Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 1
TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ
Dạng 1: Tách phân thức
Câu 1.
x
I dx
x x
2 2
2
1 7 12
=
- +
ò
· I dx
x x
2
1
16 9
1
4 3
æ ö
= + -ç ÷
- -è øò = ( )x x x
2
116ln 4 9ln 3+ - - - = 1 25ln2 16ln3+ - .
Câu 2.
dx
I
x x
2
5 3
1
=
+
ò
· Ta có:
x
xx x x x3 2 3 2
1 1 1
( 1) 1
= - + +
+ +
Þ I x x
x
2
2
21 1 3 1 3
ln ln( 1) ln2 ln5
2 2 2 812
é ù
= - - + + = - + +ê ú
ë û
Câu 3.
x
I dx
x x x
5 2
3 2
4
3 1
2 5 6
+
=
- - +
ò · I
2 4 13 7 14
ln ln ln2
3 3 15 6 5
= - + +
Dạng 2: Đổi biến số
Câu 4.
x
I dx
x
2
4
( 1)
(2 1)
-
=
+
ò · Ta có:
x x
f x
x x
2
1 1 1
( ) . .
3 2 1 2 1
¢æ ö æ ö- -
= ç ÷ ç ÷
+ +è ø è ø
Þ
x
I C
x
3
1 1
9 2 1
æ ö-
= +ç ÷
+è ø
Câu 5.
( )
( )
x
I dx
x
991
101
0
7 1
2 1
-
=
+
ò
·
( )
x dx x x
I d
x x xx
99 991 1
2
0 0
7 1 1 7 1 7 1
2 1 9 2 1 2 12 1
æ ö æ ö æ ö- - -
= =ç ÷ ç ÷ ç ÷
+ + +è ø è ø è ø+
ò ò
x
x
100
1001 1 7 1 11
2 1
09 100 2 1 900
æ ö- é ù= × = ë - ûç ÷
+è ø
Câu 6.
x
I dx
x
1
2 2
0
5
( 4)
=
+
ò · Đặt t x2
4= + Þ I
1
8
=
Câu 7. I dx
x x
4
3
4
1
1
( 1)
=
+
ò · Đặt t x2
= Þ
t
I dt
t t
3
2
1
1 1 1 3
ln
2 4 21
æ ö
= - =ç ÷
+è ø
ò
Câu 8.
dx
I
x x
3
6 2
1 (1 )
=
+
ò

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 2
· Đặt : x
t
1
= Þ
t
I dt t t dt
t t
3
163
4 2
2 2
1 3
3
1
1
1 1
æ ö
= - = - + -ç ÷
+ +è ø
ò ò =
117 41 3
135 12
p-
+
Câu 9.
dx
I
x x
2
10 2
1 .( 1)
=
+
ò ·
x dx
I
x x
2 4
5 10 2
1
.
.( 1)
=
+
ò . Đặt t x5
= Þ
dt
I
t t
32
2 2
1
1
5 ( 1)
=
+
ò
Câu 10.
x
I dx
x
1 7
2 5
0 (1 )
=
+
ò · Đặt t x dt xdx2
1 2= + Þ = Þ
t
I dt
t
2 3
5 5
1
1 ( 1) 1 1
.
2 4 2
-
= =ò
Câu 11.
x
I dx
x x
2 7
7
1
1
(1 )
-
=
+
ò ·
x x
I dx
x x
2 7 6
7 7
1
(1 ).
.(1 )
-
=
+
ò . Đặt t x7
= Þ
t
I dt
t t
128
1
1 1
7 (1 )
-
=
+ò
Câu 12.
x
I dx
x
2 2001
2 1002
1
.
(1 )
=
+
ò
·
x
I dx dx
x x
x
x
2 22004
3 2 1002 1002
1 1 3
2
1
. .
(1 ) 1
1
= =
+ æ ö
+ç ÷
è ø
ò ò . Đặt t dt dx
x x2 3
1 2
1= + Þ = - .
Cách 2: Ta có:
x xdx
I
x x
1 2000
2 2000 2 2
0
1 .2
2 (1 ) (1 )
=
+ +
ò . Đặt t x dt xdx2
1 2= + Þ =
Þ
t
I dt d
t tt t
10002 21000
1000 2 1001
1 1
1 ( 1) 1 1 1 1
1 1
2 2 2002.2
æ ö æ ö-
= = - - =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ò ò
Câu 13. I x x dx
1
5 3 6
0
(1 )= -ò
· Đặt
dt t t
t x dt x dx dx I t t dt
x
1 7 8
3 2 6
2
0
1 1 1
1 3 (1 )
3 3 7 8 1683
æ ö-
= - Þ = - Þ = Þ = - = - =ç ÷
è øò
Câu 14.
xdx
I
x
1
0 3
( 1)
=
+
ò
· Ta có:
x x
x x
x x
2 3
3 3
1 1
( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
- -+ -
= = + - +
+ +
I x x dx
1 2 3
0
1
( 1) ( 1)
8
- -é ùÞ = + - + =ë ûò
Câu 15.
x
I dx
x
2 2
4
1
1
1
+
=
+
ò
· Ta có:
x x
x x
x
2 2
4
2
2
1
1
1
11
+
+
=
+ +
. Đặt t x dt dx
x x2
1 1
1
æ ö
= - Þ = +ç ÷
è ø
Þ
dt
I dt
t tt
3 3
2 2
2
1 1
1 1 1
2 2 2 22
æ ö
= = -ç ÷
- +- è ø
ò ò
t
t
3/ 21 2 1 2 1
.ln ln
12 2 2 2 2 2 1
æ ö- -
= = ç ÷
ç ÷+ +è ø

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 3
Câu 16.
x
I dx
x
2 2
4
1
1
1
-
=
+
ò
· Ta có:
x x
x x
x
2 2
4
2
2
1
1
1
11
-
-
=
+ +
. Đặt t x dt dx
x x2
1 1
1
æ ö
= + Þ = -ç ÷
è ø
Þ
dt
I
t
5
2
2
2 2
= -
+
ò .
Đặt
du
t u dt
u2
2 tan 2
cos
= Þ = ; u u u u1 2
5 5
tan 2 arctan2; tan arctan
2 2
= Þ = = Þ =
Þ
u
u
I du u u
2
1
2 1
2 2 2 5
( ) arctan arctan2
2 2 2 2
æ ö
= = - = -ç ÷
è ø
ò
Câu 17.
x
I dx
x
1 4
6
0
1
1
+
=
+
ò
· Ta có:
x x x x x x x x
x x x x x x x x
4 4 2 2 4 2 2 2
6 6 2 4 2 6 2 6
1 ( 1) 1 1
1 1 ( 1)( 1) 1 1 1
+ - + + - +
= = + = +
+ + + - + + + +
Þ
d x
I dx dx
x x
1 1 3
2 3 2
0 0
1 1 ( ) 1
3 4 3 4 31 ( ) 1
p p p
= + = + =
+ +
ò ò
Câu 18.
x
I dx
x x
2 2
3
1
1-
=
+
ò · Ta có: xI dx
x
x
2 2
1
1
1
1
-
=
+
ò . Đặt t x
x
1
= + Þ I
4
ln
5
=
Câu 19.
xdx
I
x x
1
4 2
0 1
=
+ +
ò . · Đặt t x2
= Þ
dt dt
I
t t
t
1 1
2 22
0 0
1 1
2 2 6 31 1 3
2 2
p
= = =
+ + æ öæ ö
+ + ç ÷ç ÷
è ø è ø
ò ò
Câu 20.
x
I dx
x x
1 5
22
4 2
1
1
1
+
+
=
- +
ò
· Ta có:
x x
x x x
x
2 2
4 2
2
2
1
1
1
11 1
+
+
=
- + + -
. Đặt t x dt dx
x x2
1 1
1
æ ö
= - Þ = +ç ÷
è ø
Þ
dt
I
t
1
2
0 1
=
+
ò . Đặt
du
t u dt
u2
tan
cos
= Þ = Þ I du
4
0
4
p
p
= =ò
Câu 21.
x
I dx
x
3
23
4
0 1
=
-
ò
·
x
I dx dx
x x x x
3 3
23 3
2 2 2 2
0 0
1 1 1 1
ln(2 3)
2 4 12( 1)( 1) 1 1
pæ ö
= = + = - +ç ÷
- + - +è ø
ò ò

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 4
TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ
Dạng 1: Đổi biến số dạng 1
Câu 1.
x
I dx
x x2
3 9 1
=
+ -
ò
·
x
I dx x x x dx x dx x x dx
x x
2 2 2
2
(3 9 1) 3 9 1
3 9 1
= = - - = - -
+ -
ò ò ò ò
+ I x dx x C2 3
1 13= = +ò + I x x dx2
2 9 1= -ò x d x x C
3
2 2 2 2
2
1 1
9 1 (9 1) (9 1)
18 27
= - - = - +ò
Þ I x x C
3
2 321
(9 1)
27
= - + +
Câu 2.
x x
I dx
x x
2
1
+
=
+
ò
·
x x
dx
x x
2
1
+
+
ò
x x
dx dx
x x x x
2
1 1
= +
+ +
ò ò .
+
x
I dx
x x
2
1
1
=
+
ò . Đặt t= x x t x x2
1 1+ Û - = x t3 2 2
( 1)Û = - x dx t t dt2 24
( 1)
3
Û = -
Þ t dt t t C2 34 4 4
( 1)
3 9 3
- = - +ò = ( )x x x x C
3
1
4 4
1 1
9 3
+ - + +
+
x
I dx
x x
2
1
=
+
ò =
d x x
x x
2 (1 )
3 1
+
+
ò = x x C2
4
1
3
+ +
Vậy: ( )I x x C
3
4
1
9
= + +
Câu 3.
x
I dx
x
4
0
2 1
1 2 1
+
=
+ +
ò · Đặt t x2 1= + . I =
t
dt
t
3 2
1
2 ln2
1
= +
+ò .
Câu 4.
dx
I
x x
6
2 2 1 4 1
=
+ + +
ò · Đặt t x4 1= + . I
3 1
ln
2 12
= -
Câu 5. I x x dx
1
3 2
0
1= -ò · Đặt: t x2
1= - Þ ( )I t t dt
1
2 4
0
2
15
= - =ò .
Câu 6.
x
I dx
x
1
0
1
1
+
=
+
ò
· Đặt t x= Þ dx t dt2 .= . I =
t t
dt
t
1 3
0
2
1
+
+ò = t t dt
t
1
2
0
2
2 2
1
æ ö
- + -ç ÷
+è øò =
11
4ln2
3
- .
Câu 7.
x
I dx
x x
3
0
3
3 1 3
-
=
+ + +
ò

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 5
· Đặt t x tdu dx1 2= + Þ = Þ
t t
I dt t dt dt
tt t
2 2 23
2
1 1 1
2 8 1
(2 6) 6
13 2
-
= = - +
++ +
ò ò ò
3
3 6ln
2
= - +
Câu 8. I x x dx
0
3
1
1
-
= +ò
· Đặt
t t
t x t x dx t dt I t dt
1
1 7 4
3 2 33
00
9
1 1 3 3( 1) 3
7 4 28
æ ö
= + Þ = + Þ = Þ = - = - = -ç ÷
è øò
Câu 9.
x
I dx
x x
5 2
1
1
3 1
+
=
+
ò
· Đặt
tdt
t x dx
2
3 1
3
= + Þ = Þ
t
tdt
I
t
t
2
2
4
2
2
1
1
3 2
.
31
.
3
æ ö-
+ç ÷
ç ÷
è ø=
-
ò
dt
t dt
t
4 4
2
2
2 2
2
( 1) 2
9 1
= - +
-
ò ò
t
t t
t
3
4 4
2 1 1 100 9
ln ln .
9 3 1 27 52 2
æ ö -
= - + = +ç ÷
+è ø
Câu 10.
x x
I dx
x
3 2
0
2 1
1
+ -
=
+
ò
· Đặt x t x t2
1 1+ = Û = - Þ dx tdt2=
Þ
t t t
I tdt t t dt t
t
2
2 22 2 2 5
4 2 3
11 1
2( 1) ( 1) 1 4 54
2 2 (2 3 ) 2
5 5
æ ö- + - -
= = - = - =ç ÷
è øò ò
Câu 11.
x dx
I
x x
1 2
0
2
( 1) 1
=
+ +
ò
· Đặt t x t x tdt dx2
1 1 2= + Þ = + Þ =
t t
I tdt t dt t
t tt
222 22 2 3
3
11 1
( 1) 1 1 16 11 2
.2 2 2 2
3 3
æ öæ ö- -
Þ = = - = - - =ç ÷ç ÷
è ø è ø
ò ò
Câu 12.
( )
x
I dx
x
4
2
0
1
1 1 2
+
=
+ +
ò
· Đặt
dx
t x dt dx t dt
x
1 1 2 ( 1)
1 2
= + + Þ = Þ = -
+
và
t t
x
2
2
2
-
=
Ta có: I =
t t t t t t
dt dt t dt
tt t t
4 4 42 3 2
2 2 2
2 2 2
1 ( 2 2)( 1) 1 3 4 2 1 4 2
3
2 2 2
æ ö- + - - + -
= = - + -ç ÷
è ø
ò ò ò
=
t
t t
t
2
1 2
3 4ln
2 2
æ ö
- + +ç ÷
ç ÷
è ø
=
1
2ln2
4
-
Câu 13.
x
I dx
x
8
2
3
1
1
-
=
+
ò

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 6
·
x
I dx
x x
8
2 2
3
1
1 1
æ ö
= -ç ÷ç ÷
+ +è ø
ò = ( )x x x
8
2 2
3
1 ln 1
é ù
+ - + +ë û = ( ) ( )1 ln 3 2 ln 8 3+ + - +
Câu 14. I x x x dx
1
3 2
0
( 1) 2= - -ò
· I x x x dx x x x x x dx
1 1
3 2 2 2
0 0
( 1) 2 ( 2 1) 2 ( 1)= - - = - + - -ò ò . Đặt t x x2
2= - Þ I
2
15
= - .
Câu 15.
x x x
I dx
x x
2 3 2
2
0
2 3
1
- +
=
- +
ò
·
x x x
I dx
x x
2 2
2
0
( )(2 1)
1
- -
=
- +
ò . Đặt t x x2
1= - + I t dt
3
2
1
4
2 ( 1)
3
Þ = - =ò .
Câu 16.
x dx
I
x
2 3
3 2
0 4
=
+
ò
· Đặt t x x t xdx t dt
3 2 2 3 2
4 4 2 3= + Þ = - Þ = Þ I t t dt
3
2
4 3
4
3 3 8
( 4 ) 4 2
2 2 5
æ ö
= - = - +ç ÷
è ø
ò
Câu 17.
dx
I
x x
1
2
11 1-
=
+ + +
ò
· Ta có:
x x x x
I dx dx
xx x
1 12 2
2 2
1 1
1 1 1 1
2(1 ) (1 )- -
+ - + + - +
= =
+ - +
ò ò
x
dx dx
x x
1 1 2
1 1
1 1 1
1
2 2- -
æ ö +
= + -ç ÷
è ø
ò ò
+ I dx x x
x
1
1
1 1
1
1 1 1
1 ln | 1
2 2 -
-
æ ö
é ù= + = + =ç ÷ ë û
è ø
ò
+
x
I dx
x
1 2
2
1
1
2-
+
= ò . Đặt t x t x tdt xdx2 2 2
1 1 2 2= + Þ = + Þ = Þ I2=
t dt
t
2 2
2
2
0
2( 1)
=
-
ò
Vậy: I 1= .
Cách 2: Đặt t x x2
1= + + .
Câu 18.
( )x x
I dx
x
1
3 31
4
1
3
-
= ò · Ta có: I dx
x x
1
1
3
2 3
1
3
1 1
1 .
æ ö
= -ç ÷
è ø
ò . Đặt t
x2
1
1= - Þ I 6= .
Câu 19.
x
I dx
x
2 2
1
4 -
= ò
· Ta có:
x
I xdx
x
2 2
2
1
4 -
= ò . Đặt t = x t x tdt xdx2 2 2
4 4- Þ = - Þ = -
Þ I =
t tdt t t
dt dt t
tt t t
00 0 02
2 2 2
33 3 3
( ) 4 2
(1 ) ln
24 4 4
æ ö- -
= = + = +ç ÷
+- - - è ø
ò ò ò =
2 3
3 ln
2 3
æ ö-
ç ÷- +
ç ÷+è ø

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 7
Câu 20.
x
I dx
x x
2 5
2 2
2 ( 1) 5
=
+ +
ò · Đặt t x2
5= + Þ
dt
I
t
5
2
3
1 15
ln
4 74
= =
-
ò .
Câu 21.
x
I dx
x x
27
3 2
1
2-
=
+
ò
· Đặt t x6
= Þ
t t
I dt dt
tt t t t
3 33
2 2 2
1 1
2 2 2 1
5 5 1
( 1) 1 1
é ù-
= = - + -ê ú
+ + +ë û
ò ò
2 5
5 3 1 ln
3 12
pæ ö
= - + -ç ÷
è ø
Câu 22. I dx
x x
1
2
0
1
1
=
+ +
ò
· Đặt t x x x2
1= + + + Þ
dt
I t
t
1 3
1 3
1
1
2 3 2 3
ln(2 1) ln
2 1 3
+
+ +
= = + =
+ò
Câu 23.
x
I dx
x x
3 2
2 2
0 (1 1 ) (2 1 )
=
+ + + +
ò
· Đặt x t2 1+ + = Þ I t dt
t t
4
2
3
42 36 4
2 16 12 42ln
3
æ ö
= - + - = - +ç ÷
è ø
ò
Câu 24.
x
I dx
x x x x
3 2
0 2( 1) 2 1 1
=
+ + + + +
ò
· Đặt t x 1= + Þ
t t dt
I t dt
t t
2 22 2
2
2
1 1
2 ( 1)
2 ( 1)
( 1)
-
= = -
+
ò ò t
2
3
1
2 2
( 1)
3 3
= - =
Câu 25.
x x x
I dx
x
32 2 3
4
1
2011- +
= ò
· Ta có: xI dx dx M N
x x
3
2 2 2 22
3 3
1 1
1
1
2011
-
= + = +ò ò
xM dx
x
3
2 2 2
3
1
1
1-
= ò . Đặt t
x
3
2
1
1= - Þ M t dt
3
7
32
3
0
3 21 7
2 128
-
= - = -ò
N dx x dx
x x
2 22 2 2 2
3
3 2
1 1 1
2011 2011 14077
2011
162
- é ù
= = = - =ê ú
ë û
ò ò
Þ I
3
14077 21 7
16 128
= - .
Câu 26.
dx
I
x x
1
33 3
0 (1 ). 1
=
+ +
ò
· Đặt t x
3 3
1= + Þ
t dt
I dt
t t t t
3 3
2 22
2 2
1 14 3 2 33 3.( 1) .( 1)
= =
- -
ò ò

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 8
dt dt t dt
t
tt t
tt
3 3 3
2
3
2 2 2 3
2 2 4
1 1 1
3 342 3
33
1
1
11
1. 1
-
æ ö
-ç ÷
è ø= = =
é ù æ öæ ö
-- ç ÷ê úç ÷
è øè øë û
ò ò ò
Đặt
dt
u du
t t3 4
1 3
1= - Þ = Þ
u u
I du u du u
1
11 12 1 2
2 1 22 23 3
3 3
3
0 0
0
0
1 1 1
13 3 3 2
3
-
-
æ ö
ç ÷
= = = = =ç ÷
ç ÷ç ÷
è ø
ò ò
Câu 27.
x
I dx
x x
x
2 2 4
23
1
1
=
æ ö
- +ç ÷
è ø
ò
· Đặt t x2
1= +
Þ
t
I dt
t
3 2 2
2
2
( 1)
2
-
=
-
ò =
t t
dt t dt dt
t t
3 3 34 2
2
2 2
2 2 2
2 1 1 19 2 4 2
ln
3 4 4 22 2
æ ö- + +
= + = + ç ÷
ç ÷-- - è ø
ò ò ò
Dạng 2: Đổi biến số dạng 2
Câu 28. ( )x
I x x dx
x
1
0
1
2 ln 1
1
æ ö-ç ÷= - +ç ÷+è ø
ò
· Tính
x
H dx
x
1
0
1
1
-
=
+
ò . Đặt x t tcos ; 0;
2
pé ù
= Îê ú
ë û
Þ H 2
2
p
= -
· Tính K x x dx
1
0
2 ln(1 )= +ò . Đặt
u x
dv xdx
ln(1 )
2
ì = +
í
=î
Þ K
1
2
=
Câu 29. I x x x dx
2
5 2 2
2
( ) 4
-
= + -ò
· I = x x x dx
2
5 2 2
2
( ) 4
-
+ -ò = x x dx
2
5 2
2
4
-
-ò + x x dx
2
2 2
2
4
-
-ò = A + B.
+ Tính A = x x dx
2
5 2
2
4
-
-ò . Đặt t x= - . Tính được: A = 0.
+ Tính B = x x dx
2
2 2
2
4
-
-ò . Đặt x t2sin= . Tính được: B = 2p .
Vậy: I 2p= .

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 9
Câu 30.
( )x dx
I
x
2 2
4
1
3 4
2
- -
= ò
· Ta có:
x
I dx dx
x x
2 2 2
4 4
1 1
3 4
2 2
-
= -ò ò .
+ Tính I1 = dx
x
2
4
1
3
2
ò = x dx
2
4
1
3 7
2 16
-
=ò .
+ Tính
x
I dx
x
2 2
2 4
1
4
2
-
= ò . Đặt x t dx tdt2sin 2cos= Þ = .
Þ
tdt
I t dt t d t
t t
22 2 2
2 2
2 4 2
6 6 6
1 cos 1 1 1 3
cot cot . (cot )
8 8 8 8sin sin
p p p
p p p
æ ö
= = = - =ç ÷
è ø
ò ò ò
Vậy: ( )I
1
7 2 3
16
= - .
Câu 31.
x dx
I
x
1 2
6
0 4
=
-
ò
· Đặt t x dt x dx3 2
3= Þ = Þ
dt
I
t
1
2
0
1
3 4
=
-
ò .
Đặt t u u dt udu2sin , 0; 2cos
2
pé ù
= Î Þ =ê úë û
Þ I dt
6
0
1
3 18
p
p
= =ò .
Câu 32.
x
I dx
x
2
0
2
2
-
=
+ò · Đặt x t dx tdt2cos 2sin= Þ = - Þ
t
I dt
2
2
0
4 sin 2
2
p
p= = -ò .
Câu 33.
x dx
I
x x
1 2
2
0 3 2
=
+ -
ò
· Ta có:
x dx
I
x
1 2
2 2
0 2 ( 1)
=
- -
ò . Đặt x t1 2cos- = .
Þ
t t
I dt
t
22
2
2
3
(1 2cos ) 2sin
4 (2cos )
p
p
+
= -
-
ò = ( )t t dt
2
3
2
3 4cos 2cos2
p
p
+ +ò =
3 3
4
2 2
p
+ -
Câu 34. x x dx
1
2
2
0
1 2 1- -ò · Đặt x tsin= Þ I t t tdt
6
0
3 1
(cos sin )cos
12 8 8
p
p
= - = + -ò

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 10
Dạng 3: Tích phân từng phần
Câu 35. I x dx
3
2
2
1= -ò
· Đặt
x
du dxu x
xdv dx
v x
2
21
1
ì
ì =ï ï= - Þí í -=ïî ï =î
x
I x x x dx x dx
x x
3 3
2 2
2 2
2 2
3 1
1 . 5 2 1
2 1 1
é ù
Þ = - - = - - +ê ú
ê ú- -ë û
ò ò
dx
x dx
x
3 3
2
2
2 2
5 2 1
1
= - - -
-
ò ò I x x2 3
2
5 2 ln 1= - - + -
Þ ( )I
5 2 1
ln 2 1 ln2
2 4
= - + +
Chú ý: Không được dùng phép đổi biến x
t
1
cos
= vì [ ]2;3 1;1é ùÏ -ë û

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 11
TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: Biến đổi lượng giác
Câu 1.
x x
I dx
x x
2
8cos sin2 3
sin cos
- -
=
-ò
· ( )x x x
I dx x x x x dx
x x
2
(sin cos ) 4cos2
sin cos 4(sin cos
sin cos
- +
é ù= = - - +ë û-ò ò
x x C3cos 5sin= - + .
Câu 2.
x x x
I dx
x
cot tan 2tan2
sin4
- -
= ò
· Ta có:
x x x x
I dx dx dx C
x x xx2
2cot2 2tan2 2cot 4 cos4 1
2
sin4 sin4 2sin4sin 4
-
= = = = - +ò ò ò
Câu 3.
x
I dx
x x
2
cos
8
sin2 cos2 2
pæ ö
+ç ÷
è ø=
+ +
ò
· Ta có:
x
I dx
x
1 cos 2
1 4
2 2 1 sin 2
4
p
p
æ ö
+ +ç ÷
è ø=
æ ö
+ +ç ÷
è ø
ò
x
dx
dx
x x x
2
cos 2
1 4
2 2 1 sin 2 sin cos4 8 8
p
p p p
æ ö
æ öç ÷+ç ÷ç ÷è ø= +ç ÷æ ö é ùæ ö æ öç ÷+ +ç ÷ + + +ç ÷ ç ÷ê ú ÷è øç è ø è øë û øè
ò ò
x
dx
dx
x x2
cos 2
1 14
2 32 2 1 sin 2 sin
4 8
p
p p
æ öæ ö
+ç ç ÷ ÷
è øç ÷= +
æ ö æ öç ÷
+ + +ç ÷ ç ÷ ÷ç è ø è ø øè
ò ò
x x C
1 3
ln 1 sin 2 cot
4 84 2
p pæ öæ ö æ ö
= + + - + +ç ÷ç ÷ ç ÷÷ç è ø è øøè
Câu 4.
dx
I
x x
3
2 3sin cos
p
p
=
+ -
ò
·
dx
I
x
3
1
2
1 cos
3
p
p p
=
æ ö
- +ç ÷
è ø
ò =
dx
I
x2
3
1
4
2sin
2 6
p
p p
=
æ ö
+ç ÷
è ø
ò =
1
4 3
.
Câu 5. I dx
x
6
0
1
2sin 3
p
=
-
ò
· Ta có: I dx dx
x x
6 6
0 0
1
1 1 2
2
sin sin sin sin
3 3
p p
p p
= =
- -
ò ò

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 12
x x
dx dx
x x
x
6 6
0 0
coscos 2 6 2 63
sin sin 2cos .sin
3 2 6 2 6
p p p pp
p p p
æ öæ ö æ ö
+ - -ç ÷ç ÷ ç ÷
è ø è øè ø= =
æ ö æ ö
- + -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ò ò
x x
dx dx
x x
6 6
0 0
cos sin
2 6 2 61 1
2 2
sin cos
2 6 2 6
p pp p
p p
æ ö æ ö
- +ç ÷ ç ÷
è ø è ø= +
æ ö æ ö
- +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ò ò
x x
6 6
0 0
ln sin ln cos .....
2 6 2 6
p p
p pæ ö æ ö
= - - + =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Câu 6. I x x x x dx
2
4 4 6 6
0
(sin cos )(sin cos )
p
= + +ò .
· Ta có: x x x x4 4 6 6
(sin cos )(sin cos )+ + x x
33 7 3
cos4 cos8
64 16 64
= + + Þ I
33
128
p= .
Câu 7. I x x x dx
2
4 4
0
cos2 (sin cos )
p
= +ò
· I x x dx x d x
2 2
2 2
0 0
1 1 1
cos2 1 sin 2 1 sin 2 (sin2 ) 0
2 2 2
p p
æ ö æ ö
= - = - =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ò ò
Câu 8. I x x dx
2
3 2
0
(cos 1)cos .
p
= -ò
· A = ( )xdx x d x
2 2 2
5 2
0 0
cos 1 sin (sin )
p p
= -ò ò =
8
15
B = x dx x dx
2 2
2
0 0
1
cos . (1 cos2 ).
2
p p
= +ò ò =
4
p
Vậy I =
8
15
–
4
p
.
Câu 9.
2
2
0
I cos cos2x xdx
p
= ò
· I x xdx x xdx x x dx
2 2 2
2
0 0 0
1 1
cos cos2 (1 cos2 )cos2 (1 2cos2 cos4 )
2 4
p p p
= = + = + +ò ò ò
x x x
2
0
1 1
( sin2 sin4 )
4 4 8
p
p
= + + =
Câu 10.
x
I dx
x
3
2
0
4sin
1 cos
p
=
+ò

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 13
·
x x x
x x x x x
x x
3 3
2
4sin 4sin (1 cos )
4sin 4sin cos 4sin 2sin2
1 cos sin
-
= = - = -
+
I x x dx2
0
(4sin 2sin2 ) 2
p
Þ = - =ò
Câu 11. I xdx
2
0
1 sin
p
= +ò
·
x x x x
I dx dx
22 2
0 0
sin cos sin cos
2 2 2 2
p p
æ ö
= + = +ç ÷
è øò ò
x
dx
2
0
2 sin
2 4
p
pæ ö
= +ç ÷
è øò
x x
dx dx
3
22
30
2
2 sin sin
2 4 2 4
p
p
p
p p
é ù
ê úæ ö æ ö
= + - +ê úç ÷ ç ÷
è ø è øê ú
ê úë û
ò ò 4 2=
Câu 12.
dx
I
x
4
6
0 cos
p
= ò · Ta có: I x x d x
4
2 4
0
28
(1 2tan tan ) (tan )
15
p
= + + =ò .
Dạng 2: Đổi biến số dạng 1
Câu 13.
xdx
I
x x
sin2
3 4sin cos2
=
+ -ò
· Ta có:
x x
I dx
x x2
2sin cos
2sin 4sin 2
=
+ +
ò . Đặt t xsin= Þ I x C
x
1
ln sin 1
sin 1
= + + +
+
Câu 14.
dx
I
x x3 5
sin .cos
= ò
· ò ò==
xx
dx
xxx
dx
I 23233
cos.2sin
8
cos.cos.sin
Đặt t xtan= . I t t t dt x x x C
t x
3 3 4 2
2
3 1 3 1
3 tan tan 3ln tan
4 2 2tan
-æ ö
= + + + = + + - +ç ÷
è øò
Chú ý:
t
x
t2
2
sin2
1
=
+
.
Câu 15.
dx
I
x x3
sin .cos
= ò
·
dx dx
I
x x x x x2 2
2
sin .cos .cos sin2 .cos
= =ò ò . Đặt t xtan=
dx t
dt x
x t2 2
2
; sin2
cos 1
Þ = =
+
dt t
I dt
t t
t
2
2
1
2
2
1
+
Þ = =
+
ò ò
t x
t dt t C x C
t
2 2
1 tan
( ) ln ln tan
2 2
= + = + + = + +ò

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 14
Câu 16.
x x
I xdx
x
2011 2011 2009
5
sin sin
cot
sin
-
= ò
· Ta có:
xxI xdx xdx
x x
2011 2011 22
4 4
1
1
cotsin cot cot
sin sin
-
-
= =ò ò
Đặt t xcot= Þ I t tdt t t C
2 4024 8046
22011 2011 20112011 2011
t (1 )
4024 8046
= + = + +ò
= x x C
4024 8046
2011 20112011 2011
cot cot
4024 8046
+ +
Câu 17.
x x
I dx
x
2
0
sin2 .cos
1 cos
p
=
+ò
· Ta có:
x x
I dx
x
22
0
sin .cos
2
1 cos
p
=
+ò . Đặt t x1 cos= + Þ
t
I dt
t
2 2
1
( 1)
2 2ln2 1
-
= = -ò
Câu 18. I x xdx
3
2
0
sin tan
p
= ò
· Ta có:
x x x
I x dx dx
x x
23 3
2
0 0
sin (1 cos )sin
sin .
cos cos
p p
-
= =ò ò . Đặt t xcos=
Þ
u
I du
u
1
22
1
1 3
ln2
8
-
= - = -ò
Câu 19. I x x dx2
2
sin (2 1 cos2 )
p
p
= - +ò
· Ta có: I xdx x xdx H K2 2
2 2
2sin sin 1 cos2
p p
p p
= - + = +ò ò
+ H xdx x dx2
2 2
2sin (1 cos2 )
2 2
p p
p p
p p
p= = - = - =ò ò
+ K x x x xdx2 2 2
2 2
sin 2cos 2 sin cos
p p
p p
= = -ò ò xd x2
2
2
2 sin (sin )
3
p
p
= - =ò
I
2
2 3
p
Þ = -

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 15
Câu 20.
dx
I
x x
3
2 4
4
sin .cos
p
p
= ò
·
dx
I
x x
3
2 2
4
4.
sin 2 .cos
p
p
= ò . Đặt t xtan= Þ
dx
dt
x2
cos
= .
t dt t
I t dt t
tt t
3
3 32 2 3
2
2 2
11 1
(1 ) 1 1 8 3 4
2 2
3 3
æ öæ ö+ -
= = + + = - + + =ç ÷ç ÷
è øè ø
ò ò
Câu 21.
( )
2
2
0
sin 2
2 sin
x
I dx
x
p
=
+
ò
· Ta có:
x x x
I dx dx
x x
2 2
2 2
0 0
sin2 sin cos
2
(2 sin ) (2 sin )
p p
= =
+ +
ò ò . Đặt t x2 sin= + .
Þ
t
I dt dt t
t tt t
33 3
2 2
2 2 2
2 1 2 2
2 2 2 ln
æ ö æ ö-
= = - = +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ò ò
3 2
2ln
2 3
= -
Câu 22.
x
I dx
x
6
0
sin
cos2
p
= ò
·
x x
I dx dx
x x
6 6
2
0 0
sin sin
cos2 2cos 1
p p
= =
-
ò ò . Đặt t x dt xdxcos sin= Þ = -
Đổi cận: x t x t
3
0 1;
6 2
p
= Þ = = Þ =
Ta được
t
I dt
tt
3
1
2
2
31
2
1 1 2 2
ln
2 2 2 22 1
-
= - =
+-
ò =
1 3 2 2
ln
2 2 5 2 6
-
-
Câu 23. x
I e x x dx
22
sin 3
0
.sin .cos .
p
= ò · Đặt t x2
sin= Þ I = t
e t dt
1
0
1
(1 )
2
-ò = e
1
1
2
- .
Câu 24. I x x dx
2 12sin sin
2
6
p
p
= × +ò · Đặt t xcos= . I
3
( 2)
16
p= +
Câu 25.
x
I dx
x x
4
6 6
0
sin4
sin cos
p
=
+
ò

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 16
·
x
I dx
x
4
20
sin4
3
1 sin 2
4
p
=
-
ò . Đặt t x23
1 sin 2
4
= - Þ I = dt
t
1
4
1
2 1
3
æ ö
-ç ÷
è ø
ò = t
1
1
4
4 2
3 3
= .
Câu 26.
( )
x
I dx
x x
2
3
0
sin
sin 3 cos
p
=
+
ò
· Ta có: x x xsin 3 cos 2cos
6
pæ ö
+ = -ç ÷
è ø
;
x xsin sin
6 6
p pæ öæ ö
= - +ç ÷ç ÷
è øè ø
= x x
3 1
sin cos
2 6 2 6
p pæ ö æ ö
- + -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Þ I =
x dx
dx
x x
2 2
3 20 0
sin
63 1
16 16
cos cos
6 6
p pp
p p
æ ö
-ç ÷
è ø +
æ ö æ ö
- -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ò ò =
3
6
Câu 27.
x x
I dx
x
24
2
3
sin 1 cos
cos
p
p
-
-
= ò
·
x x
I x dx x dx
x x
4 4
2
2 2
3 3
sin sin
1 cos . sin
cos cos
p p
p p
- -
= - =ò ò
x x
x dx x dx
x x
0 4
2 2
0
3
sin sin
sin sin
cos cos
p
p -
-
= +ò ò
=
x x
dx dx
x x
0 2 24
2 2
0
3
sin sin
cos cos
p
p
-
- +ò ò
7
3 1
12
p
= - - .
Câu 28. I dx
x x
6
0
1
sin 3 cos
p
=
+
ò
· I dx
x x
6
0
1
sin 3 cos
p
=
+
ò = dx
x
6
0
1 1
2
sin
3
p
pæ ö
+ç ÷
è ø
ò =
x
dx
x
6
20
sin
1 3
2
1 cos
3
p p
p
æ ö
+ç ÷
è ø
æ ö
- +ç ÷
è ø
ò .
Đặt t x dt x dxcos sin
3 3
p pæ ö æ ö
= + Þ = - +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Þ I dt
t
1
2
2
0
1 1 1
ln3
2 41
= =
-
ò
Câu 29. I x xdx
2
2
0
1 3sin2 2cos
p
= - +ò

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 17
· I x x dx
2
0
sin 3 cos
p
= -ò = I x x dx x x dx
3 2
0
3
sin 3 cos sin 3 cos
p p
p
= - + -ò ò 3 3= -
Câu 30.
xdx
I
x x
2
3
0
sin
(sin cos )
p
=
+
ò
· Đặt x t dx dt
2
p
= - Þ = - Þ
tdt xdx
I
t t x x
2 2
3 3
0 0
cos cos
(sin cos ) (sin cos )
p p
= =
+ +
ò ò
Þ
dx dx
2I x
x x x
2 2 4
2
2 00 0
1 1
cot( ) 1
2 2 4(sin cos ) sin ( )
4
p p p
p
p
= = = - + =
+ +
ò ò Þ I
1
2
=
Câu 31.
x x
I dx
x x
2
3
0
7sin 5cos
(sin cos )
p
-
=
+
ò
· Xét:
( ) ( )
xdx xdx
I I
x x x x
2 2
1 23 3
0 0
sin cos
;
sin cos sin cos
p p
= =
+ +
ò ò .
Đặt x t
2
p
= - . Ta chứng minh được I1 = I2
Tính I1 + I2 =
( )
dx dx
x
x x x
2 2
2
20 0
1
tan( ) 122 4sin cos 02cos ( )
4
p p
pp
p
= = - =
+ -
ò ò
Þ I I1 2
1
2
= = Þ I I I1 27 –5 1= = .
Câu 32.
x x
I dx
x x
2
3
0
3sin 2cos
(sin cos )
p
-
=
+
ò
· Đặt x t dx dt
2
p
= - Þ = - Þ
t t x x
I dt dx
t t x x
2 2
3 3
0 0
3cos 2sin 3cos 2sin
(cos sin ) (cos sin )
p p
- -
= =
+ +
ò ò
Þ
x x x x
I I I dx dx dx
x x x x x x
2 2 2
3 3 2
0 0 0
3sin 2cos 3cos 2sin 1
2 1
(sin cos ) (cos sin ) (sin cos )
p p p
- -
= + = + = =
+ + +
ò ò ò Þ I
1
2
= .
Câu 33.
x x
I dx
x2
0
sin
1 cos
p
=
+
ò
· Đặt
t t t
x t dx dt I dt dt I
t t2 2
0 0
( )sin sin
1 cos 1 cos
p p
p
p p
-
= - Þ = - Þ = = -
+ +
ò ò

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 18
t d t
I dt I
t t
2
2 2
0 0
sin (cos )
2
4 4 81 cos 1 cos
p p
p p p
p p p
æ ö
Þ = = - = + Þ =ç ÷
è ø+ +
ò ò
Câu 34.
x x
I dx
x x
42
3 3
0
cos sin
cos sin
p
=
+
ò
· Đặt x t dx dt
2
p
= - Þ = - Þ
t t x x
I dt dx
t t x x
0 4 42
3 3 3 3
0
2
sin cos sin cos
cos sin cos sin
p
p
= - =
+ +
ò ò
Þ
x x x x x x x x
I dx dx xdx
x x x x
4 4 3 32 2 2
3 3 3 3
0 0 0
cos sin sin cos sin cos (sin cos ) 1 1
2 sin2
2 2sin cos sin cos
p p p
+ +
= = = =
+ +
ò ò ò
Þ I
1
4
= .
Câu 35. I x dx
x
2
2
2
0
1
tan (cos )
cos (sin )
p
é ù
= -ê ú
ê úë û
ò
· Đặt x t dx dt
2
p
= - Þ = -
Þ I t dt
t
2
2
2
0
1
tan (sin )
cos (cos )
p
é ù
= -ê ú
ê úë û
ò x dx
x
2
2
2
0
1
tan (sin )
cos (cos )
p
é ù
= -ê ú
ê úë û
ò
Do đó: I x x dx
x x
2
2 2
2 2
0
1 1
2 tan (cos ) tan (sin )
cos (sin ) cos (cos )
p
é ù
= + - -ê ú
ê úë û
ò = dt
2
0
2
p
p=ò
Þ I
2
p
= .
Câu 36.
x x
I dx
x
4
0
cos sin
3 sin2
p
-
=
-
ò
· Đặt u x xsin cos= +
du
I
u
2
2
1 4
Þ =
-
ò . Đặt u t2sin=
tdt
I dt
t
4 4
2
6 6
2cos
124 4sin
p p
p p
p
Þ = = =
-
ò ò .
Câu 37.
x
I dx
x x
3
2
0
sin
cos 3 sin
p
=
+
ò
· Đặt t x2
3 sin= + = x2
4 cos- . Ta có: x t2 2
cos 4= - và
x x
dt dx
x2
sin cos
3 sin
=
+
.
I =
x
dx
x x
3
2
0
sin
.
cos 3 sin
p
+
ò =
x x
dx
x x
3
2 2
0
sin .cos
cos 3 sin
p
+
ò =
dt
t
15
2
2
3 4 -
ò = dt
t t
15
2
3
1 1 1
4 2 2
æ ö
-ç ÷
+ -è ø
ò

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 19
=
t
t
15
2
3
1 2
ln
4 2
+
-
=
1 15 4 3 2
ln ln
4 15 4 3 2
æ ö+ +
ç ÷-
ç ÷- -è ø
= ( ) ( )( )1
ln 15 4 ln 3 2
2
+ - + .
Câu 38.
x x x x
I dx
x x
2
3
3 2
3
( sin )sin
sin sin
p
p
+ +
=
+
ò
·
x dx
I dx
xx
2 2
3 3
2
3 3
1 sinsin
p p
p p
= +
+ò ò .
+ Tính
x
I dx
x
2
3
1 2
3
sin
p
p
= ò . Đặt
u x
du dx
dx
dv v x
x2
cot
sin
ì =
ï ì =
Þí í= = -îïî
Þ I1
3
p
=
+ Tính
dx dx dx
I =
x x
x
2 2 2
3 3 3
2
2
3 3 3
4 2 3
1 sin
1 cos 2cos
2 4 2
p p p
p p pp p
= = = -
+ æ ö æ ö
+ - -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ò ò ò
Vậy: I 4 2 3
3
p
= + - .
Câu 39.
x
dx
x x
I
2
2 2
0
sin2
cos 4sin
p
+
= ò
·
x x
dx
x
I
2
2
0
2sin cos
3sin 1
p
=
+
ò . Đặt u x2
3sin 1= + Þ
udu
du
u
I
2 2
1 1
2
2 23
3 3
= == ò ò
Câu 40.
x
I dx
x
6
0
tan
4
cos2
p pæ ö
-ç ÷
è ø= ò
·
x
x
I dx dx
x x
26 6
2
0 0
tan
tan 14
cos2 (tan 1)
p ppæ ö
-ç ÷ +è ø= = -
+
ò ò . Đặt t x dt dx x dx
x
2
2
1
tan (tan 1)
cos
= Þ = = +
Þ
dt
I
tt
1
1
3
3
2
00
1 1 3
1 2( 1)
-
= - = =
++
ò .
Câu 41.
x
I dx
x x
3
6
cot
sin .sin
4
p
p p
=
æ ö
+ç ÷
è ø
ò
·
x
I dx
x x
3
2
6
cot
2
sin (1 cot )
p
p
=
+
ò . Đặt x t1 cot+ = dx dt
x2
1
sin
Þ = -
Þ ( )t
I dt t t
t
3 1 3 1
3 1
3 1 3
3
1 2
2 2 ln 2 ln 3
3
+ +
+
+
æ ö-
= = - = -ç ÷
è ø
ò

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 20
Câu 42.
dx
I
x x
3
2 4
4
sin .cos
p
p
= ò
· Ta có:
dx
I
x x
3
2 2
4
4.
sin 2 .cos
p
p
= ò . Đặt
dt
t x dx
t2
tan
1
= Þ =
+
Þ
t dt t
I t dt t
tt t
3
2 2 33 3(1 ) 1 1 8 3 42( 2 ) ( 2 )
2 2 3 31 1 1
+ -
= = + + = - + + =ò ò
Câu 43.
x
I dx
x x x
4
2
0
sin
5sin .cos 2cos
p
=
+
ò
· Ta có:
x
I dx
x x x
4
2 2
0
tan 1
.
5tan 2(1 tan ) cos
p
=
+ +
ò . Đặt t xtan= ,
Þ
t
I dt dt
t tt t
1 1
2
0 0
1 2 1 1 2
ln3 ln2
3 2 2 1 2 32 5 2
æ ö
= = - = -ç ÷
+ ++ + è ø
ò ò
Câu 44.
xdx
x x x
I
24
4 2
4
sin
cos (tan 2tan 5)
p
p
-
- +
= ò
· Đặt
dt
t x dx
t2
tan
1
= Þ =
+
Þ
t dt dt
I
t t t t
21 1
2 2
1 1
2
2 ln 3
32 5 2 5- -
= = + -
- + - +
ò ò
Tính
dt
I
t t
1
1 2
1 2 5-
=
- +
ò . Đặt
t
u I du
0
1
4
1 1
tan
2 2 8p
p
-
-
= Þ = =ò . Vậy I
2 3
2 ln
3 8
p
= + - .
Câu 45.
x
I dx
x
22
6
sin
sin3
p
p
= ò .
·
x x
I dx dx
x x x
22 2
3 2
6 6
sin sin
3sin 4sin 4cos 1
p p
p p
= =
- -
ò ò
Đặt t x dt xdxcos sin= Þ = - Þ
dt dt
I
t t
3
0 2
2
203
2
1 1
ln(2 3)
14 44 1
4
= - = = -
- -
ò ò
Câu 46.
x x
I dx
x
2
4
sin cos
1 sin2
p
p
-
=
+
ò

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 21
· Ta có: x x x x x1 sin2 sin cos sin cos+ = + = + (vì x ;
4 2
p pé ù
Î ê úë û
)
Þ
x x
I dx
x x
2
4
sin cos
sin cos
p
p
-
=
+ò . Đặt t x x dt x x dxsin cos (cos sin )= + Þ = -
I dt t
t
22
11
1 1
ln ln2
2
Þ = = =ò
Câu 47. I x x xdx
2
6 3 5
1
2 1 cos .sin .cos= -ò
· Đặt
t dt
t x t x t dt x xdx dx
x x
5
6 3 6 3 5 2
2
2
1 cos 1 cos 6 3cos sin
cos sin
= - Û = - Þ = Þ =
t t
I t t dt
1
1 7 13
6 6
00
12
2 (1 ) 2
7 13 91
æ ö
Þ = - = - =ç ÷
è øò
Câu 48.
xdx
I
x x
4
2
0
tan
cos 1 cos
p
=
+
ò
· Ta có:
xdx
I
x x
4
2 2
0
tan
cos tan 2
p
=
+
ò . Đặt 2 2 2
2
tan
2 tan 2 tan
cos
= + Þ = + Þ =
x
t x t x tdt dx
x
Þ
3 3
2 2
3 2= = = -ò ò
tdt
I dt
t
Câu 49.
x
I dx
x x
2
3
0
cos2
(cos sin 3)
p
=
- +
ò · Đặt t x xcos sin 3= - + Þ
t
I dt
t
4
3
2
3 1
32
-
= = -ò .
Câu 50.
x
I dx
x x
4
2 4
0
sin4
cos . tan 1
p
=
+
ò
· Ta có:
x
I dx
x x
4
4 4
0
sin4
sin cos
p
=
+
ò . Đặt t x x4 4
sin cos= + I dt
2
2
1
2 2 2Þ = - = -ò .
Câu 51.
x
I dx
x
4
2
0
sin4
1 cos
p
=
+
ò
· Ta có:
x x
I dx
x
24
2
0
2sin2 (2cos 1)
1 cos
p
-
=
+
ò . Đặt t x2
cos= Þ
t
I dt
t
1
2
1
2(2 1) 1
2 6ln
1 3
-
= - = -
+ò .
Câu 52.
x
I dx
x
6
0
tan( )
4
cos2
p p
-
= ò

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 22
· Ta có:
26
2
0
tan 1
(tan 1)
p
+
= -
+ò
x
I dx
x
. Đặt t xtan= Þ
1
3
2
0
1 3
( 1) 2
-
= - =
+ò
dt
I
t
.
Câu 53.
36
0
tan
cos2
p
= ò
x
I dx
x
· Ta có:
3 36 6tan tan
2 2 2 2cos sin cos (1 tan )0 0
p p
= =ò ò
- -
x x
I dx dx
x x x x
.
Đặt t xtan= Þ
3
33 1 1 2
ln
2 6 2 310
= = - -ò
-
t
I dt
t
.
Câu 54.
x
I dx
x
2
0
cos
7 cos2
p
=
+
ò ·
x dx
I
x
2
2 2
0
1 cos
2 6 22 sin
p
p
= =
-
ò
Câu 55.
dx
x x
3
4 3 5
4
sin .cos
p
p
ò
· Ta có: dx
x
x
x
3
3
84
4 3
1
sin
.cos
cos
p
p
ò dx
xx
3
24 3
4
1 1
.
costan
p
p
= ò .
Đặt t xtan= Þ ( )I t dt
33
84
1
4 3 1
-
= = -ò
Câu 56.
3
2
0
cos cos sin
( )
1 cos
x x x
I x dx
x
p
+ +
=
+ò
· Ta có:
x x x x x
I x dx x x dx dx J K
x x
2
2 2
0 0 0
cos (1 cos ) sin .sin
.cos .
1 cos 1 cos
p p pæ ö+ +
= = + = +ç ÷
ç ÷+ +è ø
ò ò ò
+ Tính J x x dx
0
.cos .
p
= ò . Đặt
u x du dx
dv xdx v xcos sin
ì ì= =
Þí í= =î î
J 2Þ = -
+ Tính
x x
K dx
x2
0
.sin
1 cos
p
=
+
ò . Đặt x t dx dtp= - Þ = -
t t t t x x
K dt dt dx
t t x2 2 2
0 0 0
( ).sin( ) ( ).sin ( ).sin
1 cos ( ) 1 cos 1 cos
p p p
p p p p
p
- - - -
Þ = = =
+ - + +
ò ò ò
x x x x dx x dx
K dx K
x x x2 2 2
0 0 0
( ).sin sin . sin .
2
21 cos 1 cos 1 cos
p p p
p p
p
+ -
Þ = = Þ =
+ + +
ò ò ò

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 23
Đặt t xcos=
dt
K
t
1
2
1
2 1
p
-
Þ =
+
ò , đặt t u dt u du2
tan (1 tan )= Þ = +
u du
K du u
u
2 24 4
4
2
4
4 4
(1 tan )
.
2 2 2 41 tan
p p
p
p
p p
p p p p
-
- -
+
Þ = = = =
+
ò ò
Vậy I
2
2
4
p
= -
Câu 57.
2
2
6
cos
I
sin 3 cos
p
p
=
+
ò
x
dx
x x
· Ta có:
2
2 2
6
sin cos
sin 3 cos
p
p
=
+
ò
x x
I dx
x x
. Đặt t x2
3 cos= +
Þ ( )dt
I
t
15
2
2
3
1
ln( 15 4) ln( 3 2)
24
= = + - +
-
ò
Dạng 3: Đổi biến số dạng 2
Câu 58. I x x dx
2 12sin sin .
2
6
p
p
= × +ò
· Đặt x t t
3
cos sin , 0
2 2
pæ ö
= £ £ç ÷
è ø
Þ I = tdt
4
2
0
3
cos
2
p
ò =
3 1
2 4 2
pæ ö
+ç ÷
è ø
.
Câu 59.
2
2 2
0
3sin 4cos
3sin 4cos
p
+
=
+ò
x x
I dx
x x
·
2 2 2
2 2 2
0 0 0
3sin 4cos 3sin 4cos
3 cos 3 cos 3 cos
p p p
+
= = +
+ + +ò ò ò
x x x x
I dx dx dx
x x x
2 2
2 2
0 0
3sin 4cos
3 cos 4 sin
p p
= +
+ -ò ò
x x
dx dx
x x
+ Tính
2
1 2
0
3sin
3 cos
p
=
+ò
x
I dx
x
. Đặt cos sin= Þ = -t x dt xdx Þ
1
1 2
0
3
3
=
+ò
dt
I
t
Đặt 2
3 tan 3(1 tan )= Þ = +t u dt u du Þ
26
1 2
0
3 3(1 tan ) 3
3(1 tan ) 6
p
p+
= =
+ò
u du
I
u
+ Tính
2
2 2
0
4cos
4 sin
p
=
-ò
x
I dx
x
. Đặt 1 1sin cos= Þ =t x dt xdx
1
1
2 12
10
4
ln3
4
= =
-ò
dt
I dt
t

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 24
Vậy:
3
ln3
6
p
= +I
Câu 60.
x
I dx
x x
4
2
6
tan
cos 1 cos
p
p
=
+
ò
· Ta có:
x x
I dx dx
x xx
x
4 4
2 2
2
26 6
tan tan
1 cos tan 2cos 1
cos
p p
p p
= =
++
ò ò
Đặt u x du dx
x2
1
tan
cos
= Þ = Þ
u
I dx
u
1
2
1
3
2
=
+
ò . Đặt
u
t u dt du
u
2
2
2
2
= + Þ =
+
.
I dt t
3
3
7
7 3
3
7 3 7
3 .
3 3
-
Þ = = = - =ò
Câu 61.
x
I dx
x x
2
4
sin
4
2sin cos 3
p
p
pæ ö
+ç ÷
è ø=
-ò
· Ta có:
( )
x x
I dx
x x
2
2
4
1 sin cos
2 sin cos 2
p
p
+
= -
- +
ò . Đặt t x xsin cos= - Þ I dt
t
1
2
0
1 1
2 2
= -
+
ò
Đặt t u2 tan= Þ
u
I du
u
1
arctan
22
2
0
1 2(1 tan ) 1 1
arctan
22 22tan 2
+
= - = -
+
ò

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 25
Dạng 4: Tích phân từng phần
Câu 62.
x x
I dx
x
3
2
3
sin
cos
p
p-
= ò .
· Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có:
x dx
I xd J
x x x
3 33
3
3 3
1 4
,
cos cos cos 3
p pp
p
p p
p
-
- -
æ ö
= = - = -ç ÷
è ø
ò ò với
dx
J
x
3
3
cos
p
p
-
= ò
Để tính J ta đặt t xsin .= Khi đó
dx dt t
J
x tt
3 3
3 2 2
2 3
3
23 2
1 1 2 3
ln ln
cos 2 1 2 31
p
p -
- -
- -
= = = - = -
+ +-
ò ò
Vậy I
4 2 3
ln .
3 2 3
p -
= -
+
Câu 63. xx
I e dx
x
2
0
1 sin
.
1 cos
p
æ ö+
= ç ÷
+è ø
ò
· Ta có:
x x
x x
x xx 2 2
1 2sin cos1 sin 12 2 tan
1 cos 2
2cos 2cos
2 2
++
= = +
+
Þ
x
xe dx x
I e dx
x
2 2
20 0
tan
2
2cos
2
p p
= +ò ò = e2
p
Câu 64.
( )
x x
I dx
x
4
2
0
cos2
1 sin2
p
=
+
ò
· Đặt
u x du dx
x
dv dx v
xx 2
cos2 1
1 sin2(1 sin2 )
ì = ì =
ï ï
Þí í= = -ï ï ++ îî
Þ I x dx dx
x x
x
4 4
20 0
1 1 1 1 1 1 1
. . .4
2 1 sin2 2 1 sin2 16 2 20 cos
4
p p
p
p
p
æ ö
= - + = - +ç ÷
+ + æ öè ø -ç ÷
è ø
ò ò
( )x
1 1 1 2 2
. tan . 0 14
16 2 4 16 2 2 4 162 0
p
p p p pæ ö
= - + - = - + + = -ç ÷
è ø

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 26
TP4: TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ - LOGARIT
Dạng 1: Đổi biến số
Câu 1.
x
x
e
I dx
e
2
1
=
+
ò
· Đặt x x x
t e e t e dx tdt2
2= Þ = Þ = .
t
I dt
t
3
2
1
Þ = =
+ò t t t t C3 22
2 2ln 1
3
- + - + + x x x x x
e e e e e C
2
2 2ln 1
3
= - + - + +
Câu 2.
x
x
x x e
I dx
x e
2
( )
-
+
=
+
ò
·
x
x
x x e
I dx
x e
2
( )
-
+
=
+
ò =
x x
x
xe x e
dx
xe
.( 1)
1
+
+
ò . Đặt x
t x e. 1= + Þ x x
I xe xe C1 ln 1= + - + + .
Câu 3.
x
dx
I
e2
9
=
+
ò
· Đặt x
t e2
9= + Þ
dt t
I C
tt2
1 3
ln
6 39
-
= = +
+-
ò
x
x
e
C
e
2
2
1 9 3
ln
6 9 3
+ -
= +
+ +
Câu 4.
x
x
x x
I dx
ex e
2
2
2 1
ln(1 ) 2011
ln ( ) +
+ +
=
é ù+ë û
ò
· Ta có:
x x
I dx
x x
2
2 2
ln( 1) 2011
( 1) ln( 1) 1
é ù+ +ë û=
é ù+ + +ë û
ò . Đặt t x2
ln( 1) 1= + +
Þ
t
I dt
t
1 2010
2
+
= ò t t C
1
1005ln
2
= + + = x x C2 21 1
ln( 1) 1005ln(ln( 1) 1)
2 2
+ + + + + +
Câu 5.
e x
x
xe
J dx
x e x1
1
( ln )
+
=
+
ò ·
e x ee
x
x
d e x e
J e x
ee x 11
( ln ) 1
ln ln ln
ln
+ +
= = + =
+
ò
Câu 6.
x x
x x x
e e
I dx
e e e
ln2 3 2
3 2
0
2 1
1
+ -
=
+ - +
ò
·
x x x x x x
x x x
e e e e e e
I dx
e e e
ln2 3 2 3 2
3 2
0
3 2 ( 1)
1
+ - - + - +
=
+ - +
ò =
x x x
x x x
e e e
dx
e e e
ln2 3 2
3 2
0
3 2
1
1
æ ö+ -
-ç ÷
ç ÷+ - +è ø
ò
= x x x
e e e x3 2 ln2 ln2
ln( – 1)
0 0
+ + - = ln11 – ln4 =
14
ln
4
Câu 7.
( )x
dx
I
e
3ln2
2
30
2
=
+
ò
·
( )
x
x
x
e dx
I
e e
3ln2 3
2
0 33 2
=
+
ò . Đặt
x x
t e dt e dx3 31
3
= Þ = Þ I
3 3 1
ln
4 2 6
æ ö
= -ç ÷
è ø

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 27
Câu 8. x
I e dx
ln2
3
0
1= -ò
· Đặt x
e t
3
1- = Þ
t dt
dx
t
2
3
3
1
=
+
Þ I = dt
t
1
3
0
1
3 1
1
æ ö
-ç ÷
+è ø
ò =
dt
t
1
3
0
3 3
1
-
+
ò .
Tính
dt
I
t
1
1 3
0
3
1
=
+
ò =
t
dt
t t t
1
2
0
1 2
1 1
æ ö-
+ç ÷
+ - +è ø
ò = ln2
3
p
+
Vậy: I 3 ln2
3
p
= - -
Câu 9.
( )x x
x x x x
e e dx
I
e e e e
ln15 2
3ln2
24
1 5 3 1 15
-
=
+ + - + -
ò
· Đặt x x
t e t e2
1 1= + Þ - = x
e dx tdt2Þ = .
( )t t dt
I dt t t t
t tt
4 42 4
2 3
3 3
(2 10 ) 3 7
2 2 3ln 2 7ln 2
2 24
æ ö-
= = - - = - - - +ç ÷
- +- è ø
ò ò
2 3ln2 7ln6 7ln5= - - +
Câu 10.
ln3 2
ln2 1 2
x
x x
e dx
I
e e
=
- + -
ò
· Đặt t = x
e 2- Þ x
e dx tdt2
2=
Þ I = 2
t tdt
t t
1 2
2
0
( 2)
1
+
+ +
ò = 2
t
t dt
t t
1
2
0
2 1
1
1
æ ö+
- +ç ÷
+ +è ø
ò = t dt
1
0
2 ( 1)-ò +
d t t
t t
1 2
2
0
( 1)
2
1
+ +
+ +
ò
= t t
1
2
0( 2 )- + t t
1
2
02ln( 1)+ + = 2ln3 1- .
Câu 11.
x x
x x
e e
I dx
e e
ln3 3 2
0
2
4 3 1
-
=
- +
ò
· Đặt x x x x x x
t e e t e e tdt e e dx3 2 2 3 2 3 2
4 3 4 3 2 (12 6 )= - Þ = - Þ = - x x tdt
e e dx3 2
(2 )
3
Þ - =
tdt
I dt
t t
9 9
1 1
1 1 1
(1 )
3 1 3 1
Þ = = -
+ +ò ò t t 9
1
1 8 ln5
( ln 1) .
3 3
-
= - + =
Câu 12. ò -=
3
16
ln
3
8
ln
43 dxeI x
· Đặt: x x t
t e e
2
4
3 4
3
+
= - Þ =
tdt
dx
t2
2
4
Þ =
+
t dt
I dt dt
t t
2 3 2 3 2 32
2 2
2 2 2
2
2 8
4 4
Þ = = -
+ +
ò ò ò ( ) I14 3 1 8= - - , với
dt
I
t
2 3
1 2
2 4
=
+
ò
Tính
dt
I
t
2 3
1 2
2 4
=
+
ò . Đặt: t u u2tan , ;
2 2
p pæ ö
= Î -ç ÷
è ø
dt u du2
2(1 tan )Þ = +

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 28
I du
3
1
4
1 1
2 2 3 4 24
p
p
p p pæ ö
Þ = = - =ç ÷
è ø
ò . Vậy: I 4( 3 1)
3
p
= - -
Câu 13.
x
x
e
I dx
e
ln3
3
0 ( 1)
=
+
ò
· Đặt x x x
x
tdt
t e t e tdt e dx dx
e
2 2
1 1 2= + Û = + Û = Þ =
tdt
I
t
2
3
2
2 2 1Þ = = -ò
Câu 14.
x
x
e
I dx
e
ln5 2
ln2 1
=
-
ò
· Đặt x x
x
tdt t
t e t e dx I t d t
e
2
2 3
2 2
11
2 20
1 1 2 ( 1) 2
3 3
æ ö
= - Û = - Þ = Þ = + = + =ç ÷
è øò
Câu 15. x
I e dx
ln2
0
1= -ò
· Đặt x x x
x
td td
t e t e tdt e dx dx
e t
2
2
2 2
1 1 2
1
= - Þ = - Þ = Þ = =
+
t
I dt dt
t t
1 12
2 2
0 0
2 1 4
2 1
21 1
pæ ö -
Þ = = - =ç ÷
+ +è ø
ò ò
Câu 16.
x x
x x
I dx
2
1
2 2
4 4 2
-
-
-
=
+ -
ò
· Đặt x x
t 2 2-
= + Þ x x x x 2
4 4 2 (2 2 ) 4- -
+ - = + - Þ
1 81
ln
4ln 2 25
=I
Câu 17.
1
0
6
9 3.6 2.4
=
+ +ò
x
x x x
dx
I
· Ta có:
x
x x
dx
I
1
2
0
3
2
3 3
3 2
2 2
æ ö
ç ÷
è ø=
æ ö æ ö
+ +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ò . Đăt
x
t
3
2
æ ö
= ç ÷
è ø
.
dt
I
t t
3
2
2
1
1
ln3 ln2 3 2
=
- + +
ò
ln15 ln14
ln3 ln2
-
=
-
Câu 18.
e
x
I x x dx
x x
2
1
ln
3 ln
1 ln
æ ö
= +ç ÷
+è ø
ò
·
e e
x
I dx x xdx
x x
2
1 1
ln
3 ln
1 ln
= +
+
ò ò =
2(2 2)
3
-
+
e3
2 1
3
+
=
e3
5 2 2 2
3
- +
Câu 19.
e
x x
I dx
x
3 2
1
ln 2 ln+
= ò

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 29
· Đặt t x2
2 ln= + Þ
x
dt dx
x
2ln
= Þ I tdt
3
3
2
1
2
= ò ( )33 4 43
3 2
8
= -
Câu 20.
e
e
dx
I
x x ex
2
ln .ln
= ò
·
e e
e e
dx d x
I
x x x x x
2 2
(ln )
ln (1 ln ) ln (1 ln )
= =
+ +ò ò =
e
e
d x
x x
2
1 1
(ln )
ln 1 ln
æ ö
-ç ÷
+è ø
ò = 2ln2 – ln3
Câu 21.
x
x x
e
I dx
e e
ln6 2
ln4 6 5-
=
+ -
ò · Đặt x
t e= . I 2 9ln3 4ln2= + -
Câu 22.
e
x
I dx
x x
3
2
2
1
log
1 3ln
=
+
ò
·
e e e
x
x x xdx
I dx dx
xx x x x x
3
3 2
2
32 2 2
1 1 1
ln
log ln2 1 ln . ln
.
ln 21 3ln 1 3ln 1 3ln
æ ö
ç ÷
è ø= = =
+ + +
ò ò ò
Đặt
dx
x t x t x tdt
x
2 2 21 1
1 3ln ln ( 1) ln .
3 3
+ = Þ = - Þ = .
Suy ra I t t
2
3
3 3
1
1 1 4
39ln 2 27ln 2
æ ö
= - =ç ÷
è ø
.
Câu 23.
e
x x x
I dx
x x1
( 2)ln
(1 ln )
+ -
=
+ò
·
e e
x
dx dx
x x1 1
ln
2
(1 ln )
-
+ò ò =
e
x
e dx
x x1
ln
1 2
(1 ln )
- -
+ò
Tính J =
e
x
dx
x x1
ln
(1 ln )+ò . Đặt t x1 ln= + Þ
t
J dt
t
2
1
1
1 ln2
-
= = -ò .
Vậy: I e 3 2ln2= - + .
Câu 24.
e
e
x x x x
I dx
x x
3
2
2 2
2 ln ln 3
(1 ln )
- +
=
-ò
·
e e
e e
I dx xdx
x x
3 3
2 2
1
3 2 ln
(1 ln )
= -
-ò ò e e3 2
3ln2 4 2= - - + .
Câu 25.
e
x x
I dx
x
2
2 2
2
1
ln ln 1- +
= ò
· Đặt :
dx
t x dt
x
ln= Þ = Þ
t t t t
t t t t t
I dt dt dt dt I I
e e e e
2
2 2 1 2
1 20 0 0 1
2 1 1 1 1- + - - -
= = = - + = +ò ò ò ò
+ t
t t t t
tdt dt dt dt
I te
ee e e e
11 1 1 1
1 0 0 0 00
1-æ öæ ö
= - - = - - + - =ç ÷ç ÷
è ø è ø
ò ò ò ò
+ t t
t t t t
tdt dt dt dt
I te te
ee e e e e
2 22 2 2 2
2 1 1 1 1 21 1
1 2- -
= - = - + - = - = -ò ò ò ò

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 30
Vậy :
e
I
e2
2( 1)-
=
Câu 26.
5
2
ln( 1 1)
1 1
- +
=
- + -ò
x
I dx
x x
· Đặt ( )t xln 1 1= - + Þ
dx
dt
x x
2
1 1
=
- + -
Þ I dt
ln3
2 2
ln2
2 ln 3 ln 2= = -ò .
Câu 27.
3
3
1
ln
1 ln
=
+
ò
e
x
I dx
x x
· Đặt
dx
t x x t tdt
x
2
1 ln 1 ln 2= + Þ + = Þ = và x t3 2 3
ln ( 1)= -
Þ
t t t t
I dt = dt t t t dt
t t t
2 2 22 3 6 4 2
5 3
1 1 1
( 1) 3 3 1 1
( 3 3 )
- - + -
= = - + -ò ò ò
15
ln2
4
= -
Câu 28.
e
x
I dx
x x1
3 2ln
1 2ln
-
=
+
ò · Đặt t x1 2ln= + Þ
e
I t dt2
1
(2 )= -ò =
3
524 -
Câu 29.
e
x x
I dx
x
3 2
1
ln 2 ln+
= ò · Đặt t x2
2 ln= + Þ I
33 4 43
3 2
8
é ù= -ë û
Câu 30.
1
1
( ln )
+
=
+ò
e x
x
xe
I dx
x e x
· Đặt x
t e xln= + Þ
1
ln
+
=
e
e
I
e
.

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 31
Dạng 2: Tích phân từng phần
Câu 31. inx
I e xdx
2
s
0
.sin2
p
= ò
· inx
I e x xdx
2
s
0
2 .sin cos
p
= ò . Đặt x x
u x du xdx
dv e xdx v esin sin
sin cos
cos
ì ì= =
Þí í
= =î î
x x x
I xe e xdx e e
2
sin sin sin2 2
0 0
0
2sin .cos 2 2 2
p
p p
Þ = - = - =ò
Câu 32. I x x x dx
1
2
0
ln( 1)= + +ò
· Đặt
x
du dx
u x x x x
dv xdx x
v
2 2
2
2 1
ln( 1) 1
2
ì +
=ïì ï= + + + +Þí í
=î ï =
ïî
x x x
I x x dx
x x
1
12 3 2
2
2
0 0
1 2
ln( 1)
2 2 1
+
= + + -
+ +
ò
x dx
x dx dx
x x x x
1 1 1
2 2
0 0 0
1 1 1 2 1 3
ln3 (2 1)
2 2 4 41 1
+
= - - + -
+ + + +
ò ò ò
3 3
ln3
4 12
p
= -
Câu 33.
x
I dx
x
8
3
ln
1
=
+
ò
· Đặt
u x dx
du
dx xdv
v xx
ln
2 11
ì ì=
=ï ï
Þí í=
ï ï = ++ îî
( ) x
I x x dx J
x
88
3
3
1
2 1.ln 2 6ln8 4ln3 2
+
Þ = + - = - -ò
+ Tính
x
J dx
x
8
3
1+
= ò . Đặt
t t
t x J tdt dt dt
t tt t
3 3 32
2 2
2 2 2
1 1
1 .2 2 2
1 11 1
æ ö
= + Þ = = = + -ç ÷
- +- - è ø
ò ò ò
t
t
t
8
3
1
2 ln 2 ln3 ln2
1
æ ö-
= + = + -ç ÷
+è ø
Từ đó I 20ln2 6ln3 4= - - .
Câu 34.
e
xx x x
I e dx
x
2
1
ln 1+ +
= ò
·
e e e x
x x e
I xe dx xe dx dx
x1 1 1
ln= + +ò ò ò . + Tính
e ee
x x x e
I xe dx xe e dx e e11
1 1
( 1)= = - = -ò ò
+Tính
e e ex xe
x x ee e
I e xdx e x dx e dx
x x2
1
1 1 1
ln ln= = - = -ò ò ò .
Vậy:
e x
e
I I I dx
x1 2
1
= + + ò = e
e 1+
.

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 32
Câu 35.
e
x
I x dx
x x
2
1
ln
ln
1 ln
æ ö
= +ç ÷
+è ø
ò
· Tính
e
x
I dx
x x
1
1
ln
1 ln
=
+
ò . Đặt t x1 ln= + Þ I1
4 2 2
3 3
= - .
+ Tính
e
I xdx2
2
1
ln= ò . Lấy tích phân từng phần 2 lần được I e2 2= - .
Vậy I e
2 2 2
3 3
= - - .
Câu 36.
2
3
2
1
ln( 1)x
I dx
x
+
= ò
· Đặt
x
duu x
xdx
dv
vx
x
2
2
3
2
2
ln( 1)
1
1
2
ì
ì == + ïï ï +Þí í
=ï ï = -î ïî
. Do đó I =
x dx
x x x
22
2 2
1
2ln( 1)
12 ( 1)
+
- +
+
ò
x
dx
x x
2
2
1
ln2 ln5 1
2 8 1
æ ö
= - + -ç ÷
+è ø
ò
dx d x
x x
2 2 2
2
1 1
ln2 ln5 1 ( 1)
2 8 2 1
+
= - + -
+
ò ò
x x2 2ln2 ln5 1
ln | | ln | 1|
2 8 2 1
æ ö
= - + - +ç ÷
è ø
=
5
2ln2 ln5
8
-
Câu 37.
x
I = dx
x
2
2
1
ln( 1)+
ò
· Đặt
dx
u x du dxxdx I x
dv x x x
vx
x
2
2 1
ln( 1)
1 321 ln( 1) 3ln2 ln3
1 1 ( 1) 2
ì
ì = + =ïï +Û Þ = - + + = -í í= +ï ï = -î
î
ò
Câu 38.
x
I x dx
x
1
2
0
1
ln
1
æ ö+
= ç ÷
-è ø
ò
· Đặt
du dxx
u x
x
xdv xdx v
2
2
2
1
ln (1 )
1
2
ì
=ì + ïï ï= -Þí í-
ï ï=î =ïî
Þ
x
I x x dx
x x
1
2
2 2
2
0
1
1 1 2
ln 2
2 1 10
é ù
ê úæ ö æ ö+
ê ú= -ç ÷ ç ÷
-ê ú-è ø è ø
ê úë û
ò
x
dx dx
x xx
1 1
22 2
2
0 0
ln3 ln3 1 ln3 1 1 2
1 ln
8 8 ( 1)( 1) 8 2 2 31
é ù
= + = + + = + +ê ú- +- ë û
ò ò
Câu 39. I x x dx
x
2
2
1
1
.ln
æ ö
= +ç ÷
è ø
ò · Đặt
u x
x
dv x dx2
1
ln
ì æ ö
= +ï ç ÷
í è ø
ï =î
Þ I
10 1
3ln3 ln2
3 6
= - +
Câu 40. I x x dx
1
2 2.ln(1 )
0
= +ò · Đặt u x
dv x dx
2
2
ln(1 )ìï = +
í
=ïî
Þ I
1 4
.ln2
3 9 6
p
= + +

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 33
Câu 41.
x
I dx
x
3
2
1
ln
( 1)
=
+
ò · Đặt
u x
dx
dv
x 2
ln
( 1)
ì =
ï
í =
ï +î
Þ I
1 3
ln3 ln
4 2
= - +
Câu 42.
2 2
1
ln ( ln )
.
1
+ +
=
+ò
e x x
x
x e e x
I dx
e
· Ta có:
e e x
x
e
I x dx dx H K
e
2
2
1 1
ln .
1
= + = +
+
ò ò
+
e
H x dx2
1
ln .= ò . Đặt: u x
dv dx
2
lnì =
í
=î
Þ
e
H e x dx e
1
2ln . 2= - = -ò
+
e x
x
e
K dx
e
2
1 1
=
+
ò . Đặt x
t e 1= + Þ
e
e
e
e
e
t e
I dt e e
t e
1
2
1
1 1
ln
1
+
+
- +
Þ = = - +
+
ò
Vậy: e
e
e
I e
e
1
–2 ln
1
+
= +
+
Câu 43.
2 1
1
2
1
( 1 )
+
= + -ò
x
x
I x e dx
x
· Ta có:
2 31 1
1 1
2 2
1+ +æ ö
= + - = +ç ÷
è øò ò
x x
x x
I e dx x e dx H K
x
+ Tính H theo phương pháp từng phần I1 =
2 21 1 5
2
1 1
2 2
1 3
2
+ +æ ö
= - - = -ç ÷
è øò
x x
x x
H xe x e dx e K
x
5
2
3
.
2
I eÞ =
Câu 44.
4
2
0
ln( 9 )= + -òI x x dx
· Đặt ( )u x x
dv dx
2
ln 9
ìï = + -í
=ïî
Þ ( ) x
I x x x dx
x
4 4
2
20 0
ln 9 2
9
= + - + =
+
ò

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 34
TP5: TÍCH PHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ
Câu 1. x x
I x e dx
x
3
1 4
2
0 1
æ ö
= +ç ÷ç ÷
+è ø
ò
· x x
I x e dx dx
x
3
1 1 4
2
0 0 1
= +
+
ò ò .
+ Tính x
I x e dx
3
1
2
1
0
= ò . Đặt t x3
= Þ t t
I e dt e e
1 1
1
0
0
1 1 1 1
3 3 3 3
= = = -ò .
+ Tính
x
I dx
x
1 4
2
0 1
=
+
ò . Đặt t x4
= Þ
t
I dt
t
1 4
2 2
0
2
4 4
3 41
pæ ö
= = - +ç ÷
è ø+
ò
Vậy: I e
1
3
3
p= + -
Câu 2. x x
I x e dx
x
2 2
3
1
4æ ö-ç ÷= -
ç ÷
è ø
ò
· x
I xe dx
2
1
= ò +
x
dx
x
2 2
2
1
4 -
ò .
+ Tính x
I xe dx e
2
2
1
1
= =ò + Tính
x
I dx
x
2 2
2 2
1
4 -
= ò . Đặt x t2sin= , t 0;
2
pé ù
Îê úë û
.
Þ
t
I dt t t
t
22
2
2 2
6
6
cos
( cot )
sin
p
p
p
p
= = - -ò = 3
3
p
-
Vậy: I e2
3
3
p
= + - .
Câu 3. ( )xx
I e x x dx
x
1
2 2 2
2
0
. 4 .
4
= - -
-
ò
· x x
I x e dx dx I I
x
1 1 3
2
1 2
2
0 0 4
= - = +
-
ò ò
+ Tính x e
I x e dx
1 2
2
1
0
1
4
+
= =ò
+ Tính
x
I dx
x
1 3
2
2
0 4
=
-
ò . Đặt t x2
4= - Þ I2
16
3 3
3
= - +
Þ
e
I
2
61
3 3
4 12
= + -
Câu 4. xx
I e dx
x
1 2
2
0
1
( 1)
+
=
+
ò

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 35
· Đặt t x dx dt1= + Þ = t tt t
I e dt e dt
tt t
2 22
1 1
2 2
1 1
2 2 2 2
1- -æ ö- +
= = + -ç ÷
è ø
ò ò =
e
e e
e
2
2
1 1
2
æ ö
- + - + =ç ÷
ç ÷
è ø
Câu 5.
x
x e dx
I
x
2
3 3 1
2
0
.
1
+
=
+
ò
· Đặt t x dx tdt2
1= + Þ = Þ t
I t e dt
2
2
1
( 1)= -ò
t t
t e dt e J e e
2
2 2
1
2
( )
1
= - = - -ò
+ t t t t t t t
J t e dt t e te dt e e te e dt e e te e
2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 4 2 4 2( )
1 1 1
æ ö
ç ÷= = - = - - - = - - -
ç ÷
è ø
ò ò ò
Vậy: I e2
=
Câu 6.
x x x
I dx
x
2 3
2
ln( 1)
1
+ +
=
+
ò
· Ta có:
x x x x x x x x
f x x
x x x x
2 2 2
2 2 2 2
ln( 1) ( 1) ln( 1)
( )
1 1 1 1
+ + - +
= + = + -
+ + + +
Þ F x f x dx x d x xdx d x2 2 21 1
( ) ( ) ln( 1) ( 1) ln( 1)
2 2
= = + + + - +ò ò ò ò
= x x x C2 2 2 21 1 1
ln ( 1) ln( 1)
4 2 2
+ + - + + .
Câu 7.
( )x x x
I dx
x
4 2 3
2
0
ln 9 3
9
+ + -
=
+
ò
·
( ) ( )x x x x x x
I dx dx dx I I
x x x
4 4 42 3 2 3
1 2
2 2 2
0 0 0
ln 9 3 ln 9
3 3
9 9 9
+ + - + +
= = - = -
+ + +
ò ò ò
+ Tính
( )x x
I dx
x
4 2
1
2
0
ln 9
9
+ +
=
+
ò . Đặt ( )x x u2
ln 9+ + = Þ du dx
x2
1
9
=
+
Þ
u
I udu
ln5 2 2 2
1
ln3
ln 5 ln 3ln5
ln32 2
-
= = =ò
+ Tính
x
I dx
x
4 3
2
2
0 9
=
+
ò . Đặt x v2
9+ = Þ
x
dv dx x v
x
2 2
2
, 9
9
= = -
+
Þ
u
I u du u
5 3
2
2
3
445
( 9) ( 9 )
33 3
= - = - =ò
Vậy
( )x x x
I dx I I
x
4 2 3 2 2
1 2
2
0
ln 9 3 ln 5 ln 3
3 44
29
+ + - -
= = - = -
+
ò .
Câu 8.
e
x x x
I dx
x x
3 2
1
( 1)ln 2 1
2 ln
+ + +
=
+ò
·
e e
x
I x dx dx
x x
2
1 1
1 ln
2 ln
+
= +
+ò ò . +
e
e
x e
x dx
3 3
2
11
1
3 3
-
= =ò

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 36
+
e e ex d x x
dx x x
x x x x
1
1 1
1 ln (2 ln )
ln 2 ln
2 ln 2 ln
+ +
= = +
+ +ò ò
e 2
ln
2
+
= . Vậy:
e e
I
3
1 2
ln
3 2
- +
= + .
Câu 9. xx
I e dx
x
2
0
1 sin
.
1 cos
p
+
=
+ò
·
x
xe dx x
I e dx
x x
2 2
20 0
1 sin
2 1 cos
cos
2
p p
= +
+ò ò
+ Tính x x
x x
x
I e dx e dx
xx
2 2
1
20 0
2sin .cossin 2 2
1 cos
2cos
2
p p
= =
+ò ò
xx
e dx
2
0
tan
2
p
= ò
+ Tính
x
e dx
I
x
2
2
20
1
2
cos
2
p
= ò . Đặt
x
xu e
du e dx
dx
dv x
vx2 tan
2cos 2
2
ì = ì =ï
ï ï
Þí í=
=ï ï
îïî
Þ xx
I e e dx
2
2
2
0
tan
2
p
p
= - ò
Do đó: I I I e2
1 2
p
= + = .
Câu 10.
x x
I dx
x
4
0
tan .ln(cos )
cos
p
= ò
· Đặt t xcos= Þ dt xdxsin= - Þ
t t
I dt dt
t t
1
12
2 2
11
2
ln ln
= - =ò ò .
Đặt
u t
dv dt
t2
ln
1
ì =
ï
í =
ïî
Þ
du dt
t
v
t
1
1
ì
=ï
í
ï = -
î
Þ I
2
2 1 ln2
2
= - -
Câu 11.
x
x
I dx
e x
2
0
cos
(1 sin2 )
p
=
+
ò
·
x
x
I dx
e x x
2
0 2
cos
(sin cos )
p
=
+
ò . Đặt
x x
x x x dxu du
e e
dx xdv v
x xx x 2
cos (sin cos )
sin
sin cos(sin cos )
ì ì - += =ï ïï ï
Þí í
ï ï= =
ïï ++ îî
x x x
x x xdx xdx
I
x xe e e
2 22
0 0 0
cos sin sin sin
.
sin cos
p pp
Þ = + =
+ ò ò
Đặt
x x
u x du xdx
dx
dv v
e e
1 1
1 1
sin cos
1
ì ì= =
ï ï
Þ -í í= =ï ï
î î
Þ
x x x
xdx xdx
I x
e e e
e
2 22
0 0 0
2
1 cos 1 cos
sin .
p pp
p
- -
= + = +ò ò

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 37
Đặt
x x
u x du xdx
dx
dv v
e e
2 2
1 1
cos sin
1
ì ì= = -
ï ï
Þ -í í= =ï ï
î î
x x
xdx
I x I I e
e e
e e
22
2
0 0
2 2
1 1 sin 1
cos . 1 2 1
pp
p
p p
-
- - -
Þ = + - = + - Þ = - +ò
e
I
2 1
2 2
p-
-
Þ = +
Câu 12. I x x dx
2
0
sin ln(1 sin )
p
= +ò
· Đặt
x
u x du dx
xdv xdx
v x
1 cos
ln(1 sin )
1 sinsin
cos
ì +
ïì = + =Þí í +=î ï = -î
Þ
x x
I x x x dx dx x dx
x x
22 2 2
0 0 0
cos 1 sin
cos .ln(1 sin ) cos . 0 (1 sin ) 12
1 sin 1 sin 2
0
p p p
p
p-
= - + + = + = - = -
+ +ò ò ò
Câu 13.
x
x x
I dx
6 64
4
sin cos
6 1
p
p
-
+
=
+
ò
· Đặt t x= - Þ dt dx= - Þ t x
t x
t t x x
I dt dx
6 6 6 64 4
4 4
sin cos sin cos
6 6
6 1 6 1
p p
p p
- -
+ +
= =
+ +
ò ò
Þ x
x
x x
I dx x x dx
6 64 4
6 6
4 4
sin cos
2 (6 1) (sin cos )
6 1
p p
p p
- -
+
= + = +
+
ò ò x dx
4
4
5 3
cos4
8 8
p
p
-
æ ö
= +ç ÷
è ø
ò
5
16
p
=
I
5
32
p
Þ = .
Câu 14.
x
xdx
I
46
6
sin
2 1
p
p
-
-
=
+
ò
· Ta có:
x x x
x x x
xdx xdx xdx
I I I
04 4 46 6
1 2
0
6 6
2 sin 2 sin 2 sin
2 1 2 1 2 1
p p
p p
- -
= = + = +
+ + +
ò ò ò
+ Tính
x
x
xdx
I
0 4
1
6
2 sin
2 1p
-
=
+
ò . Đặt x t= -
t
t t x
t t x
I dt dt dx
0 0 04 4 4
1
6 6 6
2 sin ( ) sin sin
2 1 2 1 2 1p p p
-
-
-
Þ = - = =
+ + +
ò ò ò
x
x x
xdx xdx
I xdx x dx
4 46 6 6 6
4 2
0 0 0 0
sin 2 sin 1
sin (1 cos2 )
42 1 2 1
p p p p
Þ = + = = -
+ +
ò ò ò ò

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 38
x x dx
6
0
1
(3 4cos2 cos4 )
8
p
= - +ò
4 7 3
64
p -
=
Câu 15.
e
x
I dx
x x
3
3
1
ln
1 ln
=
+
ò
· Đặt
dx
t x x t tdt
x
2
1 ln 1 ln 2= + Þ + = Þ = và x t3 2 3
ln ( 1)= -
Þ
t t t t
I dt = dt t t t dt
t t t
2 2 22 3 6 4 2
5 3
1 1 1
( 1) 3 3 1 1
( 3 3 )
- - + -
= = - + -ò ò ò
15
ln2
4
= -
Câu 16.
4
2
0
sin
cos
p
= ò
x x
I dx
x
· Đặt
u x du dx
x
dv dx v
xx2
sin 1
coscos
ì = ì =
ï ï
Þí í
= =ï ï
îî
Þ
x dx dx
I
x x x
4 44
0 0 0
2
cos cos 4 cos
p pp
p
= - = -ò ò
+
dx xdx
I
x x
4 4
1 2
0 0
cos
cos 1 sin
p p
= =
-
ò ò . Đặt t xsin= Þ
dt
I
t
2
2
1 2
0
1 2 2
ln
2 2 21
+
= =
--
ò
Vậy:
2 1 2 2
ln
4 2 2 2
p +
= -
-
Câu 17.
x x
I dx
x
2
3
4
cos
sin
p
p
= ò
· Ta có
x
x x2 3
1 2cos
sin sin
¢æ ö
= -ç ÷
è ø
. Đặt
u x
x
dv dx
x3
cos
sin
ì =
ï
í =
ïî
Þ
du dx
v
x2
1
2sin
ì =
ï
í = -
ïî
Þ I = x
x
2
2
4
1 1
.
2 sin
p
p
- +
dx
x
x
2 2
2
4
4
1 1 1
( ) cot
2 2 2 2 2sin
p p
p
p
p p
= - - -ò =
1
2
.
Câu 18.
x x
I dx
x
4
3
0
sin
cos
p
= ò
· Đặt:
u x du dx
x
dv dx v
x x3 2
sin 1
cos 2.cos
ì ì= =
ï ï
Þí í= =
ï ïî î
x dx
I x
x x
44 4
2 2
00 0
1 1 1
tan
2 4 2 4 22cos cos
pp p
p p
Þ = - = - = -ò
Câu 19.
e
I x dx
1
cos(ln )
p
= ò
· Đặt t t
t x x e dx e dtln= Þ = Þ =

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 39
Þ t
I e tdt
0
cos
p
= ò = e
1
( 1)
2
p
- + (dùng pp tích phân từng phần).
Câu 20. x
I e x xdx
22
sin 3
0
.sin .cos
p
= ò
· Đặt t x2
sin= Þ
t
I e t dt e
1
0
1 1
(1 )
2 2
= - =ò (dùng tích phân từng phần)
Câu 21. I x dx
4
0
ln(1 tan )
p
= +ò
· Đặt t x
4
p
= - Þ I t dt
4
0
ln 1 tan
4
p
pæ öæ ö
= + -ç ÷ç ÷
è øè ø
ò =
t
dt
t
4
0
1 tan
ln 1
1 tan
p
æ ö-
+ç ÷
+è ø
ò = dt
t
4
0
2
ln
1 tan
p
+ò
= dt t dt
4 4
0 0
ln2 ln(1 tan )
p p
- +ò ò = t I4
0.ln2
p
-
Þ I2 ln2
4
p
= Þ I ln2
8
p
= .
Câu 22.
4 3
2
1
ln(5 ) . 5- + -
= ò
x x x
I dx
x
· Ta có:
4 4
2
1 1
ln(5 )
5 .
-
= + - = +ò ò
x
I dx x x dx K H
x
.
+
x
K dx
x
4
2
1
ln(5 )-
= ò . Đặt
u x
dx
dv
x2
ln(5 )ì = -
ï
í =
ïî
Þ K
3
ln4
5
=
+ H= x x dx
4
1
5 .-ò . Đặt t x5= - Þ H
164
15
=
Vậy: I
3 164
ln4
5 15
= +
Câu 23. dx
x
xx
I ò +
+
=
2
0
2
2sin1
)sin(
p
· Ta có:
x x
I dx dx H K
x x
22 2
0 0
sin
1 sin2 1 sin2
p p
= + = +
+ +ò ò
+
x x
H dx dx
x
x
2 2
20 0
1 sin2
2cos
4
p p
p
= =
+ æ ö
-ç ÷
è ø
ò ò . Đặt:
u x
du dx
dx
dv
v x
x2
1
tan
2cos 2 4
4
p
p
ì =
ì =ïï ï= æ öÞí í = -æ ö ç ÷ï ï-ç ÷ è øîï è øî
x
H x x
22
0 0
1
tan ln cos
2 4 2 4 4
pp
p p pæ öæ ö æ ö
Þ = - + - =ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 40
+
x
K dx
x
22
0
sin
1 sin2
p
=
+ò . Đặt t x
2
p
= - Þ
x
K dx
x
22
0
cos
1 sin2
p
=
+ò
dx
K x
x
2 2
20 0
1
2 tan 1
2 4
2cos
4
p p
p
p
æ ö
Þ = = - =ç ÷
æ ö è ø-ç ÷
è ø
ò K
1
2
Þ =
Vậy, I H K
1
4 2
p
= + = + .
Câu 24.
x x x x
I dx
x
3
2
0
(cos cos sin )
1 cos
p
+ +
=
+
ò
· Ta có:
x x x x x
I x dx x x dx dx J K
x x
2
2 2
0 0 0
cos (1 cos ) sin .sin
.cos .
1 cos 1 cos
p p pæ ö+ +
= = + = +ç ÷
ç ÷+ +è ø
ò ò ò
+ Tính J x x dx
0
.cos .
p
= ò . Đặt
u x
dv xdxcos
ì =
í =î
Þ J x x x dx x
0 0
0
( .sin ) sin . 0 cos 2
p
p p
= - = + = -ò
+ Tính
x x
K dx
x2
0
.sin
1 cos
p
=
+
ò . Đặt x t dx dtp= - Þ = -
t t t t x x
K dt dt dx
t t x2 2 2
0 0 0
( ).sin( ) ( ).sin ( ).sin
1 cos ( ) 1 cos 1 cos
p p p
p p p p
p
- - - -
Þ = = =
+ - + +
ò ò ò
x x x x dx x dx
K dx K
x x x2 2 2
0 0 0
( ).sin sin . sin .
2
21 cos 1 cos 1 cos
p p p
p p
p
+ -
Þ = = Þ =
+ + +
ò ò ò
Đặt t x dt x dxcos sin .= Þ = -
dt
K
t
1
2
1
2 1
p
-
Þ =
+
ò , đặt t u dt u du2
tan (1 tan )= Þ = +
u du
K du u
u
2 24 4
4
2
4
4 4
(1 tan )
.
2 2 2 41 tan
p p
p
p
p p
p p p p
-
- -
+
Þ = = = =
+
ò ò
Vậy I
2
2
4
p
= -
Câu 25.
x x x x
I dx
x x
2
3
2
3
( sin )sin
(1 sin )sin
p
p
+ +
=
+
ò
· Ta có:
x x x x dx
I dx dx H K
xx x x
2 2 22
3 3 3
2 2
3 3 3
(1 sin ) sin
1 sin(1 sin )sin sin
p p p
p p p
+ +
= = + = +
++
ò ò ò
+
x
H dx
x
2
3
2
3
sin
p
p
= ò . Đặt
u x
du dx
dx
dv v x
x2
cot
sin
ì =
ï ì =
Þí í= = -îïî
Þ H
3
p
=
+
dx dx dx
K
x x
x
2 2 2
3 3 3
2
3 3 3
3 2
1 sin
1 cos 2cos
2 4 2
p p p
p p pp p
= = = = -
+ æ ö æ ö
+ - -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ò ò ò

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 41
Vậy I 3 2
3
p
= + -
Câu 26. I x x x dx
0
2
2
(2 ) ln(4 )é ù= - + +ë ûò
· Ta có: I x x dx
2
0
(2 )= -ò + x dx
2
2
0
ln(4 )+ò = I I1 2+
+ I x x dx x dx
2 2
2
1
0 0
(2 ) 1 ( 1)
2
p
= - = - - =ò ò (sử dụng đổi biến: x t1 sin= + )
+
x
I x dx x x dx
x
2 2 22
2 2
2 0 2
0 0
ln(4 ) ln(4 ) 2
4
= + = + -
+
ò ò (sử dụng tích phân từng phần)
6ln2 4p= + - (đổi biến x t2tan= )
Vậy: I I I1 2
3
4 6ln2
2
p
= + = - +
Câu 27.
x x
I dx
x
2
3
0
sin
1 cos2
p
+
=
+ò
· Ta có:
x x x x
I dx dx dx H K
x x x
2 2
3 3 3
0 0 2 0 2
sin sin
1 cos2 2cos 2cos
p p p
+
= = + = +
+ò ò ò
+
x x
H dx dx
x x
3 3
0 2 0 2
1
22cos cos
p p
= =ò ò . Đặt
u x
du dx
dx
dv v x
x2
tan
cos
ì =
ï ì =
Þí í= =îïî
H x x xdx x3 33
00 0
1 1 1
tan tan ln cos ln2
2 2 22 3 2 3
p pp
p p
é ù
ê úÞ = - = + = -
ë ûò
+
x
K dx xdx
x
2
23 3
0 2 0
sin 1
tan
22cos
p p
= =ò ò [ ]x x 3
0
1 1
tan 3
2 2 3
p
pæ ö
= - = -ç ÷
è ø
Vậy:
( )
I H K
1 1 3 1 1
ln2 3 ( 3 ln2)
2 2 3 6 22 3
p p pæ ö -
= + = - + - = + -ç ÷
è ø
Câu 28.
8 ln
13
= ò
+
x
I dx
x
· Đặt
u x dx
du
dx xdv
v xx
ln
2 11
ì ì=
=ï ï
Þí í=
ï ï = ++ îî
x
I x x dx
x
88
3
3
1
2 1ln 2
+
Þ = + - ò
+ Tính
x
J dx
x
8
3
1+
= ò . Đặt t x 1= + Þ
t dt
J dt
t t
3 32
2 2
2 2
2 1
2 1 2 ln3 ln2
1 1
æ ö
= = + = + -ç ÷
- -è ø
ò ò
I 6ln8 4ln3 2(2 ln3 ln2) 20ln2 6ln3 4Þ = - - + - = - -
Câu 29. dxx
x
x
I ò
+
=
2
1
3
2
ln
1
· Ta có: I xdx
xx
2
3
1
1 1
ln
æ ö
= +ç ÷
è ø
ò . Đặt
u x
dv dx
xx3
ln
1 1
( )
ì =
ï
í = +
ïî

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 42
Þ I x x x dx
xx x
2
2
4 51
1
1 1 1
ln ln ln
4 4
æ ö æ ö- -
= + - +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ò = 21 63 1
ln2 ln 2
64 4 2
- + +
Câu 30. I x x dx
3
0
1sin 1.= + +ò
· Đặt t x 1= + Þ I t t tdt t tdt x xdx
2 2 2
2 2
1 1 1
.sin .2 2 sin 2 sin= = =ò ò ò
Đặt
du xdxu x
v xdv xdx
2 42
cossin
ì ì == Þí í
= -= îî
Þ I x x x xdx
22
2
1
1
2 cos 4 cos= - + ò
Đặt
u x du dx
dv xdx v x
4 4
cos sin
ì ì= =
Þí í= =î î
. Từ đó suy ra kết quả.
Câu 31.
e
xx x x
I e dx
x
2
1
ln 1+ +
= ò
· Ta có:
e e e x
x x e
I xe dx e xdx dx H K J
x1 1 1
ln= + + = + +ò ò ò
+
e e
x x e x e
H xe dx xe e dx e e1
1 1
( 1)= = - = -ò ò
+
e e ex xe
x x e ee e
K e xdx e x dx e dx e J
x x1
1 1 1
ln ln= = - = - = -ò ò ò
Vậy: e e e e
I H K J e e e J J e1 1+ +
= + + = - + - + = .

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 43
TP6: TÍCH PHÂN HÀM SỐ ĐẶC BIỆT
Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f x f x x4
( ) ( ) cos+ - = với mọi xÎR.
Tính: I f x dx
2
2
( )
p
p-
= ò .
· Đặt x = –t Þ f x dx f t dt f t dt f x dx
2 2 2 2
2 2 2 2
( ) ( )( ) ( ) ( )
p p p p
p p p p
-
-
- -
= - - = - = -ò ò ò ò
Þ f x dx f x f x dx xdx
2 2 2
4
2 2 2
2 ( ) ( ) ( ) cos
p p p
p p p- -
-
é ù= + - =ë ûò ò ò Þ I
3
16
p
=
Chú ý: x x x4 3 1 1
cos cos2 cos4
8 2 8
= + + .
Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f x f x x( ) ( ) 2 2cos2+ - = + , với mọi xÎR.
Tính: I f x dx
3
2
3
2
( )
p
p-
= ò .
· Ta có : I f x dx f x dx f x dx
3 3
02 2
0
3 3
2 2
( ) ( ) ( )
p p
p p
- -
= = +ò ò ò (1)
+ Tính : I f x dx
0
1
3
2
( )
p
-
= ò . Đặt x t dx dt= - Þ = - Þ I f t dt f x dx
3 3
2 2
1
0 0
( ) ( )
p p
= - = -ò ò
Thay vào (1) ta được: ( )I f x f x dx x x dx
3 3 3
2 2 2
0 0 0
( ) ( ) 2 1 cos2 2 cos
p p p
é ù= - + = + =ë ûò ò ò
xdx xdx
3
2 2
0
2
2 cos cos
p p
p
é ù
ê ú
= -ê ú
ê ú
ê úë û
ò ò x x2
0
3
22 sin sin 6
2
p p
p
é ù
ê ú
= - =ê ú
ê ú
ê úë û
Câu 3.
x
I dx
x x
4
2
4
sin
1
p
p
-
=
+ +
ò

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 44
· I x xdx x xdx I I
4 4
2
1 2
4 4
1 sin sin
p p
p p
- -
= + - = -ò ò
+ Tính I x xdx
4
2
1
4
1 sin
p
p
-
= +ò . Sử dụng cách tính tích phân của hàm số lẻ, ta tính được I1 0= .
+ Tính I x xdx
4
2
4
sin
p
p
-
= ò . Dùng pp tích phân từng phần, ta tính được: I2
2
2
4
p= - +
Suy ra: I
2
2
4
p= - .
Câu 4.
( )
( )
5
2
3 2 1
1 1
x
x
e x x
I dx
e x x
- + -
=
- + -
ò
·
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
5 5 5 5
2 2 2 2
3 2 1 1 1 2 1 2 1
1 1 1 1 1 1
- + - - + - + - -
= = = +
- + - - + - - + -ò ò ò ò
x x x x
x x x
e x x e x x e x e x
I dx dx dx dx
e x x e x x e x x
( ) ( )5 5
2 2
5 2 1 2 1
3
2 1( 1 1) 1( 1 1)
- -
= + = +
- - + - - +ò ò
x x
x x
e x e x
x dx dx
x e x x e x
Đặt
( )2 1
1 1
2 1
-
= - + Þ =
-
x
x e x
t e x dt dx
x
5
2
52 1 5
22
1
2 12 2 1
3 3 2ln 3 2ln
11
+
+
+ +
Þ = + Þ = + = +
++
ò
e
e
e e
I dt I t
t ee
Câu 5.
x
I dx
x x x
24
2
0 ( sin cos )
p
=
+
ò .
·
x x x
I dx
x x x x
4
2
0
cos
.
cos ( sin cos )
p
=
+
ò . Đặt
x
u
x
x x
dv dx
x x x 2
cos
cos
( sin cos )
ì
=ïï
í
=ï
+ïî
Þ
x x x
du dx
x
v
x x x
2
cos sin
cos
1
sin cos
ì +
=ïï
í
-ï =
ï +î
Þ
x dx
I dx
x x x x x
44
2
0 0
cos ( sin cos ) cos
pp
= - +
+ ò =
4
4
p
p
-
+
.