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Enseñar y aprender matemática síntesis augusto burgos

Este documento discute la naturaleza de las matemáticas y la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Explora temas como la resolución de problemas, la modelización matemática, las características de las matemáticas y el significado de aprender y enseñar matemáticas a través de la resolución de problemas. También analiza el uso de problemas como modelo de enseñanza y las características de los problemas que se utilizan en el aula.

1 de 47
Lic. Prof. Augusto Burgos
augustoburgos@gmail.com
Enseñar y Aprender
MATEMÁTICA
CASO DE ANÁLISIS:
Fracciones: ¿te pusiste a pensar por qué le
enseñamos a dividir fracciones “multiplicando
cruzado” y no “dividiendo derecho”?
¿Se lo darías por válido al ejercicio? ¿qué ha ocurrido? No lo ha
hecho como esperábamos ¿verdad? Pero, ¿es un error del
alumno?
Probamos con otro ejemplo:
¿Te sorprendió? ¿qué opinás? ¿es válido este procedimiento que
se está usando? ¿es un error del alumno o uno nuestro en pensar
que sólo hay una forma de dividir números racionales? ¿te pusiste
a pensar por qué le enseñamos a dividir fracciones “multiplicando
cruzado” y no “dividiendo derecho”? ¡Esto es conocimiento en el
horizonte matemático!
¿Qué es la Matemática?
Reflexión:
-Qué es la matemática para nosotros?
-Qué es la matemática para nuestros
alumnos?
-¿Qué es enseñar y aprender
matemática en el aula?
Siguiendo a Chevallard, Bosch y Gascón se pueden describir tres
grandes tipos de actividades que podrían considerarse como
matemáticas:
 Utilizar matemáticas conocidas: el primer gran tipo de actividad
matemática consiste en resolver problemas a partir de las
herramientas matemáticas que uno ya conoce y sabe cómo utilizar,
como el plomero que a partir de sus conocimientos arregla una
canilla que pierde.
 Aprender y enseñar matemática: frente a un problema que no se
sabe resolver se puede recurrir a un matemático que lo resuelva o
bien aprender la matemática necesaria para hacerlo.
 Crear matemáticas nuevas: en principio, se podría decir que sólo
los matemáticos producen matemáticas nuevas, pero en realidad, a
nivel de los alumnos se puede afirmar que todo aquel que aprende
matemática participa de alguna manera en un trabajo creador. Con
frecuencia, para resolver un problema tendrá que modificar sus
conocimientos anteriores ligera o profundamente para adaptarlos a
las peculiaridades de su problema. Los alumnos no crean
matemática nuevas para la humanidad, pero sí nuevas para ellos.
La actividad matemática no puede reducirse a aprenderlas y
enseñarlas, no son un fin en sí mismo, sino un medio para
responder a ciertas cuestiones.
¿Qué significa hacer matemática?
Justamente es hacerlas, en el sentido propio del
término, construirlas, fabricarlas, producirlas. Por
supuesto no se trata de hacer reinventar a los
alumnos la matemática que ya existe, sino de
involucrarlos en un proceso de producción
matemática donde su actividad tenga el mismo
sentido que tiene para los matemáticos que
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Enseñar y aprender matemática síntesis augusto burgos

  • 1. Lic. Prof. Augusto Burgos augustoburgos@gmail.com Enseñar y Aprender MATEMÁTICA
  • 2. CASO DE ANÁLISIS: Fracciones: ¿te pusiste a pensar por qué le enseñamos a dividir fracciones “multiplicando cruzado” y no “dividiendo derecho”? ¿Se lo darías por válido al ejercicio? ¿qué ha ocurrido? No lo ha hecho como esperábamos ¿verdad? Pero, ¿es un error del alumno?
  • 3. Probamos con otro ejemplo: ¿Te sorprendió? ¿qué opinás? ¿es válido este procedimiento que se está usando? ¿es un error del alumno o uno nuestro en pensar que sólo hay una forma de dividir números racionales? ¿te pusiste a pensar por qué le enseñamos a dividir fracciones “multiplicando cruzado” y no “dividiendo derecho”? ¡Esto es conocimiento en el horizonte matemático!
  • 4. ¿Qué es la Matemática? Reflexión: -Qué es la matemática para nosotros? -Qué es la matemática para nuestros alumnos? -¿Qué es enseñar y aprender matemática en el aula?
  • 5. Siguiendo a Chevallard, Bosch y Gascón se pueden describir tres grandes tipos de actividades que podrían considerarse como matemáticas:  Utilizar matemáticas conocidas: el primer gran tipo de actividad matemática consiste en resolver problemas a partir de las herramientas matemáticas que uno ya conoce y sabe cómo utilizar, como el plomero que a partir de sus conocimientos arregla una canilla que pierde.  Aprender y enseñar matemática: frente a un problema que no se sabe resolver se puede recurrir a un matemático que lo resuelva o bien aprender la matemática necesaria para hacerlo.  Crear matemáticas nuevas: en principio, se podría decir que sólo los matemáticos producen matemáticas nuevas, pero en realidad, a nivel de los alumnos se puede afirmar que todo aquel que aprende matemática participa de alguna manera en un trabajo creador. Con frecuencia, para resolver un problema tendrá que modificar sus conocimientos anteriores ligera o profundamente para adaptarlos a las peculiaridades de su problema. Los alumnos no crean matemática nuevas para la humanidad, pero sí nuevas para ellos. La actividad matemática no puede reducirse a aprenderlas y enseñarlas, no son un fin en sí mismo, sino un medio para responder a ciertas cuestiones.
  • 6. ¿Qué significa hacer matemática? Justamente es hacerlas, en el sentido propio del término, construirlas, fabricarlas, producirlas. Por supuesto no se trata de hacer reinventar a los alumnos la matemática que ya existe, sino de involucrarlos en un proceso de producción matemática donde su actividad tenga el mismo sentido que tiene para los matemáticos que crean conceptos matemáticos nuevos.
  • 7. ¿Qué es la Matemática? Es un conjunto de conocimientos en continua evolución, no es un conocimiento acabado, ni estático.
  • 9. No es posible trazar una frontera clara y precisa que separe de una vez por todas las actividades matemáticas de los no-matemáticas. Cada cual aporta y se enriquecen mutuamente.
  • 10. Problema: Veamos un ejemplo simple, en un contexto intra- matemático que permite entender, en parte, la construcción de modelos en matemática. Todos conocen el algoritmo de la división, es decir, una serie de pasos que permiten encontrar el resultado de dividir un número por otro. Y también se conocen ciertas propiedades que cumple esta operación. Se puede pensar en este problema: “Inventar una división cuyo resto sea 200 y que se pueda calcular mentalmente”.
  • 11. ¿Para qué podría servir un problema como este?  Para determinar para qué puede servir es importante pensar cuáles conocimientos tienen que poner en juego los alumnos para resolverlo. Una primera constatación es que el resto tiene que ser efectivamente menor que el divisor. No es solamente una definición aprendida de memoria sino que hay que usarla efectivamente para resolver el problema planteado.  Por otra parte, este problema pone en juego las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto y les hace jugar un verdadero papel de herramientas para resolver problemas y no solamente para realizar la prueba de la división. Una enseñanza planteada de esta manera nos acerca a una matemática con sentido, donde el alumno se puede involucrar en la búsqueda de respuestas, donde lo que hace o aprende tiene una significación aportada por las situaciones que los nuevos conocimientos le permiten resolver. En este ejemplo, se ve cómo el dominio del algoritmo puede ser trabajado de una manera conceptualmente diferente a la habitual para resolver una gran cantidad de divisiones del mismo tipo.
  • 12. Características de la Matemática I- Cohesión Interna: La matemática es un cuerpo cohesionado donde todas las partes se relacionan en un todo armónico, sin contradicciones. Los conceptos se relacionan entre sí de distintas maneras.
  • 13. Un problema se puede resolver de diferentes formas. P.ej: desde el marco geométrico o algebraico, llegamos a la misma solución. “¿A qué es igual el cuadrado de la suma de dos números?”
  • 14. Resolución 1: Se puede representar el problema en el marco de la geometría: se parte de la construcción de un cuadrado de lado (a + b), marcando en cada lado las medidas a y b que lo componen, señalando un punto sobre cada uno de ellos. Luego se trazan por estos puntos paralelas a los lados.
  • 15. Resolución 2: A través de ambas resoluciones hemos llegado al mismo resultado. A esto denominamos cohesión interna.
  • 16. Problema: “Piense un número cualquiera, súmele 5, multiplíquelo por 2, luego réstele 4, divídalo por dos y reste el número que pensó.” ¿cuál será el resultado?
  • 17. Piense un número cualquiera, súmele 5, multiplíquelo por 2, luego réstele 4, divídalo por dos y reste el número que pensó. ¿cuál será el resultado?  El resultado siempre será 3
  • 18. Características de la Matemática II- Modelización: La modelización matemática de situaciones y fenómenos de la realidad permiten comprender y poder actuar sobre ellos.
  • 20. Síntesis sobre modelización  Una solución que resuelve varios problemas. (caso 1) Un problema que admite varias soluciones. (caso 2) Reflexión: Qué valor le damos a estas características en el aula? Admitimos la diversidad de situaciones, soluciones, procedimientos y estrategias? Las propiciamos?
  • 21. ¿Qué es “hacer matemática” en el aula? ES RESOLVER PROBLEMAS Responder preguntas Plantear preguntas Un saber o conocimiento matemático, debe ser una solución a un problema dado. Así se construyen SENTIDOS y se aprende matemática.
  • 22. “Se puede hacer de otro modo?” “Es válida esta forma de hacerlo” “Se podría también hacer así?” “Por qué no da lo mismo si la hacemos así?” “Esta otra forma da así por casualidad?” “Esta estrategia sirve con otros números?....dará siempre ?” “Hay algún caso en el que no dé?”“ Por qué funciona?....por qué no?”
  • 23. Condiciones a tener en cuenta!  Conocer el estado inicial de los alumnos.  Tener una idea de sus concepciones, sobre los conocimientos puestos en juego, los procedimientos que podrán desplegar y aún…  Anticipar el estado final (lo que se quiere producir o evitar) Así al abordar una noción “por actividades” es necesario tener precisiones sobre los problemas elegidos y sobre la gestión de la clase que se prevé.
  • 24. ¿Qué es APRENDER matemática?  Es construir SENTIDO de los conocimientos  Es resolver problemas y reflexionar sobre los mismos
  • 25. Cómo se construye Sentido? Es reconocer en qué situaciones es útil ese conocimiento. Charnay: El sentido de un conocimiento mát se define: -por la colección de situaciones en las que ese conocimiento es realizado como teoría mát. -por la colección de situaciones en las que el sujeto lo ha encontrado como medio de solución. -por el conjunto de concepciones que rechaza, de errores que evita, de economía que procura, de formulaciones que retoma.
  • 26. Agreguemos que la construcción de la significación de un conocimiento debe ser considerada en dos niveles:  un nivel “externo”: ¿cuál es el campo de utilización de este conocimiento y cuáles son los límites de este campo?  un nivel “interno”: ¿cómo y por qué funciona tal herramienta? (por ejemplo, ¿cómo funciona un algoritmo o estrategia y por qué conduce al resultado buscado?).
  • 27. Uso de los problemas: modelos de enseñanza 1) El problema como criterio del aprendizaje (modelo llamado “normativo”)
  • 30. Actividades ligadas al trabajo matemático: Explorar para representar, representar para explorar: Probar, ensayar, abandonar lo hecho y volver a empezar por otro camino, representar para imaginar una solución o entender una situación, analizar las distintas formas de representar. Elaborar conjeturas: Promover que los niños expliciten las ideas que van elaborando, las respuestas que van encontrando, las relaciones que van estableciendo… aún cuando no sean del todo claras para ellos. Las conjeturas que elaboran los alumnos frente a un problema, requerirán cierto trabajo en el aula para determinar si son verdaderas o son falsas. Validar las conjeturas y los resultados: Recurrir a los conocimientos matemáticos para decidir si una afirmación, una relación, un resultado son o no válidos y bajo qué condiciones. Generalizar o determinar un dominio de validez: ¿pasará siempre?, ¿servirá para todos los casos?, ¿habrá algún caso donde no se cumpla? Se trata de analizar el carácter más general de ciertas ideas, llegando en algunas ocasiones a establecer relaciones válidas para cualquier caso, y en otras, a establecer los límites en la posibilidad de generalizar dichas relaciones.
  • 31. Qué es resolver y reflexionar sobre los problemas?  Es resolver una situación con diferentes estrategias.  Es reflexionar con los alumnos sobre esas diferentes estrategias: detectar errores, determinar las estrategias mas eficaces, analizar representaciones, debatir argumentaciones….para producir nuevos conocimientos.
  • 32. ¿Qué es ENSEÑAR matemática?  Es crear condiciones de apropiación del conocimiento por parte de los alumnos.  El alumno aprende, al disponer de un conocimiento como Objeto-Instrumento.  El docente y el alumno debe centrar en el conocimiento a enseñar/aprender. Dialéctica Instrumento/Objeto
  • 33. ¿Qué se entiende por problema? Un problema es toda situación que lleve al alumno a poner en juego los conocimientos de los que dispone, pero que a la vez, ofrece algún tipo de dificultad, que torna insuficientes, dichos conocimientos y fuerza a la búsqueda de soluciones, en la que se producen nuevos conocimientos modificando (enriqueciendo o rechazando) los conocimientos anteriores.
  • 34. Características de los problemas.  El enunciado tiene que tener sentido para el alumno.  El alumno debe poder considerar lo que puede ser una respuesta al problema dado.  El alumno puede iniciar un procedimiento de resolución de acuerdo con sus conocimientos.  El problema es rico, involucrando una red de conceptos.  El problema es abierto por la diversidad de preguntas o por la diversidad de estrategias de resolución posible.  El conocimiento a enseñar es el recurso para responder eficazmente al problema planteado.
  • 35. Reflexión: Algunos comentarios de Nadine Milhaud: “Se hacen ejercicios y problemas, pero no se conduce ninguna actividad reflexiva que permitiría a los alumnos identificar familias de problemas y situar los problemas encontrados en relación con esas familias. Esto supone que, sobre un cuerpo de ejemplares bien elegidos por el profesor, se haga un trabajo de clasificación que podría ser realizado a partir del cuestionamiento siguiente:  1. ¿Son diferentes los ejercicios y los problemas?  2. ¿En qué se parecen?  3. ¿En qué se diferencian?  4. ¿Se los puede agrupar en familias?  5. ¿Existen técnicas de resolución ligadas a esas familias?
  • 36. De esta ausencia se desprende que numerosos alumnos imaginen que los problemas son siempre nuevos y que cada vez hay que inventar soluciones nuevas. Si por azar un problema evoca otro, tratan de recordar la manera en que lo habían resuelto, pero ese recuerdo es vago y mezclado con otros. Se debe, sin dudas, a que el trabajo sobre las técnicas de resolución de problemas de una familia de problemas no está organizado de forma sistemática.[…] Además, frecuentemente, cuando se introduce en un año dado una nueva técnica para resolver un tipo de problema, las técnicas antiguas son dejadas de lado y no se trabaja con ellas, y terminan por desaparecer. Sin embargo, esto es una parte integrante del trabajo de la técnica.”
  • 37.  -El tamaño de los números y su “redondez”  -Los tipos de magnitudes: continuas-discretas  -El orden de presentación de las informaciones, y su pertinencia para responder a la pregunta  -Las formas de representación: tablas, gráficos, dibujos, etc.  -Contextos: extramatemáticos- intramatemáticos *Cuentas vs Problemas*
  • 38. Gestión de la Clase Modelo tradicional: Se enseña un contenido, concepto o definición, se resuelve un “problema tipo”, y se dan más problemas o cuentas para afianzar o aplicar Concepto Ejercicios Alumno que aprende . “pasivo”
  • 39. Modelo Didáctico alternativo  Presentar un problema, que busque llegar a una solución original en base al conocimiento que se quiere enseñar (sin haberlo enseñado antes).  Surgimiento de diferentes estrategias de resolución y reflexión sobre las mismas.  Formalización del proceso, al culminar el proceso (y no al inicio)
  • 40. Cómo?  Proponer un problema para ser resuelto solo o en parejas.  Comparar las estrategias con la de otros compañeros.  El docente selecciona aquellos procedimientos mas o menos eficaces y realiza una puesta en común  Los alumnos argumentan y debaten sobre las ventajas o desventajas de cada uno de ellos.  El docente puede proponer otros problemas y reducir las estrategias de resolución a algunas únicamente.  El docente puede llegar a formalizar (institucionalizar) algún procedimiento o estrategia en particular, pero sin descuidar, todos los saberes que aun circulan en el aula.
  • 41.  Generar un clima de trabajo intelectual propicio para la producción de estrategias, para que los alumnos tengan confianza en que podrán encontrar formas diversas y personales para enfrentar la situación.  Mostrar a los alumnos que un mismo problema puede abordarse por diferentes caminos y con variados recursos.  Organizar la comunicación de procedimientos. Seleccionar sólo producciones de cuatro o cinco alumnos contemplando que haya variedad de formas de resolución. Los alumnos comunican las respuestas y procedimientos usados.  Proponer la comparación de resultados y de procedimientos explicitando la posibilidad de apropiarse de una estrategia producida por otros.
  • 42.  Gestionar el análisis colectivo de los errores, de modo tal, que todos los alumnos - y no solo quienes los han producido- analicen por qué dicho cálculo o dicha estrategia no era viable en esta situación.  Promover la comparación y análisis de las ventajas de cada procedimiento.  Plantear situaciones hipotéticas válidas o erróneas (“otro alumno me dijo que ...¿ustedes qué piensan?) promoviendo el debate entre los alumnos.  Registrar en una cartelera las diferentes estrategias para que los niños puedan reutilizarlas.  Registrar las conclusiones a las que se ha arribado para que los niños puedan avanzar en las formas de resolver siguientes problemas.
  • 43.  Mostrar la dirección y la evolución del trabajo permite a los alumnos tomar conciencia de sus aprendizajes. (Por ejemplo: “ya resolvimos dos o tres problemas parecidos y muchos chicos ahora ya no se confunden para contar los puntitos”, o bien “qué interesante, ahora mucho de ustedes resuelven los problemas con números y ya no precisan dibujar como hacían antes”).  Evocar las conclusiones y avances en clases siguientes (por ejemplo: “ahora vamos a resolver otro problema, pero antes vamos a recordar lo que hicimos ayer y qué dificultades tuvimos”) con el fin de ofrecer una nueva oportunidad para entender o reconocer una estrategia producida por otros o el sentido del debate ya producido.
  • 44. ROL DEL DOCENTE  Posee intencionalidad didáctica, en el sentido que sabe qué –cómo y para qué enseña.  Selecciona las actividades/problemas.  Anticipa estrategias y elige cuáles difundir…propone otras.  Pone nombre a los nuevos conocimientos.  Escribe lo que los alumnos deben retener.  Organiza la reutilización o reinversión de estrategias de resolución.  Vuelve a enseñar si algo no se aprendió, utiliza diferentes marcos, otros números, en diversos contextos y sentidos de un concepto.  Exige qué se debe memorizar.  Muestra los avances y los cambios.  Decide en qué momentos de la clase se usa la calculadora.  Decide cuando la tarea es individual, en parejas o colectiva.  Gestiona el trabajo colectivo o puesta en común.
  • 45. “Vamos a mostrar las formas que encontraron de resolverlo” “ A algunos no les dio igual, vamos a analizar en qué se equivocaron” “Anotemos esta conclusión para que nos sirva otro día” “Esta propiedad se llama así….y la vamos a seguir estudiando” “Probar con números más pequeños puede ser útil para establecer si sirve o no” “ A veces conviene hacerlo con la calculadora”
  • 46. Elaboración de secuencias didácticas –Intencionalidad docente. La intencionalidad supone que el docente prepara un conjunto de clases alrededor de un conocimiento que pretende que los alumnos adquieran. Las clases se organizan en torno a la difusión de los descubrimientos de los alumnos. Pero la mayoría de estos descubrimientos no es azarosa ni imprevista. Las actividades se seleccionan con la intención de provocar la aparición, el uso y la explicitación ulterior de las herramientas nuevas.