A SEXAGESIMAL DECIMAL
Para convertir del sistema circular a sexagesimal decimal, se tiene en cuenta que: 휋 푟푎푑=180°

13. Ejemplo: convertir 3휋푟푎푑 2 a grados.
3휋푟푎푑 2
El ejercicio.
3(180°) 2
Se reemplaza 휋 푟푎푑=180°
540° 2
Se multiplica.
270°
Se simplifica.
CONVERSIÓN SISTEMA SEXAGESIMAL DECIMAL A CIRCULAR
Para convertir del sistema circular a sexagesimal decimal se multiplica por: 휋 180°
Ejemplo: convertir “ 270° ” al sistema circular.
270°
El ejercicio.
270°( 휋 180° )
Se multiplica por 휋 180°
270휋 180= 27휋 18= 3휋 2
Se simplifica.

14. TRIÁNGULOS
Los triángulos es el polígono o figura plana más pequeño que se puede construir, cuanta con tres lados y tres ángulos internos, estos se pueden clasificar según sus lados o según la medida de sus ángulos internos.
Según sus lados:
Equilátero: Sus tres ángulos y sus tres lados son iguales.
푎=푏=푐 퐴=퐵=퐶

15. Isósceles: Tienen dos ángulos y dos lados iguales. 푏=푐 퐵=퐶
Escaleno: sus lados y ángulos son diferentes. 푎≠푏≠푐 퐴≠퐵≠퐶
Según sus ángulos:
Acutángulo: sus tres ángulos son agudos. 퐴<90° 퐵<90° 퐶<90°
Rectángulo: tiene un ángulo recto (90º) 퐴+퐵<90° 퐶=90°
Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso.
90°<퐶<180°

16. LOS COMPONENTES DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
Hipotenusa: es el lado opuesto al ángulo recto (90º) y el de mayor tamaño.
Catetos: son los lados que forman el ángulo recto.
PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
퐴<퐵+퐶 퐴>퐵−퐶
2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180.
퐴+퐵+퐶=180°

17. 3. El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
퐴+퐵=퐷
4. En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.
퐴<퐵<퐶 푎<푏<푐
5. Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.
푏=푐 퐵=퐶

18. PITÁGORAS
Pitágoras de Samos (en griego antiguo Πυθαγόρας) (ca. 580 a. C. – ca. 495 a. C.) fue un filósofo y matemático griego considerado el primer matemático puro. Contribuyó de manera significativa en el avance de la matemática helénica, la geometría y la aritmética, derivadas particularmente de las relaciones numéricas, y aplicadas por ejemplo a la teoría de pesos y medidas, a la teoría de la música o a la astronomía. Es el fundador de la Hermandad Pitagórica, una sociedad que, si bien era de naturaleza predominantemente religiosa, se interesaba también en medicina, cosmología, filosofía, ética y política, entre otras disciplinas. El pitagorismo formuló principios que influyeron tanto en Platón como en Aristóteles y, de manera más general, en el posterior desarrollo de la matemática y en la filosofía racional en Occidente.
No se conserva ningún escrito original de Pitágoras. Sus discípulos - los pitagóricos- invariablemente justificaban sus doctrinas citando la autoridad del maestro de forma indiscriminada, por lo que resulta difícil distinguir entre los hallazgos de Pitágoras y los de sus seguidores. Se le atribuye a Pitágoras la teoría de la significación funcional de los números en el mundo objetivo y en la música; otros descubrimientos, como la inconmensurabilidad del lado y la diagonal del cuadrado o el teorema de Pitágoras para los triángulos rectángulos, fueron probablemente desarrollados por la escuela pitagórica. https://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras

19. TEOREMA DE PITÁGORAS.
Existen muchas demostraciones para el teorema de Pitágoras, aquí hay dos ejemplos:
Por áreas de cuadrados:
Se forman cuadrados de “3”, “4” y “5” de lado.
Se encuentra el área de cada uno de los cuadrados. 퐴=푏.ℎ
퐴1=푏.ℎ=(3)(3)=9 퐴2=푏.ℎ=(4)(4)=16 퐴3=푏.ℎ=(5)(5)=25
Se forma un triángulo rectángulo con las figuras.
Se observa que la suma de las dos áreas pequeñas es igual al área grande.
퐴1+퐴2=퐴3
En conclusión se puede afirmar el teorema de Pitágoras.
푎2+푏2=푐2

20. Aplicando el Algebra
Se forman cuadrados de “3”, “4” y “5” de lado.
Se divide los lados por segmentos “a” y “b”.
Se unen los puntos formando un cuadrado interno de lado “c”.

21. Se halla el área total.
Se halla el área individual.

22. 퐴2=4( 푎푏 2)+푐2 퐴2=2푎푏+푐2
Se igualan las áreas. 퐴1=퐴2 (푎+푏)2=2푎푏+푐2 푎2+2푎푏+푏2=2푎푏+푐2 푎2+푏2=푐2

23. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Una razón trigonométrica es una razón de las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo, para determinarlas se debe conocer los componentes de un triángulo rectángulo.
Las razones trigonométricas son:
Seno (Sen): es la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa, y se denota como: Sen휃= 퐶푂 퐻퐼푃
Coseno (Cos): es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa, y se denota como: Cos휃= 퐶퐴 퐻퐼푃
Tangente (Tan): es la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente, se denota como: Tan휃= 퐶푂 퐶퐴

24. Existen razón trigonométricas inversas a estas y son:
Inversa del seno
Inversa del coseno
Inversa de tangente.
Csc휃= 퐻퐼푃 퐶푂
Sec휃= 퐻퐼푃 퐶퐴
Ctg휃= 퐶퐴 퐶푂
El prefijo "co" que acompaña a las relaciones coseno, cotangente y cosecante, se debe a que corresponde a seno, tangente y secante del ángulo complementario y se tienen, por tanto las siguientes relaciones.
Sean “A”y “B” dos ángulos complementarios es decir: 퐴+퐵=90°
Entonces: 퐶표푠 퐴=푆푒푛 (90°−퐴)=푆푒푛퐵 퐶푡푔 퐴=푇푎푛 (90°−퐴)=푇푎푛퐵 퐶푠푐 퐴=푆푒푐 (90°−퐴)=푆푒푐퐵
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30° 45° Y 60°

25. Para determinar las razones trigonométricas de los ángulos de 30° 45° y 60° se tienen en cuenta los triángulos anteriores.
Sen
Cos
Tan
Ctg
Sec
Csc
30°
12
√32
√33
√3
2√33
2
45°
√22
√22
1
1
√2
√2
60°
√32
12
√3
√33
2
2√33

26. CIRCUNFERENCIA UNITARIA
La circunferencia unitaria también llamada goniométrica , su radio es 1 y tiene centro en el origen.
Hallando las razones trigonométricas se obtiene:
퐶표푠 휃= 푥 1=푥
푆푒푛 휃= 푦 1=푦
푇푎푛 휃= 푦 푥 = 푆푒푛 휃 퐶표푠 휃
퐶푡푔 휃= 푥 푦 = 퐶표푠 휃 푆푒푛 휃
푆푒푐 휃= 1 푥 = 1 퐶표푠 휃
퐶푠푐 휃= 1 푦 = 1 푠푒푛 휃

27. La circunferencia unitaria nos permite encontrar el valor de las razones trigonométricas para ángulos de 0°, 90°, 180°, 270° y 360°.
Sen
Cos
Tan
Cot
Sec
Csc
0°-360°
0
1
0
Error
1
Error
90°
1
0
Error
0
Error
1
180°
0
-1
0
Error
-1
Error
270°
-1
0
Error
0
Error
-1
CUADRANTES
El plano cartesiano está dividido en cuatro partes iguales llamados cuadrantes, donde se pueden representar los ángulos utilizando como eje el origen y el lado inicial en la ordenada.

28. Teniendo en cuenta las razones trigonométricas en la circunferencia unitaria, y la posición de los ángulos en los diferentes cuadrantes, se puede determinar el valor y el signo de estas.
Sen
Cos
Tan
Cot
Sec
Csc
I
+
+
+
+
+
+
II
+
-
-
-
-
+
III
-
-
+
+
-
-
IV
-
+
-
-
+
-

29. ÁNGULOS DE REFERENCIA
Se llama ángulo de referencia de un ángulo “A”, al ángulo agudo “B” formado por el lado terminal de “A” y el eje de las ordenadas (eje x).
Para hallar ángulos en los diferentes cuadrantes se tiene en cuenta el ángulo de referencia y los signos de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes.
Ejemplo: hallar las razones trigonométricas para 210°.

30. Se halla las razones para el ángulo de 30° y se le asigna el signo a la razón en el III cuadrante. 푠푒푛 210°= −푠푒푛 30°=− 12 푐표푠 210°= −푐표푠 30°=− √32 푇푎푛 210°= 푇푎푛 30°= √33 퐶푡푔210°= 퐶푡푔 30°=− 12 푆푒푐 210°=− 푆푒푐 30°=− √32 퐶푠푐 210°= −퐶푠푐 30°= √33

31. SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Resolver un triángulo rectángulo significa encontrar las medidas de los ángulos y de sus lados, y para ellos es necesario tener:
Cuando se tienen dos lados
● Se halla el otro lado utilizando el teorema de Pitágoras.
● Para hallar el ángulo se utilizan las razones trigonométricas.
Ejemplo:
Se halla el lado faltante con el teorema de Pitágoras. 푐2=푎2 +푏2
푐2=202 +152→푐2=400+225→푐2=625 푐=√625=25
Se halla uno de los ángulos utilizando las razones trigonométricas. 푇푎푛퐴= 퐶푂 퐶퐴 = 20푚 15푚 = 43
Se aplica función inversa para encontrar el valor del ángulo.

32. 푇푎푛−1(푇푎푛퐴)=푇푎푛−1( 43) 퐴=푇푎푛−1( 43)=53.13°
Se encuentra el valor del otro ángulo teniendo en cuenta la propiedad de los triángulos que dice 퐴+퐵+퐶=180° 53.13°+90°+퐶=180°→퐶=180°−53.13°−90° 퐶=36.87°
Cuando se tiene un ángulo y un lado
● Se halla el ángulo utilizando la propiedad del ángulo complementario.
● Se utiliza la razón trigonométrica que involucre el lado que se tiene.
● Se utiliza el teorema de Pitágoras para encontrar el lado faltante.
Ejemplo:

33. Se halla el ángulo faltante con la propiedad de los ángulos complementarios. 퐴+퐵+퐶=180°→30°+90°+퐶=180° 퐶=180°−30°−90°→퐶=60°
Se halla un lado utilizando las razones trigonométricas.
푆푒푛30°= 퐶푂 퐻퐼푃 →푆푒푛30°= 5 푐 →푐.푆푒푛30°=5→푐= 5 푆푒푛30° 푐=10
Se halla el otro lado utilizando el Teorema de Pitágoras.
푐2=푎2 +푏2→102=52 +푏2→100=25 +푏2 100−25= 푏2→75= 푏2→√75=푏

34. SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
Para solucionar triángulos no rectángulos se utiliza la ley de senos y la ley de cosenos.
Ley de senos
Se utiliza cuando los triángulos no rectángulos tienen las siguientes características.
● Cuando se tiene 2 lados y un ángulo que no esté comprendido por los lados.
● Cuando tienen dos ángulos y un lado opuesto a alguno de los ángulos.
Para la demostración de la ley del seno se tiene en cuenta la siguiente figura.

35. Se halla “Sen A” y “Sen C” 푆푒푛 퐴= ℎ 푐 →푆푒푛 퐶= ℎ 푎
Se despeja “h” en ambas ecuaciones y se igualan.
푐.푆푒푛 퐴=ℎ 푎.푆푒푛 퐶=ℎ 푐.푆푒푛 퐴= 푎.푆푒푛 퐶
Organizando se obtiene que: 푆푒푛 퐴 푎 = 푆푒푛 퐶 푐
Haciendo un proceso similar con la otra altura, se obtiene la ley del seno. 푆푒푛 퐴 푎 = 푆푒푛 퐵 푏 = 푆푒푛 퐶 푐
Ejemplo: cuando se tiene dos ángulos y un lado.

36. Se organizan los datos.
A
A
43°
B
5cm
B
C
C
30°
Cuando se tienen dos ángulos es más fácil empezar hallando el ángulo faltante. 퐴+퐵+퐶=180° 43°+퐵+30°=180° 퐵=180°−43°−30° 퐵=107°
En este caso como se tiene el lado “b” y el Angulo “B” se utiliza para hallar los lados faltantes.
푆푒푛퐵 푏 = 푆푒푛퐴 푎 푆푒푛107° 5= 푆푒푛43° 푎 푎.푆푒푛107°=5.푆푒푛43° 푎= 5.푆푒푛43° 푆푒푛107° 푎=3.6
푆푒푛퐵 푏 = 푆푒푛퐶 푐 푆푒푛107° 5= 푆푒푛30° 푐 푐.푆푒푛107°=5.푆푒푛30° 푐= 5.푆푒푛30° 푆푒푛107° 푎=2.6

37. Ejemplo: cuando se tienen dos lados y un ángulo.
Se organizan los datos.
a
20cm
A
30°
b
40cm
B
c
C
En este caso como se tiene el lado “a” el ángulo “A” y el lado “b”, se halla el ángulo “B”.
푆푒푛퐵 푏 = 푆푒푛퐴 푎 푆푒푛퐵 40= 푆푒푛30° 20 푆푒푛퐵= 40.푆푒푛30° 20 푆푒푛퐵=1 퐵=푆푒푛−1(1) 퐵=90

38. Ya teniendo dos ángulos se halla el ángulo faltante. 퐴+퐵+퐶=180° 30°+90°+퐶=180° 퐶=180°−90°−30° 퐶=60°
Se halla el lado faltante. 푆푒푛퐶 푐 = 푆푒푛퐴 푎 푆푒푛60° 푐 = 푆푒푛30° 20 20.푆푒푛60°=푐.푆푒푛30° 푐= 20.푆푒푛60° 푆푒푛30° 푐=34.64

39. LEY DE COSENOS
La ley del coseno es una ley que nos permite solucionar triángulos no rectángulos que tienen las siguientes características.
● Cuando se tienen los 3 lados.
● Cuando tienen dos lados y un lado comprendido entre ellos.
Para demostrar la ley del coseno se tiene en cuenta el siguiente triángulo:
Se separan los triángulos

40. Se aplica el teorema de Pitágoras a cada uno de los triángulos.
푐2=푚2+ℎ2 푎2=(푏−푚)2+ℎ2
Se despeja “ℎ2” en ambas ecuaciones y se igualan.
푐2=푚2+ℎ2
푐2−푚2=ℎ2
푎2=(푏−푚)2+ℎ2 푎2−(푏−푚)2=ℎ2
푐2−푚2=푎2−(푏−푚)2 푐2−푚2=푎2−(푏2−2푏푚+푚2) 푐2−푚2=푎2−푏2+2푏푚−푚2 푐2=푎2−푏2+2푏푚
Se despeja “푎2”. 푐2+푏2−2푏푚=푎2
Se halla “CosA”, se despeja “m”. se reemplaza en la ecuación anterior. 퐶표푠퐴= 푚 푐 푐.퐶표푠퐴=푚
Se reemplaza en la ecuación anterior.

41. 푐2+푏2−2푏.푐.퐶표푠퐴=푎2
En conclusión: 푐2+푏2−2푏.푐.퐶표푠퐴=푎2 푎2+푐2−2푏.푐.퐶표푠퐵=푏2 푎2+푏2−2푏.푐.퐶표푠퐶=푐2
Ejemplo: cuando se tienen tres lados.
Se organizan los datos.
a
5cm
A
b
6cm
B
c
4cm
C
Se halla cualquiera dos de los ángulos utilizando la ley del coseno.
Se halla el ángulo A
Se halla el ángulo B
푐2+푏2−2푏.푐.퐶표푠퐴=푎2 (4)2+(6)2−2(6).(4).퐶표푠퐴=(5)2
푎2+푐2−2푎.푐.퐶표푠퐵=푏2 (5)2+(4)2−2(5).(4).퐶표푠퐵=(6)2

42. 16+36−48퐶표푠퐴=25 52−48퐶표푠퐴=25 −48퐶표푠퐴=25−52 −48퐶표푠퐴=−27 퐶표푠퐴= −27−48 퐶표푠퐴=0.56 퐴=퐶표푠−1(0.56) 퐴=55.94°
25+16−40퐶표푠퐵=36 41−40퐶표푠퐵=36 −40퐶표푠퐵=36−41 −40퐶표푠퐵=−27 퐶표푠퐵= −27−40 퐶표푠퐵=0.67 퐵=퐶표푠−1(0.67) 퐵=47.55°
Teniendo dos ángulos se halla el ángulo faltante. 퐴+퐵+퐶=180° 55.94°+47.55°+퐶=180° 퐶=180°−55.94°−47.55° 퐶=76.51°
Ejemplo: cuando se tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Se organizan los datos.

43. a
A
55°
b
20cm
B
c
15cm
C
Se utiliza ley del coseno que involucre el ángulo dado, en este caso “A”. 푐2+푏2−2푏.푐.퐶표푠퐴=푎2 (15)2+(20)2−2(15).(20).퐶표푠55°=푎2 225+400−600.퐶표푠55°=푎2 625−600.퐶표푠55°=푎2 625−344,15=푎2 200.85=푎2 16.76=푎
Se utiliza la ley del coseno para encontrar el otro ángulo. 푎2+푐2−2푎.푐.퐶표푠퐵=푏2 (16.76)2+(15)2−2(15).(16.76).퐶표푠퐵=(20)2 505.9−502.8퐶표푠퐵=400 625−502.8퐶표푠퐵=400 −502.8퐶표푠퐵=400−625 −502.8퐶표푠퐵=225 퐶표푠퐵=− 225502.8 퐶표푠퐵=−0.45 퐵=퐶표푠−1(−0.45)=63.42

44. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Para realizar las gráficas de las funciones trigonométricas se tabula y se representa en el plano cartesiano, donde la unidad del eje “x” es radianes o grados y en el eje “y” números reales. 푓(푥)=푆푒푛푥 푥 0 휋 6 휋 3 휋 2 2휋 3 5휋 6 휋 7휋 6 4휋 3 3휋 2 5휋 3 11휋 6 2휋 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360° 푓(푥)
0
0.5
0.86
1
0.86
0.5
0
-0.5
-0.86
-1
-0.86
-0.5
0

45. 푓(푥)=퐶표푠푥 푥 0 휋 6 휋 3 휋 2 2휋 3 5휋 6 휋 7휋 6 4휋 3 3휋 2 5휋 3 11휋 6 2휋 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360° 푓(푥)
1
0.86
0.5
0
-0.5
-0.86
-1
-0.86
-0.5
0
0.5
0.86
1
푓(푥)=푇푎푛푥 푥 0 휋 6 휋 3 휋 2 2휋 3 5휋 6 휋 7휋 6 4휋 3 3휋 2 5휋 3 11휋 6 2휋 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360° 푓(푥)
0
0.6
1.7
E
-1.7
-0.6
0
0.6
1.7
E
-1.7
0.6
0

46. Asíntotas verticales. 푥=90° 푥=270°
Dominio:푅−{0°푛} siendo “n” impar.
Rango: “푅” Es una función impar.
Es periódica con periodo 180°.
Corta el eje “x” en los múltiplos de 180°.
푓(푥)=퐶푡푔푥
푥 0 휋 6 휋 3 휋 2 2휋 3 5휋 6 휋 7휋 6 4휋 3 3휋 2 5휋 3 11휋 6 2휋 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360° 푓(푥)
E
1.7
0.6
0
-0.6
-1.7
E
1.7
0.6
0
-0.6
-1.7
E

47. Asíntotas verticales. 푥=0 푥=180° 푥=360°
Dominio:푅−180°푛 siendo “n” par.
Rango: “푅” Es una función impar.
Es periódica con periodo 180°.
Corta el eje “x” en los múltiplos de 90°.
푓(푥)=퐶푠푐푥 푥 0 휋 6 휋 3 휋 2 2휋 3 5휋 6 휋 7휋 6 4휋 3 3휋 2 5휋 3 11휋 6 2휋 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360° 푓(푥)
E
2
1.2
1
1.2
2
E
-2
-1.1
-1
-1.1
-2
E

48. Asíntotas verticales. 푥=0 푥=180° 푥=360°
Dominio:푅−180°푛 siendo “n” par.
Rango: “푅−[−1,1] ” Es una función impar.
Es periódica con periodo 360°.
No corta el eje “x”.
ANÁLISIS DE GRÁFICAS.
Una función según su forma o modificación que se le haga a la variable independiente se manifiestan traslaciones, rotaciones, compresiones, alargamientos cambios en la amplitud, cambios en el periodo y cambios en la fase.
Traslación vertical.
Una función se traslada verticalmente cuando tiene la forma 푦=푓(푥)+푎
Donde si 푎>0 se desplaza “a” hacia arriba en todos los puntos de la función. Si 푎<0 se desplaza “a” hacia abajo en todos los puntos de la función.
Ejemplo: Graficar las funciones
푦=푓(푥)=푆푒푛푥+2 푦=푓(푥)=푆푒푛푥−2

49. Traslación horizontal
Una función se traslada horizontalmente cuando tiene la forma: 푦=푓(푥−푎)
Donde sí “ 푎>0” se desplaza “a” hacia derecha en todos los puntos de la función.
Si “ 푎<0” se desplaza “a” hacia la izquierda en todos los puntos de la función.
Ejemplo: Graficar las funciones
푦=퐶표푠(푥+90°) 푦=퐶표푠(푥−90°)

50. Reflexión en el eje “y”
Una función se refleja con el eje “y” cuando tiene la forma: 푦=푓(−푥)
Se cambia el signo a los valores de la variable independiente (x), reflejándose con un eje de las “y”.

51. Ejemplo: graficar la función 푦=푐표푠(−푥)
Reflexión con el eje “x”
Una función se refleja con el eje “x” cuando tiene la forma: 푦=−푓(푥)
Se cambia el signo de los valores de la variable dependiente “y”, reflejándose con el eje de las “x”.
Ejemplo: Graficar la función 푦=−푐표푠푥

52. Compresión y alargamiento horizontal
Una función se comprime o se alarga horizontalmente si tiene la forma: 푦=푓(푎푥)
Si “ 0<푎<1 ” es un alargamiento horizontal.
Si “ 푎>1 ” es una compresión horizontal.
Ejemplo: graficar las funciones 푦=푆푒푛2푥 y 푦=푆푒푛 푥 2

53. Compresión y alargamiento vertical.
Una función se comprime o se alarga horizontalmente si tiene la forma: 푦=퐴푓(푥)
Donde “A” es la amplitud de la función, e indica hasta donde sube o baja la función.
Ejemplo: graficar la función 푦=3퐶표푠푥

54. Periodo
El periodo de una función es lo que tarda la función en repetirse.
Sea: 푦=퐴퐶표푠퐵 , Donde “A” es la amplitud y “B” es el alargamiento o compresión horizontal, “B>0”, y el periodo es:
푇= 2휋 퐵
Ejemplo: graficar la función 푦=퐶표푠2푥

55. 푦=푓(푥)=퐶표푠푥 푦=푓(푥)=퐶표푠2푥
El periodo de la función es: 푇= 2휋 2=휋
Desfase
Es la distancia que esta desplazada la gráfica del origen, y se determina: 푦=퐴퐶표푠(퐵푥+퐶)
Donde “A” es la amplitud de la función, “B” es el alargamiento o compresión horizontal para “B>0”, el desfase es: 푑푒푠푓푎푐푒= 퐵 퐶

56. Ejemplo: Graficar la función 푦=−2푆푒푛(2푥+180°)+1
Se organizan los datos.
● Amplitud A=2.
● Desplazamiento vertical es 1.
● T=180°
● Desfase =90°

57. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.
Es una igualdad entre dos expresiones trigonométricas y que se cumple para todo valor del ángulo y se pueden clasificar en:
 Razones recíprocas.
 Identidades por cociente.
 Identidades pitagóricas.
 identidades para ángulos complementarios.
Razones recíprocas
Salen a partir de las definiciones de cosecante, secante y cotangente a través de la circunferencia unitaria.
푆푒푛훼= 1 퐶푠푐훼
퐶표푠훼= 1 푆푒푐훼
푇푎푛훼= 1 퐶푡푔훼
퐶푠푐훼= 1 푆푒푛훼
푆푒푐훼= 1 퐶표푠훼
퐶푡푔훼= 1 푇푎푛훼

58. Identidades por cociente
Salen a partir de las definiciones de tangente, y cotangente a través de la circunferencia unitaria.
푇푎푛훼= 푆푒푛훼 퐶표푠훼
퐶푡푔훼= 퐶표푠훼 푆푒푛훼
Identidades pitagóricas
Salen a partir de la circunferencia unitaria y el triángulo de Pitágoras.
Se utiliza el teorema de Pitágoras.
푎2+푏2=푐2 푆푒푛훼2+퐶표푠훼2=1
Si se divide por 푆푒푛훼2.

59. 푆푒푛훼2 푆푒푛훼2+ 퐶표푠훼2 푆푒푛훼2= 1 푆푒푛훼2 1+퐶푡푔훼2=퐶푠푐훼2
Si se divide por 퐶표푠훼2. 푆푒푛훼2 퐶표푠훼2+ 퐶표푠훼2 퐶표푠훼2= 1 퐶표푠훼2 푇푎푛훼2+1=푆푒푐훼2
Identidades para ángulos complementarios.
Como “A” y “C” son ángulos complementarios, entonces: 퐴+퐶=90°
Se despeja “C”. 퐶=90°−퐴
Se halla 푆푒푛퐴 y 퐶표푠퐶.

60. 푆푒푛퐴= 푎 푏
퐶표푠퐶= 푎 푏
Se igualan.
푆푒푛퐴=퐶표푠퐶
Se reemplaza el valor de “C”.
퐶표푠퐴=푆푒푛(90°−퐴)
Se hace lo mismo hallando 푇푎푛퐴 y 퐶표푡퐵.
푇푎푛퐴=퐶표푡(90°−퐴)
Y se hace lo mismo con 푆푒푐퐴 y 퐶푠푐퐵.
푆푒푐퐴=퐶푠푐(90°−퐴)

61. IDENTIDADES PARA SUMA DE ÁNGULOS

62. Seno de una suma
Se halla el 푆푒푛(훼+훽)
푆푒푛(훼+훽)= 퐸퐷 퐴퐸 = 퐷퐹+퐹퐸 퐴퐸 = 퐷퐹 퐴퐸 + 퐹퐸 퐴퐸
Se multiplica el primer término arriba y abajo por “AB” y el segundo arriba y abajo por “EB”.
푆푒푛(훼+훽)= 퐷퐹(퐴퐵) 퐴퐸(퐴퐵) + 퐹퐸(퐸퐵) 퐴퐸(퐸퐵)
Se organizan de la siguiente manera:
푆푒푛(훼+훽)= 퐴퐵 퐴퐸 퐷퐹 퐴퐵 + 퐸퐵 퐴퐸 퐹퐸 퐸퐵 =푆푒푛훼퐶표푠훽+푆푒푛훽퐶표푠훼
Coseno de una suma
Se halla el 퐶표푠(훼+훽) 퐶표푠(훼+훽)= 퐴퐷 퐴퐸 = 퐴퐶−퐷퐶 퐴퐸 = 퐴퐶 퐴퐸 − 퐷퐶 퐴퐸
Se multiplica el primer término arriba y abajo por “AB” y el segundo arriba y abajo por “EB”.

63. 퐶표푠(훼+훽)= 퐴퐶(퐴퐵) 퐴퐸(퐴퐵) − 퐷퐶(퐸퐵) 퐴퐸(퐸퐵)
Se organizan de la siguiente manera:
퐶표푠(훼+훽)= 퐴퐵 퐴퐸 퐴퐶 퐴퐵 − 퐸퐵 퐴퐸 퐷퐶 퐸퐵
Como 퐷퐶=퐹퐵.
퐶표푠(훼+훽)= 퐴퐵 퐴퐸 퐴퐶 퐴퐵 − 퐸퐵 퐴퐸 퐹퐵 퐸퐵 =퐶표푠훼퐶표푠훽−푆푒푛훽푆푒푛훼
Tangente de una suma
Se halla el 푇푎푛(훼+훽) 푇푎푛(훼+훽)= 푆푒푛(훼+훽) 퐶표푠(훼+훽) = 푆푒푛훼퐶표푠훽+푆푒푛훽퐶표푠훼 퐶표푠훼퐶표푠훽−푆푒푛훽푆푒푛훼퐸
Se divide cada término por 퐶표푠훼.퐶표푠훽. 푇푎푛(훼+훽)= 푆푒푛훼.퐶표푠훽 퐶표푠훼.퐶표푠훽 + 푆푒푛훽.퐶표푠훼 퐶표푠훼.퐶표푠훽 퐶표푠훼.퐶표푠훽 퐶표푠훼.퐶표푠훽 − 푆푒푛훽.푆푒푛훼 퐶표푠훼.퐶표푠훽 = 푆푒푛훼 퐶표푠훼 + 푆푒푛훽 퐶표푠훽 1− 푆푒푛훽 퐶표푠훽 . 푆푒푛훼 퐶표푠훼
Se utilizan las identidades por cociente.

64. 푇푎푛(훼+훽)= 푇푎푛훼+푇푎푛훽 1−푇푎푛훽.푇푎푛훼
Para la resta de ángulos se cambia “ 훽” por “ –훽”, y se obtiene.
푆푒푛(훼−훽)=푆푒푛훼퐶표푠훽−푆푒푛훽퐶표푠훼 퐶표푠(훼−훽)=퐶표푠훼퐶표푠훽+푆푒푛훽푆푒푛훼 푇푎푛(훼−훽)= 푇푎푛훼−푇푎푛훽 1+푇푎푛훽.푇푎푛훼

65. IDENTIDADES ÁNGULOS DOBLES.
Para demostrar estas identidades se utilizan las identidades de suma de ángulos.
푆푒푛(2훼)= 푆푒푛(훼+훼)= 푆푒푛훼퐶표푠훼+푆푒푛훼퐶표푠훼= 2푆푒푛훼퐶표푠훼
퐶표푠(2훼)= 퐶표푠(훼+훼)= 퐶표푠훼퐶표푠훼−푆푒푛훼푆푒푛훼= 퐶표푠2훼−푆푒푛2훼
푇푎푛(2훼)=푇푎푛(훼+훼)= 푇푎푛훼+푇푎푛훼 1−푇푎푛훼.푇푎푛훼 = 2푇푎푛훼 1−푇푎푛2훼
IDENTIDADES ÁNGULOS MEDIOS.
Para ángulos medios se utiliza 퐶표푠(2훼). 퐶표푠(2훼)=퐶표푠2훼−푆푒푛2훼
Teniendo en cuenta que 퐶표푠2훼=1−푆푒푛2훼, se reemplaza. 퐶표푠(2훼)=1−푆푒푛2훼−푆푒푛2훼 퐶표푠(2훼)=1−2푆푒푛2훼
Se despeja 푆푒푛훼. 퐶표푠(2훼)=1−2푆푒푛2훼 퐶표푠(2훼)−1=−2푆푒푛2훼 −퐶표푠(2훼)+1=2푆푒푛2훼 1−퐶표푠(2훼) 2=푆푒푛2훼

66. ±√ 1−퐶표푠(2훼) 2=푆푒푛훼
Ahora se reemplaza 훼= 훽 2. ±√ 1−퐶표푠(훽) 2=푆푒푛( 훽 2)
Se hace de la misma manera para Cos y Tan, obteniendo: ±√ 1+퐶표푠(훽) 2=퐶표푠( 훽 2) ±√ 1−퐶표푠(훽) 1+퐶표푠(훽) =푇푎푛( 훽 2)

67. SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES TRIGONOMÉTRICAS
Para simplificar una identidad no existe un método pero expresarla en términos de una sola función, los casos de factorización y los productos notables son herramientas que nos facilitan el proceso de simplificación.
Ejemplo: (1−퐶표푠푥)2+2퐶표푡푥.푆푒푛푥
Se expresan todos en términos de seno y coseno. (1−퐶표푠푥)2+2 퐶표푠푥 푆푒푛푥 .푆푒푛푥
Se realizan las operaciones según su orden. 1−2퐶표푠푥+퐶표푠2푥+2퐶표푠푥 1+퐶표푠2푥
DEMOSTRACIÓN DE UNA IDENTIDAD.
Para demostrar una identidad trigonométrica es simplificar o amplificar uno de los lados o los dos para llegar al mismo resultado. Aunque no existe un método para demostrarlas, hay algunas sugerencias que nos permiten facilitar este proceso.
● Empezar por el lado que tenga más términos.
● Expresar en términos de senos y cosenos.

68. ● Realizar la parte operacional, como suma, resta multiplicación, división, potenciación, productos notables, casos de factorización, sustitución por otras identidades.
En muchas ocasiones es conveniente empezar por ambos lados la simplificación.
Ejemplo: 퐶푠푐푥−푆푒푛푥=퐶표푡푥.퐶표푠푥
Es más recomendable empezar por las sumas en este caso se escoge el miembro izquierdo para llegar al derecho. 퐶푠푐푥−푆푒푛푥
Se expresa todo en términos de senos y cosenos. 1 푆푒푛푥 −푆푒푛푥
Se suman teniendo en cuenta la suma de fracciones. 1−푆푒푛2푥 푆푒푛푥
Se utiliza la identidad pitagórica. 퐶표푠2푥 푆푒푛푥
Se organiza para llegar al otro lado de la identidad. 퐶표푠푥 푆푒푛푥 .퐶표푠푥 퐶푡푔푥.퐶표푠푥

69. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Es una ecuación donde se presentan funciones trigonométricas, la mayoría de soluciones de estas ecuaciones son ángulos, y son infinitas debido a que las funciones trigonométricas son periódicas.
Las ecuaciones trigonométricas pueden ser.
1. De la forma: 풇(풙)=풌
Ejemplo: 푆푒푛푥=1 푆푒푛−1(푆푒푛푥)=푆푒푛−1(1) 푥=푆푒푛−1(1) 푥=0°+2푘휋
2. De la forma lineal:
Ejemplo:

70. 16+4퐶표푠푥=18 4퐶표푠푥=18−16 4퐶표푠푥=2 퐶표푠푥= 24 퐶표푠푥= 12 퐶표푠−1(퐶표푠푥)=퐶표푠−1( 12)
푥=60° 푥=300°
3. De la forma factorizada: 2푆푒푛푥퐶표푠푥−푆푒푛푥=0
Se saca factor común. 푆푒푛푥(2퐶표푠푥−1)=0
Se iguala cada factor a cero.
푆푒푛푥=0 푆푒푛−1(푆푒푛푥)=푆푒푛−1(0)
푥=0° 푥=180°
2퐶표푠푥−1=0 2퐶표푠푥=1 퐶표푠푥= 12 퐶표푠−1(퐶표푠푥)=퐶표푠−1( 12)
푥=30° 푥=330°
4. Aplicando identidades. 2퐶표푠2푥+1=0
Se reemplaza el ángulo doble.

71. 2(퐶표푠2푥−푆푒푛2푥)+1=0
Se pasa todo a términos del seno. 2(1−푆푒푛2푥−푆푒푛2푥)+2=0 2(1−2푆푒푛2푥)+2=0 2−4푆푒푛2푥+2=0 −4푆푒푛2푥+4=0 −4푆푒푛2푥=−4 푆푒푛2푥= −4−4 푆푒푛2푥=1 푆푒푛푥=1 푆푒푛−1(푆푒푛푥)=푆푒푛−1(1) 푥=푆푒푛−1(1) 푥=90°+2푘휋

72. BIBLIOGRAFÍA  Richard Stallman. Enciclopedia universal. 1999. disponible en: www.wikipedia.com  Juan Carlos Fernández Gordillo. Matemáticas. Valencia España. Edifesa, Disponible en: www.vitutor.com  Chad Hurley. Steve Chen. Jawed Karim. Reproductor de video online. 15 de febrero de 2005. Disponible en http://www.youtube.com
 William Hernando Dueñas. Luz Dary García Forero. Alix Aleida Garavito Ramírez. Con lógica 10. Ed Educar. 2012.
 Vladimir Moreno Gutiérrez. Mauricio Restrepo López. Delta 10. Ed Norma. 2008
 Aurelio Baldor. Trigonometría de Baldor. Publicaciones cultural Mexico.1997
SOFTWARE  Kvisoft Inc. FlipBook Maker Pro. 2014. Disponible en: www.kvisoft.com/flipbook-maker-pro  Diego Uscanga. aTube Catcher.2011. Disponible en: www.atubecatcher.es
VIDEOS
 Dalila Carmona. (Documental) historia de la trigonometría. 2013. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=j58jfhswfAw
 Abel Esteban Ortega Luna. Clasificación y definición de ángulos. 2013. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=J_yaZjR75QY

73.  Martin Ríos. Conversión de ángulos. 2014. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=1uNDJTFzGPE
 Julio Alberto Ríos Gallego. Como se clasifican los triangulos. 2011. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=8_jsjTk6RnU
 Jorge Oviedo. Aplicaciones Reales del teorema de Pitágoras. 2012. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=GeSiN6vpNS0
 Abel Esteban Ortega Luna. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. 2011. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=SIpe683DA9Y
 Pam Cruz. Importancia de estudiar la circunferencia unitaria. 2013. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=dL3Hkz0vgBg
 Eblin Martínez. Ángulos de referencia.2014. disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=UkUiB2IiVqg
 Julio Alberto Ríos Gallego. Solución de triángulos rectángulos. 2012. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=IL8cCsfJpvI
 Julio Alberto Ríos Gallego. Problema con ley de senos. 2009. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=yizdJXO2yME
 Julio Alberto Ríos Gallego. Problema con ley de cosenos. 2009. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=84FDKiXpUIU
 Giovanni franchesco mora torres. Graficas de funciones trigonométricas. 2013. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=JpnNLbw1-5I
 Abel Esteban Ortega Luna. Identidades trigonométricas fundamentales. 2013. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=9lrw4qkglA4

74.  Toribio Arrieta. Identidades para la suma de ángulos. 2009. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=CRnapjm2jEI
 Juan David Builes Grisales. Identidades de suma y resta de ángulos dobles, medios y productos. 2011. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=Z_BmCOuNkuU&spfreload=1
 Julio Alberto Ríos Gallego. Demostrar una identidad trigonométrica. 2013. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=xePJNWPKSaQ
 Fredy Rojas Bernal. Como resolver ecuaciones trigonométricas. Ejemplo 2. 2013. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=Ts6tlF6rTEs