Sujet1 si-2-mines sup-sup-2003

CONCOURS COMMUN 2003
DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES

Epreuve spécifique de Sciences Industrielles
(filière PCSI, option PSI)

Jeudi 22 Mai 2003 de 08h00 à 12h00

Instructions générales
Vous devez vérifier que les documents qui vous ont été remis comprennent :
- le texte du sujet : Pages 2 à 11
- la photographie de la machine (format A4) : Annexe 1
- le schéma de la machine (format A4) : Annexe 2
- le dessin d’ensemble d’un montage d’essais : Annexe 3
- le document réponse : Pages 1 à 11

Vous devez répondre à toutes les questions en utilisant le document réponse. Aucun
autre document ne sera accepté.
Attention : Vous devez impérativement inscrire votre code candidat sur chaque
page du document réponse. En fin d’épreuve, vous ne devez rendre
que le document réponse sur lequel vous aurez collé l’étiquette
correspondante.

Instructions particulières :
Il est fortement conseillé de lire la totalité du sujet avant de composer. Les six parties
sont indépendantes et notées proportionnellement au temps conseillé qui est
d’environ :
- 20 minutes pour la lecture du sujet
- 40 minutes pour la partie A
- 40 minutes pour la partie B
- 50 minutes pour la partie C
- 30 minutes pour la partie D
- 30 minutes pour la partie E
- 30 minutes pour la partie F

Aucun document n’est autorisé

Epreuve spécifique de Sciences Industrielles PCSI, option PSI Page 1/11

CONCOURS COMMUN 2003 DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES

MACHINE D’ESSAI UNIVERSELLE EM 550

La machine électromécanique universelle EM 550 (voir photographie en annexe 1) est
conçue pour être utilisée dans de nombreuses applications d’essais de matériaux et de
structures. Elle permet de réaliser des essais de traction, de compression, de flexion, de
fatigue, de fluage, de dureté, de frottement ainsi que des tests sur des assemblages et
des structures.
Cette machine est commercialisée par DELTALAB. Elle est présente dans les services
recherche et développement de nombreuses entreprises.
La machine d’essais est reliée à une partie commande constituée d’un micro-ordinateur,
d’une imprimante, du logiciel DELTALAB et d’une interface logiciel/machine pour le
pilotage, l’acquisition et le traitement des données.

Caractéristiques générales (voir schéma cinématique en annexe 2) :

- Effort maximal sur la traverse : 50 kN.
- Course maximale : 1 m.
- Entraînement : Servomoteur à courant continu avec génératrice tachymétrique.
- Transmission : Réducteur roue et vis sans fin, poulies, courroie crantée et vis à billes.
- Mesure du déplacement : Codeur optoélectronique de résolution 500 positions par
tour.
- Mesure de l’effort : Capteur à jauges de déformations.
- Alimentation : 240 V monophasé / 50 Hz – 1 kW max.
- Couple maximal du servomoteur : 3 N.m.

La traverse est en liaison glissière par rapport au bâti grâce aux 4 liaisons pivot glissant
montées en parallèle (2 de chaque côté de la machine).

Remarque 1 : Les poulies servant à l’entraînement des deux vis à billes sont de même
diamètre primitif que la poulie fixée à l’extrémité de l’arbre de sortie du
réducteur. Le rapport de transmission de l’ensemble poulies courroie
crantée est donc de 1.

Remarque 2 : Les vis à billes possèdent un coefficient de frottement de roulement très
faible. Le rendement de ces vis est très bon (0,9 0,95). Ces vis sont
donc réversibles. C’est-à-dire qu’un effort axial sur l’écrou peut
entraîner la vis en rotation.

Remarque 3 : Tous les résultats numériques seront donnés en unité S.I.

Epreuve spécifique de Sciences Industrielles PCSI Page 2/11


NOTATION A RESPECTER :

Torseur cinématique relatif au mouvement du solide I par rapport au solide J écrit au
point P dans la base ( x , y, z ) :
XIJ VPXIJ
VI / J YIJ VPYIJ
P ZIJ VPZIJ ( x , y, z )

Torseur statique relatif à l’action mécanique exercée par le solide I sur le solide J écrit
au point P dans la base ( x , y, z ) :
XIJ LPIJ
TI J YIJ MPIJ
P ZIJ NPIJ ( x , y, z )

A- ETUDE CINEMATIQUE

Objectif de cette étude : Vérifier certaines vitesses de glissement afin de choisir
correctement les matériaux et les critères de rugosité
des surfaces en contact mais aussi les conditions de
lubrification.

A.1. Ecrire le torseur cinématique, au point A, dans la base ( x , y, z ), de la liaison
hélicoïdale (2/1) si la vis est à hélice à droite. Donner le résultat en fonction de 20
(vitesse de rotation de 2 par rapport à 0) et de p (pas de la vis).

A.2. Ecrire le torseur cinématique, au point C, dans la base ( x , y, z ), de la liaison
glissière (1/0). Donner le résultat en fonction de 20 (vitesse de rotation de 2 par
rapport à 0) et de p (pas de la vis).

A.3. Déterminer la vitesse de glissement en C, de la traverse 1, par rapport au bâti 0.
Donner le résultat en fonction de m (vitesse angulaire de l’arbre moteur), de K
(rapport de réduction du réducteur : m/ 20 = K) et de p (pas de la vis).

A.4. Calculer le module de cette vitesse si : Nm=3000 tr/min (vitesse de rotation du
moteur), K=30 et p=5 mm.



A.5. La liaison hélicoïdale est conçue, dans un premier temps, avec une vis 2 et un
écrou 1. La vis est usinée avec un filetage trapézoïdal au pas de 5 mm à hélice à
droite. L’écrou est en liaison encastrement avec la traverse 1. On note I un point
appartenant à la vis 2 placé sur le diamètre moyen (voir document réponse). Ecrire
la relation donnant la vitesse de glissement au point I de la vis 2 par rapport à
l’écrou 1 en fonction de dmoy, p, m et K. Donner le résultat dans le repère lié à la
vis défini sur le document réponse.

A.6. Calculer le module de cette vitesse si : Nm=3000 tr/min, K=30 et dmoy=33,5 mm.

REMARQUE : Le rendement de la vis et de l’écrou au pas trapézoïdal est
extrêmement mauvais (de l’ordre de 0,1 à 0,2). Le constructeur a
donc choisi d’utiliser des vis à billes au pas de 5 mm.

A.7. Dans le cas de l’utilisation de vis à billes, donner au moins une raison technique
qui justifie le choix d’un réducteur roue et vis sans fin pour entraîner les poulies
liées aux vis.

A.8. Justifier le choix de deux vis à circulation de billes au lieu d’une seule.

A.9. Pour transmettre le mouvement aux deux vis à billes, le constructeur a utilisé une
seule courroie crantée 6. Justifier le choix de ce type de courroie plutôt qu’une
courroie trapézoïdale ou une courroie plate.

B- ETUDE STATIQUE

Objectif de cette étude : On se propose de calculer les actions dans les roulements
qui participent au guidage de la vis à billes afin de
choisir le type de roulements le mieux adapté pour
supporter les efforts et garantir la durée de vie
correspondant au cahier des charges.

La vis à billes 2 est en liaison pivot avec le bâti. Elle est entraînée en rotation par une
poulie crantée de diamètre primitif D = 71,3 mm. On donne OB yB.Y , avec yB = -80
mm. (Voir le document annexe 2). On continuera d’appeler 2 la vis et la poulie
associée.
On néglige le poids de 2 (vis + poulie) ainsi que les effets dynamiques. On considérera
que toutes les liaisons sont parfaites.


Les dispositions prises par le constructeur pour la liaison 1 / 2 sont telles que :
0 0 0 0
T1 2 Y12 MA12 T '1 2' Y'12' MA '12'
A 0 0 [ x , y, z] A' 0 0 [ x , y, z ]

Les actions mécaniques seront maximales dans la liaison pivot de la vis 2 (en O), donc
sur les roulements, lorsque :
La courroie 6 exerce un effort E'6 2' T.X et D'6 2' 0.
La traverse 1 exerce un effort Y12 = Y’12’ = 25000 N avec MA12 = MA’12’.

Lorsque deux solides I et J sont en liaison parfaite, la relation suivante est vérifiée :
VI / J TJ I 0

B.1. Calculer littéralement la composante de MA12 puis réaliser l’application
numérique.

B.2. Montrer que E 6 2 T.X et D6 2 2.T.X .

B.3. Isoler 2 (vis à billes et poulie crantée) puis écrire tous les torseurs des actions
mécaniques qui s’exercent sur cet ensemble au point O, dans la base [ x , y, z] .

B.4. Ecrire littéralement les 6 équations scalaires traduisant l’équilibre de l’ensemble 2.

B.5. Calculer numériquement les composantes des actions mécaniques exercées par le
bâti 0 sur la vis 2 ainsi que l’effort de tension exercé par la courroie crantée sur la
poulie. On donne MA12 = -20 N.m (valeur donnée indépendante du résultat trouvé
à la question B.1.).

C- ETUDE D’UNE SOLUTION TECHNIQUE

Objectifs de cette étude : Calculer le diamètre extérieur minimal des noix du
montage d’essais de cisaillement.
Décoder un dessin d’ensemble simple.

On veut utiliser cette machine pour réaliser des tests de fatigue et/ou de cisaillement sur
différents types d’axes et goupilles cylindriques appelés éprouvettes. Ces éprouvettes
sont réalisées en différents matériaux. Leur diamètre peut varier de 3 à 6 mm.



Les flasques et les noix sont interchangeables. Leur diamètre extérieur D est donc le
même pour tous les flasques et toutes les noix alors que leur diamètre intérieur d est
fonction du diamètre des éprouvettes.
On se propose de calculer le diamètre extérieur minimal des noix du montage d’essais
afin que leur déformation reste négligeable sous l’effort maximal exercé par la
machine.

Principe de l’essai Montage
F
1- On place un axe à tester (éprouvette) (A) Noix
dans le montage d’essais.
2- On commande la traverse afin qu’elle Flasque

exerce certains cycles permettant de

D
Eprouvette
déterminer le comportement des axes
au cisaillement mais également à la
fatigue.
3- On analyse les résultats enregistrés et on (B)
réalise toutes les mesures et
observations sur les axes déformés ou
cisaillés. F

Le modèle de répartition de pression pa
Y Y
entre la noix et la pièce A retenu est : n
Uniforme pour ,
2 2
D

3.
Nul pour , Z X
2 2
L
Uniforme suivant X

C.1. Calculer l’effort F que peut supporter la noix solidaire de la pièce A en fonction
de : pa, L et D.
C.2. Calculer la valeur du diamètre D minimal si : pa = 100 MPa, F = 50000 N et L =
20 mm.

C.3. Après avoir étudié le dessin d’ensemble du montage d’essais (voir annexes 2 et 3),
compléter le diagramme F.A.S.T en indiquant dans les cases vierges la solution
technique retenue par le concepteur du produit.



C.4. Dessiner à main levée et à la même échelle (environ 1/2), le dessin de la pièce A
en projection (2 vues minimum).

C.5. La noix est réalisée en deux parties (voir le dessin d’ensemble annexe 3). Justifier
le choix de cette solution.

C.6. Le trou recevant la goupille dans la pièce (A) est oblong. Justifier cette forme.

D- ETUDE DE L’ASSERVISSEMENT EN EFFORT

Objectif de cette étude : Vérifier la performance de la machine.

Lorsque la traverse de la machine d’essai exerce un Cm (N.m)
effort F, celle-ci ne bouge plus (aux déformations 3
négligeables près). Le moteur travaille donc à
vitesse nulle. Il est alimenté par la sortie du
correcteur C(p) au travers d’un amplificateur A(p).
Le couple Cm produit par le moteur dépend de la 0 U (V)
6
tension U appliquée à l’entrée de l’amplificateur.
Voir courbe ci-contre.

L’asservissement en effort est donné par le schéma blocs ci-dessous. On admettra que
le système est linéaire et invariant.

Fcons(p)
C(p) A(p)
H1(p) H2(p) H3(p) H4(p) H5(p)

H6(p)

Le capteur de force est de gain pur : KF = 10-4 V/N. Il délivre donc une tension
proportionnelle à l’effort F.



On rappelle que :
Le rapport de réduction du réducteur roue et vis sans fin est de 30 avec un
rendement de 0,5, quelque soit la vitesse (nulle ou différente de zéro).
Les poulies de transmission sont de même diamètre primitif.
Les vis à circulation de billes sont au pas de 5 mm.
Le bloc Adapt permet de pouvoir comparer deux grandeurs de même nature :
Fcons(p) et F(p).

D.1. Donner numériquement la fonction de transfert, dans le domaine de Laplace, des
différents blocs [sauf C(p) et A(p)]. Préciser l’unité de chaque fonction de transfert
et indiquer la grandeur physique et son unité qui sort de chaque bloc.
F(p)
D.2. Calculer la fonction de transfert en boucle fermée G (p) si le correcteur
Fcons(p)
1
C( p ) (expression simplifiée) et A(p) = 1. Montrer que cette fonction de
.p
Ks
transfert peut se mettre sous la forme G (p) .
1 T.p
D.3. Tracer l’allure de la sortie F(t) si T=0,2 s et si Fcons est un échelon de 50000 N. En
déduire la valeur de l’erreur.

E- ETUDE DE LA TRACABILITE DES AXES

Objectif de cette étude : Etudier un système de lecture avec codes à barres.

Le laboratoire utilisateur de la machine EM 550, réalise différents essais sur des
éprouvettes de différentes matières, provenant de fournisseurs différents. Pour un
matériau donné, un fournisseur donné et un type d'essai à effectuer, le technicien réalise
5 essais. Chaque éprouvette de l'essai est répertoriée par un code à barres composé de
caractères alphanumériques propres à l'entreprise. Ce code renseigne sur le fournisseur
(un caractère), le matériau (un caractère), le type d’essai (un caractère) et le numéro de
l'éprouvette (un chiffre compris entre 1 et 5).
Le code à barres retenu est le code "39". Ce code est constitué pour chaque caractère
alphanumérique, de 5 barres noires étroites ou larges séparées d'un espace blanc étroit
ou large. Une barre étroite correspond à la valeur binaire 0 et une barre large à la valeur
binaire 1. De même un espace étroit correspond à 0 et un espace large à 1. On code
donc un caractère alphanumérique sur 9 digits (5 barres et 4 espaces). Dans ce code, on
dénombre 2 barres noires larges et 1 espace blanc large, soit 3 valeurs de 1 parmi les 9.



Les digits sont regroupés en deux mots, l'un, B, de 5 bits (correspondant aux 5 barres
noires), l'autre, E, de 4 bits (correspondant aux 4 espaces blancs). On associe de plus à
chaque caractère alphanumérique une variable X. Voir tableau ci-dessous.
Chaque code est constitué d'un espace, d'un caractère de début, des caractères du code
proprement dit, d'un caractère de contrôle et d'un caractère de fin.
Le caractère de contrôle est tel que sa variable X est égale à la somme modulo 43 des
variables X des caractères de la partie considérée du code.

Code à barres « 39 »
B E X B E X
1 10001 0100 1 M 11000 0001 22
2 01001 0100 2 N 00101 0001 23
3 11000 0100 3 O 10100 0001 24
4 00101 0100 4 P 01100 0001 25
5 10100 0100 5 Q 00011 0001 26
6 01100 0100 6 R 10010 0001 27
7 00011 0100 7 S 01010 0001 28
8 10010 0100 8 T 00110 0001 29
9 01010 0100 9 U 10001 1000 30
0 00110 0100 0 V 01001 1000 31
A 10001 0010 10 W 11000 1000 32
B 01001 0010 11 X 00101 1000 33
C 11000 0010 12 Y 10100 1000 34
D 00101 0010 13 Z 01100 1000 35
E 10100 0010 14 - 00011 1000 36
F 01100 0010 15 . 10010 1000 37
G 00011 0010 16 Esp 01010 1000 38
H 10010 0010 17 * 00110 1000
I 01010 0010 18 $ 00000 1110 39
J 00110 0010 19 / 00000 1101 40
K 10001 0001 20 + 00000 1011 41
L 01001 0001 21 % 00000 0111 42

E.1. Pour ce qui suit, on ne tient pas compte des espaces et caractères de début et de fin.
Le code à barres à coller sur une éprouvette est le suivant :
?

Fournisseur Matière Essai N° éprouvette Contrôle
Compléter le tableau figurant sur la feuille réponse : donner pour chaque code à
barres et pour le caractère de contrôle les mots B et E, le caractère alphanumérique
correspondant et la valeur de X.

E.2. On s'intéresse maintenant au transcodeur permettant de passer pour les numéros
d'éprouvette du code "39" au code binaire naturel. Les chiffres utilisés pour le
numéro de l'éprouvette sont 1, 2, 3, 4 et 5. Les autres ne sont pas utilisés. Combien
un mot binaire naturel doit-il comporter de bits pour coder les chiffres de 1 à 5 ?



E.3. On note B = b4 b3 b2 b1 b0, E = e3 e2 e1 e0 et N = nn nn-1...n1 n0 le mot binaire naturel
de la question précédente. Donner les équations les plus simples possibles de :
nn, nn-1,.…n1 et n0 en fonction des bi et ei. Tous les bi et ei n'interviennent pas
forcément.

F- ÉTUDE DU CODEUR OPTIQUE
Objectif : Vérifier la précision sur la position de la traverse mobile.

La mesure du déplacement de la traverse et de sa Schéma du capteur incrémental
vitesse est réalisée grâce à un capteur incrémental C2
C1
500 positions dont le principe est donné ci-contre.
Le schéma représente partiellement le disque du 1 2
capteur incrémental et les deux cellules
photoélectriques C1 et C2.
Ce disque comporte une piste où
alternent des zones opaques Forme des signaux délivrés par les deux cellules
C1 et C2
(noires sur le schéma) et des zones Cellule C1: Signal S1
transparentes (blanches sur le 1
schéma). Les cellules C1 ou C2
(en gris sur le schéma) renvoient 0
un signal 1 ou 0 selon qu'elles se Cellule C2 : Signal S2
trouvent respectivement en face 1
d'une zone transparente ou d’une
zone opaque. 0
a b c d e f g
Les deux cellules C1 et C2 sont
T/4
placées de telle manière que les
T
signaux qu'elles délivrent sont
décalés d'un quart de période.

F.1. Donner l'état des signaux binaires S1 et S2 respectivement associés à C1 et C2
pour les zones a, b, c, d, e, f et g, correspondant au sens de déplacement de la
traverse vers le haut.

F.2. Le capteur incrémental utilisé sur la machine délivre 500 positions. Combien doit-
il y avoir de couples de zones (noir + blanc) sur la piste du disque ?

F.3. Le capteur incrémental est monté directement en bout de l'une des vis de
déplacement de la traverse dont le pas est de 5 mm. Avec quelle précision peut-
on connaître la position de la traverse ?



F.4. Une période correspond à l'intervalle T sur le schéma. L'intérêt de décaler les deux
signaux d'un quart de période est de pouvoir détecter le sens de rotation du
disque. Compte tenu de la forme proposée des signaux et de la position des deux
cellules C1 et C2, dans quel sens le disque tourne t-il (1 ou 2) ? Justifier la
réponse.

Afin de pouvoir mesurer des déplacements supérieurs au pas de la vis, on utilise un
compteur chargé de dénombrer le nombre de périodes détectées par le capteur
incrémental. Ce compteur, dont la variable associée est C, est mise à zéro quand les
signaux S1 et S2 sont tous les deux à zéro et quand la mesure commence. Il est ensuite
incrémenté quand S1 et S2 sont tous les deux à zéro.

Protocole de mesure du déplacement pendant un essai :
Déplacer la traverse jusqu'à ce que le capteur de charge détecte une charge
prédéterminée par l'utilisateur correspondant au début de mise en charge. Lorsque
cette charge est atteinte, la variable binaire dmc passe à 1.
Mettre l'origine des mesures à zéro ainsi que le compteur (C = 0).
Déplacer la traverse jusqu'à la condition imposée par l'utilisateur (charge
prédéterminée, rupture de l'éprouvette, arrêt volontaire…). Lorsque cette condition
est atteinte, la variable binaire arrêt passe à 1.
Arrêter l'essai.

Lorsque l'origine des mesures est mise à zéro, l'enregistrement de l'essai
commence (enregistrement du déplacement de la traverse et de l'effort 0
résultant). Il s'arrête quand les conditions imposées par l'utilisateur sont
atteintes. init

F.5. On demande de représenter sous forme de GRAFCET la mise à zéro 1 M
et l'incrémentation du compteur permettant au logiciel de calculer le
déplacement de la traverse pendant l'essai.
La mise à zéro du compteur est faite dès que dmc vaut 1 et que les
signaux S1 et S2 sont tous les deux à 0.
L'arrêt de l'enregistrement se produit lorsque arrêt vaut 1.
L’action à prendre en compte est M pour la commande moteur qui est monostable.
Les variables binaires à prendre en compte sont dmc, arrêt, S1, S2 et C.
Compléter le grafcet commencé sur la feuille réponse (où init représente les
conditions initiales qui ne sont pas à étudier). La simplicité de la solution proposée
sera appréciée du jury.

F.6. On réalise une mesure. Quand l'essai s'arrête, la variable compteur C est à 188, S1
et S2 sont respectivement à 0 et 1. De combien la traverse s'est-elle déplacée ?

FIN DE L’EPREUVE

(0) : Barres participant à la liaison
glissière de 1/0
(1) : Traverse supérieure
(2) : Vis à circulation de billes (1)

(3) : Axe de liaison au capteur de force
(4) : Capteur de force
(3)
(5) : Axe de liaison au bâti

Ci-contre la machine d’essai universelle
EM 550 de DELTALAB. Sa hauteur est
d’environ 1,8 m.
(5)

Ci-dessous, à droite, on peut voir l’axe de
liaison au bâti de la machine.

Ci-dessous, à gauche, on peut voir les
barres de guidage en translation de la
traverse.

(1) (5)

(4)

(3) (2)

(0) (0)

annexe 1

V i à bil ( )
s les 2'

Capt d' f t
eur ef or
Tr s (
aver e 1) C A A' C'

A xe de lai on
is
au capt d' f t
eur ef or
Y
V i à bil (
s les 2)
A xe de lai on
is
X au bâti

O O'

B B'

Bât (
i 0) Cour oi (
r e 6)
réducteur G al s de r
et envoi
+ non r és és
epr ent
m oteur

Poule cr ée
i ant G al s de r
et envoi
D i ète D
am r
E E'
V ue de des us du
s
B B'
s t e d' r nem ent
ys èm entaî
D D'

X
Poule m oti
i rce
Z

annexe 2

CONCOURS COMMUN 2003
DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES

Epreuve spécifique de Sciences Industrielles
(filière PCSI, option PSI)

Document réponse page 1 à 11

Coller ici l’étiquette correspondant à
l’épreuve spécifique. Compléter de plus en
bas de chaque page la rubrique code
candidat.

A- ETUDE CINEMATIQUE

A.1.
0 0
V2 / 1 20 p. 20 /( 2. )

A 0 0 ( x, y, z )

A.2.
0 0
V1 / 0 0 p. 20 /( 2. )
C 0 0 ( x, y, z )

Epreuve spécifique de Sciences industrielles PCSI – Document réponse page 1/11 Code candidat


A.3.
VC,1 / 0 VA ,1 / 0 car 1 est en liaison glissière par rapport à 0

VC,1 / 0 VA,1 / 2 VA , 2 / 0 Avec VA , 2 / 0 0

VC,1 / 0 VA,1 / 2 VA, 2 / 1

p. m
VC,1 / 0 .Y
2. .K

A.4.
Nm = 3000 tr/min m 100. rd/s

p = 5 mm = 0,005 m

0,005 x 100 x
VA ,1 / 0 0,00833 m / s = 0,5 m/min
60.

Cette vitesse est faible. Elle ne pose aucun problème particulier de construction.

A.5.

VI, V / E VI, V / 0 VI, E / 0
VI, V / 0 VO, V / 0 IO 20
dmoy Xv
dmoy
VI, V / 0 .ZV 20.YV
2
A
dmoy. 20 dmoy. m
VI, V / 0 .XV .XV
X 2 2.K
I
p. m
VI, E / 0 VA,1 / 0 .YV
t Zv 2. .K
Z
dmoy. m p. m
VI, V / E .XV .YV
2.K 2. .K



A.6.
2 2
0,0335 x 100. 0,005 x 100
VI, V / E 0,175 m / s 10,53 m / min
2 x 30 2 x 30

Cette vitesse de glissement est très importante. C’est pourquoi le constructeur
a choisi une vis et un écrou à circulation de billes qui évite le frottement de
glissement et qui améliore beaucoup le rendement de la liaison glissière
hélicoïdale.

A.7.

Le choix d’un réducteur roue et vis sans fin se justifie ici car :
Il permet une grande réduction (ici 30) sous un encombrement
relativement faible.
Il est irréversible. Ce qui permet à la traverse de ne pas descendre sous
son propre poids. On rappelle que le sujet précise que les vis à
circulation de billes sont réversibles.

A.8.

L’utilisation de deux vis à billes permet d’équilibrer les efforts sur la machine.
Une seule vis entraînerait des problèmes d’arc boutement.

A.9.

L’utilisation de poulies et d’une courroie crantées permet de réaliser un parfait
synchronisme entre les angles de rotation des deux vis à billes (pas de
glissement possible). La traverse reste donc parfaitement horizontale pendant
son déplacement.



B- ETUDE STATIQUE

B.1.
V2 / 1 T1 2 0

0 0 0 0
20 p. 20 /2 Y12 M12 0
A 0 0 [R ] A 0 0 [R ]

p
20 .M12 . 20.Y12 0
2.
p.Y12 0,005 x 25000
M12 19,89 m.N
2. 2.

B.2.
Le brin de la courroie (C) compris entre E et E’ est en équilibre sous l’action
de deux forces. Celles-ci sont de même support (EE’), de même intensité et
de sens opposé. Donc EC 2 E 'C 2' T.X

En projection sur Y , la somme des moments appliqués à 2 est nulle. Donc
D D 2 M12
M12 DC 2 T 0 DC 2 T
2 2 D
En projection sur Y , la somme des moments appliqués à 2’ est nulle. Donc
D D D
M '12' DC 2 T 0 M '12' T M12 T
2 2 2
2 T D
DC 2 T T T 2 T
D 2

B.3.
L’ensemble 2 (vis + poulie) est en équilibre statique sous l’action de :

X 02 L02
T0 S Y 02 0
O Z02 N 02 [R ]



B.3. (suite)

0 0 0 0 0 0
T1 2 Y12 M12 * Y12 Y12 M12
O 0 0 0 0 [R ] O 0 0 [R ]

2 T 0 0 2 T T 0 0 T
TC 2 0 0 yB 0 0 0 yB 0
O 0 0 D/2 0 [R ] O 0 0 D/2 0 [R ]

3 T 0
TC 2 0 T D/2
O 0 3 T yB [R ]

B.4.
(1) X02 + 3.T = 0
(2) Y02 + Y12 = 0
(3) Z02 = 0
(4) L02 = 0
(5) M12 + T.D/2 = 0
(6) N02 – 3.yB.T = 0

B.5.

M12 . 2 20 x 2
(5) T 561 N
D 0,0713
(1) X02 = - 3.T= -3 x (-561) = 1683 N
(2) Y02 = -Y12 = - 25000 N
(3) Z02 = 0 N
(4) L02 = 0 N
(6) N02 = 3.yB.T = 3 x (-0,08) x (-561) = 134,64 N.m



C- ETUDE D’UNE SOLUTION TECHNIQUE

C.1.

dF p.ds.n

F p.ds. cos .y p.ds.sin .z Or p.ds.sin .z 0

/2 /2 /2
D D
F (p.ds. cos ) p. .d .L. cos p. .L. cos .d
/2 /2 2 2 /2

D /2
F p. .L. sin /2 p.D.L.
2

(On reconnaît le produit D.L comme étant la surface projetée).

C.2.

F 50000
D min i 0,025 m
p.L. 100 .10 6 x 0,02

Soit : Dmini = 25 mm


C.3.
Positionner l'éprouvette F o rm e en U d e la p ièc e B
dans la pièce B A ssem b lag e cy lin d riq ue
Transmettre un effort
perpendiculairement
à l'éprouvette dans une
direction L iaiso n co m p lète d ém on ta ble
Lier la pièce B au bâti A ssem bla ge cy lind riqu e
et g ou p ille rad iale

positionner l'éprouvette
A ssem b lag e cy lin d riq ue
dans la pièce A

Charger des
éprouvettes de Transmettre un effort
différents diamètres perpendiculairement L iaiso n co m p lète d ém on ta ble
perpendiculairement à l'éprouvette dans la Lier la pièce A au bâti A ssem bla ge cy lind riqu e
et g o up ille rad iale
à leur axe direction opposée
longitudinal

Epreuve spécifique de Sciences industrielles PCSI – Document réponse page 7/11
Déplacer la traverse C h aîn e cin ém atiq u e
mobile d e la m ach in e

Code candidat
S'adapter aux P ièc es d'a da pta tion D et G
diamètres des N oix en d eu x p arties
éprouvettes


C.4.

Matériau : Pièce en acier car le prix est faible et la résistance comme la dureté
sont importante

C.5.

La noix est réalisée en deux parties pour permettre de sortir aisément l’axe testé
de la noix (problème de bavures et/ou de déformations)

C.6.

Le trou réalisé dans la pièce (A) est oblong pour permettre le montage de l’axe
à tester sans devoir positionner la traverse de la machine à une position très
précise.



D- ETUDE DE L’ASSERVISSEMENT EN EFFORT

D.1. Fonction de transfert Sortie du bloc

H1(p)

H2(p)

H3(p)

H4(p)

H5(p)

H6(p)

D.2.

(1.3.30 . 0,5.1. 2 . )
1 ( . p . 6 . 0,005) 1 (90 . .10000)
G ( p) . .
10000 1 (1.3.30 . 0,5.1. 2 . .1) 10000 (300 . . p 90 . )
( . p . 6 . 0,005.10000)

1
G (p) (Système du premier ordre).
1 1,061. . p

D.3.
F(t) en kN
50

40

30

20

10
t en s
0 0,2 0,6 1 1,4 1,8



E- ETUDE D’UNE IDENTIFICATION PAR CODE BARRES

E.1.

Fournisseur Matière Essai N° éprouvette Contrôle

B/E 10001 0010

Car. A

X 10

E.2.
510 = 1012 Il faut trois bits

E.3.

b4 b3 b2 b1 b0 e3 e2 e1 e0 n2 n1 n0

1

2

3

4

5

On voit aisément que dans notre cas particulier, les colonnes n0, n1 et n2
correspondent respectivement aux colonnes b4, b3 et b2 donc :

n2 = b2
n1 = b3
n0 = b4



F- ETUDE DU CODEUR OPTIQUE

F.1. F.2.
Zone S1 S2
a
b Avec un couple de zones, on peut
c déceler 4 positions, il faut donc :
d 500 / 4 = 125 couples de zones.
e
f
g

F.3. F.5.
1
Pré = 5 = 0,01 mm
500
0

F.4. init
Sens 2
Dans le sens 2, la cellule C1 renvoie 0
et le signal de la cellule C2 est en train 1 M
de passer de l'état 1 à l'état 0. Si l'on
tourne d'un quart de période, la cellule dmc./S1./S2
C1 sera en phase montante de signal et
la cellule C2 sera à l'état 0.
Ce qui correspond bien au cycle 2 C:=0 M
proposé.
S1
F.6.
1
Dep = 188.5. +11.0,01=7,53 mm. 3 M
125

/S1./S2
(1) : Après l'incrémentation du
compteur, le capteur a tourné
4 C:=C+1 M
d'un pas puisque l'incrémentation
se fait pour S1S2 = 00 et qu'au
pas suivant, S1S2 = 01 /arret arret


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