STATISTIK INDUSTRI 1 - TEORI PROBABILITAS

Universitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia
Universitas Qomaruddin, Gresik, IndonesiaSenior Lecturer at University of Wijaya Putra, Surabaya, Indonesia

Bab 3 dari Materi Kuliah Statistik Industri

11/5/2014 
1 
TEORI PROBABILITAS 
Dr Auditya Purwandini Sutarto 
TOPIK 
• Definisi 
• Macam-macam Himpunan 
• Operasi dalam Himpunan 
• Aturan dalam Himpunan 
HIMPUNAN 
• Permutasi 
• Kombinasi 
PERMUTASI & 
KOMBINASI 
• Definisi 
• Kejadian & Ruang Sampel 
• Probabilitas Gabungan 
• Probabilitas Bersyarat 
• Teorema Bayes 
PROBABILITAS
11/5/2014 
2 
HIMPUNAN 
DEFINISI 
George Cantor ( 1845 – 1918) 
 Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau 
obyek yang dapat didefinisikan dengan jelas. 
 Setiap benda atau obyek yang termasuk dalam 
suatu himpunan disebut anggota atau elemen. 
Anggota himpunan ditulis dengan lambang , 
bukan anggota himpunan dengan lambang  
 Dalam Statistik, himpunan dikenal sebagai 
populasi. 
 Himpunan dilambangkan dengan pasangan kurung 
kurawal { }, dan dinyatakan dengan huruf besar: 
A, B,...
11/5/2014 
3 
Contoh Himpunan 
 Yang merupakan himpunan adalah: 
 Himpunan warna lampu lalu lintas 
 Kumpulan bilangan prima kurang dari 10 
 I = { X: x < 10, x bilangan cacah } 
 H = { 1, 3, 5, 6 } 
 Yang bukan merupakan himpunan adalah: 
 Kumpulan warna yang menarik 
 Kumpulan lukisan yang indah 
 Kumpulan siswa yang pintar 
 Kumpulan rumah bagus 
Penulisan Himpunan 
 Cara Pendaftaran. 
Unsur himpunan ditulis satu persatu/didaftar 
Contoh : A={a,i,u,e,o}, B={1,2,3,4,5} 
 Cara Pencirian. 
Unsur himpunan ditulis dengan menyebutkan sifat-sifat 
/ ciri-ciri himpunan tsb. 
Contoh : A={ X : x huruf hidup } 
B={ X : 1  x  5 }
11/5/2014 
4 
MACAM-MACAM HIMPUNAN 
a.Himpunan Semesta 
 Himpunan yang memuat seluruh objek yang 
dibicarakan atau menjadi objek pembicaraan. 
 Dilambangkan S atau U. 
 Dalam statistik, himpunan semesta ini disebut juga 
sebagai ruang sampel 
 Contoh : S=U={a,b,c,…..} 
S=U={ X : x bilangan asli} 
b.Himpunan Kosong. 
 Himpunan yang tidak memiliki anggota. 
 Dilambangkan { } atau . 
c.Himpunan Bagian. 
 Himpunan yang menjadi bagian dari himpunan lain. 
 Dilambangkan . 
 Dalam statistik, himpunan bagian merupakan 
sampel.
11/5/2014 
5 
Contoh : 
 Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika 
setiap unsur A merupakan unsur B, atau A termuat 
dalam B, atau B memuat A. 
 Dilambangkan : A  B. 
 Banyaknya himpunan bagian dari sebuah n unsur 
adalah 2n 
Contoh Soal 

11/5/2014 
6 
d. Himpunan Komplemen. 
 Himpunan komplemen adalah himpunan semua unsur 
yang tidak termasuk dalam himpunan yang 
diberikan. 
 Jika himpunannya A maka himpunan komplemennya 
dilambangkan A’ atau A 
A A 
John Venn (1834 – 1923) 
Diagram Venn 
Contoh Soal 
 
S 
B
11/5/2014 
7 
OPERASI HIMPUNAN 
A. Operasi Irisan (interseksi) 
 Irisan himpunan A dan B adalah suatu 
himpunan yang anggotanya merupakan 
anggota himpunan A dan sekaligus merupakan 
anggota himpunan B. 
Contoh Irisan Himpunan 
 Diketahui 
 S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . , 12 } 
P = { 1, 2, 4, 6, 9 } 
Q = { 4, 5, 9, 10, 12 } 
P Q = {4,9} 
Diagram Venn
11/5/2014 
8 
 Dalam suatu kelas yang terdiri dari 40 siswa ternyata 24 siswa 
gemar basket saja, 30 siswa gemar tenis, dan 2 siswa tidak gemar 
kedua jenis olah raga tersebut. Berapakah siswa yang gemar 
basket dan tenis? 
 Jawab: Misalkan S = { siswa } 
B = { siswa gemar basket } 
T = { siswa gemar tenis } 
Banyak siswa yang gemar basket dan tenis = x orang, 
siswa yang gemar basket saja ada (24 – x) orang, dan yang 
gemar tenis saja ada (30 – x) orang, maka : 
(24 – x) + x + (30 – x) + 2 = 40 
24 – x + x + 30 – x + 2 = 40 
54 – x + 2 = 40 
56 – x = 40 
- x = 40 – 56 
- x = - 16 
x = 16 
 Jadi ada 16 siswa yang gemar basket dan tenis 
B.Operasi Gabungan (Union). 
 Gabungan himpunan A dan B adalah suatu 
himpunan yang anggota-anggotanya merupakan 
anggota A saja, anggota B saja, dan anggota 
persekutuan A dan B. 
 Gabungan dari himpunan A dan himpunan B 
dilambangkan A  B.
11/5/2014 
9 
Contoh 
 Diketahui S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 
A = { 0, 2, 4, 6, 8 } 
B = { 4, 5, 6, 9 } 
A  B = {0,2,4,5,6,8,9} 
C. Operasi Selisih 
 Selisih himpunan A dan B adalah semua unsur 
A yang tidak termasuk di dalam B. 
 Selisih himpunan A dan himpunan B 
dilambangkan A – B atau A  B’
11/5/2014 
10 
Contoh Soal Selisih 
 S 
P-G 
BEBERAPA ATURAN DALAM HIMPUNAN 

11/5/2014 
11 
 

11/5/2014 
12 
Contoh Soal 
 Suatu kelas jumlah mahasiswanya 90 orang, 50 
orang diantaranya senang matematika, 30 senang 
statistik dan 20 orang senang matematika dan 
statistik. 
 A) berapa orang yang tidak senang statistik dan 
matematika? 
 B) gambarkan diagram Venn nya! 
 A = penyuka Matematika = 50 
 B = penyuka statistik = 30 
 A  B = 30 
S 
A B 
50 20 30
11/5/2014 
13 
PERMUTASI & KOMBINASI 
PERMUTASI 
 Seringkali kita tertarik pada himpunan atau ruang 
sampel (dalam statistik) yang berisikan semua 
kemungkinan pengaturan atau susunan suatu grup 
atau obyek. Contohnya, kita ingin mengetahui 
berapa kemungkinan pengaturan duduk 6 orang 
mengelingi suatu meja. Pengaturan yang berbeda 
ini disebut PERMUTASI 
 Permutasi adalah pengaturan semua atau sebagian 
obyek ke dalam suatu urutan tertentu 
Banyaknya Permutasi untuk n obyek adalah n!
11/5/2014 
14 
Contoh 1 
 3 Objek ABC, pengaturan objek tersebut adalah 
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA yang disebut 
permutasi. Jadi permutasi 3 objek menghasilkan 6 
pengaturan dengan cara yang berbeda. 
 Seorang pengusaha ingin dari Jakarta ke Makasar 
melalui Surabaya. Jika Jakarta-Surabaya dapat 
dilalui dengan tiga maskapai penerbangan dan 
Surabaya-Makasar dapat dilalui dengan 2 
maskapai penerbangan, ada berapa cara 
pengusaha tersebut dapat tiba di Makasar melalui 
surabaya? 
Soal 
 Pada Suatu Tempat terdapat 4 buku matematika yang 
berbeda, 3 buku statistik yang berbeda dan 2 buku 
akuntansi. Semua buku akan disusun pada sebuah rak 
buku. Berapa cara susunan yang mungkin dari kejadian 
berikut ini? 
1. buku-buku matematika dapat disusun? 
2. buku-buku statistik dapat disusun? 
3. buku-buku akuntansi dapat disusun? 
4. ketiga kelompok buku dapat disusun? 
5. Masing-masing kelompok buku (subjek) disusun bersama 
(dijadikan satu)?
11/5/2014 
15 
Permutasi r dari n elemen 
Permutasi r dari n elemen adalah jumlah kemungkinan 
urutan r buah elemen yang dipilih dari n buah elemen, 
dengan r ≤ n, yang dalam hal ini, pada setiap 
kemungkinan urutan tidak ada elemen yang sama 
P n n r 
! 
n r 
n  
r ) 
 
 
( 
( )! 
Contoh 2. 
 Kode buku di sebuah perpustakaan panjangnya 7 
karakter (digit) yang terdiri dari 4 huruf berbeda 
dan diikuti dengan 3 angka yang berbeda pula. 
Berapakah banyaknya kode buku yang dapat 
disusun? 
 Jawab: 
26 ,4 10 ,3 26 ! 
    
(10 3)! 
258 .336 .000 
10 ! 
(26 4)! 
 
 
 
 
P  P 
11/5/2014 
16 
Contoh 3. 
 Dalam satu tahun, 3 penghargaan (riset, pengajaran, & 
pengabdian) diberikan pada 25 mahasiswa pasca sarjana 
suatu jurusan statistik. Jika setiap mahasiswa hanya dapat 
menerima paling banyak 1 penghargaan, berapa banyaknya 
kemungkinan? 
 Karena penghargaan tersebut dapat dibedakan dengan jelas, 
maka ini merupakan masalah permutasi. Banyaknya titik 
sampel adalah 
25! 
25! 
  25 (24 )( 23) 13 .800 
25 3    
22! 
25  
3 ! 
P  
Permutasi dari n obyek dengan pengembalian 
 Permutasi dari n objek dengan pengembalian 
dirumuskan : 
r 
n r P  n 
 Catatan: Pada dasarnya masalah ini tidak dapat dipecahkan dengan 
permutasi. Rumus di atas merupakan kaidah perkalian biasa
11/5/2014 
17 
Contoh 4. 
 Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka dari 5 
angka berikut: 1, 2, 3, 4 , 5, jika: 
a) Tidak boleh ada pengulangan angka 
b) Boleh ada pengulangan angka. 
 Jawab : 
a) Tidak boleh ada pengulangan 
 Dengan kaidah perkalian: (5)(4)(3) = 60 buah 
 Dengan rumus permutasi P(5, 3) = 5!/(5 – 3)! = 60 
b) Boleh ada pengulangan angka 
 Dengan kaidah perkalian: (5)(5)(5) = 53= 125. 
Permutasi dari n obyek yang disusun 
melingkar 
n  1 ! 
 Dalam suatu permainan bridge terdapat 4 orang 
pemain yang duduk melingkar. Jika 1 orang duduk 
dalam posisi tetap, maka ada 3! Atau 6 cara kita 
bisa melalukan pengaturan duduk yang berbeda
11/5/2014 
18 
Permutasi dari n obyek yang terdiri dari 
sekumpulan sel. 
 Banyaknya cara untuk membagi sekumpulan n obyek 
kedalam sel sebanyak r dengan n1 adalah elemen 
dalam sel 1, n2 adalah elemen dalam sel kedua, dan 
seterusnya adalah 
! 
n 
 
 
nPn n n n    
r n n n 
! !... ! 
, ,..., 
, ,..., 
1 2 1 2 
1 2 
r r 
n n n 
 
  
 Dengan n1+n2+ … + nr = n 
Contoh 5. 
 Dalam berapa cara 7 orang mahasiswa pasca 
sarjana yang sedang menghadiri konferensi dapat 
ditempatkan di kamar hotel yang terdiri atas 1 
kamar triple dan 2 double? 
210 
7 ! 
3 !2 !2 ! 
7 
3, 2 ,2 
 
   
 
 
11/5/2014 
19 
Contoh 6. 
 Berapakah banyaknya pengaturan huruf yang 
dapat disusun dari huruf-huruf dalam kata 
STATISTICS 
 Disini kita memiliki 10 huruf, dengan dua huruf yaitu 
S & T muncul 3 kali, huruf I muncul 2 kali, dan A & C 
masing-masing 1 kali 
50400 
10 ! 
3 !2 !2 !1 !1 ! 
10 
3, 3,2 , 1, 1 
 
    
 
  
KOMBINASI 
 Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa 
objek tanpa memperhatikan urutan objek 
tersebut . 
! 
C n n 
 Dimana : n  r 
r  
! ! 
r (n r)
11/5/2014 
20 
Contoh 7 
 Seorang ibu meminta anaknya memilih 3 baju dari 
10 baju di suatu department store. Berapakah 
banyaknya cara memilih 3 dari 10 baju tersebut? 
120 
10 ! 
3! (10 30 )! 
10 
3 
 
 
 
   
 
  
2. Hubungan permutasi dengan 
kombinasi. 
 Hubungan permutasi dan kombinasi 
dinyatakan sebagai berikut : 
P r!C C P 
n 
n 
r  atau  
n r 
r 
r! 
n 
r
11/5/2014 
21 
Petunjuk Dalam Penghitungan 
 Kapan harus menggunakan aturan penjumlahan, 
aturan perkalian, permutasi atau kombinasi ? 
 Baca pertanyaan dengan teliti. Perhatikan apakah 
masalah tersebut mengandung 2 macam aturan yang 
berbeda. Jika demikian, pikirkan aturan manakah yang 
yang dipakai untuk menggabungkan bagian-bagian 
tersebut (aturan penjumlahan atau aturan perkalian). 
Apabila bagian-bagian tersebut merupakan suatu proses 
berurutan, maka aturan perkalian digunakan untuk 
menggabungkannya. Akan tetapi jika bagian tersebut 
merupakan pecahan dari masalah utama di masing-masing 
bagian terpisah satu sama lain, maka aturan 
penjumlahan yang dipakai. 
 Baca teliti permasalahan. Cari kata kuncinya. Kata kunci 
penggunaan kombinasi adalah pemilihan objek-objek 
yang tidak diperhatikan urutannya. Sedangkan kata kunci 
untuk permutasi adalah pengaturan objek-objek yang 
aturannya diperhatikan.
11/5/2014 
22 
PROBABILITAS 
DEFINISI 
 Probabilitas diartikan sebagai hasil bagi dari 
banyaknya peristiwa yang dimaksud dengan 
seluruh peristiwa yang mungkin. 
P(A)  X 
n 
Keterangan : 
P(A) = probabilitas terjadinya kejadian A 
X = peristiwa yang dimaksud 
n = banyaknya peristiwa yang mungkin
11/5/2014 
23 
 Proporsi waktu terjadinya peristiwa dalam 
jangka panjang, jika kondisi stabil ; atau 
 Frekuensi relatif dari seluruh peristiwa dalam 
sejumlah besar percobaan. 
P(X)  f i 
n 
Keterangan : 
P(X) = probabilitas peristiwa i 
fi = frekuensi peristiwa i 
n = Banyaknya peristiwa. 
Probabilitas memiliki batas mulai 
0 sampai dengan 1 ( 0  P  1 ) 
 Jika P = 0, disebut probabilitas kemustahilan, artinya 
kejadian atau peristiwa tersebut tidak akan terjadi. 
 Jika P = 1, disebut probabilitas kepastian, artinya 
kejadian atau peristiwa tersebut pasti terjadi. 
 Jika 0  P  1, disebut probabilitas 
kemungkinan,artinya kejadian atau peristiwa tersebut 
dapat atau tidak dapat terjadi.
11/5/2014 
24 
PERCOBAAN, RUANG SAMPEL, TITIK SAMPEL & 
PERISTIWA 
 Percobaan adalah proses mendapatkan suatu 
pengamatan atau pengambilan suatu pengukuran. 
 Titik Sampel adalah setiap anggota dari ruang 
sampel. 
Ruang Sampel 
 Ruang sampel adalah himpunan/kumpulan 
semua hasil yang mungkin pada suatu 
percobaan. 
1. Melemparkan koin– hasil S ={Kepala, Ekor} 
2. Menggulingkan suatu dadu– hasil 
S ={ , , , , , } 
={1, 2, 3, 4, 5, 6}
11/5/2014 
25 
3. Melemparkan dua dadu seimbang– 36 hasil 
S ={ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), 
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), 
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), 
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), 
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), 
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} 
hasil (x, y), 
x = nilai yang terlihat pada dadu 1 
y = nilai yang terlihat pada dadu 2
11/5/2014 
26 
Kejadian (Event) 
 Kejadian atau peristiwa adalah himpunan bagian 
dari ruang sampel pada suatu percobaan, atau hasil 
dari percobaan. 
S 
E 
Contoh 
1. Menggulingkan sebuah dadu – hasil yg mungkin 
S ={ , , , , , } 
={1, 2, 3, 4, 5, 6} 
E = Kejadian muncul angka genap 
= {2, 4, 6} 
={ , , }
11/5/2014 
27 
2. Melemparkan dua dadu seimbang– 36 
outcomes 
E = Kejadian jumlah angka yang muncul adalah 7 
={ (6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6)}
11/5/2014 
28 
Contoh Probabilitas Kejadian 
 Suatu kelas statistik untuk para insinyur diikuti oleh 
mahasiswa teknik industri 25 orang, mesin 10 orang, 
elektro 10 orang, dan sipil 8 orang. Jika seorang 
mahasiswa dipilih secara acak oleh instrukturnya untuk 
menjawab suatu pertanyaan, berapakah probabilitas 
mahasiswa tersebut adalah 
 Dari jurusan teknik industri 
 Dari jurusan teknik sipill atau elektro? 
 Jika I menyatakan kejadian mahasiswa teknik industri terambil 
P  I  
 25 
53 
 Probabilitas mahasiswa Sipil atau Elektro terambil: 
P  SE  
 18 
53 
Contoh Probabilitas Kejadian 
 Suatu laci berisikan 4 pasang kaos kaki warna 
merah dan 16 pasang warna biru. Dodi akan 
mengambil 2 pasang secara acak tanpa 
pengembalian. Berapakah kemungkinan keduanya 
berwarna sama? (dengan kata lain terambil 
keduanya merah ATAU semua biru)? 
 Jawab 
MM:(4/20) x(3/19) = 0.0316 
BB: (16/20) x(15/19)=0.6316 
P (MM  BB) = 66.32%
11/5/2014 
29 
 5 buah kartu diambil secara acak dari 52 kartu 
remi. Berapakah kemungkinan paling tidak satu As 
di tangan? 
 Ruang Sampel, 
S = {0,1,2,3,4,5)  S = {0, paling tidak ada 1 AS) 
 P (paling tidak 1 AS) = 1 – P(tidak ada AS sama 
sekali) 
Contoh Simple Random Sample (Hubungan 
Kombinasi dengan Probabilitas) 
 Suatu sampel berukuran 5 akan diambil dari 
populasi sebanyak 4 wanita, 6 pria. Berapakah 
banyaknya kesempatan terambil 3 wanita dan 2 pria 
dalam sampel? Berapakah kemungkinan terambil 3 
wanita dan 2 pria?
11/5/2014 
30 
 Jawab 
252 
10 
 
   
 
  
 Total banyaknya sampel yang berbeda 
5 
 Banyaknya 3 wanita terambil dari 4 wanita 
 
 Banyaknya 2 pria terambil dari 6 pria 
 Banyaknya sampel berbeda yang dapat diambil dari 3 
wanita dan 2 pria 
  
4 
 
3 
  
 
  
6 
 
2 
  
 
  
 
 
  
  
 
  
6 
2 
4 
3 
 Kemungkinan terambil 3 wanita dan 2 pria adalah 
0 . 2381 
4 15 
252 
 
 
10 
2 
6 
2 
4 
3 
 
 
 
 
  
 
  
 
  
  
  
 
  
REVIEW Himpunan & Diagram Venn 
Hubungan antara 
Kejadian dan Ruang 
Sampel terkait
11/5/2014 
31 
ATURAN PENAMBAHAN (ADDITIVE 
RULES) 
 Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa tidak 
saling lepas, apabila kedua peristiwa atau lebih 
tersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan. 
 Jika A dan B masing-masing merupakan suatu 
kejadian yang tidak saling lepas, maka aturan 
penambahannya adalah 
Contoh 
 Yunus adalah sarjana fresh graduate lulusan teknik 
industri. Setelah diwawancarai oleh dua perusahaan 
yang ia minati, ia menilai kemungkinan mendapatkan 
pekerjaan di perusahaan A adalah 0.8 dan 
perusahaan B adalah 0.6 Ia percaya bahwa ia akan 
mendapatkan penawaran dari kedua perusahaan 
tersebut sebesar 0.5. Berapakah peluang ia akan 
mendapatkan tawaran dari salah satu perusahaan? 
P(A  B)  P(A)  P(B) - (P(A B)  0.8  0.6 - 0.5  0.9
11/5/2014 
32 
Contoh Latihan Soal 
 Peluang seorang mahasiswa lulus matematika 2/3 
dan peluangnya lulus biologi 4/9. Bila peluangnya 
lulus paling sedikit satu mata kuliah 4/5 berapakah 
peluangnya lulus dalam kedua mata kuliah? 
Kejadian-kejadian Saling Lepas (Mutually 
exclusive/disjoint) 
Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling 
lepas jika kedua atau lebih peristiwa itu tidak dapat 
terjadi pada saat yang bersamaan 
 Contoh 
 Percobaan: melempar dadu. A: kejadian muncul angka 1, 
dan B kejadian muncul angka 4 tidak mungkin muncul 
bersamaan 
 Percobaan: mengikuti SMPTN: A: kejadian diterima, B: 
kejadian tidak lolos
11/5/2014 
33 
Aturan Penambahan pada Kejadian 
Mutually Exclusive 
Jika peristiwa A dan B mutually exclusive, 
probabilitas terjadinya peristiwa tersebut 
adalah : 
P (A atau B) = P (A) + P (B) atau 
P ( A  B) = P (A) + P (B) 
AB  A B 
Contoh 
 Berapakah probabilitas mendapatkan total 7 atau 
11 ketika sepasang dadu digulirkan? 
 A = kejadian mendapatkan total 7 
 B = kejadian mendapatkan total 11 
 P(A) = 1/6 dan P(B) = 1/18 
 Kedua kejadian tersebut mutually exclusive
11/5/2014 
34 
 Jika probabilitas seseorang membeli mobil 
berwarna hijau, putih, merah dan kuning, masing-masing 
berturutan adalah 0.09, 0.15, 0.21, dan 
0.23, berapakah probabilitas seorang pembeli 
membeli salah satu mobil dengan warna diatas? 
Contoh 
 Berikut ini adalah satu set kartu remi. Berapakah probabilitas 
terambil kartu King ATAU kartu berangka 4? 
 Berapakah probabilitas terambil kartu King ATAU kartu 
berwarna merah?
11/5/2014 
35 
 P ( King atau 4) = P(King  4) =P (King) + P(4) 
= (4/52) + (4/52) = 0.154 
 P (King atau merah) = P(King)+P(merah)-P(K dan merah) 
= (4/52)+(26/52)-(2/52)
11/5/2014 
36 
Aturan Penambahan pada Peristiwa 
Komplementer 
 Jika A dan A’ atau A 
adalah kejadian yang saling 
komplementer, maka 
Bukti: karena dan peristiwa A dan A’ 
adalah mutually exclusive, maka 
Contoh 
 Jika probabilitas seorang montir dalam satu hari 
kerja dapat memperbaiki mobil sebanyak 3, 4, 5, 6, 
7, atau 8 ke atas secara berturutan adalah 0.12; 
0.19; 0.28; 0.24; 0.10, dan 0.07, maka berapakah 
probabilitas ia akan melayani sedikitnya 5 mobil 
pada hari berikutnya? 
 Anggap E merupakan kejadian sedikitnya 5 mobil 
diperbaiki. Jadi E’ adalah kejadian kurang dari 5 
mobil diperbaiki 
    
0.12 0.19 0.31 
      
P(E ) 
( ) 1 1 0.31 0.69 
P E P(E )
11/5/2014 
37 
Peristiwa yang Saling Independen 
(Bebas) 
 Apabila terjadinya peristiwa yang satu tidak 
mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain 
 Dua proses dikatakan independen jika hasil proses 
pertama tidak memberikan informasi berguna (tidak 
berpengaruh pada hasil proses kedua) 
 Contoh kejadian saling bebas/independen 
 Melemparkan suatu koin (munculnya ekor atau kepala tidak 
tergantung sama lain) 
 Menggulirkan dadu (munculnya angka 2 tidak tergantung 
dengan munculnya angka lain pada pelemparan 
berikutnya) 
 Mengambil kartu dalam satu set kartu dengan 
pengembalian 
Aturan Perkalian pada Kejadian 
Independen 
 Probabilitas terjadinya irisan dua kejadian secara 
umum adalah sebagai berikut 
PA B  PA | B P(B)  PB | A PA 
 Jika kejadian A dan B independen, probabilitas 
irisan (interaksi) kejadian A dan B sama dengan 
perkalian probabilitas A dan B, yaitu, 
    
PAPB 
(  )  | 
P A B P A B P B 

11/5/2014 
38 
 Jika kejadian A dan B adalah independen, maka 
Contoh Independensi & multiplikasi 
 Dua pengambilan secara acak dari 
 P(keduanya adalah ) 
 Dengan pengembalian = (3/5)x(3/5) 
 Tanpa pengembalian = (3/5)x(2/4) 
 Independensi tidak menentukan apakah kita harus 
mengalikan atau tidak; hal itu ditentukan “kedua 
kejadian harus terjadi bersamaan” 
 Independensi mempengaruhi APA yang dikalikan
11/5/2014 
39 
Contoh 
 Pada tahun 2012 Survei Gallup menyatakan negara 
bagian Virginia Barat memiliki tingkat obesitas 
tertinggi di seluruh AS sebesar 33.5%. Dengan 
mengasumsikan tingkat obesitas konstan, berapakah 
probabilitas dua penduduk West Virginia yang 
dipilih secara acak keduanya mengidap obesitas? 
 P(obesitas) = 0.335 
 P(keduanya obesitas) = P(pertama obesitas)xP(kedua 
obesitas) = 0.335 x 0.335 = 0,111 
Mutually Exclusive/Disjoint vs Independen 
Dua peristiwa dikatakan 
Disjoint (mutually 
exclusive) jika keduanya 
tidak dapat terjadi secara 
bersamaan pada satu 
waktu 
Dua proses dikatakan 
independen jika 
mengetahui hasil proses 
yang satu tidak 
berpengaruh pada hasil 
proses lainnya 
P(A dan B) =P (A  B) = 0 P(A|B) =P (A)
11/5/2014 
40 
PROBABILITAS BERSAMA (JOINT 
PROBABILITY) 
 Terjadinya 2 peristiwa atau lebih secara berurutan 
dan peristiwa-peristiwa tersebut tidak saling 
mempengaruhi. 
 Jika peristiwa A dan B gabungan, probabilitas 
terjadinya peristiwa tersebut adalah : 
P (A  B) = P (A) x P (B)
11/5/2014 
41 
Contoh 
 Suatu penarikan dibuat secara acak dari 
 Berapakah probabilitas penarikan kedua adalah ? 
 P(penarikan kedua ) = P(penarikan pertama 
dan penarikan kedua ) 
Contoh 
 World Values Survey (www.worldvaluessurvey.org , 
suatu lembaga survei yang melakukan di seluruh dunia 
mengenai persepsi tentanghidup, keluarga, politik, dll. 
Salah satu hasil survei terhadap 77,882 orang dari 57 
memperkirakan 36.2% penduduk dunia setuju bahwa 
“Laki-laki seharusnya memiliki hak pada pekerjaan 
lebih banyak dibandingkan wanita” 
 Hasil survei juga memperkirakan 13.8% orang memilik 
gelar sarjana atau lebih tinggi dan 3.6% orang masuk 
kedua kriteria tersebut (setuju dan bergelar sarjana) 
P (setuju) = 0.362 
P(gelar sarjana = 0.138 
P(setuju & gelar sarjana)= 0.036
11/5/2014 
42 
 Pertanyaan: 
1. Apakah setuju dengan pernyataan “Laki-laki 
seharusnya memiliki hak pada pekerjaan lebih 
banyak dibandingkan wanita” dan memiliki gelar 
sarjana atau lebih tinggi merupakan dua peristiwa 
mutually exclusive? 
P (setuju) = 0.362 
P(gelar sarjana) = 0.138 
P(setuju & gelar sarjana)=0.036 ≠ 0 tdk mutually exclusive 
2. Gambarkan Diagram Venn-nya 
Setuju Sarjana 
0.362 0.036 0.138 
0.362 – 0.036 = 0.326 0.138 – 0.036 = 0.102
11/5/2014 
43 
3. Berapakah probabilitas seseorang yang diambil 
secara acak akan memiliki gelar sarjana atau setuju 
dengan “Laki-laki seharusnya memiliki hak pada 
pekerjaan lebih banyak dibandingkan wanita” 
Setuju Gelar 
0.362 0.036 0.138 
PA  B  P( A)  P(B)  P(A  B) 
P (Setuju atau Gelar Univ) 
= P(Setuju)+P(Gelar Univ) - P(Setuju &Gelar Univ) 
= 0.362 + 0.138 – 0.036 = 0.464 
4. Berapa persen populasi di dunia yang tidak 
memiliki gelar sarjana dan tidak setuju dengan 
pernyataan “Laki-laki seharusnya memiliki hak 
pada pekerjaan lebih banyak dibandingkan 
wanita”? 
P (Tidak Setuju atau Tidak bergelar Sarjana) 
= 1- P(Setuju atau Sarjana) 
= 1 - 0.464 = 0.536 
Setuju Sarjana 
0.362 0.036 0.138 
0.536 
S
11/5/2014 
44 
5. Apakah kejadian seseorang setuju dengan 
pernyataan tersebut Independen (saling bebas) 
dengan kejadian mereka memiliki gelar sarjana? 
PA  B  P(A)  P(B) 
P (Setuju dan Gelar Sarjana) ? = ? P (Setuju ) x P (Gelar Sarjana0 
0.036 ?=? 0.362 x 0.138 
0.036 ≠ 0.05 tidak independen 
6. Berapakah probabilitas paling tidak ada 1 dari 5 
orang terpilih secara acak setuju dengan pernyataan 
“Laki-laki seharusnya memiliki hak pada pekerjaan 
lebih banyak dibandingkan wanita”? 
 Ruang Sampel, 
S = {0,1,2,3,4,5)  S = {0, paling tidak ada 1 AS) 
 P (paling tidak 1 setuju) = 1 – P (tidak ada yang setuju) 
= 1 P ( TS TS TS TS TS) 
= 1 - 0.6385 
= 1 – 0.106 = 0.894 
P (Tidak Setuju) 
= 1 – P (Setuju) 
= 1 – 0.362 
= 0.638
11/5/2014 
45 
PROBABILITAS BERSYARAT 
(CONDITIONAL PROBABILITY) 
 Probabilitas terjadinya suatu peristiwa/kejadian 
dengan syarat ada peristiwa lain yang terjadi. 
 Jadi ada peristiwa yang satu dipengaruhi atau 
bergantung pada peristiwa lainnya (kedua 
peristiwa tersebut tidak saling bebas) 
 Probabilitas Bersyarat peristiwa A ketika diketahui 
peristiwa B terjadi adalah (diasumsikan P(B) >0), 
maka 
P(A | B) P(A B)  
P(B) 
 
P(A | B) P(A B)  
P(B) 
 
P(A  B)  P(B)P(A | B)  P(A)P(B | A)
11/5/2014 
46 
Contoh. Probabilitas Bersyarat 
 Probabilitas suatu penerbangan berangkat tepat waktu 
adalah P(B)=0.83; probabilitas kedatangan tepat 
waktu adalah P(D) = 0.82; dan probabilitas berangkat 
dan datang tepat waktu adalah P(B∩D)=0.78. Carilah 
probabilitas suatu penerbangan 
 Datang tepat waktu diberikan ia berangkat tepat waktu 
 Berangkat tepat waktu diberikan ia datang tepat waktu 
 Datang tepat waktu diberikan ia berangkat TIDAK tepat 
waktu 
 Datang tepat waktu diberikan ia berangkat tepat 
waktu 
  
  0.94 
(D | B) D B  0.78 
 
0.83 
 
B 
P  
P 
P 
 Berangkat tepat waktu diberikan ia datang tepat 
waktu 
  
  0.95 
(B | D) D B  0.78 
 
0.82 
 
D 
P  
P 
P 
 Datang tepat waktu diberikan ia berangkat TIDAK 
tepat waktu 
   
 
  0.24 
(D | B ) D B 0.82 0.78 
 
0.17 
B 
 
 
 
  
P 
P P
11/5/2014 
47 
Contoh: Kejadian Independen & Dependen 
Pada Probabilitas Bersyarat 
 Dua kartu diambil secara acak dari susunan kartu 
berwarna 
 P (kartu kedua adalah ) = 3/5 tidak peduli 
apakah kartu pertama dikembalikan atau tidak 
 P(kartu kedua |kartu pertama ) = 
 Dengan pengembalian = 3/5 
 Tanpa pengembalian = 2/4 
 P (kartu kedua |kartu pertama ) 
 Dengan pengembalian = 3/5 
 Tanpa pengembalian = 3/4 
Independen 
Dependen 
Independen 
Dependen 
Contoh: Probabilitas Marginal, Bersama, 
dan Bersyarat 
 Terdapat suatu studi tentang cara pandang remaja 
pada status/kelas sosial mereka 
 Sampel: 48 subyek dari kelas menengah ke bawah 
dan 50 dari kelas menengah ke atas (usia setiap 
subyek16 tahun) 
 Rancangan Studi 
 Penilaian OBYEKTIF terhadap kelas sosial berdasarkan 
pekerjaan dan pendidikan orangtua serta pendapatan 
RT 
 Penilaian SUBYEKTIF melalui kuesioner 
Study reference: Goodman, Elizabeth, et al. "Adolescents’ understanding of social class: a comparison of white upper 
middle class and working class youth." Journal of adolescent health 27.2 (2000): 80-83.
11/5/2014 
48 
Hasil 
Hasil Posisi Kelas Sosial Obyektif 
Identitas Kelas 
Sosial secara 
Subyektif 
Menengah 
ke bawah 
Menengah ke 
atas 
Total 
Miskin 0 0 0 
Menengah ke 
bawah 8 0 8 
Menengah 32 13 45 
Menengah ke 
atas 8 37 45 
Atas 0 0 0 
Total 48 50 98 
Probabilitas Marginal 
Hasil Posisi Kelas Sosial Obyektif 
Identitas Kelas 
Sosial secara 
Subyektif 
Menengah 
ke bawah 
Menengah ke 
 Berapakah probabilitas seorang pelajar 
berada pada posisi kelas sosial menengah ke 
atas secara obyektif? P = 50/98 ≈ 0,51 
atas 
Total 
Miskin 0 0 0 
Menengah ke 
bawah 8 0 8 
Menengah 32 13 45 
Menengah ke 
atas 8 37 45 
Atas 0 0 0 
Total 48 50 98
11/5/2014 
49 
Probabilitas Bersama 
Hasil Posisi Kelas Sosial Obyektif 
Identitas Kelas 
Sosial secara 
Subyektif 
Menengah 
ke bawah 
Menengah ke 
atas 
Total 
Miskin 0 0 0 
Menengah ke 
bawah 8 0 8 
Menengah 32 13 45 
Menengah ke atas 8 37 45 
Atas 0 0 0 
Total 48 50 98 
 Berapakah probabilitas seorang pelajar secara subyektif dan 
obyektif berada pada kelas sosial menengah ke atas? 
P(Suby MA & Oby MA)  P(Suby MA  Oby MA)  37  
98 0,38 
Probabilitas Bersyarat 
Hasil Posisi Kelas Sosial Obyektif 
Identitas Kelas 
Sosial secara 
Subyektif 
Pekerja 
Menengah ke 
atas 
Total 
Miskin 0 0 0 
Pekerja 8 0 8 
Menengah 32 13 45 
Menengah ke 
atas 8 37 45 
Atas 0 0 0 
Total 48 50 98 
 Berapakah probabilitas seorang pelajar yang secara obyektif 
berada pada kelas sosial pekerja berhubungan dengan kelas sosial 
menengah ke atas scr subyektif 
P(Suby MA | Oby Pekerja)  8  
48 0,17
11/5/2014 
50 
Teorema Bayes 
Hasil Posisi Kelas Sosial Obyektif 
Identitas Kelas 
Sosial secara 
Subyektif 
Pekerja 
Menengah ke 
atas 
Total 
Miskin 0 0 0 
Pekerja 8 0 8 
Menengah 32 13 45 
Menengah ke 
atas 8 37 45 
Atas 0 0 0 
Total 48 50 98 
  
8 98 
P(A | B) P(A B)  
P(B) 
 
(Suby MA | Oby Pekerja)  Suby MA | Oby Pekerja   
  0,17 
48 98 
Oby Pekerja 
P 
P P 
Contoh: Probabilitas Bersyarat, Pohon 
Probabilitas, & Teorema Bayes 
 Suatu pabrik memiliki dua mesin untuk memproduksi 
tipe produk tertentu. Mesin A menghasilkan 80% 
dan mesin B sisanya (20%). Baik kedua mesin akan 
menghasilkan produk cacat mesin A sebanyak 1% 
dan mesin B sebanyak 2% 
 Berapakah kemungkinan produk yang dihasilkan mesin 
A itu cacat? 
 Berapakah probabilitas produk yang dihasilkan kedua 
mesin itu cacat? 
 Jika suatu produk diambil secara acak, berapakah 
probabilitas produk cacat terambil itu dihasilkan dari 
mesin A
11/5/2014 
51 
 P(A) = 0,8 
 P(B) = 0,2 
A 
B 
0.8 
0.2 
0.01 cacat 
OK 
0.99 
0.02 cacat 
OK 
0.98 
 P(A & Cacat) = 0.8 x 0.01 = 0.008 
 P(Cacat) = P(A & Cacat) + P(B & cacat) = 0.008+0.004=0,012 
(A | Cacat) (A Cacat) 0.8  
0.01 
 
    0.67 
0.8 0.01 0.2 0.02 
(Cacat) 
   
 
 
 
P 
P P 
ATURAN BAYES: Digunakan untuk menemukan probabilitas bersyarat suatu kejadian 
pada tahap sebelumnya dengan diberikan hasil tahap sesudahnya 
Contoh 
 Diketahui suatu penyaki ttertentu akan diidap oleh 1% dari 
suatu populasi 
 Hasil tes terhadap penyakit akan ditandai + (jika terindikasi 
positif) dan – (jika negatif) 
 Pengujian itu sendiri tidak selalu tepat. Diantara mereka yang 
memiliki penyakit tersebut ketika menjalani tes sebanyak 0,5% 
akan menunjukkan hasil - negatif (false negative – dianggap 
negatif padahal positif). Diantara mereka yang TIDAK 
memiliki penyakit tersebut ketika diuji sebanyak 0,8% akan 
menunjukkan hasil positif. 
 Seseorang diambil secara acak dari populasi. Berapakah 
kemungkinan orang tersebut memiliki penyakit jika diketahui 
hasil tes nya positif +
11/5/2014 
52 
S 
TS 
0.01 
0.99 
0.995 
0.005 
0.002 + 
- 
0.992 
+ 
- 
  
      0.56 
(S | ) 0.01  
0.995  
0.01  0.995  0.99  
0.008 
 
 
 
P   
P S 
P

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Distribusi poissonDistribusi poisson
Distribusi poissonEman Mendrofa
121.9K vistas17 diapositivas
Contoh soal Metode SimpleksContoh soal Metode Simpleks
Contoh soal Metode SimpleksReza Mahendra
231.9K vistas4 diapositivas
Peluang dan Distribusi PeluangPeluang dan Distribusi Peluang
Peluang dan Distribusi Peluangbagus222
64.9K vistas38 diapositivas
Chap2 prob 2Chap2 prob 2
Chap2 prob 2HIMTI
7.1K vistas27 diapositivas

La actualidad más candente(20)

Distribusi poissonDistribusi poisson
Distribusi poisson
Eman Mendrofa121.9K vistas
Variabel acak dan nilai harapan (Statistik Ekonomi II)Variabel acak dan nilai harapan (Statistik Ekonomi II)
Variabel acak dan nilai harapan (Statistik Ekonomi II)
Bagus Cahyo Jaya Pratama Pratama51.1K vistas
Contoh soal Metode SimpleksContoh soal Metode Simpleks
Contoh soal Metode Simpleks
Reza Mahendra231.9K vistas
Peluang dan Distribusi PeluangPeluang dan Distribusi Peluang
Peluang dan Distribusi Peluang
bagus22264.9K vistas
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Kelinci Coklat73.2K vistas
Chap2 prob 2Chap2 prob 2
Chap2 prob 2
HIMTI7.1K vistas
Distribusi samplingDistribusi sampling
Distribusi sampling
Stephanie Isvirastri90.3K vistas
Bab2 peubah-acak-dan-distribusi-peluangBab2 peubah-acak-dan-distribusi-peluang
Bab2 peubah-acak-dan-distribusi-peluang
Arif Windiargo134.9K vistas
Distribusi BinomialDistribusi Binomial
Distribusi Binomial
Eman Mendrofa186.2K vistas
Distribusi hipergeometrikDistribusi hipergeometrik
Distribusi hipergeometrik
Eman Mendrofa82.1K vistas
Soal matstat ngagel+jawabannyaSoal matstat ngagel+jawabannya
Soal matstat ngagel+jawabannya
Kana Outlier181.3K vistas
Distribusi binomial, poisson dan normalDistribusi binomial, poisson dan normal
Distribusi binomial, poisson dan normal
AYU Hardiyanti71.4K vistas
Modul statistika-ii-part-2Modul statistika-ii-part-2
Modul statistika-ii-part-2
apriliantihermawan170.8K vistas
uji hipotesis satu rata – rata bagian 2uji hipotesis satu rata – rata bagian 2
uji hipotesis satu rata – rata bagian 2
Ratih Ramadhani67.8K vistas
Distribusi SamplingDistribusi Sampling
Distribusi Sampling
Eman Mendrofa130.4K vistas
Metode stepping stoneMetode stepping stone
Metode stepping stone
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH BERAU6.1K vistas
Probabilitas - Statistik 2Probabilitas - Statistik 2
Probabilitas - Statistik 2
Deni Wahyu33.2K vistas
Contoh soal Teori antrian khusus PoissonContoh soal Teori antrian khusus Poisson
Contoh soal Teori antrian khusus Poisson
Lilies DLiestyowati125.2K vistas
Statistika-Uji HipotesisStatistika-Uji Hipotesis
Statistika-Uji Hipotesis
Rhandy Prasetyo190.5K vistas

Similar a STATISTIK INDUSTRI 1 - TEORI PROBABILITAS

PermutasidankombinasiPermutasidankombinasi
PermutasidankombinasiAhmadTeguh
1.2K vistas27 diapositivas
Permutasi dan KombinasiPermutasi dan Kombinasi
Permutasi dan KombinasiHappy Math Happy Life
18.8K vistas27 diapositivas
rpp ke 5.pptxrpp ke 5.pptx
rpp ke 5.pptxBudihermono
2 vistas22 diapositivas

Similar a STATISTIK INDUSTRI 1 - TEORI PROBABILITAS(20)

PermutasidankombinasiPermutasidankombinasi
Permutasidankombinasi
AhmadTeguh1.2K vistas
Permutasi dan KombinasiPermutasi dan Kombinasi
Permutasi dan Kombinasi
Happy Math Happy Life18.8K vistas
001. TUGAS PPT MTK. ARS. KEL. H.pptx001. TUGAS PPT MTK. ARS. KEL. H.pptx
001. TUGAS PPT MTK. ARS. KEL. H.pptx
Hizkilmuhammad5 vistas
Kaidah pencacahan oleh Kelompok 1Kaidah pencacahan oleh Kelompok 1
Kaidah pencacahan oleh Kelompok 1
Alzena Vashti5.4K vistas
rpp ke 5.pptxrpp ke 5.pptx
rpp ke 5.pptx
Budihermono2 vistas
Rpp  di prinRpp  di prin
Rpp di prin
Mustika Ratih677 vistas
Makalah matematika diskrit 1Makalah matematika diskrit 1
Makalah matematika diskrit 1
Muh Ikmal7.1K vistas
Ppt kaidah pencacahanPpt kaidah pencacahan
Ppt kaidah pencacahan
nursyamsiahhartanti3.4K vistas
himpunanhimpunan
himpunan
elmabb213 vistas
Matematika-Mutasi dan kombinasiMatematika-Mutasi dan kombinasi
Matematika-Mutasi dan kombinasi
Kardilah Azijehmail40.9K vistas
Makalah kombinasi, permutasi dan peluangMakalah kombinasi, permutasi dan peluang
Makalah kombinasi, permutasi dan peluang
Aisyah Turidho7.7K vistas
Xii peluangXii peluang
Xii peluang
MegaAntariksaRahmaPu199 vistas
MATEMATIKA_KOMBINASI.pptxMATEMATIKA_KOMBINASI.pptx
MATEMATIKA_KOMBINASI.pptx
IgedeAditya2117 vistas
Makalah telaah kelompok 3Makalah telaah kelompok 3
Makalah telaah kelompok 3
Dyah Ayu Fatmawati4.4K vistas
Kombinasi, Permutasi dan Peluang pptKombinasi, Permutasi dan Peluang ppt
Kombinasi, Permutasi dan Peluang ppt
Aisyah Turidho13.5K vistas
Bab 12 peluang 32 38Bab 12 peluang 32 38
Bab 12 peluang 32 38
naufal rilanda7.4K vistas
PeluangPeluang
Peluang
kusnadiyoan4.9K vistas

Más de Universitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia(20)

3. KONSEP TEKNOLOGI DI BIDANG TEKNIK INDUSTRI 3. KONSEP TEKNOLOGI DI BIDANG TEKNIK INDUSTRI
3. KONSEP TEKNOLOGI DI BIDANG TEKNIK INDUSTRI
Universitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia659 vistas
2. KONSEP TEKNOLOGI -PERKEMBANGAN IPTEK2. KONSEP TEKNOLOGI -PERKEMBANGAN IPTEK
2. KONSEP TEKNOLOGI -PERKEMBANGAN IPTEK
Universitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia173 vistas
1. KONSEP TEKNOLOGI - PENDAHULUAN 1. KONSEP TEKNOLOGI - PENDAHULUAN
1. KONSEP TEKNOLOGI - PENDAHULUAN
Universitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia86 vistas
2021_KAJIAN PUSTAKA & PERUMUSAN MASALAH2021_KAJIAN PUSTAKA & PERUMUSAN MASALAH
2021_KAJIAN PUSTAKA & PERUMUSAN MASALAH
Universitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia133 vistas
2021_PENDAHULUAN METODOLOGI PENELITIAN2021_PENDAHULUAN METODOLOGI PENELITIAN
2021_PENDAHULUAN METODOLOGI PENELITIAN
Universitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia184 vistas
Studi Kasus (Artikel Ilmiah): Pengukuran Produktivitas dengan Objective MatrixStudi Kasus (Artikel Ilmiah): Pengukuran Produktivitas dengan Objective Matrix
Studi Kasus (Artikel Ilmiah): Pengukuran Produktivitas dengan Objective Matrix
Universitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia346 vistas
PART 1 - Evaluasi Pekerjaan & Penilaian KinerjaPART 1 - Evaluasi Pekerjaan & Penilaian Kinerja
PART 1 - Evaluasi Pekerjaan & Penilaian Kinerja
Universitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia116 vistas
MANAJEMEN STRESS KERJAMANAJEMEN STRESS KERJA
MANAJEMEN STRESS KERJA
Universitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia1.2K vistas
ERGONOMI: PERANCANGAN DISPLAY & KONTROL ERGONOMI: PERANCANGAN DISPLAY & KONTROL
ERGONOMI: PERANCANGAN DISPLAY & KONTROL
Universitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia6.5K vistas
KEPUASAN KERJA - PSIKOLOGI INDUSTRI KEPUASAN KERJA - PSIKOLOGI INDUSTRI
KEPUASAN KERJA - PSIKOLOGI INDUSTRI
Universitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia310 vistas
PSIKOLOGI INDUSTRI - MOTIVASI KERJAPSIKOLOGI INDUSTRI - MOTIVASI KERJA
PSIKOLOGI INDUSTRI - MOTIVASI KERJA
Universitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia1.1K vistas
ERGONOMI LINGKUNGAN FISIK - KEBISINGAN, TEMPERATUR, & GETARANERGONOMI LINGKUNGAN FISIK - KEBISINGAN, TEMPERATUR, & GETARAN
ERGONOMI LINGKUNGAN FISIK - KEBISINGAN, TEMPERATUR, & GETARAN
Universitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia1.7K vistas
ERGONOMI - LINGKUNGAN FISIK - PENCAHAYAANERGONOMI - LINGKUNGAN FISIK - PENCAHAYAAN
ERGONOMI - LINGKUNGAN FISIK - PENCAHAYAAN
Universitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia1.9K vistas
ANALISIS JABATAN, SELEKSI, REKRUTMEN, & STAFFINGANALISIS JABATAN, SELEKSI, REKRUTMEN, & STAFFING
ANALISIS JABATAN, SELEKSI, REKRUTMEN, & STAFFING
Universitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia718 vistas
RISET DALAM PSIKOLOGI INDUSTRIRISET DALAM PSIKOLOGI INDUSTRI
RISET DALAM PSIKOLOGI INDUSTRI
Universitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia665 vistas
PSIKOLOGI INDUSTRI - PENDAHULUAN PSIKOLOGI INDUSTRI - PENDAHULUAN
PSIKOLOGI INDUSTRI - PENDAHULUAN
Universitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia49 vistas
METODOLOGI PENELITIAN - PENULISAN LAPORAN DAN TEKNIK PRESENTASI METODOLOGI PENELITIAN - PENULISAN LAPORAN DAN TEKNIK PRESENTASI
METODOLOGI PENELITIAN - PENULISAN LAPORAN DAN TEKNIK PRESENTASI
Universitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia500 vistas
ANALISIS POSTUR KERJA RULA REBA OWAS QEC - ERGONOMI ANALISIS POSTUR KERJA RULA REBA OWAS QEC - ERGONOMI
ANALISIS POSTUR KERJA RULA REBA OWAS QEC - ERGONOMI
Universitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia1.6K vistas
ANALISA DAN PENGUKURAN KERJA - SISTEM MANUSIA MESINANALISA DAN PENGUKURAN KERJA - SISTEM MANUSIA MESIN
ANALISA DAN PENGUKURAN KERJA - SISTEM MANUSIA MESIN
Universitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia1.7K vistas
ANALISA & PENGUKURAN KERJA - SISTEM KERJA DAN PRODUKTIVITASANALISA & PENGUKURAN KERJA - SISTEM KERJA DAN PRODUKTIVITAS
ANALISA & PENGUKURAN KERJA - SISTEM KERJA DAN PRODUKTIVITAS
Universitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia246 vistas

Último(20)

MPI K.9 MANAJEMEN KONFLIK.pptxMPI K.9 MANAJEMEN KONFLIK.pptx
MPI K.9 MANAJEMEN KONFLIK.pptx
NajwaAuliaSyihab12 vistas
STORYBOARD.docxSTORYBOARD.docx
STORYBOARD.docx
JUMADAPUTRA10 vistas
Motivasi Meningkatkan DiriMotivasi Meningkatkan Diri
Motivasi Meningkatkan Diri
KemindoGroup13 vistas
BEST PRACTISE UNDHA USUK BASA JAWA.pdfBEST PRACTISE UNDHA USUK BASA JAWA.pdf
BEST PRACTISE UNDHA USUK BASA JAWA.pdf
DidikSupriyadi639 vistas
user.docxuser.docx
user.docx
Fajar Baskoro25 vistas
Modul 6 - Pend. ABK.pptxModul 6 - Pend. ABK.pptx
Modul 6 - Pend. ABK.pptx
AzizahRaiza19 vistas
surat lamaran pld tahun 2023.docxsurat lamaran pld tahun 2023.docx
surat lamaran pld tahun 2023.docx
AnggunPermatasari2510 vistas
LKPD kls 5.pdfLKPD kls 5.pdf
LKPD kls 5.pdf
Dessyyani19 vistas
SOAL PAS FIQIH KELAS 7 - MTs tarbiyatul banat.docxSOAL PAS FIQIH KELAS 7 - MTs tarbiyatul banat.docx
SOAL PAS FIQIH KELAS 7 - MTs tarbiyatul banat.docx
Ketua LBM MWC NU Lenteng dan Wakil Ketua Ansor lenteng bagian MDS RA10 vistas
MANUSIA DAN PENDIDIKAN.pptMANUSIA DAN PENDIDIKAN.ppt
MANUSIA DAN PENDIDIKAN.ppt
UNIVERSITY OF ADI BUANA SURABAYA11 vistas

STATISTIK INDUSTRI 1 - TEORI PROBABILITAS

  • 1. 11/5/2014 1 TEORI PROBABILITAS Dr Auditya Purwandini Sutarto TOPIK • Definisi • Macam-macam Himpunan • Operasi dalam Himpunan • Aturan dalam Himpunan HIMPUNAN • Permutasi • Kombinasi PERMUTASI & KOMBINASI • Definisi • Kejadian & Ruang Sampel • Probabilitas Gabungan • Probabilitas Bersyarat • Teorema Bayes PROBABILITAS
  • 2. 11/5/2014 2 HIMPUNAN DEFINISI George Cantor ( 1845 – 1918)  Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang dapat didefinisikan dengan jelas.  Setiap benda atau obyek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen. Anggota himpunan ditulis dengan lambang , bukan anggota himpunan dengan lambang   Dalam Statistik, himpunan dikenal sebagai populasi.  Himpunan dilambangkan dengan pasangan kurung kurawal { }, dan dinyatakan dengan huruf besar: A, B,...
  • 3. 11/5/2014 3 Contoh Himpunan  Yang merupakan himpunan adalah:  Himpunan warna lampu lalu lintas  Kumpulan bilangan prima kurang dari 10  I = { X: x < 10, x bilangan cacah }  H = { 1, 3, 5, 6 }  Yang bukan merupakan himpunan adalah:  Kumpulan warna yang menarik  Kumpulan lukisan yang indah  Kumpulan siswa yang pintar  Kumpulan rumah bagus Penulisan Himpunan  Cara Pendaftaran. Unsur himpunan ditulis satu persatu/didaftar Contoh : A={a,i,u,e,o}, B={1,2,3,4,5}  Cara Pencirian. Unsur himpunan ditulis dengan menyebutkan sifat-sifat / ciri-ciri himpunan tsb. Contoh : A={ X : x huruf hidup } B={ X : 1  x  5 }
  • 4. 11/5/2014 4 MACAM-MACAM HIMPUNAN a.Himpunan Semesta  Himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakan atau menjadi objek pembicaraan.  Dilambangkan S atau U.  Dalam statistik, himpunan semesta ini disebut juga sebagai ruang sampel  Contoh : S=U={a,b,c,…..} S=U={ X : x bilangan asli} b.Himpunan Kosong.  Himpunan yang tidak memiliki anggota.  Dilambangkan { } atau . c.Himpunan Bagian.  Himpunan yang menjadi bagian dari himpunan lain.  Dilambangkan .  Dalam statistik, himpunan bagian merupakan sampel.
  • 5. 11/5/2014 5 Contoh :  Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap unsur A merupakan unsur B, atau A termuat dalam B, atau B memuat A.  Dilambangkan : A  B.  Banyaknya himpunan bagian dari sebuah n unsur adalah 2n Contoh Soal 
  • 6. 11/5/2014 6 d. Himpunan Komplemen.  Himpunan komplemen adalah himpunan semua unsur yang tidak termasuk dalam himpunan yang diberikan.  Jika himpunannya A maka himpunan komplemennya dilambangkan A’ atau A A A John Venn (1834 – 1923) Diagram Venn Contoh Soal  S B
  • 7. 11/5/2014 7 OPERASI HIMPUNAN A. Operasi Irisan (interseksi)  Irisan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A dan sekaligus merupakan anggota himpunan B. Contoh Irisan Himpunan  Diketahui  S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . , 12 } P = { 1, 2, 4, 6, 9 } Q = { 4, 5, 9, 10, 12 } P Q = {4,9} Diagram Venn
  • 8. 11/5/2014 8  Dalam suatu kelas yang terdiri dari 40 siswa ternyata 24 siswa gemar basket saja, 30 siswa gemar tenis, dan 2 siswa tidak gemar kedua jenis olah raga tersebut. Berapakah siswa yang gemar basket dan tenis?  Jawab: Misalkan S = { siswa } B = { siswa gemar basket } T = { siswa gemar tenis } Banyak siswa yang gemar basket dan tenis = x orang, siswa yang gemar basket saja ada (24 – x) orang, dan yang gemar tenis saja ada (30 – x) orang, maka : (24 – x) + x + (30 – x) + 2 = 40 24 – x + x + 30 – x + 2 = 40 54 – x + 2 = 40 56 – x = 40 - x = 40 – 56 - x = - 16 x = 16  Jadi ada 16 siswa yang gemar basket dan tenis B.Operasi Gabungan (Union).  Gabungan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota A saja, anggota B saja, dan anggota persekutuan A dan B.  Gabungan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B.
  • 9. 11/5/2014 9 Contoh  Diketahui S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } A = { 0, 2, 4, 6, 8 } B = { 4, 5, 6, 9 } A  B = {0,2,4,5,6,8,9} C. Operasi Selisih  Selisih himpunan A dan B adalah semua unsur A yang tidak termasuk di dalam B.  Selisih himpunan A dan himpunan B dilambangkan A – B atau A  B’
  • 10. 11/5/2014 10 Contoh Soal Selisih  S P-G BEBERAPA ATURAN DALAM HIMPUNAN 
  • 12. 11/5/2014 12 Contoh Soal  Suatu kelas jumlah mahasiswanya 90 orang, 50 orang diantaranya senang matematika, 30 senang statistik dan 20 orang senang matematika dan statistik.  A) berapa orang yang tidak senang statistik dan matematika?  B) gambarkan diagram Venn nya!  A = penyuka Matematika = 50  B = penyuka statistik = 30  A  B = 30 S A B 50 20 30
  • 13. 11/5/2014 13 PERMUTASI & KOMBINASI PERMUTASI  Seringkali kita tertarik pada himpunan atau ruang sampel (dalam statistik) yang berisikan semua kemungkinan pengaturan atau susunan suatu grup atau obyek. Contohnya, kita ingin mengetahui berapa kemungkinan pengaturan duduk 6 orang mengelingi suatu meja. Pengaturan yang berbeda ini disebut PERMUTASI  Permutasi adalah pengaturan semua atau sebagian obyek ke dalam suatu urutan tertentu Banyaknya Permutasi untuk n obyek adalah n!
  • 14. 11/5/2014 14 Contoh 1  3 Objek ABC, pengaturan objek tersebut adalah ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA yang disebut permutasi. Jadi permutasi 3 objek menghasilkan 6 pengaturan dengan cara yang berbeda.  Seorang pengusaha ingin dari Jakarta ke Makasar melalui Surabaya. Jika Jakarta-Surabaya dapat dilalui dengan tiga maskapai penerbangan dan Surabaya-Makasar dapat dilalui dengan 2 maskapai penerbangan, ada berapa cara pengusaha tersebut dapat tiba di Makasar melalui surabaya? Soal  Pada Suatu Tempat terdapat 4 buku matematika yang berbeda, 3 buku statistik yang berbeda dan 2 buku akuntansi. Semua buku akan disusun pada sebuah rak buku. Berapa cara susunan yang mungkin dari kejadian berikut ini? 1. buku-buku matematika dapat disusun? 2. buku-buku statistik dapat disusun? 3. buku-buku akuntansi dapat disusun? 4. ketiga kelompok buku dapat disusun? 5. Masing-masing kelompok buku (subjek) disusun bersama (dijadikan satu)?
  • 15. 11/5/2014 15 Permutasi r dari n elemen Permutasi r dari n elemen adalah jumlah kemungkinan urutan r buah elemen yang dipilih dari n buah elemen, dengan r ≤ n, yang dalam hal ini, pada setiap kemungkinan urutan tidak ada elemen yang sama P n n r ! n r n  r )   ( ( )! Contoh 2.  Kode buku di sebuah perpustakaan panjangnya 7 karakter (digit) yang terdiri dari 4 huruf berbeda dan diikuti dengan 3 angka yang berbeda pula. Berapakah banyaknya kode buku yang dapat disusun?  Jawab: 26 ,4 10 ,3 26 !     (10 3)! 258 .336 .000 10 ! (26 4)!     P  P 
  • 16. 11/5/2014 16 Contoh 3.  Dalam satu tahun, 3 penghargaan (riset, pengajaran, & pengabdian) diberikan pada 25 mahasiswa pasca sarjana suatu jurusan statistik. Jika setiap mahasiswa hanya dapat menerima paling banyak 1 penghargaan, berapa banyaknya kemungkinan?  Karena penghargaan tersebut dapat dibedakan dengan jelas, maka ini merupakan masalah permutasi. Banyaknya titik sampel adalah 25! 25!   25 (24 )( 23) 13 .800 25 3    22! 25  3 ! P  Permutasi dari n obyek dengan pengembalian  Permutasi dari n objek dengan pengembalian dirumuskan : r n r P  n  Catatan: Pada dasarnya masalah ini tidak dapat dipecahkan dengan permutasi. Rumus di atas merupakan kaidah perkalian biasa
  • 17. 11/5/2014 17 Contoh 4.  Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka dari 5 angka berikut: 1, 2, 3, 4 , 5, jika: a) Tidak boleh ada pengulangan angka b) Boleh ada pengulangan angka.  Jawab : a) Tidak boleh ada pengulangan  Dengan kaidah perkalian: (5)(4)(3) = 60 buah  Dengan rumus permutasi P(5, 3) = 5!/(5 – 3)! = 60 b) Boleh ada pengulangan angka  Dengan kaidah perkalian: (5)(5)(5) = 53= 125. Permutasi dari n obyek yang disusun melingkar n  1 !  Dalam suatu permainan bridge terdapat 4 orang pemain yang duduk melingkar. Jika 1 orang duduk dalam posisi tetap, maka ada 3! Atau 6 cara kita bisa melalukan pengaturan duduk yang berbeda
  • 18. 11/5/2014 18 Permutasi dari n obyek yang terdiri dari sekumpulan sel.  Banyaknya cara untuk membagi sekumpulan n obyek kedalam sel sebanyak r dengan n1 adalah elemen dalam sel 1, n2 adalah elemen dalam sel kedua, dan seterusnya adalah ! n   nPn n n n    r n n n ! !... ! , ,..., , ,..., 1 2 1 2 1 2 r r n n n     Dengan n1+n2+ … + nr = n Contoh 5.  Dalam berapa cara 7 orang mahasiswa pasca sarjana yang sedang menghadiri konferensi dapat ditempatkan di kamar hotel yang terdiri atas 1 kamar triple dan 2 double? 210 7 ! 3 !2 !2 ! 7 3, 2 ,2       
  • 19. 11/5/2014 19 Contoh 6.  Berapakah banyaknya pengaturan huruf yang dapat disusun dari huruf-huruf dalam kata STATISTICS  Disini kita memiliki 10 huruf, dengan dua huruf yaitu S & T muncul 3 kali, huruf I muncul 2 kali, dan A & C masing-masing 1 kali 50400 10 ! 3 !2 !2 !1 !1 ! 10 3, 3,2 , 1, 1         KOMBINASI  Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek tersebut . ! C n n  Dimana : n  r r  ! ! r (n r)
  • 20. 11/5/2014 20 Contoh 7  Seorang ibu meminta anaknya memilih 3 baju dari 10 baju di suatu department store. Berapakah banyaknya cara memilih 3 dari 10 baju tersebut? 120 10 ! 3! (10 30 )! 10 3          2. Hubungan permutasi dengan kombinasi.  Hubungan permutasi dan kombinasi dinyatakan sebagai berikut : P r!C C P n n r  atau  n r r r! n r
  • 21. 11/5/2014 21 Petunjuk Dalam Penghitungan  Kapan harus menggunakan aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi atau kombinasi ?  Baca pertanyaan dengan teliti. Perhatikan apakah masalah tersebut mengandung 2 macam aturan yang berbeda. Jika demikian, pikirkan aturan manakah yang yang dipakai untuk menggabungkan bagian-bagian tersebut (aturan penjumlahan atau aturan perkalian). Apabila bagian-bagian tersebut merupakan suatu proses berurutan, maka aturan perkalian digunakan untuk menggabungkannya. Akan tetapi jika bagian tersebut merupakan pecahan dari masalah utama di masing-masing bagian terpisah satu sama lain, maka aturan penjumlahan yang dipakai.  Baca teliti permasalahan. Cari kata kuncinya. Kata kunci penggunaan kombinasi adalah pemilihan objek-objek yang tidak diperhatikan urutannya. Sedangkan kata kunci untuk permutasi adalah pengaturan objek-objek yang aturannya diperhatikan.
  • 22. 11/5/2014 22 PROBABILITAS DEFINISI  Probabilitas diartikan sebagai hasil bagi dari banyaknya peristiwa yang dimaksud dengan seluruh peristiwa yang mungkin. P(A)  X n Keterangan : P(A) = probabilitas terjadinya kejadian A X = peristiwa yang dimaksud n = banyaknya peristiwa yang mungkin
  • 23. 11/5/2014 23  Proporsi waktu terjadinya peristiwa dalam jangka panjang, jika kondisi stabil ; atau  Frekuensi relatif dari seluruh peristiwa dalam sejumlah besar percobaan. P(X)  f i n Keterangan : P(X) = probabilitas peristiwa i fi = frekuensi peristiwa i n = Banyaknya peristiwa. Probabilitas memiliki batas mulai 0 sampai dengan 1 ( 0  P  1 )  Jika P = 0, disebut probabilitas kemustahilan, artinya kejadian atau peristiwa tersebut tidak akan terjadi.  Jika P = 1, disebut probabilitas kepastian, artinya kejadian atau peristiwa tersebut pasti terjadi.  Jika 0  P  1, disebut probabilitas kemungkinan,artinya kejadian atau peristiwa tersebut dapat atau tidak dapat terjadi.
  • 24. 11/5/2014 24 PERCOBAAN, RUANG SAMPEL, TITIK SAMPEL & PERISTIWA  Percobaan adalah proses mendapatkan suatu pengamatan atau pengambilan suatu pengukuran.  Titik Sampel adalah setiap anggota dari ruang sampel. Ruang Sampel  Ruang sampel adalah himpunan/kumpulan semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan. 1. Melemparkan koin– hasil S ={Kepala, Ekor} 2. Menggulingkan suatu dadu– hasil S ={ , , , , , } ={1, 2, 3, 4, 5, 6}
  • 25. 11/5/2014 25 3. Melemparkan dua dadu seimbang– 36 hasil S ={ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} hasil (x, y), x = nilai yang terlihat pada dadu 1 y = nilai yang terlihat pada dadu 2
  • 26. 11/5/2014 26 Kejadian (Event)  Kejadian atau peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel pada suatu percobaan, atau hasil dari percobaan. S E Contoh 1. Menggulingkan sebuah dadu – hasil yg mungkin S ={ , , , , , } ={1, 2, 3, 4, 5, 6} E = Kejadian muncul angka genap = {2, 4, 6} ={ , , }
  • 27. 11/5/2014 27 2. Melemparkan dua dadu seimbang– 36 outcomes E = Kejadian jumlah angka yang muncul adalah 7 ={ (6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6)}
  • 28. 11/5/2014 28 Contoh Probabilitas Kejadian  Suatu kelas statistik untuk para insinyur diikuti oleh mahasiswa teknik industri 25 orang, mesin 10 orang, elektro 10 orang, dan sipil 8 orang. Jika seorang mahasiswa dipilih secara acak oleh instrukturnya untuk menjawab suatu pertanyaan, berapakah probabilitas mahasiswa tersebut adalah  Dari jurusan teknik industri  Dari jurusan teknik sipill atau elektro?  Jika I menyatakan kejadian mahasiswa teknik industri terambil P  I   25 53  Probabilitas mahasiswa Sipil atau Elektro terambil: P  SE   18 53 Contoh Probabilitas Kejadian  Suatu laci berisikan 4 pasang kaos kaki warna merah dan 16 pasang warna biru. Dodi akan mengambil 2 pasang secara acak tanpa pengembalian. Berapakah kemungkinan keduanya berwarna sama? (dengan kata lain terambil keduanya merah ATAU semua biru)?  Jawab MM:(4/20) x(3/19) = 0.0316 BB: (16/20) x(15/19)=0.6316 P (MM  BB) = 66.32%
  • 29. 11/5/2014 29  5 buah kartu diambil secara acak dari 52 kartu remi. Berapakah kemungkinan paling tidak satu As di tangan?  Ruang Sampel, S = {0,1,2,3,4,5)  S = {0, paling tidak ada 1 AS)  P (paling tidak 1 AS) = 1 – P(tidak ada AS sama sekali) Contoh Simple Random Sample (Hubungan Kombinasi dengan Probabilitas)  Suatu sampel berukuran 5 akan diambil dari populasi sebanyak 4 wanita, 6 pria. Berapakah banyaknya kesempatan terambil 3 wanita dan 2 pria dalam sampel? Berapakah kemungkinan terambil 3 wanita dan 2 pria?
  • 30. 11/5/2014 30  Jawab 252 10         Total banyaknya sampel yang berbeda 5  Banyaknya 3 wanita terambil dari 4 wanita   Banyaknya 2 pria terambil dari 6 pria  Banyaknya sampel berbeda yang dapat diambil dari 3 wanita dan 2 pria   4  3      6  2               6 2 4 3  Kemungkinan terambil 3 wanita dan 2 pria adalah 0 . 2381 4 15 252   10 2 6 2 4 3                    REVIEW Himpunan & Diagram Venn Hubungan antara Kejadian dan Ruang Sampel terkait
  • 31. 11/5/2014 31 ATURAN PENAMBAHAN (ADDITIVE RULES)  Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa tidak saling lepas, apabila kedua peristiwa atau lebih tersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan.  Jika A dan B masing-masing merupakan suatu kejadian yang tidak saling lepas, maka aturan penambahannya adalah Contoh  Yunus adalah sarjana fresh graduate lulusan teknik industri. Setelah diwawancarai oleh dua perusahaan yang ia minati, ia menilai kemungkinan mendapatkan pekerjaan di perusahaan A adalah 0.8 dan perusahaan B adalah 0.6 Ia percaya bahwa ia akan mendapatkan penawaran dari kedua perusahaan tersebut sebesar 0.5. Berapakah peluang ia akan mendapatkan tawaran dari salah satu perusahaan? P(A  B)  P(A)  P(B) - (P(A B)  0.8  0.6 - 0.5  0.9
  • 32. 11/5/2014 32 Contoh Latihan Soal  Peluang seorang mahasiswa lulus matematika 2/3 dan peluangnya lulus biologi 4/9. Bila peluangnya lulus paling sedikit satu mata kuliah 4/5 berapakah peluangnya lulus dalam kedua mata kuliah? Kejadian-kejadian Saling Lepas (Mutually exclusive/disjoint) Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling lepas jika kedua atau lebih peristiwa itu tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan  Contoh  Percobaan: melempar dadu. A: kejadian muncul angka 1, dan B kejadian muncul angka 4 tidak mungkin muncul bersamaan  Percobaan: mengikuti SMPTN: A: kejadian diterima, B: kejadian tidak lolos
  • 33. 11/5/2014 33 Aturan Penambahan pada Kejadian Mutually Exclusive Jika peristiwa A dan B mutually exclusive, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah : P (A atau B) = P (A) + P (B) atau P ( A  B) = P (A) + P (B) AB  A B Contoh  Berapakah probabilitas mendapatkan total 7 atau 11 ketika sepasang dadu digulirkan?  A = kejadian mendapatkan total 7  B = kejadian mendapatkan total 11  P(A) = 1/6 dan P(B) = 1/18  Kedua kejadian tersebut mutually exclusive
  • 34. 11/5/2014 34  Jika probabilitas seseorang membeli mobil berwarna hijau, putih, merah dan kuning, masing-masing berturutan adalah 0.09, 0.15, 0.21, dan 0.23, berapakah probabilitas seorang pembeli membeli salah satu mobil dengan warna diatas? Contoh  Berikut ini adalah satu set kartu remi. Berapakah probabilitas terambil kartu King ATAU kartu berangka 4?  Berapakah probabilitas terambil kartu King ATAU kartu berwarna merah?
  • 35. 11/5/2014 35  P ( King atau 4) = P(King  4) =P (King) + P(4) = (4/52) + (4/52) = 0.154  P (King atau merah) = P(King)+P(merah)-P(K dan merah) = (4/52)+(26/52)-(2/52)
  • 36. 11/5/2014 36 Aturan Penambahan pada Peristiwa Komplementer  Jika A dan A’ atau A adalah kejadian yang saling komplementer, maka Bukti: karena dan peristiwa A dan A’ adalah mutually exclusive, maka Contoh  Jika probabilitas seorang montir dalam satu hari kerja dapat memperbaiki mobil sebanyak 3, 4, 5, 6, 7, atau 8 ke atas secara berturutan adalah 0.12; 0.19; 0.28; 0.24; 0.10, dan 0.07, maka berapakah probabilitas ia akan melayani sedikitnya 5 mobil pada hari berikutnya?  Anggap E merupakan kejadian sedikitnya 5 mobil diperbaiki. Jadi E’ adalah kejadian kurang dari 5 mobil diperbaiki     0.12 0.19 0.31       P(E ) ( ) 1 1 0.31 0.69 P E P(E )
  • 37. 11/5/2014 37 Peristiwa yang Saling Independen (Bebas)  Apabila terjadinya peristiwa yang satu tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain  Dua proses dikatakan independen jika hasil proses pertama tidak memberikan informasi berguna (tidak berpengaruh pada hasil proses kedua)  Contoh kejadian saling bebas/independen  Melemparkan suatu koin (munculnya ekor atau kepala tidak tergantung sama lain)  Menggulirkan dadu (munculnya angka 2 tidak tergantung dengan munculnya angka lain pada pelemparan berikutnya)  Mengambil kartu dalam satu set kartu dengan pengembalian Aturan Perkalian pada Kejadian Independen  Probabilitas terjadinya irisan dua kejadian secara umum adalah sebagai berikut PA B  PA | B P(B)  PB | A PA  Jika kejadian A dan B independen, probabilitas irisan (interaksi) kejadian A dan B sama dengan perkalian probabilitas A dan B, yaitu,     PAPB (  )  | P A B P A B P B 
  • 38. 11/5/2014 38  Jika kejadian A dan B adalah independen, maka Contoh Independensi & multiplikasi  Dua pengambilan secara acak dari  P(keduanya adalah )  Dengan pengembalian = (3/5)x(3/5)  Tanpa pengembalian = (3/5)x(2/4)  Independensi tidak menentukan apakah kita harus mengalikan atau tidak; hal itu ditentukan “kedua kejadian harus terjadi bersamaan”  Independensi mempengaruhi APA yang dikalikan
  • 39. 11/5/2014 39 Contoh  Pada tahun 2012 Survei Gallup menyatakan negara bagian Virginia Barat memiliki tingkat obesitas tertinggi di seluruh AS sebesar 33.5%. Dengan mengasumsikan tingkat obesitas konstan, berapakah probabilitas dua penduduk West Virginia yang dipilih secara acak keduanya mengidap obesitas?  P(obesitas) = 0.335  P(keduanya obesitas) = P(pertama obesitas)xP(kedua obesitas) = 0.335 x 0.335 = 0,111 Mutually Exclusive/Disjoint vs Independen Dua peristiwa dikatakan Disjoint (mutually exclusive) jika keduanya tidak dapat terjadi secara bersamaan pada satu waktu Dua proses dikatakan independen jika mengetahui hasil proses yang satu tidak berpengaruh pada hasil proses lainnya P(A dan B) =P (A  B) = 0 P(A|B) =P (A)
  • 40. 11/5/2014 40 PROBABILITAS BERSAMA (JOINT PROBABILITY)  Terjadinya 2 peristiwa atau lebih secara berurutan dan peristiwa-peristiwa tersebut tidak saling mempengaruhi.  Jika peristiwa A dan B gabungan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah : P (A  B) = P (A) x P (B)
  • 41. 11/5/2014 41 Contoh  Suatu penarikan dibuat secara acak dari  Berapakah probabilitas penarikan kedua adalah ?  P(penarikan kedua ) = P(penarikan pertama dan penarikan kedua ) Contoh  World Values Survey (www.worldvaluessurvey.org , suatu lembaga survei yang melakukan di seluruh dunia mengenai persepsi tentanghidup, keluarga, politik, dll. Salah satu hasil survei terhadap 77,882 orang dari 57 memperkirakan 36.2% penduduk dunia setuju bahwa “Laki-laki seharusnya memiliki hak pada pekerjaan lebih banyak dibandingkan wanita”  Hasil survei juga memperkirakan 13.8% orang memilik gelar sarjana atau lebih tinggi dan 3.6% orang masuk kedua kriteria tersebut (setuju dan bergelar sarjana) P (setuju) = 0.362 P(gelar sarjana = 0.138 P(setuju & gelar sarjana)= 0.036
  • 42. 11/5/2014 42  Pertanyaan: 1. Apakah setuju dengan pernyataan “Laki-laki seharusnya memiliki hak pada pekerjaan lebih banyak dibandingkan wanita” dan memiliki gelar sarjana atau lebih tinggi merupakan dua peristiwa mutually exclusive? P (setuju) = 0.362 P(gelar sarjana) = 0.138 P(setuju & gelar sarjana)=0.036 ≠ 0 tdk mutually exclusive 2. Gambarkan Diagram Venn-nya Setuju Sarjana 0.362 0.036 0.138 0.362 – 0.036 = 0.326 0.138 – 0.036 = 0.102
  • 43. 11/5/2014 43 3. Berapakah probabilitas seseorang yang diambil secara acak akan memiliki gelar sarjana atau setuju dengan “Laki-laki seharusnya memiliki hak pada pekerjaan lebih banyak dibandingkan wanita” Setuju Gelar 0.362 0.036 0.138 PA  B  P( A)  P(B)  P(A  B) P (Setuju atau Gelar Univ) = P(Setuju)+P(Gelar Univ) - P(Setuju &Gelar Univ) = 0.362 + 0.138 – 0.036 = 0.464 4. Berapa persen populasi di dunia yang tidak memiliki gelar sarjana dan tidak setuju dengan pernyataan “Laki-laki seharusnya memiliki hak pada pekerjaan lebih banyak dibandingkan wanita”? P (Tidak Setuju atau Tidak bergelar Sarjana) = 1- P(Setuju atau Sarjana) = 1 - 0.464 = 0.536 Setuju Sarjana 0.362 0.036 0.138 0.536 S
  • 44. 11/5/2014 44 5. Apakah kejadian seseorang setuju dengan pernyataan tersebut Independen (saling bebas) dengan kejadian mereka memiliki gelar sarjana? PA  B  P(A)  P(B) P (Setuju dan Gelar Sarjana) ? = ? P (Setuju ) x P (Gelar Sarjana0 0.036 ?=? 0.362 x 0.138 0.036 ≠ 0.05 tidak independen 6. Berapakah probabilitas paling tidak ada 1 dari 5 orang terpilih secara acak setuju dengan pernyataan “Laki-laki seharusnya memiliki hak pada pekerjaan lebih banyak dibandingkan wanita”?  Ruang Sampel, S = {0,1,2,3,4,5)  S = {0, paling tidak ada 1 AS)  P (paling tidak 1 setuju) = 1 – P (tidak ada yang setuju) = 1 P ( TS TS TS TS TS) = 1 - 0.6385 = 1 – 0.106 = 0.894 P (Tidak Setuju) = 1 – P (Setuju) = 1 – 0.362 = 0.638
  • 45. 11/5/2014 45 PROBABILITAS BERSYARAT (CONDITIONAL PROBABILITY)  Probabilitas terjadinya suatu peristiwa/kejadian dengan syarat ada peristiwa lain yang terjadi.  Jadi ada peristiwa yang satu dipengaruhi atau bergantung pada peristiwa lainnya (kedua peristiwa tersebut tidak saling bebas)  Probabilitas Bersyarat peristiwa A ketika diketahui peristiwa B terjadi adalah (diasumsikan P(B) >0), maka P(A | B) P(A B)  P(B)  P(A | B) P(A B)  P(B)  P(A  B)  P(B)P(A | B)  P(A)P(B | A)
  • 46. 11/5/2014 46 Contoh. Probabilitas Bersyarat  Probabilitas suatu penerbangan berangkat tepat waktu adalah P(B)=0.83; probabilitas kedatangan tepat waktu adalah P(D) = 0.82; dan probabilitas berangkat dan datang tepat waktu adalah P(B∩D)=0.78. Carilah probabilitas suatu penerbangan  Datang tepat waktu diberikan ia berangkat tepat waktu  Berangkat tepat waktu diberikan ia datang tepat waktu  Datang tepat waktu diberikan ia berangkat TIDAK tepat waktu  Datang tepat waktu diberikan ia berangkat tepat waktu     0.94 (D | B) D B  0.78  0.83  B P  P P  Berangkat tepat waktu diberikan ia datang tepat waktu     0.95 (B | D) D B  0.78  0.82  D P  P P  Datang tepat waktu diberikan ia berangkat TIDAK tepat waktu       0.24 (D | B ) D B 0.82 0.78  0.17 B      P P P
  • 47. 11/5/2014 47 Contoh: Kejadian Independen & Dependen Pada Probabilitas Bersyarat  Dua kartu diambil secara acak dari susunan kartu berwarna  P (kartu kedua adalah ) = 3/5 tidak peduli apakah kartu pertama dikembalikan atau tidak  P(kartu kedua |kartu pertama ) =  Dengan pengembalian = 3/5  Tanpa pengembalian = 2/4  P (kartu kedua |kartu pertama )  Dengan pengembalian = 3/5  Tanpa pengembalian = 3/4 Independen Dependen Independen Dependen Contoh: Probabilitas Marginal, Bersama, dan Bersyarat  Terdapat suatu studi tentang cara pandang remaja pada status/kelas sosial mereka  Sampel: 48 subyek dari kelas menengah ke bawah dan 50 dari kelas menengah ke atas (usia setiap subyek16 tahun)  Rancangan Studi  Penilaian OBYEKTIF terhadap kelas sosial berdasarkan pekerjaan dan pendidikan orangtua serta pendapatan RT  Penilaian SUBYEKTIF melalui kuesioner Study reference: Goodman, Elizabeth, et al. "Adolescents’ understanding of social class: a comparison of white upper middle class and working class youth." Journal of adolescent health 27.2 (2000): 80-83.
  • 48. 11/5/2014 48 Hasil Hasil Posisi Kelas Sosial Obyektif Identitas Kelas Sosial secara Subyektif Menengah ke bawah Menengah ke atas Total Miskin 0 0 0 Menengah ke bawah 8 0 8 Menengah 32 13 45 Menengah ke atas 8 37 45 Atas 0 0 0 Total 48 50 98 Probabilitas Marginal Hasil Posisi Kelas Sosial Obyektif Identitas Kelas Sosial secara Subyektif Menengah ke bawah Menengah ke  Berapakah probabilitas seorang pelajar berada pada posisi kelas sosial menengah ke atas secara obyektif? P = 50/98 ≈ 0,51 atas Total Miskin 0 0 0 Menengah ke bawah 8 0 8 Menengah 32 13 45 Menengah ke atas 8 37 45 Atas 0 0 0 Total 48 50 98
  • 49. 11/5/2014 49 Probabilitas Bersama Hasil Posisi Kelas Sosial Obyektif Identitas Kelas Sosial secara Subyektif Menengah ke bawah Menengah ke atas Total Miskin 0 0 0 Menengah ke bawah 8 0 8 Menengah 32 13 45 Menengah ke atas 8 37 45 Atas 0 0 0 Total 48 50 98  Berapakah probabilitas seorang pelajar secara subyektif dan obyektif berada pada kelas sosial menengah ke atas? P(Suby MA & Oby MA)  P(Suby MA  Oby MA)  37  98 0,38 Probabilitas Bersyarat Hasil Posisi Kelas Sosial Obyektif Identitas Kelas Sosial secara Subyektif Pekerja Menengah ke atas Total Miskin 0 0 0 Pekerja 8 0 8 Menengah 32 13 45 Menengah ke atas 8 37 45 Atas 0 0 0 Total 48 50 98  Berapakah probabilitas seorang pelajar yang secara obyektif berada pada kelas sosial pekerja berhubungan dengan kelas sosial menengah ke atas scr subyektif P(Suby MA | Oby Pekerja)  8  48 0,17
  • 50. 11/5/2014 50 Teorema Bayes Hasil Posisi Kelas Sosial Obyektif Identitas Kelas Sosial secara Subyektif Pekerja Menengah ke atas Total Miskin 0 0 0 Pekerja 8 0 8 Menengah 32 13 45 Menengah ke atas 8 37 45 Atas 0 0 0 Total 48 50 98   8 98 P(A | B) P(A B)  P(B)  (Suby MA | Oby Pekerja)  Suby MA | Oby Pekerja     0,17 48 98 Oby Pekerja P P P Contoh: Probabilitas Bersyarat, Pohon Probabilitas, & Teorema Bayes  Suatu pabrik memiliki dua mesin untuk memproduksi tipe produk tertentu. Mesin A menghasilkan 80% dan mesin B sisanya (20%). Baik kedua mesin akan menghasilkan produk cacat mesin A sebanyak 1% dan mesin B sebanyak 2%  Berapakah kemungkinan produk yang dihasilkan mesin A itu cacat?  Berapakah probabilitas produk yang dihasilkan kedua mesin itu cacat?  Jika suatu produk diambil secara acak, berapakah probabilitas produk cacat terambil itu dihasilkan dari mesin A
  • 51. 11/5/2014 51  P(A) = 0,8  P(B) = 0,2 A B 0.8 0.2 0.01 cacat OK 0.99 0.02 cacat OK 0.98  P(A & Cacat) = 0.8 x 0.01 = 0.008  P(Cacat) = P(A & Cacat) + P(B & cacat) = 0.008+0.004=0,012 (A | Cacat) (A Cacat) 0.8  0.01      0.67 0.8 0.01 0.2 0.02 (Cacat)       P P P ATURAN BAYES: Digunakan untuk menemukan probabilitas bersyarat suatu kejadian pada tahap sebelumnya dengan diberikan hasil tahap sesudahnya Contoh  Diketahui suatu penyaki ttertentu akan diidap oleh 1% dari suatu populasi  Hasil tes terhadap penyakit akan ditandai + (jika terindikasi positif) dan – (jika negatif)  Pengujian itu sendiri tidak selalu tepat. Diantara mereka yang memiliki penyakit tersebut ketika menjalani tes sebanyak 0,5% akan menunjukkan hasil - negatif (false negative – dianggap negatif padahal positif). Diantara mereka yang TIDAK memiliki penyakit tersebut ketika diuji sebanyak 0,8% akan menunjukkan hasil positif.  Seseorang diambil secara acak dari populasi. Berapakah kemungkinan orang tersebut memiliki penyakit jika diketahui hasil tes nya positif +
  • 52. 11/5/2014 52 S TS 0.01 0.99 0.995 0.005 0.002 + - 0.992 + -         0.56 (S | ) 0.01  0.995  0.01  0.995  0.99  0.008    P   P S P