1. Магадлалын тусламжтайгаар үнэт цаасны үнийн модыг байгуулах нь
О.Энхбаяр
ШУТИС-ДаТС
bayaraa_23579@yahoo.com
Хураангуй.
Нийтэд арилжаалах замаар бизнесийн үйл ажиллагааг гаднаас
санхүүжүүлэх боломжийг олгож байгаа мөнгөний баримтыг үнэт цаас
гэнэ. Компаний санхүүгийн ажилтан үнэт цаасны зах зээл дээрх өөрийн
үнэт цаасны үнийн өөрчлөлтийг байнга хянах шаардлагатай. Үнэт
цаасны үнийн хэт их хэлбэлзэл нь компаний санхүүгийн эрсдэлийг
ихэсгэн, дампууруулах аюулд хүргэх нөхцөлийг бий болгодог.
Үнэт цаас гаргагч(эмитент) нь үнэт цаасыг эргэлтэд гаргаж,
өөрийн нэрийн өмнөөс өөрийн хөрөнгөөр үүрэг хүлээдэг этгээд юм.
Зөвхөн гаргаж буй үнэт цаас нь зохицуулагч төрийн байгууллага болон
хөрөнгийн биржид албан ёсоор бүртгэгдэж, зөвшөөрөл авдаг байна.
Түлхүүр үг: брокер, хувьцаа,дилер,пүүс
Оршил
Монгол улс тєвлєрсєн тєлєвлєгєєт эдийн засгаас зах зээлийн
эдийн засагт шилжих шилжилтийн тvvхэн vе шатанд нийгэм эдийн
засгийн олон шинэ харилцаа, шинэ байгууллага, шинэ vйлдвэрлэл,
vйлчилгээ vvсч бий болсны нэг нь Монгол улсын Засгийн газрын 1991
оны 01 дvгээр сарын 18-ны єдрийн 13 тоот тогтоолоор Монголын
хєрєнгийн бирж (МХБ) байгуулагдан, ємч хувьчлалын ажлыг эхлvvлсэн
явдал юм. Тэр цагаас хойш 17 жил Монголын хөрөнгийн зах зээл дээр
олон компаниуд бий болж дэлхий нийтэд өөрийгөө таниулж байга. Гэвч
үнэт цаасаар тоглогчид хараахан хөгжиж эхлээгүй байгаа билээ. Миний
энэ илтгэл бол тэдгээр хүмүүс онол, практик хоёрыг хэрхэн чадварлагаар
хослуулж бизнес хийдгийг та бүхэнд ойлгуулахад чиглэгдсэн болно.

2. Үндсэн хэсэг
Зорилго 1. Үнэт цааñны үнийг модыг хэрхэн байгуулах вэ?
Үнэт цаасны үнийн бином модны загварыг байгуулъя.
t=0 хугацаа буюу одоогийн үнэт цаасны үнийг S0 гэе.
t=1 хугацаа буюу ирээдүйн үнэ цэнийг S1 гэвэл S1 нь өснө эсвэл буурна.
Өөрөөр хэлбэл S1 нь өсвөл S0-ийг u, буурвал d гэсэн параметрээр
үржүүлнэ.Үнэ өсөх магадлалыг p гэвэл бидний байгуулах модны загвар
нь:
Su=uS0
S0
Sd=dS0
болно.
Энд үржигдэхүүн u, d-параметр, p-магадлалыг статистик өгөгдлийг
тусламжтайгаар хэрхэн олж болохыг бид авч үзэх болно.S 1-ийн дундаж
үнэ цэнийг E[S1] гэж тэмдэглэвэл энэ нь:
E[S1]=pSu+(1-p)Sd=p*uS0+(1-p)*dS0=(pu+qd)S0
болох бөгөөд pu+qd-ийг үнэт цаасны үнийн хандлага гэж нэрлэдэг.Хэрэв
pu+qd>1 бол үнэ өсөх хандлагатай
pu+qd<1 бол үнэ буурах хандлагатай
pu+qd=1 бол хандлагагүй байх болно.
Үнэт цаасны үнийн модыг цааш үргэлжлүүлэн байгуулбал
Зураг 1
Өртөг
u3 S0
Магадлал
p3
Үржвэр
p3u3S0
u2S0
u2d S0
p 2q
uduS0p2q

3. uS0
uduS0
p 2q
uduS0p2q
ud2S0
p 2q
uduS0p2q
d2uS0
p 2q
uduS0p2q
dudS0
p 2q
uduS0p2q
d2uS0
p 2q
uduS0p2q
d3S0
q3
d3S0q3
udS0
S0
duS0
dS0
2
d S0
Салаа мөчрүүдийн төгсгөл нь тэнцүү байнаа тул тэдгээрийг нийлүүлж нэг
зангилаа болговол
Зураг 2
u3S0
u 2S0
u2dSo
uS0
udS0
S0
ud2S0
dS0
d 2S0
t=0
t=1
t=2
d 3S0
t=3
гэсэн мод байгуулагдлаа. Хугацаа бүр дэхь дундаж үнэ цэнийг
магадлалаар нь олбол:
E[S1]=puS0+(1-p)dS0=(pu+qd)S0
2 2
2 2
2
E[S2]=p u S0+2udpqS0+q d S0=(pu+qd) S0
(1)
3
E[S3]=(pu+qd) S0
….
n
E[Sn]=(pu+qd) S0
гэж олдож
байна.
Одоо асуудлыг буцааж тавья. Өөрөөр хэлбэл модны салаа мэдэгдэж байхад
мөчрийн төгсгөл эхлэлийг яаж олох вэ? гэдгийг авч үзье. Үүний тулд нэг
мөчрийг сонгож тооцооллыг хийе.
Зураг 3
a
q

4. x
1-q
b
гэсэн мөчир дээр x=p*a+q*b гэж олдох бөгөөд үүнийг гинжин хэлхээний дүрэм
гэнэ. Энэ дүрмийг
Зураг 4
u3S0
u2dSo
ud2S0
d3S0
t=0
t=1
t=2
t=3
гэсэн модон дээр бичвэл:
Зураг 5
u3S0
pu3S0+qdu2S0
u2dSo
pdu2S0+qd2uS0
ud2S0
pud2S0+qd3dS0
d3S0
t=0
t=1
t=2
t=3
гэх мэтчилэн өнөөдрийн үнэ цэнийг тодорхойлох боломжтой.
Зорилго 2. Худалдан авагчийн үнэт цаасны үнэ.
1. Үнэт цааны загварыг байгуулна. Жишээлбэл:S0=100; u=1.1; d=0.9;
r=0.005; p=0.85 үед t=3 үедэх үнэт цааны үнийн модны загварыг
байгуулбал:
Зураг 6

5. Үнэт цаасны үнийн мод
S=
100
u=
1.1
d=
0.9
p=
t=0
0.85
t=1
t=2
t=3
133.1
121
110
108.9
100
99
90
89.1
81
72.9
Математик
дундаж
E[S n ]
100
107
114.4
122.504
9
3
болно.
2. Опционы үнийн модыг байгуулна. Тохиролцсон үнэ 105 байхад t=3
үеийн үнэ цэнийг тавибал :
Зураг 7
Үнэт цаас худалдан авагчийн үнийн мод
S 3=
133.1
S 3=
108.9
S 3=
89.1
S 3=
72.9
u=
1.1
d=
0.9
X=
105
r=
0.05
µ=
1
q=
0.7563475
7
t=0
t=1
t=2
t=3
28.1
3.9
0
0

6. Энэ модыг гинжин хэлхээний дүрмээр цааш үргэлжлүүлэн бодвол:
Зураг 8
Үнэт цаас худалдан авагчийн үнийн мод
S 3=
133.1
S 3=
108.9
S 3=
89.1
S 3=
72.9
u=
1.1
d=
0.9
X=
105
r=
0.05
µ=
1
q=
t=0
t=1
t=2
t=3
28.1
21.12076
15.84589
11.86838
3.9
2.80590
2.01873
0
0.00000
0.7563475
0
7
E[S k ]=
11.86838
12.47687
13.11655
13.78903
гарна. Энэ модыг тайлбарлая. Үүнд бидний мөчрийн үнийн магадлал:
e rµ S0 − Sd e rµ − d
q=
=
Su − Sd
u−d
(2) томъёогоор өгөгдөх тул өгөгдсөн жишээн дээр q=0.7564 болно.
-rµ
Гинжин хэлхээний дүрэм ёсоор x=e (qa+(1-q)b) гарган авч болно. Энэ
томъёогоор зангилаануудыг боож олсон. Үүний үр дүнд үнэ нь 11,40
гарна.
Зорилго 3. Статистик өгөгдлөөр модыг байгуулж ирээдүйн үнэ
цэнийг тодорхойлох нь

7. Үнэт цаасны үнийн параметрийг олох асуудлыг авч үзье.
Математик загварчлал нь одоо болон ирээдүйг зөгнөж ойлгоход
зориулагдсан байдаг. Хэрхэн u,d-г олох вэ? Дараах тэмдэглэгээг хийе. ∆tбогино хугацаа, S-санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэвэл:
1 n
1 n
µ∆t =  = ∑ ( x k − 1) = ∑ ( S k / S k −1 − 1)
n k =1
n k =1

1 n
S =
( S k / S k −1 − 1) 2 − n  2 
∑
n − 1  k =1


2
σ ∆t = s
u = 1 + µ∆t + σ ∆t = 1 +  + s
d = 1 + µ∆t − σ ∆t = 1 +  − s
Энэ u,d-г Microsoft Excel програмаар бодож үнэт цаасны модны
загварыг байгуулна. Тухайлбал, Х.4-нөөс Х.18-ны хоорондох үнэт цаасны
үнэ ханшийг авч модыг байгуулбал:
Зураг 9.
Сар,
ҮЦ-ны
өдөр
үнэ ханш
III.06
29.56
1.0191137
III.07
30.125
0.9480498
III.08
28.56
0.9628852
III.09
27.5
1.0227273
III.10
28.125
0.9756444
III.11
27.44
0.9861516
III.12
27.06
1.0024021
III.13
27.125
1.0368664
III.14
28.125
0.9934222
III.15
27.94
0.9753042
III.16
27.25
0
Харьцаа
Дундаж
0.9922567
Медиан
0.9897869
Мод
#VALUE!
Стандарт хазайлт
0.0282088

8. Max
1.0368664
Min
0.9480498
1
∆t
1
2
p
0.5
3
U
-0.007743
4
µ
-0.007743
5
σ
0.0282088
6
u
1.0204655
7
d
0.9640479
31.76014
31.1231
9
30.4990
29.8873
29.4025
5
1
29.2879
28.8128
6
4
28.34543
28.2350
27.7769
0
28.70059
6
27.6687
27.2198
4
28.125
30.00425
1
9
26.77832
26.6739
27.2198
9
27.11385
9
26.1390
25.7150
5
1
25.29785
25.1992
24.7905
9
0
24.2933
23.89923
2
23.4199
3
22.57793
t=0
E[S]
t=1
t=2
t=3
t=4
t=5
t=6
28.125
27.90721
27.6911
27.4767
27.2639
27.0528
26.8434

9. 9
2
4
3
Тайлбар: Хүснэгтээс харахад үнэт цаасны ханшийн мэдээ өгөгдсөнөөр
үнэт цаас ирээдүйд ямар хандлагатай байх вэ? гэдгийг харж болно.
Манай жишээн
дээр буурах хандлагатай байгаа тул энэ үнэт цаасыг худалдан авах
шаардлагагүй юм.
Дүгнэлт
Монгол Улсын хөрөнгийн бирж үнэт цаасны үнэ ханшаар ирээдүйн
үнэт цаасны үнэ цэнийг тодорхойлох аргыг хэрэглэдэггүй бөгөөд брокер
дилерийн компаниуд ч энэхүү тооцоог төдийлөн ашигладаггүй болно.
Иймд энэхүү аргыг хэрэглэснээр дараах давуу талуудтай.Үүнд:
1. Үнэт цаасны үнэ нь ирээдүйд хэрхэн өөрчлөгдөж болохыг модны
тусламжтайгаар харж болно.
2. Үнэт цаасны ирээдүйн үнэ цэнийг ямар ч хугацаагаар тодорхойлж
болно.
3. Үнэт цаасны борлуулалтаас олох орлогыг урьдчилан тооцоолж
болно.
4. Эрсдэлээс
хамгаалж,
даатгуулах
шаардлагатай
эсэхэд
дүн
шинжилгээ хийх боломжтой.
5. Microsoft Excel программ дээр бодох боломжтой тул ашиглахад
хялбар, хүн бүхэнд ойлгомжтой байна.
6. Үнэт цаасыг худалдаж авах эсэхэд шийдвэр гаргахад тусална.
Ном зүй:
1. www.mse.mn (Mongolian Stock Exchange/Монголын Хөрөнгийн
Бирж)

10. 2. Ж.Ядамсүрэн. “Үнэт цаас” Улаанбаатар 2000 он
3. Victor Goodman “The Mathematics of Finance” 2001, England
4. Удирдлагын академи “Менежерийн эдийн засаг” 2007 он, УБ
5. Жавзмаа “Санхүүгийн бүртгэл” УБ
6. Т.Ёндон “Удирдлагын бүртгэл” 2007 он, УБ
7. Четыркин Е.М “Финансовая математика” 2001 год, Москва
8. Ж.Ядамсүрэн “Үнэт цааны зах зээл” Улаанбаатар 2001 он
9. Ж.Ядамсүрэн “Үнэт цаасны хөгжингүй зах зээл” Улаанбаатар 1999
он
Зохиогчийн тухай:
Оюунгэрэл овогтой Энхбаяр яс үндэс халх, 1987 оны 06-р сарын 20-нд Дархан
Уул аймагт төрж Дархан Уул аймгийн ерөнхий боловсролын МБШГСургалттай “Оюуны
Ирээдүй” цогцолборыг төгссөн. 2005 онд ШУТИС-ийн Дархан Технологийн Сургуулийн
Санхүү Удирдлага ангид элсэн ороод 3 дахь жилдээ 3.6 дүнгийн голчтойгоор амжилттай
суралцаж байна. Санүүгийн менежмент, үнэт цаас, хувьцааны чиглэлээр судалгааны
ажил
хийдэг.
Н.Дэлгэрмаа.
Удирдсан
ШУТИС-ийн
ДаТС-ийн
Математикийн
багш
магистр