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Lección 31
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Concepto
Para comenzar recordemos que en álgebra es necesario resolver sistemas de ecuaciones de la
forma:
En donde hallamos un valor de x y otro de y tal que estos satisfagan las ecuaciones.
De manera similar es comúnmente necesario resolver sistemas de ecuaciones diferenciales de la
forma:
Donde x,y son dependientes y t es la variable independiente.
La solución de este sistema será un par de funciones x(t), y(t) definidas en un intervalo I tal que
ambas satisfacen las dos ecuaciones.
Sistema de n ecuaciones de primer
orden
La solución de este sistema es un conjunto de funciones y1(t),y2(t)….yn(t) definidas en un
intervalo I.
Las soluciones de sistemas de ecuaciones de primer orden en general no serán expresables
explícita o implícitamente en términos de funciones elementales.
EJEMPLO
Sistema de ecuaciones lineales de primer
orden
Es un tipo especial de sistema de primer orden en el cual las funciones f1(x,y,t), f2(x,y,t) son
lineales en x y y:
Tal que un sistema de n ecuaciones lineales de primer orden tiene la siguiente forma:
En donde las funciones f11…fnn son lineales en y1,y2….yn.
Ejemplo
Solución de un sistema de ecuaciones lineales con
coeficientes constantes mediante el uso de
operadores
El sistema de ecuaciones
donde D es el operador d/dt y los coeficientes de y1, y2, …, yn son operadores
polinómicos, es llamado sistema de n ecuaciones diferenciales lineales.
Ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales:
Una solución del sistema lineal antes mencionado, es un conjunto de funciones y1(t),
y2(t), …, yn(t), definidas en un intervalo común I que satisface a todas las ecuaciones del
sistema.
Solución de un sistema de ecuaciones lineales con
coeficientes constantes mediante el uso de
operadores
Ya que los operadores polinómicos con coeficientes constantes obedecen las reglas del álgebra,
el método que podremos usar para resolver un sistema como el nuestro será similar al que se
usa para resolver un sistema algebraico de ecuaciones simultáneas.
Sin embargo, es importante identificar dos diferencias entre los dos sistemas:
Solución de un sistema de ecuaciones lineales con
coeficientes constantes mediante el uso de
operadores
SISTEMAS ALGEBRAICOS S. E. L. C. C.
El símbolo de operador D representa una
cantidad numérica.
El símbolo D, representa un operador
diferencial que opera en una función. Por
tanto, el orden en que se escriben los
operadores es importante.
Sus soluciones no suelen tener
constantes arbitrarias
Sus soluciones generales suelen tener
constantes arbitrarias, y debe tener el
número correcto de ellas.
Tomaremos en cuenta el siguiente par de ecuaciones:
El número de constantes arbitrarias en la solución general x(t), y(t) del sistema lineal debe ser
igual al orden del determinante:
Por ahora nos enfocaremos solo en el Caso de un sistema no degenerado, esto quiere decir que
debe cumplirse:
Solución de un sistema de ecuaciones lineales con
coeficientes constantes mediante el uso de
operadores
Recordando el procedimiento usual para resolver un sistema algebraico, si tenemos:
(a)
(b)
Al multiplicar (a) por 3, y (b) por -2 tendremos:
6x + 9y = 21
-6x + 4y = -8
Al sumar las ecuaciones obtenidas nos queda:
13y = 13
Entonces y=1, reemplazando este valor en (a) obtenemos que x=2, este par de valores es la
solución que satisface al sistema.
Solución de un sistema de ecuaciones lineales con
coeficientes constantes mediante el uso de
operadores
De la misma manera que con el sistema algebraico, es posible resolver el sistema de ecuaciones
diferenciales lineales:
1. Multiplicamos la primera ecuación por f2(D), la segunda ecuación por –f1(D)
2. Sumamos las ecuaciones para eliminar x, obteniendo una ecuación diferencial lineal en y.
3. Sustituir el valor de y en una ecuación para hallar x(t)
El problema de seguir este procedimiento es que al multiplicar las ecuaciones por un operador
polinomial, se eleva el orden de las ecuaciones dadas, por tanto se introducen constantes de más en
x(t), y(t). Lo que nos llevará a la necesidad de determinar cómo se relacionan dichas constantes.
Solución de un sistema de ecuaciones lineales con
coeficientes constantes mediante el uso de
operadores
EJEMPLO
Sistema triangular equivalente
Es un sistema en el que un coeficiente de x o de y es cero.
El método descrito anteriormente para resolver el sistema puede ser tedioso y requiere mucho
tiempo, aparte se obtiene mas de el numero requerido de constantes.
Para resolver el nuevo método consideramos el siguiente sistema:
Y obtenemos un nuevo sistema de la siguiente manera:
•Conservamos cualquiera de las dos ecuaciones.
•La ecuación que queda es cambiada de la siguiente manera:
Multiplicamos la ecuación retenida por K(D) y lo sumamos a la otra ecuación.
Este nuevo sistema es equivalente al primer sistema.
Sistema triangular equivalente
El determinante del primer sistema es:
Y el determinante del segundo sistema:
El orden del determinante del sistema original debe ser el mismo que el orden del determinante
del sistema equivalente
Sistema triangular equivalente
Si resolvemos el sistema para x usando la primera ecuación
la solución general tendrá tantas constantes arbitrarias como el orden de F1(D) y sustituyendo esta
solución en la segunda ecuación del sistema, da como resultado una ecuación lineal en y cuyo
orden es igual a G2(D)
Por lo tanto, el número total de constantes arbitrarias, será igual a la suma de los órdenes de F1(D)
y G2(D).
Sistema triangular equivalente
EJEMPLO
EJEMPLO
EJEMPLO
Ejemplo
Ejemplo
Caso degenerado
El sistema no tendrá soluciones o tendrá infinitas soluciones
Sistema (a) y (b) no tienen soluciones
Sistema (c) y (d) tiene infinitas soluciones
𝑓1 𝐷 𝑔2 𝐷 − 𝑔1 𝐷 𝑓2 𝐷 = 0
En los cuatro ejemplos, el determinante formado por el coeficiente de (x) e (y) es cero.
(a) (2*3)-(3*2) = 0
(c) (2*6)-(3*4) = 0
Llamamos al sistema de ecuaciones diferenciales lineales degenerado siempre que su determinante es
cero, como en el sistema algebraico, no habrá soluciones si, al tratar de eliminar x o y, el lado derecho
del sistema no es cero; habrá infinitos si el lado derecho es cero.
Caso degenerado
Ejemplo 31.6
Demuestre que el sistema es degenerate. Halla el número de soluciones que tiene.
Determinante
Se comprueba que el sistema es degenerado
0 = Dt(t-1)
Como el lado derecho no se reduce a cero cuando eliminamos x o y, no tiene soluciones
(D∗−D)−(−D∗D) = −𝐷2
+ 𝐷2
= 0
Ejemplo 31.6
Ejemplo 31.61
Demuestre que el sistema es degenerate. Halla el número de soluciones que tiene.
Determinante
Se comprueba que el sistema es degenerado
0 = 0
Su lado derecho, sin embargo, se reduce a cero cuando eliminamos x o y. En este caso hay infinitas soluciones
del sistema
(D∗−4D)−(−D∗4D) = −4𝐷2 + 4𝐷2 = 0
𝑥 =
𝑡2
2
+ 𝑐 , 𝑦 = 5𝑐 𝑥 =
𝑡
2
+ 𝑐1 , 𝑦 =
𝑡
2
−
𝑡2
2
+ 𝑐2
Ejemplo 31.7
Demuestre que el sistema es degenerate. Halla el número de soluciones que tiene.
Determinante
Se comprueba que el sistema es degenerado
0 = 0
Su lado derecho, sin embargo, se reduce a cero cuando eliminamos x o y. En este caso hay
infinitas soluciones del sistema
(D+1)∗(D−1)−(D+1)(D−1) = 0
𝑥 + 𝑦 = 𝑐1𝑒−𝑡 ; 𝑥 + 𝑦 = 𝑐2𝑒𝑡 ; 𝑐1 ≠ 0 𝑐2 ≠ 0 inconsistente
𝑥 + 𝑦 = 0 𝑜 𝑥 𝑡 = −𝑦 𝑡 ; 𝑐1 = 𝑐2 = 0 infinitas
Sistemas de Tres Ecuaciones Lineales
Sistema:
Calculo de su determinante:
El método para encontrar una solución general del sistema
Determinante debe ser distinta de cero
Primero eliminamos una de las variables, digamos z, de la misma manera que eliminamos esta variable en
un sistema algebraico de tres ecuaciones
Obtenemos un sistema reducido:
Finalmente eliminamos una variable del sistema
Obtenemos un sistema triangular
Podemos resolver x.
Sustituyendo este valor de x en la siguiente ecuación que nos permitirá resolver y
Finalmente sustituyendo ambos valores x e y en la ecuación original podremos resolver z.
Ejemplo 31.76
Reduzca el siguiente sistema a un equivalente triangular
Ejercicio 31.22
Solución de un Sistema Lineal por
Transformadas de Laplace
Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes también se puede resolver
mediante transformadas de Laplace.
Sin embargo, a diferencia del método operacional, el método de la transformada de Laplace se puede usar
solo si se dan las condiciones iniciales y el intervalo sobre el cual las soluciones son válidas es 0 ≤ 𝑡 < ∞
El método de Laplace tiene una ventaja sobre el operativo precedente en que producirá inmediatamente
una solución particular que satisface las condiciones iniciales dadas sin la necesidad de evaluar constantes
arbitrarias.
Ejemplo 31.8
Tablas de la Transformada de Laplace
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  • 1. Lección 31 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
  • 2. Concepto Para comenzar recordemos que en álgebra es necesario resolver sistemas de ecuaciones de la forma: En donde hallamos un valor de x y otro de y tal que estos satisfagan las ecuaciones.
  • 3. De manera similar es comúnmente necesario resolver sistemas de ecuaciones diferenciales de la forma: Donde x,y son dependientes y t es la variable independiente. La solución de este sistema será un par de funciones x(t), y(t) definidas en un intervalo I tal que ambas satisfacen las dos ecuaciones.
  • 4. Sistema de n ecuaciones de primer orden La solución de este sistema es un conjunto de funciones y1(t),y2(t)….yn(t) definidas en un intervalo I. Las soluciones de sistemas de ecuaciones de primer orden en general no serán expresables explícita o implícitamente en términos de funciones elementales.
  • 6. Sistema de ecuaciones lineales de primer orden Es un tipo especial de sistema de primer orden en el cual las funciones f1(x,y,t), f2(x,y,t) son lineales en x y y: Tal que un sistema de n ecuaciones lineales de primer orden tiene la siguiente forma: En donde las funciones f11…fnn son lineales en y1,y2….yn.
  • 8. Solución de un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes constantes mediante el uso de operadores El sistema de ecuaciones donde D es el operador d/dt y los coeficientes de y1, y2, …, yn son operadores polinómicos, es llamado sistema de n ecuaciones diferenciales lineales.
  • 9. Ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales: Una solución del sistema lineal antes mencionado, es un conjunto de funciones y1(t), y2(t), …, yn(t), definidas en un intervalo común I que satisface a todas las ecuaciones del sistema. Solución de un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes constantes mediante el uso de operadores
  • 10. Ya que los operadores polinómicos con coeficientes constantes obedecen las reglas del álgebra, el método que podremos usar para resolver un sistema como el nuestro será similar al que se usa para resolver un sistema algebraico de ecuaciones simultáneas. Sin embargo, es importante identificar dos diferencias entre los dos sistemas: Solución de un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes constantes mediante el uso de operadores SISTEMAS ALGEBRAICOS S. E. L. C. C. El símbolo de operador D representa una cantidad numérica. El símbolo D, representa un operador diferencial que opera en una función. Por tanto, el orden en que se escriben los operadores es importante. Sus soluciones no suelen tener constantes arbitrarias Sus soluciones generales suelen tener constantes arbitrarias, y debe tener el número correcto de ellas.
  • 11. Tomaremos en cuenta el siguiente par de ecuaciones: El número de constantes arbitrarias en la solución general x(t), y(t) del sistema lineal debe ser igual al orden del determinante: Por ahora nos enfocaremos solo en el Caso de un sistema no degenerado, esto quiere decir que debe cumplirse: Solución de un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes constantes mediante el uso de operadores
  • 12. Recordando el procedimiento usual para resolver un sistema algebraico, si tenemos: (a) (b) Al multiplicar (a) por 3, y (b) por -2 tendremos: 6x + 9y = 21 -6x + 4y = -8 Al sumar las ecuaciones obtenidas nos queda: 13y = 13 Entonces y=1, reemplazando este valor en (a) obtenemos que x=2, este par de valores es la solución que satisface al sistema. Solución de un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes constantes mediante el uso de operadores
  • 13. De la misma manera que con el sistema algebraico, es posible resolver el sistema de ecuaciones diferenciales lineales: 1. Multiplicamos la primera ecuación por f2(D), la segunda ecuación por –f1(D) 2. Sumamos las ecuaciones para eliminar x, obteniendo una ecuación diferencial lineal en y. 3. Sustituir el valor de y en una ecuación para hallar x(t) El problema de seguir este procedimiento es que al multiplicar las ecuaciones por un operador polinomial, se eleva el orden de las ecuaciones dadas, por tanto se introducen constantes de más en x(t), y(t). Lo que nos llevará a la necesidad de determinar cómo se relacionan dichas constantes. Solución de un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes constantes mediante el uso de operadores
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  • 20. Sistema triangular equivalente Es un sistema en el que un coeficiente de x o de y es cero. El método descrito anteriormente para resolver el sistema puede ser tedioso y requiere mucho tiempo, aparte se obtiene mas de el numero requerido de constantes. Para resolver el nuevo método consideramos el siguiente sistema:
  • 21. Y obtenemos un nuevo sistema de la siguiente manera: •Conservamos cualquiera de las dos ecuaciones. •La ecuación que queda es cambiada de la siguiente manera: Multiplicamos la ecuación retenida por K(D) y lo sumamos a la otra ecuación. Este nuevo sistema es equivalente al primer sistema. Sistema triangular equivalente
  • 22. El determinante del primer sistema es: Y el determinante del segundo sistema: El orden del determinante del sistema original debe ser el mismo que el orden del determinante del sistema equivalente Sistema triangular equivalente
  • 23. Si resolvemos el sistema para x usando la primera ecuación la solución general tendrá tantas constantes arbitrarias como el orden de F1(D) y sustituyendo esta solución en la segunda ecuación del sistema, da como resultado una ecuación lineal en y cuyo orden es igual a G2(D) Por lo tanto, el número total de constantes arbitrarias, será igual a la suma de los órdenes de F1(D) y G2(D). Sistema triangular equivalente
  • 29. Caso degenerado El sistema no tendrá soluciones o tendrá infinitas soluciones Sistema (a) y (b) no tienen soluciones Sistema (c) y (d) tiene infinitas soluciones 𝑓1 𝐷 𝑔2 𝐷 − 𝑔1 𝐷 𝑓2 𝐷 = 0
  • 30. En los cuatro ejemplos, el determinante formado por el coeficiente de (x) e (y) es cero. (a) (2*3)-(3*2) = 0 (c) (2*6)-(3*4) = 0 Llamamos al sistema de ecuaciones diferenciales lineales degenerado siempre que su determinante es cero, como en el sistema algebraico, no habrá soluciones si, al tratar de eliminar x o y, el lado derecho del sistema no es cero; habrá infinitos si el lado derecho es cero. Caso degenerado
  • 31. Ejemplo 31.6 Demuestre que el sistema es degenerate. Halla el número de soluciones que tiene. Determinante Se comprueba que el sistema es degenerado 0 = Dt(t-1) Como el lado derecho no se reduce a cero cuando eliminamos x o y, no tiene soluciones (D∗−D)−(−D∗D) = −𝐷2 + 𝐷2 = 0
  • 33. Ejemplo 31.61 Demuestre que el sistema es degenerate. Halla el número de soluciones que tiene. Determinante Se comprueba que el sistema es degenerado 0 = 0 Su lado derecho, sin embargo, se reduce a cero cuando eliminamos x o y. En este caso hay infinitas soluciones del sistema (D∗−4D)−(−D∗4D) = −4𝐷2 + 4𝐷2 = 0 𝑥 = 𝑡2 2 + 𝑐 , 𝑦 = 5𝑐 𝑥 = 𝑡 2 + 𝑐1 , 𝑦 = 𝑡 2 − 𝑡2 2 + 𝑐2
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  • 35. Ejemplo 31.7 Demuestre que el sistema es degenerate. Halla el número de soluciones que tiene. Determinante Se comprueba que el sistema es degenerado 0 = 0 Su lado derecho, sin embargo, se reduce a cero cuando eliminamos x o y. En este caso hay infinitas soluciones del sistema (D+1)∗(D−1)−(D+1)(D−1) = 0 𝑥 + 𝑦 = 𝑐1𝑒−𝑡 ; 𝑥 + 𝑦 = 𝑐2𝑒𝑡 ; 𝑐1 ≠ 0 𝑐2 ≠ 0 inconsistente 𝑥 + 𝑦 = 0 𝑜 𝑥 𝑡 = −𝑦 𝑡 ; 𝑐1 = 𝑐2 = 0 infinitas
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  • 37. Sistemas de Tres Ecuaciones Lineales Sistema: Calculo de su determinante:
  • 38. El método para encontrar una solución general del sistema Determinante debe ser distinta de cero Primero eliminamos una de las variables, digamos z, de la misma manera que eliminamos esta variable en un sistema algebraico de tres ecuaciones Obtenemos un sistema reducido: Finalmente eliminamos una variable del sistema
  • 39. Obtenemos un sistema triangular Podemos resolver x. Sustituyendo este valor de x en la siguiente ecuación que nos permitirá resolver y Finalmente sustituyendo ambos valores x e y en la ecuación original podremos resolver z.
  • 40. Ejemplo 31.76 Reduzca el siguiente sistema a un equivalente triangular
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  • 46. Solución de un Sistema Lineal por Transformadas de Laplace Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes también se puede resolver mediante transformadas de Laplace. Sin embargo, a diferencia del método operacional, el método de la transformada de Laplace se puede usar solo si se dan las condiciones iniciales y el intervalo sobre el cual las soluciones son válidas es 0 ≤ 𝑡 < ∞ El método de Laplace tiene una ventaja sobre el operativo precedente en que producirá inmediatamente una solución particular que satisface las condiciones iniciales dadas sin la necesidad de evaluar constantes arbitrarias.
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  • 51. Tablas de la Transformada de Laplace