SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 147
Descargar para leer sin conexión
Matemáticas 1
Derivada y diferenciación
Angel Vázquez-Patiño
angel.vazquezp@ucuenca.edu.ec
Facultad de Arquitectura y Urbanismo
Universidad de Cuenca
5 de enero de 2023
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 2/147
Objetivos
1. Interpretación geométrica de la derivada
2. Relación entre diferenciabilidad y continuidad
3. Reglas de diferenciación
4. Derivadas de orden superior
5. Razón de cambio y movimiento rectilíneo
6. Diferenciación de funciones trigonométricas
7. Regla de la cadena
8. Tasas de variación relacionadas
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 3/147
Contenido
Recta tangente y derivada
Diferenciabilidad y continuidad
Teoremas sobre diferenciación de funciones algebraicas y
derivadas de orden superior
Movimiento rectilíneo
Derivada como tasa de variación
Derivadas de funciones trigonométricas
Derivada de una función compuesta y regla de la cadena
Derivada de la función potencia para exponentes
racionales y diferenciación implícita
Tasas de variación relacionadas
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 4/147
Recta tangente y derivada
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 5/147
Pendiente de la recta secante
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 6/147
Pendiente de la recta tangente
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 7/147
https://www.geogebra.org/m/JxQ3BdSz
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 8/147
Recta tg. a la gráfica de una función
Suponga que la función f es continua en x₁. La recta
tangente a la gráfica de f en el punto P(x₁, f(x₁)) es
(i) la recta que pasa por P y tiene pendiente
si este límite existe
(ii) la recta x=x₁ si
y
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 9/147
Ejemplos de rectas tangentes
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 10/147
Pendiente de la gráfica
●
Pendiente de la recta tangente a la gráfica de
una función en un punto
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 11/147
Ejemplo
●
Calcule la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de
● en el punto (x₁, f(x₁)).
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 12/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 13/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 14/147
Recta normal a una gráfica
Definición
●
La recta normal a una gráfica en un punto dado
es la recta perpendicular a la recta tangente en
ese punto.
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 15/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 16/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 17/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 18/147
Derivada de una función
La derivada de la función f es aquella función,
denotada por f’, tal que su valor en un número x
del dominio de f está dado por
si este límite existe. Si x₁ es un número particular
del dominio de f, entonces
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 19/147
Cocientes de diferencias estándar
de la función f en el número x₁
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 20/147
Ejemplo
● Determine la derivada de f si
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 21/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 22/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 23/147
https://www.geogebra.org/m/qkejxndw
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 24/147
Diferenciabilidad y Continuidad
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 25/147
Diferenciabilidad de una función
●
Una función es diferenciable en un intervalo
abierto si es diferenciable en cada número del
intervalo.
●
Si una función es diferenciable en cada número
de su dominio, entonces se dice que es una
función diferenciable.
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 26/147
Ejemplo de función diferenciable
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 27/147
Diferenciable en un intervalo abierto
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 28/147
f continua pero no diferenciable en 0
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 29/147
f continua pero no diferenciable en 0
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 30/147
f continua pero no diferenciable en 0
¿Por qué?
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 31/147
Cocientes de diferencias estándar
de la función f en el número x₁
Recordar
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 32/147
¿Por qué |x| no diferenciable en 0?
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 33/147
Observación
●
La continuidad de una función en un número
no implica la diferenciabilidad de la misma
en el punto en cuestión. Sin embargo, la
diferenciabilidad implica continuidad.
Teorema
● Si una función f es diferenciable en un número
x₁, entonces f es continua en x₁.
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 34/147
Observación
Una función f puede no ser diferenciable en un
número c por alguna de las siguientes razones:
1. f es discontinua en c
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 35/147
Observación
Una función f puede no ser diferenciable en un
número c por alguna de las siguientes razones:
2. f es continua en c pero hay una recta tangente
x=c
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 36/147
Observación
Una función f puede no ser diferenciable en un
número c por alguna de las siguientes razones:
3. f es continua en c pero no hay recta tangente
en el punto donde x=c
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 37/147
Definición de derivada lateral
(i) Si la función f está definida en x₁, entonces la
derivada por la derecha de f en x₁, denotada por
f’+(x₁) está definida por
si existe el límite.
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 38/147
Definición de derivada lateral
(ii) Si la función f está definida en x₁, entonces la
derivada por la izquierda de f en x₁, denotada
por f’+(x₁) está definida por
si existe el límite.
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 39/147
Teoremas sobre diferenciación de
funciones algebraicas y derivadas
de orden superior
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 40/147
Regla de diferenciación de una
constante
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 41/147
Regla de diferenciación de una
constante
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 42/147
Regla de diferenciación de
potencias
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 43/147
Ejemplos
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 44/147
Diferenciación del producto de una
función por una constante
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 45/147
Ejemplos
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 46/147
Regla de diferenciación para la
suma
● Si f1, f2, f3,…, fn son funciones y h es la función
definida por
h(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + … + fn(x)
● y si f’1(x), f’2(x), f’3(x), …, f’n(x) existen,
entonces
h’(x) = f’1(x) + f’2(x) + f’3(x) + … + f’n(x)
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 47/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 48/147
Ejemplo
●
Obtenga una ecuación de la recta tangente a la
curva que sea paralela a la
recta .
●
Solución: https://youtu.be/wRksmxmqT04
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 49/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 50/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 51/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 52/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 53/147
Ejemplo
●
Encuentre la ecuación de la recta normal a la
curva
●
que sea paralela a la recta
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 54/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 55/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 56/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 57/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 58/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 59/147
Regla de diferenciación para el
producto
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 60/147
Ejemplos
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 61/147
Regla de diferenciación para el
cociente
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 62/147
Ejemplos
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 63/147
Regla de diferenciación de
potencias
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 64/147
Ejemplos
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 65/147
Derivadas de orden superior
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 66/147
Ejemplos
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 67/147
Movimiento rectilíneo
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 68/147
O
+
−
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 69/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 70/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 71/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 72/147
Velocidad promedio
Cambio de posición con respecto al tiempo [m/s].
12 m
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 73/147
12 − 0
3 – 1
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 74/147
(t, s)
(t₁, s₁)
s – s₁
t – t₁
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 75/147
(t, f(t))
(t₁, f(t₁))
f(t) – f(t₁)
t – t₁
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 76/147
Velocidad instantánea
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 77/147
Velocidad instantánea
Si f es una función definida por la ecuación
s = f(t)
y una partícula se desplaza a lo largo de una recta, tal
que s es el número de unidades de la distancia dirigida
de la partícula desde un punto fijo sobre la recta en t
unidades de tiempo, entonces la velocidad
instantánea de la partícula a las t unidades de tiempo
es v unidades de velocidad, donde
si existe.
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 78/147
Velocidad instantánea
● Reposo: v=0
● Rapidez: |v |
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 79/147
Velocidad instantánea
●
Ejemplo
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 80/147
d
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 81/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 82/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 83/147
Aceleración instantánea
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 84/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 85/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 86/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 87/147
Derivada como tasa de variación
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 88/147
Tasa instantánea de variación
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 89/147
Tasa de variación instantánea
Definición
● Si y = f(x) (el valor de la variable y está
relacionado con el valor de la variable x
mediante la función f ), entonces la tasa de
variación instantánea de y por unidad de
variación de x en x₁ es f’(x₁) o,
equivalentemente, la derivada de y con
respecto a x en x₁, si ésta existe.
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 90/147
Ejemplo
●
Determine la tasa instantánea de variación de
la pendiente de la recta tangente a la gráfica de
y = 2x3
− 6x2
− x + 1 en el punto (3, -2).
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 91/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 92/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 93/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 94/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 95/147
Derivadas de las funciones
trigonométricas
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 96/147
https://www.geogebra.org/m/qkejxndw
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 97/147
https://www.geogebra.org/m/qkejxndw
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 98/147
Ejemplo
●
Determine la derivada de las funciones
tangente, cotangente, secante y cosecante en
función de senos y/o cosenos.
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 99/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 100/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 101/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 102/147
Funciones Angel Vázquez-Patiño 103/147
¡Hasta aquí el examen
interciclo sobre 20
puntos!
Miércoles 21/Dic/2022
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 104/147
Derivada de una función compuesta
y regla de la cadena
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 105/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 106/147
Regla de la cadena
● Si la función g es diferenciable en x y la función
f es diferenciable en g(x), entonces la función
compuesta f ○g es diferenciable en x, y
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 107/147
En notación de Leibniz
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 108/147
Movimiento armónico simple
Se dice que un objeto, el cual se mueve sobre
una recta, tiene MAS si la medida de su
aceleración es siempre proporcional a la medida
de su desplazamiento a partir de un punto fijo
sobre la recta, y su aceleración y desplazamiento
tienen sentidos opuestos. Los modelos
matemáticos que describen el MAS, vibraciones u
oscilaciones, están dados por las funciones
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 109/147
Movimiento armónico simple
●
¿Aceleración proporcional a su desplazamiento
y su aceleración y desplazamiento tienen
sentidos opuestos?
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 110/147
Movimiento armónico simple
https://www.geogebra.org/m/sjgknfcn
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 111/147
Ejemplos
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 112/147
Derivada de la función potencia
para exponentes racionales y
diferenciación implícita
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 113/147
Regla de diferenciación de la
función potencia
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 114/147
Ejemplo
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 115/147
Ejemplo
●
Obtenga ecuaciones de la recta tangente y de
recta normal a la gráfica de la ecuación en el
punto indicado. Trace en la graficadora la
gráfica junto con las rectas tangente y normal
en el mismo rectángulo de inspección.
●
Solución: https://youtu.be/4u2b5iChcyI
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 116/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 117/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 118/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 119/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 120/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 121/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 122/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 123/147
Regla de la cadena
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 124/147
Ejemplos
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 125/147
Diferenciación implícita
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 126/147
Relación explícitamente no visible
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 127/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 128/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 129/147
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 130/147
Diferenciación implícita
Definición implícita de la función
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 131/147
Diferenciación implícita
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 132/147
Diferenciación implícita
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 133/147
Ejemplo
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 134/147
Ejemplo
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 135/147
Segunda derivada para funciones
definidas implícitamente
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 136/147
Ejemplos
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 137/147
Tasas de variación relacionadas
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 138/147
¡Trabajo en clase sobre 5 puntos!
●
Revisar la sección 2.10
● Si x es su último número de cédula, desarrolle
los ejercicios f(x)+3n con n={0, 1, …, 13, 14}.
●
Cada ejercicio resuelto parcial o
incorrectamente, merma un punto. Si no usa su
último número de cédula, su nota será 0/5.
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 139/147
Tasas de variación relacionadas
●
Involucra tasas de variación de variables
relacionadas
● Variables tienen relación con valores de t
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 140/147
Sugerencias (1)
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 141/147
Sugerencias (2)
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 142/147
Ejemplo (1)
●
Un niño vuela una cometa a una altura de 40
metros y lo hace moviéndose horizontalmente a
una tasa de 3 m/s. Si la cuerda está tensa, ¿a
qué tasa se afloja cuando la longitud de la
cuerda suelta es de 50 m?
●
Solución: https://youtu.be/7jZIjFrTc68?t=1663
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 143/147
40 m
3 m/s
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 144/147
Ejemplo (2)
●
Se está formando una bola de nieve de modo
que su volumen se incrementa a una tasa de 8
m3
/min. Determine la tasa a la que el radio
aumenta cuando el diámetro de la bola es de 4
metros.
Solución: https://youtu.be/7jZIjFrTc68?t=3226
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 145/147
Ejemplo (3)
●
Una lámpara se encuentra suspendida a 15
pies sobre una calle horizontal y recta. Si un
hombre de 6 pies de estatura camina
alejándose de la lámpara a una tasa de 5 pie/s,
¿a qué tasa se desplaza la punta de la sombra
del hombre?
●
Solución: https://youtu.be/7jZIjFrTc68?t=4319
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 146/147
15
pies
6 pies
5 pie/s
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 147/147
Preguntas

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (14)

Ecuaciones diferenciales isabel carmona 5ta edicion
Ecuaciones diferenciales isabel carmona 5ta edicionEcuaciones diferenciales isabel carmona 5ta edicion
Ecuaciones diferenciales isabel carmona 5ta edicion
 
Leccion 2 1- Comandos de Dibujo
Leccion 2 1- Comandos de DibujoLeccion 2 1- Comandos de Dibujo
Leccion 2 1- Comandos de Dibujo
 
ANALISIS MATEMATICO FIGUEROA
ANALISIS MATEMATICO FIGUEROAANALISIS MATEMATICO FIGUEROA
ANALISIS MATEMATICO FIGUEROA
 
Pantera cor de-rosa
Pantera cor de-rosaPantera cor de-rosa
Pantera cor de-rosa
 
La Integral Indefinida
La  Integral IndefinidaLa  Integral Indefinida
La Integral Indefinida
 
Tópico 08 - Derivadas
Tópico 08 - DerivadasTópico 08 - Derivadas
Tópico 08 - Derivadas
 
Projeto Telhado
Projeto TelhadoProjeto Telhado
Projeto Telhado
 
1.3 errores (1)
1.3 errores (1)1.3 errores (1)
1.3 errores (1)
 
Derivadas parciales
Derivadas parcialesDerivadas parciales
Derivadas parciales
 
Ejercicios resueltos de limites pag 18
Ejercicios resueltos de limites pag 18 Ejercicios resueltos de limites pag 18
Ejercicios resueltos de limites pag 18
 
Problemas resueltos7
Problemas resueltos7Problemas resueltos7
Problemas resueltos7
 
Digitação completa do saxofone
Digitação completa do saxofoneDigitação completa do saxofone
Digitação completa do saxofone
 
Hinario ccb cifrado e com os acordes no hinario de musica
Hinario ccb cifrado e com os acordes no hinario de musica Hinario ccb cifrado e com os acordes no hinario de musica
Hinario ccb cifrado e com os acordes no hinario de musica
 
Espacios caracteristicos
Espacios caracteristicos Espacios caracteristicos
Espacios caracteristicos
 

Similar a Derivada y diferenciación

Repùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popular
Repùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popularRepùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popular
Repùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popularJoseToledo67
 
Repùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popular
Repùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popularRepùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popular
Repùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popularJoseToledo67
 
Aplicaciones de las derivadas slideshare
Aplicaciones de las derivadas slideshareAplicaciones de las derivadas slideshare
Aplicaciones de las derivadas slideshareYohandris Camacaro
 
Derivada , MATEMÁTICA
Derivada ,  MATEMÁTICADerivada ,  MATEMÁTICA
Derivada , MATEMÁTICAagustinc3333
 
APLICACIONES DE LA DERIVADA
APLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADA
APLICACIONES DE LA DERIVADAMauricio Morocho
 
Aplicación de las integrales
Aplicación de las integralesAplicación de las integrales
Aplicación de las integralesNikolas Pineda
 
Aplicaión de la derivada
Aplicaión de la derivadaAplicaión de la derivada
Aplicaión de la derivadaJose Virche
 
Utilidad de las derivadas
Utilidad de las derivadasUtilidad de las derivadas
Utilidad de las derivadasAna Pedrazas
 
Derivadas- Universidad de la Guajira, Calculo Diferencial
Derivadas- Universidad de la Guajira, Calculo DiferencialDerivadas- Universidad de la Guajira, Calculo Diferencial
Derivadas- Universidad de la Guajira, Calculo Diferencialdanis_garcia
 
Trabajo maria romero
Trabajo maria romeroTrabajo maria romero
Trabajo maria romeromaria romero
 

Similar a Derivada y diferenciación (20)

Repùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popular
Repùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popularRepùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popular
Repùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popular
 
Repùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popular
Repùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popularRepùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popular
Repùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popular
 
Aplicaciones de las derivadas slideshare
Aplicaciones de las derivadas slideshareAplicaciones de las derivadas slideshare
Aplicaciones de las derivadas slideshare
 
Dgb5 2 4
Dgb5 2 4Dgb5 2 4
Dgb5 2 4
 
La derivada
La derivadaLa derivada
La derivada
 
Derivada , MATEMÁTICA
Derivada ,  MATEMÁTICADerivada ,  MATEMÁTICA
Derivada , MATEMÁTICA
 
APLICACIONES DE LA DERIVADA
APLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADA
APLICACIONES DE LA DERIVADA
 
Derivada de una funci+æn
Derivada de una funci+ænDerivada de una funci+æn
Derivada de una funci+æn
 
Aplicación de las integrales
Aplicación de las integralesAplicación de las integrales
Aplicación de las integrales
 
Matematicasdia
MatematicasdiaMatematicasdia
Matematicasdia
 
Aplicaión de la derivada
Aplicaión de la derivadaAplicaión de la derivada
Aplicaión de la derivada
 
Tics en matematica
Tics en matematicaTics en matematica
Tics en matematica
 
Utilidad de las derivadas
Utilidad de las derivadasUtilidad de las derivadas
Utilidad de las derivadas
 
Calculo I Aplicaciones De La Derivada
Calculo I Aplicaciones De La DerivadaCalculo I Aplicaciones De La Derivada
Calculo I Aplicaciones De La Derivada
 
Derivadas
DerivadasDerivadas
Derivadas
 
La Derivada
La DerivadaLa Derivada
La Derivada
 
Derivadas
DerivadasDerivadas
Derivadas
 
Derivadas
DerivadasDerivadas
Derivadas
 
Derivadas- Universidad de la Guajira, Calculo Diferencial
Derivadas- Universidad de la Guajira, Calculo DiferencialDerivadas- Universidad de la Guajira, Calculo Diferencial
Derivadas- Universidad de la Guajira, Calculo Diferencial
 
Trabajo maria romero
Trabajo maria romeroTrabajo maria romero
Trabajo maria romero
 

Más de Angel Vázquez Patiño

Causality and climate networks approaches for evaluating climate models, trac...
Causality and climate networks approaches for evaluating climate models, trac...Causality and climate networks approaches for evaluating climate models, trac...
Causality and climate networks approaches for evaluating climate models, trac...Angel Vázquez Patiño
 
Diferencias finitas y Ecuación de calor
Diferencias finitas y Ecuación de calorDiferencias finitas y Ecuación de calor
Diferencias finitas y Ecuación de calorAngel Vázquez Patiño
 
Puntos ordinarios y singularidades de una EDO lineal
Puntos ordinarios y singularidades de una EDO linealPuntos ordinarios y singularidades de una EDO lineal
Puntos ordinarios y singularidades de una EDO linealAngel Vázquez Patiño
 
Métodos de resolución de EDOs mediante series
Métodos de resolución de EDOs mediante seriesMétodos de resolución de EDOs mediante series
Métodos de resolución de EDOs mediante seriesAngel Vázquez Patiño
 
Solución en series de EDOs no lineales de orden mayor a uno y de un sistema d...
Solución en series de EDOs no lineales de orden mayor a uno y de un sistema d...Solución en series de EDOs no lineales de orden mayor a uno y de un sistema d...
Solución en series de EDOs no lineales de orden mayor a uno y de un sistema d...Angel Vázquez Patiño
 
Problemas que originan sistemas de ecuaciones
Problemas que originan sistemas de ecuacionesProblemas que originan sistemas de ecuaciones
Problemas que originan sistemas de ecuacionesAngel Vázquez Patiño
 
Linealización de sistemas de primer orden
Linealización de sistemas de primer ordenLinealización de sistemas de primer orden
Linealización de sistemas de primer ordenAngel Vázquez Patiño
 
Fundamentos de Computación y Programación
Fundamentos de Computación y ProgramaciónFundamentos de Computación y Programación
Fundamentos de Computación y ProgramaciónAngel Vázquez Patiño
 
Causality Strength Signatures for Measuring GCMs Performance: The South Ameri...
Causality Strength Signatures for Measuring GCMs Performance: The South Ameri...Causality Strength Signatures for Measuring GCMs Performance: The South Ameri...
Causality Strength Signatures for Measuring GCMs Performance: The South Ameri...Angel Vázquez Patiño
 
Caracterización básica del río Tomebamba, Cuenca, Ecuador
Caracterización básica del río Tomebamba, Cuenca, EcuadorCaracterización básica del río Tomebamba, Cuenca, Ecuador
Caracterización básica del río Tomebamba, Cuenca, EcuadorAngel Vázquez Patiño
 
Comparación de redes causales climáticas mslp vs ght y tpw vs omega
Comparación de redes causales climáticas mslp vs ght y tpw vs omegaComparación de redes causales climáticas mslp vs ght y tpw vs omega
Comparación de redes causales climáticas mslp vs ght y tpw vs omegaAngel Vázquez Patiño
 

Más de Angel Vázquez Patiño (20)

Funciones, límites y continuidad
Funciones, límites y continuidadFunciones, límites y continuidad
Funciones, límites y continuidad
 
Integral definida e integración
Integral definida e integraciónIntegral definida e integración
Integral definida e integración
 
Causality and climate networks approaches for evaluating climate models, trac...
Causality and climate networks approaches for evaluating climate models, trac...Causality and climate networks approaches for evaluating climate models, trac...
Causality and climate networks approaches for evaluating climate models, trac...
 
Diferencias finitas y Ecuación de calor
Diferencias finitas y Ecuación de calorDiferencias finitas y Ecuación de calor
Diferencias finitas y Ecuación de calor
 
Puntos ordinarios y singularidades de una EDO lineal
Puntos ordinarios y singularidades de una EDO linealPuntos ordinarios y singularidades de una EDO lineal
Puntos ordinarios y singularidades de una EDO lineal
 
La ecuación diferencial de Legendre
La ecuación diferencial de LegendreLa ecuación diferencial de Legendre
La ecuación diferencial de Legendre
 
Solución en series de y' = f(x,y)
Solución en series de y' = f(x,y)Solución en series de y' = f(x,y)
Solución en series de y' = f(x,y)
 
Métodos de resolución de EDOs mediante series
Métodos de resolución de EDOs mediante seriesMétodos de resolución de EDOs mediante series
Métodos de resolución de EDOs mediante series
 
Solución en series de EDOs no lineales de orden mayor a uno y de un sistema d...
Solución en series de EDOs no lineales de orden mayor a uno y de un sistema d...Solución en series de EDOs no lineales de orden mayor a uno y de un sistema d...
Solución en series de EDOs no lineales de orden mayor a uno y de un sistema d...
 
Problemas que originan sistemas de ecuaciones
Problemas que originan sistemas de ecuacionesProblemas que originan sistemas de ecuaciones
Problemas que originan sistemas de ecuaciones
 
Linealización de sistemas de primer orden
Linealización de sistemas de primer ordenLinealización de sistemas de primer orden
Linealización de sistemas de primer orden
 
Sistemas de EDOs
Sistemas de EDOsSistemas de EDOs
Sistemas de EDOs
 
Método de la secante
Método de la secanteMétodo de la secante
Método de la secante
 
Iteraciones de punto fijo
Iteraciones de punto fijoIteraciones de punto fijo
Iteraciones de punto fijo
 
Objetos y variables en Python
Objetos y variables en PythonObjetos y variables en Python
Objetos y variables en Python
 
Definiciones de Error
Definiciones de ErrorDefiniciones de Error
Definiciones de Error
 
Fundamentos de Computación y Programación
Fundamentos de Computación y ProgramaciónFundamentos de Computación y Programación
Fundamentos de Computación y Programación
 
Causality Strength Signatures for Measuring GCMs Performance: The South Ameri...
Causality Strength Signatures for Measuring GCMs Performance: The South Ameri...Causality Strength Signatures for Measuring GCMs Performance: The South Ameri...
Causality Strength Signatures for Measuring GCMs Performance: The South Ameri...
 
Caracterización básica del río Tomebamba, Cuenca, Ecuador
Caracterización básica del río Tomebamba, Cuenca, EcuadorCaracterización básica del río Tomebamba, Cuenca, Ecuador
Caracterización básica del río Tomebamba, Cuenca, Ecuador
 
Comparación de redes causales climáticas mslp vs ght y tpw vs omega
Comparación de redes causales climáticas mslp vs ght y tpw vs omegaComparación de redes causales climáticas mslp vs ght y tpw vs omega
Comparación de redes causales climáticas mslp vs ght y tpw vs omega
 

Último

ciclos biogeoquimicas y flujo de materia ecosistemas
ciclos biogeoquimicas y flujo de materia ecosistemasciclos biogeoquimicas y flujo de materia ecosistemas
ciclos biogeoquimicas y flujo de materia ecosistemasFlor Idalia Espinoza Ortega
 
el poder del estado en el siglo XXI.pptx
el poder del estado en el siglo XXI.pptxel poder del estado en el siglo XXI.pptx
el poder del estado en el siglo XXI.pptxsubfabian
 
Hidrocarburos cíclicos, EJERCICIOS, TEORIA Y MÁS.pptx
Hidrocarburos cíclicos, EJERCICIOS, TEORIA Y MÁS.pptxHidrocarburos cíclicos, EJERCICIOS, TEORIA Y MÁS.pptx
Hidrocarburos cíclicos, EJERCICIOS, TEORIA Y MÁS.pptxNathaly122089
 
CONCLUSIONES DESCRIPTIVAS TIC que ayudaran a tus registrosdocx
CONCLUSIONES DESCRIPTIVAS TIC que ayudaran a tus registrosdocxCONCLUSIONES DESCRIPTIVAS TIC que ayudaran a tus registrosdocx
CONCLUSIONES DESCRIPTIVAS TIC que ayudaran a tus registrosdocxMarlynRocaOnofre
 
Análisis de los factores internos en una Organización
Análisis de los factores internos en una OrganizaciónAnálisis de los factores internos en una Organización
Análisis de los factores internos en una OrganizaciónJonathanCovena1
 
LA GEOMETRÍA Y LOS SISTEMAS ANGULARES, APRENDER LEYENDO LA BIBLIA
LA GEOMETRÍA Y LOS SISTEMAS ANGULARES, APRENDER LEYENDO LA BIBLIALA GEOMETRÍA Y LOS SISTEMAS ANGULARES, APRENDER LEYENDO LA BIBLIA
LA GEOMETRÍA Y LOS SISTEMAS ANGULARES, APRENDER LEYENDO LA BIBLIASandra Mariela Ballón Aguedo
 
PATRONES DE REFERENCIA, CRITERIOS Y DIAGNOSTICO Angeles.pptx
PATRONES DE REFERENCIA, CRITERIOS Y DIAGNOSTICO Angeles.pptxPATRONES DE REFERENCIA, CRITERIOS Y DIAGNOSTICO Angeles.pptx
PATRONES DE REFERENCIA, CRITERIOS Y DIAGNOSTICO Angeles.pptxSusanaAlejandraMende
 
Realitat o fake news? – Què causa el canvi climàtic? - La desertització
Realitat o fake news? – Què causa el canvi climàtic? - La desertitzacióRealitat o fake news? – Què causa el canvi climàtic? - La desertització
Realitat o fake news? – Què causa el canvi climàtic? - La desertitzacióPere Miquel Rosselló Espases
 
RESPONSABILIDAD SOCIAL EN LAS ORGANIZACIONES (4).pdf
RESPONSABILIDAD SOCIAL EN LAS ORGANIZACIONES (4).pdfRESPONSABILIDAD SOCIAL EN LAS ORGANIZACIONES (4).pdf
RESPONSABILIDAD SOCIAL EN LAS ORGANIZACIONES (4).pdfANEP - DETP
 
tema 6 2eso 2024. Ciencias Sociales. El final de la Edad Media en la Penínsul...
tema 6 2eso 2024. Ciencias Sociales. El final de la Edad Media en la Penínsul...tema 6 2eso 2024. Ciencias Sociales. El final de la Edad Media en la Penínsul...
tema 6 2eso 2024. Ciencias Sociales. El final de la Edad Media en la Penínsul...Chema R.
 
Estudios Sociales libro 8vo grado Básico
Estudios Sociales libro 8vo grado BásicoEstudios Sociales libro 8vo grado Básico
Estudios Sociales libro 8vo grado Básicomaxgamesofficial15
 
Realitat o fake news? – Què causa el canvi climàtic? - Modificacions dels pat...
Realitat o fake news? – Què causa el canvi climàtic? - Modificacions dels pat...Realitat o fake news? – Què causa el canvi climàtic? - Modificacions dels pat...
Realitat o fake news? – Què causa el canvi climàtic? - Modificacions dels pat...Pere Miquel Rosselló Espases
 
novelas-cortas--3.pdf Analisis introspectivo y retrospectivo, sintesis
novelas-cortas--3.pdf Analisis introspectivo y retrospectivo, sintesisnovelas-cortas--3.pdf Analisis introspectivo y retrospectivo, sintesis
novelas-cortas--3.pdf Analisis introspectivo y retrospectivo, sintesisPsicClinGlendaBerrez
 
Estrategia Nacional de Refuerzo Escolar SJA Ccesa007.pdf
Estrategia Nacional de Refuerzo Escolar  SJA  Ccesa007.pdfEstrategia Nacional de Refuerzo Escolar  SJA  Ccesa007.pdf
Estrategia Nacional de Refuerzo Escolar SJA Ccesa007.pdfDemetrio Ccesa Rayme
 
En un aposento alto himno _letra y acordes.pdf
En un aposento alto himno _letra y acordes.pdfEn un aposento alto himno _letra y acordes.pdf
En un aposento alto himno _letra y acordes.pdfAni Ann
 
RESOLUCION_VICE_MINISTERIAL-00048-2024-M-EVALUACIÓN EVALAUCION FORMATIVA MINE...
RESOLUCION_VICE_MINISTERIAL-00048-2024-M-EVALUACIÓN EVALAUCION FORMATIVA MINE...RESOLUCION_VICE_MINISTERIAL-00048-2024-M-EVALUACIÓN EVALAUCION FORMATIVA MINE...
RESOLUCION_VICE_MINISTERIAL-00048-2024-M-EVALUACIÓN EVALAUCION FORMATIVA MINE...helmer del pozo cruz
 

Último (20)

ciclos biogeoquimicas y flujo de materia ecosistemas
ciclos biogeoquimicas y flujo de materia ecosistemasciclos biogeoquimicas y flujo de materia ecosistemas
ciclos biogeoquimicas y flujo de materia ecosistemas
 
el poder del estado en el siglo XXI.pptx
el poder del estado en el siglo XXI.pptxel poder del estado en el siglo XXI.pptx
el poder del estado en el siglo XXI.pptx
 
TÉCNICAS OBSERVACIONALES Y TEXTUALES.pdf
TÉCNICAS OBSERVACIONALES Y TEXTUALES.pdfTÉCNICAS OBSERVACIONALES Y TEXTUALES.pdf
TÉCNICAS OBSERVACIONALES Y TEXTUALES.pdf
 
Hidrocarburos cíclicos, EJERCICIOS, TEORIA Y MÁS.pptx
Hidrocarburos cíclicos, EJERCICIOS, TEORIA Y MÁS.pptxHidrocarburos cíclicos, EJERCICIOS, TEORIA Y MÁS.pptx
Hidrocarburos cíclicos, EJERCICIOS, TEORIA Y MÁS.pptx
 
Luz desde el santuario. Escuela Sabática
Luz desde el santuario. Escuela SabáticaLuz desde el santuario. Escuela Sabática
Luz desde el santuario. Escuela Sabática
 
CONCLUSIONES DESCRIPTIVAS TIC que ayudaran a tus registrosdocx
CONCLUSIONES DESCRIPTIVAS TIC que ayudaran a tus registrosdocxCONCLUSIONES DESCRIPTIVAS TIC que ayudaran a tus registrosdocx
CONCLUSIONES DESCRIPTIVAS TIC que ayudaran a tus registrosdocx
 
Análisis de los factores internos en una Organización
Análisis de los factores internos en una OrganizaciónAnálisis de los factores internos en una Organización
Análisis de los factores internos en una Organización
 
LA GEOMETRÍA Y LOS SISTEMAS ANGULARES, APRENDER LEYENDO LA BIBLIA
LA GEOMETRÍA Y LOS SISTEMAS ANGULARES, APRENDER LEYENDO LA BIBLIALA GEOMETRÍA Y LOS SISTEMAS ANGULARES, APRENDER LEYENDO LA BIBLIA
LA GEOMETRÍA Y LOS SISTEMAS ANGULARES, APRENDER LEYENDO LA BIBLIA
 
PATRONES DE REFERENCIA, CRITERIOS Y DIAGNOSTICO Angeles.pptx
PATRONES DE REFERENCIA, CRITERIOS Y DIAGNOSTICO Angeles.pptxPATRONES DE REFERENCIA, CRITERIOS Y DIAGNOSTICO Angeles.pptx
PATRONES DE REFERENCIA, CRITERIOS Y DIAGNOSTICO Angeles.pptx
 
La historia de la vida estudiantil a 102 años de la fundación de las Normales...
La historia de la vida estudiantil a 102 años de la fundación de las Normales...La historia de la vida estudiantil a 102 años de la fundación de las Normales...
La historia de la vida estudiantil a 102 años de la fundación de las Normales...
 
Realitat o fake news? – Què causa el canvi climàtic? - La desertització
Realitat o fake news? – Què causa el canvi climàtic? - La desertitzacióRealitat o fake news? – Què causa el canvi climàtic? - La desertització
Realitat o fake news? – Què causa el canvi climàtic? - La desertització
 
RESPONSABILIDAD SOCIAL EN LAS ORGANIZACIONES (4).pdf
RESPONSABILIDAD SOCIAL EN LAS ORGANIZACIONES (4).pdfRESPONSABILIDAD SOCIAL EN LAS ORGANIZACIONES (4).pdf
RESPONSABILIDAD SOCIAL EN LAS ORGANIZACIONES (4).pdf
 
tema 6 2eso 2024. Ciencias Sociales. El final de la Edad Media en la Penínsul...
tema 6 2eso 2024. Ciencias Sociales. El final de la Edad Media en la Penínsul...tema 6 2eso 2024. Ciencias Sociales. El final de la Edad Media en la Penínsul...
tema 6 2eso 2024. Ciencias Sociales. El final de la Edad Media en la Penínsul...
 
Estudios Sociales libro 8vo grado Básico
Estudios Sociales libro 8vo grado BásicoEstudios Sociales libro 8vo grado Básico
Estudios Sociales libro 8vo grado Básico
 
Realitat o fake news? – Què causa el canvi climàtic? - Modificacions dels pat...
Realitat o fake news? – Què causa el canvi climàtic? - Modificacions dels pat...Realitat o fake news? – Què causa el canvi climàtic? - Modificacions dels pat...
Realitat o fake news? – Què causa el canvi climàtic? - Modificacions dels pat...
 
novelas-cortas--3.pdf Analisis introspectivo y retrospectivo, sintesis
novelas-cortas--3.pdf Analisis introspectivo y retrospectivo, sintesisnovelas-cortas--3.pdf Analisis introspectivo y retrospectivo, sintesis
novelas-cortas--3.pdf Analisis introspectivo y retrospectivo, sintesis
 
Estrategia Nacional de Refuerzo Escolar SJA Ccesa007.pdf
Estrategia Nacional de Refuerzo Escolar  SJA  Ccesa007.pdfEstrategia Nacional de Refuerzo Escolar  SJA  Ccesa007.pdf
Estrategia Nacional de Refuerzo Escolar SJA Ccesa007.pdf
 
En un aposento alto himno _letra y acordes.pdf
En un aposento alto himno _letra y acordes.pdfEn un aposento alto himno _letra y acordes.pdf
En un aposento alto himno _letra y acordes.pdf
 
¿Que es Fuerza? online 2024 Repaso CRECE.pptx
¿Que es Fuerza? online 2024 Repaso CRECE.pptx¿Que es Fuerza? online 2024 Repaso CRECE.pptx
¿Que es Fuerza? online 2024 Repaso CRECE.pptx
 
RESOLUCION_VICE_MINISTERIAL-00048-2024-M-EVALUACIÓN EVALAUCION FORMATIVA MINE...
RESOLUCION_VICE_MINISTERIAL-00048-2024-M-EVALUACIÓN EVALAUCION FORMATIVA MINE...RESOLUCION_VICE_MINISTERIAL-00048-2024-M-EVALUACIÓN EVALAUCION FORMATIVA MINE...
RESOLUCION_VICE_MINISTERIAL-00048-2024-M-EVALUACIÓN EVALAUCION FORMATIVA MINE...
 

Derivada y diferenciación

  • 1. Matemáticas 1 Derivada y diferenciación Angel Vázquez-Patiño angel.vazquezp@ucuenca.edu.ec Facultad de Arquitectura y Urbanismo Universidad de Cuenca 5 de enero de 2023
  • 2. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 2/147 Objetivos 1. Interpretación geométrica de la derivada 2. Relación entre diferenciabilidad y continuidad 3. Reglas de diferenciación 4. Derivadas de orden superior 5. Razón de cambio y movimiento rectilíneo 6. Diferenciación de funciones trigonométricas 7. Regla de la cadena 8. Tasas de variación relacionadas
  • 3. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 3/147 Contenido Recta tangente y derivada Diferenciabilidad y continuidad Teoremas sobre diferenciación de funciones algebraicas y derivadas de orden superior Movimiento rectilíneo Derivada como tasa de variación Derivadas de funciones trigonométricas Derivada de una función compuesta y regla de la cadena Derivada de la función potencia para exponentes racionales y diferenciación implícita Tasas de variación relacionadas
  • 4. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 4/147 Recta tangente y derivada
  • 5. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 5/147 Pendiente de la recta secante
  • 6. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 6/147 Pendiente de la recta tangente
  • 7. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 7/147 https://www.geogebra.org/m/JxQ3BdSz
  • 8. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 8/147 Recta tg. a la gráfica de una función Suponga que la función f es continua en x₁. La recta tangente a la gráfica de f en el punto P(x₁, f(x₁)) es (i) la recta que pasa por P y tiene pendiente si este límite existe (ii) la recta x=x₁ si y
  • 9. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 9/147 Ejemplos de rectas tangentes
  • 10. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 10/147 Pendiente de la gráfica ● Pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto
  • 11. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 11/147 Ejemplo ● Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de ● en el punto (x₁, f(x₁)).
  • 12. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 12/147
  • 13. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 13/147
  • 14. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 14/147 Recta normal a una gráfica Definición ● La recta normal a una gráfica en un punto dado es la recta perpendicular a la recta tangente en ese punto.
  • 15. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 15/147
  • 16. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 16/147
  • 17. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 17/147
  • 18. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 18/147 Derivada de una función La derivada de la función f es aquella función, denotada por f’, tal que su valor en un número x del dominio de f está dado por si este límite existe. Si x₁ es un número particular del dominio de f, entonces
  • 19. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 19/147 Cocientes de diferencias estándar de la función f en el número x₁
  • 20. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 20/147 Ejemplo ● Determine la derivada de f si
  • 21. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 21/147
  • 22. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 22/147
  • 23. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 23/147 https://www.geogebra.org/m/qkejxndw
  • 24. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 24/147 Diferenciabilidad y Continuidad
  • 25. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 25/147 Diferenciabilidad de una función ● Una función es diferenciable en un intervalo abierto si es diferenciable en cada número del intervalo. ● Si una función es diferenciable en cada número de su dominio, entonces se dice que es una función diferenciable.
  • 26. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 26/147 Ejemplo de función diferenciable
  • 27. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 27/147 Diferenciable en un intervalo abierto
  • 28. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 28/147 f continua pero no diferenciable en 0
  • 29. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 29/147 f continua pero no diferenciable en 0
  • 30. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 30/147 f continua pero no diferenciable en 0 ¿Por qué?
  • 31. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 31/147 Cocientes de diferencias estándar de la función f en el número x₁ Recordar
  • 32. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 32/147 ¿Por qué |x| no diferenciable en 0?
  • 33. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 33/147 Observación ● La continuidad de una función en un número no implica la diferenciabilidad de la misma en el punto en cuestión. Sin embargo, la diferenciabilidad implica continuidad. Teorema ● Si una función f es diferenciable en un número x₁, entonces f es continua en x₁.
  • 34. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 34/147 Observación Una función f puede no ser diferenciable en un número c por alguna de las siguientes razones: 1. f es discontinua en c
  • 35. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 35/147 Observación Una función f puede no ser diferenciable en un número c por alguna de las siguientes razones: 2. f es continua en c pero hay una recta tangente x=c
  • 36. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 36/147 Observación Una función f puede no ser diferenciable en un número c por alguna de las siguientes razones: 3. f es continua en c pero no hay recta tangente en el punto donde x=c
  • 37. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 37/147 Definición de derivada lateral (i) Si la función f está definida en x₁, entonces la derivada por la derecha de f en x₁, denotada por f’+(x₁) está definida por si existe el límite.
  • 38. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 38/147 Definición de derivada lateral (ii) Si la función f está definida en x₁, entonces la derivada por la izquierda de f en x₁, denotada por f’+(x₁) está definida por si existe el límite.
  • 39. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 39/147 Teoremas sobre diferenciación de funciones algebraicas y derivadas de orden superior
  • 40. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 40/147 Regla de diferenciación de una constante
  • 41. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 41/147 Regla de diferenciación de una constante
  • 42. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 42/147 Regla de diferenciación de potencias
  • 43. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 43/147 Ejemplos
  • 44. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 44/147 Diferenciación del producto de una función por una constante
  • 45. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 45/147 Ejemplos
  • 46. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 46/147 Regla de diferenciación para la suma ● Si f1, f2, f3,…, fn son funciones y h es la función definida por h(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + … + fn(x) ● y si f’1(x), f’2(x), f’3(x), …, f’n(x) existen, entonces h’(x) = f’1(x) + f’2(x) + f’3(x) + … + f’n(x)
  • 47. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 47/147
  • 48. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 48/147 Ejemplo ● Obtenga una ecuación de la recta tangente a la curva que sea paralela a la recta . ● Solución: https://youtu.be/wRksmxmqT04
  • 49. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 49/147
  • 50. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 50/147
  • 51. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 51/147
  • 52. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 52/147
  • 53. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 53/147 Ejemplo ● Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva ● que sea paralela a la recta
  • 54. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 54/147
  • 55. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 55/147
  • 56. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 56/147
  • 57. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 57/147
  • 58. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 58/147
  • 59. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 59/147 Regla de diferenciación para el producto
  • 60. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 60/147 Ejemplos
  • 61. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 61/147 Regla de diferenciación para el cociente
  • 62. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 62/147 Ejemplos
  • 63. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 63/147 Regla de diferenciación de potencias
  • 64. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 64/147 Ejemplos
  • 65. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 65/147 Derivadas de orden superior
  • 66. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 66/147 Ejemplos
  • 67. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 67/147 Movimiento rectilíneo
  • 68. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 68/147 O + −
  • 69. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 69/147
  • 70. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 70/147
  • 71. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 71/147
  • 72. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 72/147 Velocidad promedio Cambio de posición con respecto al tiempo [m/s]. 12 m
  • 73. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 73/147 12 − 0 3 – 1
  • 74. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 74/147 (t, s) (t₁, s₁) s – s₁ t – t₁
  • 75. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 75/147 (t, f(t)) (t₁, f(t₁)) f(t) – f(t₁) t – t₁
  • 76. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 76/147 Velocidad instantánea
  • 77. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 77/147 Velocidad instantánea Si f es una función definida por la ecuación s = f(t) y una partícula se desplaza a lo largo de una recta, tal que s es el número de unidades de la distancia dirigida de la partícula desde un punto fijo sobre la recta en t unidades de tiempo, entonces la velocidad instantánea de la partícula a las t unidades de tiempo es v unidades de velocidad, donde si existe.
  • 78. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 78/147 Velocidad instantánea ● Reposo: v=0 ● Rapidez: |v |
  • 79. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 79/147 Velocidad instantánea ● Ejemplo
  • 80. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 80/147 d
  • 81. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 81/147
  • 82. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 82/147
  • 83. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 83/147 Aceleración instantánea
  • 84. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 84/147
  • 85. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 85/147
  • 86. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 86/147
  • 87. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 87/147 Derivada como tasa de variación
  • 88. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 88/147 Tasa instantánea de variación
  • 89. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 89/147 Tasa de variación instantánea Definición ● Si y = f(x) (el valor de la variable y está relacionado con el valor de la variable x mediante la función f ), entonces la tasa de variación instantánea de y por unidad de variación de x en x₁ es f’(x₁) o, equivalentemente, la derivada de y con respecto a x en x₁, si ésta existe.
  • 90. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 90/147 Ejemplo ● Determine la tasa instantánea de variación de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = 2x3 − 6x2 − x + 1 en el punto (3, -2).
  • 91. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 91/147
  • 92. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 92/147
  • 93. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 93/147
  • 94. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 94/147
  • 95. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 95/147 Derivadas de las funciones trigonométricas
  • 96. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 96/147 https://www.geogebra.org/m/qkejxndw
  • 97. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 97/147 https://www.geogebra.org/m/qkejxndw
  • 98. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 98/147 Ejemplo ● Determine la derivada de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante en función de senos y/o cosenos.
  • 99. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 99/147
  • 100. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 100/147
  • 101. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 101/147
  • 102. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 102/147
  • 103. Funciones Angel Vázquez-Patiño 103/147 ¡Hasta aquí el examen interciclo sobre 20 puntos! Miércoles 21/Dic/2022
  • 104. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 104/147 Derivada de una función compuesta y regla de la cadena
  • 105. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 105/147
  • 106. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 106/147 Regla de la cadena ● Si la función g es diferenciable en x y la función f es diferenciable en g(x), entonces la función compuesta f ○g es diferenciable en x, y
  • 107. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 107/147 En notación de Leibniz
  • 108. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 108/147 Movimiento armónico simple Se dice que un objeto, el cual se mueve sobre una recta, tiene MAS si la medida de su aceleración es siempre proporcional a la medida de su desplazamiento a partir de un punto fijo sobre la recta, y su aceleración y desplazamiento tienen sentidos opuestos. Los modelos matemáticos que describen el MAS, vibraciones u oscilaciones, están dados por las funciones
  • 109. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 109/147 Movimiento armónico simple ● ¿Aceleración proporcional a su desplazamiento y su aceleración y desplazamiento tienen sentidos opuestos?
  • 110. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 110/147 Movimiento armónico simple https://www.geogebra.org/m/sjgknfcn
  • 111. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 111/147 Ejemplos
  • 112. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 112/147 Derivada de la función potencia para exponentes racionales y diferenciación implícita
  • 113. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 113/147 Regla de diferenciación de la función potencia
  • 114. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 114/147 Ejemplo
  • 115. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 115/147 Ejemplo ● Obtenga ecuaciones de la recta tangente y de recta normal a la gráfica de la ecuación en el punto indicado. Trace en la graficadora la gráfica junto con las rectas tangente y normal en el mismo rectángulo de inspección. ● Solución: https://youtu.be/4u2b5iChcyI
  • 116. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 116/147
  • 117. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 117/147
  • 118. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 118/147
  • 119. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 119/147
  • 120. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 120/147
  • 121. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 121/147
  • 122. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 122/147
  • 123. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 123/147 Regla de la cadena
  • 124. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 124/147 Ejemplos
  • 125. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 125/147 Diferenciación implícita
  • 126. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 126/147 Relación explícitamente no visible
  • 127. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 127/147
  • 128. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 128/147
  • 129. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 129/147
  • 130. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 130/147 Diferenciación implícita Definición implícita de la función
  • 131. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 131/147 Diferenciación implícita
  • 132. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 132/147 Diferenciación implícita
  • 133. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 133/147 Ejemplo
  • 134. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 134/147 Ejemplo
  • 135. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 135/147 Segunda derivada para funciones definidas implícitamente
  • 136. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 136/147 Ejemplos
  • 137. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 137/147 Tasas de variación relacionadas
  • 138. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 138/147 ¡Trabajo en clase sobre 5 puntos! ● Revisar la sección 2.10 ● Si x es su último número de cédula, desarrolle los ejercicios f(x)+3n con n={0, 1, …, 13, 14}. ● Cada ejercicio resuelto parcial o incorrectamente, merma un punto. Si no usa su último número de cédula, su nota será 0/5.
  • 139. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 139/147 Tasas de variación relacionadas ● Involucra tasas de variación de variables relacionadas ● Variables tienen relación con valores de t
  • 140. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 140/147 Sugerencias (1)
  • 141. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 141/147 Sugerencias (2)
  • 142. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 142/147 Ejemplo (1) ● Un niño vuela una cometa a una altura de 40 metros y lo hace moviéndose horizontalmente a una tasa de 3 m/s. Si la cuerda está tensa, ¿a qué tasa se afloja cuando la longitud de la cuerda suelta es de 50 m? ● Solución: https://youtu.be/7jZIjFrTc68?t=1663
  • 143. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 143/147 40 m 3 m/s
  • 144. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 144/147 Ejemplo (2) ● Se está formando una bola de nieve de modo que su volumen se incrementa a una tasa de 8 m3 /min. Determine la tasa a la que el radio aumenta cuando el diámetro de la bola es de 4 metros. Solución: https://youtu.be/7jZIjFrTc68?t=3226
  • 145. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 145/147 Ejemplo (3) ● Una lámpara se encuentra suspendida a 15 pies sobre una calle horizontal y recta. Si un hombre de 6 pies de estatura camina alejándose de la lámpara a una tasa de 5 pie/s, ¿a qué tasa se desplaza la punta de la sombra del hombre? ● Solución: https://youtu.be/7jZIjFrTc68?t=4319
  • 146. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 146/147 15 pies 6 pies 5 pie/s
  • 147. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 147/147 Preguntas