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3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES

En este capítulo se presentan algunas de las aplicaciones tanto físicas como
geométricas de las integrales múltiples, específicamente para las integrales dobles y
para las integrales triples.



                              3.1 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES

                              Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las
                              aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se
                              encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de
                              volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas
                              están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas,
                              centros de masa y momentos de inercia para una región
                              bidimensional.


                              3.1.1. ÁREA DE UNA FIGURA PLANA

                              En el capítulo 1 de este trabajo, se explicó el significado intrínseco
                              de la integral doble de una función f positiva en una región
                              bidimensional D,    ∫∫ f ( x, y ) dA ,
                                                    D
                                                                       como el volumen del sólido S

                              definido sobre la región D y bajo la gráfica de la función f . Ahora,

                              si se considera que f ( x, y ) = 1 , entonces la integral anterior queda

                              como:

                                                        ∫∫ f ( x, y ) dA = ∫∫
                                                          D                       D
                                                                                      dA               (III.1)
Recuerde que la integral
doble      f ( x, y ) dA ,
            ∫∫                Por lo tanto, empleando la definición de la integral doble, se tiene
                D
también puede escribirse
como                          que:
        n   m
Lim ∑∑ f ( xi* , y j* )∆Aij                                              n    m

                                                        ∫∫    dA = Lim ∑∑ ∆Aij
P →0
       i =1 j =1
                                                                                                       (III.2)
                                                          D       P →0
                                                                         i =1 j =1



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                        donde ∆Aij es el área del rectángulo genérico denotado Dij , el

                        cual puede observarse en la figura 3.1

                                     y
                                                                   xi
                                                                            (xi*,yj*)
                                 d = ym


                                     yj
                                                             Dij                                    yj
                                    yj-1            D


                                  c = y0
                                           a = x0          xi-1        xi               xn= b
                                                                                                x

                                                          Figura 3.1
                                           Región D dividida en subrectángulos Dij



                        En otras palabras, la integral      ∫∫D
                                                                  dA representa el volumen de un

                        sólido de sección transversal constante, cuya base es la región D
                        y cuya altura es igual a la unidad. Para un sólido con estas
                        características, el volumen se obtiene como el producto del área
                        de la base y la altura del mismo.

                        A partir de todo lo anterior, se define el cálculo del área de una
                        región plana.


                                               ÁREA DE UNA FIGURA PLANA

                            Sea D una región bidimensional D , tal que D ⊆                      2
                                                                                                    . Sea A el
                            área de la región D , entonces:

                                                          A = ∫∫ dxdy                                    (III.3)
                                                                   D




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Recuerde que una región             Observe que si la región D es de tipo 1, la ecuación anterior
D es de tipo 1 si se
cumple:                             queda como:

  ( x, y ) a ≤ x ≤ b ∧                                                                g( x)                          g ( x)
                                                                                                                [ y ] f ( x ) dx
                                                                                b                           b
  
D=
                                
                                                                       A=∫         ∫            dydx = ∫                                       (III.3)
  
          f ( x ) ≤ y ≤ g ( x )
                                                                               a       f ( x)              a


                                                                                b
                                                                        A = ∫  g ( x ) − f ( x )  dx                                          (III.4)
                                                                             a                   

                                    Donde la última integral, representa el área comprendida entre las
                                    gráficas de y = f ( x ) y y = g ( x ) en el intervalo cerrado [ a,b ] . Esta

                                    integral se estudia en la asignatura Análisis Matemático II, dentro
                                    de las aplicaciones de la integral definida.




  EJEMPLO 3.1                       Dibuje la región D y calcule su área, empleando las integrales

                                    dobles:   ∫∫
                                               D
                                                    dxdy y        ∫∫
                                                                   D
                                                                       dydx , D =          { ( x, y ) x ≥ y        2
                                                                                                                       − 2y ∧        x ≤ 4 − y2   }
                                    Solución:

                                    La región D se encuentra acotada por las gráficas de las
                                    parábolas horizontales x = y 2 − 2 y y x = 4 − y 2 , tal como se puede
                                    observar en la siguiente figura.



 Recuerde que la gráfica                           x = y2 − 2 y
 de la ecuación:
                                                                                    D
     x = ay 2 + by + c
      Es una parábola
         horizontal




                                                                                                                                   x = 4 − y2



                                                                                    Figura 3.2
                                                                       Región       D del ejemplo 3.2
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                             a) Para calcular el área de la región por medio de la integral doble

                             ∫∫D
                                   dxdy , es necesario definir los límites de integración, que se

                             ilustran en la figura 3.3




                                                                                  D
Observe que la región D
es una región tipo 2, por
lo cual el área se obtiene            Valor de x a                                                                     Valor de x a
empleando una sola                  la entrada de D                                                                   la salida de D
integral doble      de la            x = y2 − 2 y                                                                       x = 4 − y2
forma
       ∫∫D
           dxdy  .




                                                                                   Figura 3.3
                                             Región   D del ejemplo 3.1 como una región tipo 2


                             Por tanto el área se obtiene como:

                                                          2        4− y 2                 2
                                                    A=∫        ∫       2
                                                                                dxdy = ∫  4 − 2 y 2 + 2 y  dy = 9
                                                                                                          
                                                          −1       y       −2 y         −1




                                                                                A = ∫∫ dxdy = 9
                                                                                      D




                             b) Cuando se desea calcular el área D con el orden de integración
Para la primera curva:
        x = y2 − 2 y         inverso, esto es A = ∫∫ dydx , entonces, se necesita conocer las
Se tiene que:                                                               D

      y = 1± 1+ x            ecuaciones de las curvas en función de la variable x y además
                             identificar los límites de integración, que a continuación se
Para la segunda curva:
        x = 4 − y2           muestran en la figura 3.4
entonces:
      y = ± 4− x




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                                         Valor de y a                                Valor de y a
                                        la salida de D1                  x=0
                                                                                    la salida de D2
                                            y = 1+ 1+ x                                 y = 4− x


                                                                                                   x=3    Valor de y a
En este caso, la región D                                                                                la salida de D 3
queda dividida en tres
                                                                                                            y = 4− x
regiones      tipo      1,
identificadas como: D1,
D2 y D3..
                                                          D1

                                                                             D2


                                         Valor de y a                                                        D3
                                       la entrada de D1
                                            y = 1− 1+ x

                                                                                 Valor de y a
                                                                               la entrada de D2                    Valor de y a
                                                                                                                 la entrada de D3
                                                                                y = 1− 1+ x
                                                                                                                    y = − 4− x
                                                                             Figura 3.4
                                      Región D del ejemplo 3.1 como tres regiones tipo 1


                             Entonces D = D1 ∪ D2 ∪ D3 , donde:


                                        {( x, y ) − 1 ≤ x ≤ 0 ∧ 1 − 1 + x ≤ y ≤ 1 + 1 + x }
                                     D1 =

                                      D = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 3 ∧ 1 − 1 + x ≤ y ≤ 4 − x }
                                        2


                                      D = {( x, y ) 3 ≤ x ≤ 4 ∧ − 4 − x ≤ y ≤ 4 − x }
                                            3



                             Así: A = ∫∫ dydx + ∫∫ dydx + ∫∫ dydx
                                       D1                  D2                  D3


                                                 0       1+ 1+ x                3         4− x               4        4− x
                                        A=∫          ∫             dydx + ∫         ∫             dydx + ∫       ∫            dydx
                                                 −1 1− 1+ x                     0       1− 1+ x              3       − 4− x




                                                                         (                               )
                                            0                        3                                                   4
Al comparar los dos                A = ∫ 2 1 + xdx + ∫                       4 − x − 1 + 1 + x dx + ∫ 2 4 − xdx
cálculos de área de la                  −1                          0                                                   3
región D del ejemplo 3.1,
resulta   mucho      más
sencillo   emplear     la                                                    4 19 4
integral
          ∫∫  dxdy que                                               A=       + + =9
            D                                                                3 3 3
con el orden inverso.


                                                                         A = ∫∫ dydx = 9
                                                                                    D



UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
80
Geraldine Cisneros                                                    Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

  EJEMPLO 3.2             Dada la región D , determine las ecuaciones de las curvas que la
                          limitan y calcule su área empleando las integrales dobles:                ∫∫D
                                                                                                          dxdy

                          y   ∫∫
                               D
                                   dydx .

                                                                                  C2




                                                C1

                                                                                       C3
                                                          D




                                                                 Figura 3.5
                                                        Región   D del ejemplo 3.2


                          Solución:

                          Las ecuaciones de las curvas que limitan a la región D son:
Las ecuaciones de las
curvas en función de la                              C1 : y = 16 x + 20
variable y son:
           y − 20
C1 : x =
             16                                      C2 : y = −2 x + 20       y
           20 − y
C2 : x =
              2
               y
                                                     C3 : y = 4 x 2
C1 : x = ±
              2
                          a) Para el cálculo del área de la región D por medio de la integral
                          doble     ∫∫D
                                          dxdy , se necesita saber que valor toma la variable x a la

                          entrada y salida de la región. En la figura 3.6 se pueden observar
                          estos valores.




UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
81
Geraldine Cisneros                                                                          Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

                                           Valor de x a
                                                                                                                            Valor de x a
                                         la entrada de D3
                                                                                                                           la salida de D3
La región D no es una                                y − 20
región tipo 2, sin                            x=                                                                                      20 − y
                                                       16                                      D3                                x=
embargo se puede dividir                                                                                                                2
en tres regiones: D1, D2
y D3., que sí lo son. Por
esta razón, para resolver                              y = 16
la     integral     doble                                                                                                    Valor de x a
                                  Valor de x a
∫∫D
      dxdy    se    debe        la entrada de D2                                      D2                                    la salida de D2

emplear la propiedad                    y − 20                                                                                            y
                                   x=                                                                                             x=
aditiva respecto a la                     16                                                                        y=4                  2
región de integración.

                                Valor de x a                                                                                Valor de x a
                              la entrada de D1                           D1                                                la salida de D1
                                         y                                                                                           y
                                 x=−                                                                                           x=
                                        2                                                                                           2



                                                                               Figura 3.6
                                        Región         D del ejemplo 3.2 como tres regiones tipo 2


                            Como D = D1 ∪ D2 ∪ D3 , entonces: A = ∫∫ dxdy + ∫∫ dxdy + ∫∫ dxdy
                                                                                                         D1                      D2            D3


                            donde:
                                                   
                                                                              y      y                              
                                                                                                                     
                                              D1 = ( x, y )              −      ≤x≤                      ∧ 0 ≤ y ≤ 4
                                                   
                                                                             2      2                               
                                                                                                                     
                                                  
                                                                         y − 20      y                                
                                                                                                                       
                                             D2 = ( x, y )                      ≤x≤                      ∧ 4 ≤ y ≤ 16 
                                                  
                                                                           16       2                                 
                                                                                                                       
                                                                       y − 20     20 − y                                   
                                        D3 = ( x, y )                         ≤x≤                            ∧ 16 ≤ y ≤ 20 
                                                                         16         2                                      

                                                                  y                           y                         20 − y
                                                       4                          16                           20
                                             A=∫           ∫     2
                                                                   y
                                                                       dxdy + ∫        ∫     2
                                                                                           y − 20   dxdy + ∫        ∫      2
                                                                                                                        y − 20   dxdy
                                                      0        −                  4                           16
                                                                  2                         16                           16



                                                 4           16  y y − 20         20  45 9y 
                                       A=∫            ydy + ∫     −        dy + ∫16  −  dy
                                                             4  2    16 
                                               0
                                                                                      4 16 

                                                                              16 157 9
                                                                        A=       +   + = 36
                                                                               3   6  2


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                                                                       A = ∫∫ dxdy = 36
                                                                                       D




                            b) En la figura 3.7 se muestran los límites de integración para la
                            integral interna de A = ∫∫ dydx .
                                                                   D

                                                                                                 Valor de y a
                                                                                                la salida de D2
                                                                                                 y = −2 x + 20


                                                  Valor de y a
La región D puede                                la salida de D1                           D2
dividirse en dos regiones                          y = 16 x + 20
tipo 1, identificadas
como: D1 y D2 ; es decir:
 D = D1 ∪ D2


                                                                                                            Valor de y a
                                                                                                          la entrada de D2
                                                                  D1                                             y = 4x2

                                                 Valor de y a
                                               la entrada de D1
                                                    y = 4x2                                x=0

                                                                                Figura 3.7
                                       Región D del ejemplo 3.2 como dos regiones tipo 1


                            Luego: A = ∫∫ dydx + ∫∫ dydx , donde:
                                            D1                D2



                                          D1 =  {( x, y )         − 1 ≤ x ≤ 0 ∧ 4 x 2 ≤ y ≤ 16 x + 20                       }
                                          D2   = {( x, y )         0 ≤ x ≤ 2 ∧ 4 x2                          ≤ y ≤ −2 x + 20}

                                                              0        16 x + 20                  2       − 2 x + 20
                                                     A=∫           ∫        2
                                                                                   dydx + ∫           ∫                dydx
                                                              −1       4x                        0        4 x2




                                A = ∫ (16 x + 20 − 4 x 2 ) dx + ∫                      ( −2 x + 20 − 4 x ) dx = 32 + 76 = 36
                                      0                                            2
                                                                                                                       2
                                     −1                                            0                             3    3


                                                                       A = ∫∫ dydx = 36
                                                                                       D




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  EJEMPLO 3.3               Calcule, empleando integrales dobles, el área comprendida entre
                            dos círculos concéntricos de radios 2 y 4.

                            Solución:

                            Considere una corona circular con centro en el origen del sistema
                            de coordenadas tal como se observa a continuación.


La región D planteada en
el ejemplo 3.3 recibe el
nombre      de     corona
                                        x2 + y2 = 4
circular, y su área es:
          (
     A = π R2 − r 2)
donde
R: Radio externo
r: radio interno




                                                          D
                                                                                           x 2 + y 2 = 16




                                                               Figura 3.8
                                                      Región   D del ejemplo 3.3


                            Como A = ∫∫ dydx y la región D es simétrica respecto al origen,
                                         D

                            entonces para simplificar el cálculo de área, sólo se evaluará
                            A1 = ∫∫ dydx , donde A1 es el área de la región D que se encuentra
                                  D1


                            en el primer cuadrante, denotada como D1 , de manera que:


                                                                A = 4 A1

                            La región denotada como D1, se muestra en la figura 3.9.




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                                                                      Valor de y a
                                                                    la salida de D1.A
                                                                     y = 16 − x 2

                                                                                          x=2
                                                                                                              Valor de y a
Para calcular el área de la                                   D1.A                                          la salida de D1.B
región D1, se puede
dividirla en dos regiones
                                                                                                              y = 16 − x 2
tipo 1:
D1 = D1.A ∪ D1.B

                                                                                         D1.B

                                                            Valor de y a
                                                         la entrada de D1.A
                                                              y = 4 − x2


                                                                                                                   Valor de y a
                                                                                                                la entrada de D1.B
                                                                                Figura 3.9                               y=0

                                                              Región D1 del ejemplo 3.3



                              Luego: A1 = ∫∫        dydx + ∫∫                dydx , donde:
                                            D1. A                    D1. B




                                           {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2 ∧
                                       D1.A =                                                   4 − x 2 ≤ y ≤ 16 − x 2                }
                                          D = {( x, y ) 2 ≤ x ≤ 4
                                           1.B                                            ∧ 0 ≤ y ≤ 16 − x 2                      }
                                                                2        16 − x 2               4           16 − x 2
                                                     A1 = ∫         ∫               dydx + ∫        ∫                  dydx
                                                                0       4− x2                  2        0



                                           A1 = ∫
                                                     0
                                                      2
                                                          (   16 − x 2 − 4 − x 2 dx + ∫     )                    2
                                                                                                                  4
                                                                                                                        16 − x 2 dx

                                                               π           8π                                     
                                                    A1 =  2 3 +  +  −2 3 +                                         = 3π
                                                               3            3                                     


                                                                        A = ∫∫ dydx = 12π
                                                                                    D




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                        3.1.2. VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO

                        En el capítulo 1 de este trabajo, se determinó que la integral

                        ∫∫ f ( x, y ) dA
                          D
                                           representa el volumen del sólido S definido sobre la

                        región D y bajo la gráfica de la función f ; sin embargo, la integral
                        doble también puede emplearse para determinar el volumen de un
                        sólido más general.


                                        VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO

                              Sean f :      2
                                                 →     y g:    2
                                                                   →     dos funciones reales, continuas

                              en una región bidimensional D , tales que f ( x, y ) ≤ g ( x, y )

                              ∀ ( x, y ) ∈ D .       Sea   V       el   volumen      del       sólido   acotado

                              superiormente por la gráfica de la función g y acotado
                              inferiormente por la gráfica de la función f, entonces:

                                                       V = ∫∫  g ( x, y ) − f ( x, y )  dA              (III.5)
                                                             D                         




  EJEMPLO 3.4           Dibuje el sólido S acotado por las superficies: z = 2 x 2 + y 2 y

                        z = 20 − x 2 − y 2       y plantear su volumen empleando integrales

                        dobles.

                        Solución:

                        En la figura 3.10 se muestra el sólido S de este ejemplo, donde la

                        superficie superior es z = 20 − x 2 − y 2 y la superficie inferior viene

                        dada por la ecuación z = 2 x 2 + y 2 .




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                                                                                Valor de z a
                                                                               la salida de S
                                                                           z = 20 − x 2 − y 2



La superficie definida por
la ecuación:
    z = 20 − x2 − y 2
Es una semiesfera (parte
superior).                                                                 S
La superficie definida por                                                            Valor de z a
la ecuación:                                                                        la entrada de S
     z = 2 x2 + y 2                                                                 z = 2 x2 + y2
Es un cono .




                                                                Figura 3.10
                                                        Sólido S del ejemplo 3.4


                             El volumen del sólido S, mostrado en la figura anterior, se obtiene
                             mediante la integral doble:

                                              V = ∫∫  20 − x 2 − y 2 − 2 x 2 + y 2  dA
                                                    D                              

                             donde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta
                             proyección, para este ejemplo, resulta ser un círculo con centro en
                             el origen, al que se obtiene en la intersección de las dos
                             superficies:

                                        z = 2 x2 + y 2
                                       
                                                                ⇒ 2 x 2 + y 2 = 20 − x 2 − y 2
                                        z = 20 − x 2 − y 2
                                       

                                            4 ( x 2 + y 2 ) = 20 − x 2 − y 2     ⇒ x2 + y 2 = 4

                             Entonces:

                                                       D=   {( x, y )    x2 + y 2 ≤ 4    }
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                                                                                          Valor de y a
                                                                                         la salida de D
                                                                                          y = 4 − x2



Donde D es una región
tipo 1 y también tipo 2,
pero en este ejemplo se
trabaja como una región
tipo 1.

                                                                    D




                                                                                      Valor de y a
                                                                                    la entrada de D
                                                                                      y = − 4 − x2

                                                                        Figura 3.11
                                                             Región      D del ejemplo 3.4


                            Es decir, D =   {( x, y )        − 2 ≤ x ≤ 2 − 4 − x2 ≤ y ≤ 4 − x2              }
En el siguiente capítulo,   Volviendo a la integral de volumen, se tiene que:
se     mostrará    como
resolver una integral de                         2         4− x2
                                         V =∫                        20 − x 2 − y 2 − 2 x 2 + y 2  dydx
este tipo, empleando un
cambio     de    variable                        −2   ∫   − 4− x2                                 
apropiado.

                            Ahora, para resolver esta integral se requiere un procedimiento
                            muy riguroso y largo, por lo cual a continuación sólo se presenta el
                            resultado de esta integral, el cual fue obtenido con software
                            matemático:


                            V = ∫∫  20 − x 2 − y 2 − 2 x 2 + y 2  dA = 19, 77678464
                                  D                              




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                        Dibuje el sólido S acotado por las superficies: z = 4 + xy y z = 1 y
  EJEMPLO 3.5
                        dentro del cilindro x 2 + y 2 ≤ 1 , calcule su volumen empleando
                        integrales dobles.

                        Solución:

                        En la figura siguiente se aprecia el sólido S, acotado por las
                        superficies z = 4 + xy y z = 1 y dentro del cilindro x 2 + y 2 ≤ 1 .


                                                        Valor de z a
                                                       la salida de S
                                                         z = 4 + xy




                                                                  S                    x2 + y 2 = 1




                                                         Valor de z a
                                                       la entrada de S
                                                             z =1


                                                          Figura 3.12

                                                  Sólido S del ejemplo 3.5


                        El volumen del sólido S, se obtiene mediante la integral doble:

                                           V = ∫∫ [ 4 + xy − 1] dA = ∫∫ [3 + xy ] dA
                                                  D                      D



                        donde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta
                        proyección, se observa en la figura 3.13




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                                                                       D
En este ejemplo, la
región D es de tipo 1 y
también tipo 2, pero se               Valor de x a                                                      Valor de x a
trabaja como una región             la entrada de D                                                    la salida de D
tipo 2.
                                     x = − 1− y2                                                        x = 1− y2




                                                                           Figura 3.13
                                                              Región D del ejemplo 3.5


                          En este caso, la región D se define como:

                                         D=      {( x, y )           − 1− y2 ≤ x ≤ 1− y2           −1 ≤ y ≤ 1    }
                          Por lo tanto la integral de volumen queda como:

                                                            1− y 2
                                                                     [3 + xy ] dxdy = ∫ −1 6
                                                    1                                    1
                                          V =∫          ∫        2
                                                                                               1 − y 2 dy = 3π
                                                   −1 − 1− y



                                                                 V = ∫∫ [3 + xy ] dA = 3π
                                                                           D




  EJEMPLO 3.6             Dibuje el sólido S acotado por z = 1 + x3 y + xy 3 , z = 0 , y = x3 − x y

                          y = x 2 + x y calcule su volumen empleando integrales dobles.

                          Solución:

                          En la figura 3.14 se observa el sólido S, acotado superiormente por
                          z = 1 + x 3 y + xy 3     e inferiormente por                       z = 0 ; mientras que las

                          superficies y = x3 − x y y = x 2 + x definen las paredes de dicho
                          cuerpo tridimensional.


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                                                                   Valor de z a
                                                                  la salida de S
                                                                 z = 1 + x3 y + xy 3




                                                     S




                                                                     Valor de z a
                                                                   la entrada de S
                                                                         z=0
                                                           Figura 3.14
                                                   Sólido S del ejemplo 3.6


                          Donde, el volumen del sólido S, se obtiene como:

                                    V = ∫∫ 1 + x3 y + xy 3 − 0  dA = ∫∫ 1 + x3 y + xy 3  dA
                                          D                            D                

                          Al proyectar el sólido anterior en el plano xy, se obtiene la región
                          bidimensional D, la cual se aprecia en la figura 3.15

                                                                        Valor de y a
                                                                       la salida de D
                                                                         y = x3 − x
En la figura 3.15, se
observa que la región D
del ejemplo 3.6 es una
región de tipo 1.

                                                      D




                                                                     Valor de y a
                                                                   la entrada de D
                                                                      y = x2 + x

                                                           Figura 3.15
                                                  Región   D del ejemplo 3.6

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                                Por lo tanto, la región D se define como:

                                               D=   {( x, y )        − 1 ≤ x ≤ 0 x 2 + x ≤ y ≤ x3 − x       }
                                La integral de volumen queda como:

                                                                0        x3 − x
                                                       V =∫          ∫            1 + x3 y + xy 3  dydx
                                                                                                  
                                                                −1       x2 + x



                                        0 x                                                       
                                             13
                                                        7 x9                                               517
                                    V =∫       − x11 +      − x8 − 4 x 7 − 2 x 6 + x3 − x 2 − 2 x  dx =
                                        −1
                                            4           4                                               1260

                                                                                      517
                                                      V = ∫∫ 1 + x3 y + xy 3  dA =
                                                            D                      1260




                                3.1.3. MASA DE UNA FIGURA PLANA

                                A continuación, se explica como determinar la masa de una figura
                                plana no homogénea, de área D , como la región mostrada en la
                                figura 3.16; es decir para regiones donde la densidad varía en
                                cada punto ( x, y ) ∈ D .
En la figura 3.16 la
región    D   es   no
homogénea, por lo cual
su sombreado no es
uniforme.

Adicionalmente:
ρ ( x, y ) = 0 ∀ ( x, y ) ∉ D



La      densidad    tiene
unidades de masa por
área unitaria.
Para esta aplicación,
considere que la función
densidad ρ es continua
en la región D .


                                                                            Figura 3.16
                                                           Región D no homogénea


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                               Si se escoge un punto arbitrario ( xi* , y j* ) ∈ Dij , entonces la masa

                               de este subrectángulo, denotada como mij , se obtiene como:


                                                           mij = ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij                           (III.6)


                               Por lo tanto la masa de la placa plana de área A , se puede
                               estimar mediante la doble suma de Riemann:

                                                                       n    m
                                                           m ≈ ∑∑ ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij                          (III.7)
                                                                    i =1 j =1



                               Si se aumenta el número de subintervalos, de manera que la
                               norma de la partición P tienda a cero, se tiene:

                                                                           n    m
                                                       m = Lim ∑∑ ρ ( xi* , y j * )∆Aij                           (III.8)
                                                                P →0
                                                                           i =1 j =1



                                                           n    m
                                               m = Lim ∑∑ ρ ( xi* , y j * )∆Aij = ∫∫ ρ ( x, y ) dA                (III.9)
                                                    P →0                                       D
                                                           i =1 j =1



                               Entonces, el cálculo de la masa de una figura plana se obtiene
                               mediante:



El cálculo de masa de                             MASA DE UNA FIGURA PLANA
una región D , también
puede emplearse para
calcular     la        carga      Considere una lámina plana de densidad variable ρ ( x, y ) ,
eléctrica, Q, distribuida
sobre una región D .              que ocupa una región D en el plano xy, entonces su masa,
    Q = ∫∫ σ ( x, y ) dA
          D
                                  denotada m , se obtiene como:
Donde σ es la función
densidad de carga.                                                  m = ∫∫ ρ ( x, y ) dA                        (III.10)
                                                                                 D




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                        Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas
  EJEMPLO 3.7
                        x = y 2 − 1 y x = 2 y 2 − 2 , cuya densidad es igual a la unidad.

                        Solución:

                        Recuerde que la densidad se calcula como m = ∫∫ ρ ( x, y ) dA , por
                                                                                                               D

                        lo tanto para esta placa se tiene:

                                                                            m = ∫∫ dA
                                                                                             D


                        Ahora, se debe identificar la región D para definir los límites de
                        integración.




                                                                                    D
                               Valor de x a                                                                    Valor de x a
                             la entrada de D                                                                  la salida de D
                              x = 2 y2 − 2                                                                     x = y2 −1




                                                                            Figura 3.17
                                                           Región           D del ejemplo 3.7


                        Entonces la región D está definida como:

                                      D=       {( x, y )       2 y2 − 2 ≤ x ≤ y2 −1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1                    }
                        Por lo tanto:

                                                                                                          4
                                                                            dxdy = ∫ (1 − y 2 ) dy =
                                                           1       y 2 −1                        1
                                                 m=∫           ∫
                                                           −1 2 y − 22
                                                                                                 −1       3

                                                                            1       y 2 −1            4
                                                               m=∫              ∫            dxdy =
                                                                            −1 2 y 2 − 2              3

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 Geraldine Cisneros                                                        Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

   EJEMPLO 3.8               Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas
                                  3 2
                             y=     x − 6 x + 4 y y = 2 x − 2 , cuya densidad varía de acuerdo a la
                                  2
                             función ρ ( x, y ) = 1 + 2 x .

                             Solución:
Según la definición del
valor absoluto               El cálculo de la masa se obtiene de la integral doble

       x − 2 si x − 2 ≥ 0
                             m = ∫∫ ρ ( x, y ) dA , por lo tanto:
                                    D
      
x−2 = 
      2 − x si x − 2 < 0
                                                             m = ∫∫ (1 + 2 x ) dA
                                                                       D
entonces
    2 x − 4 si   x≥2        A continuación se muestra la región D.
    
  y=
    4 − 2 x si   x<2
    
                                                                               y = 2x − 4



                                                                y = −2 x + 4



La región D debe
dividirse en dos regiones
tipo 1, tal que:
    D = D1 ∪ D2
                                                                   D

                                                                                                 3 2
                                                                                            y=     x − 6x + 4
                                                                                                 2


                                                                 Figura 3.18
                                                        Región    D del ejemplo 3.8


                             Entonces:
                                          m = ∫∫ (1 + 2 x ) dA = ∫∫ (1 + 2 x ) dA + ∫∫            (1 + 2 x ) dA
                                                 D                  D1                       D2


                             Donde
                                                                  3 2                          
                                        D1 = ( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2 ∧   x − 6 x + 4 ≤ y ≤ −2 x + 4 
                                                                  2                            
                                                                   3 2                        
                                        D2 = ( x, y ) 2 ≤ x ≤ 4 ∧    x − 6 x + 4 ≤ y ≤ 2 x − 4
                                                                   2                          

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Geraldine Cisneros                                                            Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

                        En la figura 3.19 se muestra el orden de integración para obtener
                        la masa de la placa con la forma de la región D.

                                                                                         Valor de y a
                                                           Valor de y a                 la salida de D 2
                                                          la salida de D1                  y = 2x − 4
                                                             y = 4 − 2x


                                                                                 x=2

                                                                                              D2


                                                                     D1


                                                                                                Valor de y a
                                                                                              la entrada de D2
                                                        Valor de y a                              3
                                                      la entrada de D1                        y = x2 − 6 x + 4
                                                                                                  2
                                                           3 2
                                                     y=      x − 6x + 4
                                                           2
                                                                   Figura 3.19
                                   Región D del ejemplo 3.8 como dos regiones tipo 1


                        Entonces:
                                        2       4− 2 x                              4     2 x−4
                                  m=∫
                                        0   ∫   3 2
                                                  x −6 x + 4
                                                               (1 + 2 x ) dydx + ∫ 2 ∫ 3 x −6 x+ 4 (1 + 2 x ) dydx
                                                                                              2
                                                2                                         2



                                     2       13                 4           29 2       
                               m = ∫  −3x 3 + x 2 + 4 x  dx + ∫  −8 − 3x3 +    x − 8 x  dx
                                    0
                                              2                2
                                                                               2         

                                                                           40 80
                                                                   m=         +   = 40
                                                                            3   3

                                                               m = ∫∫ (1 + 2 x ) dA = 40
                                                                       D




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                             3.1.4. MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS

                             El momento estático de una partícula alrededor de un eje se
                             define como el producto de su masa y la distancia que la separa
                             de ese eje. A continuación, se trata específicamente, los
                             momentos estáticos de una figura plana D alrededor de los ejes
                             coordenados.

                             Considere    una    lámina       o         placa     plana    D,    dividida    en
                             subrectángulos Dij , tal como se muestra en la siguiente figura:




Los momentos estáticos
son     momentos    de
“equilibrio”.

M x es una medida de la
tendencia a girar en torno
al eje x, análogamente,
 M y es una medida de la
tendencia      a     girar
alrededor del eje y.




                                                              Figura 3.20
                                                Región general          D no homogénea


                             Entonces, el momento estático alrededor del eje x, para cada
                             subrectángulo Dij , denotado como M xij , viene dado por:

                                                   M x ij = y j * ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij                (III.11)

                             Sumando el momento estático alrededor del eje x para cada
                             subrectángulo, se tiene que:
                                                             n    m
                                                   M x ≈ ∑∑ y j * ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij                (III.13)
                                                            i =1 j =1




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                        Tomando el límite cuando el número de subrectángulos aumenta
                        en la expresión anterior:

                                                            n   m
                                         M x = Lim ∑∑ y j * ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij                         (III.14)
                                                    P →0
                                                           i =1 j =1



                                                n   m
                                 M x = Lim ∑∑ y j* ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij = ∫∫ y ρ ( x, y ) dA             (III.15)
                                        P →0                                           D
                                               i =1 j =1



                        Análogamente, el momento estático alrededor del eje y, que se
                        denota M y , se obtiene como:

                                                n    m
                                 M y = Lim ∑∑ xi* ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij = ∫∫ x ρ ( x, y ) dA              (III.16)
                                        P →0                                          D
                                               i =1 j =1




                                  MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS

                            Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene
                            dada por la función                        ρ:   2
                                                                                 →   , la cual es continua

                            ∀ ( x, y ) ∈ D , entonces el momento estático alrededor del eje x,

                            denotado M x , se obtiene como:

                                                                M x = ∫∫ y ρ ( x, y ) dA                  (III.17)
                                                                             D


                            Mientras que el momento estático alrededor del eje y,
                            denotado M y , se calcula como:

                                                                M y = ∫∫ x ρ ( x, y ) dA                  (III.18)
                                                                             D




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 Geraldine Cisneros                                                                                               Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

   EJEMPLO 3.9                                  Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el
                                                ejemplo 3.7.

  La región del ejemplo 3.7                     Solución:
  se muestra a continuación

                                                Los momentos estáticos se calculan de la siguiente manera:
                                                M x = ∫∫ y ρ ( x, y ) dA y M y = ∫∫ x ρ ( x, y ) dA .
                                                         D                                                D


                                                Entonces:

                                                                                                        ydxdy = ∫ y (1 − y 2 ) dy = 0
                                                                                       1       y 2 −1                1
  Y se encuentra acotada                                             Mx = ∫                ∫     2
                                                                                       −1 2 y − 2                    −1
  por las curvas x = y 2 − 1
  y x = 2 y2 − 2 .
                                                                         1       y 2 −1            1   3 3                   8
  La densidad es :
                                                             My = ∫          ∫            xdxdy = ∫  − − y 4 + 3 y 2  dy = −
         ρ ( x, y ) = 1                                                  −1 2 y    2
                                                                                       −2          −1
                                                                                                       2 2                   5
  ( x, y ) 2 y 2 − 2 ≤ x ≤ y 2 − 1 ∧ 
                                     
D=                                            Por lo tanto, los momentos estáticos para una lámina con la forma
  
           −1 ≤ y ≤ 1                
                                      
                                                de la región D del ejemplo 3.7 son:

                                                                                                     M x = ∫∫ ydA = 0
                                                                                                              D

                                                                                                                                  8
                                                                                                M y = ∫∫ xdA = −
                                                                                                              D                   5



   EJEMPLO 3.10                                 Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el
                                                ejemplo 3.8.
  La región del ejemplo 3.8
  se muestra a continuación                     Solución:

                                                Los momentos estáticos se calculan como: M x = ∫∫ y ρ ( x, y ) dA y
                                                                                                                                                       D


                                                M y = ∫∫ x ρ ( x, y ) dA .
                                                         D

  La densidad:                                                   2       4−2 x                                            4       2 x−4
       ρ ( x, y ) = 1 + 2 x                             Mx = ∫       ∫   3 2               y (1 + 2 x ) dydx + ∫              ∫   3 2           y (1 + 2 x ) dydx
                                                                 0         x −6 x + 4                                     2         x −6 x+ 4
                                                                         2                                                        2
  Donde D = D1 ∪ D2

     ( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2 ∧                                           2 9     135 4                         
     
D1 =          3 2
                                            
                                                             M x = ∫  − x5 +    x − 35 x 3 + 10 x 2 + 16 x  dx +
     
              2
                 x − 6 x + 4 ≤ y ≤ −2 x + 4 
                                            
                                                                     0
                                                                        4      8                            
      ( x, y ) 2 ≤ x ≤ 4 ∧                
                                                                    4 9     135 4                         
D2 = 
      
                3 2                        
                  x − 6 x + 4 ≤ y ≤ 2 x − 4                      + ∫  − x5 +    x − 35 x3 + 10 x 2 + 16 x dx
               2                                                   2
                                                                        4      8                            

 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
99
  Geraldine Cisneros                                                             Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

                                                                          8 56 64
                                                                      Mx = +  =
                                                                          3 3   3

                            Calculando el momento estático respecto al eje y se tiene:
                                            2       4− 2 x                                 4       2 x−4
                                   My = ∫       ∫   3 2            x (1 + 2 x ) dydx + ∫       ∫   3 2            x (1 + 2 x ) dydx
                                            0         x −6 x + 4                           2         x −6 x + 4
                                                    2                                              2


                                                                          262 1162 1424
                                                                   My =      +    =
                                                                          15   15   15

                            Finalmente, para la región del ejemplo 3.8 se tiene que:


                                                                                         64
                                                              M x = ∫∫ y (1 + 2 x ) dA =
                                                                          D               3
                                                                                        1424
                                                             M y = ∫∫ x (1 + 2 x ) dA =
                                                                     D                   15




                            3.1.5. CENTRO DE MASA

                            El centro de gravedad de una figura plana D, es un punto P de
El centro de gravedad
también    es   llamado
                            coordenadas         (x,y)∈ D ,                en el cual la región se equilibra
centro de masa.
                            horizontalmente. Las coordenadas de este punto se obtienen de
El significado físico del
centro de gravedad, es      las ecuaciones:
que    la    lámina    se
comporta como si su
masa            estuviera                                                      My
concentrada en ese punto.                                                 x=                                                          (III.19)
                                                                                m

                                                                               Mx
                                                                          y=                                                          (III.20)
                                                                               m
El centro de gravedad       Donde tanto la masa de la placa plana como los momentos
recibe el nombre de
centroide cuando la         estáticos se calculan por medio de integrales dobles.
densidad es constante.




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                                                            CENTRO DE MASA

                                       Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene
                                       dada por la función        ρ:     2
                                                                             →   , la cual es continua

                                       ∀ ( x, y ) ∈ D , entonces el centro de gravedad viene dado por:

                                                                     1
                                                                           x ρ ( x, y ) dA
                                                                     m ∫∫D
                                                               x=                                     (III.21)


                                                                     1
                                                                           y ρ ( x, y ) dA
                                                                     m ∫∫D
                                                                y=                                    (III.22)


                                       Donde m es la masa de la placa D , que se obtiene como

                                       ∫∫ ρ ( x, y ) dA .
                                         D




  EJEMPLO 3.11                     Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el
                                   ejemplo 3.7.

 La región del ejemplo 3.7         Solución:
 está acotada por las
 curvas    x = y2 −1 y
                                   El centro de masa es un punto P ( x , y ) ∈ D , tal que sus
 x = 2 y2 − 2 .
 Su densidad es :
         ρ ( x, y ) = 1
                                   coordenadas se obtienen empleando las ecuaciones III.21 y
                                   III.22. Como ya se calculó la masa y los momentos estáticos para
Y    adicionalmente           se
obtuvo:                            esta región, entonces sólo queda sustituir en las ecuaciones III.19
         1   y 2 −14
  m = ∫ ∫ 2 dxdy =                 y III.20
       −1 2 y − 2  3

   M x = ∫∫ ydA = 0                                                    8
               D
                                                                       My   6
  M y = ∫∫ xdA = −
                          8                                     x=   =−5 =−
             D            5                                        m   4    5
                                                                       3

                                                                       Mx 0
                                                                 y=      = =0
                                                                       m  4
                                                                          3


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                                  Entonces:
                                                                             6 
                                                               P ( x, y ) =  − ,0
                                                                             5 

                                  En la siguiente figura se observa el centro de masa o de gravedad
                                  de la placa D descrita en el ejemplo 3.7




                                                   6 
                                                   − ,0 
                                                   5 
                                                                     D




                                                                    Figura 3.21
                                                 Centro de masa de la región      D del ejemplo 3.7




 EJEMPLO 3.12                     Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el
                                  ejemplo 3.8.
La región D del ejemplo
3.8, tiene una densidad           Solución:
que varía según:
     ρ ( x, y ) = 1 + 2 x
                                  Sustituyendo el valor de la masa y los momentos estáticos en las
En los ejemplos 3.8 y             ecuaciones que permiten calcular las coordenadas del centro de
3.10, se obtuvo:
                                  masa, se tiene:
m = ∫∫ (1 + 2 x ) dA = 40
        D
                                                                   1424
 M x = ∫∫ y (1 + 2 x ) dA =
                            64                                 My        178
         D                   3                               x=   = 15 =
M y = ∫∫ x (1 + 2 x ) dA =
                           1424                                 m   40    75
        D                   15




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                                                            64
                                                       Mx       8
                                                    y=    = 3 =
                                                       m    40 15

                          Luego:
                                                                 178 8 
                                                   P ( x, y ) =     , 
                                                                 75 15 

                          En la figura 3.22 se aprecia la región D y su centro de masa:



                                                              178 8 
                                                                 , 
                                                              75 15 




                                                            D




                                                          Figura 3.22
                                      Centro de masa de la región        D del ejemplo 3.8




                          3.1.6. MOMENTO DE INERCIA

Los momentos de inercia   El momento de inercia de una partícula alrededor de un eje se
también son llamados
segundos momentos.        define como el producto de su masa y el cuadrado de la distancia
Los momentos de inercia   que la separa de ese eje y se considera como una medida de la
son momentos de “giro”.
                          oposición a girar del cuerpo cuando actúa sobre él una fuerza de
                          rotación. Los segundos momentos más importantes son los
                          momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados y del
                          origen.



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                             El procedimiento para obtener estos momentos como integrales
                             dobles es similar al que se ilustró para los momentos estáticos,
                             por lo tanto, el momento de inercia de una placa D, respecto al eje
                             x, denotado I x , se calcula como:

                                                      n    m
                                        I x = Lim ∑∑ ( y j * ) ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij = ∫∫ y 2 ρ ( x, y ) dA (III.23)
                                                                  2
En las ecuaciones III.23
y III.24, el cuadrado de x                     P →0
                                                      i =1 j =1
                                                                                               D
o de y recibe el nombre
de brazo de palanca.
                             Análogamente, el momento de inercia alrededor del eje y se
                             denota como I y y se obtiene como:

                                                       n    m
                                        I y = Lim ∑∑ ( xi* ) ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij = ∫∫ x 2 ρ ( x, y ) dA
                                                                  2
                                                                                                                 (III.24)
                                               P →0                                           D
                                                      i =1 j =1




El momento de inercia
                             La suma de estos dos momentos se conoce como momento de
alrededor del origen
también es conocido          inercia alrededor del origen, I 0 , donde:
como momento polar de
inercia.                                   n   m
                               I 0 = Lim ∑∑  ( xi* ) + ( y j * )  ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij = ∫∫ ( x 2 + y 2 ) ρ ( x, y ) dA
                                                      2          2

     I0 = I x + I y                  P →0           
                                          i =1 j =1 
                                                                   
                                                                                              D

                                                                                                                 (III.25)

                                         MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS PLANAS

                                 Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene
                                 dada por la función                    ρ:        2
                                                                                      →   , la cual es continua

                                 ∀ ( x, y ) ∈ D , entonces los momentos de inercia alrededor de

                                 los ejes x y y, denotados I x e I y , se obtienen como:

                                                                      I x = ∫∫ y 2 ρ ( x, y ) dA                (III.26)
                                                                              D



                                                                      I y = ∫∫ x 2 ρ ( x, y ) dA                (III.27)
                                                                              D


                                 El momento polar de inercia, I 0 , es:

                                                                      I 0 = ∫∫ ( x 2 + y 2 ) ρ ( x, y ) dA      (III.28)
                                                                              D




UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
104
 Geraldine Cisneros                                                                                            Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

   EJEMPLO 3.13                           Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita en
                                          el ejemplo 3.7.

 La gráfica de la región D                Solución:
 del ejemplo 3.7 se
 muestra a continuación:
                                          Los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados se
                                          calculan           de             la              siguiente           manera:         I x = ∫∫ y 2 ρ ( x, y ) dA ,
                                                                                                                                        D


                                          I y = ∫∫ x 2 ρ ( x, y ) dA y I 0 = ∫∫ ( x 2 + y 2 ) ρ ( x, y ) dA .
                                                  D                                                    D


                                                                                                                                        4
                                                                                                    y 2 dxdy = ∫ y 2 (1 − y 2 ) dy =
                                                                                   1       y 2 −1                1
 Cuya densidad es :                                               Ix = ∫               ∫
        ρ ( x, y ) = 1
                                                                               −1 2 y 2 − 2                      −1                    15

  ( x, y ) 2 y 2 − 2 ≤ x ≤ y 2 − 1 ∧ 
                                                               1        y 2 −1            1 7 7                         32
                                                      Iy = ∫
                                                                 −1 ∫ 2 y 2 − 2
D=
           −1 ≤ y ≤ 1
                                      
                                      
                                                                                x 2 dxdy = ∫  − y 6 + 7 y 4 − 2 y 2  dy =
                                     
                                                                                              
                                                                                            −1 3 3                         15

                                                                                                       1 7 7                         12
                                                                          (x           + y 2 ) dxdy = ∫  − y 6 + 6 y 4 − 6 y 2  dy =
                                                         1       y 2 −1
                                                I0 = ∫       ∫
                                                                               2

                                                                                                         
                                                                                                       −1 3 3                          5
                                                                     2
                                                         −1 2 y − 2



                                          Nótese que el momento polar de inercia puede calcularse como se
                                          acaba de ilustrar, sin embargo, también puede obtenerse a partir
                                          de:
                                                                                                            4 32 36 12
                                                                                   I0 = I x + I y =          +  =  =
                                                                                                           15 15 15 5

                                          Entonces los momentos de inercia para la placa plana descrita en
                                          el ejemplo3.7 son:

                                                                                                                       4
                                                                                                    I x = ∫∫ y 2 dA =
                                                                                                           D          15
                                                                                                                      32
                                                                                                    I y = ∫∫ x 2 dA =
                                                                                                            D         15
                                                                                                                           12
                                                                                           I 0 = ∫∫ ( x 2 + y 2 ) dA =
                                                                                                       D                    5




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Integrales dobles

  • 1. 75 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES En este capítulo se presentan algunas de las aplicaciones tanto físicas como geométricas de las integrales múltiples, específicamente para las integrales dobles y para las integrales triples. 3.1 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas, centros de masa y momentos de inercia para una región bidimensional. 3.1.1. ÁREA DE UNA FIGURA PLANA En el capítulo 1 de este trabajo, se explicó el significado intrínseco de la integral doble de una función f positiva en una región bidimensional D, ∫∫ f ( x, y ) dA , D como el volumen del sólido S definido sobre la región D y bajo la gráfica de la función f . Ahora, si se considera que f ( x, y ) = 1 , entonces la integral anterior queda como: ∫∫ f ( x, y ) dA = ∫∫ D D dA (III.1) Recuerde que la integral doble f ( x, y ) dA , ∫∫ Por lo tanto, empleando la definición de la integral doble, se tiene D también puede escribirse como que: n m Lim ∑∑ f ( xi* , y j* )∆Aij n m ∫∫ dA = Lim ∑∑ ∆Aij P →0 i =1 j =1 (III.2) D P →0 i =1 j =1 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 2. 76 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones donde ∆Aij es el área del rectángulo genérico denotado Dij , el cual puede observarse en la figura 3.1 y xi (xi*,yj*) d = ym yj Dij yj yj-1 D c = y0 a = x0 xi-1 xi xn= b x Figura 3.1 Región D dividida en subrectángulos Dij En otras palabras, la integral ∫∫D dA representa el volumen de un sólido de sección transversal constante, cuya base es la región D y cuya altura es igual a la unidad. Para un sólido con estas características, el volumen se obtiene como el producto del área de la base y la altura del mismo. A partir de todo lo anterior, se define el cálculo del área de una región plana. ÁREA DE UNA FIGURA PLANA Sea D una región bidimensional D , tal que D ⊆ 2 . Sea A el área de la región D , entonces: A = ∫∫ dxdy (III.3) D UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 3. 77 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Recuerde que una región Observe que si la región D es de tipo 1, la ecuación anterior D es de tipo 1 si se cumple: queda como: ( x, y ) a ≤ x ≤ b ∧  g( x) g ( x) [ y ] f ( x ) dx b b  D=   A=∫ ∫ dydx = ∫ (III.3)   f ( x ) ≤ y ≤ g ( x )  a f ( x) a b A = ∫  g ( x ) − f ( x )  dx (III.4) a   Donde la última integral, representa el área comprendida entre las gráficas de y = f ( x ) y y = g ( x ) en el intervalo cerrado [ a,b ] . Esta integral se estudia en la asignatura Análisis Matemático II, dentro de las aplicaciones de la integral definida. EJEMPLO 3.1 Dibuje la región D y calcule su área, empleando las integrales dobles: ∫∫ D dxdy y ∫∫ D dydx , D = { ( x, y ) x ≥ y 2 − 2y ∧ x ≤ 4 − y2 } Solución: La región D se encuentra acotada por las gráficas de las parábolas horizontales x = y 2 − 2 y y x = 4 − y 2 , tal como se puede observar en la siguiente figura. Recuerde que la gráfica x = y2 − 2 y de la ecuación: D x = ay 2 + by + c Es una parábola horizontal x = 4 − y2 Figura 3.2 Región D del ejemplo 3.2 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 4. 78 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones a) Para calcular el área de la región por medio de la integral doble ∫∫D dxdy , es necesario definir los límites de integración, que se ilustran en la figura 3.3 D Observe que la región D es una región tipo 2, por lo cual el área se obtiene Valor de x a Valor de x a empleando una sola la entrada de D la salida de D integral doble de la x = y2 − 2 y x = 4 − y2 forma ∫∫D dxdy . Figura 3.3 Región D del ejemplo 3.1 como una región tipo 2 Por tanto el área se obtiene como: 2 4− y 2 2 A=∫ ∫ 2 dxdy = ∫  4 − 2 y 2 + 2 y  dy = 9   −1 y −2 y −1 A = ∫∫ dxdy = 9 D b) Cuando se desea calcular el área D con el orden de integración Para la primera curva: x = y2 − 2 y inverso, esto es A = ∫∫ dydx , entonces, se necesita conocer las Se tiene que: D y = 1± 1+ x ecuaciones de las curvas en función de la variable x y además identificar los límites de integración, que a continuación se Para la segunda curva: x = 4 − y2 muestran en la figura 3.4 entonces: y = ± 4− x UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 5. 79 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y a Valor de y a la salida de D1 x=0 la salida de D2 y = 1+ 1+ x y = 4− x x=3 Valor de y a En este caso, la región D la salida de D 3 queda dividida en tres y = 4− x regiones tipo 1, identificadas como: D1, D2 y D3.. D1 D2 Valor de y a D3 la entrada de D1 y = 1− 1+ x Valor de y a la entrada de D2 Valor de y a la entrada de D3 y = 1− 1+ x y = − 4− x Figura 3.4 Región D del ejemplo 3.1 como tres regiones tipo 1 Entonces D = D1 ∪ D2 ∪ D3 , donde: {( x, y ) − 1 ≤ x ≤ 0 ∧ 1 − 1 + x ≤ y ≤ 1 + 1 + x } D1 = D = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 3 ∧ 1 − 1 + x ≤ y ≤ 4 − x } 2 D = {( x, y ) 3 ≤ x ≤ 4 ∧ − 4 − x ≤ y ≤ 4 − x } 3 Así: A = ∫∫ dydx + ∫∫ dydx + ∫∫ dydx D1 D2 D3 0 1+ 1+ x 3 4− x 4 4− x A=∫ ∫ dydx + ∫ ∫ dydx + ∫ ∫ dydx −1 1− 1+ x 0 1− 1+ x 3 − 4− x ( ) 0 3 4 Al comparar los dos A = ∫ 2 1 + xdx + ∫ 4 − x − 1 + 1 + x dx + ∫ 2 4 − xdx cálculos de área de la −1 0 3 región D del ejemplo 3.1, resulta mucho más sencillo emplear la 4 19 4 integral ∫∫ dxdy que A= + + =9 D 3 3 3 con el orden inverso. A = ∫∫ dydx = 9 D UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 6. 80 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones EJEMPLO 3.2 Dada la región D , determine las ecuaciones de las curvas que la limitan y calcule su área empleando las integrales dobles: ∫∫D dxdy y ∫∫ D dydx . C2 C1 C3 D Figura 3.5 Región D del ejemplo 3.2 Solución: Las ecuaciones de las curvas que limitan a la región D son: Las ecuaciones de las curvas en función de la C1 : y = 16 x + 20 variable y son: y − 20 C1 : x = 16 C2 : y = −2 x + 20 y 20 − y C2 : x = 2 y C3 : y = 4 x 2 C1 : x = ± 2 a) Para el cálculo del área de la región D por medio de la integral doble ∫∫D dxdy , se necesita saber que valor toma la variable x a la entrada y salida de la región. En la figura 3.6 se pueden observar estos valores. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 7. 81 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de x a Valor de x a la entrada de D3 la salida de D3 La región D no es una y − 20 región tipo 2, sin x= 20 − y 16 D3 x= embargo se puede dividir 2 en tres regiones: D1, D2 y D3., que sí lo son. Por esta razón, para resolver y = 16 la integral doble Valor de x a Valor de x a ∫∫D dxdy se debe la entrada de D2 D2 la salida de D2 emplear la propiedad y − 20 y x= x= aditiva respecto a la 16 y=4 2 región de integración. Valor de x a Valor de x a la entrada de D1 D1 la salida de D1 y y x=− x= 2 2 Figura 3.6 Región D del ejemplo 3.2 como tres regiones tipo 2 Como D = D1 ∪ D2 ∪ D3 , entonces: A = ∫∫ dxdy + ∫∫ dxdy + ∫∫ dxdy D1 D2 D3 donde:   y y   D1 = ( x, y ) − ≤x≤ ∧ 0 ≤ y ≤ 4   2 2     y − 20 y   D2 = ( x, y ) ≤x≤ ∧ 4 ≤ y ≤ 16    16 2    y − 20 20 − y  D3 = ( x, y ) ≤x≤ ∧ 16 ≤ y ≤ 20   16 2  y y 20 − y 4 16 20 A=∫ ∫ 2 y dxdy + ∫ ∫ 2 y − 20 dxdy + ∫ ∫ 2 y − 20 dxdy 0 − 4 16 2 16 16 4 16  y y − 20  20  45 9y  A=∫ ydy + ∫  −  dy + ∫16  −  dy 4  2 16  0    4 16  16 157 9 A= + + = 36 3 6 2 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 8. 82 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones A = ∫∫ dxdy = 36 D b) En la figura 3.7 se muestran los límites de integración para la integral interna de A = ∫∫ dydx . D Valor de y a la salida de D2 y = −2 x + 20 Valor de y a La región D puede la salida de D1 D2 dividirse en dos regiones y = 16 x + 20 tipo 1, identificadas como: D1 y D2 ; es decir: D = D1 ∪ D2 Valor de y a la entrada de D2 D1 y = 4x2 Valor de y a la entrada de D1 y = 4x2 x=0 Figura 3.7 Región D del ejemplo 3.2 como dos regiones tipo 1 Luego: A = ∫∫ dydx + ∫∫ dydx , donde: D1 D2 D1 = {( x, y ) − 1 ≤ x ≤ 0 ∧ 4 x 2 ≤ y ≤ 16 x + 20 } D2 = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2 ∧ 4 x2 ≤ y ≤ −2 x + 20} 0 16 x + 20 2 − 2 x + 20 A=∫ ∫ 2 dydx + ∫ ∫ dydx −1 4x 0 4 x2 A = ∫ (16 x + 20 − 4 x 2 ) dx + ∫ ( −2 x + 20 − 4 x ) dx = 32 + 76 = 36 0 2 2 −1 0 3 3 A = ∫∫ dydx = 36 D UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 9. 83 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones EJEMPLO 3.3 Calcule, empleando integrales dobles, el área comprendida entre dos círculos concéntricos de radios 2 y 4. Solución: Considere una corona circular con centro en el origen del sistema de coordenadas tal como se observa a continuación. La región D planteada en el ejemplo 3.3 recibe el nombre de corona x2 + y2 = 4 circular, y su área es: ( A = π R2 − r 2) donde R: Radio externo r: radio interno D x 2 + y 2 = 16 Figura 3.8 Región D del ejemplo 3.3 Como A = ∫∫ dydx y la región D es simétrica respecto al origen, D entonces para simplificar el cálculo de área, sólo se evaluará A1 = ∫∫ dydx , donde A1 es el área de la región D que se encuentra D1 en el primer cuadrante, denotada como D1 , de manera que: A = 4 A1 La región denotada como D1, se muestra en la figura 3.9. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 10. 84 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y a la salida de D1.A y = 16 − x 2 x=2 Valor de y a Para calcular el área de la D1.A la salida de D1.B región D1, se puede dividirla en dos regiones y = 16 − x 2 tipo 1: D1 = D1.A ∪ D1.B D1.B Valor de y a la entrada de D1.A y = 4 − x2 Valor de y a la entrada de D1.B Figura 3.9 y=0 Región D1 del ejemplo 3.3 Luego: A1 = ∫∫ dydx + ∫∫ dydx , donde: D1. A D1. B {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2 ∧ D1.A = 4 − x 2 ≤ y ≤ 16 − x 2 } D = {( x, y ) 2 ≤ x ≤ 4 1.B ∧ 0 ≤ y ≤ 16 − x 2 } 2 16 − x 2 4 16 − x 2 A1 = ∫ ∫ dydx + ∫ ∫ dydx 0 4− x2 2 0 A1 = ∫ 0 2 ( 16 − x 2 − 4 − x 2 dx + ∫ ) 2 4 16 − x 2 dx  π  8π  A1 =  2 3 +  +  −2 3 +  = 3π  3  3  A = ∫∫ dydx = 12π D UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 11. 85 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 3.1.2. VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO En el capítulo 1 de este trabajo, se determinó que la integral ∫∫ f ( x, y ) dA D representa el volumen del sólido S definido sobre la región D y bajo la gráfica de la función f ; sin embargo, la integral doble también puede emplearse para determinar el volumen de un sólido más general. VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO Sean f : 2 → y g: 2 → dos funciones reales, continuas en una región bidimensional D , tales que f ( x, y ) ≤ g ( x, y ) ∀ ( x, y ) ∈ D . Sea V el volumen del sólido acotado superiormente por la gráfica de la función g y acotado inferiormente por la gráfica de la función f, entonces: V = ∫∫  g ( x, y ) − f ( x, y )  dA (III.5) D  EJEMPLO 3.4 Dibuje el sólido S acotado por las superficies: z = 2 x 2 + y 2 y z = 20 − x 2 − y 2 y plantear su volumen empleando integrales dobles. Solución: En la figura 3.10 se muestra el sólido S de este ejemplo, donde la superficie superior es z = 20 − x 2 − y 2 y la superficie inferior viene dada por la ecuación z = 2 x 2 + y 2 . UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 12. 86 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de z a la salida de S z = 20 − x 2 − y 2 La superficie definida por la ecuación: z = 20 − x2 − y 2 Es una semiesfera (parte superior). S La superficie definida por Valor de z a la ecuación: la entrada de S z = 2 x2 + y 2 z = 2 x2 + y2 Es un cono . Figura 3.10 Sólido S del ejemplo 3.4 El volumen del sólido S, mostrado en la figura anterior, se obtiene mediante la integral doble: V = ∫∫  20 − x 2 − y 2 − 2 x 2 + y 2  dA D  donde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta proyección, para este ejemplo, resulta ser un círculo con centro en el origen, al que se obtiene en la intersección de las dos superficies:  z = 2 x2 + y 2   ⇒ 2 x 2 + y 2 = 20 − x 2 − y 2  z = 20 − x 2 − y 2  4 ( x 2 + y 2 ) = 20 − x 2 − y 2 ⇒ x2 + y 2 = 4 Entonces: D= {( x, y ) x2 + y 2 ≤ 4 } UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 13. 87 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y a la salida de D y = 4 − x2 Donde D es una región tipo 1 y también tipo 2, pero en este ejemplo se trabaja como una región tipo 1. D Valor de y a la entrada de D y = − 4 − x2 Figura 3.11 Región D del ejemplo 3.4 Es decir, D = {( x, y ) − 2 ≤ x ≤ 2 − 4 − x2 ≤ y ≤ 4 − x2 } En el siguiente capítulo, Volviendo a la integral de volumen, se tiene que: se mostrará como resolver una integral de 2 4− x2 V =∫  20 − x 2 − y 2 − 2 x 2 + y 2  dydx este tipo, empleando un cambio de variable −2 ∫ − 4− x2   apropiado. Ahora, para resolver esta integral se requiere un procedimiento muy riguroso y largo, por lo cual a continuación sólo se presenta el resultado de esta integral, el cual fue obtenido con software matemático: V = ∫∫  20 − x 2 − y 2 − 2 x 2 + y 2  dA = 19, 77678464 D  UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 14. 88 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Dibuje el sólido S acotado por las superficies: z = 4 + xy y z = 1 y EJEMPLO 3.5 dentro del cilindro x 2 + y 2 ≤ 1 , calcule su volumen empleando integrales dobles. Solución: En la figura siguiente se aprecia el sólido S, acotado por las superficies z = 4 + xy y z = 1 y dentro del cilindro x 2 + y 2 ≤ 1 . Valor de z a la salida de S z = 4 + xy S x2 + y 2 = 1 Valor de z a la entrada de S z =1 Figura 3.12 Sólido S del ejemplo 3.5 El volumen del sólido S, se obtiene mediante la integral doble: V = ∫∫ [ 4 + xy − 1] dA = ∫∫ [3 + xy ] dA D D donde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta proyección, se observa en la figura 3.13 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 15. 89 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones D En este ejemplo, la región D es de tipo 1 y también tipo 2, pero se Valor de x a Valor de x a trabaja como una región la entrada de D la salida de D tipo 2. x = − 1− y2 x = 1− y2 Figura 3.13 Región D del ejemplo 3.5 En este caso, la región D se define como: D= {( x, y ) − 1− y2 ≤ x ≤ 1− y2 −1 ≤ y ≤ 1 } Por lo tanto la integral de volumen queda como: 1− y 2 [3 + xy ] dxdy = ∫ −1 6 1 1 V =∫ ∫ 2 1 − y 2 dy = 3π −1 − 1− y V = ∫∫ [3 + xy ] dA = 3π D EJEMPLO 3.6 Dibuje el sólido S acotado por z = 1 + x3 y + xy 3 , z = 0 , y = x3 − x y y = x 2 + x y calcule su volumen empleando integrales dobles. Solución: En la figura 3.14 se observa el sólido S, acotado superiormente por z = 1 + x 3 y + xy 3 e inferiormente por z = 0 ; mientras que las superficies y = x3 − x y y = x 2 + x definen las paredes de dicho cuerpo tridimensional. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 16. 90 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de z a la salida de S z = 1 + x3 y + xy 3 S Valor de z a la entrada de S z=0 Figura 3.14 Sólido S del ejemplo 3.6 Donde, el volumen del sólido S, se obtiene como: V = ∫∫ 1 + x3 y + xy 3 − 0  dA = ∫∫ 1 + x3 y + xy 3  dA D  D  Al proyectar el sólido anterior en el plano xy, se obtiene la región bidimensional D, la cual se aprecia en la figura 3.15 Valor de y a la salida de D y = x3 − x En la figura 3.15, se observa que la región D del ejemplo 3.6 es una región de tipo 1. D Valor de y a la entrada de D y = x2 + x Figura 3.15 Región D del ejemplo 3.6 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 17. 91 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Por lo tanto, la región D se define como: D= {( x, y ) − 1 ≤ x ≤ 0 x 2 + x ≤ y ≤ x3 − x } La integral de volumen queda como: 0 x3 − x V =∫ ∫ 1 + x3 y + xy 3  dydx   −1 x2 + x 0 x  13 7 x9 517 V =∫  − x11 + − x8 − 4 x 7 − 2 x 6 + x3 − x 2 − 2 x  dx = −1  4 4  1260 517 V = ∫∫ 1 + x3 y + xy 3  dA = D  1260 3.1.3. MASA DE UNA FIGURA PLANA A continuación, se explica como determinar la masa de una figura plana no homogénea, de área D , como la región mostrada en la figura 3.16; es decir para regiones donde la densidad varía en cada punto ( x, y ) ∈ D . En la figura 3.16 la región D es no homogénea, por lo cual su sombreado no es uniforme. Adicionalmente: ρ ( x, y ) = 0 ∀ ( x, y ) ∉ D La densidad tiene unidades de masa por área unitaria. Para esta aplicación, considere que la función densidad ρ es continua en la región D . Figura 3.16 Región D no homogénea UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 18. 92 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Si se escoge un punto arbitrario ( xi* , y j* ) ∈ Dij , entonces la masa de este subrectángulo, denotada como mij , se obtiene como: mij = ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij (III.6) Por lo tanto la masa de la placa plana de área A , se puede estimar mediante la doble suma de Riemann: n m m ≈ ∑∑ ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij (III.7) i =1 j =1 Si se aumenta el número de subintervalos, de manera que la norma de la partición P tienda a cero, se tiene: n m m = Lim ∑∑ ρ ( xi* , y j * )∆Aij (III.8) P →0 i =1 j =1 n m m = Lim ∑∑ ρ ( xi* , y j * )∆Aij = ∫∫ ρ ( x, y ) dA (III.9) P →0 D i =1 j =1 Entonces, el cálculo de la masa de una figura plana se obtiene mediante: El cálculo de masa de MASA DE UNA FIGURA PLANA una región D , también puede emplearse para calcular la carga Considere una lámina plana de densidad variable ρ ( x, y ) , eléctrica, Q, distribuida sobre una región D . que ocupa una región D en el plano xy, entonces su masa, Q = ∫∫ σ ( x, y ) dA D denotada m , se obtiene como: Donde σ es la función densidad de carga. m = ∫∫ ρ ( x, y ) dA (III.10) D UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 19. 93 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas EJEMPLO 3.7 x = y 2 − 1 y x = 2 y 2 − 2 , cuya densidad es igual a la unidad. Solución: Recuerde que la densidad se calcula como m = ∫∫ ρ ( x, y ) dA , por D lo tanto para esta placa se tiene: m = ∫∫ dA D Ahora, se debe identificar la región D para definir los límites de integración. D Valor de x a Valor de x a la entrada de D la salida de D x = 2 y2 − 2 x = y2 −1 Figura 3.17 Región D del ejemplo 3.7 Entonces la región D está definida como: D= {( x, y ) 2 y2 − 2 ≤ x ≤ y2 −1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1 } Por lo tanto: 4 dxdy = ∫ (1 − y 2 ) dy = 1 y 2 −1 1 m=∫ ∫ −1 2 y − 22 −1 3 1 y 2 −1 4 m=∫ ∫ dxdy = −1 2 y 2 − 2 3 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 20. 94 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones EJEMPLO 3.8 Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas 3 2 y= x − 6 x + 4 y y = 2 x − 2 , cuya densidad varía de acuerdo a la 2 función ρ ( x, y ) = 1 + 2 x . Solución: Según la definición del valor absoluto El cálculo de la masa se obtiene de la integral doble  x − 2 si x − 2 ≥ 0 m = ∫∫ ρ ( x, y ) dA , por lo tanto: D  x−2 =  2 − x si x − 2 < 0  m = ∫∫ (1 + 2 x ) dA D entonces 2 x − 4 si x≥2 A continuación se muestra la región D.  y= 4 − 2 x si x<2  y = 2x − 4 y = −2 x + 4 La región D debe dividirse en dos regiones tipo 1, tal que: D = D1 ∪ D2 D 3 2 y= x − 6x + 4 2 Figura 3.18 Región D del ejemplo 3.8 Entonces: m = ∫∫ (1 + 2 x ) dA = ∫∫ (1 + 2 x ) dA + ∫∫ (1 + 2 x ) dA D D1 D2 Donde  3 2  D1 = ( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2 ∧ x − 6 x + 4 ≤ y ≤ −2 x + 4   2   3 2  D2 = ( x, y ) 2 ≤ x ≤ 4 ∧ x − 6 x + 4 ≤ y ≤ 2 x − 4  2  UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 21. 95 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones En la figura 3.19 se muestra el orden de integración para obtener la masa de la placa con la forma de la región D. Valor de y a Valor de y a la salida de D 2 la salida de D1 y = 2x − 4 y = 4 − 2x x=2 D2 D1 Valor de y a la entrada de D2 Valor de y a 3 la entrada de D1 y = x2 − 6 x + 4 2 3 2 y= x − 6x + 4 2 Figura 3.19 Región D del ejemplo 3.8 como dos regiones tipo 1 Entonces: 2 4− 2 x 4 2 x−4 m=∫ 0 ∫ 3 2 x −6 x + 4 (1 + 2 x ) dydx + ∫ 2 ∫ 3 x −6 x+ 4 (1 + 2 x ) dydx 2 2 2 2 13  4 29 2  m = ∫  −3x 3 + x 2 + 4 x  dx + ∫  −8 − 3x3 + x − 8 x  dx 0  2  2  2  40 80 m= + = 40 3 3 m = ∫∫ (1 + 2 x ) dA = 40 D UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 22. 96 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 3.1.4. MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS El momento estático de una partícula alrededor de un eje se define como el producto de su masa y la distancia que la separa de ese eje. A continuación, se trata específicamente, los momentos estáticos de una figura plana D alrededor de los ejes coordenados. Considere una lámina o placa plana D, dividida en subrectángulos Dij , tal como se muestra en la siguiente figura: Los momentos estáticos son momentos de “equilibrio”. M x es una medida de la tendencia a girar en torno al eje x, análogamente, M y es una medida de la tendencia a girar alrededor del eje y. Figura 3.20 Región general D no homogénea Entonces, el momento estático alrededor del eje x, para cada subrectángulo Dij , denotado como M xij , viene dado por: M x ij = y j * ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij (III.11) Sumando el momento estático alrededor del eje x para cada subrectángulo, se tiene que: n m M x ≈ ∑∑ y j * ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij (III.13) i =1 j =1 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 23. 97 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Tomando el límite cuando el número de subrectángulos aumenta en la expresión anterior: n m M x = Lim ∑∑ y j * ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij (III.14) P →0 i =1 j =1 n m M x = Lim ∑∑ y j* ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij = ∫∫ y ρ ( x, y ) dA (III.15) P →0 D i =1 j =1 Análogamente, el momento estático alrededor del eje y, que se denota M y , se obtiene como: n m M y = Lim ∑∑ xi* ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij = ∫∫ x ρ ( x, y ) dA (III.16) P →0 D i =1 j =1 MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene dada por la función ρ: 2 → , la cual es continua ∀ ( x, y ) ∈ D , entonces el momento estático alrededor del eje x, denotado M x , se obtiene como: M x = ∫∫ y ρ ( x, y ) dA (III.17) D Mientras que el momento estático alrededor del eje y, denotado M y , se calcula como: M y = ∫∫ x ρ ( x, y ) dA (III.18) D UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 24. 98 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones EJEMPLO 3.9 Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el ejemplo 3.7. La región del ejemplo 3.7 Solución: se muestra a continuación Los momentos estáticos se calculan de la siguiente manera: M x = ∫∫ y ρ ( x, y ) dA y M y = ∫∫ x ρ ( x, y ) dA . D D Entonces: ydxdy = ∫ y (1 − y 2 ) dy = 0 1 y 2 −1 1 Y se encuentra acotada Mx = ∫ ∫ 2 −1 2 y − 2 −1 por las curvas x = y 2 − 1 y x = 2 y2 − 2 . 1 y 2 −1 1  3 3  8 La densidad es : My = ∫ ∫ xdxdy = ∫  − − y 4 + 3 y 2  dy = − ρ ( x, y ) = 1 −1 2 y 2 −2 −1  2 2  5 ( x, y ) 2 y 2 − 2 ≤ x ≤ y 2 − 1 ∧    D=  Por lo tanto, los momentos estáticos para una lámina con la forma   −1 ≤ y ≤ 1   de la región D del ejemplo 3.7 son: M x = ∫∫ ydA = 0 D 8 M y = ∫∫ xdA = − D 5 EJEMPLO 3.10 Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el ejemplo 3.8. La región del ejemplo 3.8 se muestra a continuación Solución: Los momentos estáticos se calculan como: M x = ∫∫ y ρ ( x, y ) dA y D M y = ∫∫ x ρ ( x, y ) dA . D La densidad: 2 4−2 x 4 2 x−4 ρ ( x, y ) = 1 + 2 x Mx = ∫ ∫ 3 2 y (1 + 2 x ) dydx + ∫ ∫ 3 2 y (1 + 2 x ) dydx 0 x −6 x + 4 2 x −6 x+ 4 2 2 Donde D = D1 ∪ D2 ( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2 ∧  2 9 135 4   D1 =  3 2   M x = ∫  − x5 + x − 35 x 3 + 10 x 2 + 16 x  dx +   2 x − 6 x + 4 ≤ y ≤ −2 x + 4   0  4 8  ( x, y ) 2 ≤ x ≤ 4 ∧    4 9 135 4  D2 =   3 2  x − 6 x + 4 ≤ y ≤ 2 x − 4 + ∫  − x5 + x − 35 x3 + 10 x 2 + 16 x dx  2  2  4 8  UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 25. 99 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 8 56 64 Mx = + = 3 3 3 Calculando el momento estático respecto al eje y se tiene: 2 4− 2 x 4 2 x−4 My = ∫ ∫ 3 2 x (1 + 2 x ) dydx + ∫ ∫ 3 2 x (1 + 2 x ) dydx 0 x −6 x + 4 2 x −6 x + 4 2 2 262 1162 1424 My = + = 15 15 15 Finalmente, para la región del ejemplo 3.8 se tiene que: 64 M x = ∫∫ y (1 + 2 x ) dA = D 3 1424 M y = ∫∫ x (1 + 2 x ) dA = D 15 3.1.5. CENTRO DE MASA El centro de gravedad de una figura plana D, es un punto P de El centro de gravedad también es llamado coordenadas (x,y)∈ D , en el cual la región se equilibra centro de masa. horizontalmente. Las coordenadas de este punto se obtienen de El significado físico del centro de gravedad, es las ecuaciones: que la lámina se comporta como si su masa estuviera My concentrada en ese punto. x= (III.19) m Mx y= (III.20) m El centro de gravedad Donde tanto la masa de la placa plana como los momentos recibe el nombre de centroide cuando la estáticos se calculan por medio de integrales dobles. densidad es constante. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 26. 100 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones CENTRO DE MASA Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene dada por la función ρ: 2 → , la cual es continua ∀ ( x, y ) ∈ D , entonces el centro de gravedad viene dado por: 1 x ρ ( x, y ) dA m ∫∫D x= (III.21) 1 y ρ ( x, y ) dA m ∫∫D y= (III.22) Donde m es la masa de la placa D , que se obtiene como ∫∫ ρ ( x, y ) dA . D EJEMPLO 3.11 Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el ejemplo 3.7. La región del ejemplo 3.7 Solución: está acotada por las curvas x = y2 −1 y El centro de masa es un punto P ( x , y ) ∈ D , tal que sus x = 2 y2 − 2 . Su densidad es : ρ ( x, y ) = 1 coordenadas se obtienen empleando las ecuaciones III.21 y III.22. Como ya se calculó la masa y los momentos estáticos para Y adicionalmente se obtuvo: esta región, entonces sólo queda sustituir en las ecuaciones III.19 1 y 2 −14 m = ∫ ∫ 2 dxdy = y III.20 −1 2 y − 2 3 M x = ∫∫ ydA = 0 8 D My 6 M y = ∫∫ xdA = − 8 x= =−5 =− D 5 m 4 5 3 Mx 0 y= = =0 m 4 3 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 27. 101 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Entonces:  6  P ( x, y ) =  − ,0  5  En la siguiente figura se observa el centro de masa o de gravedad de la placa D descrita en el ejemplo 3.7  6   − ,0   5  D Figura 3.21 Centro de masa de la región D del ejemplo 3.7 EJEMPLO 3.12 Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el ejemplo 3.8. La región D del ejemplo 3.8, tiene una densidad Solución: que varía según: ρ ( x, y ) = 1 + 2 x Sustituyendo el valor de la masa y los momentos estáticos en las En los ejemplos 3.8 y ecuaciones que permiten calcular las coordenadas del centro de 3.10, se obtuvo: masa, se tiene: m = ∫∫ (1 + 2 x ) dA = 40 D 1424 M x = ∫∫ y (1 + 2 x ) dA = 64 My 178 D 3 x= = 15 = M y = ∫∫ x (1 + 2 x ) dA = 1424 m 40 75 D 15 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 28. 102 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 64 Mx 8 y= = 3 = m 40 15 Luego:  178 8  P ( x, y ) =  ,   75 15  En la figura 3.22 se aprecia la región D y su centro de masa:  178 8   ,   75 15  D Figura 3.22 Centro de masa de la región D del ejemplo 3.8 3.1.6. MOMENTO DE INERCIA Los momentos de inercia El momento de inercia de una partícula alrededor de un eje se también son llamados segundos momentos. define como el producto de su masa y el cuadrado de la distancia Los momentos de inercia que la separa de ese eje y se considera como una medida de la son momentos de “giro”. oposición a girar del cuerpo cuando actúa sobre él una fuerza de rotación. Los segundos momentos más importantes son los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados y del origen. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 29. 103 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones El procedimiento para obtener estos momentos como integrales dobles es similar al que se ilustró para los momentos estáticos, por lo tanto, el momento de inercia de una placa D, respecto al eje x, denotado I x , se calcula como: n m I x = Lim ∑∑ ( y j * ) ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij = ∫∫ y 2 ρ ( x, y ) dA (III.23) 2 En las ecuaciones III.23 y III.24, el cuadrado de x P →0 i =1 j =1 D o de y recibe el nombre de brazo de palanca. Análogamente, el momento de inercia alrededor del eje y se denota como I y y se obtiene como: n m I y = Lim ∑∑ ( xi* ) ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij = ∫∫ x 2 ρ ( x, y ) dA 2 (III.24) P →0 D i =1 j =1 El momento de inercia La suma de estos dos momentos se conoce como momento de alrededor del origen también es conocido inercia alrededor del origen, I 0 , donde: como momento polar de inercia. n m I 0 = Lim ∑∑  ( xi* ) + ( y j * )  ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij = ∫∫ ( x 2 + y 2 ) ρ ( x, y ) dA 2 2 I0 = I x + I y P →0  i =1 j =1    D (III.25) MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS PLANAS Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene dada por la función ρ: 2 → , la cual es continua ∀ ( x, y ) ∈ D , entonces los momentos de inercia alrededor de los ejes x y y, denotados I x e I y , se obtienen como: I x = ∫∫ y 2 ρ ( x, y ) dA (III.26) D I y = ∫∫ x 2 ρ ( x, y ) dA (III.27) D El momento polar de inercia, I 0 , es: I 0 = ∫∫ ( x 2 + y 2 ) ρ ( x, y ) dA (III.28) D UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  • 30. 104 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones EJEMPLO 3.13 Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita en el ejemplo 3.7. La gráfica de la región D Solución: del ejemplo 3.7 se muestra a continuación: Los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados se calculan de la siguiente manera: I x = ∫∫ y 2 ρ ( x, y ) dA , D I y = ∫∫ x 2 ρ ( x, y ) dA y I 0 = ∫∫ ( x 2 + y 2 ) ρ ( x, y ) dA . D D 4 y 2 dxdy = ∫ y 2 (1 − y 2 ) dy = 1 y 2 −1 1 Cuya densidad es : Ix = ∫ ∫ ρ ( x, y ) = 1 −1 2 y 2 − 2 −1 15 ( x, y ) 2 y 2 − 2 ≤ x ≤ y 2 − 1 ∧    1 y 2 −1 1 7 7  32 Iy = ∫ −1 ∫ 2 y 2 − 2 D=  −1 ≤ y ≤ 1   x 2 dxdy = ∫  − y 6 + 7 y 4 − 2 y 2  dy =    −1 3 3  15 1 7 7  12 (x + y 2 ) dxdy = ∫  − y 6 + 6 y 4 − 6 y 2  dy = 1 y 2 −1 I0 = ∫ ∫ 2  −1 3 3  5 2 −1 2 y − 2 Nótese que el momento polar de inercia puede calcularse como se acaba de ilustrar, sin embargo, también puede obtenerse a partir de: 4 32 36 12 I0 = I x + I y = + = = 15 15 15 5 Entonces los momentos de inercia para la placa plana descrita en el ejemplo3.7 son: 4 I x = ∫∫ y 2 dA = D 15 32 I y = ∫∫ x 2 dA = D 15 12 I 0 = ∫∫ ( x 2 + y 2 ) dA = D 5 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.