2. Es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1
para la probabilidad de éxito y valor 0 para la probabilidad de
fracaso. Si es una variable aleatoria que mide el "número de
éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles
resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria
se distribuye como una Bernoulli de parámetro.
DISTRIBUCION BERNOULLI

3. FORMULA DE BERNOULLI

4. "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".
Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará
sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.
La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo
existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).Por
tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.
EJEMPLOS
La probabilidad que al lanzar un dado nos aparezca el numero 2 es de 1/6 de
probabilidad de éxito(salga el numero 2): X Be 𝟏
𝟔
probabilidad de fracaso (cualquier otro numero que no sea 2): (1-p)= 1-1/6 = 5/6
~

5. "Lanzar un dado y salir un 6".
Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados:Estamos realizando un único
experimento (lanzar el dado una sola vez).
Se considera éxito sacar un 6, por tanto, la probabilidad según la principio de
indiferencia| principio de indiferencia de Laplace (casos favorables dividido entre casos
posibles) será 1/6.
Se considera fracaso no sacar un 6, por tanto, se considera fracaso sacar cualquier otro
resultado.
La variable aleatoria X medirá "número de veces que sale un 6", y solo existen dos
valores posibles, 0 (que no salga 6) y 1 (que salga un 6).
Por tanto, la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro = 1/6
La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X
sea igual a 1.
La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de
que X sea igual a 0.

6. Se sabe que una maquina
produce
un 3 % de piezas defectuosas.
Elegimos
una pieza al azar para
comprobar si no presenta
defectos. ¿Como se distribuye
la variable X
que vale 1 si la pieza no es
defectuosa y 0 si
es defectuosa?
¿Cuales son su media y su
varianza?
X sigue una distribución
Bernoulli con parámetro
0,97. La media y varianza son:
E[X] = ,97
V [X] = ,97 × ,03=,0291
PROBLEMAS
En un restaurante de comida rápida.25%de las
órdenes para beber es una bebida pequeña, 35%una
mediana y 40% una grande. Sea X=1 si escoge
aleatoriamente una orden de una bebida pequeña y
sea X=0 en cualquier otro caso. Sea Y= 1 si la orden de
la bebida mediana y Y=0 en cualquier otro caso sea Z
=1 si la orden es una bebida pequeña o media y Z =0
para cualquier otro caso.
Sea PX la probabilidad de éxito de X. Determine PX
Sea PY la probabilidad de éxito de Y. Determine PY
Sea PZ la probabilidad de éxito de Z. Determine PZ
¿Es posible que X y Y sean iguales a 1?
¿Es Z=X+Y? explique
Respuesta
PX=(0)(1-0.25)+(1)(0.25)= 0.25
PY=(0)(1-0.35)+(1)(0.35)= 0.35
PZ=(0)(1-0.40)+(1)(0.40)= 0.40
Si
No
No porque los valores son totalmente distintos

7. Si se realiza un total de n ensayos de Bernoulli y si
Los ensayos son independientes
Cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito p
X es el número de éxitos en los n ensayos
entonces X tiene la distribución binomial con
parámetros n y p, que se denota como
X Bin(n, p).
DISTRIBUCION BINOMIAL

8. FORMULA

9.  Una máquina empaquetadora que
produce 20% de paquetes
defectuosos. Si se extrae una
muestra aleatoria de 10 paquetes,
podremos calcular la media y la
desviación estándar de la
distribución binomial de ese
proceso en la forma que sigue:
m = np
= 10*0.2
= 2 Media
s = Ö npq
= Ö (10) (0.2) (0.8)
= Ö 1.6
= 1.265 Desviación estándar.
EJEMPLOS
¿Cual es la´probabilidad de obtener 6
caras al lanzar una moneda 10 veces? K es
el numero de aciertos. En este ejemplok
es igual (en cada acierto deciamos que la
variable toma el valor 1: como son 6
aciertos entonces k=6) n es el numero de
ensayos. En nuestro ejemplo son 10, P es
la probabilidad de éxito, es decir, que
salga cara al lanzar la moneda. Por lo
tanto P=0.5 entonces
Luego , P (x=6)=0.205, es decir, se tiene
una probabilidad del 20.5% de obtener 16
caras al lanzar 10 veces una moneda

10. Se lanza al aire diez veces una moneda. Sea X el
número de caras que aparecen. ¿Cuál es la
distribución de X?
Hay diez ensayos de Bernoulli independientes, cada
uno con probabilidad de éxito de p 0.5.
La variable aleatoria X es igual al número de éxitos en
los diez ensayos. Por consiguiente, X Bin(10, 0.5).

11. La probabilidad de que Ronaldo marque un gol de penalti es 0,8. ?Cual
es la distribución del numero de goles que marca en los siguientes 6
penaltis? X ∼ B(6, 0,8) ?
Cual es la probabilidad de que marque todas las 6 penaltis?
P(X = 6) = 6 6 ! ,8 6 (1 − ,8)6−6 ≈ ,262
¿Y la probabilidad de que falle por lo menos uno?
P(X < 6) = 1 − P(X = 6) = ,738
PROBLEMAS
Supongamos que se eligen 10 piezas al azar. Si X es el numero de
piezas defectuosas, ¿cual es la distribución de X?
X ∼ B(10, 0,03)
Igualmente, si Y es el numero de piezas buenas,
Y ∼ B(10, 0,97)
¿Cual es la probabilidad de que se encuentre por lo menos una pieza
defectuosa?
P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 10 0 ! ,030 (1 − ,03)10−0 ≈ ,263

12. Es una distribución de probabilidad discreta que
expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia
media, la probabilidad de que ocurra un determinado
número de eventos durante cierto período de tiempo.
DISTRIBUCION POISSON

13. FORMULA

14. Si el 2% de los libros
encuadernados en cierto taller
tiene encuadernación
defectuosa, para obtener la
probabilidad de que 5 de 400
libros encuadernados en este
taller tengan encuadernaciones
defectuosas usamos la
distribución de Poisson. En este
caso concreto, k es 5 y, λ, el valor
esperado de libros defectuosos
es el 2% de 400, es decir, 8.
Por lo tanto, la probabilidad
buscada es
Este problema también podría
resolverse recurriendo a una
distribución binomial de
parámetros k = 5, n = 400 y =0,02.
EJEMPLOS
Si X Poisson(3), calcule P(X 2), P(X 10), P(X 0), P(X
1) y P(X 0.5).
Solución
Cuando se usa la función de masa de probabilidad
(4.9), con λ 3, se obtiene
P(X = 2) = e−3 322!= 0.2240
P(X = 10) = e−3 31010!= 0.0008
P(X = 0) = e−3 300!= 0.0498
P(X = −1) = 0
P(X = 0.5) = 0

15. EJEMPLOS

16. PROBLEMAS
Si ya se conoce que el solo 3% de los alumnos de contabilidad son muy inteligentes.
Calcular la probabilidad de que si tomamos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes.
N=100
P=.03
λ=100*.03=3
X=5
R=.100820
Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día. Cuales son las
probabilidades de que reciba. a) 4 cheques sin fondo en un día dado) 10 cheques son
fondos en cualquiera de los días consecutivos.
a)x=variable que nos define el numero de cheques sin fondo = 0,1,2,3…..,,,
Λ= 6 cheques sin fondo por día =.13392
b)= variable que nos define el numero de cheques sin fondo que llegan al banco en
dos dias consecutivos=0,1,2,3….,etc.
λ= 6*2=12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días
consecutivos.
=.104953

17. Tiene una gran utilidad práctica ya que podemos
considerarla como un modelo adecuado para la
distribución de probabilidad del tiempo de espera
entre dos hechos que sigan un proceso de Poisson.
DISTRIBUCION EXPONENCIAL

18. FORMULA
𝑋~𝐸𝑋𝑃(ℵ)

19. EJEMPLOS

21. Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de falla en
años está dado por la variable aleatoria T, distribuida exponencialmente con tiempo
promedio de falla . S í 5 de estos componentes se instalan en diferentes sistemas, ¿cuál
es la probabilidad de que al menos 2 continúen funcionando después de 8 años?
Solución:
La probabilidad de que un determinado componente esté funcionando aún después de 8
años es:
la | nos indica que la integral se va a evaluar desde 8 hasta ¥
Sea x el número de componentes funcionando después de 8 años. Entonces mediante la
distribución Binomial,
n = 5
p = 0.20 = probabilidad de que un componente esté funcionando después de 8 años
q = 1-p = 0.80 = probabilidad de que un componente no funcione después de 8 años
P(x ³ 2 ) = p(x=2) + p(x=3) + p(x=4)+p(x=5) = 1 – p(x = 0, 1)
PROBLEMAS

22. El tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida en una cafetería es una
variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos.
¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida antes de que transcurran 3
minutos en al menos 4 de los 6 días siguientes?
Solución:
lanos indica que la integral va a ser evaluada de 0 a 3
x = número de días en que un cliente es atendido antes de que transcurran 3 minutos
x = 0, 1, 2,...,6 días
p = probabilidad de que un cliente sea atendido antes de que transcurran 3 minutos en
un día cualquiera = 0.5276
q = probabilidad de que un cliente no sea atendido antes de que transcurran 3 minutos
en un día cualquiera = 1- p = 0.4724