1. CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN LỚP 11
BIÊN SOẠN: GV NGUYỄN TRUNG KIÊN
PHẦN I: ĐẠI CƯƠNG VỀ HÌNH KHÔNG GIAN
VẤN ĐỀ 1: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG
Phương pháp: Xác định hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng, giao tuyến là đường
thẳng đi qua hai giao điểm đó
Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy là tứ giác ABCD các cạnh đối AB , CD không song
song với nhau.
a) Tìm giao tuyến của ( SAC ) và ( SBD )
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD )
Giải:
Hình vẽ:
S
A
M D
O
B
C
a) Ta có ( SAC ) ∩ ( SBD ) = S
Vì AC ∈ ( SAC ), BD ∈ ( SBD ) mà AC ∩ BD = O ⇒ ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO
Vậy SO là giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBD )
b) Ta có ( SAB ) ∩ ( SBD ) = S
Vì CD ∈ ( SCD ), AB ∈ ( SAB ) mà AB , CD không song song với nhau nên AB ∩ CD = M
1

2. ⇒ ( SAB ) ∩ ( SBD ) = SM
Vậy SM là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( SAB ), ( SCD )
• Chú ý: Trong bài toán này ta đã dùng kết quả: Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng thuộc một
mặt phẳng mà chúng không song song với nhau thì phải cắt nhau tại một điểm
Ví dụ 2) Cho tứ diện ABCD . Trên cạnh AB , CD lần lượt lấy các điểm M , N sao cho MN
không song song với BC . Gọi I là một điểm bên trong tam giác BCD . Tìm giao tuyến của mặt
phẳng ( MNI ) với các mặt phẳng ( BCD ), ( ABD ), ( ACD )
Giải:
Hình vẽ
A
B K
D
N
I
E
F
C
J
• Tìm giao tuyến của ( MNI ) và ( BCD )
Ta thấy ( MNI ) ∩ ( BCD ) = I
Vì MN không song song với BC nên MN ∩ BC = J
Vậy giao tuyến của ( MNI ) và ( BCD ) là IJ
• Tìm giao tuyến của ( MNI ) và ( ABD )
2

3. Ta thấy ( MNI ) ∩ ( ABD ) = M
IJ ∈ ( MNI ), IJ ∩ BD = K ⇒ ( MNI ) ∩ ( ABD ) = MK
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng ( MNI ) và ( ABD ) là MK
• Tìm giao tuyến của ( MNI ) và ( ACD )
Ta thấy ( MNI ) ∩ ( ACD ) = N
Mà IJ ∈ ( MNI ), IJ ∩ CD = F ⇒ ( MNI ) ∩ ( ACD ) = NF
Vậy giao tuyến của ( MNI ) và ( ACD ) là NF
Trong bài toán này các em hs cần chú ý:
- Để việc hình dung điểm I được rõ ràng trong mặt phẳng ( BCD ) ta đã dựng một đường
thẳng DE nằm trong ( BCD ) sau đó xác định một điểm I thuộc DE
- Khi ta đã tìm được một điểm J thuộc mặt phẳng ( MNI ) thì ta có ( MNI ) ≡ ( MIJ ) điều
đã này giúp ta giải quyết câu hỏi sau được dễ dàng hơn.
Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Trên cạnh SD ta lấy điểm
1
M sao cho SM = SD . N là điểm thay đổi trên cạnh BC . Tìm giao tuyến của các mặt phẳng
3
a) ( SBC ) và ( SAD )
b) ( AMN ) và ( SCD )
c) ( AMN ) và ( SBC )
Giải:
a) Ta thấy ( SBC ) ∩ ( SAD ) = S
Qua điểm S ta kẻ đường thẳng Sx song song với BC thì
Mặt phẳng ( SBC ) cũng là mặt phẳng chứa Sx và BC
Mặt phẳng ( SAD ) cũng chính là mặt phẳng chứa Sx và AD
Từ đó suy ra ( SBC ) ∩ ( SAD ) = Sx
b) Giao tuyến của ( AMN ) và ( SCD )
Ta thấy ( AMN ) ∩ ( SCD ) = M .
3

4. Mặt khác AN không song song với CD nên AN ∩ CD = E
Vậy iao tuyến của ( AMN ) và ( SCD ) là ME
c) Giao tuyến của ( AMN ) và ( SBC )
Ta thấy ( AMN ) ≡ ( AME )
Vì ( AMN ) ∩ ( SBC ) = N ; ME ∩ SC = F ⇒ ( AMN ) ∩ ( SBC ) = NF
Vậy giao tuyến của ( AMN ) và ( SBC ) là NF
Hình vẽ:
S x
M
A D
F
B C
N
E
Trong bài toán này học sinh cần chú ý: Hai đường thẳng song song luôn xác định một mặt
phẳng
VẤN ĐỀ 2: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, XÁC ĐỊNH
THIẾT DIỆN KHI CẮT BỞI MỘT MẶT PHẲNG CHO TRƯỚC
• Để tìm giao tuyến của đường thẳng ( ∆ ) và mặt phẳng ( P ) ta làm như sau:
+ Tìm mặt phẳng (Q ) chứa đường thẳng ∆
+ Tìm giao tuyến ( d ) của mặt phẳng ( P ) và mặt phẳng (Q )
4

5. + Giao điểm của đường thẳng ( d ) và đường thẳng ∆ chính là giao điểm của đường thẳng ( ∆ )
và mặt phẳng ( P ) .
• Để xác định thiết diện của một khối chóp, lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng ( P ) ta tìm giao
tuyến của mặt phẳng ( P ) với các mặt của hình chóp ( nếu có). Khi đó các đoạn thẳng có được từ
giao của ( P ) với các mặt của hình chóp sẽ tạo thành một đa giác được gọi là thiết diện của hình
chóp, lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng ( P ).
Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD . Gọi M là trung
điểm của SA , N là một điểm thuộc cạnh bên SC ( N không phải là trung điểm của SC )
a) Tìm giao tuyến của ( ABN ) và (CDM )
b) Xác định giao điểm của MN với ( SBD )
c) P là một điểm thuộc cạnh AB . Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng
( MNP )
 AB ∩ CD = O
Giải: Ta có  ⇒ ( ABN ) ∩ (CDM ) = OQ
 AN ∩ CM = Q
S
M
A D
Q
N
B C
O
a) Tìm giao điểm của MN và ( SBD )
5

6. Ta có
+ MN ∈ ( SAC ) ,
+ ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO
+ MN ∩ SO = K ⇒ MN ∩ ( SBD ) = K
S
M
K
A D
N
O
B C
b) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( PMN )
+ Ta có MN ∩ AC = R ⇒ ( MNP ) ≡ ( MPR )
+ Nối P , R cắt BC , AD lần lượt ở U , T
+ Nối T , M cắt SD ở V
Thiết diện là ngũ giác PMVNU
6

7. S
V
M
D
T A
N
P
B U C
R
Ví dụ 2) Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AC , BC . Ttên cạnh BD ta lấy
điểm K sao cho BK = 2 KD
a) Tìm giao điểm E của CD và ( IJK ) . Chứng minh DE = DC
b) Tìm giao điểm F của AD và ( IJK ) . Chứng minh FA = 2 FD
c) Gọi M , N là hai điểm bất kỳ thuộc AB , CD . Tìm giao điểm của MN và ( IJK )
Giải:
a) Tìm giao điểm E của CD và ( IJK ) . Chứng minh DE = DC
Ta thấy CD ∈ ( BCD ) mà ( BCD ) ∩ ( IJK ) = JK
Kéo dài JK cắt CD tại E thì CD ∩ ( IJK ) = E
Ta có K là trọng tâm của tam giác BCE nên BD chính là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh
B , do đó D là trung điểm của EC hay DE = DC
b) Ta thấy rằng ( IJK ) ≡ ( IJE )
Vì AD ∈ ( ACD ) mà ( ACD ) ∩ ( IJK ) = IE
Ta có IE ∩ AD = F ⇒ AD ∩ ( IJK ) = F .
7

8. Dễ thấy F là trọng tâm tam giác ACE nên FA = 2 FD
c) Ta có MN ∈ ( MCD )
Vì MC ∩ IJ = U , MD ∩FK = T ⇒ ( MCD ) ∩ ( IJK ) = UT
UT ∩ MN = P ⇒ MN ∩ ( IJK ) = P
A
E
F
M I
T
B P K D
U
J
N
C
Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD , M là trung điểm của SB , N là điểm thuộc SC sao cho
2
SN = SC
3
a) Xác định giao điểm của CD với mặt phẳng ( AMN )
b) P là một điểm thuộc mặt phẳng ( SAD ) . Xác định giao tuyến của ( AMN ) và ( PBD )
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( MNP )
Giải:
a) Xác định giao điểm của CD với mặt phẳng ( AMN )
Xét CD ∈ ( ABCD ) . Ta có MN ∩ BC = H ⇒ ( AMN ) ∩ ( ABCD ) = AH ; AH ∩ CD = K
Suy ra giao điểm của CD với mặt phẳng ( AMN ) là điểm K
b) P là một điểm thuộc mặt phẳng ( SAD ) . Xác định giao tuyến của ( AMN ) và ( PBD )
8

9. S
L
I M P
N
A D
J
B
C
H
Kẻ một đường thẳng DL thuộc mặt phẳng ( SAD ) . Trên DL ta lấy một điểm P
Như vậy ( BPD ) ≡ ( BDL ) , theo câu a ta có ( AMN ) ≡ ( AMH )
Giả sử AM ∩ BL = I , AH ∩ BD = J ⇒ ( BDL ) ∩ ( AMH ) = IJ
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( MNP )
Trong mặt phẳng ( SAD ) , SP ∩ AD = E ,
Trong mặt phẳng ( ABCD ) , HE ∩ CD = F
Trong mặt phẳng ( SEH ) , SF ∩ HP = G
Ta có hai trường hơp sau:
Trường hợp 1: Trong mặt phẳng ( SCD ) , NG ∩ SD = Q ( điểm Q có thể trùng vào D )
Khi đó trong mặt phẳng ( SAD ) có QP ∩ SA = R ( QP không thể cắt AD ở giao điểm bên trong
đoạn AD vì nếu QP cắt AD ở giao điểm O bên trong thì HO ∩ CD ⇒ ( MNP ) ∩ CD tại một
điểm bên trong. Điều này vô lý vì ( MNP ) đã cắt SB, SC tại N , Q )
Ta thấy Q ∈ HP ⊂ ( MNP ) ⇒ Q = SD ∩ ( MNP ) ; R ∈ QP ⊂ ( MNP ) ⇒ R = SA ∩ ( MNP )
9

10. Thiết diện là tứ giác MNQR
S
L
R
P Q
M G
N E D
A
F
B K
C
H
Trường hợp 2: Trong mặt phẳng ( SCD ) , NG ∩ CD = T ⇒ HT ∩ AD = U
S
V P
M U
A E D
G T
N
F
B C H
Trong mặt phẳng ( SAD ) , UP ∩ SA = V ( UP không thể cắt SD vì ( MNP ) đã cắt SC , CD tại
N ,T )
10

11. Ta có T ∈ NG ⊂ ( MNP ) ⇒ T = CD ∩ ( MNP ), U ∈ HT ⊂ ( MNP ) ⇒ U = AD ∩ ( MNP )
V ∈ HT ⊂ ( MNP ) ⇒ V = SA ∩ ( MNP )
Vậy thiết diện chính là ngũ giác MNTUV
Chú ý: Đây là bài toán khó .
1) Điểm mấu chốt trong bài toán là sự cố định của các điểm M , N , H và như vậy hình dạng
thiết diện phụ thuộc vào giao điểm G của HP và mặt bên ( SCD ) . Rõ ràng việc biện
luận theo NG là tự nhiên nhất vì điểm G là giao điểm dễ phát hiện nhất.
2) Khi xác định một điểm P ∈ ( SAD ) ta phải dựng một đường thẳng SE ∈ ( SAD ) sau đó
chọn điểm P ∈ SE điều này giúp ta dễ hình dung điểm P và phát hiện ra các giao điểm
khác
VẤN ĐỀ 3.
CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, 3 ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY, HOẶC 3
ĐƯỜNG THẲNG ĐÔI MỘT SONG SONG
Kiến thức cần nhớ:
1) Điều kiện để 3 điểm A, B , C thẳng hàng là tồn tại số k ≠ 0 sao cho AB = k AC
Hoặc tồn tại hai số m, n thỏa mãn OA = mOB + nOC sao cho m + n = 1, O là điểm bất kỳ
2) Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k ≠ 1) nếu MA = k MB
OA − kOB
• Khi đó với mọi điểm O bất kỳ ta có: OM =
1− k
• Cho tam giác ABC . Các điểm M , N , P lần lượt chia các đoạn AB, BC , CA theo tỷ số
m , n, p đều khác 1
a) M , N , P thẳng hàng khi và chỉ khi m.n. p = 1 ( Định lý Menelauyt)
b) AN , CM , BP đồng quy hoặc song song khi và chỉ khi m.n. p = −1 (Định lý Ceva)
3) Nếu ba mặt phẳng ( P ), (Q ), ( R ) đôi một cắt nhau theo giao tuyến là 3 đường thẳng a, b, c
thì a, b, c hoặc đôi một song song hoặc cắt nhau tại một điểm ( đồng quy).
11

12. 4) Nếu các điểm A1 ; A2 ;...., An thuộc đồng thời hai mặt phẳng ( P ), (Q ) thì A1 ; A2 ;...., An
thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng. Tức là A1 ; A2 ;...., An thẳng hàng.
Ví dụ 1) Cho hình chóp SABC . Một mặt phẳng (α ) cắt SA, SB , SC lần lượt tại A ', B ', C ' . Giả
sử B ' C '∩ BC = M , C ' A '∩ AC = N , A ' B '∩ AB = P .
a) Chứng minh M , N , P thẳng hàng.
b) Giả sử A ', B ', C ' lần lượt là trung điểm của SA, SB , SC . Gọi G , G ' lần lượt là trọng tâm
của các tam giác ABC , A ' B ' C ' . Chứng minh S , G , G ' thẳng hàng
Giải:
S
S
C'
A' C'
A'
E' G' F'
C B'
A C
M B' A
G
E F
B
P
B
N
a) Vì M , N , P cùng thuộc 2 mặt phẳng phân biệt là (α ) và ( ABC ) nên M , N , P thuộc
giao tuyến của hai mặt phẳng (α ) và ( ABC ) . Do đó M , N , P thẳng hàng.
b) Gọi E , F , E ', F ' lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC , A ' B ', B ' C ' .
Dễ thấy các điểm S , E , E ' và S , F , F ' thẳng hàng và ( SAF ) ∩ ( SEC ) = SG
Mặt khác G ' ∈ A ' F ', G ' ∈ C ' E ' ⇒ G ' ∈ ( SAF ), G ' ∈ ( SEN ) . Suy ra G ' ∈ SG . Hay S , G , G ' thẳng
hàng.
Ví dụ 2) Cho tứ diện ABCD . Hai điểm M , N lần lượt thuộc BC , CD sao cho MN không song
song với BD . Mặt phẳng (α ) thay đổi qua M , N cắt AB , CD lần lượt tại P, Q . Giả sử
MQ ∩ NP = I , MP ∩ NQ = J
a) Chứng minh J thuộc đường thẳng cố định
b) Chứng minh I thuộc đường thẳng cố định
12

13. c) Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định.
Giải:
K
B
P
M
I
C A
J
N Q
D
a) Ta có ba mặt phẳng ( ABC ), ( BCD ), (α ) đôi một cắt nhau theo các giao tuyến
AC , MP , NQ nên theo tính chất về giao tuyến ta suy ra AC , MP , NQ cắt nhau tại một điểm. Suy
ra J ∈ AC
b) Vì I = MQ ∩ NP mà MQ ∈ ( MAD ), NP ∈ ( NAB ) ⇒ I ∈ d = ( MAD ) ∩ ( NAB )
c) Giả sử MN ∩ BD = K . Khi đó K , P , Q cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt (α ), ( ABD )
Nên K , P , Q thẳng hàng. Hay PQ đi qua điểm K cố định
Ví dụ 3) Cho tứ diện ABCD có M là trung điểm của AB , N ∈ AC sao cho NA = 2 NC . Mặt
phẳng (α ) thay đổi đi qua M , N cắt các cạnh BD , CD ở P,Q
a) Chứng minh MN , PQ , BC đồng quy
b) Gọi K là giao điểm của MQ, NP . Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định
13

14. PB QC
c) Gọi I là giao điểm của MP, NQ . Biết ID = AD . Tính các tỷ số ;
PD QD
Giải:
A
M
P D
B K
N
Q
C I
H
a) Kéo dài MN ∩ BC = H . Nối HQ ∩ BD = P .
Ta thấy ba mặt phẳng ( ABC ), ( BCD ), ( MNQP ) đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là
MN , PQ , BC . Suy ra MN , PQ , BC đồng quy tại H
b) Ta có điểm K ∈ MQ ∈ ( MCD ) ; K ∈ NP ∈ ( NBD ) suy ra điểm K thuộc giao tuyến của 2
mặt phẳng cố định ( MCD ), ( NBD )
c) Ta thấy ba mặt phẳng ( ABC ), ( ACD ), ( MNQP ) đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến là
MP , NQ, AD nên ba giao tuyến này đồng quy tại I .
1
Ta có MA = − MB; HB = k HC ; NC = − NA
2
14

15.  1
Vì M , N , H thẳng hàng nên theo định lý Menelauyt ta có: ( −1) .k .  −  = 1 ⇒ k = 2
 2
Vậy HB = 2 HC
1
Trong tam giác ACD ta có: NA = −2 NC , QC = kQD , ID = IA . Mà N , Q, I thẳng hàng nên
2
1 QC
theo định lý Menelauyt ta có: ( −2 ) .k . = 1 ⇒ k = −1 ⇔ =1
2 QD
1
Xét tam giác BCD ta có HB = 2 HC , QC = −QD , PD = k PB ⇒ 2.( −1).k = 1 ⇒ k = −
2
Suy ra PB = 2 PD.
PHẦN II: QUAN HỆ SONG SONG
VẤN ĐỀ 1: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, MỘT ĐƯỜNG
THẲNG SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Phương pháp:
• Để chứng minh hai đường thẳng song song với nhau ta có thể dùng các cách:
* Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ 3
* Hai đường thẳng đó là giao tuyến của hai mặt phẳng song song với mặt phẳng thứ 3
* Dùng định lý Talet
* Dựa vào tính chất: Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song với nhau thì giao
tuyến nếu có sẽ song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
• Để chứng minh đường thẳng ( d ) song song với mặt phẳng (Q ) ta có thể làm theo các cách
sau:
* Chứng minh d / / d '; d ' ∈ ( P)
* Tìm mặt phẳng (Q) chứa d sao cho (Q) / /( P) dựa vào tính chất nếu hai mặt phẳng song
song song thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia. Suy ra
d / /( P)
* Tìm mặt phẳng (Q) chứa (d). Tìm giao tuyến ∆ của ( P),(Q) . Chứng minh đường thẳng ( d )
song song với giao tuyến ∆ của ( P),(Q)
15

16. • Chứng minh hai mặt phẳng song song.
* Tìm trong mặt phẳng ( P) hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với (Q)
* Tìm trong mặt phẳng ( P) hai đường thẳng cắt nhau a, b tìm trong (Q) hai đường thẳng cắt
nhau c, d sao cho a / / c; b / / d
* Dựa vào tính chất bắc cầu: ( P) / /( R);(Q) / /( R) ⇒ ( P) / /(Q)
Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang ( AD / / BC ) . Gọi M là trọng tâm
1
tam giác SAD . N là điểm thuộc AC sao cho NA = NC , P là điểm thuộc CD sao cho
2
1
PD = PC
2
a) Chứng minh MN / /( SBC )
b) Chứng minh ( MNP ) / /( SBC )
Giải:
S
M
A D
I
N P
K
B C
a) Gọi I là trung điểm của AD thì MN ∈ ( SIN )
Kéo dài IN cắt BC tại K thì ( SIN ) ∩ ( SBC ) = SK
IN AN IM 1
Ta có = = = ⇒ MN / / SK ⇒ MN / /( SBC )
IK AC IS 3
16

17. NC PC
b) Ta có = = 2 ⇒ NP / / AD / / BC . Kết hợp với câu a) ta có ( MNP ) / /( SBC )
NA PD
Ví dụ 2) Cho hình hộp ABCDA ' B ' C ' D ' . Gọi I là trung điểm của AB '
a) Chứng minh C ' I / /( ACD ')
b) M là một điểm thuộc cạnh DD ' . Xác định giao tuyến các mặt phẳng (C ' IM ), ( ACD ') .
Tìm vị trí của điểm M để giao tuyến này đi qua trung điểm của AD '
c) N là một điểm thuộc C ' D ' . Xác định giao điểm của AB, AD với mặt phẳng ( IMN )
Giải:
P
A
D
Q
R E
C
B
I K M
J
H
A'
D'
N
B' C'
a) Ta có C ' I ∈ ( ADC ' B ') . Gọi J là giao điểm của DC ', D ' C
Ta có ( ADC ' B ') ∩ ( ACD ') = AJ . Vì AJ / / C ' I ⇒ C ' J / /( ACD ')
b) Vì hai mặt phẳng (C ' MI ) và ( ACD ') chứa hai đường thẳng C ' I / / AJ nên giao tuyến
của nó là đường thẳng song song với AJ . Giả sử C ' M ∩ CD ' = H . Trong mặt phẳng ( ACD ')
qua H kẻ đường thẳng HK / / AJ thì HK chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (C ' MI ) và
( ACD ') .
KD ' HD '
Do = nên K là trung điểm của AD ' khi H là trung điểm của D ' J .
KA HJ
17

18. MD ' MD ' HD ' 1
Suy ra = = =
DD ' CC ' HC 3
c) Do hai mặt phẳng ( ABB ' A ') và ( DCC ' D ') song song với nhau nên hai mặt phẳng đó sẽ
cắt mặt phẳng ( MNI ) theo hai giao tuyến song song với nhau.
Qua I kẻ đường thẳng song song với MN cắt AB, AA ' tại P, R thì PR là giao tuyến của
( IMN ) với ( ABB ' A ') , P là giao điểm của AB và ( IMN )
Trong mặt phẳng ( ADD ' A ') đường thẳng RM ∩ AD = Q ⇒ AD ∩ ( IMN ) = Q
Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Hai điểm M và N lần lượt thay đổi
BM NC
trên các đoạn thẳng SB, AC sao cho = = x ( 0 < x ≠ 1) . Gọi G là trọng tâm tam giác
MS NA
SCD .
a) Chứng minh rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định khi x thay đổi.
b) Tìm x để ( GMN ) / / ( SAD )
c) Tìm x để NG / / ( SAB ) .
Giải:
S
M
B G C
Q
H N
T A D
P
BM NC BN
a) Gọi P là giao điểm của BN với AD . Ta có : = =
MS NA NP
18

19. Do đó MN / / SP . Vậy MN song song với mặt phẳng ( SAD ) cố định.
b) Do MN / / SP nên hai mặt phẳng ( GMN ) và ( SAD ) song song với nhau khi và chỉ khi
NG / / ( SAD ) . Gọi Q là trung điểm của DC . Suy ra ba điểm S , G , Q thẳng hàng.
Đường thẳng NQ lần lượt cắt AD và AB tại T và H .
NQ GQ 1
Ta có: NG / / ( SAD ) ⇔ NG / / ST ⇔ = = ⇔ N là trọng tâm tam giác TCD .
NT GS 2
NC
⇔ x= =2
NA
NQ GQ 1 NC 1 1
c) NG / / ( SAB ) ⇔ NG / / SH ⇔ = = ⇔ = ⇔x= .
NH GS 2 NA 2 2
Ví dụ 4) Cho lăng trụ ABCA ' B ' C ' . Gọi I , K , G lần lượt là trọng tâm các tam giác
ABC , A ' B ' C ', A ' CC ' . Chứng minh rằng
a) ( IKG ) / /( BCC ' B ')
b) Gọi H là trung điểm của BB ' . Chứng minh ( AIH ) / /( A ' KG )
Giải:
A' C'
K N
B' G
M
H
C
A
I L
B
19

20. a) Gọi M , N , L lần lượt là trung điểm của CC ', B ' C ', BC
Mặt phẳng ( A ' MN ) có KG / / MN mà MN ∈ ( BCC ' B ') ⇒ KG / /( BCC ' B ')
Trong mặt phẳng ( AA ' NL) có KI / / NL mà NL ∈ ( BCC ' B ') ⇒ IK / /( BCC ' B ')
Mặt phẳng ( IKG ) chứa hai đường thẳng KG , IK cùng song song với
( BCC ' B ') ⇒ ( IKG ) / /( BCC ' B ')
b) Ta thấy ( AIH ) ≡ ( AIL ) .
Nhưng ta có AL / / A ' K , HL / / NM ⇒ ( AHL ) / /( A ' KM ) ⇔ ( AHI ) / /( A ' KG )
VẤN ĐỀ 2: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN KHI CẮT HÌNH CHÓP, LĂNG TRỤ BỞI MẶT
PHẲNG CHO TRƯỚC
Khi xác định thiết diện ta cần nắm chắc các tính chất.
- Hai đường thẳng song song thì luôn xác định một mặt phẳng
- Nếu mặt phẳng ( P ) song song với đường thẳng ( d ) thì mặt phẳng ( P ) sẽ cắt các mặt
phẳng chứa ( d ) (nếu có) theo giao tuyến song song hoặc trùng với ( d )
- Hai mặt phẳng ( P ), (Q ) song song với nhau khi mặt phẳng ( P ) chứa hai đường thẳng cắt
nhau cùng song song với (Q )
Để tính diện tích thiết diện ta cần nhớ:
1 1 abc
- S ∆ABC = ah = ab sin C = = pr ( Tương tự ta có công thức theo các cạnh còn lại)
2 2 4R
- S hv = a 2 ; S hcn = ab;
1
- Diện tích hình thang S = (a + b) h (trong đó a, b, h lần lượt là độ dài hai cạnh đáy,
2
đường cao).
- Nếu ABCD là tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau có độ dài
1
m, n ⇒ S = mn
2
- Nếu đáy là hình đa giác bất kỳ ta cần khéo léo chia nhỏ để tạo các hình đặc biệt rồi cộng
hoặc trừ các diện tích.
- Khi giải các bài toán liên quan đến GTLN , GTNN ta cần nhớ các bất đẳng thức cơ bản:
a + b ≥ 2 ab ; a + b + c ≥ 3 3 abc ; (ax + by + cz )2 ≤ (a 2 + b 2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 )
sin x, cos x ∈ [ − 1;1] ….
20

21. - Định lý cosin: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
2(b 2 + c 2 ) − a 2
- Công thức tính đường trung tuyến ma 2 = , ……
4
Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N , I là trung điểm
các cạnh AB, CD, SA .
a) Chứng minh SC / / ( MNI )
b) P là một điểm thuộc cạnh SB . Xác định giao tuyến của các mặt phẳng ( CIM ) và
( APN ) .
c) Q là một điểm thuộc mặt bên ( SAD ) . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt
phẳng ( CPQ ) .
Giải:
a) Gọi J là trung điểm của SD . Ta có IJ / / MN nên I , J , M , N cùng thuộc một mặt
phẳng. Mặt khác SC / / JN , suy ra SC / / ( IMN ) hoặc có thể thấy ( SBC ) / / ( IMN ) nên
SC / / ( IMN )
S
I J
A H
D
M O N
B C
Ta cũng có thể chứng minh theo cách: SC ∈ ( SAC ) , ( SAC ) ∩ ( MNI ) = IO
Mà IO / / SC ⇒ SC / /( MNI )
21

22. b) Trong mặt phẳng ( SAB ) , IM cắt AP tại K . Vì hai mặt phẳng ( CIM ) và ( APN ) .
Chứa hai đường thẳng CM / / AN nên giao tuyến của nó là đường thẳng song song với CM .
Trong mặt phẳng ( CIM ) kẻ đường thẳng đi qua K và song song với CM cắt CI tại H thì
đường thẳng HK là giao tuyến cần tìm.
S
I
P
K H
A
D
M O N
B C
c) Dựa vào tính chất.
+ Nếu mặt phẳng ( P ) song song với đường thẳng ( d ) thì ( P ) cắt tất cả các mặt phẳng chứa ( d )
theo giao tuyến song song hoặc trùng với ( d )
+ Ba mặt phẳng đôi một cắt nhau thì 3 giao tuyến sẽ song song hoặc đồng quy với nhau.
• Ta thấy rằng hai mặt phẳng ( SBC ), ( SAD ) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng qua S
song song với BC
• Kéo dài CP cắt giao tuyến nói trên tại điểm T
Ta có 2 khả năng sau:
+ Trong mp ( SAD ) , TQ cắt các cạnh SA, AD tại U , V . Thiết diện là tứ giác CPUV .
22

23. T S
U
P
Q
A R D
O N
B C
+ Trong mp ( SAD ) , TQ cắt các cạnh SA, SD tại U , V . Thiết diện là tứ giác CPUV .
S
T
U Q
R
P
A
D
N
B C
Ví dụ 2) Cho lăng trụ ABCA ' B ' C ' . Gọi I là trung điểm cạnh AB và (α ) là mặt phẳng đi qua
I và song song với AB ', BC ' .
a) Xác định giao tuyến của các mặt phẳng (α ) . Chứng minh (α ) là trung điểm của AC ' .
23

24. AJ
b) J là điểm trên đoạn AC ' sao cho = 4 . Kí hiệu ( β ) là mặt phẳng đi qua J và
C'J
song song với A ' I , BC ' . Xác định thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng ( β ) .
Giải:
a) Hình vẽ
M
A
C
I
B
K
A' C'
N
B'
Xác định giao tuyến của các mặt phẳng (α ) . Chứng minh (α ) là trung điểm của AC ' .
Do AB '/ / (α ) nên trong mp ( ABB ' A ') , đường thẳng qua I và song song với AB ' và AA ', BB '
tại M , K thì M , K là giao điểm của AA ', BB ' với (α )
Do BC '/ / (α ) nên trong mp ( BB ' CC ') , đường thẳng qua K và song song với BC ' cắt CC ' tại
N thì đường thẳng qua KN là giao tuyến của (α ) và ( BB ' CC ')
24

25. BB '
Để ý I , K là trung điểm AB, BB ' nên AM = BK = C ' N = , do đó tứ giác AMC ' N là hình
2
bình hành; mà MN lại là giao tuyến của (α ) và ( AA ' C ' C ) suy ra (α ) đi qua trung điểm của
AC ' .
b) Hình vẽ
S
A
C
I
P V
B
J
A' C'
Q T
R B'
Trong mp ( ABC ') , qua J kẻ đường thẳng song song với BC ' cắt AB tại P thì P
là giao điểm của AB với ( β ) .
Trong mp ( ABB ' A ') , qua P kẻ đường thẳng song song với A ' I cắt A ' B ' tại Q ,cắt AA ', BB '
tại R , S .
Trong mặt phẳng ( ACC ' A ') ta có RJ cắt A ' C ', CC ' tại T , U .
Trong mp ( BB ' C ' C ) , SU cắt BC tại V .
Ta có ngũ giác PQTUV là thiết diện cần tìm.
Chú ý: Nếu gọi O là trung điểm AC ' thì IO / / BC ' và (α ) có thể xem là mặt phẳng đi qua J
và song song với ( A ' IC ) và yêu cầu trở thành xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng ( β ) đi qua
J và song song với ( A ' IC ) .
25

26. Ví dụ 3) . Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SA = SB = a, SC = SD = a 3 . Gọi
E , F lần lượt là trung điểm SA, SB . Điểm M bất kỳ thuộc cạnh BC , đặt BM = x ( 0 ≤ x ≤ a )
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi ( MEF ) . Thiết diện là hình gì?
b) Tính FM và diện tích thiết diện theo a và x .
Giải:
S
E F
D C
N H M
A B
a) Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD tại N , khi đó thiết diện cần tìm là
tứ giác MNEF và MN / / EF / / AB
Ta có ∆SAD = ∆SBC (do SA = SB, SC = SD, AD = BC ) ⇒ SAD = SBC
a
⇒ ∆AEN = ∆BFM (do AE = BF = , AN = BM , EAN = FBM ) ⇒ EN = FM ⇒ tứ giác
2
EFMN là hình thang cân.
b) Áp dụng định lý hàm số coossin trong tam giác SBC ta có:
SB 2 + BC 2 − SC 2 a 2 + a 2 − 3a 2 1
cos SBC = = 2
=−
2 SB.BC 2a 2
26

27. a.x a 2 + 2ax + 4 x 2 ( a + x ) + 3 x
2 2
a2
FM = FB + BM − 2 FB.BM .cos SBC =
2 2 2
+x +
2
= =
4 2 4 4
a
a−
2 = a ⇒ FH 2 = FM 2 − HM 2 = ( a + x ) + 3 x − a = 3a + 8ax + 16 x
2
MN − EF
2 2 2 2
HM = =
2 2 4 4 16 16
1 1 3a 3a 2 + 8ax + 16 x 2 3a
⇒ S MNEF = ( MN + EF ) .FH = . = 3a 2 + 8ax + 16 x 2
2 2 2 16 16
Ví dụ 4)
Trong (α ) , cho tam giác ABC vuông tại A , ACB = 600 , AB = a . Gọi O là trung điểm của BC .
Lấy S ngoài mp (α ) sao cho SB = a và SB ⊥ OA . Gọi M là điểm trên AB , mp ( β ) qua M
song song với SB và OA , cắt BC , SC , SA lần lượt tại N , P, Q . Đặt x = BM ( 0 < x < a ) .
a) Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình thang vuông.
b) Tính theo a , x diện tích hình thang này. Tìm x để diện tích hình thang lớn nhất.
Giải:
S
P
a
Q
C N
O B
x
M
a
A
a) Do ( β ) song song với OA và SB nên giao tuyến của ( β ) với ( ABC ) song song với
OA . Giao tuyến của ( β ) với ( SAB ), ( SBC ) song song với SB .
Suy ra cách xác định thiết diện:
27

28. Qua M kẻ MN / / OA, N ∈ [ BC ] ; qua M kẻ MQ / / SB, Q ∈ [ SA] ; qua N kẻ NP / / SB, P ∈ [ SC ]
Do đó thiết diện là tứ giác MNPQ có MQ / / NP
Do OA ⊥ SB nên MQ ⊥ MN , NP ⊥ MN
Vậy tứ giác MNPQ là hình thang vuông.
BC
b) Ta có OA =
2
AB a 2a 3 a 3 MN BM BM x a 3 x 3
BC = 0
= = ⇒ OA = ; = ⇒ MN = .OA = . =
sin 60 3 2 3 OA BA BA a 3 3
2
MQ AM a−x NB MB x a 3 3x
= ⇒ MQ = .a = a − x; = ⇒ NB = . =
SB AB a BO AB a 3 3
2a 3 x 3 3 ( 2a − x ) CN 3 ( 2a − x ) 3 2a − x
⇒ CN = − = ⇒ = . =
3 3 3 CB 3 2a 3 2a
NP 2a − x 2a − x
⇒ = ⇒ NP =
SB 2a 2
1 1 2a − x  x 3 3
⇒ S MNPQ = ( MQ + NP ) .MN =  a − x + . = ( 4a − 3 x ) x
2 2 2  3 12
1 ( 4a − 3 x + 3 x )
2
1 4a 2
Theo bất đẳng thức cô-si ta có: ( 4a − 3 x ) x = ( 4a − 3 x ) .3 x ≤ = .
3 3 4 3
3 4a 2 3a 2
Suy ra S MNPQ ≤ . =
12 3 9
3a 2 2a
Vậy thiết diện MNPQ đạt giá trị lớn nhất bằng khi x = .
9 3
Ví dụ 5) Cho hình chóp SABCD đáy là nửa lục giác đều với BC = 2a, AB = AD = CD = a . Mặt
bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC , BD . Biết SD vuông góc với AC
a) Tính SD
b) Mặt phẳng (α ) qua điểm M thuộc đoạn BD và song song với SD và AC .
28

29. BM
Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt (α ) theo a và x = . Tính x để diện tích
3
thiết diện là lớn nhất.
Giải:
S
K
Q
G J
C T
B
F
M P
E
O
A N M D
a) Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại T do AC ⊥ SD nên DT ⊥ SD
Ta có CT = CD = a . Áp dụng định lý coossin trong tam giác DTC ta có:
DT 2 = DC 2 + CT 2 − 2 DC.CT .cos1200 ⇒ DT 2 = 2a 2 + a 2 = 3a 2 ⇒ DT = a 3
ST 2 = SC 2 + CT 2 − 2 SC.CT .cos1200 = 4a 2 + a 2 + 2a 2 = 7 a 2 ⇒ ST = a 7
Trong tam giác vuông SDT ta có: SD 2 = ST 2 − DT 2 = 7 a 2 − 3a 2 = 4a 2 ⇒ SD = 2a Ta có
SA = SD = 2a
a) Ta có SA = SD = 2a
Trường hợp 1: M thuộc đoạn thẳng BO . Qua M kẻ đường thẳng song song AC cắt
AB, AC lần lượt tại E và F . Qua M kẻ đường thẳng song song SD cắt SB tại G
1
Khi đó thiết diện cần tìm là tam giác EGF ( GM ⊥ EF ) do đó S EGF = EF .GM
2
Ta có
29

30. AC = BD = a 3 
 2a 3 a 3 EF BM BM . AC x 3.a 3 3 x 3
 ⇒ BO = , DO = ; = ⇒ EF = = =
BO = 2OD 
 3 3 AC BO BD 2a 3 2
3
GM BM BM .SD 2ax 3 1 3x 3 3 3x 2
= ⇒ GM = = = 2 x . Suy ra S EFG = .2 x. = .
SD BD BD a 3 2 2 3
2a 3 2a
Do đó 0 ≤ x 3 ≤ BO ⇒ x 3 ≤ ⇒x≤
3 3
3 3 4a 2 2 3a 2 2a
Suy ra diện tích tam giác EFG đạt giá trị lớn nhất bằng . = khi x = .
2 9 3 3
Trường hợp 2:
M thuộc đoạn thẳng OD .
Qua M kẻ đường thẳng song song AC cắt AD, DC lần lượt tại N và P .
Qua M , N , P kẻ các đường thẳng song song SD cắt SA, SB, SC lần lượt tại J , Q , K . Khi đó
thiết diện cần tìm là ngũ giác NPQKJ
Do JN ⊥ NP; KM ⊥ NP; PQ ⊥ NP
1 1 1
⇒ S NPQKJ = S MNKJ + S MKPQ = ( NJ + MK ) MN + ( MK + PQ ) MP = ( NJ + MK ) NP
2 2 2
(do JN = PQ )
a 3
Vì BM = x 3 nên MD = a 3 − x 3 = 3 ( a − x ) , OD =
3
NP DM DM . AC 3 ( a − x ) .a 3
= ⇒N = = = 3 3 (a − x)
AC DO DO a 3
3
NJ AN ND MD 3 ( a − x ) 3 x − 2a 3 x − 2a
= = 1− = 1− = 1− = ⇒ NJ = .2a = 2 ( 3 x − 2a )
SD AD AD DO a a a
KM BM BM .SD x 3.2a
= ⇒ KM = = = 2x
SD BD BD a 3
30

31. 1 1
⇒ S NPQKJ = ( 6 x − 4a + 2 x ) .3 3 ( a − x ) = ( 8 x − 4a ) 3 3 ( a − x ) = 6 3 ( 2 x − a )( a − x )
2 2
1  2 x − a + 2 a − 2a 
2
a2 3 3a 2 3a
Do ( 2 x − a )( a − x ) ≤   = ⇒ S NPQKJ = ⇔x=
2 2  8 4 4
3 3x 2
Kết luận: Khi M thuộc đoạn thẳng BO diện tích thiết diện bằng , diện tích thiết diện đạt
2
2 3a 2 2a
giá trị lớn nhất bằng khi x =
3 3
Khi M thuộc đoạn thẳng OD diện tích thiết diện bằng 6 3 ( 2x − a )( a − x ) , diện tích thiết diện
3 3 2 3a 3 3 2
đạt giá trị lớn nhất bằng a khi x = .Vậy diện tích thiết diện lớn nhất bằng a khi
4 4 4
3a
x=
4 .
Ví dụ 6) Cho hình lăng trụ ABCA ' B ' C ' . Gọi I là trung điểm của cạnh B ' C ' .
a) Chứng minh AB '/ / ( A ' IC )
b) M là một điểm thuộc cạnh A ' C ', AM cắt A ' C tại P, B ' M cắt A ' I tại Q .
2
Chứng minh PQ / / AB ' . Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác A ' PQ bằng diện tích tam
9
giác ACI .
c) J là diểm thuộc cạnh AC, JA = 3JC . Kí hiệu (α ) là mặt phẳng đi qua J và song song
với AB ', IC . Xác định thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (α ) .
Lời giải:
a) Gọi O là trung điểm của A ' C thì A ' B / / IO , do đó AB '/ / ( A ' IC )
b) Ta có PQ là giao tuyến của ( AB ' M ) và ( A ' IC ) nên PQ / / A ' B / / IO
2 4 A 'Q 2
S A ' PQ =
S A 'CI = S A 'OI khi và chỉ khi = . Vậy Q là trọng tâm tam giác A ' B ' C ' , suy ra
9 9 A' I 3
M là trung điểm A ' C ' .
31

32. A
C
O B
P
M
A' C'
Q
B'
c) Do AB '/ / ( A ' IC ) nên (α ) chính là mp qua J và song song với ( A ' IC ) .
Trong mp ( ACC ' A ') , kẻ đường thẳng qua J và song song với AC ' cắt AA ' tại N , cắt
A ' C ', C ' C tại R , S .
Trong mp ( BCC ' B ') , kẻ đường thẳng qua S và song song với IC cắt BC , B ' C ' tại K , H .
Trong mp ( AC ' B ') , RH cắt A ' B ' tại L .
Ta có ngũ giác JKHLM là thiết diện cần dựng.
Chú ý: Có thể “bắt đầu” bằng cách kẻ trong mặt phẳng ( ACB ') đường thẳng qua J và song
song với AB ' cắt CB ' tại điểm D thì D là giao điểm của ( CB ') với (α ) . (Tương tự như đã
làm với việc xác định điểm P trong mặt phẳng ( ABC ') ở câu b bài 3 trên). Sau đó trong mp
( BCC ' B ') kẻ đường thẳng qua D và song song với IC để tìm các giao điểm S , K , H của
CC ', BC , B ' C ' với (α ) …
32

33. S
A J
C
K
B
N
R A'
C'
L I
H
B'
VẤN ĐỀ 3: CHỨNG MINH MỘT HỆ THỨC HÌNH HỌC
Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Một mặt phẳng ( P )
cắt các cạnh SA, SB, SC , SD lần lượt ở M , N , E , F .
SA SC SB SD
Chứng minh + = +
SM SE SN SF
Giải:
S
S
F
M E
I
E M I
N D H
A
C
A O
O
K
B C
33

34. Trước hết ta cần chứng minh tính chất: ‘’Cho tam giác SAC có O là trung điểm của AC . Một
SA SC SO
đường thẳng bất kỳ cắt các cạnh SA, SO, SC tại M , I , E . Khi đó ta có: + =2 ’’
SM SE SI
Thật vậy ta kẻ các đường thẳng qua A, C song song với ME cắt SO lần lượt ở H , K thì
OH = OK do hai tam giác ∆AHO = ∆CKO
SA SH SO − OH SO OH SC SK SO + OK SO OK
Bây giờ ta có: = = = − và = = = +
AM SI SI SI SI SE SI SI SI SI
SA SC SO
Cộng hai đẳng thức với nhau và chú ý: OH = OK ta thu được: + =2
SM SE SI
SA SC SO SB SD SO
Quay trở lại bài toán: Áp dụng tính chất trên ta có: + =2 và + =2
SM SE SI SN SF SI
SA SC SB SD
Từ đó suy ra + = + .
SM SE SN SF
Ví dụ 2) Cho tứ diện ABCD . Điểm O nằm trong tam giác BCD . Qua O kẻ các đường thẳng
song song với AB, AC , AD cắt các mặt phẳng ( ACD ), ( ABD ), ( ABC ) lần lượt tại M , N , P .
OM ON OP
a) Chứng minh: + + là hằng số
AB AC AD
b) Tìm giá trị lớn nhất của OM .ON .OP
Giải:
A
B
K F
N O
M
P K D D H Q E C
B
O
F E
C
34

35. a)
• Qua O nối các đường thẳng BO, CO, DO cắt các cạnh CD, BC , BD của tam giác BDC lần
lượt ở E , F , K .
• Trong các mặt phẳng ( ABE ), ( AKC ), ( ADF ) ta kẻ các đường thẳng qua O song song với
AB, AC , AD cắt AE , AK , AF tại M , N , P thì M , N , P là giao điểm của các đường thẳng song
song với AB, AC , AD và các mặt phẳng ( ACD ), ( ABD ), ( ABC ) .
OM OE OQ S ∆OCD
• Ta có = = = (1) với Q, H là chân đường cao hạ từ O, B lên CD
AB EB BH S ∆BCD
ON S ∆OBD OP S ∆OBC
Hoàn toàn tương tự ta cũng có: = (2) ; = (3)
AC S ∆BCD AD S ∆BCD
Cộng ba đẳng thức (1), (2), (3) ta thu được:
OM ON OP S ∆OCD S ∆OBD S ∆OBC S ∆BCD
+ + = + + = =1
AB AC AD S ∆BCD S ∆BCD S ∆BCD S ∆BCD
OM ON OP OM .ON .OP
b) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: + + ≥ 33
AB AC AD AB. AC. AD
OM .ON .OP 1
⇔ 1 ≥ 33 ⇔ OM .ON .OP ≤ AB. AC. AD
AB. AC. AD 27
1
Vậy giá trị lớn nhất của OM .ON .OP là AB. AC . AD .
27
OM ON OP 1 OK OF OE 1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = = = ⇔ = = =
AB AC AD 3 CK DF BE 3
Hay O là trọng tâm của tam giác BCD
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1) Cho tứ diện ABCD có M là trung điểm của cạnh AB , N là điểm trên cạnh BC sao
cho BN = 2CN
a) Tìm giao điểm của MN với mp( ACD )
b) P là một điểm thuộc cạnh CD . Xác định giao tuyến của ( MCD ) và ( ANP )
c) Xác định thiết diện của hình chop khi cắt bởi mặt phẳng ( MNP )
35

36. Câu 2) Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác ABC , I là trung điểm cạnh BD và J
JC
thuộc CD sao cho =2
JD
a) Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng (GIJ )
b) M là điểm thuộc đoạn AJ . Xác định giao điểm của GM với ( ABD )
Câu 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là trung điểm của cạnh SA ,
N là điểm thuộc cạnh BC
a) Xác định giao điểm của SC với ( MND )
b) P là một điểm thuộc cạnh CD .Xác định giao tuyến của ( MND ) và ( SBP )
c) Xác định thiết diện của hình chop khi cắt bởi mặt phẳng ( MNP )
Câu 4) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AD , M là trung
điểm của cạnh SA , N là điểm thuộc cạnh SC ( N không là trung điểm của SC )
a) Xác định giao tuyến của ( ABN ), (CDM )
b) Tìm giao điểm của MN với ( SBD )
c) P là một điểm thuộc cạnh AB . Xác định thiết diện của hình chop khi cắt bởi mặt phẳng
( MNP )
Câu 5) Cho hình chóp SABCD , M là điểm thuộc mặt bên ( SCD )
a) Xác định giao tuyến của ( SAC ), ( SBM )
b) Xác định giao điểm của AM với ( SBD )
Câu 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là điểm thuộc SD sao cho
1
SM = SD
3
a) Xác định giao điểm của BM với ( SAC )
b) N là điểm thay đổi trên BC . Xác định giao tuyến của ( AMN ), ( SBC ) . Chứng minh giao
tuyến này luôn đi qua một điểm cố định.
c) G là trọng tâm tam giác SAB . Xác định thiết diện của hình chop khi cắt bởi mặt phẳng
( MNG )
Câu 7) Cho tứ diện ABCD gọi I , J lần lượt là trung điểm của AC , BC . Trên cạnh BD lấy
điểm K sao cho BK = 2 KD
a) Tìm giao điểm E của CD và ( IJK ) . Chứng minh DE = DC
b) Tìm giao điểm F của AD và ( IJK ) . Chứng minh FA = 2 FD
36

37. c) Chứng minh FK / / IJ
d) Gọi M , N là hai điểm bất kỳ nằm trên hai cạnh AB, CD . Tìm giao điểm của MN và
( IJK )
Câu 8) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M là trung điểm
của SB , G là trọng tâm tam giác SAD
a. Tìm giao điểm I của GM với ( ABCD )
b. Chứng minh rằng I ở trên đường thẳng CD và IC = 2 ID
KA
c. Tìm giao điểm K của (OMG ) với SA . Tính
KS
Câu 9) Cho hình chóp SABCD , Gọi I , J là 2 điểm trên AD, SB
a. Tìm các giao điểm K , L của IJ và DJ với mặt phẳng ( SAC )
b. AD cắt BC tại O , OJ cắt SC tại M . Chứng minh rằng A, K , L, M thẳng hàng
Câu 10) Cho hình chóp SABCD , M là một điểm trên cạnh BC , N là một điểm trên cạnh SD
a. Tìm giao điểm I của BN và ( SAC ) và giao điểm J của MN và ( SAC ) , DM cắt AC
tại K . Chứng minh S , K , J thẳng hàng
b. Xác định thiết diện của hình chóp SABCD với mặt phẳng ( BCN )
Câu 11) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N , P là trung
điểm của BC , CD , SO . Tìm giao tuyến của mặt phẳng ( MNP ) với các mặt phẳng
( SAB ), ( SAD ), ( SBC ), ( SCD )
Câu 12) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn là AB . Trên SA, SB lấy
M , N sao cho MN không song song với AB . Gọi O = AC ∩ BD
a) Tìm giao điểm của AB và ( MNO )
b) Tìm giao tuyến của ( MNO ) với ( SBC ), ( SAD )
c) Gọi I là giao điểm của hai giao tuyến nói trên, J là giao điểm của AD, BC . Chứng minh
S , I , J thẳng hàng.
Câu 13) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là trung điểm của SC
IA
a) Tìm giao điểm I của AM với ( SBD ) . Tính
IM
b) Tìm giao điểm F của SD và ( ABM ) . Suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng
( ABM )
37

38. c) Gọi N là điểm tùy ý thuộc AB . Tìm giao điểm K của MN với SBD
Câu 14) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N , P lần lượt là
trung điểm của SA, BC , CD . Xác định thiết diện của
a) Hình chóp SABCD với mặt phẳng ( MNP )
b) Hình chóp SABC với mặt phẳng ( MNP )
c) Hình chóp SABD với mặt phẳng ( MNP )
Câu 15) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn là AD . Gọi M , N là
trung điểm của SA, SB
a) Tìm giao điểm của SC với ( DMN )
b) Xác định thiết diện của hình chóp SABCD với mặt phẳng ( MND )
Câu 16) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N là trung
điểm của SB, SD . P là một điểm trên SC sao cho SP > PC . Tìm giao tuyến của mặt phẳng
( MNP ) với các mặt phẳng ( SAC ), ( SAB ), ( SAD ), ( ABCD )
Câu 17) Cho lăng trụ ABCA ' B ' C ' . Gọi M là trung điểm của A ' B ' . Điểm N thay đổi trên
đoạn BB ' . Gọi P là trung điểm của đoạn C ' N
a) Chứng minh rằng MP / / ( AA ' C ' C )
b) Chứng minh rằng MP luôn thuộc mặt phẳng cố định khi N thay đổi.
c) Tìm vị trí của N thuộc BB ' sao cho MP song song với A ' C
ĐS: c) N ≡ B
Câu 18) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang ( AD / / BC ) . Gọi M là trọng tâm tam
1
giác SAD , N là điểm thuộc đoạn AC sao cho NA = NC , P là điểm thuộc đoạn CD sao cho
2
1
PD = PC . Chứng minh rằng:
2
a) MN / / ( SBC )
b) ( MNP ) / / ( SBC )
38

39. Câu 19) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Hai điểm M , N lần lượt thay đổi
BM NC
trên các đoạn thẳng SB, AC sao cho = = x ( 0 < x ≠ 1) . Gọi G là trọng tâm tam giác
MS NA
SCD
a) Chứng minh rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định khi x thay đổi
b) Tìm x để ( GMN ) / / ( SAD )
c) Tìm x để NG / / ( SAB )
1
ĐS: x = 2; x =
2
Câu 20) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp
khi cắt bởi mặt phẳng (α ) qua trung điểm M của BC và song song với BD, SC
Câu 21) Cho hình hộp ABCDA ' B ' C ' D ' . Các điểm M , N lần lượt thuộc đoạn AD, A ' C sao
AM 1 CN
cho MN / / ( BC ' D ) . Biết = . Tính .
AD 5 CA '
3
ĐS:
5
Câu 22) Trong mp (α ) , cho tam giác ABC vuông tại A , ACB = 600 , AB = a . Gọi O là trung
ˆ
điểm của BC . Lấy S ngoài mp (α ) sao cho SB = a và SB ⊥ OA . Gọi M là điểm trên AB , mp
( β ) qua M song song với SB và OA , cắt BC , SC , SA lần lượt tại N , P, Q . Đặt
x = BM ( 0 < x < a ) .
c) Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình thang vuông.
d) Tính theo a , x diện tích hình thang này. Tìm x để diện tích hình thang lớn nhất.
3
ĐS: S = (4a − 3x) x
12
Câu 23) Cho tứ diện ABCD trong đó AB ⊥ CD và AB = AC = CD = a , M là một điểm trên
cạnh AC với AM = x ( 0 < x < a ) . Mặt phẳng (α ) qua M , song song với AB và CD .
a) Xác định thiết diện của ABCD cắt bởi (α ) . Thiết diện là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện theo a và x . Tìm x để diện tích thiết diện là lớn nhất.
ĐS: S = x(a − x)
39

40. Câu 24) Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành tâm O. Điểm M di động trên SC , (α )
là mp qua AM và song song với BD .
a) Chứng minh rằng (α ) luôn chứa một đường thẳng cố định.
b) Tìm các giao điểm H và K của (α ) với SB và SD ( H ∈ SB, K ∈ SD ) . Chứng minh
SB SD SC
rằng k = + − có giá trị không đổi.
SH SK SM
ĐS: k = 1
Câu 25) Cho hình chóp SABCD với đáy là hình thang có AD / / BC . Điểm M nằm trong hình
thang ABCD . Từ M kẻ các đường thẳng song song với SA, SB lần lượt cắt các mặt
( SBC ), ( SAD ) tại N , P .
MN MP
a) Chứng minh rằng + là hằng số
SA SB
b) Tìm vị trí M để diện tích tam giác MNP lớn nhất.
ĐS: a) 1
Câu 26) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành tâm O
a) Từ một điểm M di động trên đoạn SA dựng đường thẳng song song với AD cắt SD tại
N , NB cắt SO tại P . Chứng minh MP đi qua một điểm cố định
CQ SM
b) Trên cạnh CD lấy điểm Q sao cho = . Tìm vị trí của M trên SA để tam giác
CD SA
MNQ có diện tích lớn nhất.
ĐS: b) M là trung điểm của SA .
Câu 27) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N , I là trung điểm
của các cạnh AB, CD, SA
a) Chứng minh SC / /( MNI )
b) P là một điểm thuộc SB . Xác định giao tuyến của (CIM ), ( APN )
c) Q là một điểm thuộc ( SAD ) , Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng
(CPQ )
Câu 28) Cho hình hộp ABCDA ' B ' C ' D ' . Gọi I là trung điểm của AB '
a) Chứng minh C ' I / /( ACD ')
b) M là một điểm thuộc DD ' . Xác định giao tuyến của các mặt phẳng (C ' IM ), ( ACD ') .
Tìm vị trí của M để giao tuyến này đi qua trung điểm của AD '
c) N là một điểm thuộc C ' D ' . Xác định các giao điểm của AB, AD với mặt phẳng ( IMN )
Câu 29) Cho lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' . Gọi I , K , G lần lượt là trọng tâm của các tam giác
ABC , A ' B ' C ', A ' CC '
40

41. a) Chứng minh mp ( IKG ) / / mp ( BB ' CC ')
b) Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng ( IKG )
c) Gọi H là trung điểm của BB ' . Chứng minh ( AHI ) / /( A ' KG )
Câu 30) Cho lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' .Gọi I , J , K là tâm các hình bình hành
ACC ' A ', BCC ' B ', ABB ' A '
a) Chứng minh IJ / /( ABB ' A '), JK / /( ACC ' A '), IK / /( BCC ' B ')
b) Chứng minh ba đường thẳng AJ , CK , BI đồng quy tại một điểm O
c) Mặt phẳng ( IJK ) song song với đáy lăng trụ
d) Gọi G , G ' là trọng tâm của hai mặt đáy. Chứng minh G , O , G ' thẳng hàng.
Câu 31) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC; ( P ) là
mặt phẳng qua AM và song song với BD .
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( P ) .
b) Gọi E và F lần lượt là giao điểm của ( P ) với các cạnh SB và SD . Hãy tìm tỉ số diện tích
của tam giác SBC và tỉ số diện tích của tam giác SMF với tam giác SCD .
c) Gọi K là giao điểm của ME với CB, J là giao điểm của MF và CD . Hãy chứng minh ba
EF
điểm K , A, J nằm trên một đường thẳng song song với EF và tìm tỉ số .
KJ
Câu 32) Cho hình chóp SABCD có đáy là tứ giác lồi. M là trung điểm của cạnh bên SA, N là
trung điểm của cạnh bên SC .
a) Xác định các thiết diện của hình chóp khi cắt bởi các mặt phẳng lần lượt qua M , N và song
song với mp ( SBD ) .
1
b) Gọi I , J là giao của hai mặt phẳng nói trên với AC . Chứng minh rằng IJ = AC .
2
Câu 33) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng ( P ) cắt các cạnh bên
SA, SB, SC , SD lần lượt tại A ', B ', C ', D ' . Chứng minh rẳng tứ giác A ' B ' C ' D ' là hình bình hành
khi và chỉ khi mặt phẳng ( P ) song song với mặt phẳng ( ABCD ) .
Câu 34) Cho hình chóp SABC . Các điểm I , J , K lần lượt là trọng tâm các tam giác
SAB, SBC , SCA .
a) Chứng minh rằng ( IJK ) / / ( ABC )
41

42. b) Tìm tập hợp các điểm M nằm trong hình chóp SABC sao cho KM song song với mp ( ABC )
Câu 35) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang ( AB / /CD ) . Điểm M thuộc cạnh BC
không trùng với B và C .
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( P ) qua M và song song với mp
( SAB ) . Thiết diện là hình gì?
b) Gọi E và F lần lượt là giao điểm của mp ( P ) với SD và SC . Chứng minh rằng giao điểm I
của NE và MF chạy trên một đường thẳng cố định.
Câu 36) Cho tứ diện ABCD . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Một mặt
phẳng qua IJ cắt các cạnh AD và BC lần lượt tại N và M .
a) Cho trước điểm M , nêu cách dựng điểm N .
b) Gọi K là giao điểm của MN và IJ . Chứng minh rằng K là trung điểm của MN .
Câu 37) Cho hình hộp ABCDA ' B ' C ' D ' có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh bằng a . Các
(
điểm M , N lần lượt nằm trên AD ', DB sao cho AM = DN = x 0 < x < a 2 )
a) Chứng minh rằng khi x biến thiên, đường thẳng MN luôn song song với một mặt phẳng cố
định.
a 2
b) Chứng minh rằng khi x = thì MN / / A ' C .
3
Câu 38) Cho hình hộp ABCDA1 B1C1 D1 . Gọi O1 là tâm của hình bình hành A1 B1C1 D1 ; K là trung
điểm của CD; E là trung điểm của BO1 .
a) Chứng minh rằng E nằm trên mp ( ACB1 )
b) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mp ( P ) qua điểm K và song song với mp ( EAC )
Câu 39) Cho lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' . Trên đường thẳng BA lấy một điểm M sao cho A
1
nằm giữa B và M , MA = AB .
2
a) Xác định thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi mp ( P ) qua M , B ' và trung điểm E của AC .
b) Tính tỉ số
BD
CD
( D = BC ∩ ( MB ' E ) ) .
42

43. Câu 40) Cho lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' . Gọi I , J , K lần lượt là tâm của các hình bình hành
ACC ' A, BCC ' B ', ABB ' A ' .
a) Chứng minh rằng: IJ / / ( ABB ' A ') , JK / / ( ACC ' A ') , IK / / ( BCC ' B ') .
b) Ba đường thẳng AJ , CK , BI đồng quy tại một điểm O .
c) Mặt phẳng ( IJK ) song song với mặt đáy của hình lăng trụ.
d) Gọi G , G ' lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A ' B ' C ' . Chứng minh rằng ba
điểm G , O , G ' thẳng hàng.
Câu 41) Cho hình hộp ABCDA ' B ' C ' D ' . Điểm M thuộc cạnh AD , điểm N thuộc cạnh D ' C '
sao cho AM : MD = D ' N : NC ' .
a) Chứng minh rằng MN song song với ( C ' BD )
b) Xác định thiết diện của hình hình hộp khi cắt bởi mp ( P ) qua MN và song song với mp
( C ' BD ) .
Câu 42) Cho hình hộp ABCDA ' B ' C ' D ' . Gọi P, Q, R, S lần lượt là tâm các mặt bên ABB ' A ',
BCC ' B ', CDD ' C ', DAA ' D ' .
a) Chứng minh rằng RQ song song với mp ( ABCD ) , ( PQRS ) song song với ( ABCD ) .
b) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mp ( AQR )
MC
c) Gọi M là giao điểm của cạnh CC ' với mp ( AQR ) . Tính tỉ số .
MC '
Câu 43) Cho hình chóp SABCD có đáy là tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo
AC và BD; M là trung điểm của cạnh SA .
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp ( P ) qua M , song song với SO và BC .
b) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp ( Q ) qua O , song song với BM và SD .
Câu 44) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang ( AD / / BC , AD > BC ) . Gọi M , N , E lần
lượt là trung điểm của AB, CD, SA .
43

44. a) Chứng minh rằng MN / / ( SBC ) ; ( MEN ) / / ( SBC ) .
b) Trong tam giác SAD vẽ EF / / AD ( F ∈ SD ) . Chứng minh rằng F là giao điểm của mặt
phẳng ( MNE ) với SD . Từ đó suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp ( MNE ) là hình gì?
c) Chứng minh rằng SC / / ( MNE ) . Đường thẳng AF có song song với mp ( SBC ) không?
d) Cho M , N là hai điểm cố định nằm trên các cạnh AB, CD sao cho MN / / AD và E , F là hai
điểm di động lần lượt trên các cạnh SA, SD sao cho EF / / AD . Gọi I là giao điểm của ME và
NF thì I di động trên đường nào?
Câu 45) Cho hình hộp ABCDA1 B1C1 D1
1
a) Chứng minh rằng đường chéo B1 D cắt mp ( A1 BC1 ) tại G sao cho B1G = GD và G là trọng
2
tâm tam giác A1 BC1 .
b) Chứng minh rằng ( D1 AC ) / / ( BA1C1 ) và G ' là trọng tâm tam giác D1 AC cũng nằm trên B1 D
2
và B1G ' = B1 D .
3
c) Gọi P, Q, R lần lượt là các điểm đối xứng của điểm B1 qua A, D1 và C . Chứng minh rằng
( PQR ) / / ( BA1C1 )
d) Chứng minh rằng D là trọng tâm tứ diện B1 PQR
Trong quá trình biên soạn mặc dù rất cố gắng nhưng chắc chắn không thể tránh khỏi các sai sót.
Rất mong sự góp ý của bạn đọc để tài liệu được hoàn thiện.
Mọi đóng góp xin gửi về: kien.noiaybinhyen@gmail.com
44