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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA
REPASO SOBRE DEFINICIÓN DE LAS RAZONES
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MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA
La integración por sustitución trigonométrica s...
 
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Ejemplo 1
Calcular la integral:
Como podemos notar en el integrando tenemos una expresión equivalent...
 
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Integración por sustitución trigonométrica

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Integración por sustitución trigonométrica

  1. 1.   [Escribir texto]    INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA REPASO SOBRE DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Dado el triángulo rectángulo Se definen las razones trigonométricas como:
  2. 2.   [Escribir texto]    MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA La integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienen la forma: , y Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras e identidades trigonométricas. Para el método de sustitución trigonométrica se reemplaza el radical haciendo una sustitución adecuada. El resultado es un integrando que contiene funciones trigonométricas. En la siguiente tabla se muestra cuál debe ser la sustitución: EXPRESIÓN EN EL INTEGRANDO SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA TRIÁNGULO UTILIZADO
  3. 3.   [Escribir texto]    Ejemplo 1 Calcular la integral: Como podemos notar en el integrando tenemos una expresión equivalente a: por lo tanto usaremos el triángulo que aparece en la primera Columna de la tabla, esto es: Entonces: Ahora buscaremos modificar los términos del integrando usando las funciones trigonométricas y el triángulo anterior, esto es:
  4. 4.   [Escribir texto]    Ahora despejamos en las ecuaciones de tal forma que obtengamos lo mismo que tenemos en el integrando: (1) (2) Como necesitamos el término x2 basta con elevar al cuadrado ambos términos de la segunda ecuación, esto es: Nótese que aún nos falta calcular el diferencial en la integral original (dx), para calcularlo derivamos la ecuación en la que tenemos x de forma explícita (ecuación 2), de ahí obtenemos: Ahora que tenemos todos los términos del integrando realizamos la sustitución en una nueva integral, esto es: Ahora simplificaremos y aplicaremos identidades trigonométricas, una forma simple es convertir todo en términos de funciones seno y coseno, esto es:
  5. 5.   [Escribir texto]    Ahora aplicaremos la técnica de sustitución para solucionar la nueva integral. Esto es: Ahora volvemos a usar el triángulo para encontrar la solución en términos de la variable original: Acá vemos que: Por lo tanto:
  6. 6.   [Escribir texto]    Ejemplo 2 Calcular la integral: Como podemos notar en el integrando tenemos una expresión equivalente a: por lo tanto usaremos el triángulo que aparece en la tercera Columna de la tabla, esto es: Esto es: Buscamos los términos del integrando en el triángulo y hacemos la correspondiente sustitución trigonométrica: Y: Para calcular el diferencial dx buscamos la ecuación explícita para x y la derivamos, esto es:
  7. 7.   [Escribir texto]    Ahora sustituimos en la integral original: Ahora usamos el triángulo inicial para volver a la variable original del ejercicio: Como tenemos que: En síntesis el proceso aplicado para realizar la sustitución trigonométrica es el siguiente: Identificar el radical en el integrando y con base en esto escoger el triángulo rectángulo más adecuado para aplicar la sustitución Reemplazar cada término del integrando con las razones trigonométricas correspondientes Sustituir en la integral cada término del integrando Simplificar el nuevo integrando aplicando identidades trigonométricas Solucionar la integral resultante Usar el triángulo inicial para obtener la solución en términos de la variable original del problema.

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