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Formulario de matemáticas III (preparatoria)



                                                    FÓRMULAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
                                                                   Condición para que dos rectas sean              13       Forma simétrica (intersección con los
                                                         7                     paralelas                                                   ejes)
                 CONCEPTOS BÁSICOS                                                                                                           x y
                                                                                m1 = m2                                                       + =1
                                                                                                                                             a b
        1         Distancia entre dos puntos:            8        Condiciones para que dos rectas sean             14          Forma general (igualar a cero)
                                                                           perpendiculares                                        Ax + By + C = 0
                 d = (x 2 " x1 ) 2 + (y 2 " y1 ) 2                !                      1
                                                                   m1 • m2 = "1 o m2 = "                                    ! de la recta Ordenada de la recta
                                                                                                                        Pendiente
                                                                                         m1
                                                                                                                            A                                   C
                                                                                                                        m="                               b="
                                                                                                                        !   B                                   B
!       2       División de un segmento en una           9            Área de un polígono de n lados               15 Cálculo de la distancia de un punto a una
                          razón dada:                                                                                                         recta
                                                     !
                                                                   x1 y1
                                       x1 + rx 2                   x2 y2                                  !                                 !
                  P(x,y)          x=             ,               1       1 #+ ( x1 y 2 + x 2 y 3 + K + x n y1 )&                            Ax + By + C
                           "            1+ r                  A=     M = %                                     (                       d=
                                                                 2
                                                                   xn yn
                                                                         2 $"( x 2 y1 + x 3 y 2 + K + x1 y n )'
                                                                           %                                   (                              A2 + B2
                                        y1 + ry 2
                                  y=                               x1 y1
                                         1+ r
            ! !
                                                                                                                     !
        3   Punto medio de un segmento recta
                                      !
                   !          x1 + x 2
                                  x=
                  P(x,y) "        2     ,
                                                                  ECUACIONES DE LA RECTA                                                    CÓNICAS
                               y1 + y 2
                           y=
                                  2
                ! !
        4        Pendiente de una recta                  10     Forma ordinaria (pendiente / ordenada)             16         Ecuación general de las cónicas
            Dado el ángulo Dado dos puntos
               !
            m = tan "                    y 2 " y1                                  y = mx + b                           Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
                                  m=
                                         x 2 " x1
        5 Ángulo de inclinación de una recta 11                          Forma punto / pendiente                   17           Identificación de las cónicas
                                                                    !                                      !
                                                                                                                               Discriminante:   I = B 2 " 4 AC
                    !
                           " = tan#1 (m)                                     y " y1 = m(x " x1 )                                     B 2 " 4 AC < 0 (negativo)
                                                                                                                             Elipse:
                                                                                                                                           2
                                                                                                                              Parábola: B " 4 AC = 0 (cero)
                                                                                                                                  !      2
                                                                                                                            Hipérbola: B " 4 AC > 0 (positivo)
            !                                                 !                                                         !
        6   Ángulo entre dos rectas dadas sus            12        Forma cuando pasa por dos puntos
                       pendientes                                                                                        !
                                                                              #y " y &                                   !       CIRCUNFERENCIA
                           $ m # m1 '
                             #1
                                                                     y " y1 = % 2 1 (( x " x1 )
                   " = tan & 2         )                                      $ x 2 " x1 '
                           %1+ m1 • m2 (


                                                     !Visita en internet: www.asesoriasdematematicas.com                                              1
    !
Formulario de matemáticas III (preparatoria)




    18 Datos importantes para obtener la 22 Datos importantes para obtener la ecuación 26                                       Horizontal
            ecuación de la circunferencia:                          de la parábola:                                     (vértice fuera del origen)

                                                            V(h,k) = coordenadas del vértice.                                             2
            C(h,k) = coordenadas del centro.                                                                 Ecuación
                                                                                                                         "     ( y # k)       = 4 p( x # h )
                                                            p = distancia del vértice al foco.
                           r = radio                                                                         Vértice " V(h,k)
                                                             Eje focal = horizontal / vertical                        " ( h + p,k )
                                                                                                           Foco
                                                                                                         !
                                                                                                           Directriz " x = h # p
                                                                                                         ! Lado recto " LR = 4 p
                                                                                                         !
                                                                                                               focal " y = k
                                                                                                           Eje !
    19 Ecuación ordinaria con centro en 23                            Horizontal                        27
                                                                                                         !
                       el origen                                 (vértice en el origen)                            Forma general de la parábola
                                                                                                         !           (caso con eje horizontal)
                                                  Ecuación "        y 2 = 4 px                           !

                     x 2 + y 2 = r2               " V(0,0)
                                                  Vértice                                                               y 2 + Dx + Ey + F = 0
                                                  " ( p,0)
                                                  Foco                                                       donde:
                                      ! Directriz " x = # p
                                                                                                           D = "4 p
                                        Lado recto " LR = 4 p
      !                               !Eje focal " y = 0                                                 ! E = "2k
                                      !
                                      !                                                                      F = k 2 + 4 ph
    20 Ecuación ordinaria con centro 24                   Vertical                                      28
              fuera del origen         !           (vértice en el origen)                                          Forma general de la parábola
                                       !                                                                              (caso con eje vertical)
                                                  Ecuación                                       !
                                                            " x 2 = 4 py
                                                 Vértice " V(0,0)                                                       x 2 + Dx + Ey + F = 0
                       2               2   2
               (x " h) + (y " k) = r             Foco      " (0, p)                                          donde:
                                                 Directriz " y = # p
                                                 !                                                         D = "2h
                                                 Lado recto " LR = 4 p
                                                !                                                        ! E = "4 p
                                                            " x =0
!                                               ! focal
                                                 Eje
                                                !                                                            F = h 2 + 4 pk

    21 Ecuación general o desarrollada         25!                      Vertical
                                                 !             (vértice fuera del origen)
             x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0                                                         !
                                                                                2
                                                  Ecuación
                                                           "         ( x # h)       = 4 p( y # k )
                              D        E
                     h="          k ="                     " V(h,k)                                                            ELIPSE
            donde:            2 ,      2 ,        Vértice
!                                                          " ( h,k + p)
                                                 Foco
                                                !
                       D2 + E 2 " 4F             Directriz " y = k # p
                 r=
        !          !        2                   !Lado recto " LR = 4 p
                                                !
                                                     focal " x = h
                                                 Eje !
                     PARÁBOLA                   !
    !                                            !
                                               Visita en internet: www.asesoriasdematematicas.com
                                                  !                                                                                           2
Formulario de matemáticas III (preparatoria)




    29       Datos importantes para obtener        32            Forma ordinaria en el origen              35          Forma general de la elipse
                 la ecuación de la elipse:                          (eje mayor - vertical)                                 (caso horizontal)

             C (h,k) = coordenadas del centro.                      x2 y2                                        Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
                                                          Ecuación " 2 + 2 = 1
             a = longitud del semieje mayor.                        b   a
                                                                                                                 donde:

!            b = longitud del semieje menor.
                                                        !Centro "          C(0,0)                    !           A = b2
          Eje mayor = Horizontal / Vertical               !
                                                                          Vmayor (0 ,±a)                         C = a2
                                                          Vértices   "
                                                     !                    Vmenor (±b,0)                          D = "2b 2 h
                                                                                                                 E = "2a 2 k
                                                          Focos     "     F(0, ± c)
                                                     !                                                           F = b 2 h 2 + a 2 k 2 " a 2b 2
    30        Ecuaciones importantes de la         33 ! Forma ordinaria fuera del origen                   36          Forma general de la elipse
                         elipse                                      (eje mayor - horizontal)                               (caso vertical)
                                                    !      !
              c = distancia del centro al foco.
                                                                          (x " h) 2 (y " k) 2 !                  Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
                                                          Ecuación    "            +         =1
                                                                             a2        b2
                       c = a2 " b2                                                                               donde:

                     LR = Lado recto                                       C ( h,k )                 !
                                                        !Centro "                                                A = a2
                                                          !
         !                   2b 2                                         Vmayor (h ± a,k)                       C = b2
                        LR =                              Vértices   "
                              a                                           Vmenor (h ,k ± b)                      D = "2a 2 h
                                                     !          !
                 e = excentricidad ( e < 1)                                                                      E = "2b 2 k
                                                          Focos     "     F(h ± c,k)
                                                      !                                                          F = a 2 h 2 + b 2 k 2 " a 2b 2
          !             c   a2 " b2
                   e=     =                                !
                        a     a
                                                    !      !
                                                                                                     !
    31        Forma ordinaria en el origen         34          Forma ordinaria fuera del origen
                (eje mayor - horizontal)                           (eje mayor – vertical)
    !
                    x2 y2                                            (x " h) 2 (y " k) 2
          Ecuación " 2 + 2 = 1                            Ecuación "          +          =1
                    a   b                                               b2        a2

                                                                                                                            HIPÉRBOLA
         !Centro "         C(0,0)
                                                        !Centro "          C ( h,k )
           !                                              !
                         Vmayor (±a,0)                                    Vmayor (h,k ± a)
          Vértices   "                                    Vértices   "
     !                   Vmenor (0 ,±b)                                   Vmenor (h ± b,k)
                                                     !          !
          Focos    "      F(±c,0)                         Focos     "     F(h,k ± c)
     !                                                !
             !                                             !
    !        !                                      ! !
                                                  Visita en internet: www.asesoriasdematematicas.com                                      3
Formulario de matemáticas III (preparatoria)




    37       Datos importantes para obtener         40           Forma ordinaria en el origen                   43      Forma general de la hipérbola
              la ecuación de la hipérbola:                          (eje focal - vertical)                                   (caso horizontal)

             C (h,k) = coordenadas del centro.                           y2 x2                                       Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
                                                          Ecuación   "     "   =1
             a = long. del semieje transverso.                           a2 b2
                                                                                                                     donde:
                                                          Centro    "     C(0,0)
!            b = long. del semieje conjugado.
                                                         !                                                  !        A = b2
          Eje Focal = Horizontal / Vertical                  !      y x
                                                                     + =0                                            C = "a 2
                                                        Asíntotas "
                                                                    a b
                                                      !
                                                                    y x                                              D = "2b 2 h
                                                                     " =0
                                                                    a b                                              E = 2a 2 k
                                                         !Focos "        F(0,±c)                                     F = b 2 h 2 " a 2 k 2 " a 2b 2

    38        Ecuaciones importantes de la          41       !
                                                             Forma ordinaria fuera del origen                           Forma general de la hipérbola
                       hipérbola                                    (eje focal - horizontal)                                   (caso vertical)
                                                     !       !                                              !
              c = distancia del centro al foco.                                     2                  2
                                                                         ( x " h)           ( y " k)                 Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
                                                          Ecuación   "                  "                  =1
                                2       2
                                                                            a2                 b2
                       c = a +b                                                                                      donde:
                                                          Centro    "     C(h,k)
                      LR = Lado recto                                                                       !        A = "a 2
                                                         !
                                                         !          x"h y"k
                                                                       +    =0                                       C = b2
         !                     2b 2                                  a   b
                          LR =                        ! Asíntotas "
                                a                                   x"h y"k                                          D = 2a 2 h
                                                                       "    =0
                  e = excentricidad ( e > 1)                         a   b                                           E = "2b 2 k
                                                         !Focos "        F(h ± c,k)                                  F = b 2 k 2 " a 2 h 2 " a 2b 2
                                    2       2
         !                c   a +b
                    e=      =
                          a     a                            !
    39        Forma ordinaria en el origen          42       Forma ordinaria fuera del origen
                 (eje focal - horizontal)            !       !    (eje focal - vertical)     !
                                                                                    2                  2
    !               x2 y2
          Ecuación " 2 " 2 = 1                            Ecuación "
                                                                         ( y " k)       "
                                                                                          ( x " h)         =1
                    a   b                                                   a2                 b2
          Centro      "     C(0,0)                        Centro    "     C(h,k)
         !                                               !
             !     x y                                       !      y"k x"h
                    + =0                                               +    =0
                   a b                                               a   b
     ! Asíntotas "                                    ! Asíntotas "
                   x y                                              y"k x"h
                    " =0                                               "    =0
                   a b                                               a   b
         !Focos "          F(±c,0)                       !Focos "        F(h,k ± c)

              !                                              !
    !         !                                      !
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Formulario de Geometría analítica

  • 1. Formulario de matemáticas III (preparatoria) FÓRMULAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Condición para que dos rectas sean 13 Forma simétrica (intersección con los 7 paralelas ejes) CONCEPTOS BÁSICOS x y m1 = m2 + =1 a b 1 Distancia entre dos puntos: 8 Condiciones para que dos rectas sean 14 Forma general (igualar a cero) perpendiculares Ax + By + C = 0 d = (x 2 " x1 ) 2 + (y 2 " y1 ) 2 ! 1 m1 • m2 = "1 o m2 = " ! de la recta Ordenada de la recta Pendiente m1 A C m=" b=" ! B B ! 2 División de un segmento en una 9 Área de un polígono de n lados 15 Cálculo de la distancia de un punto a una razón dada: recta ! x1 y1 x1 + rx 2 x2 y2 ! ! P(x,y) x= , 1 1 #+ ( x1 y 2 + x 2 y 3 + K + x n y1 )& Ax + By + C " 1+ r A= M = % ( d= 2 xn yn 2 $"( x 2 y1 + x 3 y 2 + K + x1 y n )' % ( A2 + B2 y1 + ry 2 y= x1 y1 1+ r ! ! ! 3 Punto medio de un segmento recta ! ! x1 + x 2 x= P(x,y) " 2 , ECUACIONES DE LA RECTA CÓNICAS y1 + y 2 y= 2 ! ! 4 Pendiente de una recta 10 Forma ordinaria (pendiente / ordenada) 16 Ecuación general de las cónicas Dado el ángulo Dado dos puntos ! m = tan " y 2 " y1 y = mx + b Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 m= x 2 " x1 5 Ángulo de inclinación de una recta 11 Forma punto / pendiente 17 Identificación de las cónicas ! ! Discriminante: I = B 2 " 4 AC ! " = tan#1 (m) y " y1 = m(x " x1 ) B 2 " 4 AC < 0 (negativo) Elipse: 2 Parábola: B " 4 AC = 0 (cero) ! 2 Hipérbola: B " 4 AC > 0 (positivo) ! ! ! 6 Ángulo entre dos rectas dadas sus 12 Forma cuando pasa por dos puntos pendientes ! #y " y & ! CIRCUNFERENCIA $ m # m1 ' #1 y " y1 = % 2 1 (( x " x1 ) " = tan & 2 ) $ x 2 " x1 ' %1+ m1 • m2 ( !Visita en internet: www.asesoriasdematematicas.com 1 !
  • 2. Formulario de matemáticas III (preparatoria) 18 Datos importantes para obtener la 22 Datos importantes para obtener la ecuación 26 Horizontal ecuación de la circunferencia: de la parábola: (vértice fuera del origen) V(h,k) = coordenadas del vértice. 2 C(h,k) = coordenadas del centro. Ecuación " ( y # k) = 4 p( x # h ) p = distancia del vértice al foco. r = radio Vértice " V(h,k) Eje focal = horizontal / vertical " ( h + p,k ) Foco ! Directriz " x = h # p ! Lado recto " LR = 4 p ! focal " y = k Eje ! 19 Ecuación ordinaria con centro en 23 Horizontal 27 ! el origen (vértice en el origen) Forma general de la parábola ! (caso con eje horizontal) Ecuación " y 2 = 4 px ! x 2 + y 2 = r2 " V(0,0) Vértice y 2 + Dx + Ey + F = 0 " ( p,0) Foco donde: ! Directriz " x = # p D = "4 p Lado recto " LR = 4 p ! !Eje focal " y = 0 ! E = "2k ! ! F = k 2 + 4 ph 20 Ecuación ordinaria con centro 24 Vertical 28 fuera del origen ! (vértice en el origen) Forma general de la parábola ! (caso con eje vertical) Ecuación ! " x 2 = 4 py Vértice " V(0,0) x 2 + Dx + Ey + F = 0 2 2 2 (x " h) + (y " k) = r Foco " (0, p) donde: Directriz " y = # p ! D = "2h Lado recto " LR = 4 p ! ! E = "4 p " x =0 ! ! focal Eje ! F = h 2 + 4 pk 21 Ecuación general o desarrollada 25! Vertical ! (vértice fuera del origen) x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ! 2 Ecuación " ( x # h) = 4 p( y # k ) D E h=" k =" " V(h,k) ELIPSE donde: 2 , 2 , Vértice ! " ( h,k + p) Foco ! D2 + E 2 " 4F Directriz " y = k # p r= ! ! 2 !Lado recto " LR = 4 p ! focal " x = h Eje ! PARÁBOLA ! ! ! Visita en internet: www.asesoriasdematematicas.com ! 2
  • 3. Formulario de matemáticas III (preparatoria) 29 Datos importantes para obtener 32 Forma ordinaria en el origen 35 Forma general de la elipse la ecuación de la elipse: (eje mayor - vertical) (caso horizontal) C (h,k) = coordenadas del centro. x2 y2 Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Ecuación " 2 + 2 = 1 a = longitud del semieje mayor. b a donde: ! b = longitud del semieje menor. !Centro " C(0,0) ! A = b2 Eje mayor = Horizontal / Vertical ! Vmayor (0 ,±a) C = a2 Vértices " ! Vmenor (±b,0) D = "2b 2 h E = "2a 2 k Focos " F(0, ± c) ! F = b 2 h 2 + a 2 k 2 " a 2b 2 30 Ecuaciones importantes de la 33 ! Forma ordinaria fuera del origen 36 Forma general de la elipse elipse (eje mayor - horizontal) (caso vertical) ! ! c = distancia del centro al foco. (x " h) 2 (y " k) 2 ! Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Ecuación " + =1 a2 b2 c = a2 " b2 donde: LR = Lado recto C ( h,k ) ! !Centro " A = a2 ! ! 2b 2 Vmayor (h ± a,k) C = b2 LR = Vértices " a Vmenor (h ,k ± b) D = "2a 2 h ! ! e = excentricidad ( e < 1) E = "2b 2 k Focos " F(h ± c,k) ! F = a 2 h 2 + b 2 k 2 " a 2b 2 ! c a2 " b2 e= = ! a a ! ! ! 31 Forma ordinaria en el origen 34 Forma ordinaria fuera del origen (eje mayor - horizontal) (eje mayor – vertical) ! x2 y2 (x " h) 2 (y " k) 2 Ecuación " 2 + 2 = 1 Ecuación " + =1 a b b2 a2 HIPÉRBOLA !Centro " C(0,0) !Centro " C ( h,k ) ! ! Vmayor (±a,0) Vmayor (h,k ± a) Vértices " Vértices " ! Vmenor (0 ,±b) Vmenor (h ± b,k) ! ! Focos " F(±c,0) Focos " F(h,k ± c) ! ! ! ! ! ! ! ! Visita en internet: www.asesoriasdematematicas.com 3
  • 4. Formulario de matemáticas III (preparatoria) 37 Datos importantes para obtener 40 Forma ordinaria en el origen 43 Forma general de la hipérbola la ecuación de la hipérbola: (eje focal - vertical) (caso horizontal) C (h,k) = coordenadas del centro. y2 x2 Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Ecuación " " =1 a = long. del semieje transverso. a2 b2 donde: Centro " C(0,0) ! b = long. del semieje conjugado. ! ! A = b2 Eje Focal = Horizontal / Vertical ! y x + =0 C = "a 2 Asíntotas " a b ! y x D = "2b 2 h " =0 a b E = 2a 2 k !Focos " F(0,±c) F = b 2 h 2 " a 2 k 2 " a 2b 2 38 Ecuaciones importantes de la 41 ! Forma ordinaria fuera del origen Forma general de la hipérbola hipérbola (eje focal - horizontal) (caso vertical) ! ! ! c = distancia del centro al foco. 2 2 ( x " h) ( y " k) Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Ecuación " " =1 2 2 a2 b2 c = a +b donde: Centro " C(h,k) LR = Lado recto ! A = "a 2 ! ! x"h y"k + =0 C = b2 ! 2b 2 a b LR = ! Asíntotas " a x"h y"k D = 2a 2 h " =0 e = excentricidad ( e > 1) a b E = "2b 2 k !Focos " F(h ± c,k) F = b 2 k 2 " a 2 h 2 " a 2b 2 2 2 ! c a +b e= = a a ! 39 Forma ordinaria en el origen 42 Forma ordinaria fuera del origen (eje focal - horizontal) ! ! (eje focal - vertical) ! 2 2 ! x2 y2 Ecuación " 2 " 2 = 1 Ecuación " ( y " k) " ( x " h) =1 a b a2 b2 Centro " C(0,0) Centro " C(h,k) ! ! ! x y ! y"k x"h + =0 + =0 a b a b ! Asíntotas " ! Asíntotas " x y y"k x"h " =0 " =0 a b a b !Focos " F(±c,0) !Focos " F(h,k ± c) ! ! ! ! ! Visita en ! internet: www.asesoriasdematematicas.com 4