Se ha denunciado esta presentación.
Utilizamos tu perfil de LinkedIn y tus datos de actividad para personalizar los anuncios y mostrarte publicidad más relevante. Puedes cambiar tus preferencias de publicidad en cualquier momento.
BUKU AJAR KALKULUS I

 

Penulis
Robertus Heri,  S. Si,  M. Si

PROYEK SP4 TAHUN 2005
J URUSAN MATEMATIKA F MIPA
UNIVERSIT...
KATA PENGANTAR

Terima kasíh kepada Tuhan atas penyertaanNya selama penyusunanl sampaí
selesainya buku ajar ini.  Pembtrat...
DAFTAR ISI

Kata Pengantar
Daftar I si

Kontrak
Garis~ga

Perku l iahan

ris Besar Program Pengaiaran

I.  Himpunan

l .  ...
d.  Komposisi Fungsí

e.  Transformasi Fungsi
f.  Fungsi invers
4. Limit dan Kekontinuan Fungsi
4.1. Konsep Limit Fungsi
a...
6.8. Penerapan di Bídang Ekonorni 150
7. integral Tak Tentu dan Teknik Pengintegraian

7.1. integrai Tak Tentu 160
7.2. Te...
KONTRAK PERKULIAHAN

Nama Mata Kuliah :  Kalkuius i

Kode Mata Kuliah :  MAT 103

Pengajar :  Dr.  Widowati,  M, Si
Robert...
kekontinuan,  turunan dan penerapamtya,  integral,  teknik pengintegralan,  dan penerapan

integral. 

Mata içuliah ini be...
ínvers,  turunan fungsi trigonoinetri,  turunan fungsi eksponensial,  turunan
fungsi síklometrí. , turunan fungsi hiperbol...
3. Louis Leithold,  Calculus With Analytic Geometri,  Harper and Row Publisher,  New
York
4. l<. A. Stroud,  Engeenering M...
Real,  Aksioma Urutan,  Aksioma Kelengka-
pan,  Bentul( Umum Pertidaksamaan,  Harga

 

   

Robertus Heri,  M. Si

  
 
 ...
_
. 
_
_
_
_
w
a
_
_

 

5-3_

W: :

0:55 S: 
:matorog may_ m

OEoE oo_ x ü
cmzEuton_ _:3_ m

_mmcsn_

_mwaah_ _mEmoo
8:3_...
.cm _mãsmnsm
_m: o_mm~_ _mmcsn_ _m. _wo_: _
_boãgomwww

_mãtmnzw : :mo: :
_: o:_o: om_. _._.  _mm= =.. _ _$9.02_
_mima _EM...
020e o. : x m_
cmseoton_ :3 v

00o_ . mcmaãoo wcEmzasn_ o_oo_mv_oo. _m . soãvm ; taon "mãzuão . tuãmmm mona. .

#w9 . EA u...
TUJUAN IN STRUKSIONAL

U m u m

Setelah nnenyelesailçan [nata kuliah ini (pada akhir semester l),  ;mahasiswa

mempunyai p...
l.  HIMPUNAN

Sebeluln memulai pembahasan bilangan real,  akan dibahas terlebih dahulu
pengertian himpunan. 

Himpunan ada...
0

 

Saling Lepas

Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika antara himpunan A dan B tidak
terdapat elemen yang saiha
...
Komplemen dari himpunan A dideíinisikan sebagai ltimpunan selain himpunan A

tapi masih dalam semesta pembicaraan.  Komple...
dimana U ! Iimpuiuan semesta. 

6. Buktikanlah : 

a.  (AOB)OBC = ¢

b.  [PC u(PrQ)iC : PAQC
c.  (Anmumnac) = A
7. Dalam s...
9. Dari hasil wawancara di suatu daerah duiperoleh data mengenai prosentase pembaca

majalah X, Y,Z sebagai berikut: 

50%...
TUJU AN INSTRUKSIONAL

Umum

Setelah menyelesaikan mata kuliah ini (pada akhir semester l),  mahasiswa
mempunyai pemahaman...
2. SISTEM BILA. NGAN REAL

2.1 Sistem Bilangan Real
Sistem biiangan real R adalah himpunan biiangan real yang disertai den...
9 a(b-c)= ab-ac
9 ~(-a)= a dan Lintuk a¢0, (a")"= a.
9 a.0=0.a=0, a(-b)z-a(b)= -ab,  (-a)(-b): ab_

9 l ika ab=0 maka a=0 ...
C. 

' w5 yang merupakan panjang sisi miting dari segitiga siku-siku dengan sisi siku-
silçunya masing-masing l,  dan r:  ...
9 Bilangan real a dikatakan negatifjiiça ~a positif. 

Teorema 2.2

Mísalkan a, b,c dan d biiangan real,  maka: 

a.  a < ...
9 Sesuai definisi 3xl~ 125 =  -5, karena -5 adalah bilangan real yang memenuhi
(-5)3=-l25

d.  Aksioma Kelengkapan
Aksioma...
biiangan real,  batas atas terkecílnya adalah JE ,  karena biiangan irasionai termasuk

biiangan real. 
e.  Intervai

inte...
C. 

l7,l53l53l53.. .

2. Bila pemyataan berikut benar,  berikan argumentasinya.  Bila salah berikan alasan

penyangkalaiw...
2. Uraikan P(x) dan Q(x) menjadi faktor-faktoa' linearnya
3. Tentukan tanda pertidaksamaan pada garis biiangan

4. Tentuka...
2

2

b.  lx| .>_a<: >x2aataLixs-a<: >x . >_a

iv.  Ketaksamaan segitiga
a h+dsM+M
b- lx * tl S l><|  +lyl
C- lxl *lyl S I...
Jika diketahui soai 2lx| +|x~ll S2 (pertídaksamaan yang memuat lebih dari satu harga

mutlak),  maka solusinya dapat dicar...
TUJUAN IN STRUKSIONAL

Umum

Setelah menyelesaikan mata kuliah ini (pada akhir semester i),  mahasiswa
mempunyai pemahaman...
3. SISTEM KOORDINAT DAN F UN GSI

3.1 Sistem Koordinat Kartesíus

Sembarang titik pada bidang diukur terhadap dua garis lu...
Contoh

JmmmmmAamdmBm5;mwaMm= JpnaF+w-03=Jm4=JE

b.  Garis Lurus
Bentuk umum persamaan garis lurus ax + by + c =  O,  deng...
an itu. 
Gambar 3.221 mern akan Grafik kelilin r lin karan dimana setia) títikn a memenuhi
c;  à ,  l Y
.  2 3 . 
persamaa...
3.2 Sistem Koordinat Kutub

Dalam mendeñnisikan koordinat polar,  pertama ditetapkan terlebih dulu titik asal O

yang dise...
Dapat pula,  koordinat polar disajilçan dalam bentuk r= a saja atau 9:90 saja.  . Persamaan
r= a nwenyatakan menyatakan su...
2.b

   

Gíünbar 73 Gambar 7b Gambar 70

a.  Hubungan Antara Koordínat K-artesius dan Koordinat Polar
l-lubungan antara k...
x3+(y-3)2=9 Persamaan lingkaran yang berpusat di (0,3)
u r=6 Sin 9

   

dan berjarí-jari 3, dapat disajikan dalam
koordin...
Jika titik (r,0) terletak pada grañl( maka titik (-130) atau (137c+0) juga

terletak pada grafik. 

Contoh

Gambarkaiu gra...
rzw/4cos0

      

Gambar Il

Latihan
l.  Bentuklah koordinat kutub berikut ke dalam koordinat kartesius

5

a.  itfíw-
s1...
3.3 Fungsi
Sebelum memahami deñnisi fungsí,  akan dibicarakan terlebih dahulu fenomena berikut: 

-Biaya pemakaian taksi b...
a.  Penyajian Suatu Fungsi
0 Dengan Diagram Pa11ah

f

    

Masing-masing panah mengaitkan
suatu elemen dari A ke suatu e...
mana  ene11t11t<a11 dm
b.  goo =  -Xf-L
x” -9
Penyelesaían
a.  Akan dítentukan domain terlebih dulu,  kemudian dari domain tersebut
dítenttnkan r...
2. Tentukan domain dan range dari fungsi-fiingsi berikut

a.  r<x>=1+x3 e- II<t>= I2t+3I i.  h(y)= d(y+1)"

b.  mhl-J?  r....
dengan n adalah bilangan bulat tak negatif,  ao,  a. , . ., ane dan an¢0

Contoh

Fungsi linear berbentuk f(x)= ax+b.  gia...
f(x)-x5

     

Gambar l9b

ii.  Bila a= l/n,  n bilangan asli
Fungsi f(x)= x”",  n bilangan asli adalah fungsi akar. 
Ana...
Contoh
2x* - x3 +1
x3 - 4

adalah xe yang memenuhi penyebut
g(x)= x2-4¢0.

Sehingga clomainnya adalah

Di=  ~{-2,2),  dan ...
Gambar 22a l"(x)= sin x

 

Gambar 22d f(x)= csc x

ldentitas tri gonometri

7
2Ol. +COS"OL= l

sin
7
1+tan20c = sec' (x

...
Grafik tíingsi eksponensial tidak pernah
memotong sumbu x (sumbu x sebagai asimtot
datar),  dan memotong sumbu y di titíl<...
diarsir,  seperti Iiainya dalam kasus trigonometri,  t menyatakan dua kali luas sektor

lingkaran yang diarsir. 

Defínisi...
a.  F(x)= x3+x

b.  f(x)*| xl

c.  f(x)= x+cos x

merupakan fungsi ganap atau fungsi ganjil
Penyelesaian

a.  rot) =  x3 +...
Jika F(x, y)= O adalah fungsi dengan peubah x dan y,  maka pada aturan F(x, y)=0,
terkandung pengertian y sebagai fungsi d...
Fungsi fdikatakan periodik dengan periode p, jika terdapat pJáO,  sedemikian sehingga
f(x+p)= f(x) Lintuk setiap x dalam d...
Gambar 3.26a

Soal

l. 

tx)

Tunjttkkan bahwa: 

a.  fungsi f(x)= tan x adalah fungsi periodik dengan periode TE

 

Gamb...
l l

 

   

Nyatakan biaya [Jerjalanan C sebagai Fungsi jarak tempuh untuk O<x<2, dan
sketsakan graliknya. 

Pengelola pa...
xSZO Rp 385 39.130 dan pajak penerangan jalan

200640 Rp 445 sebesar 8% dari akumulasi biaya total
X>40 Rp 495 kWh dan TDL...
c.  (f. g). x
d.  ("l"/ g)x
2. Diketahui Fungsi yang terdeñnisi sepotong-sepotoaig berikut ini
fo: ) = {l`x2'x 50 dan g(x)...
2

l+2x-x , xs0
b.  f(x)~g(x)=  3x ,0<x<1
2x-l , xzl

-2x-2x3,xsO

c.  f(x)g(x)=  -2x 2

x-x? '

,0<x<I

, xàl

Soal

I. 
...
Secara Limum,  diketahui dua fimgsi sembarang i" dan x,  dan dimulai dari bilangan t
dalam domain g dan mencari nilai g(t)...
b. )

 

2. Tentukan Fsehingga fog =  F bila díketahui

I+x2 I+x4

4, F(x)= 

a- g<x)=  Hxz

b.  g(x) = -x2, F(x)= wla2 +x...
0 y= -f(x),  cerminkan grañk y= f(x) terhadap sumbu x

9 y= i`(-x),  cerminkan grañk y= l"(x) terhadap sumbu y

Contoh

l....
y= cosx

      

Gambar 328e Gambar 3.28f` 2 y=2cos x

Glam* YZWOSXVZ dlPeroleh dali gl`añl< FCOSX Grafik y=2cosx diperole...
G. 

 

 

Fungsi invers
Berikut ini diberikan tabel jarak dan waktu perjalanan seorang pengendara sepeda
motor

Waktu (ja...
Tapi tidak setiap fungsi mempunyai invers.  Perhatikan Fungsi l` :  xüxz dari lwimpunan
A ke himpunan B yang dísajikait de...
_2 1 i E Dati grañk di samping bila ditarik
-2 a 5 garis horisontal sembarang,  maka
PM-
.  garis tersebttt akan memotong ...
Soal

 

Gambar 3.30

Menurut uji garis horisontal,  'Fungsi y= x2
btakanlah fungsi satu-satu.  Tapi dengan
dibatasinya do...
TUJUAN IN STRU KSION AL

Umum

Setelah menyelesaikan mata kuliah ini (pada akhir semester I),  tnahasiswa

mempunyai pemah...
4. LIMIT DAN KEKON TIN UAN F UN GSI

Limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga merupakan.  konsep dasar materi kalkulu...
Ide Limit
Apa artinya bahwa suatu fungsi f mempunyai limit L ketíka x mendekati satu titik c? .
Suatu fungsi f mempunyai l...
EI f(x)= (x^2-4 I x~2) f(x)= (x^2-4)I(x-2) I! 

 
 
 

01

2 25 6 25

 
 

(A, 

   

(X)
A)

   
 
  

(D

 
  

1.099 35...
Limit L dari suatu fungsi y= f(x) ketíka x mendekatí suatu titik c tidak

bergantung pada nilai f di c. 

Contoh

-l,  x<0...
Penyelesaian

y=4<

 

Gambar Gambar

Fungsi f(x)= k adalah fungsi konstan,  dengan Grafik fungsi f(x)= x berupa garis lur...
7. Untuk setiap fungsi polinomial P(x) =  anx" + an_]x”'l +  + alx + ao

lim P(x) =  P(a)

x->a

8. Teorema Apit

Jika f(x...
limí-í-íüc_ _QQ-l xi +5) = -li_n71(3+/ x2 +5) =  -6

H?  - (x2 - 4)
d.  Karena hDO,  berartí h¢0, sehingga dapat dilakukan...
Nilai f(x) i
berada di sina

 
 

Gan1bar¢g Ketika x di sini x¢3

Contoh: 

Buktikan bahwa

a.  l' 4 -5 =7 ' -3_X _
, gaw ...
b.  Analisa

Akan dibuktikan bahwa untuk sembarang bilangan positif kecil s, 

   

           
   

2 _ 9
: jig:  - 7 <e ...
<5(a+4)
=52+4 <58=a

Penyelesaían contoh d, e dan f sílakan díusahakan dibuktíkan sendírí. 

Deñnisi (Limit Kiri)
lim f(x)...
Contoh: 

-2 2 1
Jika f(x):  x X+ ” x < ,  tentukan nilai dari 1ímf(x)
3 -x x >1 H'

Penyelesaian. 
un;  f(x) =  linI1(x2 ...
2. Tentukan limit berikut ini ,  jika ada: 

2 2
a lim x 9 f.  lim X I
x->3' X-3 x->l' X-II
-5 2
b “HKIX |  g.  lim ~L ~3X...
x/ l 5 - 5x,  x < 2
.  Js' ,  = 2
S.  Diketahui fungsi f (x) =  x ,  tentukan
9 - x2 ,  2 < x < 3
x - 2 ,  x _>.  3
a.  li...
. .  . sin x
Dengan menggunakan teorema apit diperoleh lim =  I
x->0 X

Dari hasi] ini diperoleh rumus limit fungsi trigon...
3 “m : ana-JI -2)
x->4 x~4

4 lim -üimx _U
x9! x2 -x-2

4.5. Limit Tak Hingga
Deñnísi (Limit Tak Hingga)
Mísalkan f Sebuah...
a.  Limit di Tak Hingga

0 Mísalkan fungsi f terdeñnísi pada (a, oo).  Limit fungsi f Lintuk membesar tanpa

batas adalah ...
0 limf(x)= -o0jikaVN>03n>O9x>n: >f(x)<N

o límf(x)= oojika VM>03m>Oax<m: >f(x)>M

. '-)~0O

0 limf(x)= -oojíkaVN<03111>03x...
lim f(x)= -c0 dan lim f(x) : oo
X-f-OO X->0O

lim f(x) =  oo dan lim f(x) : -oo
X-)-OO X-àü)

c.  Bentuk-Bentuk Tak Tentu ...
4.6. Kekontinuan Fungsi

a.  Kekontinuan Fungsi di Suatu Titik

Pernah dijumpai suatu fungsi dimana Eim f (x) ada dan sama...
Definisi
Mísalkan y= f(x) adalah fungsi yang terdeñnisi pada interval buka yang memuat c. 
J ika

l.  lim f(x) ada. 

X-)C...
2.- lim f(x) =  lim (x2 +1) =1

x->0 x->0

- f(0)=2

- lim f(x) at f(0)
x->0

J adi f(x) diskontinu di x=0

 

Gan1bar4.l6...
Sífat-sifat kekontinuan fungsi di satu titik
0 Jika f dan g kontínu di c,  maka f+g,  f~g dan fgjuga kontinu di c
0 J ika ...
/4+x , xs4

d.  f(x):  x2__16 c=4
,  4
d x_4 x>

2 Untuk fungsi-fungsi di bawah ini tentukan f(c) sehingga merupakan fungs...
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Materi Kuliah Matematika Teknik I
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

Materi Kuliah Matematika Teknik I

50.266 visualizaciones

Publicado el

MAteri Kuliah MAtematika teknik I : Bahan Ajar Kalkulus I

Publicado en: Ingeniería
  • Sé el primero en comentar

Materi Kuliah Matematika Teknik I

  1. 1. BUKU AJAR KALKULUS I Penulis Robertus Heri, S. Si, M. Si PROYEK SP4 TAHUN 2005 J URUSAN MATEMATIKA F MIPA UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARAN G 2005
  2. 2. KATA PENGANTAR Terima kasíh kepada Tuhan atas penyertaanNya selama penyusunanl sampaí selesainya buku ajar ini. Pembtratan bnku ajar Kalkulus l merupakan salah satu kegiatan Hibah Pengajaran tahun kedua yang dídanai oleh proyek SP4. Kegiataxu yang lain adalah magang perkuliahan dan kulialw Nau/ asan, yangjuga telah usai dilaksanakan. Buku ajar ini dílengkapi dengan soaI-soal yang berorientasi pada real problem solving yang InerLIpakaII tema kegiatan SP4. Kíranya buku ajar ini semakín Inelengkapi referensí Kalkulus l yang sudah ada, dan akan Inenjadi buku pegangan utama dalam pelaksanaan kulíah Kalkulus l. Ucapan teríma kasih juga kami sampaikan kepada l lbu Dra. Dwi lspriyantí, M. Si, Ketua Jurusan Matematika FMIPA UNDIP, 2 lbu Dra. SLmarsíh, M. Si, Sekretaris . lurusan Matematika FMIPA UNDlP yang juga Ketua Program SP4, Bapak Dr. Supama, M. Si, dosen KalkUlUS l Jurusan Matematika FMlPA UGM sebagaí pembílnbing dalam lnagang pennbuatalw buku ajar Kalkulus l, 4 lbu Drs. Sintarsíh dan lbu Dr. Wiclowati, M. Si, tim pengajar Kalkulus l jurusan Matematika FMIPA UNDIP, 5 Rekan-rekan dosen J urusan Matematika F MlPA UNDIP, yang telah lnenaberikan kesempatan dan dukungan semangat kapada penulis untuk LaJ menambalw pengetahuan dan wawasan dengan menglkutí program Hibah Pengajaranu ini. Kritik dan saran yang membangun sangat díharapkan untuk kesempurnaan buku ajar ini. Semarang, Deselnber2005 Penulis.
  3. 3. DAFTAR ISI Kata Pengantar Daftar I si Kontrak Garis~ga Perku l iahan ris Besar Program Pengaiaran I. Himpunan l . l. Relasí Antar l-limpunan 1.2. Operasi Antar l-limpuiuan 2. Sistem Bilangan Real 2.1. Sistem Bilangan Real H. Aksioma Lapangan b. Komponen Bilangan Real c. d. e. f. Aksioma Urutan Aksioma Kelengkapan lnterval Bentul( Aljabar 2.2. Pertidaksamaan 2.3. Nilai Mutlal( 2.4. Petidaksamaan Dalam Nilai Mutlak 3. Sistem Koordinat dan Fungsí 3. l. Sistem Koordínat Kartesius 3.2. Sistem Koordinat Kutub a. Hubungan Antara Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub b. Menggambar Grafik dalam Koordinat Kutub 3.3. Fungsi a. Penyajian Suatu Fungsi b. .lenis Fungsi dan Grañlçnya c. Operasí pada Fungsi 10 ll 16 l7 18 20 2l 22 24 27 30
  4. 4. d. Komposisi Fungsí e. Transformasi Fungsi f. Fungsi invers 4. Limit dan Kekontinuan Fungsi 4.1. Konsep Limit Fungsi a. Pendekatan Limit Secara Numerik b. Pendekatan Limit Secara Grafik c. Sifat-sifat Limit Fungsi d. Limit Fungsi e. Limit Fungsi Trigonometri i". Limit Tak l-iingga 4.2. Kekontinuan Fungsi a. Kekontimiaii Fungsi di Satu Titik b. Kekontinuan Fungsi di Suatu interval 5. Turunan 5.1. Masaiah-masaiah yang Ditafsirkan Sebagai Turunan 5.2. Definisi Turunan 5.3. Sifat-sifat Turunan 5.4. Tafsiran Geometris dari Turunan 5.5. Turunan Kiri dan Turunan Kanan 5.6. Diierensial 5.7. Aturan Rantai 5.8. Turunan Fungsi-fungsi 6. Penerapan Turunan 6.1. Titik Ekstrim Fungsi 6.2. Titik Belok Fungsi 6.3. Penggambaran Grafik Fungsí 6.4. Gerak Rektiliitear 6.5. Masaiah Laju yang Berkaitan 6.6. Bentuk Tak Tentu dan Aturan iii-lospital 6.7. Ter-apan Masaiah Ekstrim 54 56 59 94 97 99 100 l Oi 104 1 06 l2l 131 135 140 142 145 147 iv
  5. 5. 6.8. Penerapan di Bídang Ekonorni 150 7. integral Tak Tentu dan Teknik Pengintegraian 7.1. integrai Tak Tentu 160 7.2. Teknik Pengintegraian 163 a integral Parsíai 163 b. integral Fungsi Trigonometri 164 c. integral Substitusi Trigonometri 167 d. integral Fungsi Rasional 169 e. Substitusi yang Merasionalkan E75 t". Strategi Pengintegralan 176 8. integral tentu dan Penerapannya 8.1. integral Tentu 179 8.2. Penerapan integral Tentu 186 a. Menentukan Luas Daerah 186 b. Menentukan Volume Daerah 188 c. Menentukan Panjang Busur Suatu Kurva 192 d. Menentukan. Luas Pennukaan Banda Putar 1.95 Daftar Pustaka 200 Satuan Aeata Pengajaran 201
  6. 6. KONTRAK PERKULIAHAN Nama Mata Kuliah : Kalkuius i Kode Mata Kuliah : MAT 103 Pengajar : Dr. Widowati, M, Si Robertus Heri, M. Si Semester : I/2005-2006 Hari Pertemuan/ Jam : Seiasa, O7.30-09.10 . ium'at, 07.30-09.10 Tempat Pertemuan : Ruang Kuliah E 101 & B103 l. Manfaat Mata Kuiiah Matematika sebagai ilmu dasar digunakan sebagai alat untuk pemecahan dan penyeiesaian masaiah kehidupan sehari-hari termasuk di daiamnya ilmu pengetahuan dan teknologi. Matematika mempunyai banyak keungguian: bahasa dan aturannya terdefinisi dengan baik, penalarattnya jelas dan sistematik, dan strukturnya sangat kuat. Dengan matematika suatu ntasalah nyata dapat dibuat dalam suatu model yang strukturnyajelas dan tepat Kalkuius merupakan suatu mata icuiiah dasar yang sangat perlu díkuasai dengan baik oleh setiap mahasiswva sains dan teknik, sehingga mahasiswa mempuityai pola pikir ilmiah yang kritis, logis dan sistematik, mampu merancang model matematika sederhana, serta terampil dalam teknis matematika yang baku dengan didukung oleh konsep, penaiaran, rumus dan metode yang benar. 2. Deskripsi Perkuiiaiian Mata kulaih ini merupakan prasyarat Lintuk matakuliah Kaikuitrs ii dan kaikuius peubah banyak yang membahas sistem biiangan real, himpunan, fungsi, limit fttngsi dan
  7. 7. kekontinuan, turunan dan penerapamtya, integral, teknik pengintegralan, dan penerapan integral. Mata içuliah ini berusaha sejauh mungkin memberikait dasar-dasar teori maupun yang sangat diperlukan oleh mata kuliah lain, yang berupa deiinisi, teorema clan disertai contoh soai dan penyeiesaian serta diiengkapi dengan Iatihan soai dengan tingkat kesulitait yang bertingkat. 3. Tujuan Instruksionai 3.1 3.2 Umum Seteiah menyelesaikan mata kuliah ini (pada akhir semester i), mahasiswa mempuityai pemahaman konseptuai yang benar tentang topik-topii( utama dalam Kalkulus (limit, kekontiituan, diferensiai, integral) beseita teorema dan sifat-sifat serata teknik-teknik penting didaiamnya. Khusus Pada akhir perkuliahan diharapkait mahasiswa mampu: 1. Seteiait mengiituti kuliah ini (pada akhir pertemuait ke 1), mahasiswa ai<an dapat menjelaskan deiinisi himpunan dan operasi-operasi antar illmptlníll] 2. Setelah tnengikuti kuliah ini (pada akhir pertemuan ke 4), mahasiswa akan b. ) dapat menjeiasltan sistem biiangan real dan aksioma-aksioma di dalamnya, serta menyelesaikan soai-soai pertidaksamaan biasa maupun pertidaiçsamaan dalam harga mutlak. Setelah mengikuti kuliah ini (pada akhir pertemuait ke 7) mahasiswa akan dapat menjelaskan perbedaan sistem koordinat kartesius dan koordinat kutub, serta menjeiaskait definisi fungsi dan mengetahui jenis-jenis fungsi. Setelah mengikuti içuliah ini (pada akhir pertemuan ke 10), mahasiswa akan dapat menjelaskan konsep yang tepat tentang limit dan kekontinuan suatu fungsi, serta hubungan limit dan kekontinuan. Seteiah mengikuti kuliah ini (pada akhir pertemuan ke i4), mahasiswa akan dapat menjelaskan pengertian turunan sebagai suatu limit fungsi, hubungan turunan dan kekontinuan, aturait rantai, turunan fungsi aljabaigturunan fungsi
  8. 8. ínvers, turunan fungsi trigonoinetri, turunan fungsi eksponensial, turunan fungsi síklometrí. , turunan fungsi hiperbolik. 6. Setelah mengikuti kuliah ini (pada akhir pertemuan ke 17), mahasiswa akan dapat menjelaskan penggunanaan turunan untuk menentukan nilai maksimum/ minimnm, kecekungan fungsi, teorema Rolle, penggambaran fungsi, bentul( tak tentu limit fungsi, masalah laju yang berkaitan, dan masalah ekstrem. 7. Setelah mengikuti kuliah ini (pada akhir pertemnan ke 21), mahasiswa akan dapat memahami pengertian integral tak tentu sebagai suatu anti turunan, menyelesaikan soal integral fungsi aljabar, fungsi trigonometri, fungsi eksponensial, fungsi logaritma dengan teknik integral parsial, integral sunstitusi trigonometri, integral fungsi rasional, serta menguasai startegí pengintegralan. 8. Setelali mengilcutí kuliah ini (pada akhir pertemuan ke 25), mahasiswa akan dapat menjelaskan pengertian integral tentu, dan hubungannya dengan integral tak tentu dengan teorema dasar kalulus, serta menyelesaikan soal-soal integral tentu. Selaín itu, juga mampu menggunakan integral tak tentu untuk tnenghitung luas daerah, menghitung volume benda putar, menghitung panjang busur suatu kurva, menghitung luas permukaan benda putar. 4. Strategi Perkuliahan Metode perkuliahan dilakukan dengan ceramah, diskusi dan Iatihan soal. Lama perkuliahan 2x l 00 menit, masing-masing dialokasikan 50 menit untuk membahas teori pokok bahasan, 20 menit berikutnya dikusi, dan 30 menit sisanya untuk memberikan kesempatan kepada mahasiswa untuk mengerjakan Iatihan soal. Mahasiswa yang mengikuti perkuliahan sebanyak 33 tnahasiswa. 5. Referensi l. Edwin J Purcell, Dale Varberg, Calculus With Analitic Geometry, Prentice-l-lall. Inc, New York, l987 2. Frank Ayres, Calculus, Mac. Graw Hills, 1964
  9. 9. 3. Louis Leithold, Calculus With Analytic Geometri, Harper and Row Publisher, New York 4. l<. A. Stroud, Engeenering Mathematics, MacMíllan Press Ltd, l987. 5. . lames Stewart, Calculus, Fourth Edition, Brooks/ Cole Publishing Company, l999 6. Tugas Tugas diberikan kepada mahasiswa setelah selesai membahas setiap poko bahasan. Tugas merupalçan salah satu komponen penilaian. 7. Kriteria Penilaíait. Kriteria penilaian yg digunakan adalah : l. Nilai A :91-100 2. Nilai AB :8l-9O 3.Nilai B :71-80 4. Nilai BC :61-70 5.Nilai C : Sl-GO 6.Nilai CD :41-50 7. Nilai D :31-40 8.Nilai E z<30 Dalam menentukan nilai akhir akan iwienggunalcan pembobotan sebagai berikut l. Tugas/ Kuis : 20 % 2. Evaluasitengah semester :40% 3. Evaluasi akhir semester :40% Bila setelah diakumulasi, total ketíga komponen penilaian tersebut masih kurang, nilai keaktif`an ketíka mahasiswa maju menyelesziikan soai yang diberikan, dapat ditambahkan, sehingga peluang seorang mahasiswa mendapat nilai kurang dapat diminimalisir. 8. Jadwal perkuliahan MIN GGU MATERI PERKULIAHAN PENGAMPU Pendahuluan, Latar Belakang, Ruang Dr. Widowati, M. Si Lingku, Kometensi Kalkulus l Robertus Heri, M. Si ll Definisí Himpunan, Relasi dan Operasi Antar Dr. Widowati, M. Si Himpunan Robertus Heri, M. Si lll-lV Aksioma Laanan, Komonen Bilangan Dr. Widowati, M. Si
  10. 10. Real, Aksioma Urutan, Aksioma Kelengka- pan, Bentul( Umum Pertidaksamaan, Harga Robertus Heri, M. Si lX IX XIl~Xlll X-XI XlV-XV Penerapan di Bidang Ekonomi i_ Mutlak, Pertidaksamaan dalam Harga Mutlak V-Vl Sistem Koordinat Kartesius, Sistem Koordinat Dr. Widowati, M. Si Kutub, Deñnisi Fungsi, Jenis«jenis Fungsi, Robertus l-Ieri, M. Si Operasi Fungsi, Fungsi Invers. Vll-Vlll Konsep Limit Fungsi, Deñnisi Limit Fungsi, Dr. Widowati, M. Si Limit Fungsi Trigonometri, Limit Tak Hin oa, Kekontinuan Fun si. UllAN TENGAH SEMESTER Kulialt Wawasan Masaiah-masalah yang Berkaitan dengan Turunan, Definisí Turunan, Sifat-sifat Turunan, Tafsiran Geometris dari Turunan, Diferensial, Diferensiabel, Aturan Rantai, Turunan Fungsi aljabar, Fungsi transenden, Fungsi tri onometrí, fun si invers. Nilai Max/ Min, Fungsi Naik/ Turun, Kecelçungan Fungsi, Penggambaran Grafik Fungsi, Gerak Rektilinear, Masaiah Laju yang Berkaitan, Bentuk Tak tentu dan Aturan Ul-lospital, Penerapan Masaiah Ekstrim, Robertus Heri, M. Si Dr. Suryasatri ya Trihandaru, M. Sc Dr. Widowati, M. Si Robertus l-leri, M. Si Dr. Widowati, M. Si Robertus Heri, M. Si integral Tak tentu, Rumus integral Tak Tentu, Teknik Pengintegralan Dr. Widowati, M. Si Robertus Heri, M. Si XVI integral Tentu, Teorema Dasar Kalkulus, Penera an Inte ral Tentu. UNAN AKl-llR SEMESTER Dr. Widowati, M. Si Robertus Heri, M. Si Panitia Ujian.
  11. 11. _ . _ _ _ _ w a _ _ 5-3_ W: : 0:55 S: :matorog may_ m OEoE oo_ x ü cmzEuton_ _:3_ m _mmcsn_ _mwaah_ _mEmoo 8:3_ wmãuaoov_ EOHEW mamotmv_ . mEEooM Eoãm E02: _umaga_ _mwaah_ «vem _mukamo . o . n mEoTEcum . w . m . N . _ _mwaah_ : mv _mEEoov_ : aim am32 EEMU _HmmEmmxEgton_ MMC: : nmam: . . ãmEmmxmucaom EaED xãcom_ cmnmxmcoív_ mEo_mv_< . .. .E95 mEo_mv_< _m8 ccmzmzm uocoaEov_ . cmwcmãq «ESSE 0:5.: S: . am32 xoix' -érxirvívví : mãnEE . .Sam _mãoao : NU ? SQM mo : amam _m_ E82 _ w_ _. .m _ssãomaoz_ : me amae _azman cmxmmãmcoE atom 533_ _$6.59_ : mn mEmoEü_ _mEEoov_ : aim : nauuntog 28329259_ : Name : Sa niwanga: : Q. 8_ 5380300_ Eee . ..ung _a_ . aza. _samaaa ; amew . xmzzE amam: Esau : mmEmmxmnEon czmsmE mmmE : amEmmvHuEoa _momáom cmãmmowràoã atom . mazzzxmv : o mEo_mv_m-eEo_mv_a : mv _Sa 5955 : Bim cmxmmãmzos_ Eman : Em mãmümsmE Av 3_ emzEoton_ . EVE evan@ _E am23_ _edzwsoE ; EBom : me: EE . .Esmamhuno ; umbao : me : EEQEE _accnt : mxmavnyEoE _mamu : SE mãmimsmE A_ S_ zmsEotua cmEmxaEon_ _mzazqpcoE : SR mãmãmzmE . eümoEom : sxa mumu_ _E sa: : _Emman_ : namamana ntonan_ _mmLmopc_ -umtm : NU : E: . màEEmv _v mum ma; mauso@ _mtímnzm : me mEQLOu_ -mEEoB ntonan_ : mawot: .Ewcmauüv EEE m: _=o__mv_ EEN@ mESz ãaomxão_ @EEE naman_ ME? . _mzíomzov_ o_ SE: cmãmmeãacoE 2330@ _ _F 8 : m Emo: : . mmczmmmaozoa : m : SHES JE. : un. _m v_. ,_ _o _ . _u . ._ e. momcov_ . amci mEomàEom : Eu _mwcê _mo_ sam525 Eoãm masama mmsmgEoE _E _E23_ 83)_ . . _manoy moa _i mo_ _k2_ _ mzãvzmv_ _ Fi; zmsEotun_ _Ho_ _ : mEãEE _mEcoQ . _ suzane: : : in memos _E am53_ _ããmcoE : scam 0 m v m N mxãman_ . ..Emo : E55 _mmszmm_ mamasan_ : exam nam : nmmzmm xoxo; mnmzzv_ _m: o_mv_= .:m: _ : aanak oz 2323 aãzoaxzaemz_ Z<D_. D¢_. : xoza _maãxmmo mmmaoom MOEOZ : <332 <, _.<E 4303. Záaéáüzmm SãUOmm mãmm mzãwézãw _nmna_ m_: o_. im_: u_.
  12. 12. .cm _mãsmnsm _m: o_mm~_ _mmcsn_ _m. _wo_: _ _boãgomwww _mãtmnzw : :mo: : _: o:_o: om_. _._. _mm= =.. _ _$9.02_ _mima _EMEE : EP: :m: _EWEE manay_ : Huh : mk _Ewoã_ _Eocoxm mãEm_ _u : mmmãcom E_. =mv_m : m_mmm_>_ : maãucum _mãmomh : m.= :< : m: 3:8. : m: : Scam : mzmvtom me; nama_ : smmmã : mocêxom : maau _mwãu_ MCEO amànEmmwcom _nmga_ : mm:5_ooov_ : E:. _.b__mZ _mmEí : :àãmã _ãz _mnsan_ : m:E: ._. _Emmy_ : E22 _onmamntmtn_ _m_m: o._o. __n_ : m:: .=. .._. : m: mEoEooO : m.__m. ._m. _. : m:Eo. _. . m.__m-_m. __w : m:= ._: ._. _mEcoQ . :m: E:. _. : mwzo: :mãmrum mga» : m_mmmE-: m_mmmE : mmm_o_. :on_ _mmczn_ amzctcoxov_ . mmmãz : mk : EE _. __o_. :o: ow_. _._. _mmzsn_ : EE _mwaah_ : ES _$50.09 _mwaah_ : ES momcov_ : mss 8_ x m_ : mzãotu: :m: w @E05 S: 5358s: :m: m @as 8_ x 3 : masato: :m: v : Eee 8_ x m_ : matutu: _E mm ntfvíxólx Irzxarxoo-oír m' r-ív : m_m_w3:_m: un_ : _5_o. _. : m: 3:0.: gm. _m. _.. n.8:_ _P735 EoEo: ou_b _mãcmcsm _Ewué_ _, _m_m: mn_ _Smoã_ : EVE : mms: mEEmwo_ _mmã_ ; Emcozoamxo _mmce . _.= u:_o: om_b _mmda wmnmmm _mwa_ _müoã_ _mom : mvsmmoñãoã . :.m_. =._. _=_ _Em amam _mwmnum 2:8 : mu _FREE : aremco: _Em__mEoE _mnmv : mxm m3m_mm: mE . CN H_ 5358s: .Eva mga_ _E . aza. :aããs : ammom : m:= .=_. _. : mmmxacum : m:: ._= ._. _mmszn_ : m:: __: ov_uv_ : m: : ES Eobmxo : m_mmmE : m: 68:37am_ mcm» nam_ : m_mmmE . _mw: =._ : E: 3:3 : E : Eco: ._mw: =._ zmmmnEmmmcon 6:3_ mEo. _oo_ : mms: :mwcsxouw: ": :=: _:_EE: E_mv_mE R: : : mV_E: o:oE : :H: : : HEEE : mm: m:= mm: o._ : mxmmmwnsmã _mamu : mxm m3m_mm: mE _Q_ 8_ : msEorug : sa ang: _a _aza_ : sama. .. ; seem . mãeogs _mwãu_ : mãzã . ._. =uEo_u__m _mwSm_ : mmEã . _m_m: u:on_mu_o _mmcã : mEEE . Eoeozoüb : ma: :mEEE . m._o>: _ _mmsã : m:: ._: _:mn_m. :m _mmcã : mcEã . EEE : Eãm . :m= :__: ov_o: :m: SmCPE_ : mwzznz: :mwcã : E: . zmsm _mwmsom : EEE : mzümímq nmxmãomcuE _mamu : mxm m3m_mm: mE _Q_ 8_ : mzãuüo: :im mvmê _E : m:3_ _ããwzuE : mãüm . cmzããoxov. :m: :E: :manana: mcom : mms: _amam : mscccoxm: :m: :E: mããu_ _mao_ mas_ am39_ cmxmmnrãoE _mama : mxm m3m_mm: mE A0_ 3_ : mnãouon : im mumu_ _m_ : m:ã_ _ãxãcoE : mêom
  13. 13. 020e o. : x m_ cmseoton_ :3 v 00o_ . mcmaãoo wcEmzasn_ o_oo_mv_oo. _m . soãvm ; taon "mãzuão . tuãmmm mona. . #w9 . EA umwi : mEEoaE . moumasopzüz wztocoowcm . vsobm . <.v_ v_. _o> 302 Qosmzsnn_ . SOM @cm _aaral . EoEcoO o_<^_m: < ; :3 mEsEmU . nizhcuq mãox_ vom_ i: : 380 022 . mãssmo . muta/ x _Eun_ mmm_ JCO> auz dc_ . __«_1_-uo: :o#_ Ssoãooo u_: _m: < 5:5 33020 . mhãzã can_ . zooàm _, :: swm . .azi «naam uE= _o> mnsn_ : wxzãocoã x3:: :EE _m, _wo_: _ cmmczwwcun_ _nmam_ maaram : mxãcocoã x2:: :EB _am25 cnmczmwcon_ : Saan oEEo> : mxazuzoã fa: : : EB _naman_ _amczmwsoa_ ; Soma amaw_ : mxãcozoã x3:: :EB _müuà_ . .ãcsmwçom misãmv_ _ummm_ nEBooh : EoH _mbnmac_ . cmv__mzo_mm. _oã mzccmamkãun_ : mv : Hoh _ãwBE nmxãmnm . .maan . ..San 23am_ : mav_: E._om mma_ mcEEwEE 533_ : Ham . Eman mamasan_ mczzsmcoê ; Sam museo_ uE: _o> wãêgwcoz. ;awayan mms_ mcãímcuã xau: : : Ena x8 : :mo: : cmxmazwwcoE : mEmE «ni 5: _Exam 3:2 _ãwoE_ _momáom : wxñmuízcoã aram . $372 _amaw mEEoo_ sawsaw 3:8 _m_ _mumoê_ cmwcuw mzccmwczaí_ : mu . E23 _nama_ cmãmmcoa : mzmzxamcoã : amu : Em namamana: Amm H_ zmsEoton _Exm «vans _E 2.55_ _EãwcoE ; Scam -Ncvívlrí . cnwwãuzzmcua _motãm _mmaamcos_ «tom _maean_ _muse
  14. 14. TUJUAN IN STRUKSIONAL U m u m Setelah nnenyelesailçan [nata kuliah ini (pada akhir semester l), ;mahasiswa mempunyai peanahalnan konseptual yang benar tentang topik-topik mama dalam Kalkulus (limit, kekontinuan, díferensíal, integral) beserta teorema dan sifat-sifat serata teknik-tekníí( penting didalalnnya. Khusus Pada akhir perkuliahan ini (pada akhir pertemuan ke 1), lnahasiswa akan dapat menljelaskan deñnisi hínapunaau dan Operasi-Operasi antar himpunan
  15. 15. l. HIMPUNAN Sebeluln memulai pembahasan bilangan real, akan dibahas terlebih dahulu pengertian himpunan. Himpunan adalah lculnpulan obyek yang memenulmi sifat-sífat tertenttr. Obyek dari himpunan S disebut elemen atau anggota dari S dan dilambangkan dengan e. Himpunan yang tidak n1elnptnnyai elemen disebut Iiimpunan kosong atau null set, dísimbollçan dengan Q. Jika a adalah elemen dari himpunan S, dítulis a e S dan dibaca “a elemen S" atau “a di dalam S”. Sedangkan untuk lnenyatakan bahwa a bukan elemen S ditulís a sa S dan dibaca “a bukan elemen S" atau “a bukan di dalam S". . Suatu himpunan dapat disajikan dalam dua cara yang berbeda. Sebagai contolm, lnisalnya himpunan A mempunyai elemen 0,l,2,3,4,5. Penyajian pertama untuk A adalah A= {O, l,2,3,4,5} dan dibaca “A adalah himpunan yang Inemuat elemen 0,1,2,3,4,5”. Penyajian yang lain adalah A= {x/ x adalah bilangan bulat non negatif yang kurang dari 6} dan dibaca “A adalah himpunan semua x dimana x adalah biiangan bulat non negatif yang kurang dari 6". Sekarang perhatíkan himpunan C= {2,3} dan D= {2,3,5} dimana setiap elemen C juga di dalam D. Ketika elemeiveleunezi himpunan C juga merupakan elemen lnmpunara D, dikatakan bahwa C himpunan bagian (subset) D dan dinotasikam dengan C g D. Himpunan dari semua himpunan bagían dari suatu himpunan disebtlt himpunan lcuasa. Himpunan kuasa dari D adalah {Q {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}}. Perhatikan bahwa himpunan kosong (Q) merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. 1.1 Relasi Antar Himpunan Relasi yang mungkin terjadi antara dua himpunan adalah: 0 Berpotongan Dua himpunan A dan B dikatakan berpotongan bila antara himpunan A dan B terdapat elemen yang sama. IO
  16. 16. 0 Saling Lepas Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika antara himpunan A dan B tidak terdapat elemen yang saiha Sama Dua himpunan A dan B dikatakan sama bila elemen Iiimpunan A sama dengan elemen himpunan B Ekivalen Dua himpunan A dan B dikatakan ekivalen bila himpunan A dan B mempunyai elemen yang sama banyak, tapi elemen-elemen ítu tidak sama. 1.2 Operasi Antar Him punan 0 0 Irisan dari Dua Himpunan (Intersection) lrisan (intersection) dari A dan B, dan dinotasikan dengan AuB adalah himpunan yang anggotanya elemen-elemen himpunan A dan B Penyajian dalam notasi matematik adalah sebagai berikut xaAuB<z>xeAdan xsB Gabungau Dua Himpunan (Union) Gabungan (Union) himpunan A dan B, dinotasikan dengan ArwB adalah himpunan yang anggotanya elemen anggota A atau B Penyajian dalam notasi matematik adalah sebagai berikut xeAnB<z>xsAatau xsB Selisih Dua Himpunan Selisih dua himpunan A dan B dinotasikan dengan A-B adalah himpunan yang anggota~anggotanya merupakan anggota himpunan A tapi bukan merupakan anggota himpunan B Penyajian dalam notasí matematika adalah sebagai berikut xsA-BaxaAdanx eB Komplemen ll
  17. 17. Komplemen dari himpunan A dideíinisikan sebagai ltimpunan selain himpunan A tapi masih dalam semesta pembicaraan. Komplemen A ditulis A”. Penyajian dalam notasi matematika adalah sebagai berikut A“= {x/ x eA, x eS} Soal-soal Iatihan l. Jika D = {O,4,7} kita katakan 76 D dan {7} g D , tetapi bukanlah 7g D. Tentukan mana yang benar diantara pernyataan berikut: a.4eD c. ¢eD f. oev h. 4e{4} b.4gDd. ¢gD g.0gD i.0¢¢ 2. Misalkan himpunan semesta S = {x [x biiangan ganjil positif} tentukan AC bila "B . J. a. A={l} c. A=¢ b. A= {l,3,5,7} d. A= S Misalkan A = {l,2,3}, B = {2,4,6}, C = {3,4,5} tentukanlah: a. AuBb. AuC c. CuD d. AuBuC eJ-OBUC f. AmBg. AmC h. CrD i. AuBnC j. ArBuC 4. Diketahui S = {O, l,2,3,. ..,8,9}, A = {0,l,2,4,8}, B = {0,3,5,7} tentukanlah: 5. a. (S-A)n(S-B) b. (S-A)U(S-B) c. Au(S-A) d. An(S-A) Tentukanlah syarat agar Operasi antar himpunan A dan B ini dipenuhi : a. AmB= ¢ b. ArB= U c. AuB-: U d. AuB= ¢ e. AnB= A líAuBzA g. Arw¢= ¢ h. ArwUzA i. AuU= U j. AuU= A k. AU¢= U l. Au¢= ¢ i2
  18. 18. dimana U ! Iimpuiuan semesta. 6. Buktikanlah : a. (AOB)OBC = ¢ b. [PC u(PrQ)iC : PAQC c. (Anmumnac) = A 7. Dalam suatu survey pemakaian sabun cuci pada 1.000 rumah tangga díperoleh data sebagai berikut : 550 rumah tangga memakai sabun detergen A 480 rumah tangga memakai sabun cuci cap B 600 rumah tangga memakai sabun detergen C 250 rumah tangga memakai sabun detergen A dan sabun cuci cap B 380 rumah tangga memakai sabun detergen C dan sabun detergen A l lO rumah tangga memakai sabun detergen C dan sabun cuci cap B Berapa rumah yang memakai ketiga macam sabun tersebut (A, B,C) 8. Dalam pertemuan 60 orang mahasiswa suatu universitas disediakan minuman merk A dan B, setelah diadakan pencatatan tetnyata : 30 orang minum A 25 orang minum B i5 orang minum A dan B Buallah diagram Vemv dan hitunglah: a. Berapa orang yang tidak minum apa-apa b. Berapa orang yang minum A saja c. Berapa oran g yang minum B saja 13
  19. 19. 9. Dari hasil wawancara di suatu daerah duiperoleh data mengenai prosentase pembaca majalah X, Y,Z sebagai berikut: 50% membaca majalah X 50% membaca majalah Y 70% membaca majaiah Z 40% membaca majalah X dan Z 30% membaca majalalt Y dan Z 20% membaca majalah X . dan Y lO% membaca majalalt ketiga-tiganya Pertanyaan: a. Berapa persen yang membaca tepat dua majalalu b. Berapa persen yang tidak membaca salah satupun dari ketiga majalah tersebut. i4
  20. 20. TUJU AN INSTRUKSIONAL Umum Setelah menyelesaikan mata kuliah ini (pada akhir semester l), mahasiswa mempunyai pemahaman konseptual yang benar tentang topik-topik utama dalam Kalkulus (limit, kekontinuan, diferensial, integral) beserta teorema dan sifat-sifat serata teknik-teknik penting didalamnya. Khusus Setelah mengikuti kuliah ini (pada akhir pertemuan ke 4), Inahasiswa akan dapat menjelaslcan sistem biiangan real dan aksioma-aksioma di dalamnya, serta menyelesaikan soal-soal pertidaksamaan biasa maupun pertidaksamaan dalam hai-ga mutlak. 15
  21. 21. 2. SISTEM BILA. NGAN REAL 2.1 Sistem Bilangan Real Sistem biiangan real R adalah himpunan biiangan real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian, sehingga memenuhi aksioma tertentu. Terdapat tiga aksioma dalam sistem biiangan real, yaitu: a. Aksioma Lapangan b. Aksioma Urutan. c. AksiomaKelengkapan. a. Aksioma Lapangan Operasi penjumlahan dan perkalian yang beriaku pada R memenuhi aksioma: *Jika a, b s R, maka a+b s R dan ab a R (Tertutup terhadap penjumlahan dan perkal ian). 'Jika a, b s R, maka a+b= b+a dan ab= ba (Komutatif terhadap penjumlahan dan perkaiian) *Jika a, b, c a R maka (a+b)+c= a+(b+c) dan (ab)c= a(bc) (asosiatif terhadap penjumlahan dan perkalian) 0 Terdapat O dan l yang merupakan e R, sehingga a+0=a dan a. l=a untuk setiap a e R. s Jika a s R terdapat -a e R sehingga a-t-(-a) : O (Terdapat unsur invers terhadap penjumlethait) 'Jika a e R dan a¢O, terdapat a" s R sehingga a a"=1 (Terdapat unsur invers terhadap perkal ian) 0 J ika a, b,c a R, maka a(b+c) = ab+ac (Distributit) Teorema 2.1 0 J ii<a azb maka a+c= b+c dan ab= ac 0 J ika a+c= b+c maka b= c 0 J ika ab= ac, mao maka b= c i6
  22. 22. 9 a(b-c)= ab-ac 9 ~(-a)= a dan Lintuk a¢0, (a")"= a. 9 a.0=0.a=0, a(-b)z-a(b)= -ab, (-a)(-b): ab_ 9 l ika ab=0 maka a=0 atau b=0 ó 3 3<: >ad= bc, b¢O, d¢0 b d . Komponen Bilangan Real Berikut ini disajikan himpunan-himpunan penting dari biiangan 9Himpunan biiangan asli: {l,2,3,. ..} digunakan untuk menghitung banyaknya obyek suatu himpunan. Dinotasikan dengan N= { l ,2,3,. ..} 9l4limpunai1 biiangan prima: {2,3,5,7,. ..} yaitu himpunan biiangan yang hanya mempunyai dua faktor, yaitu l dan dirinya sendiri. 9Himpunan biiangan komposit: {4,6,8,9,. ..} yaitu himpunan biiangan asli yang mempunyai iebih dari dua faktor. 9Himpunan biiangan cacah: {0,i,2,3,. ..} yaitu himpunan biiangan asli beserta angka nol. 9Himpunan biiangan bulat: Z= {.. .,-2,-l,0,l,2,. ..}. Himpunan biiangan cacah disebutjuga dengan himpunan biiangan bulat non negatif. 9Himpunan biiangan genap: {. .., -4,-2,0,2,4,. ..} yaitu himpunan biiangan bulat kelípatan dua 9 l-limpunan biiangan ganjil: {. .., -3,-l, l,3,. ..} yaitu himpunan biiangan bulat bukan kelipatan dua. 9 Himpunan biiangan rasionai: Q= {x/ x=%, a dan b adalah biiangan bulat dengan b¢0} Jika a habis dibagi b maka disebut biiangan bulat dan bila a tidak habis dibagi b disebut biiangan pecahan. Bilangan rasionai selalu mempunyai bentuk desimal yang berulang (repeating) atau bentuk desimal yang berakhir (ter/ ninalíng). 9 Himpunan biiangan itasional, yaitu himpunan biiangan yang anggotanya bukan biiangan rasionai, bukan hasil bagi antara biiangan bulat dan biiangan asli. l7
  23. 23. C. ' w5 yang merupakan panjang sisi miting dari segitiga siku-siku dengan sisi siku- silçunya masing-masing l, dan r: yang merupakan pei-bandingan dari keiiling lingkaran dan panjang diameternya adalah contoh biiangan irasionai. 9Himpunan biiangan rasionai dan himpunan biiangan irasionai bergabung membentul( himpunan biiangan real R. Himpunan biiangan real dan komponen-komponennya dapat juga disajikan dengan diagram berikut: Keterangan R: biiangan asli R Q: biiangan rasionai Z. ' biiangan bulat N: biiangan asli ecahnn komposít Aksioma Urntan Berdasarkan aksioma ini biiangan real dapat diurutkan dari kecil ke besar. Aksioma ini juga merupakan dasar untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan. Pada R terdapat Iiimpunan bagian yang disebut biiangan positif, yang memenuhi aksioma: 9 Jika a e R, maka a=0, atau a positif atau -a positif 9 . iumlah dan hasii kali dua biiangan positifadaiah biiangan positif. Definisi 2.1 Misalkan a dan b biiangan real 9 Bilangan a dikatakan lebih besar dari b dituiis a>b 9 Bilangan a dikatakan lebih kecil dari b dituiis a<b 9 asbjika a<b atau a= b, dan azbjiak a>b atau a= b. 9 Pern ataan an dihubun kan den an >, <,2,s, disebut ertidaksamaan. Y Y g g 8 P i8
  24. 24. 9 Bilangan real a dikatakan negatifjiiça ~a positif. Teorema 2.2 Mísalkan a, b,c dan d biiangan real, maka: a. a < b dan b < c :3 a < c (transitif) b. a < b dan csembarang: a + c < b +0 c. a<bdanc<dz>a+c<b+d d. a<bdanc>0z>ac<bc e. a<bdanc<oz>ac>bc f. O<a<bdano<c<dr>ac<bd g. 0<a<bataua<b<0z>l>l a b Selain biiangan noi, positifdan negatifterdapatjuga bentuk akar, yaitu biiangan yang berbentuk RE, n= l,2,3,. .. yang hasiinya bukan biiangan rasionai. Bilangan berbentuk akar didefinisikan sebagai berikut Defínisi 2.2 9 Akar kuadrat dari biiangan positifa (d5) didetinisikan sebagai biiangan positifx yang memenuhi xzza 9 d; dengan n genap positif dideñnisikan sebagai biiangan positif x yang memenuhi x"= a 9Akar kubii( dari biiangan positif a (ã/ a) dideñnisikan sebagai biiangan real x yang memenuhi x3=a 9 V; dengan n ganjii positifdideñnisikan sebagai biiangan real x yang memenuhi xn: a Contoh 9 JE)- bukan merupakan bentuk akar karena hasii x5 adalah biiangan rasionai dan menurut definisi x/ _9_=3 i9
  25. 25. 9 Sesuai definisi 3xl~ 125 = -5, karena -5 adalah bilangan real yang memenuhi (-5)3=-l25 d. Aksioma Kelengkapan Aksioma ini menyatakan bahwa, setiap himpunan bagían tak kosong R yang terbatas di atas selalu mempunyai batas atas terkecil , dan setiap himpunan bagian tak kosong R yang terbatas di bawah selalu mempunyai batas atas terbesar. Definisi 3 0 Himpunan tidak kosong Sc; , dikatakan terbatas di atas, bila terdapat biiangan real b sehingga xsb, Llntuk setiap xeS. Sebaliknya dikatakan terbatas di bawah, bila terdapat bilangaiu real a sehingga xza, untuk setiap xeS 0 Bilangan real b disebut batas atas tel-kecil (supremum) dari himpunan tidak kosong Sg dan ditulis b= supS, bila b adalah batas atas S, dan batas atas yang lain lebih besar atau sama dengan b. Sebaliknya, bilangan real a disebut batas bawah terbesar (ínñmttm) dari himpunan tidak kosong S; dan dituiis b= ínfS, bila b adalah batas bawah S, dan batas atas yang lain lebih kecil atau sama dengan a. Aksioma inilah yang membedalcan biiangan real dan bilangan rasionai. Perhatikan contoh berikut ini. Pendekatan «E disajikan oleh himpunan berikut A= {2,2; 2,23; 2,236; 2,236; 223607; 2236079; 2,2360797;. ..} Himpunan A ini terbatas di atas oleh biiangan JE ; 2,5; 3; 3;. .. Batas atas terkecilnya adalah JE . Bila semesta pembicaraannya adalah biiangan rasionai, bei-arti A tidak mempunyai batas atas terkecil. Mengapa? . Karena JS. biiangan irasionai. Apa aminya? . Bahwa bila semesta pembicaraannya adalah biiangan rasionai, batas atas terkecil tidak selalu ada, sedangkan bila semesta pembicaraannya biiangan real, batas atas terkecilnya pasti ada. Pada contoh A, bila semesta pembicaraannya 20
  26. 26. biiangan real, batas atas terkecílnya adalah JE , karena biiangan irasionai termasuk biiangan real. e. Intervai interval (selang) dideñnisikan sebagai himpunan biiangan real yang memenuhi pertidaksamaan tertentu. Ada dua macam interval, yaitu interval hingga dan tak hin gga. interval hingga adalah ltimptlnan bagian dari yang terbatas di bawah atau di atas. Sedangkan interval tak hingga tidak terbatas di atas atau di bawah. interval hingga interval tak iringga (a, b)= {xe / a<x<b} -e----à- (a,00)= {xe / x>a} -&--à (a, b]= {xe / a<xsb} -ê---Py (-co, b)= {xe / x<b} é-a--à- [a, b)= {xe / aSx<b} -[: ---ã- [a, oo)= {xe / x2a} -Etl--í [a, b]= {xe / asxsb} -[---b]- (-oo, b]= {xe lxsb} é-í a (-oo, oo)= e-à-e f. Bentuk Aljabar Bentuk aijabar adalah suatu bentuk yang diperoleh dengan sejumlal} hingga Operasi aljabar atas peubah, konstanta dan parameter. 0 Peubah (variable) adalah notasi yang mewakilí suatu unsur dalam suatu himpunan. * Konstanta adalah adalah notasi yang mewakilí suatu unsur dalam himpunan berunsur satu. * Parameter adalah notasi yang mewakilí unsur dalam himpunan konstanta. Mísalkan diketahtti bentuk aljabar x3-4x+c, maka x disebut peubah, -4 disebut konstanta, dan c disebut parameter (bila c adalah unsur dari suatu himpunan) atau dapat pula disebut konstanta (bila c adalah biiangan textentu). Latihan l. Ubahlah biiangan desimal berikut dalam bentuk pecahan a. 2727272727.. . b. 05329999999.. . 21
  27. 27. C. l7,l53l53l53.. . 2. Bila pemyataan berikut benar, berikan argumentasinya. Bila salah berikan alasan penyangkalaiwnya a. b. c. d. e. f. g. J ika x=2 maka x2=4 J ika x2=4 maka x=2 . l ika x<2 maka x2<4 J ika x>2 maka x2>4 J ika x2<4maka x<2 Jika x2>4maka x>2 J ika -2<xsi maka Osx2<4 3. Mana langkah dari rangkaian proses pengeijaan berikut yang salah a. x=4.. . (I) x2=l 6.. . (2) x2-4x= l6-4x. .. (3) x(x-4)= -4(x-4). .. (4) xz-4.. . (5) 4=-4.. . (6) 0=0+0+0+0+. .. o= (2-2)+(2-2)+(2-2)+. .. 0=2+(-2+2)+(-2+2)+(-2+2)+. .. 0=2+0+0+0+. .. O=2.. . 2.2 Pertidaicsamaan (l) (2) (3) (4) (5) Bentuk umum pertidaksamaan satu peubah real adalah A(x) B(x) < C(x) D(x) , dengan A, B, C, D keempatnya adalah suku banyak dalam x (tanda < dapat berubah >, S, atau 2). Solusi dari suatu pertidaksamaan adalah suatu interval dalam x. Langkah penyelesaian suatu pertidaksamaan. : l. Ubah bentuk pertidaksamaan semula menj adi P(x) Q(x) <0 22
  28. 28. 2. Uraikan P(x) dan Q(x) menjadi faktor-faktoa' linearnya 3. Tentukan tanda pertidaksamaan pada garis biiangan 4. Tentukan solusinya dalam bentuk interval. Contoh Tentukan solusi pertidaksamaan berikut: a. Zsxz-xsó b x-Esi x C_ x +1 S x x - 2 x + 3 d_ x - 2 S x +1 x2 X 'i' 3 2.3 Nilai Mutlak . . . . . . . x, x 2 0 Nilai mutlak x, dituiis lx| didefinisikan dengan lx| = < 0 - x, x intemretasi yang lain terhadap [x] adalah o 0.0 xl = maksimun1{-x, x} 4' lxl = JK? 02' rjarak antara titik x dan 0 | x - cl= jarak antara titik x dan c Sifat Nilai Mutlak Untuk setiap biiangan real x beriaku i. |x| = 0 <: :> x = 0 n. |xl z 0 iii. Jika a>0, maka a. hilsaa-asxsaaxzsag 23
  29. 29. 2 2 b. lx| .>_a<: >x2aataLixs-a<: >x . >_a iv. Ketaksamaan segitiga a h+dsM+M b- lx * tl S l><| +lyl C- lxl *lyl S IX - Yl d- llxl-lvll S | >< - Yl v. Untuk setiap biiangan real x dan y berlaku a- lxyl = l><llvl Contoh Selesaiakan setiap soai berikut l. Menurut definisi tulískan bentuk berikut tanpa notasi harga mutlak a. |3x+2l a 44+@-4 c. l2|x - l| + xl 2. x2-4x+4=2-x 2.4 Pertidaksamaan Dalam Nilai Mutlak Penyelesaían pertidaksamaan dalam harga mutlak adalah dengan menggunakan detinisi harga mutlak, mengubal} pertidaksamaan, sedemikian sehingga notasi harga mutlak tidak ada lagi dalam pertidaksamaan tersebut. Mísalkan untuk menentukan solusi dari |3x-2| >l, lxz -xl s 2 dapat digunakan sifat harga mutlak iii (a) atau iii (b). 24
  30. 30. Jika diketahui soai 2lx| +|x~ll S2 (pertídaksamaan yang memuat lebih dari satu harga mutlak), maka solusinya dapat dicari dengan menggunakan definisi harga mutlak, dan menerapkannya pada garis biiangan. Contoh Tentukan solusi dari pertidaksamaan berikut l. xlxl slx -Zl 2 px-dsp+a 3 zsnz-dsó 4. 3|xl Slx - ll+5 5 mx-02-p-usi 25
  31. 31. TUJUAN IN STRUKSIONAL Umum Setelah menyelesaikan mata kuliah ini (pada akhir semester i), mahasiswa mempunyai pemahaman konseptual yang benar tentang topik-topik utama dalam Kalkulus (limit, kekontinuan, diferensial, integral) beserta teorema dan sífat-sifat serata teknik-teknil( penting dicialeunnya. Kh usus Setelah mengilçtnti kuliah ini (pada akhir pertemtaan ke 7) mahasiswa akan dapat n1enjelaskai1 perbedaan sistem koordinat kartesius dan koordinat kutub, serta menjelaskan definisi fungsi dan mengetahui jenis-jenis Fungsi. 26
  32. 32. 3. SISTEM KOORDINAT DAN F UN GSI 3.1 Sistem Koordinat Kartesíus Sembarang titik pada bidang diukur terhadap dua garis lurus yang saling tegak lurus yang keduanya beririsan di satu titik O (Gambar 3.1). Kedua garis lurus ini disebut sumbu koordinat. Garis mendatai' disebut sumbu horisontal (sumbu x) dan setiap titik yang ada padanya dinotasikan dengan x, dimana semakin ke kanan semakin beitambah besar. Garis tegak disebut sumbu vertikal (sumbu y) dan setiap titik yang ada padanya dinotasikan dengan , dimana semakin ke atas semakin besar. Titik dimana x dan y keduanya O disebut titik asal dan dinotasikan dengan O. Jika P adalah sembarang titik pada bidang, maka melaltii titik P dapat díbuat garis yang tegal lurus dengan sumbu koordinat. Mísalkan garis memotong sumbu x di titik a, dan memotong sumbu y di titik b, maka a disebut koordinat x dan y disebut koordinat y. Pasangan (a, b) disebut pasangan koordinat. Koordinat x di setiap titik pada sumbu y selalu O, demikían juga koordinat y di setiap titik pada sumbu x selalu O. Koordinat titik asal adalah (0,0). 'Pitik asal membagí sumbu x menjadi Limbuyiaosítif _ _ _ _ _ sumbu x positifdi sisi kanan dan sumbu x k““d"a“ll k““d"“"l negatif di sisi kiri. Titik tersebut juga ( ' 2 ' ' . . . . . wmb" xfeàanfütík Sa] swim! ” pos” membagi sumbu y meniadi sumbu y positif xv di sebelah atas dan sumbu y negatif di -3 -2 -1 1 2 3 _2 umbuynegatíf sebelah bawah. Sumbu koordinat membagí bidang menjadi einpat bagian yang disebut kuadran lll -4 kuadranlV kuadran yang arahnya berlawanan dengan - 6 Gambar I arah jai-um jam. a. Jarak antara dua titik pada bidang Mísalkan diketahui P(xi, yi) dan Q(X2,y2), makajarak anata P dan Q adalah d = |PQ| =J(X2 _Xl)2+(y2 'YUZ 27
  33. 33. Contoh JmmmmmAamdmBm5;mwaMm= JpnaF+w-03=Jm4=JE b. Garis Lurus Bentuk umum persamaan garis lurus ax + by + c = O, dengan a dan b tidak semuanya nol. Dari bentuk umum ini: ó bila garis sejajar sumbu y, persamaannya x= a 0 bila garis sejajai' sumbu x, persamaannya y= b 0 bila garis tidak sejajar salah satu sumbu, persamaannya y= mx+c. 0 bila garis melaluí (0,0), persamaannya ax+by=0 0 bila garis melalui (xhy. ) dan bergradien m, persamaannya y-y. =m(x-x. ) Y”Y1 _ X-Xi yz-. Vi x2 "Xl o bila garis melaluí (xhy. ) dan (x2,y3), persamaannya Mísalkan terdapat dua garis k: ax+by+c=0 dan garis l: px+qy+i= O, maka a b 0 k dan lsejajar (k/ /l), jika - = - at E dan berimpit (ksl), jika 3 P q l' P _2-2 q r 0 k dan l berpotongamjika i ; é E dan berpotongan tegak lurus, jika i = -E P CI P q . 'I Persamaan umum garis lurus adalah ax+by+c=0, atau y= mx+d, dengan m : -ê dan c . . . . d = --b~. Besaran m disebut gradien garis yang menyatakan tangan sudut antara garis dengan sumbu x positif. c. Jarak titik ke garis. Jalak dari titik A(xo, yo) ke garis dengan persamaan k: ax+by+c=0, adalah b d(A, k)= axa + yo +C az + b2 cl. Grafik Grafik dari sebuah persamaan atau pertídaksamaaxi yang memuat peubah x dan y adalah himpunan semua titik P(x, y) yang koordínatnya memenuhi persamaan atau pertidaksama- 28
  34. 34. an itu. Gambar 3.221 mern akan Grafik kelilin r lin karan dimana setia) títikn a memenuhi c; à , l Y . 2 3 . persamaan lingkaran x +y = l, sedangkan gambar 3.2b menyatakan grañk luas lingkaran, dimana setiap titíknya memenuhi persamaaui x3 +y2sl Gambar 2a Laühan l. "Pantukan persamaan garis yang gradiennya -I/3 dan meialui titik potong garis y= x dan garis y=6-2x. 2. Tentukan persamaan garis yang membuat sudut 5% dengan sumbu x positif dan beijarak 2 Satuan dari titik (0,0) 3. Bila diketahui titik A( l ,2), B(3,-4), C(-2,0), tentukan a. persamaan garis g melalui A dan sejajai' BC b. persamaan garis melalui titik tengah AB dan tegak lurus g c. jarak dari A ke garis BC d. luas segitiga ABC 4. Gambarkan grafik a. y-lSxsyH b FII-lxl c. yslx] d. |y| < 2|xl 29
  35. 35. 3.2 Sistem Koordinat Kutub Dalam mendeñnisikan koordinat polar, pertama ditetapkan terlebih dulu titik asal O yang disebut pole, dan sinar awa! dari O. P030) O sínar awal Gambar 3 Setiap titik P dalam koordinat polar ditulis P030). dimana r menyatakan jarak berarah dari O ke P, dan 9 menyatakan sudut berarah dari sinar awal ke sinar OP, yang arah posítíñiya, berlawanan arah dengan arah jaruln jam Seperti halnya pada IFlgOHOIDCLFl, sudut yang menyatakan posisí suatu titik tidaklah tunggal. Perhatikan contoh berikut P(2,6)= P(2, -1 w6) sinar awal G- Gambar' 4 Mísalkan titik P yang beijarak 2 Satuan dari O dengan posisi sinar B=1r/6 dan ditulis P(2, m6), dapatjuga ditulis P(2,-l ln/6). Posisi sinar n/6 dan -l l1r/6 sama saja, bedanya kalan -l ln/6 diukur dari 9:0 dengan arah searah jarum jam, jadi bertanda negatif. (Gambar 3.4) Meskipun r menyatakan suatu jarak, namun jarak tersebut adalah jarak yang berarah, sehingga r bisa saja negatif, bila arah sinamya berlawanan (berbeda 1800), denga arah mula-mula. P(2, 71t/6)= P(-2, Gambar 5 Perhatikan Gambar 3.5. Mísalkan kita akan menggambar' titik P dengan koordinat (2,7n/6), maka itu dapatjuga digambar dengan cara sbb: karena rt/ ó berbeda 7r radian dengan 77t/6, makajarak berarahnya berubah menjadi -2. . ladi titik P dapatjuga digambar' dengan dengan koordinat (~2,7t/6). 30
  36. 36. Dapat pula, koordinat polar disajilçan dalam bentuk r= a saja atau 9:90 saja. . Persamaan r= a nwenyatakan menyatakan suatu lingkaran denganjari-jari la! Sedangkan 9:90 menyatakan suatu garis melalui O yang berarah 90 dengan panjang dari -oo sampai dengan oo. Contoh l. Jelaskan apa artínya pernyataan ini dan gambarkan graliknya a. r= l dan r= -l b. 9=Tr/6, 9=77t/6, 9=-57t/6 2. Gambarkan grañknya ketidalçsamaan berikut a. Isrs2 dan 0S9s1t/2 b. -2srs3 dan Gan/ ó c. 1'_<.0 dan 9=1t/4 Penyelesaian l. 1:1 dan r= ~l keduanya menyatakan lingkaran dengan pusa: O danjari jari l (Gambar 3,6a) 9=7r/6, 9=71t/6, 9=-51t/6 ketiganya menyatakan panjang garis tak hingga yang arahnya 11/6 dari sinarawal. (Gambar ób) Y Gambar 6a camba'. 6h 31
  37. 37. 2.b Gíünbar 73 Gambar 7b Gambar 70 a. Hubungan Antara Koordínat K-artesius dan Koordinat Polar l-lubungan antara koordinat kutub dan polar dijelaskan oleh Gambar 3.8, dan persamaan berikut Persamaan yang menyatakan hubungan P(x, y)= P(r, e) antara koordinat lcartesitls dan kutub bersama x = FCOS 9, y = rsin 9 x2 +y2 = r2, l= tan9 X Gam bar 8 Contoh l. Tentukan koordinat kutub dari persamaan lingkaran berikut a. x2 +(y~3)2 =9 b. y? ' -4x = 0 2. Gantilah koordinat kutub berikut menjadi koordinat kartesius a. r2 =4rc0s9 4 b. r= í¢~ 20059 -sm 9 Penyelesaian l. a. Uraikan x2 +(y -3)2 = 9 dan substitusilcan x = r cos9 , dan x = rsin 9 ke dalam x2 + (y -3)2 = 9 dihasilkan r2 - 6rsin 9 = 0 <: > r = 0 atau r = 6sin 9
  38. 38. x3+(y-3)2=9 Persamaan lingkaran yang berpusat di (0,3) u r=6 Sin 9 dan berjarí-jari 3, dapat disajikan dalam koordinat kutub dengan persamaan r = 6sin 9 a J Gambar 9 3 'l l b. Analog dengan l. a, dihasilkan rsinz 9 = 40050 c. Parabola nnenglnadap ke kanan yz = 4x dapat disajikan dalam koordinat kutub rsínz 0 = 4c0sG 2. a. r2=4rcos0c>x2+y2 =4x<: >x2-4x+y2 =0<: :>(x-2)2+y2 :4 b. r : mm 4 _ <: > r = 4 <: > y = 2x-4, merupakan persamaan 2cos9-s1n9 23<___y_ l I` garis lurus nnelaluí (O, -4) dan bergradien 2 b. Menggambar Grafik dalam Koordinat Polar Sebelum menggambar grañk dalam koordinat polar akan dibahas dulu tentang lqesinnetrisan grañk dalam koordinat polar terhadap sumbu x sumbu y dan titik asal (0,0) yang dapat mempermudah dan mempercepat penggambaran grañk dalam koordinat polar. Uji sinnetris untuk grañk koordinat polar l. Símetris terhadap sumbu x Jika titik (r,9) terletak pada grañk maka titik (r, -(-))atau (-r,1r-9) juga teríetak pada grañk. 2. Sinnetris terhadap sumbu y Jika titik (m6) terletak pada grañk maka titik (mt-Q) atau (-r, -9) juga terletak pada grañk. 3. Símetris terhadap titik asal
  39. 39. Jika titik (r,0) terletak pada grañl( maka titik (-130) atau (137c+0) juga terletak pada grafik. Contoh Gambarkaiu grafik berikut a. Mísalkan (130) terletak pada grañk r=1~c0s0, maka (r, -0) juga terletak pada grafik r= l-cos0, sebab r=1~c0s(-0)= l-c0s0, sehingga grañk r: i- c0s0 simetrís terhadap sumbu x. Bila 0 bergeral( dari 0 sampai dengan n, maka 1' bergerak dari 0 ke 2. Beríkut tabel Iiilai 0 dan r. r: I _C Gambar 10 b. Mísalkan (130) terletak pada grañk r2 =4c0s0, maka (r, -0) juga teríetak E-Iil Karena grañk simetris terhadap sumbu x, n1aka untuk 0 dari 11; sampai dengan 21: merupakan pencerminan kurva yang diperoleh dari 0 sampai 11; terhadap sumbu x. Tanda panah pada graf`1I< menyatakan arah pergerakan 0 pada grañi( r2 = 4cos0, sebab r2 = 4cos(-0) =4c0s0 , sehingga grañk 7 . . r' = 4c0s0 simetrls terhadap sumbu x. Selain itu (-r,0) juga terletak pada grañk r2=4c0s0, sebab (~r)2 =4c0s0 <: > r2 =4c0s0, sehingga grañl( r2 = 4c0s0 juga simetris terhadap titik asal. Karena grañl( simetris terhadap sumbu x dan titik asal maka grañk simetrís terhadap sumbu y.
  40. 40. rzw/4cos0 Gambar Il Latihan l. Bentuklah koordinat kutub berikut ke dalam koordinat kartesius 5 a. itfíw- s1n0-2c0s0 b. r = c0t0csc0 c. r = tan 0 sec 0 d. rsini0+~ã-)= 2 2. Bentuklah koordinat kartesius berikut ke dalam koordinat kutub a. x2 +(y-2)2 :4 b. x2+xy+y2 : i c. x - y = 3 3. Gambarkan 'Fungsi berikut dalam koordinat kutub a. rz2+sin0 b. r2 = 400520 4. Gambarkan daerah yang dínyatakan oleh ketidaksamaan berikut a. -ISrSZdan '“ASOS% b. 0srs2sec0 dan “ASOS% c. 0srs2-2c0s0 d. 0srsc0s0 35
  41. 41. 3.3 Fungsi Sebelum memahami deñnisi fungsí, akan dibicarakan terlebih dahulu fenomena berikut: -Biaya pemakaian taksi bergantung pada jarak yang ditempuh. Mísalkan untuk pemakaian 2 km pertama ongkosnya Rp. 5000, dan tiap km beríkutnya ongkosnya Rp. 2000, maka jika seseorang akan bepergian seja11l1 20 km, ongkos yang l1ar11s dibayarkan adalah: ONGKOS= Rp5000 + 18.Rp 2000. -Biaya pemakaian air PAM kota semarang adalah lO m3 pertama Rp. l425lm3, !01113 kedua Rp. l985/n13, 101113 ketiga 2730/1113, 201113 keempat Rp.3075/n13, pemkaian di atas 501113 Rp.4265/1113. Ini masih ditambah lagi, untuk pemakaian berapapun ditambal1 ongkos lain-lain sebesa1'Rp.850O. Jadí misalkan sebuah keluarga pada satu b11lan tertentu menggunakan air sebanyak 551113, biaya yang harus dibayar adalah BIAYA=10(l425+l985+2730)+20(3075)+5(4265)+8500. Kedua c011t0l1 di atas menguraikan suatu aturan bahwa tmtuk setiap nilai tertentu (jarak yang ditempuh atau banyaknya pemakaian air), dihasilkan s11at11 11ilai tertentu pula (yaitu ongkos pe111akaian taksi atau biaya pemakaían air). Di sini dikatakan bahwa nilai kedua merupakan fungsi dari nilai pertama. Defínisi 3.1 Misalka11 A, B c; R. Fungsi f dari A ke B adalah suatu aturan ya11g memasangkan setiap elemen x dalam himpunan A dengan tepat satu elemen y dalam himpunan B. Unsur y yang berkaitan dengan x ini dilambangkan dengan y= 'l"(x). Di sini x dínamakan peubah bebas dan y yang nilainya bergantung pada x dinamakan peubah tak bebas. l-Iimpunan A disebut daerah asal (do/ nam) Fungsi dan ditulis Dr. Jika tidak disebutkan secara eksplisit, 111aka D1' adalah subset terbesar dari bilangan real ( ), dan dideñnisikan dengan D{= {XE / f(x)terdel`1nisí}. Flimpunan B disebut kodomain. Bilangan f(x)eB disebut nilai f 1111t11k x, dan himpunan 'i`(x) dimana x mempunyai nilai diseb11tdaeral1 11ilai (range), ditulis Rr dan dídeñnisíkan dengan R. ={yeB/ y=f(x), xeA} Daerah asal dan daerah 11ilai dari fungsi di atas semuanya adalah himpunan bagian dari , sehingga dinamakan Fungsi dengan peubah real atau disíngkat fungsi real. 36
  42. 42. a. Penyajian Suatu Fungsi 0 Dengan Diagram Pa11ah f Masing-masing panah mengaitkan suatu elemen dari A ke suatu elemen dari B. Panah menunjukkan bal1wa l"(x) dipadankan dengan x, dan f(a) dipadankan dengan a, dan seterusnya. o Dengan Grafik Cara yang paling 111n11111 1111t11k menggmnbarkan suatu Fungsi Daerah adalah dengan gratik. Jika f adalah nilai fungsi dengan domain A, maka grañ knya adalah l1i111 punan pasan gan berurutan {(x, f(x))/ x e A} 0am bar 3_ 13 Daerah asal 0 Aljabar Penyajian Fungsi dengan mengguimkan rumus 111ate111atis. Misalnya luas lingkaran adalah L=1c r2. Disí11i domainnya adalah jari-jari (r) dan rangenya adalah luas (L) Contoh Dari soal berikut ini, 1112111akal1 yang merupakan fungsi dan bukan fungsi a. y= x2, dengan D; ={x/ x<10, xeN} b. y= x3,xe 2 c. x= y , xe d. x2+y2=4, xe Penyclesaian. Soal a adalah c011t0l1 Fungsi diskrit, karena domaínnya bilangan asli, sedangkan soal b sampai d merupakan 'Fungsi kontínn karena domainnya bilangan real yangjaral( antar 37
  43. 43. mana ene11t11t<a11 dm
  44. 44. b. goo = -Xf-L x” -9 Penyelesaían a. Akan dítentukan domain terlebih dulu, kemudian dari domain tersebut dítenttnkan rangenya. Sesuai dengan deñnisi bentuk akar kuadrat, bahwa bilangan dalam tanda akar harus nol atau positíf, maka x3 + 2x -~3 2 0 <: :> (x + 3)(x - l) 2 0 n x<~g -3 <x<I x>l “ I -. > Tanda dari Tanda dari Tanda dari Kesimpzllaan x+3 x~I (x-3 )(x~ I) + _- -3<>«1 - _ + I benar salah Jadi D; ={x/ xS-3 m x2], xe } atau D. =(-oo, -3]r[1,oo) Untuk xS-3 maupun x2], nilai f(x)_>_0. Jadí R¢~= [O,0o) b. Menurut deñnisi fungsi rasíona], fungsí penyebtlt tidak boleh no! , sehingga / x2-9 ¢O<z>xz -9at0<: >(x-3)(x+3); ¢O<: >x¢3danx¢-3 Selain ilu, bilangan daalam akar kuadrat harus posilif, sehingga x2~9>0, yang dipenuhi oleh {x/ x<~3 atau x>3} Jadí Dg= -{-3,3}= (-oo, -3)rw(3,m). Karena Lmtuk setiap x dalam Dr, nilai f(x) selalu ada, maka RF = (-oo, oo). Soal l. Maruakaln dari keempat grañl( berikut yang : merupakan fungsi? b.
  45. 45. 2. Tentukan domain dan range dari fungsi-fiingsi berikut a. r<x>=1+x3 e- II<t>= I2t+3I i. h(y)= d(y+1)" b. mhl-J? r. g(z): x/4-22 _ 442 I J- F(X)= *Tí . _ z_ a _ I X-x- L. H(t) J; g_ 42)_ 4-22 I k. g(m)= Mx-z) H@ h. g(z)= m$ x-l d. f(s) = . Jenis Fungsi dan Grafiknya Fungsi Alja bar Fungsi aljabai' adalah Fungsi yang diperoleh dari sejumlziíi berhingga Operasi aljabai' (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagiaiu, pemangkalan, dan penarikan akar) terhadap Fungsi y= k, k= konstan dan Fungsi y= x. X x2+1 Fungsi F(x) = , g(x) = x/ ;+ 2, h(x) = 2242 -3x +I adalah beberapa contoh fungsi aljabar. F ungsi-“fímgsi yang termasuk fungsi aljabar adalah: a. FungsiPoliilomizil Fungsi fdisebut Fungsi polínoanial derajat mjika berbentuk f(x) = a__x" +a"_, x"" +. ..+a, x +a0 40
  46. 46. dengan n adalah bilangan bulat tak negatif, ao, a. , . ., ane dan an¢0 Contoh Fungsi linear berbentuk f(x)= ax+b. giafiknya berupa garis lurus. Memotong sumbu x di satu titik (-b/ a,0), nwmotong sumbu y di titik (0,b). Mempunyai kemíringan sebesar a y=2x+3 Gambar ISa Fungsi kuadrat berbentuk F(x)= ax2+bx+c dengan grañk berupa parabula, memotong sumbu x di dua titik - Jika a>0, parabula menghadap ke atas, mempunyai titik balik n1inimun1. Jika a<0, parabola menghadap ke bawah, mempunyai titik balik maksimum. - D= b2-4ac disebut diskríminan. Jika D>0, parabola ; memotong sumbu x di dua titik yang berbeda J ika D<0, parabola tidak memotong sumbu x Jika 0:0, parabola nwmotoxig sumbu x di satu titik. - Koordinat titik balik max/ min (-b/2a, D/ -4a). Gambar l8b Fungsi kubik berbentuk f(x)= ax3+bx3+cx+d. Gambar l8c b. Fungsi Pangkat Fungsi pangkat berbentuk l"(x)= x“, dengan a konstanta i. Bila a= n, n bilangan asli Bentuk grañk f(x)= x", bergantung pada n, apakah genap atau ganjil. Untuk n ganap, grafik f(x)= x" serupa dengan gralík f(x)= x2. Untuk n ganjíl, grafik f(x)= x" serupa dengan grafilç f(x)= x3. Semakin besar n, bentuk grañk lebih mendatai- mendekati sumbu x, dan semakin curam bila lxlzl. 41
  47. 47. f(x)-x5 Gambar l9b ii. Bila a= l/n, n bilangan asli Fungsi f(x)= x”", n bilangan asli adalah fungsi akar. Analog dengan f(x)= x", n bilangan asli, fungsi f(x)= x”", untuk n genap grañknya serupa dengan 'f(x) = = y; dengan domain [0,oo) clan range juga [O, w). Untuk n ganjil grafiknya serupa dengan f(x) = ã/ í dengan domain (-o0,00) dan rangejuga (-oo, oo) (ingat bahwa setiap bilangan real mempunyai akar kubik) iii. Bila a= -l Grafik f`(x)= l/x berbentuk hiperbola dengan sumbu x dan y sebagai asimtot -40 Gambar 190 c. Fungsi Rasional P(x) Q(x) Domain Fungsi rasionai adalah xe yang memenuhi Q(x) Fungsi rasionai berbentuk l"(x) = , dengan P dan Q keduanya polinom.
  48. 48. Contoh 2x* - x3 +1 x3 - 4 adalah xe yang memenuhi penyebut g(x)= x2-4¢0. Sehingga clomainnya adalah Di= ~{-2,2), dan garis x= -2 dan x=2 merupakan asimtot tegak Domain fungsi f(x): = 3 Gambar 20 2. Fungsi Transenden Yaitu Fungsi yang bukan fungsi aljabai'. Contoh 'Fungsi transenden: f(x) = cosx, h(x) = ex tan x , g(x) = 2x Fungsi transenden meliputi: a. FungsiTrigonometri Untuk sudut lancip Ol. , enam fungsi trigonometri berikut didefinisilçan sebagai hasii bagi panjang sisi dari segitiga siku-siku, sebagai berikut. Gambar 2la O Gambar2lb . tintmi tin i sisi mirin sinoc= ?*3_%- tana: gg seccxzí--g sisi Ihlrlllg alas alas alas sisi miring alas cosogzwr-g- CSCOL= íJ _ COlZOL= = _ _ SlSl miting tmggl lmggl Delinisi ini tidak berlaku untuk sudut tumpul dan negatif, sehingga Lllllul( sudut Limum CL dalam posisi baku, dimisalkan P(x, y) adalah sembarang titik pada sisi akhir dari o: dan r adalahjarak | OP| . 43
  49. 49. Gambar 22a l"(x)= sin x Gambar 22d f(x)= csc x ldentitas tri gonometri 7 2Ol. +COS"OL= l sin 7 1+tan20c = sec' (x l +cot2 OL = cscz OL tanx+tany tan(x + y) = l ~ tan x tan y -t tano( _ y) = tanx an y i + tan xtan y sin 20: = 2sin oicosa b. Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial mempunyai adalah konstanta positií Contoh Gambar 22h f(x)= cos x Gambar 22e f(x)= sec x Gambar 22o f(x)= tan x Gambar 22f` flx)= cot x sin(x + y) = sin xcosy +sin ycos x sin(x - y) = sin xcosy -sin ycosx c0s(x + y) = cos xcosy -sin x sin y sin(x + y) = sin xcosy + sin ycos x 2 - 2 c0s20c= c0s oi-sin Oi. 20c-l 20!. = 2c0s : l-Zsin bentuk umum f(x) = = a`, dengan bilangan dasar a 44
  50. 50. Grafik tíingsi eksponensial tidak pernah memotong sumbu x (sumbu x sebagai asimtot datar), dan memotong sumbu y di titíl<. (O,1). Semakin besar bilangan dasamya, grañknya semakin mendekati sumbu y. Gambm 322 e adalah bilangan alam. nílainya 527 l 828 c. FungsiLogaritma Jika a>O dan aati, maka fungsi eksponensial f(x)= ax merupakan fungsi satu satu. Fungsi inversnya disebut fungsi logaritma dengan bilangan pokok (dasar) a dan ditulis dengan f(x)= logax. (Mengenai fungsi invers akan díbahas kemudian) . iadi logax= y<z>ay : x Perhatikan grafik fungsi logarítma berikut ini. Fungsi F(x)= logz. x, selalu memotong sumbu x di titik (l,0) dan mempunyai asimtot tegak sumbu y. Semakin besar bilangan pokoknya, gralik fungsinya Gam” 333 semakin mendekati sumbu x 3. Fungsi hiperbolik Kombinasi tertentu dari Fungsi eksponensial ex dan e* sering muncul dalam matematika maupun terapannya sehingga perlu diberi nama khusus. Dalam banyak hal fungsi tersebut mirip dengan tíingsi trigonometri dan mempunyai hubungan dengan hiperboia, seperti halnya fungsi trigonometri dengan lingkaran. Sehingga tíingsi ini disebut Fungsi hiperbolik Jika t bilangan real, maka titik P(cos t, sin t) terlemk pada lingakaran Satuan xz-tyz* , sebab c0s2t+sin2t= l. Di sini t menyatakan ukuran radian dari sudut AOB. Analog dengan itu, bila t bilangan real sembarang, maka titik P(cosh t, sinh t) terletak pada bagian kanan dari hiperbola x2-y2=l sebab cosh2t-sinh2t= l. Dalam hal ini t tidak menyatakan Likuran sudut, melainkan luas dua kali daerah sektor hiperbolik yang 45
  51. 51. diarsir, seperti Iiainya dalam kasus trigonometri, t menyatakan dua kali luas sektor lingkaran yang diarsir. Defínisi fungsi hiperbolik x -x x -x 1 . e -e e -e _ slnhx : -í tanhx : -fí 553111* “ I 2 ex +84 cos 1x X -X cosh x ex +e`x cosh x z _Z +e csc h x = 1 90111 x = . = ***a 2 sinhx 31111114 ex -e x Grafik fungsi hiperbolik Gambar 23a Gambar 23h Gambaf 230 ldentitas 'Fungsi hiperboiik mempunyai kasamaan dengan identitas Fungsi trigonometri, yaitu: sinh (-x)= -sinh x sinh(x+y)= sinh x cosh y+sinh y cosh x cosh (-x)= cosh x cosh(x+y)= cosh x cosh y+sinh y cosh x coshzx - sinh2x= E sinh 2x=2sinh x cosh x i - tanhz x= sech2x cosh 2x= cosh2 x + sinhzx 4. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil F Lmgsi 'f dikatakan fungsi genap jika f`(-x)= f(x) Lintuk setiap x dalam daerah asa], dan fungsi f dikatakan Fungsi ganjii jika f(-x)= -f(x) Llntul( setiap x dalam daerah asal. Grafik fungsí genap simetris terhadap sumbu y, dan grafik Fungsi ganjil simetris terhadap titik asal (0,0). Contoh Tcntukan apakah 46
  52. 52. a. F(x)= x3+x b. f(x)*| xl c. f(x)= x+cos x merupakan fungsi ganap atau fungsi ganjil Penyelesaian a. rot) = x3 + x c> f(-x) = (-x)3 + (-x) <: > f(-x)= -x3 -x <: > f(-x) = -(x3 + x) <: > f(-x)= -f`(x) Menurut delinisi f(x)= x3+x ftmgsi ganjil, dan terlihat dari grafik fungsinya yang simetris terhadap (0.0) Gambar 3.2421 b. Menurut clefinisi nilai mutlak: [x] = x, x > 0 = -x, x < O Sehingga f(x) = lxl c> f(-x) = |- xl <: > f(-x) = |- l| |x| <: > f(-x) = |xl = 'l"(x) Menurut definisi f`(x)= |x| fungsi genap, dan terlihat dari graft k fungsinya yang simetris terhadap sb y c. f(x) = x + cosx c> f(-x) = -x + cos(~x) <: :> F(-x) = -x +cosx <¢ t`(-x) 4': -f(x) 1: f(x) Menurut definisi f`(x)= x+cosx bukan Fungsi ganap maupun Fungsi ganjil, dan terlihat dari grañk fungsinya tidak simetris terhadap titik (0,0) maupun sb y 5. Fungsi Eksplisit dan Fungsi Implisit Fungsi Eksplisit y terhadap x adalah Fungsi dengan aturan y= f(x) yang memasangkan setiap unsur di daerah asalnya dengan tepat satu unsur di daerah nílainya Contoh: y= l(a2-x2) 47
  53. 53. Jika F(x, y)= O adalah fungsi dengan peubah x dan y, maka pada aturan F(x, y)=0, terkandung pengertian y sebagai fungsi dari x, tetapi tidak dapat secara eksplisit dinyatakan y sebagai fungsi dari x atau x sebagai Fungsi dari y. Fungsi yang demikían dinamakan fungsi implisit. Contoh Pada fungsi x5+3xy3-2y5-2=0 kita tidak dapat menyatakan y eksplisit terhadap x 6. F ungi Parameter Dari persamaan lingkaran x2+y2=c2, kita hanya dapat mengetahui bahwa lingkaran tersebut berpusat di (0,0) dan betjari-jari c. Tetapi kita tidak tahu bagaimana arah yang dijalani lengkungannya sehingga dapat membentul( lingkaran, dimana titik awal dan titik akhir pergerakan lengkungannya. J ika P(x, y) adalah sembarang titik pada lingkaran dengan jari-jari c, dan 0 adalah sudut antara garis OP dan sumbu x positif , maka x = c cos 9 , _ _ e , 0 S 9 S 27m merupakan tungsi parameter dengan parameter 0 yang y = c sin memuat informatsi mengenai arah pergerakan titik (c,0) yang bergerak berputar satu kali dan kembali ke titik (c,0) 7. Fungsi yang Terdefixiisi Sepotong-sepotong (Piecewise Function) Yaitu fungsi yang domainnya dibagi dalam beberapa interval, dan untuk tiap interval definisi fungsinya berbeda. Contoh l-x2,xSl 4x+3,x>1 f(x)= { -15 Gambar 3.25 8. Fu ngsi Periodik 48
  54. 54. Fungsi fdikatakan periodik dengan periode p, jika terdapat pJáO, sedemikian sehingga f(x+p)= f(x) Lintuk setiap x dalam daerah asal f. Contoh a. Fungsi f(x)= sin x, adalah fungsi periodik dengan periode 27:, karena f(x+2n)= siIi(x+27t)= sinx. cos2n + sin Zmcosx = sin x . 7 . . b. Karena sm' x = y2~%c0s2x, cosz x = %+/2c0s2x dan periode dari cos 2x adalah rc, maka període dari sinzx dan coszx juga 1: a. l`(x)= sin x, xe[-37c,3n] b. f(x)= sin2 x, XE[-37I ub. : ? I . ._. Gan1bar326a Gambar 3.26b Tampak bahwa bukit dan lembah graíik f(x)= sin x dan f(x)= sin2x, berulang setiap 21: 9. Fungsi Bilangan Balat Terbesar Jika x adalah bilangan real, maka terdapat tak hingga banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil atau sama dengan x. Di antara semua bilangan bulat tersebut, tentunya ada yang terbesar. Fungsi bilangan bulat terbesar dinotasikan dengan [x] atau [_x_l, dan didefinisikan dengan [xjz n <: > n S x S n +1 Contoh [1,5]= l karena 1 s l,5 s 2, l_ t,5] = -2, karena ~ 2 s ~1,5 s -l, [2] = 2 Grafiknya adalah sebagai berikut a. Fungsi bilangan bulat terbesar b. Fungsi bilangan bulat terkecíl :2 49
  55. 55. Gambar 3.26a Soal l. tx) Tunjttkkan bahwa: a. fungsi f(x)= tan x adalah fungsi periodik dengan periode TE Gambar 3.26b b. fungsi f(x)= sii1 x dan f(x)= cos x adalah Fungsi periodik dengan periode 27t Manakah yang merupakan fttngsi genap atau fungsi ganjil c. f(x)= x(x2+ l) x2 d. f(x)-l_lxl e. h(t)= ltl3 r. k(c): f c"~l Gambarkan fungsi berikut 3 , x<-5 g. F(x)= x+l, -5SxS5 J? , x>5 x2 , x<0 h. f(t)= -1 ,0<x<2 x , x>2 -I , xS-l i. m): 3x+2 , lx<i| 7x+2 , xzl . lendela Norman mempunyai bentuk persegi panjang yang di atasnya berupa setengah lingkaran. J ika kelilingjendela 30 kaki, nyatakan luas jendela, sebagai fungsi lebar x. Kotak tanpa tutup di buat dari lembaran papan persegi panjang dengan ukuran l,2 m dan 2 m, dengan cara membuang tiap pojok dari papan dengan panjang x m, kemudian melibat ke atas sisi-sisinya. Nyatakan volume kotak sebagai fungsi dari x. Sebuah perusahaan taksi menarik ongkos dua dollar untuk satu mil pertama (atau bagiannya), dan 20 sen Lintuk setiap sepersepuiuh mil berikutnya (atau bagiannya). 50
  56. 56. l l Nyatakan biaya [Jerjalanan C sebagai Fungsi jarak tempuh untuk O<x<2, dan sketsakan graliknya. Pengelola pabrik mebel menemukan bahwa biaya pembuatan 180 kursi deilam sehari sebesar $2200 dan 300 kursi sebesar 3194800.. Bila diasumsikan Fungsi tersebut linear, nyatakan biaya sebagai fungsi dari banyaknya kursi yang dihasílkan. Pada permukaaai Iautan, tekanan air sama dengan tekanan udara di atas air 15 lb/ inz. Di bawah permukaan, tekanan air bertambah sebesar 4,34 lb/ in2 untuk setiap penurunan 10 kaki. a. Nyatakan tekanan air sebagai Fungsi kedalaman di bawah permukaan air. b. Pada kedalaman berapa tekanan air 100 lb/ inz Sebuah bejana bebentuk kerucut lingkaran tegak terbalik dengan jari-jari lingkaran alas 8 cm dan tinggi 20 cm. Pada saat tinggi air h cmm, tentukan volume air dalam bejana sebagai fungsi dari h. Volume Sebuah kotak berbentuk balok dengan alas persegi adalah 10.000 cm3. Bila biaya pembuatan bidang alas dan tutup kotak Rp. lO0 per cm! dan bidang sisinya Rp. 50 per em? , tentukan biaya total pembuzitan kotak itu sebagai Fungsi dari panjang rusuk alasnya. Di dalam Sebuah bola betjari~jari r díbuat tabang lingkaran tegak dengan lingkaran alas dan lingkaran atas terletak pada permukaan bola. Tentukan volume tabung sebagai fungsi dari tinggi, kemudian tentukanjuga volume tabung sebagai fungsi dari jarijari lingkaran alasnya. Pakar biologi telah melakukan penelitian bahwa laju mengeril(jangkrikjenis tertentu terkait dengan suhu dan kaitan tersebut tnendekati linear. Seekor jangkrík menghasilkan 113 kerikan tiap menit pada suhu 70017 dan 173 kerikan pada suhu 8001?. yang tnemodelkan suhu sebagai banyaknya kerikan. Kemudian tentukan suhu saat itu Jika suhu dinotasíkan dengan T dan kerikan dengan N, tentukan persamaan jikajangkrik mengerik sebanyak 150 kerikan. . Taríf pemakaian listrik rumah tangga dengan daya 1300 watt adalah seperti tabel berikut Biaya/ kWh Biaya ini masih ditambah lagi dengan Banyaknya pemakaian tarif dasar listrik (TDL) sebesar Rp (kWh) 51
  57. 57. xSZO Rp 385 39.130 dan pajak penerangan jalan 200640 Rp 445 sebesar 8% dari akumulasi biaya total X>40 Rp 495 kWh dan TDL 'fentu kan a. Rumus fímgsã Lintuk menentulçan biaya pemakaian lístrik setiap billannya. b. Bila Sebuah keluarga pada bulan tertentu Inemakai listrík sebesar 182 kWh berapa biaya yang harus clibayar? l2. Gaji tetap seorang cleaning service losmen adalah Rp 7.500/hari. Selain itu, setiap mendapat tambahalu gají Rp IOOO/ kainar/ hari. Penghasilan bersih setelah dipotong pajak adalah 85% dari total upah perhari. a. Berapa penghasilan persih setiap petugas cleaning service, bila pada hari itu ada x kamar yang disewa? b. Jika penghasilannya pada suatu hari kinang dari Rp. 15.000, ada berapa kaman' yang disewa? c. Operasi pada Fungsi Definisi 1 . lika fdan g keduanya Fungsi, Inakajulnlahan, Selisih, perkalian, dan pembagiaiw l' dan g didefinisikan dengan: a. (f+g)x= f(x)+g(x) b- (f-g)x= f(x)-g(x) C_ (fg)-x= f(x)-g(x) d. (f/ g)x= f(x)/ g(x), g(x)¢O Pada tiap tiap Operasi di atas, domain hasi] pengoperasían adalah interseksi (irisan) dari domain fdan domain g, kecuali Lintuk d, dimana g(x)¢0 Contoh l. Bila fclan g dideñnisikaxi dengan f(x) = «fx +2 dan g(x) = «lx «3 , tentukan 52
  58. 58. c. (f. g). x d. ("l"/ g)x 2. Diketahui Fungsi yang terdeñnisi sepotong-sepotoaig berikut ini fo: ) = {l`x2'x 50 dan g(x)= {`2x”x <1 x , x > 0 l ~ x, x 2 1 Tentukan: a. (f`+g)x b. (f~g)x c. (ñg). x Penyelesaian l. Menurut definisi a. ('l*`~l-g)x = f(x) -l~g(x) = «lñíamñcí b. (f-g)x = f(x)-g(x)= w/; ;-_2-«/ ;T3 c. (f. g)x = f(x). g(x) = = x/ XT-í d. (f/ g)x = l"(x)/ g(x) = x/ ;TZ/ w/Xí, $273 ¢ 0 Domain untuk f(x) adalah [-2,o0), domain untuk g(x) adalah [3,co), sehingga domain Lintuk a sampai c adalah [3,oo), sedangkan domain untuk d adalah (390), hal ini dikarenakan x-3¢0. 2. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menyamakan domain antara f dan g, menjadi XSO, 0<x<l , xzl yaitu l-x2,xsO -2x, xsO f`(x)= x , O<x<l g(x)= -2x,0<x<l x , xzl l-x, x.>. l Sehingga l-2x-x2,xS0 a. f(x)+g(x)= -x ,0<x<l l , x_>. l 53
  59. 59. 2 l+2x-x , xs0 b. f(x)~g(x)= 3x ,0<x<1 2x-l , xzl -2x-2x3,xsO c. f(x)g(x)= -2x 2 x-x? ' ,0<x<I , xàl Soal I. ! Q 9F! ” Diberikan Fungsi f(x) = x/ í+-l- dan g(x) = 'Pantukan JI J? a. 6f(x)+3g(x) dan domainnya b. f(x)g(x) dan domainnya c. f(x)/ g(x) dan domainnya , _ __ _l-x, xsl __0,x<2 Dibeiikan fungsi f(x) ~ {ZX _ l, x >J dan g(x) - {_ LX 2 2 Tentukan a. fíx)+g(x) dan domainnya b. f(x)-g(x) dan domainnya c. f(x)g(x) dan domainnya J ika f dan g keduanya fungsi genap, apakah f+g dan fgjuga fungsi genap? . l ika f dan g keduanya Fungsi ganjil, apakah f+g dan fgjuga fungsi ganjil? Diketahui fungsi f dengan domain bilangan real. Bila g(x)= f(x)+f(-x), tunjukkan bahwa g(x) adalah fungsí genap. Komposisi Fungsi Terdapat cara lain Lintuk mengkombinasikari dua fungsi (selain operasi fungsi yang sudah dibahas) untuk mendapatkan fungsi yang baru. Sebagaí contoh, misalkan y= f(Li)= LI+l dan Ll= g(t)= t2-l. Karena y adalah fungsi u dan u fungsi t, maka y merupakan fungsí dari t, yaitu y= f(u)= f(g(t))= (t2+l)-l= t2. disebut karena fungsi baru diperoleh dengan Lan gkah ini komposisi, mengkomposisikan dua fungsí yang sudah ada yaitu f dan g. 54
  60. 60. Secara Limum, diketahui dua fimgsi sembarang i" dan x, dan dimulai dari bilangan t dalam domain g dan mencari nilai g(t). Bila nilai ga) ini berada dalam domain f, maka dapat dihitung nilai dari f(g(t)). Hasilnya adalah fungsí baru k(t)= f(g(t)) yang diperoleh dengan cara mensubstitusi g ke dalam l". Jadi Rg g Df 3 ('l"og)(x) = 'l"(g(x)) Diagram panah untuk fungsí komposisi adalah sebagai berikut fo Gambar27 Contoh . . . i 7 x2 +l l. Mxsalkan dikeiahui f(x) = -+x' dan g(x) = 4 , maka X x +l 4 2 2 (fogxx) = nga: )) = ' +[g(x)]2 = x, i" +lx4 “l g(x) x' +l x +l 2. Bila diketahui I-l = A? , dan f og = H, maka kita dapat menetapkan g(x) = x + l X + . . . 1 dan f(x) = ~l~ sehingga (t o g)(x) = f(g(x)) = f(x +1) = I; = l-l. x 1 . . 1 __ dan g(x) = x -2, sehingga í'(g(x)) = - +3 x+l Atau dapatju ga f(x) = x Soal l. 'Fentukan f o g o h , jika diketahiii a. f(x)= l g(><)= l , ,i = 2 x 2x+l wi) x 55
  61. 61. b. ) 2. Tentukan Fsehingga fog = F bila díketahui I+x2 I+x4 4, F(x)= a- g<x)= Hxz b. g(x) = -x2, F(x)= wla2 +x2 Bentuklah fog dan gof bila I-X, XSO - , ,-<[ a. f(x)= { dan g(x)= { x x2 , x>0 l-l-X, X?. l I+x l-2,. l 2 b' f(x)= { x x< dan g(x)= {x , X <0 l+X, X2l l-xgçzo d. TransformasiFungsi Dengan menerapkan transformasi tertentu pada grafik fiingsí yang diketahiii, kita dapat memperoleh grañk Fungsi baru yang berkaítan. Hal ini akan memberikan kemampuan menggambai' grañk secara cepat dengan tangan. Pergeseran Tegak dan Mendatar Mísalkan c>0, maka untuk memperoleh grafik 0 y= f(x)+c, geser grañ k y= l'"(x) ke atas sejauh c satuan 9 y= i`(x)-c. geser grafik y= f(x) ke atas sejauh c satuan 0 y= f(x-c), geser grañk y= f(x) ke kanan sejauh c satuan 0 y= f(x+c), geser grañ k y= f(x) ke kiri sej auh c satuan Peregangzin dan Pencerminan Tegak dan Mcndatar Mísalkan c>l, maka Lintuk memperoleh grañk 6 y= cl`(x), regangkan grafik y= l"(x) secara tegak dengan faktoi* c 0 y= (l/ c)f(x), mampatkan grañk y= l`(x) secara tegak dengan faktor c 0 y= f(cx), manipatkan grañk y= f(x) secara mendatar dengan faktor c ¢ y= f(x/ c), regangkan grafi k y= f(x) secara mendatar dengan faktor c 56
  62. 62. 0 y= -f(x), cerminkan grañk y= f(x) terhadap sumbu x 9 y= i`(-x), cerminkan grañk y= l"(x) terhadap sumbu y Contoh l. Gunakan lransformasi Fungsi Lintuk menggambarkan grafik Fungsi f(x)= x3-l, g(x)= x2+ l, h(x)= (x- i f, k(x)= (x+ i ; Z 2.Gunakan transformasi fiingsi Lintuk mengganibarkan gralik Fungsi f(x)= (cos x)/2, g(x)=2 cos x, h(x)= c0s x/2, k(x)= cos 2x Peiiyelesaian Gambar 3.2821 Gambar 3.28b Fungsi f(xl= xz'l diperoleh dari grañk l"(x)= x2 Fungsi f(x)= x2+i diperoleh dari grañk f(x)= x3 dengan menggesei' ke bawah sejauh l satuan dengan menggesei' ke atas sejauh I satuan 4 3 2 _l 1 Gambar 328e Gambar 3.28d Fungsi l"(x)= (x-l)3 diperoleh dari grafik f(x)= xz Fungsi F(x)= x3-| diperoleh dari grafik F(x)= x3 dengan nienggesei' ke kanan sejaiih l satuan dengan menggesei' ke kiri sejauh l satuan 57
  63. 63. y= cosx Gambar 328e Gambar 3.28f` 2 y=2cos x Glam* YZWOSXVZ dlPeroleh dali gl`añl< FCOSX Grafik y=2cosx diperoleh dari grafil( y= c0sx dengan dengan memampatkaii secara tegak dengan fziktoi' 2 mei-egangkankan secara tegak dengan Faktoi' 2 1 . G51“`1ba"3-238 Gambar 3.2811 Grafik y= cos 2x diperoleh dari grafik y= cos x Grafik y= cos (x/2)diper0|eh dari gralik y= c0sx dengan meniaiiipatkaii secara mendatai* dengan dengan meregangkan secara mendataz* dengan fakior l`aktor2 2 Soal I. Dengan transformasi gambarkan keempat Fungsi berikut: a. y= x2-2x-3 b. y= x2+4x+6 c. y= x2-4x+6 d. y= x2+6x-7 2. Dari masing-masiiig grafik berikut tentukan rumiis líingsinya, bila fiingsi asalnya adalah f(x)= -x2 58
  64. 64. G. Fungsi invers Berikut ini diberikan tabel jarak dan waktu perjalanan seorang pengendara sepeda motor Waktu (jam) Jarak (km) Suatu ketíka pengendara berhentí di suatu tempat yang beljaral( l20 km dari tempat laeberangkatannya, dan ketíka ia nnelihat jam pengendara tersebut telah berjalanm selama 3 jam. Artinya pengendara tersebut telah menyatakan jarak sebagai Fungsi dari waktu. Fungsi ini disebut sebagai fungsí invers dari fdan ditulis f" Jikajarak sebagai fungsi waktu dinyatakan dengan S= f(t), maka waktu sebagai fungsi jarak (invers dari f) dinyatakan dengan t= f "(8), yaitu waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak S km. 59
  65. 65. Tapi tidak setiap fungsi mempunyai invers. Perhatikan Fungsi l` : xüxz dari lwimpunan A ke himpunan B yang dísajikait dengan himpunan pasangan berurutan {(-2,4), (- l , l ), (l , l ), (2,4), (3,9)} Pada contoh pengendara tnotor, setiap selang l jam, pengendara menennpuh jarak yang berbeda. Sementara pada lmimpunaiu pasangan terurut, 4 merupakan kuadrat dari -2 dan 2. lní artinya terdapat x1, X2EA dengan xlixz, tapi f(x1)¢f`(x3) Dikatakan bahwa f`ungsi pada tabel kedua tidak mempunyai invers. Definisi 5.2 Fungsi f disebut Fungsi satu-satu jika f` tidak pernah mencapai nilai yang sama lebih dari satu kali, yaitu x1 75 x2 D f(x. ) ; t fixa) atau f(x. ) = f(xg) [E x. = x2, Uji Garis Horisontal Sebuah fungsi bersifat satu-satu jika dan hanya _jika tidak terdapat garis horisontal yang memotong grañk Fungsi tersebut lebih dari satu kali. Contoh l. Mísalkan diketahtti f(x)=3x-5, akan ditunjukkalu bahwa f`(. :) fungsí satu satu dengan tnengguttakait definisi maupun dengan gratis. 2. Apakah f(x)= x2 Fungsi satu-satu? Penyelesaían l. Sesuai deñnisi mísalkan diketahui fix. ) dan f(xg) dengan f(x. )= f(xg) f(><i)= f(><2) 3x, ~5=3x2~5 3x] =3~<3 x, :x2 Karena f(x; ) = f(xg) mengakibatkan x. = x3_ maka f(x)=3x-5 1nerupakai1 fungsi satu satu 60
  66. 66. _2 1 i E Dati grañk di samping bila ditarik -2 a 5 garis horisontal sembarang, maka PM- . garis tersebttt akan memotong garis -6 y=3x-5 hanya di satu titik. _lo Gambar 3.29 2. f(x)= x2 bukan fungsi satu satu, sebab -2 ¢ 2, tapi f(-2)= f(2)=4. Tidak Sesuai dengan definisi) Dari grañk fungsi y= x2, jika ditarik garis seanbarang y= c, c>O, [Jasti akan memotong grafik fungsi di dua titik . (Tidak Sesuai dengan uji garis horisontal) Definisi 5.3 Mísalkan f Fungsi satu-satu dengan daerah asal A dan daerah nilai B. Maka fungsi invers dari f, yaitu Fi, mempunyai daerah asal B dan daerah nilai A dan didelínisikan dengan f"(y)= x c> f(x)= y untuk setiap y di B Contoh Jika f(1)=4, f(2)=8, f(5)= -1, tentukan f"(4), t"'(8), m-: ) Penyelesaian Dari deñnisi f", diperoleh f"(4)= l, f"(8)=2, f"(-l)=5 Langk-all-langkal) menentukan fungsi invers dari fungsi satu-satu l. Tuliskan y= l`(x) 2. Selesaíkan persamaan y= f(x) sehingga x dínyatakan dalam y 3. Untuk menyatakan f " sebagai Fungsi dari x, tukarkan x dan y. Persamaan yang dihasílkan adalah y= l"'(x) Contoh Tentukan invers dari fungsi y= x2, x20, dan gambarkan grafik y= f(x) dan y= f "(x) dalam sistem koordinat yang sama. Pen yelesaian 61
  67. 67. Soal Gambar 3.30 Menurut uji garis horisontal, 'Fungsi y= x2 btakanlah fungsi satu-satu. Tapi dengan dibatasinya domain x20, maka fungsi y= xl menjadi Fungsi satu-satu. Sehingga mempunyai invers y= x2<: >x= /y<: >f"(x)= rx Tentukan apakah fungsi berikut satu satu. Jika ya tentukan inversnya. 'i`(x)=7x-4 85395593!” f(x)= x3 f(x)= x3-l f(x)= I-x2 l"(x)= I +3x2 f"(x)= (x+ l )3+2 l`(x)= x2-3x+2 f(x)= f(x) = x+2 x+l X l 3 +1 l IO. f`(x)= x+- X 62
  68. 68. TUJUAN IN STRU KSION AL Umum Setelah menyelesaikan mata kuliah ini (pada akhir semester I), tnahasiswa mempunyai pemahaman konseptual yang benar tentang topík-topilç utama dalam KalkLliLlS (limit, kekontinuan, diferensial, integral) beserta teorema dan sifat-sifat serata teknik-teknik pentíitg didalamnya. Khusus Setelah naengikuti kuliah ini (pada akhir pertemuan ke 10), mahasiswa akan dapat menjelaskan konsep yang tepat tentang limit dan kekontiimttata suatu fungsi, serta hubungan limit dan kekontinuan. 62
  69. 69. 4. LIMIT DAN KEKON TIN UAN F UN GSI Limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga merupakan. konsep dasar materi kalkulus. Turunan dan integral yang merupakan materi inti kalkulus, dibangut] dengan konsep limit. Untuk memahamí konsep limit, dibutuhkan pengertian tentang harga mutlak sebagai jarak antara dua titik, dan pertidaksamaan sebagai ukuran lcedekatan. 4.1. Konsep Limit Fungsi Bila kita mempunyai suatu fungsi yang peubah bebasnya menuju suatu titik tertentu di sumbu x, (attinya jarak antara pettbah bebas dan titik tertentu tersebut semakin lama semakin mengecil tapi tidak harus sama dengan nol), apakah peubah tak bebasnya juga menuju suatu nilai tertentu di sumbu y. Atau, bagaimana perilaku peubah tak bebas jika peubah bebasnya membesar sampai tak hingga? Untuk memahamí konsep limit ini, perhatikan contoh berikut: Masalah garis singgung Misalnya diketahtti grañk y= f(x), dan akan ditentukan gradien garis singgung di titik P(c, f(c)). Permasalahannya adalah untuk ---- - - menezitulcan kemírirtgan suatu garis diperlukan paling sedikit dua titik. a a . . . ~ a - - w X» Gambar 4.1 Karena yang diketalmtti hanya titik P(c, f(c)), maka untuk pertolongan ditetapkan satu titik, misalnya Q(x, f(x)), xatc. Kemiringaiu garis PQ (mpQ) ditentukan dengan rumus: _ f(x) - f (c) mPQ x - c Perhatilçanlah dari grañk y= f(x), bahwa jika x sentakm dekat ke c, maka tali busur PQ berubah menjadi garis yang menyinggtlng kuwa y= f(x) di titik P, yang disebut garis singgung di titik P. Artinya ketíka x semakin dekat ke c, gradien tali busur PQ menjadi gradien garis singgung di titik P Bila tnpQ adalah gradien garis PQ, maka gradien garis singgung di titik P dinotasikan dengan mp, dan dirumuslçan dengan 63
  70. 70. Ide Limit Apa artinya bahwa suatu fungsi f mempunyai limit L ketíka x mendekati satu titik c? . Suatu fungsi f mempunyai limit L ketíka x mendekati satu nilai tertentu c, ditulis dengan notasi lim f(x) = L , mempunyai pengertian sebagai berikut: X-)C **Lintuk setiap x yang cukup dekat dengan c tapi xatc, nilai f(x) dapat díbuat sedekat tnunglçin dengan L” Perhatikan grafik berikut X Gb 4.3a x C x Gb4.3b Dari Gambar 4.3a, f terdeñnisi di c. Untuk nilai x yang semakin dekat dengan c, nilai f(x) juga semakin dekat dengan L. Bagaimana jika f tidak terdeñnisi di c? . Dari Gambar 4.3b terlihat, bahwa meskipun f tidak terdeñnisi di c, nilai f(x) tetap saja semakin dekat dengan L. a. Pendekatan Limit Secara N umerik Contoh Mísalkan f(x)= x2, dan c=3. Perhitttngan secara numerik Lintuk lim x2 menghasíllçan x->3 tabel sebagai berikut = x^2 m- 4 _i 6.25 - 729 7.84 8.41 8.9401 8-994001 8-9994 fiX) Dari tabel tampak bahwa, bila x díbuat sedekat nninglçin dengan 3, baik sebelum maupun sesudah 3, nilai f(x) semakin dekat dengan 9. k) J Berarti lim x2 = 9 x->3 Contoh dihasilkan tabel sebagai berikut 2 . . . x - 4 Perhitungan numerik untuk lim x~>2 X - 2 65
  71. 71. EI f(x)= (x^2-4 I x~2) f(x)= (x^2-4)I(x-2) I! 01 2 25 6 25 (A, (X) A) (D 1.099 35290001 4 004001 1.0999 399900001 400040001 2.0001 . x2 - 4 Terhhat dari tabel lim = 4 x->2 X -e 2 x2 - 4 Untuk x dekat dengan 2, tapi x¢2 kita dapat menyederltanaltan 2 = x+2. x . __ Sehingga mudah untuk dipahami bahwa Lintuk x yang semakin dekat dengan 2, f(x) akan dekat dengan 2+2=4 b. Pendekatan Limit Secara Grafik Beberapa contoh berikut ini akan menggunakan grafik untuk nteneznttlçan limit suatu fungsi. Contoh 3 l, 2 _ Gambarkan grafik fungsi f(x)= { x+ x? : , dan gunakan grañk itu untuk 3 , x=2 mencari lim f (x) x->2 Penyelesaian Dari grañk untuk x mendekati 2, nilai f(x) mendekati 7. Pada kenyataannya, secara numerik, dengan memilih x sedekat mungkin dengan 2, nilai f(x) juga akan sedekat mungkin dengan 7. Terliltat bahwa f(2)=3, tapi lim f(X) = 7 Gambar X_)2 Dari contoh dan pemahaman limit di atas, dapat disimpulkan prinsip penting tentang limit, yaitu: 66
  72. 72. Limit L dari suatu fungsi y= f(x) ketíka x mendekatí suatu titik c tidak bergantung pada nilai f di c. Contoh -l, x<0 Gunakan garñk untuk menemukan nilai, bila f (x) = {1 0 , x > Pcnyelesaian Dari grafik ketíka x mendekatí 0 dan negatif nilai f sama dengan -l, sedangkan ketíka x mendekatí 0 dan positif nilai f sama dengan 1. Kar-ena Lintuk x mendekatí 0 dihasiilcan dua nilai f yang Gambar 4.5 berbeda, maka lim f(x) tidak ada. x->0 Tiga contoh grañk fungsi berikut, mungkin dapat lebih membanttt pemahaman tentang limit. Gb 4.621 Gb 4.6b Gambar lim f(x)= f(a) lim t`(x)= L=é f(a) lim f(x): L, tapi l`(a) X -) a X -) a X -) 3 tak terdeñnisi Contoh Dengan menggunakan grafik tunjukkan, bahwa: a. lim k = k , dengan k sembarang bilangan real X--)C b. lim x = c X-)C 67
  73. 73. Penyelesaian y=4< Gambar Gambar Fungsi f(x)= k adalah fungsi konstan, dengan Grafik fungsi f(x)= x berupa garis lurus yang grañknya berupa garis mendatar. Untuk setiap membentuk sudut 45 derajat dengan sumbu x. titik c sembarang, bila x dekat dengan c, nilai f Untuk titik c sembarang, bila x mendekatí c, sama dengan k, sehingga lim l( : k “Hai f juga Sama dengan cv Sehmgga X->C lim x = c x->c 4.2. SifHt-Sifàlt Limit Fungsi Andaikazi k suatu konstanta serta limit lim f(x) dan lim g(x) ada, maka: x->a x«>a l. Limit Jumlah lim (f(x)+ g(x)): lim f(x)+ lim g(x) x->a X-)íl x->a 2. Limit Selisih lim (f(x) - g(x)) = lim f(x) - lim g(x) X-Ml X-Hl X->2l 3. Untuk setiap bilangan real k, lim (kf(x))= k lim f(x) x->a x->a 4. Limit Pembagian V _ lim f(x) lim w : -àhaí , lim g(x) at 0 x->a g(x) llm g(x) x->a K9?! 5. Limit dari [f(x)]" Il Jika n adalah bilangan bulat positif: lim (r(x))“ = ( lim f(x)) x->a x->a 6. Limit dari Jf(x) Jika n22 dan n bilangan bulat: lim . ”/f(x) = i lim f(x) x->a X-Hi 68
  74. 74. 7. Untuk setiap fungsi polinomial P(x) = anx" + an_]x”'l + + alx + ao lim P(x) = P(a) x->a 8. Teorema Apit Jika f(x)sg(x)sla(x) untuk setiap x dalam intewal buka yang memuat c (kecuali mungkin di c sendirí), dan lim f (x) = lim h(x) = L maka lim g(x) = L X-? ñ x->a x->a Contoh Dengan menggunakan sifat-sifat limit, tentukan nilai 2 a. nm 2(x+4) b. lim x 9 x->3 x~>3 X-3 2 _L, _.L -4 b. lim -fíw d. lim x+l' x x->23__lx2 +5 h-->0 Penyelesaian a. Dengan naenggunakan rumus limit konstanta dan limit x, serta sífat límitjtltnlah: lim 2(x + 4)= = lim (2x + 8) x->3 x->3 = lim 2x+ lim 8 x->3 x->3 =2 lim x+ lim 8=2(3)+8=14 X->3 x->3 b. Jawaban soal b tidak bisa menggunakan sifat limit pembagian, karena akan díhasilkan bentuk tak tentu 0/0 Karena x->3, berarti x¢3, sehingga x-3¢O, akibatnya 2 'I 2 X "9 = -ílx`3xx“l = x+3. Jadi lim X '9 : lim x+3 = 6 x-3 x-3 x->3 x-3 x->3 1ím(x2 + 4) O c. Jawabait soal c, analog dengan b, karena lim--wà “Z --4 'HZ3-w/ x2 +5 _lin;1(3-x/ x2+5) 0 (bentuk tak tentu). l_ x2-4 “m x2~4 3++/ x*+5 ümx2-43++/ x1+5 1mí---= a -w-í = . r->23__ x2+5 x+2 3_ fx2+5 3+ lx2+5 . '->2 9_(x2+5) 69
  75. 75. limí-í-íüc_ _QQ-l xi +5) = -li_n71(3+/ x2 +5) = -6 H? - (x2 - 4) d. Karena hDO, berartí h¢0, sehingga dapat dilakukan Operasi pembagian h/ h=1 . Jadi 1 . _ _. . He? ? = = = ttexuíh) 3% Latihan Tentukan nilai dari limit berikut - I “ _lan_ --l. . a. hm t t" -4 (XHW X: *-9 f. lim h->0 h a hm @x4-8x3+4x-9 x+l/ z g lim 2_ x2 +3 . 2x3 +5x **q 1`X2 c. hm a _ x->-2 3x-2 h. Tunjukkan . x/ --x/ í bahwa lim xsinl = O d. 11111273_- x. ,0 X x-> - i. Jika lsf(x)sxz+2x+2 untuk . x/ x +11 - J; e- hliílo h _ setiap x, tentukan lim f (x) x->-l 4.3. Limit Fungsi Definisi Jika Sebuah fungsi yang terdeñnisi pada suatu salang buka yang memuat a, kecuali di a sendiri. Maka kita katakan bahwa limit f(x) untuk x mendekatí a adalah L, dan ditulis ümKn= L X-)3 Jika Lintuk setiap bilangan a > 0 terdapat 5>O sedemikian sehingga | f(x)-L| <a bila | x-a| <ã _ _ _ _ 2x ~ l, x ¢ 3 Misalkan diketahui suatu fungsi f (x) = 3 3 x :1 70
  76. 76. Nilai f(x) i berada di sina Gan1bar¢g Ketika x di sini x¢3 Contoh: Buktikan bahwa a. l' 4 -5 =7 ' -3_X _ , gaw ) d. xiang@ 5)_7 b. lim --L+x_12=7 e' limW/ ;L-"O x->3 X-3 xào . 2* c. lim (x2-l)=3 f' 333)( "g x->-2 Penyelesaian a. Analísa Akan dibuktíkan bahwa untuk sembarang bilangan positif kecil s, {(4x-5)-7|<s bila | x-3|<6. Padahal | (4x-5)-7|= |4x-I2|= ]4(x-3)l=4|x-3|, dan diinginkan | (4x-5)-7|<e Karena diketaltui | x-3|<6, maka | (4x-5)~7|<46, sehingga kita dapat memílih ã= sl4 Bukti Diberilcan sembarang a>0, pilih 8=a/4, sehingga bila lx-3f<5., maka | (4x-5)-7}= |4x-12f= |4(x-3)| =4|x-3|<46=a Karena }(4x-5)-7|<s bila | x-3|<é`>, jadi terbukti lim (4x - 5) = 7 x-->3 71
  77. 77. b. Analisa Akan dibuktikan bahwa untuk sembarang bilangan positif kecil s, 2 _ 9 : jig: - 7 <e bi1a| x-3|<8. x _ 2 __ __ . _+ 2 _ _n 2 Padahal = Lili = (x J) . Karena lx-3|<5, x - 3 x - 3 x - 3 x2 +x-l2-7(x-3) maka --íí--í = = | x - 3| <e , sehingga dapat dípilih 8=s X c-p Bukti Diberikan sembarang a>0, pilih 6=s, sehingga bila | x~3|<5, maka 2 __ __ _ 2 _ _ 2 z; Lííií = (X 3) = 'x_3|<5=e x - 3 x - 3 x - 3 2 2 _ Karena Six-EJ <e bila | x-3|<ê, maka terbukti lim LTL? =. ~ 7 X -3 x->3 X -3 c. Analisa Akan dibuktilcan bahwa untuk sembarang bilangan positif kecil s, |(x2-1)-3|<s bila [x-(-2)| <ã Padahal | (x2-I)-3|= lx2-4[= |(x-2)(x+2)]= lx-2|íx+2| Menurut deñnisi, xEJ-2 berartí bahwa x mendekatí -2 sedekat mungkin, tanpa harus sama dengan 2. Sehingga masuk akal jika jarak antara x dan -2 kurang dari l, yaitu 551. Jadi ]x-(-2)| <5sI Sementara | x-2]= [x+2-4|, sehingga | (x2-1)-3|= |x+2|| x-2| = |x+2][x+2-4| S]x+2|(| x+2|+4) <8(8+4) = a2+4a <55=s Bukti Diberikan sembarang a>0, pilih 8smin{ 1,s/5}, sehingga jika | x-(-2)| <6, maka | (x2-1)-3|= |x2-4|= |(x-2)(x+2)]= |x-2|| x+2|= |x+2|| x+2-4| s]x+2l(]x+2|+4) 72
  78. 78. <5(a+4) =52+4 <58=a Penyelesaían contoh d, e dan f sílakan díusahakan dibuktíkan sendírí. Deñnisi (Limit Kiri) lim f(x) = L jika V a > 03 6 >0 a, a-ã<x<aEI| f(x)-L [<3 x->a' Defmisi (Limit Kanan) lim f(x) = L jika V a > 03 3 >O a, a<x<a+8[`J]f(x)-L | <a x-m* Teorema 1. lim f(x) = L : > im [f(x)] = L l x->c x->c 2. lí1n]f(x)| = O 2 lim f(x) = 0 X-HJ X--)C Teorema lim f(x) = L <: > “limí f(x) = lim f(x) = L x-m x-ba' Contoh , x Tcntukan nilai dari kmu x->O x Penyelesaian. , _ x, x 2 O Menumt deñmsi [x] = -x, x < O . X . x . X _ -x . X . XI 11m U = 11m- = 1, sedangkan 11m U = l11n-- = -1. Karena hm L' : t hm l- , maka xqg* x x-AO x _~_; o' x x-)O x x->O' x x->0" x . X . !imu tidak ada. x~>O x 73
  79. 79. Contoh: -2 2 1 Jika f(x): x X+ ” x < , tentukan nilai dari 1ímf(x) 3 -x x >1 H' Penyelesaian. un; f(x) = linI1(x2 -2x + 2) = 1, linl} f(x) = l_irrl1(3 - x) = 2 Karena lim f (x) ; t iin]1f(x), Inaka linI1f(x) tidak ada. x-H* x-> ” x-> Gan1bar4.10 Latihan I. Dari grañk berikut ini, tentukan apakah lim f (x) ada X-)C 74
  80. 80. 2. Tentukan limit berikut ini , jika ada: 2 2 a lim x 9 f. lim X I x->3' X-3 x->l' X-II -5 2 b “HKIX | g. lim ~L ~3X ***S X" x->l,5 12x~3| c. lim “ZX” J; _ x2 H” h. lim d. mm: : “3” H; xàz. . x/ ó-x-Z 1. lim ? - e_ _x X-)2 ^/3-X-1 xag* XI 2 3. Adakah bilangan a sedemikian sehingga lim ada? Jika ada X~= >-2 x2 +x-2 tentukan nilai a dan limítnya. 4. Tentulçan limit kiri dan limit kanan dari fungsi berikut ini di titik c yang ditentukan, kemudian tentukan apakah limit fungsi di titik tersebut ada. 2 , O 3 -1, 1 a' f(x): x x# , ero x x< 1,x=0 d. f(x): 2 , x=l, c= l 2x , x>1 XZ-g x¢3 b- f(x)= x-3, a C339 | x~1[ 1 6 , x=3 e. f(x): x-1”x¢ , c= l 0 , :1 3x-1,x<1 x c. f(x): 4 , x=, c= l 3x-1, x<l 2x , x>1 f. f(x): takterdeñnisi, x=l, c=1 2x , x>1
  81. 81. x/ l 5 - 5x, x < 2 . Js' , = 2 S. Diketahui fungsi f (x) = x , tentukan 9 - x2 , 2 < x < 3 x - 2 , x _>. 3 a. lin] f(x) c. lim f(x) e. lim f(x) x->2' x~>3' x->2 b. lim f(x) d. lim f(x) ñ lim f(x) X->2` x->3` x->3 1 . .l . 6. Diketahui fungsi f (x) = ' (a x buang@ bulat , tentukan O, _jlka x bukan bilangan bulat a. lim f(x) b. lim f(x) c. lim f(x) d. lim f(x) x->2 x->}5 x-~>3 x->0 7. Tentukan a. Iin1[| x-3i+ x J x->l [X-ll b. xlinqzíix ~3[ + rin} 4.4. Limit Fungsi Trigonometri Lingkaran L di samping berjarí-jari 1 satuan OC= OB dengan CDLAB, dan X=4(OA, OB)= éAOB, O<x<1r/2. Sehingga CD= sin x dan AB= tan x. Dari gambar disamping dapat disusun pertidaksamaan: Luas AOCD<Luas juring OCB<Luas AOAB 0,5. sin x <(X/27t). TC< 0.5. tan x cos x<( sin x / x)< I Dari luas AOCD<luas juríng OCB diperoleh sin x<x, O<x<7r/2. Dari sini diperoleh O<sin x<x. Bila pertidaksamaan ini dikuadratlain, dikalíkan dengan 2, kemudían menggunakan rumus trigonometri, diperoleh penidalçsamaan baru cos x>1-x2/2. Jadi kita sudah mempunyai pertídaksamaan: 1-x2/<c0s x<( sin x / x)< 1, 0<x<n/2 76
  82. 82. . . . sin x Dengan menggunakan teorema apit diperoleh lim = I x->0 X Dari hasi] ini diperoleh rumus limit fungsi trigonometri a. lim cos x = 1 c. lim tan x = 0 . tan x x_,0 , (90 e. 11m :1 x->0 X b. lim sin x = 0 . x x_,0 d. lim _ :1 f l. x _l x->0 sm x - 1m - xeo tan x Contoh Hitunglah limit fungsi trigonoinetri berikut ini: 1. lim g 3. lim tanx x->% (x-"2) X->OX2-3X 2. linaw 4. lim(l-cosx)sin-1~ X-Ht sinx x->0 X Penyelesaian 1 lim ícosx - lim -;1(%_X)-- Iim mmmwsinayz-X) --l x->%(X-7%) x-Nyz Uyz-X) xJyz-H) (7y2-X) 2 2' nm HCOSX : nm 1+c0s(2.y2x) : hm 1+(2c0s (/2x)-1) x-m sinx x-m sín(2.%x) x->n 2siny2xc0s/2x _ c0s(y2 x) = hm f-~ = 0 x->7I S1n(y2 x) . tanx . tanx . tanx . 1 1 3. hm í-z 11m -----; -= 11m lim = -: x->0x2_3x x->0X(x-. >) x->O X x->0(x-3) . a . . 1 4. 11m(1-c0sx)s1n-=0 x->0 X Soal Tentukan limit berikut . t 3 1 hmííjm; ><~>TI sin(2x2) . t 2 11m CO: X-: vãx-í 77
  83. 83. 3 “m : ana-JI -2) x->4 x~4 4 lim -üimx _U x9! x2 -x-2 4.5. Limit Tak Hingga Deñnísi (Limit Tak Hingga) Mísalkan f Sebuah fungsi yang terdeñnisí pada salang buka yang memuat a, kecuali mungkin pada a sendírí, maka lim f (x) = oo , berarti bahwa V M>0 3 8>0 a 0<]x-a| <5 E1|f(x)>M Mísalkan f Sebuah fungsi yang terdeñnisí pada salang buka yang memuat a, kecuali mungkin pada a sendiri, maka lim f (x) = -oo , berarti bahwa x->a V N<O EI ê>O 3 0<| x-a}<5 Df(x)<N Y + 00 ""'“" V» M Gb4.l2a Gb 4.l2b Contoh Tentulcan . x/ x + 2 . x5 ~ x a. 11m b. 11m . '->2` x - 2 x+2* x - 2 Penyelesaían . «T @IWM 2 a. Inn = ='-_-: -=-= o0 H? " x-2 imax-Z O _ a-l- üngMí-x 45-2 b. 11m = = = 00 x+2* x-2 l1mx-2 0 x+2* 78
  84. 84. a. Limit di Tak Hingga 0 Mísalkan fungsi f terdeñnísi pada (a, oo). Limit fungsi f Lintuk membesar tanpa batas adalah L ditulis lim f(x)= L jika Ve > 03m > 0 a x > m : > [f(x) - L] < a . '-)V) 0 Mísalkan fungsi f terdefinisí pada (-00,c). Limit fungsi f untuk mengecíl tanpa batas adalah L ditulis lim f(x)= L jika Vs > OEIn > 0 9 x < n = > ! f(x) - Li < s . f-D-m I l H Gb 4.l3a x-m . cm-x Gb 4.1313 Contoh Tentukanlah . x2 -2x a 11m H*** 2x' +1 3 2 . x -2x +1 b. hm--; -_~ -H-w 2x' +3x Penyelesaian: . x2-2x . xz(l'%) l a. l1m , .:11n-1---= ~:--: -=- H*** 2x'+l -"*”x2(2+y2) 2+1i1ny2 2 x . t-w: x - _ l b l. x3-2x2+l_ l. xia %+A3) '$33, 9x3+3x “$333, 2 3 - x (zau/ x!) 1_. 'l-í-)l3132x +31?: %a i 2+ lim zz 2 b. Limit Tak Hingga di Tak Hingga Limit tak hingga di tak hingga adalah kasus di mana f(x) -> oo bila x -> oo Definisi: 4 límf(x)=0ojika VM>03n1>0ax>n1:>f(x)>M $950 79
  85. 85. 0 limf(x)= -o0jikaVN>03n>O9x>n: >f(x)<N o límf(x)= oojika VM>03m>Oax<m: >f(x)>M . '-)~0O 0 limf(x)= -oojíkaVN<03111>03x<ni: >f(x)<N . '-)-¢J Contoh Tentulçan . 1- J; a. lim cos x X-W 2x + x . 1 b. 11m (x - 1) tan- x -)o0 X . 2x + 3 c. 11m x->oo x2 _ x _ 2 Penyelesaian a. Untuk berapapun x, nilai ! cos xl<l i-Jí 2 i-JZ 7 2x+x' Sehingga [cos x| < 2x+x I-x/ í 2 i-Jí 7 2x+x' lim X-)00 = 0 , sehingga lim = 0 X-)OO COS X 2x+x l-x/ X Menurut teorema lim [f(x)] = 0 : > lim f (x) = 0. Jadi lim x-mo X-)oo x->00 2x+x2 . 1 . l 1 b. lim (x - 1) tan- = lim x tan- -tan- x-)oo X x->oo X X l l tan- l tan- 1 = lim X - lim tan-= lim x -- lim tan-= I x-wo I x-no x l 1 x->oo x _. _ __,0 _ x K x c. Jawaban c silakan diselesaikan sendiri. Gb 4.I4b c0sx=0 80
  86. 86. lim f(x)= -c0 dan lim f(x) : oo X-f-OO X->0O lim f(x) = oo dan lim f(x) : -oo X-)-OO X-àü) c. Bentuk-Bentuk Tak Tentu Limit Fungsi . . . . . . . sin x Perhatikan limit fungsi trigonometn lim x->0 X , dimana limit pembilang dan limit penyebutnya nol. Bentuk demikían disebut bentuk tak tentu. Bentuk-bentuk tak tentu yang lain adalah 3,00 -oo, O.0o, O”, oo0,1“. Bentuk tak tentu yang akan dibahas di sini OO 0 . . adalah +2:00 -oo, O.oo . Bentuk tak tentu yang lam akan dibahas setelah pembahasan OO fungsi bei-pangkat fungsi dan logaritma natural. Contoh - - . . 1 Tentukan: a. lim i c. hm x. s1n- X-->4 X -4 x-w: x - -2 . b. lim i d. l1m(x/ x-l -x/ ;j x«->oo X - 4 **M Penyelesaian . x-«lí-z _ . (JX-2)(/ X+l) _ a. hm gf_ - lim --íí- - 3 x_>4(/ Z~2)(Jí+2) 4 : _- Hm hm @+1 x. .>m([-2)(&+2) x-m x+2 50%/ a _ 01332075) l = lim -j-; í-: í x->oo _ (z-i-xlílloy/ ç) _ _ 1 _ sinyx c. lim x. s1n-= 11m . I X-MX) X X->00 / x x-1-x di Xlínw(`/ ;__/ ;): X1~í-r)12zo{g_`/ ;) -1 = l' : O xE; l«/ x~I+«/ Xl x-->4 X-4 b 11m k@ x-xn X-4 sin] _ ' t = lim . 4 = lim . Sia =1 , K-wo yx t-)oo t 81
  87. 87. 4.6. Kekontinuan Fungsi a. Kekontinuan Fungsi di Suatu Titik Pernah dijumpai suatu fungsi dimana Eim f (x) ada dan sama dengan f(c), tapi X-)C ketdang-kadang lim f (x) ada sedangkan pada kenyataannya f(c) tidak ada (tak X-)C terdeñnisi). Bagaimana hubungan antara lim f (x) dan f(c)? . Berbagai x->c kemungkinan hubungan itu dijelaskan oleh grañk berikut: 0 Fix) Gambar Gambar lim f(x) = lim_ f(x) = f(c) lim f(x) = lim_ f(x) at f(c) x_)c+ x->c x-)c+ X-àc Y= F(X) c Gb 4.150 Gambar lim f(x) = lim f(x), f(c) lim f(x) ; t lim_ f(x) at f(c) x->c+ X-Hl" x->c+ X->0 lim f(x) 4: lim_ f(x), f(c) tak terdefinísi x-)c+ x->c 82
  88. 88. Definisi Mísalkan y= f(x) adalah fungsi yang terdeñnisi pada interval buka yang memuat c. J ika l. lim f(x) ada. X-)C 2. Nilai f(x) untuk x= a ada, atau f(c) ada 3. lim f(x) = f(c). X->C maka dikatakan fungsi itu kontinu di xzc Jika salah satu dari ketiga syarat tersebut tidak dipenuhi, maka dikatakan fungsi itu diskontinu di x= a Sebagai contoh fungsi f(x)=3x3-5x~l~4 lcontinu di x= l , karena 2 X 2 + 2 lim f(x) = lim (3x w 5x + 4) = 2 dan f(l)=2. Sedangkan f(x) = x -> l x ->1 X - 2 diskontinu di x=2, karena f(2) tak terdeñnísi. Definisi Formal Fungsi f dikatakan kontinu di titik c di daerah asalnyajika V e>O 3 E`»0a | x-c[<8LJ l`(x)-f(c)| <s Contoh Tentulcan kontuntlitas fungsi berikut di x=3 2 x -9 . . 1. f(x): i “mx” di x=3 6 jika x = 3 x2 +1 jika x ; as 0 2. f(x) = di x= O 2 jika x = O Penyelesaian 2 1 1.- lim f(x) = lim X f :6 x->3 x->3 X - J - f(3)=6 - lim f(x) = f(3) x->3 Jadi f(x) kontinu di x=3
  89. 89. 2.- lim f(x) = lim (x2 +1) =1 x->0 x->0 - f(0)=2 - lim f(x) at f(0) x->0 J adi f(x) diskontinu di x=0 Gan1bar4.l6b Definisi Sebuah fungsi f kontinu dari kanan pada Sebuah bilangan a, jika lin} f (x) = f (a) x-m dan kontinu dari kiri pada a, jika lim_ f (x) = f (a) x-m Contoh. x2 + 2x - 8 x i 2 Selidikilah apakah fungsi f (x) = x _ 2 ' kontinu di x=2? 2 , x = 2 Penyelesaian 2 _- _- 1. lim foqunn-_íx +2** =1nn: ~_(“ 2X* 4) = x->2 x->2 x . ..2 x->2 x _2 2. f(2)=2 3. íi_r33f(x)¢f(2) -2 Gambar 4. l 7 x2 + 2x - 8 x ; t 2 Sehungga f (x) = x . . 2 ' diskontinu di x=2. 2 , x=2 84
  90. 90. Sífat-sifat kekontinuan fungsi di satu titik 0 Jika f dan g kontínu di c, maka f+g, f~g dan fgjuga kontinu di c 0 J ika f dan g kontinu di c dengan g(c)¢O. maka f/ gjuga kontínu di c 0 Jika f kontínu di g(c) dan g kontinu di c, maka fungsi komposisi f(g(x)) juga kontinu di c. Sebagai contoh perhatikan fungsi h(x) = w/3x2 + 5 , yang kontínu untuk semua x20. Fungsi h dapat dínyatakan dengan h : f og, dengan f(x) : JE yang kontinu untuk setiap x20 dan g(x) = 3x2 + 5 . yang kontínu untuk setiap x. Karena g(x)>0 Lintuk setiap x, maka h = f o g = V3x2 + 5 juga kontinu untuk setiap x 2 Contoh lain, perhatikan fungsi h(x) = . Fungsi h dapat dínyatakan sebagai x-I x2 komposisi h = f o g dengan f (x) = J; yang kontínu untuk x20, dan g(x) = --í x . _ yang kontinu untuk xsél. Karena g(x)zO Llntuk x>1, maka h juga kontinu untuk x>1. Latihan 1 Tentukan apakah fungsi berikut kontinu di titik yang ditentukan. Kenmdialn gambarkan pula grañk fungsínya. a. f(x) : jx -5!. c=5 3x-1,x<1 b. f(x): 4 , x=l, c= l 2x , x>1 4-3x2 , x<0 c. f(x): 4 , 0 c= =0 x= , Hó-xz, 0<x<4 85
  91. 91. /4+x , xs4 d. f(x): x2__16 c=4 , 4 d x_4 x> 2 Untuk fungsi-fungsi di bawah ini tentukan f(c) sehingga merupakan fungsi yang kontinudic 2.. _ a. f(x)-tx 4, c=2 x-2 2 , 1 b. f(x): x x> , c= l l+x, x<1 2 . - c_ f(x)zL-íx_íl%p 6:3 x-3 d_ f(x): x2+5x, x<-1, c=4 x~3 , x>-I 3 Tentukan daerah sehingga fungsi berikut kontinu 2 a. f(x): x x2-4 b. f = x (X) x_2 7 1 ' f ___ x + c (x) 2%( 4 d. f(x): xz-l /15-3x, x<2 4m 1'r 'f() x5 , x=2 1<eta1u1 ungsi x = V9-x2 , 2<x<3 "x-Z” , x23 a. Apakah f kontinu di O? b. Apakah f kontinu di 2'? c. Apakah f kontinu di 4? d. Apakah f kontinu di 3? e. Gambarkan grafik f. 86

×