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DETERMINANTES
DETERMINANTES ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],a  b  c  d Elemento Diagonal Secundaria Columna Fila Diagonal Principal
ORDEN DE UN DETERMINANTES Un determinante de segundo orden o grado es el que está constituido por dos filas y dos columnas. Un determinante de dicho orden se resuelve con el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria. A= ad - bc Un determinante de tercer orden es que está constituido por tres filas y tres columnas y se resuelve por el “Método de Sarrus”, que consiste en agregar las dos primeras filas o las dos primeras columnas.  a  b  c  d A=  a  b  c  c  d  e f  g  h B =
DETERMINANTE DE TERCER GRADO  MÉTODO DE SARRUS EJEMPLO:  SOLUCIÓN: 2  1  3  2  1 4  -2  0  4  -2 5  1  -3  5  1 = (12 + 0 + 12) - (-12 + 0 -30) = 24 - (-42) =  66 a  b  c  c  d  e f  g  h a  b  c c  d  e B = a  b  c  a  b d  e  f  d  e g  h  i  g  h B  =  B =  ,[object Object],[object Object],[object Object]
DETERMINANTE DE “ENÉSIMO”   ORDEN Un determinante con estas características, es un ordenamiento cuadrado de N filas y N columnas. El procedimiento de Sarrus sólo resuelve determinantes de tercer orden; un determinante de tercer orden en adelante podrá ser resuelto por el Procedimiento de “La Place” o  “Chio” a  11  a  12   a  13   a  14   ……a  1n a  21   a  22  a  23   a  24   ……a  2n a  31  a  32   a  33   a  34  ……a  3n .  . .  . a  n1  a  n2  a  n3  a  n4   ……..a  nn
SIGNO DE CADA ELEMENTO La ubicación de cada elemento está determinado por el subíndice, ejemplo:  a  21  en donde el 2 es la fila y el 1 es la columna donde se encuentra colocado el elemento Si sumamos el subíndice de la posición de un elemento y dicha suma resulta un número par el signo se ese elemento será positivo (+), análogamente si la suma resulta un número impar le corresponderá signo negativo (-). a FILA COLUMNA 21
MENOR DE UN ELEMENTO DE UN DETERMINANTE. Es un determinante de grado inmediato inferior que se forma suprimiendo la columna y fila de un elemento determinado. Ejemplo: Encontrar el menor del elemento “d”. =  a  b  c  c  d  e f  g  h B = a  c f  h
COFACTOR DE UN ELEMENTO DE UN DETERMINANTE El cofactor se forma anteponiendo el signo positivo (+) o Negativo (-), al menor de un elemento de un determinante; según corresponda la posición de dicho elemento.  Ejemplo:  d 22  , al sumar la posición del elemento “d”, el resultado es 4 por lo tanto es un número par y corresponde el signo positivo (+):  =  + a  b  c  c  d  e f  g  h B = a  c f  h
PROCEDIMIENTO DE “LA PLACE” Dado un determinante elegiremos una fila o una columna. Cada uno de los elementos de la fila o columna elegida se multiplica por su cofactor. Se resuelven los determinantes, se multiplican por el elemento correspondiente y se obtiene su valor simplificando: Ejemplo:  =   -1(-12 +0) -2(-6-15)-1(0 -12)   =   +  12 + 42 + 12 =   66 B =  ,[object Object],[object Object],[object Object],=   -1   ,[object Object],[object Object],-2 2  3 5  -3 -1 2  3 4  0
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO POR: DETERMINANTES   Encuentra el área de un terreno de forma de  triángulo rectángulo que satisface las siguientes condiciones: a) su perímetro es igual a 2, 400 metros cuadrados.   b) El doble de la hipotenusa es igual al doble del cateto menor más el mayor.   c) Seis veces el cateto menor más 8 veces el mayor menos 10 veces la hipotenusa es igual a 0.   Solución: Dadas las condiciones del problema se traducen al lenguaje algebraico: a b c c a c b a c a = Cateto menor  1. P = 2,400 = a+b+c b= Cateto mayor  2. 2c = 2a + b c = Hipotenusa  3. 6a + 8b – 10c = 0 b a c
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO POR: DETERMINANTES 1. P = 2,400 = a+b+c 2. 2c = 2a + b 3. 6a + 8b – 10c = 0 Ordenamos las ecuaciones e igualamos las ecuaciones con su término independiente: 1.  a+b+c = 2400 2. 2a + b – 2c = 0 3. 6a + 8b -10c = 0  Formamos el “Determinante del sistema” (coeficientes de las incógnitas ): 1  1  1  2  1  -2 6  8  -10 Δ   s = = 24
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO POR: DETERMINANTES Obtendremos  el Determinante en “a”: sustituimos los elementos de la primera columna por los términos independientes: Obtendremos  el Determinante en “b”: sustituimos los elementos de la segunda columna por los términos independientes: 2400  1  1  0  1  -2 0  8  -10 Δ a = = 14,400 1  2400  1  2  0  -2 6  0  -10 Δ b = = 19,200
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO POR: DETERMINANTES Obtendremos  el Determinante en “c”: sustituimos los elementos de la tercera columna por los términos independientes: Obtendremos  los valores de los lados del terreno aplicando la siguiente fórmula: Por lo tanto a= 600 m; b= 800 m; y c= 1000 m.  Así que área = (a*b)/2. A = 240,000 m 2 . 1  1  2400  2  1  0 6  8  0 Δ c = = 24,000 Δ a Δ s a =  Δ b Δ s b =  Δ c Δ s c =  14,400 24 a =  b =  19,200 24 c =  24,000 24

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  • 2.
  • 3. ORDEN DE UN DETERMINANTES Un determinante de segundo orden o grado es el que está constituido por dos filas y dos columnas. Un determinante de dicho orden se resuelve con el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria. A= ad - bc Un determinante de tercer orden es que está constituido por tres filas y tres columnas y se resuelve por el “Método de Sarrus”, que consiste en agregar las dos primeras filas o las dos primeras columnas. a b c d A= a b c c d e f g h B =
  • 4.
  • 5. DETERMINANTE DE “ENÉSIMO” ORDEN Un determinante con estas características, es un ordenamiento cuadrado de N filas y N columnas. El procedimiento de Sarrus sólo resuelve determinantes de tercer orden; un determinante de tercer orden en adelante podrá ser resuelto por el Procedimiento de “La Place” o “Chio” a 11 a 12 a 13 a 14 ……a 1n a 21 a 22 a 23 a 24 ……a 2n a 31 a 32 a 33 a 34 ……a 3n . . . . a n1 a n2 a n3 a n4 ……..a nn
  • 6. SIGNO DE CADA ELEMENTO La ubicación de cada elemento está determinado por el subíndice, ejemplo: a 21 en donde el 2 es la fila y el 1 es la columna donde se encuentra colocado el elemento Si sumamos el subíndice de la posición de un elemento y dicha suma resulta un número par el signo se ese elemento será positivo (+), análogamente si la suma resulta un número impar le corresponderá signo negativo (-). a FILA COLUMNA 21
  • 7. MENOR DE UN ELEMENTO DE UN DETERMINANTE. Es un determinante de grado inmediato inferior que se forma suprimiendo la columna y fila de un elemento determinado. Ejemplo: Encontrar el menor del elemento “d”. = a b c c d e f g h B = a c f h
  • 8. COFACTOR DE UN ELEMENTO DE UN DETERMINANTE El cofactor se forma anteponiendo el signo positivo (+) o Negativo (-), al menor de un elemento de un determinante; según corresponda la posición de dicho elemento. Ejemplo: d 22 , al sumar la posición del elemento “d”, el resultado es 4 por lo tanto es un número par y corresponde el signo positivo (+): = + a b c c d e f g h B = a c f h
  • 9.
  • 10. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO POR: DETERMINANTES   Encuentra el área de un terreno de forma de  triángulo rectángulo que satisface las siguientes condiciones: a) su perímetro es igual a 2, 400 metros cuadrados.   b) El doble de la hipotenusa es igual al doble del cateto menor más el mayor.   c) Seis veces el cateto menor más 8 veces el mayor menos 10 veces la hipotenusa es igual a 0.   Solución: Dadas las condiciones del problema se traducen al lenguaje algebraico: a b c c a c b a c a = Cateto menor 1. P = 2,400 = a+b+c b= Cateto mayor 2. 2c = 2a + b c = Hipotenusa 3. 6a + 8b – 10c = 0 b a c
  • 11. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO POR: DETERMINANTES 1. P = 2,400 = a+b+c 2. 2c = 2a + b 3. 6a + 8b – 10c = 0 Ordenamos las ecuaciones e igualamos las ecuaciones con su término independiente: 1. a+b+c = 2400 2. 2a + b – 2c = 0 3. 6a + 8b -10c = 0 Formamos el “Determinante del sistema” (coeficientes de las incógnitas ): 1 1 1 2 1 -2 6 8 -10 Δ s = = 24
  • 12. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO POR: DETERMINANTES Obtendremos el Determinante en “a”: sustituimos los elementos de la primera columna por los términos independientes: Obtendremos el Determinante en “b”: sustituimos los elementos de la segunda columna por los términos independientes: 2400 1 1 0 1 -2 0 8 -10 Δ a = = 14,400 1 2400 1 2 0 -2 6 0 -10 Δ b = = 19,200
  • 13. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO POR: DETERMINANTES Obtendremos el Determinante en “c”: sustituimos los elementos de la tercera columna por los términos independientes: Obtendremos los valores de los lados del terreno aplicando la siguiente fórmula: Por lo tanto a= 600 m; b= 800 m; y c= 1000 m. Así que área = (a*b)/2. A = 240,000 m 2 . 1 1 2400 2 1 0 6 8 0 Δ c = = 24,000 Δ a Δ s a = Δ b Δ s b = Δ c Δ s c = 14,400 24 a = b = 19,200 24 c = 24,000 24