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Matemáticas 1
Valores extremos y comportamiento de las
funciones y de sus gráficas
Angel Vázquez-Patiño
angel.vazquezp@ucuenca.edu.ec
Facultad de Arquitectura y Urbanismo
Universidad de Cuenca
19 de enero de 2023
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 2/122
Objetivos
1. Valores máximo y mínimos de una función
2. Aplicaciones
3. Analizar funciones
4. Graficar funciones sabiendo sus propiedades
5. Límites al infinito
6. Asíntotas
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 3/122
Contenido
Extremos de funciones
Funciones crecientes y decrecientes, y criterio
de la primera derivada
Concavidad, puntos de inflexión y criterio de la
segunda derivada
Límites al infinito
Trazo de las gráficas de las funciones y de sus
derivadas
Aplicaciones
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 4/122
Valores máximos y mínimos de
funciones
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 5/122
Extremos relativos: máximo relativo
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 6/122
Ejemplo: valores máximos relativos
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 7/122
Extremos relativos: mínimo relativo
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 8/122
Ejemplo: valores mínimos relativos
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 9/122
Valor de la derivada en un extremo
relativo
● Si f es una función diferenciable, entonces los únicos
números posibles c para los cuales f puede tener un
extremo relativo son aquellos en los que f’(c)=0.
● Que f’(c)=0 no significa que haya un extremo relativo
en c.
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 10/122
https://www.geogebra.org/m/qkejxndw
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 11/122
Ejemplo
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 12/122
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 13/122
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Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 14/122
En otras palabras
● Si una función f está definida en un número c,
una condición necesaria para que f tenga una
extremo relativo en c es que f’(c)=0 o que f’(c)
no exista.
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Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 15/122
Ejemplo
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 16/122
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Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 17/122
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●
Una condición necesaria, pero no suficiente,
para que una función tenga un extremo relativo
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Analíticamente
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Extremos absolutos
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 22/122
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Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 23/122
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Extremo absoluto en el dominio de f
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Se puede hablar del extremo absoluto de una
función cuando no se ha especificado
ningún intervalo. En tal caso se hace
referencia al extremo absoluto de la función en
su dominio.
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 28/122
Ejemplo
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 29/122
Teorema del valor extremo (1)
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no necesaria.
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 31/122
Extremos absolutos en un intervalo
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2) Determinar los valores de f(a) y f(b).
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Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 32/122
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Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 33/122
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Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 84/122
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1)Ver números críticos (de f y “ de f’ ”)
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haber una recta tangente en un punto de inflexión!
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 85/122
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gráfica de f y dónde la gráfica es cóncava hacia arriba y dónde
lo es hacia abajo. Dibuje una posible gráfica de f que tenga
estas propiedades así como las propiedades inferidas en base
al criterio de la primera derivada. Suponga que los únicos
ceros de f son 3.5 y 6.
5
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 86/122
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 87/122
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 88/122
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●
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Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 89/122
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 90/122
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 91/122
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1) Intervalos en los que f
es creciente o
decreciente
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3) Intervalos donde f es
cóncava hacia arriba o
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4) Abscisas de los
puntos de inflexión
5) Dibuje f’ y f’’
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 92/122
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 93/122
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Límites al infinito
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 96/122
Introducción
●
Límites de funciones cuando la variable
independiente crece o decrece sin límite.
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 97/122
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 98/122
Límite de f(x) al crecer x sin límite
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 99/122
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 100/122
Límite de f(x) al decrecer x sin límite
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 101/122
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 102/122
T.13 L.
● Si r es cualquier número entero positivo,
entonces
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 103/122
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 104/122
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 105/122
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Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 108/122
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Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 111/122
Límites “infinitos” al infinito
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 112/122
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 113/122
Asíntota horizontal
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 114/122
Ejemplos
Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 115/122
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Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 116/122
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Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 117/122
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Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 118/122
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Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 119/122
Funciones Angel Vázquez-Patiño 120/122
¡Prueba 2 sobre 15
puntos!
Secciones 2.8, 2.9,
2.10, 3.1 y 3.2.
Lunes 30/Ene/2023
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