1. 1
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ENERGÍA; LIMA – PERÚ
INTEGRANTES
 Camacho Arias, Luis Kenji.(1317120153)
 Ojanama Chuquival, Jean Brandon(1317120277)
 Olivares Alvarez, Bryan(1317110084)
 Siu Alvarado, Mitchell Andrés (1029210093)
RESUMEN
El presente laboratorio consistió en dos actividades relacionadas con el movimiento armónico simple (MAS).
En la primera actividad añadíamos al resorte masas, formando un sistema masa -resorte de tal manera que se
mantenga en equilibrio, y tomamos medida a la elongación experimentada por el resorte. Con todos los datos
obtenidos se puede encontrar la constante elástica del resorte.
En la segunda actividad se hizo oscilar el sistema masa-resorte y con el software Data Studio se halló el periodo.
Como ya se tiene la constante elástica, entonces podemos encontrar el periodo experimental para poder comparar el
periodo teórico con el experimental.
1- INTRODUCCIÓN
Desde tiempos muy remotos, el hombre ha sido testigo de
movimientos muy particulares en la naturaleza; algunos de
“vaivén” (movimiento oscilatorio) y otros que “se repiten
luego de un lapso de tiempo determinado” (movimiento
periódico). Con el avance de la ciencia y el desarrollo de las
máquinas los investigadores se percataron de que ciertas
máquinas presentaban un movimiento oscilatorio y periódico
el cual fue el foco de interés para los físicos de aquellas
épocas.
Fue así como se desarrolló un modelo matemático para este
tipo de movimiento; el cual permitiría predecir el
comportamiento de ciertas máquinas. El tipo de movimiento
experimentado por este modelo matemático es muy
particular y fue denominado M.A.S (Movimiento armónico
simple).
2- OBJETIVOS
 Determinar la frecuencia de resonancia del sistema
masa-resorte sometido a una fuerza externa que
varía con la frecuencia.
 Medir la máxima amplitud de oscilación del
sistema masa-resorte.
 Verificar las leyes del Movimiento Armónico
Simple realizadas en la clase de teoría.
3- MATERIALES Y MÉTODOS
Para realizar los experimentos de esta sesión, procedimos a
utilizar los materiales que se muestran en la ilustración
inferior, los cuales han sido listados en la Tabla 1.
Ilustración 1
2
5
4
3
8
1
6

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Tabla1
N° DESCRIPCIÓN CANT
1 Sensor de movimiento 1
2 Resorte de metal 1
3 Regla milimetrada 1
4 Interface 1
5 Varilla metálica de 45 cm 1
6 Base de varilla largo 1
7 Masa de 209 g 1
8 Masas de 50g 10
Tabla1 muestra los materiales utilizados en la experiencia de
laboratorio.
El experimento para la primera actividad procedió de la
siguiente manera, seleccionamos el resorte en mejor estado
para esta actividad; a continuación procedimos a hallar su
longitud natural la cual tuvo el valor 퐿 = 28.5푐푚.
Luego se enganchó un extremo del resorte a la varilla de 45
cm consiguiendo así que esté dispuesto en forma horizontal;
con la finalidad de colgar las masas de 50 g. Acto seguido,
con el uso de la regla milimetrada se halló la elongación
adquirida por el resorte; Se repitió este procedimiento 10
veces para obtener datos los cuales ayudaron a obtener la
constante elástica 푘.
Para el experimento de la segunda actividad, se procedió con
la calibración del sensor de movimiento a una frecuencia de
120 Hz y se trabajó con una masa 푚 = 290푔 ; la cual se
hizo oscilar en forma vertical durante 5 segundos
obteniéndose así una adecuada toma de datos. Se repitió este
procedimiento 4 veces con la finalidad de hallar el periodo
de oscilación y su frecuencia.
4- RESULTADOS
 PRIMERA ACTIVIDAD
En esta actividad se procedió a determinar la constante
de elasticidad del resorte elegido.
Tabla2
N° Masa (Kg) Elongaciones (m)
1 0.05 0.013
2 0.1 0.03
3 0.15 0.041
4 0.2 0.069
5 0.25 0.09
6 0.3 0.1115
7 0.35 0.13
8 0.4 0.15
9 0.45 0.165
10 0.5 0.185
En la Tabla2 se listan nuestros datos registrados para
las masas y elongaciones.
Usando el DataStudio se procedió a tabular los datos de
la Tabla 1 y la gráfica obtenida fue la siguiente.
Gráfica 1. Muestra la gráfica obtenida al tabular nuestros
datos, se realizó un ajuste lineal del cual se obtuvo la
siguiente ecuación 퐲 = ퟐퟒ. ퟗퟎퟏퟕퟐ + ퟎ. ퟐퟒퟕퟖ
De nuestro ajuste lineal obtuvimos la pendiente de la
gráfica la cual nos expresa el valor de la constante
elástica de nuestro resorte
푘 = 24.90 ± 0.5
푁
푚
 SEGUNDA ACTIVIDAD
En esta actividad procedimos a calcular el periodo de
oscilación de nuestro sistema y también su frecuencia
de oscilación.
Para ello hicimos el análisis de la gráfica posición
versus tiempo del MAS; con el uso de la herramienta
inteligente.
Gráfica 1.2, Muestra el uso de la herramienta inteligente.
Del cual observamos que el periodo experimental es
T = 0.6 s.
Se decidió hacer un ajuste senoidal con la finalidad de
obtener una mejor aproximación al periodo de la
tendencia que siguen nuestros datos.

3. 3
Gráfica 2. Muestra la gráfica obtenida al realizar el
experimento; se realizó un ajuste senoidal del cual se
obtuvo la ecuación 퐲 = ퟎ. ퟒퟐퟖ 퐬퐢퐧(
ퟐ훑
ퟎ.ퟔퟏퟓ
+ ퟎ. ퟐퟔퟑ) +
ퟎ. ퟏퟖퟖ 퐦
Identificando de la ecuación senoidal el periodo
experimental es:
Te = 0.615 s
De donde obtenemos la frecuencia experimental, cuyo
valor es:
f =
1
Te
= 1.626 Hz
Hallaremos nuestros valores teóricos para los
parámetros analizados, nuestra masa fue m =
0.209 kgy el valor de nuestra constante de elasticidad
fue k = 24.90
N
m
. Haremos uso de la siguiente
ecuación:
T = 2π√
m
k
= 2π√
0.209
24.90
= 0.576 s
Y el valor de la frecuencia será:
f =
1
T
= 1.737Hz
Hallamos los errores experimentales:
 Para el periodo:
퐸푟푟표푟 푎푏푠표푙푢푡표 = 푇 − 푇푒
퐸푟푟표푟 푎푏푠표푙푢푡표 = 0.573 − 0.615
퐸푟푟표푟 푎푏푠표푙푢푡표 = ±0.042
퐸푟푟표푟 푝표푟푐푒푛푡푢푎푙 =
퐸푟푟표푟 푎푏푠표푙푢푡표
푣푎푙표푟 푒푥푝푒푟푖푚푒푛푡푎푙
∗ 100%
퐸푟푟표푟 푝표푟푐푒푛푡푢푎푙 = 6.83%
 Para la frecuencia:
퐸푟푟표푟 푎푏푠표푙푢푡표 = 푓 − 푓푒
퐸푟푟표푟 푎푏푠표푙푢푡표 = 1.737 − 1.626
퐸푟푟표푟 푎푏푠표푙푢푡표 = ±0.111
퐸푟푟표푟 푝표푟푐푒푛푡푢푎푙
=
퐸푟푟표푟 푎푏푠표푙푢푡표
푣푎푙표푟 푒푥푝푒푟푖푚푒푛푡푎푙
∗ 100%
퐸푟푟표푟 푝표푟푐푒푛푡푢푎푙 = ±6.83%
A continuación mostraremos la gráfica obtenidas para
la velocidad.
Gráfica 3. Muestra la gráfica de velocidad vs tiempo para el
experimento; se realizó un ajuste senoidal para hallar la
ecuación que muestra la tendencia que siguen los datos
풚 = ퟎ. ퟒퟑퟐ 퐬퐢퐧(
ퟐ흅
ퟎ.ퟔퟏퟓ
+ ퟎ. ퟏퟎퟕ) + ퟎ. ퟎퟎ. ퟑퟓퟕ
풎
풔
Ahora mostraremos la gráfica obtenida para la
aceleración
Gráfica 4. Muestra la gráfica aceleración vs tiempo para el
experimento; se realizó una juste senodial con el cual se
halló la siguiente ecuación 풚 = ퟒ. ퟑퟔ 퐬퐢퐧(
ퟐ흅
ퟎ.ퟔퟏퟒ
+
ퟎ. ퟐퟔퟑ) − ퟎ. ퟎퟓퟐퟓ
풎
풔ퟐ
5- DISCUSION
Vemos la utilidad de este experimento al poder calcular la
constante de elasticidad de un determinado resorte,
demostrándolo a través de las grafica en los diferentes casos,
cuyas graficas son parecidas y la pendiente es casi la misma,
podemos también con esta constante determinar qué tan
efectivo puede ser este resorte y en que ocasiones se puede
utilizar para la selección de un material.
También obtenemos el periodo y la frecuencia de oscilación
a partir de medir el comportamiento de la masa en un
movimiento constante, para ello utilizamos las formulas ya
conocidas en el marco teórico.

4. 4
6- CONCLUSIONES
 Concluí que a partir de experimentos como este podemos
también destacar características de los resortes, y a partir de
ello saber si se puede utilizar en algún caso extremo o más
leve, muy importante en la selección de materiales.
(Olivares Álvarez, Bryan.)
 Si experimentáramos con un resorte que tenga una mayor
coeficiente de rigidez se obtendría un mayor error al
comparar el periodo teórico con el experimental ya que
existe un mayor amortiguamiento, en ese caso nos ayudaría
muy poco el caso ideal masa-resorte. (Camacho Arias Luis
Kenji)
 Durante la primera actividad tuve ciertas dudas sobre el
valor calculado para la constante de elasticidad pues al
calcularlo teóricamente obtuve un valor muy alejado del
obtenido, recordé que durante la medición de las
elongaciones hubo ciertos errores de parte nuestra tales
como sujetar la masa colgante o inclinar un poco el resorte.
Debido a ello se debe tener mucho cuidado al realizar este
tipo de mediciones. (Ojanama Chuquival, Jean)
 Puedo concluir que los errores de cálculo en las mediciones
de las experiencias nos ayudan a darnos cuenta de lo valioso
que es tener precisión y paciencia para lograr un resultado
más exacto y con un margen de error más pequeño. (Siu
Alvarado, Andrés)

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7- ANEXO
1) ¿Cuál es el valor de la aceleración de un oscilador con
amplitud A y frecuencia f cuando su velocidad es
máxima?
El valor de la aceleración cuando la velocidad es máxima,
es igual a cero aceleración es igual a cero, debido a que en
la velocidad máxima, la partícula se encuentra en la
posición de equilibrio y en la misma no hay aceleración, la
aceleración máxima se encuentra en los extremos de un
M.A.S. y la aceleración normal en cualquier posición
diferente del punto de equilibrio.
Por tanto deducimos que la aceleración cuando la
velocidad es máxima, es igual a cero, por lo tanto lo
expresamos que aceleración =0 (cuando la velocidad sea
máxima).
2) ¿Pueden tener el mismo sentido la aceleración y el
desplazamiento en un movimiento armónico simple?,
¿La aceleración y la velocidad? , ¿La velocidad y el
desplazamiento? , explique.
* Aceleración y desplazamiento
Esto no sería posible, ya que con la segunda ley de
Newton, indica que la aceleración es proporcional al
desplazamiento y con signo negativo, el signo tiene un
significado que se desplaza en sentido contrario a la
aceleración como expresamos siguientemente.
En el movimiento armónico simple la fuerza que actúa
sobre el móvil es directamente proporcional al
desplazamiento respecto a su posición de equilibrio, donde
la fuerza es nula. Esta fuerza va siempre hacia la posición
de equilibrio y el móvil realiza un movimiento de vaivén
alrededor de esa posición.
Un ejemplo de MAS sería el que realiza un objeto unido al
extremo un muelle, en ese caso k sería la constante de
elasticidad del muelle.
Aplicando la segunda ley de newton tendríamos:
*La aceleración y la velocidad
Esto si es posible, dado en que la partícula al momento de
acercarse hacia la posición de equilibrio la aceleración se
encuentra dirigida en sentido contrario a la velocidad,
mientras que, cuando la partícula se aleja de la posición de
equilibrio la aceleración toma el mismo sentido que la
velocidad, es por eso que en los extremos de un M.A.S. la
aceleración se hace máxima.
*Velocidad y desplazamiento
Esto se tiene que dar en principio, cuando la partícula se
desplaza cierta distancia, la partícula está sometida a una
fuerza para romper la inercia en que se encuentra y esta
fuerza tiene que estar dirigida en dirección al
desplazamiento, una vez adquirida la fuerza necesaria
llegara a tener una velocidad que se encuentra en el sentido
al desplazamiento.
3) ¿De qué forma se puede calcular el coeficiente de
amortiguamiento? y ¿qué tiempo transcurriría para
que la masa vuelva a su estado de reposo?
Sabemos que el experimento del MAS no es ideal puesto
que el sistema posee un coeficiente de amortiguamiento
natural en conclusión realmente estamos realizando un
experimento de movimiento oscilatorio amortiguado del
cual conocemos la ecuación diferencial que rige su
movimiento
2푥 + 2훽 푥̇ = 0
푥̈ + 푤0
Donde utilizaríamos el software Data Studio para hacer
ajustes según sean requeridos, con la finalidad de obtener
las ecuaciones que modelan el fenómeno físico. Con este
método será posible hallar las ecuaciones de posición,
aceleración y velocidad quedando como incógnita el factor
de amortiguamiento el cual al ser multiplicado por la masa
nos permite hallar el coeficiente de amortiguamiento r.
El tiempo en el cual se para es teóricamente infinito, sin
embargo para este caso especial solo resta usar un
cronómetro.
4) ¿Cómo variaría el coeficiente de amortiguamiento si
la amplitud desciende rápidamente con el transcurrir
del tiempo? y ¿qué movimiento realizaría?
El coeficiente de amortiguamiento no depende de la
amplitud del sistema oscilador, dado que existe un
coeficiente de amortiguamiento; el movimiento realizado
sería de tipo amortiguado.
5) ¿Qué es el decremento logarítmico?, explique.
El decremento logarítmico es el logaritmo natural de la
proporción de las amplitudes dos picos sucesivos.

6. 6
훿 = ln
푦1
푦2
El decremento logarítmico se utiliza para encontrar el
factor de amortiguamiento de un sistema de
amortiguación. Donde el coeficiente de amortiguamiento
proporciona un medio matemático de expresar el nivel de
amortiguamiento en un sistema.
Ilustración 2. Muestra el decremento logarítmico.
6) ¿En qué caso la gráfica posición vs velocidad puede
mostrar una circunferencia? , explique
detalladamente.
Sabemos que en el movimiento armónico simple las
ecuaciones de posición y de velocidad son las siguientes:
푥 = 퐴 cos(푤푡 + 휑)
푣 = −퐴푤 sin(푤푡 + 휑)
Entonces, si se diera como condición que la frecuencia
angular es la unidad (w=1) podemos obtener una
circunferencia ya que:
푥 2 + 푦2 = ((퐴 cos(푤푡 + 휑))2 ) + ((−퐴 sin(푤푡 + 휑))2 )
= 퐴2
Donde el radio de la circunferencia es la amplitud(A).
Además observemos que al tener una frecuencia angular
igual a uno, el periodo de oscilación es 2 π:
푤 =
2휋
푇
→ 푇 = 2휋
7) ¿El valor de la frecuencia es igual al teórico solo si se
toma en cuenta la masa del resorte? Explique
La respuesta a esta pregunta es un rotundo no, debido a
que la masa considerada en el modelo matemático no es la
del resorte, pues se considera que la masa de este es
despreciable. Además de que todo el proceso de
modelamiento se basa en el análisis de la masa unida al
resorte y no en base a este último.
8) ¿Cuál es la diferencia entre un movimiento oscilatorio
y un movimiento periódico?
Movimiento periódico: un movimiento se dice periódico
cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables
del movimiento (velocidad, aceleración, etc.), toman el
mismo valor.
Movimiento oscilatorio: Son los movimientos periódicos
en los que la distancia del móvil al centro, pasa
alternativamente por un valor máximo y un mínimo.
9) ¿Se cumple el principio de conservación de la energía
en el sistema masa – resorte?
No, en un caso real se describe la resistividad del aire
solamente en una pequeña cantidad, despreciando la
resistividad del aire si se daría este caso.
10) ¿Puede establecerse una analogía entre las ecuaciones
del movimiento armónico simple y las del movimiento
rectilíneo uniformemente acelerado?
No sería posible ya que entran en conflicto muchos
conceptos tanto físicos como matemáticos.
Primero en el movimiento uniformemente acelerado la
aceleración es considerada un vector constante tanto en
módulo como en dirección. Caso contrario al de un MAS
que es un vector de magnitud y dirección variable
Segundo, por definición matemática sabemos que la
gráfica de un movimiento uniformemente acelerado es una
parábola, caso completamente distinto al MAS en el cual
la velocidad es representado por una función periódica de
tipo coseno.
8- BIBLIOGRAFÍA
Giancolli, D. (2008). Física para ciencias e ingeniería.
México: Pearson Education.
Hewwit, P. (2002). Física conceptual. México:
Pearson Education.
Ingeniería real. (s.f.). Recuperado el 27 de noviembre
de 2013, de http://www.ingenieriareal.com

7. 7
Maximo, A., & Alvarenga, B. (2006). Física gneral
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Mi profesor de física. (s.f.). Recuperado el 27 de
Noviembre de 2013, de http://
www.miprofesordefisica.com
Passarola. (s.f.). Recuperado el 27 de noviembre de
2013, de http://www.passarola.es
Resnick, R., & Halliday, D. (2005). Fundamentos de la
física. México: Continental.