1. เรื่อง ลิมิตของลำดับ
แบบฝึกหัดที่ 9
คำชี้แจง ให้นักเรียนเขียนกราฟเพื่อตรวจสอบดูว่าลาดับใดเป็นลาดับลู่เข้า(ลาดับคอนเวอร์เจนต์)
ลาดับใดเป็นลาดับลู่ออก(ลาดับไดเวอร์เจนต์)ถ้าเป็นลาดับลู่เข้า(ลาดับคอนเวอร์เจนต์) จงหาลิมิต
1) an  11
2n
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 128
1
1
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1
เป็นลาดับ................................................. lim n 1
 ........................
n
2
2) an  (1) n 1
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1 -1 1 -1 ........ ........ ........ ........
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1

2. เป็นลาดับ................................................. lim (1) n1  ........................
n
1
3) an  n
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1 1 1 1 ........ ........ ........ ........
2 3 4
1
1
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1
เป็นลาดับ................................................. lim n  ........................
n
4) 1

an  2 1   1
n 1

n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1 0 1 0 ........ ........ ........ ........
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
เป็นลาดับ................................................. lim 2 1   1n1   ........................
1
n

3. n
5
5) a   
 4
n
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1.25 1.56 1.95 ........ ........ ........ ........ ........
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
n
5
เป็นลาดับ................................................. lim    ........................
n 
 4
6) an  1 n
n
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1 0 1 0 ........ ........ ........ ........
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
เป็นลาดับ................................................. lim 1 n  ........................
n
n

4. เฉลย แบบฝึกหัดที่ 9
คำชี้แจง ให้นักเรียนเขียนกราฟเพื่อตรวจสอบดูว่าลาดับใดเป็นลาดับลู่เข้า(ลาดับคอนเวอร์เจนต์)
ลาดับใดเป็นลาดับลู่ออก(ลาดับไดเวอร์เจนต์)ถ้าเป็นลาดับลู่เข้า(ลาดับคอนเวอร์เจนต์) จงหาลิมิต
1) an  11 n
2
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 128
1 
1

2 
   
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1
เป็นลาดับ.......คอนเวอร์เจนต์.......................... lim n 1
0
n 
2
2) an  (1) n 1
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1
1    
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1    
เป็นลาดับ.....ไดเวอร์เจนต์......... lim (1) n1  
n

5. 3) an  1
n
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 4 5 6 7 8
1 
1

2 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1
เป็นลาดับ...........คอนเวอร์เจนต์.................. lim n  0
n 
4) an  1 1   1n1 
2
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1 0 1 0 1 0 1 0
1    
   
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
เป็นลาดับ.............ไดเวอร์เจนต์................ lim 2 1   1n1   
1
n 

6. n
5
5) a   
 4
n
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1.25 1.56 1.95 2.44 3.05 3.81 4.77 5.96

3  

2  
1 

0 1 2 3 4 5 6 7 8
n
5
เป็นลาดับ..............ไดเวอร์เจนต์.............. lim   

 4
n
6) an  1 n
n
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an -1 2 -3 4 -5 6 -7 8
4 

0 1
 2 3 4 5 6 7 8

-4 
เป็นลาดับ.............ไดเวอร์เจนต์............. lim 1 n  
n
n

7. แบบฝึกหัดที่ 10
คำชี้แจง จงใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของลาดับ ตรวจสอบว่าลาดับในข้อใ ดเป็นลาดับ
คอนเวอร์เจนต์หรือลาดับไดเวอร์เจนต์
3  1 
1) a n
 4) a  5 n 
2 
n
5n
3 3 1 n
lim 5n   5 lim n

n  n
 1  1
lim 5 2 n   5 lim  2 
n    n   
= 
3
0
5 = ……………… 1 1
= …………... 2
= ……………
เป็นลาดับ................................ เป็นลาดับ................................
n
2) a 2
n n
5) 2
3 a n
 1
n
n n
2
lim 2  lim  3 
  
n
2
lim (1  n )  lim1  2 lim
1

n
3 n

n  n
n

n
= ……………… 2 1
3 = ……………
= ……………
เป็นลาดับ................................
n
เป็นลาดับ................................
4
3) a   
3 4n  3
n
6) a n

3n
n n
4 4
lim   3    lim  3 
  n   
4n  3  4n 3 
n 
lim  lim   

n 3n n   3n 3n 
= ……………… 4  1
3
 lim
4n
 lim
3
n  3n
3n
เป็นลาดับ................................ n 

8. 4
 lim  lim
1
n  3
n 
n 4n 2  1
9) an 
= …………… 3n  n 2
= ……………
 1 
n2  4  2 
เป็นลาดับ................................ =  n 
3 
n 2   1
n 
3  5n 2
7) an  n2
1
4
= n2
3  5n 2  3 5n 2 
lim n 2  lim  2  2 

3
1
n n   n n   n
3 1
 lim  4
n 2 lim
5 4n  1
2
n  n   lim n2
lim 3n  n
 n  3
n
1
n
1
 3 lim  = …………………………
n  n 2 lim 5
n 
= …………… = …………………………
= …………… เป็นลาดับ..................................................
n 2  2n  1
เป็นลาดับ................................ 10) an  2n 2  1
3n 2  2n  1
8) an   2 1 
n 2 1   2 
n2
=  n n 
 1 
3n 2  2n  1  3n 2 2n 1  n2  2  2 
lim 2
 lim  2  2  2
 
  n 
n   n n n 

n
n = …………………
2 1 n 2  2n  1
 lim 3  lim  lim 2
n  n  n n  n lim 2n 2  1  ...............................
n
= …………………
= …………… = …………………
= ……………
เป็นลาดับ................................ เป็นลาดับ..................................................

9. เฉลยแบบฝึกหัดที่ 10
คำชี้แจง จงใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของลาดับ ตรวจสอบว่าลาดับในข้อใดเป็นลาดับ
คอนเวอร์เจนต์หรือลาดับไดเวอร์เจนต์
3 4
n
4
n
1) a n

lim   3    lim  3 
5n n    n   
3 3 1
lim 5n   5 lim n

n  n =∞ 4
1
3
= 
3
0 เป็นลาดับ ไดเวอร์เจนต์
5
=0
 1 
4) a  5 n 
2 
n
เป็นลาดับ คอนเวอร์เจนต์
n
n  1  1
2) a 2
n n
lim 5 2 n   5 lim  2 
n    n   
3
1
n
2
n = 5(0) 1
lim 2 n
 lim  
n   3 
2

n
3 = 0
=0 2
1 เป็นลาดับคอนเวอร์เจนต์
3
เป็นลาดับ..คอนเวอร์เจนต์
2
5) a n
 1
n
n
4
3) a n   3  2 1
  lim (1  n )  lim1  2 lim

n  n
n 
n

10. 1
 3 lim 
n 2 lim 5
= 1 – 2(0) n  n 
=1 = 3(0) - 5
= 0 – 5 = -5
เป็นลาดับ คอนเวอร์เจนต์. เป็นลาดับคอนเวอร์เจนต์
3n 2  2n  1
8) an 
4n  3 n2
6) a n

3n
3n 2  2n  1  3n 2 2n 1 
lim 2
 lim  2  2  2
 

4n  3  4n 3  
n
n n   n n n 
lim  lim   

n 3n n   3n 3n 
2 1
 lim 3  lim  lim 2
3 n  n  n n n
4n
 lim  lim
n  3n
n
3n
 = 3–0-0
=3
4
 lim  lim
1
n  3
n เป็นลาดับคอนเวอร์เจนต์
n 
4
= 0
3
4n 2  1
= 4 9) an  3n  n 2
3
 1 
n2  4  2 
=  n 
เป็นลาดับคอนเวอร์เจนต์
3 
3  5n 2 n 2   1
7) a  n 
n
n2
1
3  5n 2  3 5n 2  4
lim n 2  lim  2  2 
 = n2
n n   n n   3
1
n
3
 lim 
n 2 lim
5
n  n 

11. 1
4
4n  1
2
n2
lim 3n  n  lim
 n  3
n
1
n
40
=
0 1
= -4
เป็นลาดับคอนเวอร์เจนต์
n 2  2n  1
10) an  2n 2  1
 2 1 
n 2 1   2 
=  n n 
 1 
n2  2  2 
 n 
2 1
 21
= n n
1
2 2
n
1 1
1  2
n  2n  1
2
n n
lim 2n 2  1  .lim
n  n  1
2 2
n
1 0  0
=
20
1
=
2
เป็นลาดับคอนเวอร์เจนต์