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Problemas resueltos de Distribución Muestral

Pregunta 1
En el último año, el peso de los recién nacidos tiene una media de 3000 gr. y
desviación estándar de 140 gr. ¿Cuál será la probabilidad de que la media de una
muestra de 100 recién nacidos sea superior a 3030 gr. ?

P( X > 3030) = P( (X - µ ) / σ/√n < (3030-3000) /140/√100)
= P( Z < 2.14) = 0.9838

Pregunta 2

Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye
aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar
de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos
tenga una vida promedio de menos de 775 horas.
Solución:




Este valor se busca en la tabla de z

La interpretación sería que la probabilidad de que la media de la muestra de 16
focos sea menor a 775 horas es de 0.0062.

Pregunta 2

Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma
normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9
centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo
de esta población, determine:

   a. El número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centímetros.
   b. El número de medias muestrales que caen por debajo de 172 centímetros.

Solución:
Como se puede observar en este ejercicio se cuenta con una población finita y un
muestreo sin reemplazo, por lo que se tendrá que agregar el factor de corrección.
Se procederá a calcular el denominador de Z para sólo sustituirlo en cada inciso.
a)




                        (0.7607)(200)=152 medias muestrales

b)


                                b.




                         (0.0336)(200)= 7 medias muestrales


Pregunta 3

Se supone que la estatura de los chicos de 18 años de cierta población sigue una
distribución normal de media 162 cm y desviación estándar de 12 cm. Se toma
una muestra al azar de 100 de estos chicos encuestados y se calcula la media.
¿Cuál es la probabilidad de que esta media esté entre 159 y 165 cm?

µ=162 cm.
σ=20 cm.

P( 159 < X <165) = P( (159-162) / 12/√100< (X - µ ) / σ/√n < (165-162) /12/√100)
= P( -2.5 < Z < 2.5) = P( Z < 2.5) - P( Z < - 2.5) = P( Z < 2.5) – (1 - P( Z < 2.5))
= 2*P( Z < 2.5) -1 =2*(0.9938)) – 1 = 0.9876
Pregunta 4

En una casa de retiro la edad de las personas tiene una media de 76 años y una
desviación estándar de 10 años.

a) ¿De qué tamaño debe ser la muestra aleatoria de las personas, para tener una
probabilidad del 9.94% de que la edad media sea inferior a 74 años?

µ=76 años
σ=10 años

P( X <74) = P( (X - µ ) / σ/√n < (74-76)/10/√n) =0.0994
= P( Z < Z0) = 0.0994 ENTONCES Z0 = - 1.32

(74-76)*/10/√n = -1.32

OPERANDO

-2*√n/10 = -1.32

ENTONCES

√n = 6.6 POR LO TANTO n=43.6 APROXIMADAMENTE SE NECESITA 44 PERSONAS

b) Si esta muestra se tomó de un total de 500 personas. Determinar por debajo de
qué valor se encuentra el 80% de las medias muestrales probabilidad del 9.94%
de que la edad media sea inferior a 74 años?


P( X <X0) = P( (X - µ ) / σ/√n < (X0 – 76) /10/√500) =0.80
= P( Z < Z0) = 0.80 ENTONCES Z0 = 0.85

(X0-76)*/10/√500 = 0.85

OPERANDO

X0= 76.38

ENTONCES

SE ENCUENTRA POR DEBAJO DEL VALOR DE 76.38

Pregunta 5

Se sabe que los sueldos de los trabajadores de una empresa están distribuidos
normalmente con una media de $800. Se toma una muestra aleatoria de 25
trabajadores y se encuentra que hay una probabilidad del 5% de que la media
muestral exceda los $866.



a) Hallar la desviación estándar de los sueldos
µ = $800

σ = ¿???

P( X > 866) = P( (X - µ ) / σ/√n < (866 – 800) /σ /√25) =0.05
= P( Z > 330/ σ) = 0.05 ENTONCES 1- P( Z < 330/ σ)=0.05
P( Z < 330/ σ)=0.95
330/ σ=1.65 entonces σ=$200

b) Hallar la probabilidad de que un sueldo elegido aleatoriamente exceda los $770


P( X > 770) = P( (X - µ ) / σ > (770 – 800) /200) = P( Z > - 0.15)
ENTONCES 1- P( Z < - 0.15) = 1-(1-P( Z < 0.15))= P( Z < 0.15)= 0.5596.

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  • 1. Problemas resueltos de Distribución Muestral Pregunta 1 En el último año, el peso de los recién nacidos tiene una media de 3000 gr. y desviación estándar de 140 gr. ¿Cuál será la probabilidad de que la media de una muestra de 100 recién nacidos sea superior a 3030 gr. ? P( X > 3030) = P( (X - µ ) / σ/√n < (3030-3000) /140/√100) = P( Z < 2.14) = 0.9838 Pregunta 2 Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas. Solución: Este valor se busca en la tabla de z La interpretación sería que la probabilidad de que la media de la muestra de 16 focos sea menor a 775 horas es de 0.0062. Pregunta 2 Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de esta población, determine: a. El número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centímetros. b. El número de medias muestrales que caen por debajo de 172 centímetros. Solución: Como se puede observar en este ejercicio se cuenta con una población finita y un muestreo sin reemplazo, por lo que se tendrá que agregar el factor de corrección. Se procederá a calcular el denominador de Z para sólo sustituirlo en cada inciso.
  • 2. a) (0.7607)(200)=152 medias muestrales b) b. (0.0336)(200)= 7 medias muestrales Pregunta 3 Se supone que la estatura de los chicos de 18 años de cierta población sigue una distribución normal de media 162 cm y desviación estándar de 12 cm. Se toma una muestra al azar de 100 de estos chicos encuestados y se calcula la media. ¿Cuál es la probabilidad de que esta media esté entre 159 y 165 cm? µ=162 cm. σ=20 cm. P( 159 < X <165) = P( (159-162) / 12/√100< (X - µ ) / σ/√n < (165-162) /12/√100) = P( -2.5 < Z < 2.5) = P( Z < 2.5) - P( Z < - 2.5) = P( Z < 2.5) – (1 - P( Z < 2.5)) = 2*P( Z < 2.5) -1 =2*(0.9938)) – 1 = 0.9876
  • 3. Pregunta 4 En una casa de retiro la edad de las personas tiene una media de 76 años y una desviación estándar de 10 años. a) ¿De qué tamaño debe ser la muestra aleatoria de las personas, para tener una probabilidad del 9.94% de que la edad media sea inferior a 74 años? µ=76 años σ=10 años P( X <74) = P( (X - µ ) / σ/√n < (74-76)/10/√n) =0.0994 = P( Z < Z0) = 0.0994 ENTONCES Z0 = - 1.32 (74-76)*/10/√n = -1.32 OPERANDO -2*√n/10 = -1.32 ENTONCES √n = 6.6 POR LO TANTO n=43.6 APROXIMADAMENTE SE NECESITA 44 PERSONAS b) Si esta muestra se tomó de un total de 500 personas. Determinar por debajo de qué valor se encuentra el 80% de las medias muestrales probabilidad del 9.94% de que la edad media sea inferior a 74 años? P( X <X0) = P( (X - µ ) / σ/√n < (X0 – 76) /10/√500) =0.80 = P( Z < Z0) = 0.80 ENTONCES Z0 = 0.85 (X0-76)*/10/√500 = 0.85 OPERANDO X0= 76.38 ENTONCES SE ENCUENTRA POR DEBAJO DEL VALOR DE 76.38 Pregunta 5 Se sabe que los sueldos de los trabajadores de una empresa están distribuidos normalmente con una media de $800. Se toma una muestra aleatoria de 25 trabajadores y se encuentra que hay una probabilidad del 5% de que la media muestral exceda los $866. a) Hallar la desviación estándar de los sueldos
  • 4. µ = $800 σ = ¿??? P( X > 866) = P( (X - µ ) / σ/√n < (866 – 800) /σ /√25) =0.05 = P( Z > 330/ σ) = 0.05 ENTONCES 1- P( Z < 330/ σ)=0.05 P( Z < 330/ σ)=0.95 330/ σ=1.65 entonces σ=$200 b) Hallar la probabilidad de que un sueldo elegido aleatoriamente exceda los $770 P( X > 770) = P( (X - µ ) / σ > (770 – 800) /200) = P( Z > - 0.15) ENTONCES 1- P( Z < - 0.15) = 1-(1-P( Z < 0.15))= P( Z < 0.15)= 0.5596.