chuyen de tich phan on thi dai hoc

HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG

2013

CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

I. NGUYÊN HÀM
1. Khái niệm nguyên hàm
· Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:
F '( x ) = f ( x ) , "x Î K
· Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
ò f ( x )dx = F ( x ) + C , C Î R.
· Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
· ò f '( x )dx = f ( x ) + C
· ò [ f ( x ) ± g( x )]dx = ò f ( x )dx ± ò g( x )dx
· ò kf ( x )dx = k ò f ( x )dx (k ¹ 0)
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
ax
+ C (0 < a ¹ 1)
ln a
· ò cos xdx = sin x + C

· ò 0dx = C

· ò a x dx =

· ò dx = x + C
· ò xa dx =
·

xa +1
+ C,
a +1

(a ¹ -1)

· ò sin xdx = - cos x + C

1

ò x dx = ln x + C

· ò e x dx = e x + C
1
· ò cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a ¹ 0)
a
1
· ò sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C (a ¹ 0)
a

1

dx = tan x + C
cos2 x
1
· ò
dx = - cot x + C
sin 2 x
1
· ò e ax + b dx = e ax + b + C , (a ¹ 0)
a
1
1
· ò
dx = ln ax + b + C
ax + b
a
·

ò

4. Phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
Nếu ò f (u)du = F (u) + C và u = u( x ) có đạo hàm liên tục thì:

ò f [u( x )] .u '( x )dx = F [u( x )] + C

b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
ò udv = uv - ò vdu

Trang 78

sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com


2013

VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.

Baøi 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f ( x ) = x 2 – 3 x +
d) f ( x ) =

b) f ( x ) =

( x 2 - 1)2

2x4 + 3

c) f ( x ) =

x2

x -1
x2
1

e) f ( x ) = x + 3 x + 4 x

x
2
1

f) f ( x ) =

h) f ( x ) = tan 2 x

x2

g) f ( x ) = 2 sin 2
k) f ( x ) =

1
x

2

i) f ( x ) = cos2 x

3

x

cos 2 x

m) f ( x ) = 2sin 3 x cos 2 x
sin x.cos2 x
æ
e- x ö
n) f ( x ) = e x ( e x – 1)
o) f ( x ) = e x ç 2 +
p) f ( x ) = e3 x +1
÷
2
cos x ø
è
Baøi 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
2

2

sin x.cos x

a) f ( x ) = x 3 - 4 x + 5;
2

3 - 5x
;
x
x3 - 1
e) f (x )=
;
x2
c) f ( x ) =

g) f ( x ) = sin 2 x.cos x;
i) f ( x ) =

l) f ( x ) =

x

-

2

F (1) = 3

b) f ( x ) = 3 - 5 cos x;
2

x +1
;
x

F (e ) = 1

d) f ( x ) =

F(-2) = 0

f) f ( x ) = x x +

æp ö
F 'ç ÷ = 0
è3ø

h) f ( x ) =

F (p ) = 2
F(1) =

1
x

;

3
2

F (1) = -2

3x 4 - 2 x3 + 5

; F (1) = 2
x2
æp ö p
x
k) f ( x ) = sin 2 ; F ç ÷ =
2
è2ø 4

x3 + 3 x2 + 3x - 7

;
F(0) = 8
( x + 1)2
Baøi 3. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
æp ö
a) g( x ) = x cos x + x 2 ; f ( x ) = x sin x;
Fç ÷ =3
è2ø
b) g( x ) = x sin x + x 2 ; f ( x ) = x cos x;

F (p ) = 0

c) g( x ) = x ln x + x 2 ; f ( x ) = ln x;
F(2) = -2
Baøi 4. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
ìF ( x ) = (4 x - 5)e x
ìF ( x ) = tan 4 x + 3 x - 5
ï
ï
a) í
b) í
x
5
3
ï f ( x ) = (4 x - 1)e
ï f ( x ) = 4 tan x + 4 tan x + 3
î
î
ì
ì
æ x2 + 4 ö
x2 - x 2 + 1
ïF ( x ) = ln ç
ïF ( x ) = ln 2
÷
ï
ï
x + x 2 +1
è x2 + 3 ø
c) í
d) í
2
-2 x
ï f ( x) =
ï f ( x ) = 2 2( x - 1)
ï
ï
( x 2 + 4)( x 2 + 3)
x4 + 1
î
î
Trang 79



2013

Baøi 5. Tìm điều kiện để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):

ìF ( x ) = ln x 2 - mx + 5
ï
b) í
. Tìm m.
2x + 3
ï f ( x) = 2
x + 3x + 5
î

ìF ( x ) = mx 3 + (3m + 2) x 2 - 4 x + 3
ï
a) í
. Tìm m.
2
ï f ( x ) = 3 x + 10 x - 4
î

ìF ( x ) = (ax 2 + bx + c) x 2 - 4 x
ìF ( x ) = (ax 2 + bx + c)e x
ï
ï
c) í
. Tìm a, b, c. d) í
. Tìm a, b, c.
x
2
ï f ( x ) = ( x - 3)e
ï f ( x ) = ( x - 2) x - 4 x
î
î
ìF ( x ) = (ax 2 + bx + c)e-2 x
ï
e) í
. Tìm a, b, c.
2
-2 x
ï f ( x ) = -(2 x - 8 x + 7)e
î

ìF ( x ) = (ax 2 + bx + c)e- x
ï
f) í
. Tìm a, b, c.
2
-x
ï f ( x ) = ( x - 3 x + 2)e
î
ìF ( x ) = (ax 2 + bx + c) 2 x - 3
ï
2
h) í f ( x ) = 20 x - 30 x + 7
ï
2x - 3
î
Tìm a, b, c.

ì
b
c
ïF ( x ) = (a + 1)sin x + sin 2 x + sin 3 x
2
3
g) í
ï f ( x ) = cos x
î
Tìm a, b, c.

ò f ( x )dx bằng phương pháp đổi biến số
f(x) = g [u( x )] .u '( x ) thì ta đặt t = u( x ) Þ dt = u '( x )dx .

VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm

· Dạng 1: Nếu f(x) có dạng:

ò f ( x )dx

Khi đó:

= ò g(t )dt ,

trong đó ò g(t )dt dễ dàng tìm được.

Chú ý: Sau khi tính ò g(t )dt theo t, ta phải thay lại t = u(x).

· Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa

Cách đổi biến

x = a cos t ,
x = a tan t ,

a2 - x 2
hoặc

hoặc

p
p
£t£
2
2
0£t £p
-

x = a sin t ,

a2 + x 2
1

x = a cot t,

hoặc

a2 + x 2

-

p
p
<t<
2
2
0<t <p

Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):

dx

a) ò (5 x - 1)10 dx

b)

d) ò (2 x 2 + 1)7 xdx

e) ò ( x 3 + 5)4 x 2 dx

g)

ò

x 2 + 1. xdx

k) ò sin 4 x cos xdx
n)

ò

e x dx
x

e -3

h)

ò

ò

c)

(3 - 2 x )5

3x2
3

5 + 2x
sin x
l) ò
dx
cos5 x
o) ò x .e x

2

+1

dx

dx

Trang 80

f)

ò

i)

ò

5 - 2 x dx

ò

m)
p)

x

dx
x +5
dx
2

x (1 + x )2

ò

ò

tan xdx

e

cos2 x
x

x

dx


ln3 x
dx
r) ò
ò x dx
x
e +1
Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2):
dx
dx
a) ò
b) ò
(1 + x 2 )3
(1 - x 2 )3
d)
g)

dx

ò

x 2 dx

ò

h)

1 - x2

ò

x + x +1

ò

i)

dx

ò

f)

2

ò

c)

e) ò x 2 1 - x 2 .dx

4 - x2

e tan x

s)

q)

òx

cos2 x

2013

dx

1 - x 2 .dx
dx
1 + x2
3

x 2 + 1.dx

VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

ò P( x ).e
u
dv

x

ò P( x ).cos xdx

P(x)
x

e dx

ò P( x ).sin xdx

ò P( x ). ln xdx

P(x)
cos xdx

dx

P(x)
sin xdx

lnx
P(x)dx

Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau:

a) ò x .sin xdx
d) ò ( x 2 + 2 x + 3) cos xdx
g) ò x.e x dx

h)

c) ò ( x 2 + 5)sin xdx

ò x cos xdx
e) ò x sin 2 xdx
b)

q)

3 x2

2

ò x tan xdx
2
ò x ln(1 + x )dx

ò x cos 2 xdx

i) ò ln xdx

ò x e dx
l) ò ln 2 xdx
o) ò x 2 cos2 xdx
r) ò x.2 x dx

k) ò x ln xdx
n)

f)

m) ò ln( x 2 + 1)dx
p) ò x 2 cos 2 xdx
s)

ò x lg xdx


a) ò e

x

dx

b)

ò

ò

a) ò e x .cos xdx

g)

ò

ò

ln(cos x )
2

cos x

dx

(

x ln x + x 2 + 1
2

x +1

f) ò sin 3 xdx

h) ò sin(ln x )dx

i) ò cos(ln x )dx

b) ò e x (1 + tan x + tan2 x )dx

ln(ln x )
dx
x

d)

c) ò sin x dx

x
e) ò x .sin x dx

d) ò cos x dx
g)

ln xdx

c) ò e x .sin 2 xdx

e)

)dx

h)

ò
ò

ln(1 + x )
x

2

f)

ò

x
cos2 x

dx
2

x3
1+ x

dx

2

dx

Trang 81

æ ln x ö
i) ò ç
÷ dx
è x ø


2013

VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ
Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của
các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x).
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:
ìF ( x ) + G( x ) = A( x ) + C1
(*)
í F ( x ) - G ( x ) = B( x ) + C
î
2
Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra F ( x ) =

1
[ A( x ) + B( x )] + C là nguyên hàm của f(x).
2


a)

sin x

ò sin x - cos x dx

b)

cos x

ò sin x - cos x dx
sin 4 x

c)

cos x
d) ò
dx
sin x + cos x

e)

g) ò 2 sin 2 x.sin 2 xdx

h) ò 2 cos2 x.sin 2 xdx

k)

ò

e- x
e x - e- x

dx

l)

ò

ò

sin 4 x + cos 4 x

ex
e x + e- x

dx

f)

sin x

ò sin x + cos x dx
ò

cos4 x

sin 4 x + cos 4 x
ex
i) ò
dx
e x - e- x
e- x
m) ò
dx
e x + e- x

dx

dx

VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1. f(x) là hàm hữu tỉ: f ( x ) =

P( x )
Q( x )

– Nếu bậc của P(x) ³ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.
– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích
f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).
Chẳng hạn:

1
A
B
=
+
( x - a)( x - b) x - a x - b
1
2

( x - m )(ax + bx + c )
1
2

( x - a) ( x - b)

2

=

=

A
Bx + C
+
, vôùi D = b2 - 4 ac < 0
2
x - m ax + bx + c

A
B
C
D
+
+
+
2
x - a ( x - a)
x - b ( x - b )2

2. f(x) là hàm vô tỉ
æ
ax + b ö
+ f(x) = R ç x , m
÷
cx + d ø
è

® đặt

t=m

ax + b
cx + d

æ
ö
1
+ f(x) = R ç
® đặt
t = x+a + x+b
÷
( x + a)( x + b) ø
è
· f(x) là hàm lượng giác
Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản.
Chẳng hạn:
Trang 82



2013

+

sin [( x + a) - ( x + b)]
1
1
=
.
,
sin( x + a).sin( x + b) sin(a - b) sin( x + a).sin( x + b)

+

sin [( x + a) - ( x + b)] æ
1
1
sin(a - b) ö
=
.
, ç söû duïng 1 =
÷
cos( x + a).cos( x + b) sin(a - b) cos( x + a).cos( x + b) è
sin(a - b) ø

æ
sin(a - b) ö
ç söû duïng 1 =
÷
sin(a - b) ø
è

cos [( x + a) - ( x + b)] æ
1
1
cos(a - b) ö
=
.
, ç söû duïng 1 =
÷
sin( x + a).cos( x + b) cos(a - b) sin( x + a).cos( x + b) è
cos(a - b) ø
+ Nếu R(- sin x , cos x ) = - R(sin x , cos x ) thì đặt t = cosx
+

+ Nếu R(sin x, - cos x ) = - R(sin x , cos x ) thì đặt t = sinx
+ Nếu R(- sin x , - cos x ) = - R(sin x , cos x ) thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)

dx
a) ò
x( x + 1)
dx
d) ò
x 2 - 7 x + 10
x
g) ò
dx
( x + 1)(2 x + 1)
dx
k) ò
x ( x 2 + 1)
1
a) ò
dx
1+ x +1
d)

ò

g)

ò

k)

ò3

1
4

x+ x

dx

dx
x + 3 x + 24 x
dx

(2 x + 1)2 - 2 x + 1
a) ò sin 2 x sin 5 xdx
cos 2 x

dx
b) ò
( x + 1)(2 x - 3)
dx
e) ò
x2 - 6x + 9
x
h) ò
dx
2
2 x - 3x - 2
dx
l) ò
1 + x3
b)

ò

e)

ò

h)

ò

l)

ò

x +1
x x -2

x2 + 1
c) ò
dx
x2 - 1
dx
f) ò
x2 - 4
x3
i) ò
dx
x2 - 3x + 2
x
m) ò
dx
x3 - 1
1

dx

c)

ò

dx

f)

ò x( x + 1)dx

i)

ò 3 1+ x

x
3

x- x

1 - x dx
1+ x x
dx
x2 - 5x + 6

b) ò cos x sin 3 xdx
dx

1+ 3 x +1

dx

x

1 - x dx
x

m)

ò

dx
x2 + 6x + 8

c) ò (tan 2 x + tan 4 x )dx
dx

d)

ò 1 + sin x cos x dx

e)

ò 2 sin x + 1

f)

ò cos x

g)

1 - sin x
ò cos x dx

h)

sin3 x
ò cos x dx

i)

ò

k) ò cos x cos 2 x cos3 xdx

l) ò cos3 xdx

Trang 83

dx
æ
pö
cos x cos ç x + ÷
è
4ø

m) ò sin 4 xdx



2013

II. TÍCH PHÂN
1. Khái niệm tích phân
· Cho hàm số f liên tục trên K và a, b Î K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
b

F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là

ò f ( x )dx .
a

b

ò f ( x )dx = F( b) - F (a)
a

· Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
b

b

b

a

a

a

ò f ( x )dx = ò f (t )dt = ò f (u)du = ... = F (b) - F (a)
· Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện
tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng
b

S = ò f ( x )dx

x = a, x = b là:

a

2. Tính chất của tích phân
·

a

ò

f ( x )dx = 0

b

ò

·

a
b

b

b

a

b

a

ò [ f ( x ) ± g( x )]dx = ò f ( x )dx ± ò g( x )dx

· Nếu f(x) ³ 0 trên [a; b] thì

b

a
b

a

· ò kf ( x )dx = k ò f ( x )dx (k: const)

b

a

·

a

a

f ( x )dx = - ò f ( x )dx

·

ò

a

c

b

a

c

f ( x )dx = ò f ( x )dx + ò f ( x )dx

b

ò f ( x )dx ³ 0
a

b

a

· Nếu f(x) ³ g(x) trên [a; b] thì

b

a

ò f ( x )dx ³ ò g( x )dx

3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
b

ò

f [u( x )] .u '( x )dx =

u( b )

ò

f (u)du

u( a )

a

trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác
định trên K, a, b Î K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b Î K thì:
b

b

b

ò udv = uv - ò vdu
a

a

a

Chú ý:
– Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
b

b

a

a

– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho ò vdu dễ tính hơn ò udv .

Trang 84



2013

VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên
hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân:
b

ò f ( x )dx = F( b) - F (a)
a

Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải nắm vững bảng các nguyên hàm và
phép tính vi phân.
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
2

a)

ò (x

3

+ 2 x + 1)dx

1

2

d)
g)

x

dx

ò

2

ò(

x + 1)( x - x + 1) dx

-1 x
2

+2

2

æ
ö
3
b) ò ç x 2 + + e3 x +1 ÷ dx
x
ø
1è

2

ò

ò

-2

4

)

+4
dx
x2

2
ò(x + x

1

)

x + 3 x dx

x2 - 2 x

dx

x3

1

e

l)

ò

1

ò(

)

4

i)

1
2

x -1
dx
x2

ò

c)

e
æ
ö
1 1
f) ò ç x + +
+ x 2 ÷ dx
x x2
ø
1è

2

2

h)

1

k)

(x

-1

e)

2

x + 23 x - 4 4 x dx

1

2 x + 5 - 7x
dx
x

8æ
1
m) ò ç 4 x ç
3
1è
3 x2

ö
÷dx
÷
ø

2

a)

5

x + 1dx

ò

b)

1

x

ò

2

dx

1+ x
0

2

e)

x +2 + x -2

æ
pö
a) ò sin ç 2 x + ÷ dx
è
6ø
0
p
4

tan x .dx

ò

2

cos x

0

p
2

dx

b)

e)

3x2
1+ x

3

dx

p
2

ò (2sin x + 3 cos x + x )dx

p
3
p
3

ò 3tan

p
4
p
2

2

x dx

1 - cos x

0

g)

k)

ò 1 + sin x

ò3
0

p

d)

ò

2

2

d)

dx

ò 1 + cos x dx

p
3

p
2

ò

h)

2

(tan x - cot x )2 dx

l)

p
6

ò

-p
2

2

x +2

0

4

f)

òx

dx

x 2 + 9.dx

0

p
6

ò ( sin 3 x + cos 2 x ) dx

c)

0

f)

i)

p
4

ò (2 cot

p
6
p
2

0

æp
ö
sin ç - x ÷
è4
ø dx
æp
ö
sin ç + x ÷
è4
ø

x

ò

c)

ò sin

2

2

x + 5) dx

x .cos2 xdx

0

m)

p
4

ò cos

4

x dx

0

1 x

a)

ò

e - e- x

x
-x
0e +e

dx

2

b)

ò

( x + 1).dx

2
1 x + x ln x

Trang 85

1 2x

c)

ò

0

e

-4

ex + 2

dx

ln 2

ò

d)

0

g)

p
2

òe

2

dx
e +1
x

cos x

x

4

.sin xdx

h)

0
e

k)

1 x

æ e- x ö
e) ò e ç 1 ÷dx
x ø
è
1

ex

e

ò

x

x

1

1

ln x
ò x dx
1

l)

f)

e

ò

2013

dx

i)

x

e

dx

02

1 + ln x
dx
x

ò

1
1

2

x
ò xe dx

1

ò

m)

x
0 1+ e

0

dx

VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
b

Dạng 1: Giả sử ta cần tính ò g( x )dx .
a

u(b )

a

Nếu viết được g(x) dưới dạng: g( x ) = f [u( x )] .u '( x ) thì

b

u(a )

ò g( x )dx = ò

f (u)du

b

Dạng 2: Giả sử ta cần tính

ò f ( x )dx .

a

Đặt x = x(t) (t Î K) và a, b Î K thoả mãn a = x(a), b = x(b)
b

ò

thì

a

b

b

a

a

( g(t ) = f [ x(t )] .x '(t) )

f ( x )dx = ò f [ x(t )] x '(t )dt = ò g(t )dt

Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa

Cách đổi biến
p
p
x = a sin t ,
- £t£
2
2
x = a cos t ,
0£t £p

a2 - x 2
hoặc

hoặc

a2 + x 2
1
a2 + x 2

x = a cot t,

p
p
<t<
2
2
0<t <p

a
,
sin t
a
x=
,
cos t

é p pù
t Î ê - ; ú {0}
ë 2 2û
ìp ü
t Î [ 0; p ] í ý
î2 þ

x = a tan t ,
hoặc

x=
x 2 - a2
hoặc

-

Baøi 1. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):
1

1

a)

19
ò x(1 - x) dx
1

xdx
2x + 1

ò
0

2 3

g)

ò

5

dx
x x2 + 4

1

c)

e) ò x 1 - x 2 dx

f)

0

d)

x3

dx

b)

ò

0 (1 +
1

x 2 )3

1

0

3

h)

ò
0

x + 2x
5

1+ x2

Trang 86

òx

0
ln 2

3

dx

x5
ò x 2 + 1 dx
0

i)

ò

0

3

1 - x 2 dx
ex

1 + ex

dx


ln 3

e x dx

ò

k)

l)

( e x + 1)3

0
p
2

n)

e

ò
1

p
2

sin 2 x

ò

dx

o)

e

2 + ln x dx
2x

1

p
6

3

cos x. sin x
dx
1 + sin 2 x
0

ò

0

1
2

a)

ò

1- x

3

òx
0

b)

2

0

dx
+3

e)

2

1

2

k)

3

ò

2

ò

h)

x2 + 2 x + 2

-1

4-x

ò (x
0

dx

ò

ò

dx

l)

2

x x -1

2
2

ò

0

2

sin 2 x
dx
x + cos 2 x

2

0

2

x 2 dx

1

2

0

g)

1

dx

0

d)

2

ò 2 sin

p)

cos x + 4 sin x
Baøi 2. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2):
2

1 + 3 ln x ln x
dx
x

ò

m)

2013

4 - x 2 dx

2

1

dx
+ 1)( x 2 + 2)

1

f)

x -1
dx
x3
x2
2

òx

4

0

xdx
+ x2 +1

1

2

1- x

òx

c)

2

i)

dx

ò

(1 + x )

2 5

0

2

dx

2 x - x 2 dx

òx

m)

0

VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
b

x
ò P( x ).e dx
a

u
dv

P(x)
e x dx

b

b

ò P( x ).cos xdx

b

ò P( x ).sin xdx

a

ò P( x ). ln xdx

a

P(x)
cos xdx

a

P(x)
sin xdx

lnx
P(x)dx

p
4

a)

p
2

ò x sin 2 xdx

b)

0

d)

p2
4

x co s

ò

x dx

e)

x
ò xe dx
0

k) ò e 3 x sin 5 xdx

ò x tan

2

xdx

ò x ln xdx
1

p
2

l)

0

cos x
ò e sin 2 xdx
0

3

ln 2 xdx

p)

ln x
dx
2
1 x

ò

òx

2

cos xdx

0

1

f)

ò ( x - 2)e

dx

3

i) ò ln( x 2 - x)dx
2

e

m) ò ln 3 xdx
1

0

q)

ò x (e

2x

-1

e

Trang 87

2x

0

e

e

1

p
3

e

h)

p
2

òx

c)

p
4

ln 2

o)

x) cos xdx

0

0

g)

ò ( x + sin

2p
2


+ 3 x + 1)dx


2013

VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công
thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ.
2

2

a)

ò x - 2 dx

b)

d)

ò

x 2 - 1 dx

ò

x 2 - 6 x + 9dx

-3
4

g)

ò

e)

ò ( x + 2 - x - 2 ) dx

f)

1

ò2

x

- 4 dx

ò

4 - x dx

0
1

3

ò

+ 2 x - 3 dx

0
3

-2

h)

2

òx

c)

0
5

0

3

2

x 2 - x dx

x 3 - 4 x 2 + 4 x dx

i)

0

-1

p

p
2

2p

a)

ò

1 - cos 2 x dx

b)

p

d)

g)

2p

ò

1 - sin xdx

ò

tan 2 x + cot 2 x - 2 dx

-p
p
3

1 - sin 2 x .dx

ò

0
p
3

p
2
p

ò

f)

sin x dx

1 + cos 2xdx

0

cos x cos x - cos3 xdx i)

ò

h)

p
6

1 + cos xdx

ò

e)

ò

c)

0

0

2p

1 + sin xdx

ò

p
2

0

VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ.
3

1

dx
a) ò
3
1 x+ x
1

d)

e)

ò

h)
dx

x2 - 3x + 2
-1

1

d)

ò

1

2
2
0 ( x + 2) ( x + 3)

ò

b)

)

dx

1

x3 + x + 1
dx
ò 2
x +1
0

f)

ò
1

e)

Trang 88

x2

ò

3
0 (3 x + 1)
2

c)

2

dx
(1 + x)

x3 + x + 1
ò x + 1 dx
0

m)

+2
dx
2
x +1

0

dx

(3x

2

1

i)

+ 5x + 6

x3 - 3x + 2
3

dx
ò x 2 - 2x + 2
0

2

òx
1

3 x2 + 3x + 3

2

2

a)

òx
3

l)

f)

(4 x + 11)dx

0

2 x3 - 6 x 2 + 9 x + 9

4

x 2 dx
ò (1 - x )9
2
1

dx
ò x(x - 1)
2
0

k)

x 3 dx
c) ò 2
x + 2x + 1
0

3

x
ò (1 + 2 x )3 dx
0
4

g)

3

dx
b) ò 2
x - 5x + 6
0

dx

x3 + 2x 2 + 4 x + 9
dx
ò
x2 + 4
0
1

ò

x

4
0 1+ x

dx

2

g)

1

ò

x (1 + x 4 )

1
2

k)

1

ò

4 + x2

0

dx

dx

2

h)

1 - x 2008

ò

x (1 + x 2008 )

1
2

l)

1 - x2

ò

1 1+

x4

dx

dx

3

i)

x4

ò

2 (x
1

- 1)2

2 - x4

ò

m)

2

0 1+

x2

2013

dx

dx

VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ.

a)

2
2

1+ x
dx
1- x

ò

0

7
3

b)

1

g)

6

x +1 + x

0

e)
h)

ò

2 2x +1+

ò x+

4x +1

f)

ò 1+
2

x2 +1

dx

l)

i)

0

x -1

x4

ò

x5 + 1

0

3

3
2
ò x x + 1dx

x

1

1

x x 2 + 1dx

x - 2 x -1

5
2

x3

0

2 2

k)

ò

dx

ò

c)

dx

1

dx

ò

3

0

1

4x - 3
d) ò
dx
3x + 1
0 2+

ò

10

x +1
dx
3x + 1

ò

m)

0

0

dx

dx

x5 + x3
1+ x

2

dx

2

2 3

dx

ò

n)

x x2 + 4
a) ò x

2

2

1 + x dx

2

0

2

d)

x + 2008dx

1
1

g)

k)

dx

ò

-1 1 +

2
2

ò

x + x2 + 1
dx

(1 - x 2 )3
a)

cos xdx

ò

7 + cos 2 x

0

d)

p
2

ò

0

6

ò
3

x2 x2 + 1

e) ò x
0
2

h)

1 - cos3 x sin x cos5 xdx

ò

1

l)

0

p
2

x2 + 1

1

2

ò

x x2 - 1

3

b)

dx

ò

o)

5

1

2

3

2
2

ò

0

b)

p
2

3

1

dx

ò

0

dx

ò

c)

(1 + x 2 )3

1

10 - x dx

f)

1 + x 2 dx

ò

0
1

dx

i)

x 2 + 2008

x 3dx

ò

x + x2 + 1

0

5
4

2

x dx

Trang 89

12 x - 4 x 2 - 8dx

1

cos x - cos2 xdx

1 + 3 cos x

ò

m)

1 - x2

sin 2 x + sin x

x x3 + 1

1

c)

0

e)

dx

0

2

ò sin x

p
2

ò

p)

p
2

ò

0

dx

f)

p
3

ò

0

cos xdx
2 + cos2 x
cos xdx
2 + cos 2 x


g)

p
2

ò

0

cos xdx

h)

2

1 + cos x

p
3

ò

p
4

tan x
2

cos x 1 + cos x

dx

i)

2013

p
2 sin 2 x + sin x

ò

1 + 3cos x

0

dx

ln 3

a)

ò

0

ò

ln 2

x ln x + 1

ò

0

e)

1

x (e2 x + 3 x + 1)dx

ò

ln 2

(e x + 1) e x - 1

dx

(e x + 1)3

0

1

h)

e x dx

ò

f)

-1

ex

1 + 3ln x ln x
dx
x

ò

c)

ex + 1

0

dx

e

e2 x dx

0

ln 2 x

ln 3

g)

ò

b)

ex + 1

ln 3

d)

ln 2

dx

ex

ò

e x + e- x

0

dx

ln 2

e x - 1dx

ò

i)

0

VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác.
p
4

a) ò sin 2 x. cos xdx

p
4

b)

0

p
2

d) ò sin xdx
3

g)

ò sin

2

e)

k)

x cos4 xdx

sin x

l)

cos x

o)

0

q)

ò

3

sin x
2

dx

1 + cos x
0

p
2

a)

ò

x + cos x )dx

h) ò sin 2 x cos 3 xdx

3

ò 1 + cos x dx

p
2

3

p

f)

p
2

0

n)

ò (sin

3

i)

1 - cos 3 x sin x cos 5 xdx

r)

p
2

1

ò cos x + 1 dx
0
p
3

dx

ò sin 4 x.cos x

p
6
p
4

ò tan

3

xdx

0

1 + sin 2 x + cos 2 x
dx
sin x + cos x
p

d)

ò cos 2 x(sin
0

4

x + cos 4 x )dx

e)

p
4
0

ò

(tan x + e sin x cos x )dx

Trang 90

4

x cos5 xdx

sin 2 x cos x
dx
1 + cos x
0

ò

m)

p)

p
3

dx

ò sin x.cos3 x

p
4

s)

p
3

ò tan

4

xdx

0
p
3

c)

ò cos x

p
4

6

p
2

ò sin
p
2

p
2

ò

3 xdx

0

0

b)

2

ò cos

0
p
2

0

ò 1 + 3 cos x dx

p
2

p
2

0

0

0
p
2

c) ò sin 2 xdx

0

0

p
2

p

ò tan xdx

p
2

f)

tan x
1 + cos 2 x

dx

ò (1 + sin x ) sin 2 xdx
2

3

0



g)

p
3

ò sin x. ln(cos x )dx

h)

0

p
4

p
3

3

sin x

ò (tan2 x + 1)2 .cos5 x dx
0

1

ò

i)

2013

2
p sin x + 9 cos x

-

2

dx

3


a)

d)

g)

p
2

1

ò sin x dx

p
3
p
2

cos x

ò 1 + cos x dx

0
p
2

1

ò sin x + cos x + 1 dx

k)

(1 - sin x ) cos x

ò (1 + sin x)(2 - cos2 x ) dx

dx

e)

h)

ò 2 - cos x

p
2

cos x

0

b)

0

p
2

p
2

ò 2 - cos x dx

p
2

p
2

0

0

1

ò 2 + sin x dx
0
p
2

sin x - cos x + 1
dx
sin x + 2 cos x + 3

ò

-

l)

c)

p
2

p
3

dx
æ
pö
sin x cos ç x + ÷
è
4ø

ò

p
4

f)

i)

sin x

ò 2 + sin x dx

0
p
4

dx
æ
pö
cos x cos ç x + ÷
è
4ø

ò

0

p
3

ò

m)

p
6

dx
æ
pö
sin x sin ç x + ÷
è
6ø

p
2

a) ò (2 x - 1) cos xdx

p
4

xdx

p
3

x

0

d)

ò 1 + cos 2 x
0

ò cos

p
2

p
2

p
2

ò sin

3

xdx

b)

e)

0
2

g) ò cos(ln x )dx

h)

1

p

k)

n)

2x
2
ò e sin xdx
0
p
2

sin 2 x

òe

sin x cos3 xdx

l)

o)

0

òx

0
p
3

ò

cos xdx

ln(sin x )

ò

p
6
p
4

2

2

cos x

dx

x tan 2 xdx

0
p
4

c)

2

0

f)

i)

x

dx

ò sin 2 x.e

2 x +1

0
p
2

dx

2

xdx

2

xdx

ò (2 x - 1) cos
0

p

ò x sin x cos

m)

0

ò ln(1 + tan x )dx

p
4

p)

0

dx

ò cos

4

0

x

VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit
Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit. Xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
1

e x dx
a) ò
1+ ex
0

ln 2

b)

ò
0

dx
x
e +5

Trang 91

1

c)

ò

0e

1
x

+4


dx

ln 8

d)

ò

ex +1

ln 3

2

g)

1

ò

k)

ln 8

ex

ò

1 1- e
e

-x

dx

ln 3
2 2x

dx

h)

ln x

2
1 x (ln x + 1)

dx

l)

ò

ò

f)

0

e

x
0 e +1
1 -2 x

ò

ln 2

e x + 1.e 2 x dx

ò

e)

1

dx

i)

dx

m)

e

-x
+1
0e

1- ex
dx
1+ ex
e- x

ò

2013

-x
0e
ln 3

dx

+1
1

ò

x

e +1

0

dx

p
2

2

a) ò e x sin xdx

b)

0

p
2

e)

0

g)

ò
e

2

k)

ò

1

ln x
x

2

e

ò x ln (1 + x )dx
e

æ ln x
h) ò ç
+ ln 2
1 è x ln x + 1

dx

l)

p
3

ò

p
6

ln(sin x )
2

cos x

dx

1 + ln 2 x
dx
x

ò

f)

1

0

ln x + ln(ln x )
dx
x

-x

0

1

d) ò (e + cos x ) cos xdx
e

ò xe

c)

0

x

2

1

2x
ò xe dx

ö
x ÷ dx
ø

dx

e3

i)

ln(ln x )
dx
x

ò

e2

1

m)

ò

0

ln( x + 1)
x +1

dx

VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt
Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ

· Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [–a; a] thì
· Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [–a; a] thì

a

ò

f ( x )dx = 0

ò

f ( x )dx = 2 ò f ( x )dx

-a
a
-a

a
0

Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân có
dạng này ta có thể chứng minh như sau:
a
0
a
0
a
æ
ö
Bước 1: Phân tích I = ò f ( x )dx = ò f ( x )dx + ò f ( x )dx ç J = ò f ( x )dx; K = ò f ( x )dx ÷
-a
-a
0
è
-a
0
ø
Bước 2: Tính tích phân J =

0

ò

f ( x )dx bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x.

-a

– Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K
ÞI=J+K=0
– Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K Þ I = J + K = 2K
Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:
a

f ( x)

a

(với a Î R+ và a > 0)
ò x dx = ò f ( x )dx
-a a + 1
0
Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên.
a
0
a
0
a
æ
f ( x)
f ( x)
f ( x)
f ( x)
f ( x) ö
I= ò
dx = ò
dx + ò
dx
çJ = ò
dx; K = ò
dx ÷
ax + 1
ax +1
ax + 1
ax +1
ax + 1 ø
-a
-a
0
è
-a
0
Để tính J ta cũng đặt:
t = –x.
Trang 92


p
2

p
2

0

é pù
Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên ê 0; ú thì
ë 2û

2013

0

ò f (sin x )dx = ò f (cos x )dx

p
-x
2
Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và f (a + b - x ) = f ( x ) hoặc f (a + b - x ) = - f ( x )
thì đặt: t = a + b – x
Đặc biệt, nếu a + b = p
thì đặt
t=p–x
nếu a + b = 2p
thì đặt
t = 2p – x
Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ
Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm
của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x).
Ta thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:
ìF ( x ) + G( x ) = A( x ) + C1
(*)
í F ( x ) - G ( x ) = B( x ) + C
î
2
t=

Để chứng minh tính chất này ta đặt:

Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra F ( x ) =

1
[ A( x ) + B( x )] + C là nguyên hàm của f(x).
2

Baøi 1. Tính các tích phân sau (dạng 1):
p
4

ò

a)

7

5

x - x + x - x +1
cos 4 x

p
4
1

-

ò ln ( x +

d)

g)

-1
p
2

ò

p
2

3

1+ x

sin 5 x
1 + cos x

dx

b)

p
2

(

)

cos x ln x + 1 + x 2 dx c)

ò

p
2
1

-

2

) dx

e)

dx

h)

1
2

ò

-1 x
p
2

ò

p
2

1
2

-

1

x dx
4

f)

- x2 + 1
xdx

i)

2

4 - sin x

æ1- x ö

ò cos x.ln ç 1 + x ÷dx
è
ø

ò

-1
p
2

ò

p
2

x 4 + sin x

dx

x2 +1
x + cos x

4 - sin 2 x

dx

1

a)

x4

p

ò

d)

g)

1

ò x dx
-1 2 + 1
-p
p
2

ò

-

p
2

sin 2 x
x

b)

ò

-1

1+ 2x

1

dx

c)

3

dx

e)

3 +1

sin x sin 3 x cos 5 x
1 + ex

1 - x2

dx

h)

x2 +1
ò31 + 2 x dx
p
4

ò

-

sin 6 x + cos6 x

p
4

6x + 1

f)

dx

i)

dx

ò

x

ò

x

-1 (e
1

+ 1)( x 2 + 1)
dx

-1 (4 + 1)( x
p
2 x 2 sin 2 x

ò

-

p
2

1+ 2x

2

+ 1)

dx

p
2

a) ò

0

n

cos x
cos n x + sin n x

dx (n Î N*)

b)

p
2

7

sin x

ò sin7 x + cos7 x dx
0

Trang 93

c)

p
2

ò

0

sin x
sin x + cos x


dx


d)

p
2

sin

2009

x

ò sin2009 x + cos2009 x

p
2

4

cos x

sin 4 x

0

e)

0

ò cos4 x + sin 4 x dx

p

dx

ò cos4 x + sin 4 x

p
2

2013

p
2

dx

f)

0

p

a)

d)

ò

0 4 - cos
p
4

k)

2

x

dx

b)

ò

0

x + cos x
4 - sin 2 x

2p

ò ln(1 + tan x )dx

0
p

g)

x.sin x

ò

e)

0
p

x

ò 1 + sin x dx

h)

ò sin 4 x ln(1 + tan x )dx

l)

0
p
4

dx

0

p

x .cos3 xdx

0
p

x sin x

i)

0

0

ò

x sin x
2

0 9 + 4 cos x

ò x.sin

f)

ò 2 + cos x dx

p

æ 1 + sin x ö

ò ln ç 1 + cos x ÷dx
è
ø

c)

3

xdx

x sin x

ò

2
0 1 + cos x

dx

p

dx

ò x sin x cos

m)

4

xdx

0


a)

d)

g)

k)

p
2

0
p
2

ò

0
p
2

b)

cos x
dx
sin x + cos x

e)

6

sin x


h)

2
ò 2 cos x.sin 2 xdx

l)

0
p
2

0
1

n)

sin x

ò sin x - cos x dx

ò

ex

x
-x
-1 e + e

p
2

cos x

ò sin x - cos x dx

0
p
2

sin 4 x

ò sin 4 x + cos4 x

0
p
2

0

dx f)


p
2

cos 4 x

ò sin 4 x + cos4 x dx
0

i)

p
2

0
1

ò

x
-x
-1 e - e
1

dx

o)

ex

ò

dx

e- x

x
-x
-1 e + e

sin x

ò sin x + cos x dx

c)

6

cos x

p
2

ò 2sin

2

x.sin 2 xdx

0

1

m)

ò

e- x

x
-x
-1 e - e

dx

dx

VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi
b

Giả sử cần tính tích phân I n = ò f ( x, n)dx (n Î N) phụ thuộc vào số nguyên dương n. Ta
a

thường gặp một số yêu cầu sau:
· Thiết lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn In theo các In-k (1 £ k £ n).
· Chứng minh một công thức truy hồi cho trước.
· Tính một giá trị I n cụ thể nào đó.
0

Baøi 1. Lập công thức truy hồi cho các tích phân sau:

Trang 94


p
2

a) I n = ò sin n xdx

n -1
ì
· Đặt íu = sin x
îdv = sin x .dx

b) I n = ò cos n xdx

n -1
ì
· Đặt íu = cos x
îdv = cos x.dx

0
p
2

0
p
4

c) I n = ò tan n xdx

d) I n =

0
p
2

òx

n

cos x .dx

0

Jn =

p
2

òx

n

sin x.dx

0

1

· Phân tích: tan n x = tan n-2 x ( tan 2 x + 1) - tan n -2 x
n
ì
· Đặt íu = x
îdv = cos x.dx
n
ì
· Đặt íu = x
îdv = sin x .dx

e) I n = ò x n e x dx

ìu = x n
ï
· Đặt í
x
ïdv = e .dx
î

f) I n = ò ln n x.dx

n
ì
· Đặt íu = ln x
îdv = dx

g) I n = ò (1 - x 2 )n dx

· Đặt x = cos t

0
e

1
1
0
1

h) I n = ò

dx

0 (1 +

x 2 )n

· Phân tích
1

Tính J n = ò

1

1

k) I n =

0
p
4

dx

ò cosn x dx
0

=

(1 + x 2 )n
x2

2 n
0 (1 + x )

i) I n = ò x n 1 - x .dx

2n
ì
Đặt íu = sin t
îdv = sin t.dt

®

1 + x2
(1 + x 2 )n

dx .

-

x2
(1 + x 2 )n

ìu = x
ï
x
Đặt í
dv =
dx
ï
(1 + x 2 )n
î

ìu = x n
ï
· Đặt í
ïdv = 1 - x .dx
î

· Phân tích

1
cos n x

=

cos x
cos n+1 x

Trang 95

® Đặt t =

1
cosn +1 x


2013


2013

III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình phẳng
· Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Trục hoành.
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
b

S = ò f ( x ) dx

là:

(1)

a

– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
b

S = ò f ( x ) - g( x ) dx

là:

(2)

a

Chú ý:

· Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:

b

ò

f ( x ) dx =

a

b

ò f ( x )dx
a

· Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới
dấu tích phân. Ta có thể làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm
được 2 nghiệm c, d (c < d).
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:
b

ò

a

c

d

b

f ( x ) dx = ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx
a

c

d

c

b

a

=

d
c

d

ò f ( x )dx + ò f ( x )dx + ò f ( x )dx

(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)
– Đồ thị của x = g(y), x = h(y)
(g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])
– Hai đường thẳng x = c, x = d.
d

S = ò g( y ) - h( y) dy
c

2. Thể tích vật thể
· Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm
các điểm a và b.
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại
điểm có hoành độ x (a £ x £ b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
b

Thể tích của B là:

V = ò S( x )dx
a

· Thể tích của khối tròn xoay:
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)
sinh ra khi quay quanh trục Ox:
Trang 96



2013

b

V = p ò f 2 ( x )dx
a

Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
quay xung quanh trục Oy:
(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d
d

V = p ò g2 ( y )dy

là:

c

VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng
Baøi 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) y = x 2 - 4 x - 5, y = 0, x = -2, x = 4
c) y =

1 + ln x
, y = 0, x = 1, x = e
x

ln x
1
, y = 0, x = , x = e
x
e

b) y =

ln x

d) y =

2 x

, y = 0, x = e, x = 1

1
e) y = ln x, y = 0, x = , x = e
f) y = x 3 , y = 0, x = -2, x = 1
e
x
1
1
g) y =
, y = 0, x = 0, x =
h) y = lg x , y = 0, x = , x = 10
10
2
1- x4
-3 x - 1
a) y =
, y = 0, x = 0
b) y = x , y = 2 - x , y = 0
x -1
c) y = e x , y = 2, x = 1

d) y = x , x + y - 2 = 0, y = 0

e) y = 2 x 2 , y = x 2 - 2 x - 1, y = 2

f) y = x 2 - 4 x + 5, y = -2 x + 4, y = 4 x - 11

g) y = x 2 , y =

x2
27
, y=
27
x

h) y = 2 x 2 , y = x 2 - 4 x - 4, y = 8

i) y 2 = 2 x, 2 x + 2 y + 1 = 0, y = 0
k) y = - x 2 + 6 x - 5, y = - x 2 + 4 x - 3, y = 3 x - 15
1
a) y = x, y = , y = 0, x = e
b) y = sin x - 2 cos x , y = 3, x = 0, x = p
x
c) y = 5 x -2 , y = 0, y = 3 - x , x = 0

d) y = 2 x 2 - 2 x , y = x 2 + 3 x - 6, x = 0, x = 4

e) y = x, y = 0, y = 4 - x

f) y = x 2 - 2 x + 2, y = x 2 + 4 x + 5, y = 1

g) y = x , y = 2 - x , y = 0

h) y =

a) y = 4 - x 2 , y = x 2 - 2 x

b) y = x 2 - 4 x + 3 , y = x + 3

1
-2 x

, y = e- x , x = 1

e

c) y =

1 2
1
x , y = - x2 + 3
4
2

e) y = x , y = 2 - x 2

d) y =

1
1+ x2

,y =

x2
2

f) y = x 2 - 2 x , y = - x 2 + 4 x

Trang 97


g) y =

x2
1
, y=
2
1 + x2

2013

2
h) y = x + 3 + , y = 0
x

i) y = x 2 + 2 x, y = x + 2
k) y = x 2 + 2, y = 4 - x
a) y = x 2 , x = - y 2

b) y 2 + x - 5 = 0, x + y - 3 = 0

c) y 2 - 2 y + x = 0, x + y = 0

d) y 2 = 2 x + 1, y = x - 1

e) y 2 = 2 x, y = x , y = 0, y = 3

f) y = ( x + 1)2 , x = sin py

g) y 2 = 6 x, x 2 + y2 = 16

h) y 2 = (4 - x )3 , y 2 = 4 x

i) x - y3 + 1 = 0, x + y - 1 = 0
k) x 2 + y 2 = 8, y 2 = 2 x
a) y = x.e x ; y = 0; x = -1; x = 2.

b) y = x.ln 2 x; y = 0; x = 1; x = e.

c) y = e x ; y = e- x ; x = 1.

d) y = 5 x -2 ; y = 0; x = 0; y = 3 - x.

e) y = ( x + 1)5 ; y = e x ; x = 1.

1
f) y = ln x , y = 0, x = , x = e
e

g) y = sin x + cos2 x, y = 0, x = 0, x = p h) y = x + sin x; y = x; x = 0; x = 2p.
i) y = x + sin 2 x; y = p; x = 0; x = p.

k) y = sin 2 x + sin x + 1, y = 0, x = 0, x =


a) (C ) : y = x +

p
2

1

, tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3.
2 x2
x2 + 2 x + 1
b) (C ) : y =
, y = 0 , tiệm cận xiên của (C), x = –1 và x = 2
x+2
c) (C ) : y = x 3 - 2 x 2 + 4 x - 3, y = 0 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2.
d) (C ) : y = x 3 - 3 x + 2, x = -1 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = –2.
e) (C ) : y = x 2 - 2 x và các tiếp tuyến với (C) tại O(0; 0) và A(3; 3) trên (C).
VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể
Baøi 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh trục Ox:
p
1
a) y = sin x, y = 0, x = 0, x =
b) y = x 3 - x 2 , y = 0, x = 0, x = 3
4
3
p
c) y = sin 6 x + cos6 x , y = 0, x = 0, x =
d) y = x , y = 0, x = 4
2
e) y = x 3 - 1, y = 0, x = -1, x = 1
g) y =

f) y = x 2 , y = x

x2
x3
, y=
4
8

i) y = sin x , y = cos x, x =

h) y = - x 2 + 4 x , y = x + 2

p
p
,x=
4
2

k) ( x - 2)2 + y 2 = 9, y = 0

l) y = x 2 - 4 x + 6, y = - x 2 - 2 x + 6
m) y = ln x , y = 0, x = 2
quanh trục Oy:
Trang 98


2
a) x = , y = 1, y = 4
y

2013

b) y = x 2 , y = 4

c) y = e x , x = 0, y = e
d) y = x 2 , y = 1, y = 2
quanh:
i) trục Ox
ii) trục Oy
a) y = ( x - 2)2 , y = 4
c) y =

1
2

b) y = x 2 , y = 4 x 2 , y = 4
d) y = 2 x - x 2 , y = 0

, y = 0, x = 0, x = 1

x +1
e) y = x.ln x , y = 0, x = 1, x = e

f) y = x 2 ( x > 0), y = -3 x + 10, y = 1
2

h) ( x – 4 ) + y 2 = 1

g) y = x 2 , y = x
i)

x2 y2
+
=1
9
4

k) y = x - 1, y = 2, y = 0, x = 0

l) x - y 2 = 0, y = 2, x = 0

m) y 2 = x 3 , y = 0, x = 1

Trang 99



2013

IV. ÔN TẬP TÍCH PHÂN
5

2

a)

òx

- x dx

2

2

3

æ x -1 ö
d) ò ç
÷ dx
è x+2ø
-1
1

e)

xdx

ò

0 ( x + 1)
1
3

x

ò

h)

2

dx

2

l)

x +1
0
2

a)

ò 1+
1

ò

5

x -1

x4
3

ò

-1 x
1

x8 - 2 x 4

ò

0 1+

f)
i)

+ 2x + 4

x

3

òx

ò

x +1 + x + 3

f)

1 - x dx

i)

1

0 ( x + 1)

5

o) ò x

1 - x dx

p)

0

2+x + 2-x

1
7
3

x +1

ò 3 3x + 1 dx
0

1

3
2
ò x x + 3 dx
1

2

xdx

ò

òx

m)

0

0

1

3

1 + x dx

òx

1

l)

xdx

ò

-1
2

dx

+ 5x + 2
x2 + 4

0

c)

2

x + 2 x2 + 4 x + 9

m)

2

x -3

-1 3

0 2x
2 3

1

x+5+4

ò

dx

ò

0

2 dx

ò

- 2 x + 1 dx

1

dx

dx

2

2

1

xdx

9

h)

x 3 1 + x 2 dx

ò

k)

e)

dx

x5 + 1

0

2 1+
0

-1
3

x - 2 x -1

ò

ò

b)

dx

dx

2

g)

x7

4

x

10

d)

òx

c)

-3

2

k)

ò ( x + 2 - x - 2 )dx

b)

0

g)

3

x2 + x

ò3

( x + 1)2

0

3

1 - x 2 dx

0

3

x5 + 2x3

0

dx

x2 + 1

ò

q)

dx

2

r) ò x 2 4 - x 2 dx

s)

t)

0

p /4

a)

ò
0

p/ 2

d)

ò

0

p/2

g)

p/2

1 - 2 sin 2 x
dx
1 + sin 2 x

ò

b)

sin 2 x
2

2

cos x + 4 sin x

dx

p/ 4

ò

0
p/2

o)

ò

0

1 + 3cos x

0
p/2

e)

cos 2 x(sin 4 x + cos4 x )dx h)
l)
x

sin 2004 x + cos2004 x

ò

ò

dx

ò

ò

0

tan x
2

cos x 1 + cos x

sin 2 x
dx
cos x + 1

0
p/2

p)

sin 2 x cos x
dx
1 + cos x

ò

c)

cos5 xdx

0
p/2

f)

0

p/3

p/2

x tan 2 x dx
sin

dx

sin x sin 2 x sin 3 x dx

ò

p/ 4

2004

p/2

0

0

k)

ò

sin 2 x + sin x

dx

p

i)

Trang 100

2
0 1 + cos x
p/2

m)
q)

dx

ò

sin x
dx
1 + 3cos x

ò

cos3 x
dx
sin x + 1

0
p/2

3

4 sin x
dx
1 + cos x

x sin x

ò

0


dx


2013

III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
Baøi 1. (TN 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 = 2 x + 1 và y = x – 1 .

ĐS:

S=

Baøi 2. (TN 2003)

16
.
3

x 3 + 3x 2 + 3x - 1
1
biết rằng F(1) = .
2
3
x + 2x + 1
2
2 x - 10 x - 12
2. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y =
và đường
x+2
thẳng y = 0.
1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x ) =

ĐS:

x2
2
13
1) F ( x ) =
+x+
2
x +1 6

2) S = 63 - 16 ln 8 .

p
2

I = ò ( x + sin 2 x ) cos xdx .

Baøi 3. (TN 2005) Tính tích phân:

0

p 2
- .
2 3
Baøi 4. (TN 2006–kpb)
ĐS:

I=

1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = e x , y = 2 và đường thẳng
x = 1.
2. Tính tích phân:

p
2

sin 2 x

ò 4 - cos2 x dx .

I=

0

ĐS:

2) I = ln

1) S = e - 2 ln 2 - 4

Baøi 5. (TN 2006–pb)
ln 5


I=

ò

(e x + 1)e x

ln 2

x

e -1

4
.
3

dx .

1


J = ò (2 x + 1)e x dx .
0

ĐS:

1) I =

26
3

2) J = e + 1.
e

Baøi 6. (TN 2007–kpb) Tính tích phân:

J=

ln 2 x
ò x dx .
1

1
.
3
Baøi 7. (TN 2007–pb)
ĐS:

I=

2


ò

1

2x
x2 + 1

dx .
Trang 131



2013

3

ò 2 x ln xdx .


1

ĐS:

1) J = 2 ( 5 - 2 )

2) K = 9 ln 3 - 4 .
1

Baøi 8. (TN 2007–kpb–lần 2) Tính tích phân:

I=

ò

0

3x2

dx .
x3 + 1

ĐS:
I = ln2.
Baøi 9. (TN 2007–pb–lần 2)
1. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = sin x , y = 0, x = 0, x =

p
. Tính thể
2

tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = - x 2 + 6 x , y = 0 .
ĐS:

p2
4

1) V =

2) S = 36.

Baøi 10. (TN 2008–kpb) Tính tích phân:

1

I = ò (1 + e x ) xdx .
0

3
.
2
Baøi 11. (TN 2008–pb)
ĐS:

I=

1



I=

J=

òx

2

(1 - x 3 )4 dx .

-1
p
2

ò (2 x - 1) cos xdx .
0

ĐS:

1) I =

32
5

2) J = p - 3 .
1

Baøi 12. (TN 2008–kpb–lần 2) Tính tích phân:

I=

ò

3 x + 1dx .

0

14
.
9
Baøi 13. (TN 2008–pb–lần 2)
ĐS:

I=

1


I = ò (4 x + 1)e x dx .
0
2


J = ò (6 x 2 - 4 x + 1)dx .
1

ĐS:

1) I = e + 3


2) J = 9.
p

I=

ò x(1 + cos x )dx .
0

ĐS:

I=

2

p -4
.
2

Trang 132



1

I = ò x 2 ( x - 1)2 dx .
0

1
.
30
ĐS:
ĐS:

I=

Trang 133


2013

ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Baøi 1. (ĐH 2002A) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y = x 2 - 4 x + 3 , y = x + 3.
109
.
6
Baøi 2. (ĐH 2002B) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
ĐS:

S=

y = 4ĐS:

S = 2p +

x2
x2
và y =
.
4
4 2

4
.
3

Baøi 3. (ĐH 2002A–db1) Tính tích phân:

I=

p
2

6

ò

1 - cos3 x .sin x.cos5 xdx .

0

ĐS:

0

I=

ò x (e

2x

+ 3 x + 1 )dx .

-1

ĐS:
Baøi 5. (ĐH 2002B–db2) Tính tích phân:

ln 3

I=

ex

ò

x

(e + 1)

0

3

dx .

.
ĐS:
Baøi 6. (ĐH 2002D–db2) Tính tích phân:

1

I=

x3

dx .
x2 +1
0

ò

ĐS:
Baøi 7. (ĐH 2003A) Tính tích phân:

I =

2 3

ò

x x2 + 4

5

ĐS:

I=

I=

.

1 5
ln .
4 3

Baøi 8. (ĐH 2003B) Tính tích phân:

ĐS:

dx

I =

p
4

1 - 2 sin 2 x
ò 1 + sin 2 x dx.
0

1
ln 2 .
2

Baøi 9. (ĐH 2003D) Tính tích phân:

I =

2

òx

2

- x dx .

0

ĐS:

I = 1.


1

I = ò x 3 1- x 2 dx .
0

ĐS:

Trang 134


2013



I=

p
4

x

ò 1 + cos 2 x dx .
0

ĐS:

ln 5

I=

e2 x

ò

x

e -1

ln 2

dx .

ĐS:
Baøi 13. (ĐH 2003B–db2) Cho hàm số f ( x ) =

f ¢ (0) = -22 và

a
3

( x + 1)

+ bxe x . Tìm a, b biết rằng:

1

ò f ( x )dx = 5 .
0

ĐS:

1

2

I = ò x 3e x dx .
0

ĐS:

e

I=

x2 +1
ò x dx .
1

ĐS:

ĐS:

I=

2

x

I =ò

1 1 + x -1

11
- 4 ln 2 .
3


e

1 + 3ln x ln x
dx .
x

I =ò
1

ĐS:

I=

116
.
135


ĐS:

dx.

3

I = ò ln( x 2 - x )dx.
2

I = 3 ln 3 - 2 .


2

x4 - x +1
I= ò
dx .
2
0 x +4

ĐS:

3

I=

ò

1

1
x + x3

dx .

ĐS:

I=

p
2

òe

cos x

sin 2 xdx .

0

ĐS:

Trang 135


2013


p2

I=

x sin xdx .

ò

0

ĐS:

ln 8

I=

ò

e2 x e x + 1dx .

ln 3

ĐS:

I=

p
2

ò

sin 2 x + sin x
1 + 3 cos x

0

ĐS:

I=

34
.
27


ĐS:

dx .

I=

I = 2 ln 2 - 1 .


I=

p
2

sin 2 x .cos x
dx .
1 + cos x
0

ò

p
2

ò (e

sin x

+ cos x ) cos xdx .

0

ĐS:

I = e+

p
-1.
4


I=

p
3

ò sin

2

x.tan xdx .

0

ĐS:

3
I = ln 2 - .
8


7

I=

0

ĐS:

I=

x+2

ò3

x +1

dx .

231
.
10


e

I = ò x 2 ln xdx .
0

ĐS:

I=

2 3 1
e + .
9
9


I=

p
4

ò (tan x + e

sin x

cos x )dx .

0
1

ĐS:

I = ln 2 + e

2

-1 .

ĐS:

I=

I=

ln 2 x

1


e3

x ln x + 1

ò

dx .

76
.
15
Trang 136


2013



I=

p
2

ò (2 x - 1) cos

2

2013

xdx .

0
2

ĐS:

I=

p
p 1
- - .
8 4 2


I=

p
2

ò

0

ĐS:

I=

2

2

cos x + 4sin x

dx .

2
.
3


ĐS:

sin 2 x

ln 5

I=

1

ò

ln3 e

x

dx .

+ 2e - x - 3

3
I = ln .
2


1

I = ò ( x - 2)e2 x dx .
0

2

ĐS:

I=

5 - 3e
.
4


ĐS:

6

I=

1

ò

2 2x +1+ 4x +1

dx .

3 1
I = ln - .
2 12

Baøi 37. (ĐH 2006A–db2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y = x 2 - x + 3

và đường thẳng d: y = 2 x + 1 .
ĐS:

S=

1
.
6


ĐS:

10

I=

ò

5

I = 2 ln 2 + 1 .

1
x - 2 x -1

dx .

ĐS:

I=

I=

3 - 2 ln x

1


e

x 1 + 2 ln x

ò

dx .

10 2 - 11
.
3


I=

p
2

ò ( x + 1)sin 2 xdx .
0

ĐS:

I=

p
+ 1.
4


2

I = ò ( x - 2) ln xdx .
1

Trang 137



2013

5
- ln 4 .
4
Baøi 42. (ĐH 2007A) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
ĐS:

I=

y = (e + 1) x, y = (1 + e x ) x .
e
-1.
2
Baøi 43. (ĐH 2007B) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y = x ln x , y = 0, x = e . Tính
thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox.
ĐS:

S=

ĐS:

p (5e3 - 2)
V=
.
27


e

I = ò x 3 ln 2 xdx .
1

4

ĐS:

I=

5e - 1
.
32
4


ĐS:

I=

I = 2 + ln 2 .

2x +1

ò

0 1+

2x +1

dx .

Baøi 46. (ĐH 2007A–db2) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: 4 y = x 2 , y = x . Tính

thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox.
128
ĐS:
V=
.
15
Baøi 47. (ĐH 2007B–db1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
x(1 - x )
y = 0, y =
.
x2 + 1
p
1
ĐS:
S = -1 + ln 2 .
4
2
Baøi 48. (ĐH 2007B–db2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y = x2 , y = 2 - x2 .
ĐS:

S=

p 1
+ .
2 3


1

I=

ò

0

ĐS:

x ( x - 1)
x2 - 4

dx .

3
I = 1 + ln 2 - ln 3 .
2


I=

p
2

òx

2

cos xdx .

0
2

ĐS:

I=

p
-2 .
4


I=

p
6

ò

0

tan 4 x
dx .
cos 2 x

Trang 138

ĐS:

I=

1 (
10
ln 2 + 3 ) 2
9 3


I=

æ
pö
sin ç x - ÷
è
4ø
dx .
sin 2 x + 2(1 + sin x + cos x )

p
4

ò

0

ĐS:

I=

4 -3 2
.
4


2

I=

ò

ln x

1

ĐS:

I=

2013

x3

dx .

3 - 2 ln 2
.
16

Baøi 54. (ĐH 2008A–db1) Tính tích phân

p
3

I = ò sin 2 x. tan xdx .
0

ĐS:

3
I = ln 2 - .
8

Baøi 55. (ĐH 2008A–db2) Tính tích phân

7

I =ò

0

ĐS:

I=

x+2
3

x +1

dx .

231
.
10

Baøi 56. (ĐH 2008B–db1) Tính tích phân

e

I = ò x 2 ln xdx .
0

ĐS:

I=

2 3 1
e + .
9
9

Baøi 57. (ĐH 2008B–db2) Tính tích phân

I=

p
4

ò (tgx + e

sin x

cos x )dx .

0
1

ĐS:

I = ln 2 + e

2

-1 .

ĐS:

I=

I=

ln 2 x

1

Baøi 58. (ĐH 2008D–db1) Tính tích phân

e3

x ln x + 1

ò

dx .

76
.
15

Baøi 59. (ĐH 2008D–db2) Tính tích phân

p
2

I = ò ( 2 x - 1) cos2 xdx .
0

2

ĐS:

I=

p
p 1
- - .
8 4 2

Baøi 60. (CĐ 2008) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y = - x 2 + 4 x và

đường thẳng d: y = x .
Trang 139

ĐS:

S=

9
.
2

Baøi 61. (ĐH 2009A) Tính tích phân

I=

p
2

3

ò (cos

x - 1)dx .

0

ĐS:

I=

8 p
- .
15 4

Baøi 62. (ĐH 2009B) Tính tích phân

ĐS:

I=

ò

3 + ln x

2
1 ( x + 1)

dx .

1æ
27 ö
ç 3 + ln ÷ .
4è
16 ø

Baøi 63. (ĐH 2009D) Tính tích phân

ĐS:

3

I=

3

I=

ò

1

1e

x

dx .
-1

I = ln(e2 + e + 1) - 2 .

Baøi 64. (CĐ 2009) Tính tích phân

1

I=

ò (e

-2 x

+ x ) e x dx .

0

ĐS:

1
I = 2- .
e

Baøi 65. (ĐH 2010A) Tính tích phân

1

I=

ò

x 2 + e x + 2 x 2e x
1 + 2e x

0

ĐS:

I=

1 1 1 + 2e
+ ln
.
3 2
3

Baøi 66. (ĐH 2010B) Tính tích phân

e

I=

ò

1

ĐS:

I=

x ( 2 + ln x )

2

dx .

e
æ
3ö
I = ò ç 2 x - ÷ ln xdx .
xø
è
1

e2
-1.
2

Baøi 68. (CĐ 2010) Tính tích phân

ĐS:

ln x

1
3
I = - + ln .
3
2

Baøi 67. (ĐH 2010D) Tính tích phân

ĐS:

dx .

I = 2 – 3ln 2 .

1

I=

2x -1
dx .
x +1
0

ò

.

Trang 140


2013

HOÀNG THÁI VIỆT – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐẠI HỌC ĐÀ NÃNG 2014
Câu 1.A2011

đáp án :
Câu 2. B2011

đáp án :
Câu 3.D2011

đáp án :
Câu 4.A2012

đáp án :
Câu 5.B2012

đáp án :
Câu 6.D2012

đáp án :
Câu 7.A2013

đáp án :
Câu 8.B2013

đáp án :

chuyen de tich phan on thi dai hoc

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (13)

Similar a chuyen de tich phan on thi dai hoc

Similar a chuyen de tich phan on thi dai hoc (20)

Más de Hoàng Thái Việt

Más de Hoàng Thái Việt (20)

chuyen de tich phan on thi dai hoc