Tesis ini membahas tentang determinan matriks hasil dekomposisi dengan metode Crout pada matriks bujur sangkar. Metode ini merupakan cara yang mudah untuk menentukan nilai determinan suatu matriks karena dapat mengurai matriks menjadi dua matriks segitiga atas dan bawah. Penentuan nilai determinan didapat dari hasil kali elemen diagonal matriks hasil dekomposisi.

1. DETERMINAN
HASIL DEKOMPOSISI DENGAN CARA CROUT
PADA MATRIKS BUJUR SANGKAR
DISUSUN OLEH:
NILA FITRIANA
NIM: 09221044
DOSEN PEMBIMBING: HARTATIANA, M.Pd.
DOSEN PENANGGUNG JAWAB:
AGUSTIANY DUMEVA PUTERI, S.Si. M.Si.
FAKULTAS TARBIYAH
PRODI TADRIS MATEMATIKA 1
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI RADEN FATAH PALEMBANG
TAHUN AJARAN 2012

2. BAB 1
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Matematika merupakan ilmu yang pasti dan konkret, artinya
matematika menjadi ilmu real yang dapat diaplikasikan secara langsung
dalam kehidupan sehari-hari dalam berbagai bentuk. Bahkan tanpa
disadari bahwa ilmu matematika sering diterapkan untuk menyelesaikan
masalah kehidupan. Sehingga matematika merupakan ilmu yang benar-
benar menyatu dalam kehidupan sehari-hari dan mutlak dibutuhkan oleh
setiap manusia, baik untuk dirinya sendiri maupun untuk berinteraksi
dengan sesama manusia.
Pada dasarnya ilmu matematika juga digunakan dalam mempelajari
ilmu apapun, termasuk dalam ilmu kedokteran, mesin, dan tekhnologi
lainnya. Namun ada beberapa cara agar penyelesaian masalah yang ada
dalam setiap kajian ilmu yang digunakan khususnya pada ilmu matematika
yang dipakai oleh semua sumber ilmu, bahkan menjadi dasarnya ilmu
pengetahuan yang diterapkan dari TK sampai perguruan tinggi, menjadi
cara yang lebih mudah dan mencari cara termudah dan gampang namun
hasilnya pun tetap benar dan tidak menyalahi aturan dalam konsep
matematika. Hendaknya cara terbaik dan termudah itulah yang kita
harapkan di dalam menyelesaikan sebuah masalah apapun.
Dalam Matriks, banyak permasalahan yang harus diselesaikan
untuk mencari hasil nilainya, seperti menyelesaikan penjumlahan matriks,
pengurangan matrik, perkalian matriks, transpose matriks, invers matrik
dan determinan matriks, dalam menyelesaikan masalah-masalah tersebut,
banyak cara yang dapat digunakan untuk mencari hasil nilainya, seperti
dalam menyelesaikan determinan matriks, ada beberapa cara /metode yang
dapat digunakan dalam menentukan nilai determinan matriksnya, agar
lebih mudah dalam mencari atau menyelesaikan determinan suatu matriks,

3. metode dekomposisi matriks dapat digunakan untuk mencari atau
menyelesaikan nilai dari determinan matriks secara lebih mudah.
Judul determinan hasil dekomposisi dengan cara crout pada
matriks bujur sangkar diambil karena metode ini adalah salah satu cara
untuk menentukan nilai hasil determinan suatu matriks, adapun beberapa
metode yang telah ada dalam menentukan hasil determian suatu matriks,
namun cara tersebut tidak kurang cocok dan masih terlalu sempit dalam
menentukan nilai hasil determinan matrik pada matriks bujur sangkar
dibandingkan dengan metode dekomposisi dengan menggunakan cara
crout ini.
Dengan menggunakan metode dekomposisi matriks dengan cara crout
akan lebih mudah dan cara terpendek dalam menentukan hasil determinan
suatu matriks.
B. RUMUSAN MASALAH
1. Bagaimana metode dekomposisi matriks dengan menggunakan cara Crout
dalam menentukan determinan matriks dan dapat digunakan oleh semua
jenis matriks?
2. Bagaimana metode dekomposisi matriks dengan menggunakan cara Crout
dalam menentukan determinan dari matriks bujur sangkar menjadi cara
yang mudah?
C. BATASAN MASALAH
Dalam mencari nilai hasil determinan dengan menggunakan metode
dekomposisi matriks dengan cara Crout ini hanya dapat terdefinisi pada
matriks bujur sangkar atau matriks kuadrat.
D. TUJUAN

4. 1. Untuk mengetahui metode dekomposisi matriks dengan menggunakan cara
Crout, apakah menentukan determinan suatu matriks dapat digunakan oleh
semua jenis matriks atau tidak.
2. Untuk mengetahui cara-cara termudah dalam menyelesaikan dan
menentukan nilai determinan suatu matriks dan dapat lebih cepat dalam
mencari nilai determinannya.
E. MANFAAT
1. Bagi Pembahas
Manfaat bagi pembahas materi tentang determinan matriks hasil
dekomposisi cara crout pada matriks bujur sagkar ini yaitu, dapat
menambah pengetahuan yang mengenai beberapa cara atau metode yang
dapat digunakan dalam menentukan determinan dari matriks bujur
sangkar. dengan menggunakan metode dekomposisi matriks cara crout
dalam menentukan determinan,metode ini adalah cara yang lebih mudah,
cepat, dan gampang dalam menentukan nilai dari determinan suatu
matriks.
2. Bagi Pembaca
Manfaat bagi pembaca yaitu, dapat menjadikan metode
dekomposisi matriks dengan cara crout sebagai cara yang paling mudah
dalam menentukan nilai determinan dari suatu matriks.

5. BAB II
PEMBAHASAN
a. Matriks
Definisi Matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang disusun secara khusus
dalam bentuk baris dan kolom sehingga membentuk empat persegi panjang atau
bujur sangkar yang ditulis diantara dua tanda kurung, yaitu ( ) atau [ ].matriks
tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:
dimana
b. Matriks Bujur Sangkar
Matriks bujur sangkar adalah suatu matriks yang banyaknya baris sama
dengan banyaknya kolom, yang dinyatakan dengan , dimana m = n ,
dapat ditulis dengan n x n, Matriks berordo n x n disebut juga
matriks bujur sangkar ordo n.
Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom dinyatakan dengan:
dimana m=n, Maka:

6. Elemen-elemen matriks bujur sangkar:
disebut element diagonal utama, sedangkan
disebut element diagonal kedua.
Dalam hal ini hanya matriks bujur sangkar yang mempunyai elemen diagonal
utama dan elemen diagonal kedua.
Contoh:
c. Dekomposisi Matriks
Definisi Dekomposisi
Dekomposisi matriks adalah mengurai matriks dalam bentuk penjumlahan atau
perkalian beberapa matriks. Dalam hal ini, apabila beberapa matriks hasil
dekomposisi tersebut dijumlahkan atau dikalikan, maka akan kembali lagi pada
bentuk matriks asalnya. Ada beberapa metode dalam mendekomposisikan suatu
matriks, diantaranya adalah metode crout.
Definisi Dekomposisi Matriks
Dekomposisi Matriks adalah transformasi atau modifikasi dari suatu
matriks menjadi matriks segitiga bawah (L) dan/atau matriks segitiga atas (U).
jika A merupakan matriks bujur sangkar, matriks A dapat didekomposisi menjadi
LU, L, atau U.
A=

7. 1. A=LU
dimana:
L=
2. A=L
3. A=U
Dalam mendekomposisi suatu matriks menjadi matriks segitiga bawah (L) dan
atau matriks segitiga atas (U) dapat menggunakan empat metode yaitu: Metode
Crout, Doolittle, Cholesky, dan Eliminasi Gauss.
d. Metode Crout
Metode Crout mendekomposisi suatu matriks untuk memperoleh elemen
diagonal utama matriks segitiga atas (U) bernilai satu dan elemen lainnya bernilai
bebas.

8. e. Determinan Matriks
Definisi Determinan
Determinan adalah susunan bilangan atau simbol yang berbentuk bujur sangkar
dan disajikan di antara dua garis tegak. Determinan sebagai satu kesatuan yang
mewakili suatu nilai dari matriks yang diberikan. Determinan matriks A
dinotasikan dengan atau det (A).
.Jika diketahui matriks bujur sangkar A yang berordo 2 x 2
Maka determinan matriks A didefinisikan sebagai hasil kali elemenelemen yang
berada di diagonal dari kiri atas ke kanan dikurangi dengan hasil kali elemen-
elemen yang berada di diagonal dari kanan atas ke kiri bawah. Secara matematis
bisa ditulis sebagai berikut:
Contoh:
Tentukan determinan matriks A berikut:
Penyelesaian:
Definisi Determinan Matriks
Determinan Matriks adalah bilangan tunggal yang diperoleh dari semua
permutasi elemen matriks bujur sangkar. jika subskrip permutasi elemen
matriks adalah genap (inversi genap) diberi tanda (+) sebaliknya jika subskrip
permutasi elemen matriks adalah ganjil (inverse ganjil) diberi tanda (-). Inversi
terjadi jika bilangan yang lebih besar mendahului bilanga yang lebih kecil dalam
urutan subskrip permutasi elemen matriks.

9. Determinan matriks hanya didefinisikan pada matriks bujur sangkar (matriks
kuadrat).
Notasi determinan matriks A:
det(A)= |A| atau det A= |A|
Jika deketahui matriks A:
Maka determinan dari matriks A:
atau
Ada beberapa metode untuk menentukan determinan dari matriks bujur sangkar,
salah satunya yaitu Metode dekomposisi matriks.
Sifat-sifat Determinan

10. 1) Nilai determinan tidak berubah apabila baris dan kolomnya dipertukarkan.
Jadi,
2) Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, determinan
matriks itu sama dengan nol.
3) Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, kecuali satu unsur,
determinannya sama dengan hasil kali unsur itu dengan kofaktornya.
4) Pertukaran dua baris atau dua kolom sembarang akan mengubah tanda
determinan.
5) Jika semua unsur dalam suatu baris (atau kolom) dikalikan dengan sebuah
bilangan, determinannya juga dikalikan dengan bilangan itu.
6) Jika dua baris (atau kolom) sama atau sebanding, determinannya sama
dengan nol.
7) Jika setiap unsur dalam suatu baris (atau kolom) sebuah determinan
merupakan jumlah dua suku, determinannya dapat dinyatakan sebagai jumlah
dua determinan yang berukuran sama.
8) Jika kita mengalikan unsur-unsur suatu baris (atau kolom) dengan sebuah
bilangan kemudian dijumlahkan dengan unsur-unsur yang bersesuaian
dengan suatu baris (atau kolom) yang lain, nilai determinannya tetap.
9) Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama, maka
10) Jumlah dari hasil kali unsur-unsur dalam suatu baris (atau kolom) dengan
kofaktor-kofaktornya dari baris (atau kolom) lainnya adalah nol. Secara
matematis,
atau , jika
Jika , hasilnya sama dengan
f. Determinan Matriks Hasil Dekomposisi Cara Crout
Menentukan determinan suatu matriks dengan cara matriks tersebut terlebih
dahulu didekomposisi menggunakan metode Crout ( Elemen diagonal matriks L
adalah 1).

11. Determinan matriks A:
det A= indeks baris
atau
det A= , i= indeks baris
contoh:
1. Tentukan determinan matriks berikut:
A=
Solusi:
Tahap 1:
Tahap 2:

12. Tahap 3:
Tahap 4:
Tahap 5:

13. = .
Det A = ( ( 1) =
2. Tentukan determinan matriks berikut:
B=
Solusi:
Tahap 1:
Tahap 2:
Tahap 3:

14. Tahap 4:
Tahap 5:
= .
Det B = (
Contoh matriks 4x4:
A=

15. Tahap 1:
Tahap 2:
Tahap 3:

16. Tahap 4:
Tahap 5:

17. Tahap 6:
Tahap 7:
Det A =

18. PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan adanya beberapa cara atau metode dalam menentukan
nilai hasil determinan suatu matriks, maka dapat disimpulkan bahwa
metode dekomposisi dengan menggunakan cara crout adalah cara
termudah dalam menentukan nilai hasil determinan dari suatu matriks.
Jenis matriks yang dapat diselesaikan dalam determinan suatu matriks
hanya terdefinisi pada matriks bujur sangkar saja, karena dalam
menyelesaikan determinan suatu matriks hanya berlaku pada matriks yang
berordo sama atau dapat disebut dengan matriks pangkat dan bujur
sangkar.
B. Saran
Dari hasil pembahasan pada materi determinan dan cara untuk
menentukan determinan matriks hasil dekomposisi dengan menggunakan
cara crout pada matriks bujur sangkar ini, ada baiknya jika pembaca dapat
lebih menggunakannya dalam menentukan nilai dari hasil determinan.
Karena dengan menggunakan cara crout penyelasaiannya lebih cepat dan
mudah untuk dipahami.

19. DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard, Aljabar Linier Elementer, Jakarta: Erlangga, 1991.
Ruminta, Matriks Persamaan Linier dan Pemrograman Linier, Bandung:
Rekayasa Sains, 2009.
Choiron,Mochammad,Agus,ST.,MT.http://mesin.brawijaya.ac.id/diktat_ajar/data/01_e
_bab3_anum.pdf,Persamaan Aljabar linier serentak.
http://p4tkmatematika.org/downloads/smk/Matriks.pdf

20. DETERMINAN HASIL DEKOMPOSISI DENGAN CARA CROUT
PADA MATRIKS BUJUR SANGKAR
Nila Fitriana1
ABSTRAK
Determinan adalah susunan bilangan atau simbol yang berbentuk bujur
sangkar dan disajikan di antara dua garis tegak. Determinan sebagai satu kesatuan
yang mewakili suatu nilai dari matriks yang diberikan. Determinan Matriks adalah
bilangan tunggal yang diperoleh dari semua permutasi elemen matriks bujur
sangkar. Dekomposisi matriks adalah mengurai matriks dalam bentuk
penjumlahan atau perkalian beberapa matriks. Dalam hal ini, apabila beberapa
matriks hasil dekomposisi tersebut dijumlahkan atau dikalikan, maka akan
kembali lagi pada bentuk matriks asalnya. Ada beberapa metode dalam
mendekomposisikan suatu matriks, diantaranya adalah metode crout. Penyelesaian
determinan hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar dapat
disusun secara bertahap melalui beberapa langkah dan memudahkan cara dalam
menentukan hasil determinannya. Metode Crout mendekomposisi suatu matriks
untuk memperoleh elemen diagonal utama matriks segitiga atas (U) bernilai satu
dan elemen lainnya bernilai bebas.
Kata kunci: Dekomposisi, Segitiga Atas, Metode Crout.
1
Mahasiswa Tadris Matematika 01 Angkatan 2009 IAIN Raden Fatah Palembang