1. ‫שאלון 708 שאלה 2, בגרות חורף תשע"ג‬
‫א. משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים ולכן ניתן להגיד שמתקיים ‪BC = CM‬‬
‫עבור המעגל העליון ו־ ‪ AC = CM‬עבור המעגל התחתון. מתקיים ‪AC + BC = 2CM‬‬
‫ולכן ‪ ,CM = AC+BC‬ז"א ‪) CM = 2 AB‬קטע שווה לסכום חלקיו, ‪.(AB = BC + AC‬‬
‫1‬
‫2‬
‫ב. )1(. נסמן )‪ .M (x, y‬מכיוון ש ‪ BC = AC‬אז מתקיים )2 ,0(‪ C‬ולכן המרחק מנקודה‬
‫‪ C‬לנקודה ‪ M‬מאפשר למצוא את המקום הגיאומטרי של נקודה ‪:M‬‬
‫= ‪dM C‬‬ ‫2)2 − ‪(xM − 0)2 + (yM‬‬ ‫)1(‬
‫לפי סעיף א' ניתן להגיד:‬
‫1‬
‫= ‪dM C‬‬ ‫1=2·‬ ‫)2(‬
‫2‬
‫, נעלה בריבוע ונקבל את המקום הגאומטרי המבוקש:‬ ‫ולכן 1 = 2)2 − ‪x2 + (yM‬‬
‫‪M‬‬
‫2)2 − ‪1 = x2 + (yM‬‬
‫‪M‬‬ ‫)3(‬
‫)2(. המשוואה שהתקבלה היא משוואת מעגל, אך נתון שמרכזי המעגלים ברביע השני‬
‫ולכן נקודה ‪ M‬נמצא אך ורק ברביע השני, הצורה היא של קשת ברביע השני.‬
‫ג. נמצא את משוואת הפרבולה לפי תנאי השקה למעגל. משוואת המדריך היא 0 = ‪x+ p‬‬
‫2‬
‫ואנו יודעים שהוא משיק למעגל שמצאנו בסעיף קודם ולכן לפי תנאי השקה למעגל :‬ ‫תנאי השקה של ישר‬
‫0 = ‪Ax + By + C‬‬
‫למעגל:‬
‫| ‪|1 · 0 + 0 · 2 + p‬‬
‫2‬ ‫|‪|Aa+Bb+C‬‬
‫√‬
‫√‬ ‫1=‬ ‫)4(‬ ‫2 ‪A2 +B‬‬
‫‪=R‬‬
‫20 + 21‬
‫קל לראות ש 2 = ‪ p‬ולכן משוואת הפרבולה היא ‪ .y 2 = 4x‬נשרטט את הפרבולה:‬
‫‪y 2 = 4x‬‬
‫‪y‬‬ ‫√‬
‫,‪(t‬‬ ‫)‪4t‬‬
‫‪x‬‬
‫1=‪x‬‬
‫1‬
‫© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין‬
‫דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770‬
‫אתר: ‪ | www.bagrutonline.co.il‬דוא"ל: ‪office@bagrutonline.co.il‬‬

2. ‫שאלון 708 שאלה 2, בגרות חורף תשע"ג‬
‫√‬
‫נגדיר נקודה על הפרבולה בעזרת פרמטר )‪ .(t, ± 4t‬מוקד הפרבולה הוא )0 ,1(. נחשב‬
‫את המרחק מהמוקד לנקודה:‬
‫√‬
‫= 01‬ ‫− 0( + 2)‪(1 − t‬‬ ‫2)‪4t‬‬ ‫)5(‬
‫נקבל את המשוואה:‬
‫‪100 = (1 − t)2 + 4t‬‬
‫למשוואה שני פתרונות 9 = 1‪ t‬ו־ 11− = 2‪ ,t‬אך מכיוון שהפרבולה נמצאת רק ברביע‬
‫הראשון והרביעי אז אנו נשארים עם פתרון יחיד 9 = ‪ t‬ולכן הנקודה הראשונה היא )6 ,9(‬
‫והשנייה היא )6− ,9(.‬
‫2‬
‫© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין‬
‫דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770‬
‫אתר: ‪ | www.bagrutonline.co.il‬דוא"ל: ‪office@bagrutonline.co.il‬‬