HLM階層線性模型基礎班-三星統計張偉豪

1. http://www.semsoeasy.com.tw/ 1 HLM生存指南-理論與實務應用張偉豪三星統計服務有限公司執行長 SEM 亞洲一哥版本:20150902 三星課程網

2. Outline • HLM到底在做什麼? • 故事從ANOVA開始 • What is Hierarchical Linear Modeling • HLM的估計模型 • 進入HLM分析的世界 – HLM資料檔製作 – ICC, Reliability, rwg(j) – 報表解讀 http://www.semsoeasy.com.tw/ 2

3. HLM到底在做什麼? • SPSS VS. HLM兩種資料型態 – 樣本獨立 (cross-section) – 樣本不獨立 (longitudinal, panel data) • 掛在嘴上的兩句話 – 巢狀結構 – 非巢狀結構 http://www.semsoeasy.com.tw/ 3

4. HLM到底在做什麼? • HLM就只是兩組迴歸分析而已! – Disaggregate level regression (個體) – Aggregate level regression (群體) • 弄懂兩個重要的名詞 – 固定效果 (Fixed effect) – 隨機效果 (Random effect) http://www.semsoeasy.com.tw/ 4

5. HLM到底在做什麼? • 計算兩種變異 – 組內變異 (between variance) – 組間變異 (within variance) • 估計兩個參數 – 截距(平均數)(ANOVA) – 斜率(干擾(調節)效果分析) http://www.semsoeasy.com.tw/ 5

6. HLM到底在做什麼? • 只看兩張表格 – Estimation of Fix Effect – Estimation of Variance Components • 計算兩個重要指標 – ICC (1) (Intra Correlation Coefficient) – Rwg(j) (Interrater agreement) http://www.semsoeasy.com.tw/ 6

7. HLM到底在做什麼? • 自變數平減(Mean center)兩種方法 – Group mean center (組平減) – Grand mean center (總平減) • 內生變數(Y)變異數的分解 – 可解釋變異 (R2) (Level1 and Level 2) – 不可解釋變異 (殘差) http://www.semsoeasy.com.tw/ 7

8. HLM是如何進行分析? •個人層次執行迴歸分析 •檢查估計參數的變異數是否跨群組有差異 •使用群組變數去解釋個人層次估計參數的變異數 •估計不同層級之間的主效果及交互作用 http://www.semsoeasy.com.tw/ 8

9. 故事從ANOVA開始 http://www.semsoeasy.com.tw/ 9 μ1 μ2 μ3 μ=(μ1+μ2+μ3)/3

10. 故事從ANOVA開始 http://www.semsoeasy.com.tw/ 10

11. 故事從ANOVA開始 group1 group2 group3 總平均 1 6 12 18 2 2 8 14 組平均 4 10 16 10 http://www.semsoeasy.com.tw/ 11 組間變異(τ00)=[(4-10)2+(10-10)2+(16-10)2]/3=24 組內變異(σ2)=[(6-4)2+(2-4)2+(12-10)2+(8-10)2+ (18-16)2+(14-16)2]/6=4 總變異=[(6-10)2+(2-10)2+(12-10)2+(8-10)2+ (18-10)2+(14-10)2]/6=28 組間變異佔總變異比例(ρ=τ00 /(τ00 +σ2 ))= 24/28≈86% 表示群組之間的差異可解釋全部變異約86%

12. What is HLM? • 在研究領域中有許多的資料是巢狀結構 – 學生巢形(包含)於教授之下,教授巢形學校之下 – 病患巢形於醫生之下,醫生巢形於醫院之下 – 果樹巢形於果園之下,果園巢形於產地之下 – 員工巢形於公司之下,公司巢形於產業之下 – 兒童巢形於家庭之下,家庭巢形於社區之下 – 人民巢形於城市之下,城市巢形於國家之下 – 重複實驗巢形於個人之下 – 校外實習生巢形於公司經理之下 – 連續10年財務指標巢形於公司之下 • 重點是以上的個體樣本資料都不獨立 http://www.semsoeasy.com.tw/ 12

13. 13 What is HLM •了解了吧! 但是到底 … – Two levels HLM 模型分析是如何? –從概念模型來看 • Step 1 –分別估計每個群體的迴歸方程式 –進行群組間的描述性分析 (intercept and slopes的平均數及變異數) • Step 2 –將步驟1求得的截距與斜率當作結果變數與LEVEL2的變數進行迴歸分析 –從數學上來講,並不是真的分成兩個階段,但這種講法有助於理解HLM是怎麼一回事

14. 14 What is HLM Level 1: 每一群各自的迴歸值(斜率) Level 2: •群組變數預測的截距變異數(每個樣本有不同的截距) •群組變數預測的斜率變異數(每個樣本有不同的斜率) Yij Xij

15. 15 What is HLM •有些人就是喜歡看方程式… •多層次模型的二階段方法 – Level 1: 估計各群組組內的關係 – Level 2: 群組變數估計 level-1的參數,包括截距與斜率 (intercepts & slopes) Level 1: Yij = ß0j + ß1j Xij + rij Level 2: ß0j =  00 +  01 (Groupj) + U0j ß1j =  10 +  11 (Groupj) + U1j { j 小標表示參數跨群不同}

16. 16 What is HLM •利用一個簡單的例子說明 – Individual variables (Level 1) •學生學習成績(DV) •學生參與程度(IV) – Group variable (Level 2) •老師教學技巧

17. What is HLM • Hypotheses –學生參與程度正向顯著影響學生學習成績 –老師教學技巧正向顯著影響學生學習成績在學生參與程度控制的情形之下 •平均而言,老師的教學技巧愈好,學生的學習成績愈好 –教學技巧調節學生參與學習成績之間的關係 •教學技巧較好時學生參與對學習成績的影響會大於教學技巧較差時學生參與對學習成績的影響 •老師不同的教學技巧,學生參與學習成績會有不同的斜率 http://www.semsoeasy.com.tw/ 17

18. 18 What is HLM •整體而言,學生參與與學習成績呈現正相關 (跨群組的平均迴歸值) •教師有好的教學技巧,學習成績會高於較差的教學技巧 (平均截距 green/solid vs.red/dotted line) •好的教學技巧會使得學生參與對學習成績優於較差教學技巧 (平均斜率) 學習成績學生參與好的教學技巧差的教學技巧

19. 19 What is HLM •再度給喜歡看方程式的人… Level 1: 學習成績ij = ß0j + ß1j (學生參與ij) + rij Level 2: ß0j =  00 +  01 (教學技巧j) + U0j ß1j =  10 +  11 (教學技巧j) + U1j

20. HLM formal notation • Yij=j群中第i個人的內生變數的值 • Β0j=level 1隨機截距 • Β1j=level 1隨機斜率 • Xij=level 1預測變數在j群中第i個人的值 • rij=level 1殘差變異數(可能含自變數) • σ2 ij=level 1殘差變異數(截距模型的組內變異σ2 W) • γ00=level 2隨機截距的總平均截距 • γ01=level 2隨機截距的斜率 • γ10=level 2隨機斜率的截距 • γ11=level 2隨機斜率的斜率 http://www.semsoeasy.com.tw/ 20

21. HLM formal notation • Wj=level 2預測變數的值 • μ0j=level 2隨機截距的殘差(可能含自變數) • μ1j=level 2隨機斜率的殘差 • σ2 0j=level 2隨機截距的殘差 (截距模型的組間變異σ2 B) • σ2 1j=level 2隨機斜率的殘差 • τ01=level 2隨機截距與斜率的共變異數 • ρ=ICC (Intraclass Correlation Coefficient) = σ2 B/(σ2 W+ σ2 B) http://www.semsoeasy.com.tw/ 21

22. 層級(Levels, classifications)及單位(units) • 層級(學校,區域,組織)是由許多不獨立的單位所組成(學生,社區居民,公司員工) • classification and level兩個名詞可以互換,但是level隱含有巢形結構的意義,而 classification沒有 http://www.semsoeasy.com.tw/ 22

23. 23 levels • Level-1 變數: –巢形於群組(group)下的變數,一般是個人 (或個人底下的重複測量的次數) •依(結果)變數永遠都在第一層 • Level-2 變數: –這些變數是位於較高層次的變數 • group level (老師的經驗,學校教材) • individuals (重複量數實驗)

24. Two-level hierarchical structures • 學生巢形於學校之下 • 每個學校隨機抽樣幾個學生 http://www.semsoeasy.com.tw/ 24 Students St1 St2 St3 St1 St2 St1 St2 St3 St1 St2 St3 St4 Schools Sc1 Sc2 Sc3 Sc4 Schools Students

25. 資料類型 levels 應變數自變數學生i 學校j 學生測驗分數Yij 學生前測分數Xij 學生性別Gij 學校類型Sj 1 1 75 56 M 公立 2 1 71 45 M 公立 3 1 91 72 F 公立 1 2 68 49 F 私立 2 2 37 36 M 私立 3 2 67 56 M 私立 1 3 82 76 F 公立 http://www.semsoeasy.com.tw/ 25 1.男生成績是否比女生成績高一些?(截距) 2.性別效果是否跨學校不同? 3.男生與女生在學業進步是否不一樣? (斜率) 4.學校不同對學生學業進步是否不一樣? 5.某特定學校的影響效果是否與其它學校不一樣? 6.學生在私立學校進度是否比公立學校多? 這些答案要由HLM分析來解答

26. Repeated Measures data http://www.semsoeasy.com.tw/ 26 levels 應變數自變數學生i 學校j 學生測驗分數Yij 學生前測分數Xij 學生性別Gij 學校類型Sj 1 1 75 56 M 公立 2 1 71 45 M 公立 3 1 91 72 F 公立 1 2 68 49 F 私立 2 2 37 36 M 私立 3 2 67 56 M 私立 1 3 82 76 F 公立在上一例子中我們可以利用學生前測成績來預測現今的學習成效另外,資料中顯示1個學生有兩次的測驗成績,我們也可以將之視為第1層,而學生為第2層,學校為第3層

27. 重複量數結構圖示 P1 P2 P3 ..... O1 O2 O3 O4 O1 O2 O1 O2 O3 Person Measurement 一行代表1個人重複次數要以直的方式建檔 Person m1 m2 m2 Gender 1 75 85 95 F 2 82 91 * M 3 88 93 96 F levels Response measurement I Person J Heightij Genderj 0 1 75 F 1 1 85 F 2 1 95 F 0 2 82 M 1 2 91 M 0 3 88 F 1 3 93 F 2 3 96 F

28. 虛擬的資料範例 http://www.semsoeasy.com.tw/ 28 整合前(不考慮群組影響) 整合後(考慮群組影響)

29. 不考慮群組影響迴歸分析 http://www.semsoeasy.com.tw/ 29 Y= 5.333- .333X+ error

30. Y= 5.333- .333X+ error http://www.semsoeasy.com.tw/ 30 This is an example of a disaggregated analysis β0 β1

31. 考慮群組影響迴歸分析 http://www.semsoeasy.com.tw/ 31 Y=8.00- 1.00X+ error

32. Y=8.00- 1.00X+ error • X對Y有負向的影響,X每增加1單位,Y會下降1個單位 http://www.semsoeasy.com.tw/ 32 β0 β1 This is an example of a aggregated analysis

33. 如果分別考慮群組內的迴歸 http://www.semsoeasy.com.tw/ 33Yij = Yj +1.00(Xij − 𝑋j ) + rij

34. http://www.semsoeasy.com.tw/ 34 Between group regressions Total regression Within group regressions

35. Why Is Multilevel Analysis Needed? • 巢形結構使得樣本資料不獨立 – 樣本相依違反了傳統的統計假設 (殘差獨立及迴歸斜率同質) – 相依資料導致統計估計偏誤 • 了解不同群間所造成的變異就變得很重要 http://www.semsoeasy.com.tw/ 35

36. Sample size requirements • Kreft (1996) proposes a general 30/30 rule, in which there are 30 groups and 30 observations per group. • Hox (1998) suggests a minimum ratio of 50/20 rule, in order to test cross-level interactions. • Hox (1998) also suggests a minimum ratio of 100/10 to test random effects. http://www.semsoeasy.com.tw/ 36 Hox,J.(1998). Multilevel modeling: When and why. In R.Mathar & M. Schader, Classification, data analysis, and data highways. Berlin, Germany: Springer-Verlag. Kreft, I.G.G. (1996). Are multilevel techniques necessary? An overview, including simulation studies. Unpublished manuscript, California State University, Los Angeles, CA.

37. 37 HLM的估計模型

38. Variables in HLM Models • 結果變數(Outcome variables, Y) • 預測變數(Predictors, X) – 控制變數(Control variables) – 解釋變數(Explanatory variables) • 群組層次預測變數 (Variables at higher levels, W) – Global variables (只在二階存在的變數) – Shared variables (由一階整合到二階) – 脈絡變數(Contextual variables) http://www.semsoeasy.com.tw/ 38

39. 39 HLM的估計模型 HLM常見的定義: –隨機效果(Random coefficients/effects) • Coefficients/effects 假設跨群組不同 –組內截距(截距變異數); 組內斜率(斜率變異數); Level 2 殘差 –固定效果(Fixed effects) •效果跨群組不變 – Level 2 截距(總平均), Level 2 斜率 Level 1: 學習成績ij = ß0j + ß1j (學生參與) + rij Level 2: ß0j =  00 +  01(教學技巧) + U0j ß1j =  10

40. 40 random and fixed effect •固定效果:估計參數具有跨群組的不變性 – e.g., 截距及跨第二層的斜率 •隨機效果:估計參數會隨著群組不同而不同 – level-1 及 level-2 的誤差項 –模型中可以用其它的自變數來解釋這些變異的存在 •學校是從眾多學校中隨機抽出,學生也是從學校中隨機抽出,因此會有隨機效果 •性別及學校類型只有有限的分類,因此不會有隨機效果

41. 41 HLM的估計模型 • HLM提供: – Level-2 parameters (intercepts, slopes) – Variance of Level-2 residuals – Level 1 parameters (intercepts, slopes) – Variance of Level-1 residuals – Covariance of Level-2 residuals • Statistical tests: – t-test for parameter estimates (Level-2, fixed effects) – Chi-Square for variance components (Level-2, random effects)

42. HLM的估計模型 • 簡單範例的假設 –學生參與程度正向影響學生學習成績 –老師教學技巧正向影響學生學習成績在學生參與程度控制的情形下 •平均而言,教師教學技巧愈好,學生的學習成績會愈好,在學生參與程度維持不變的情形下 –教學技巧調節學生參與學習成績的關係 •教學技巧好的老師其學生參與學習成績的影響會大於教學技巧較差者 http://www.semsoeasy.com.tw/ 42

43. 43 HLM的估計模型 •必要條件 – 學習成績需具有一定的組內及組間變異 – level-1 的平均斜率要顯著不為0 (H1) – level-1 截距變異數要有顯著差異 (H2) – 截距變異數要與教學技巧顯著相關 (H2) – level-1 斜率變異數要有顯著差異 (H3) – 斜率變異數要與教學技巧顯著相關 (H3)

44. 44 HLM的估計模型 • 整體而言, 學生參與和學習成績為正相關(跨所有群組的平均迴歸線) • 整體而言, 好的教學技巧有比較好旳學習成績 (average intercept green/solid vs. mean red/dotted line) • 好的教學技巧的平均斜率比差的教學技巧要高學習成績學生參與 High 教學技巧 Low 教學技巧

45. 45 HLM的估計模型 • One-way ANOVA - no Level-1 or Level-2 predictors (null) Level 1: 學習成績ij = ß0j + rij Level 2: ß0j =  00 + U0j • where: ß0j = 各(j)群平均學習成績  00 = 所有學生的學習成績總平均 Var ( rij ) = 2 = 學習成績的組內變異 Var ( U0j ) = 學習成績的組間變異 Var (學習成績 ij ) = Var ( U0j + rij ) =  + 2 ICC1 =  / ( + 2 )

46. 46 HLM的估計模型 • Random coefficient regression model –新增學生參與到 Level-1 model ( no Level-2 predictors) Level 1: 學習成績ij = ß0j + ß1j (學生參與ij) + rij Level 2: ß0j =  00 + U0j ß1j =  10 + U1j  00 = 截距的平均數(pooled) (t-test)  10 = 斜率的平均數(pooled) (t-test; H1) Var ( rij ) = 2 = Level-1 殘差變異數(組內變異) (H1) Var ( U0j ) =   截距的變異數 (related H2) Var (U1j ) = 斜率的變異數 (related H3)

47. 47 HLM的估計模型 • Intercepts-as-outcomes - model Level-2 intercept (H2) –增加教學技巧 to intercept model Level 1: 學習成績ij = ß0j + ß1j (學生參與ij) + rij Level 2: ß0j =  00 +  01 (教學技巧j) + U0j ß1j =  10 + U1j  00 = Level-2 截距 (t-test)  01 = Level-2 斜率 (t-test; H2)  10 = 斜率的平均(pooled) (t-test; H1) Var ( rij ) = Level-1 residual variance Var ( U0j ) =  = residual inter. var (H2) Var (U1j ) = variance in slopes (related H3)

48. 48 • Slopes-as-outcomes - model Level-2 slope (H3) – 增加教學技巧到斜率模型 Level 1:學習成績ij = ß0j + ß1j (學生參與ij) + rij Level 2: ß0j =  00 +  01 (教學技巧j) + U0j ß1j =  10 +  11 (教學技巧j ) + U1j  00 = Level-2 intercept (t-test)  01 = Level-2 slope (t-test; H2)  10 = Level-2 intercept (t-test)  11 = Level-2 slope (t-test; H3) Var ( rij ) = Level-1 residual variance Var ( U0j ) = residual intercepts variance Var (U1j ) = residual slope var (H3) HLM的估計模型

49. HLM分析流程 • 資料準備 • 空模型(NULL or 隨機ANOVA MODEL) • 僅含Level 1的自變數(隨機ANCOVA MODEL) • 僅含Level 2的自變數(固定效果模型) – 自變數為類別變數. • 僅含Level 2的自變數(隨機迴歸模型) – 自變數為連續變數 • Level 1及Level 2同時包含自變數(完整模型) http://www.semsoeasy.com.tw/ 49

50. Preparing Data for HLM Analysis • 資料檔以SPSS為例 • HLM在不同的LEVEL需要有不同的資料檔 • SPSS的準備工作 – 檢查資料 – 遺漏值處理(Level 1可以有遺漏值,Level 2不行) – ID連結各層的資料 – ID號碼要排序 • 在HLM中產生MDM file http://www.semsoeasy.com.tw/ 50

51. SPSS的資料準備 • Level1 整合成 Level2 data • 資料整合 http://www.semsoeasy.com.tw/ 51

52. • Example – 使用leve1 及level2的檔 – File – Make new MDM file – Stat package input Creating a new MDM file http://www.semsoeasy.com.tw/ 52

53. Creating a MDM file • 選擇HLM2OK http://www.semsoeasy.com.tw/ 53

54. Creating a MDM file • Choose Variables http://www.semsoeasy.com.tw/ 54

55. Creating a MDM file • 指定level 1分析變數及level 2變數 • SCHID一定要勾 http://www.semsoeasy.com.tw/ 55

56. Creating a MDM file http://www.semsoeasy.com.tw/ 56

57. Creating a MDM file • Make MDM http://www.semsoeasy.com.tw/ 57

58. Creating a MDM file • Check Stats Done http://www.semsoeasy.com.tw/ 58

59. Creating a MDM file • 完成後會看到以下的畫面,準備進行分析 http://www.semsoeasy.com.tw/ 59

60. TWO-LEVEL HLM MODEL http://www.semsoeasy.com.tw/ 60 LEVEL 1 Students LEVEL 2 Schools

61. 多層次模型示意圖 http://www.semsoeasy.com.tw/ 61 截距 Xij Yij截距 Wj γij σ2 μ0j β1j γ00 γ10 μ1j γ01 γ11 β0j 二階迴歸是對一階迴歸係數做解釋，而不是對依變項本身做解釋 Yij=γ00 + γ01Wj +γ10Xij + γ11WjXij + μ0j + μ1j + μ1jXij + γij

62. 多層次模型的六大次模型 • 隨機效果單因子變異數分析 (one-way ANOVA with random effects ) • 隨機效果單因子共變數分析 (one-way ANCOVA with random effects) • 隨機係數迴歸模型 (random coefficients regression model) • 截距模型(intercept-as-outcomes regression ) • 脈絡模型(contextual model) • 非隨機變化斜率模型 (a model with nonrandomly varying slopes)

63. HLM分析的六大次模型階層一階層二模型無解釋變項有解釋變項階層一截距為結果變項階層一斜率為結果變項隨機 ANOVA 0ij j ijY r  jj u0000   隨機 ANCOVA 0 1ij j j ij ijY X r    0 00 0j ju   1 10j  隨機係數迴歸模型 0 1ij j j ij ijY X r    0 00 0j ju   1 10 1j ju   截距模型 0ij j ijY r  0 00 01 0j j jW u     脈絡模型 0 1ij j j ij ijY X r    0 00 01 0j j jX u     1 10j  非隨機斜率模型 0 1ij j j ij ijY X r    0 00 01 0j j jW u     1 10 11j jW    完整模型 0 1ij j j ij ijY X r    0 00 01 0j j jW u     1 10 11 1j j jW u    

64. 隨機ANOVA模型 • 又稱為空模型 • 目的:計算ICC(1),了解資料是否適合進行 HLM • 模型只有依變數不含任何自變數 http://www.semsoeasy.com.tw/ 64

65. 隨機ANOVA模型 • LEVEL 1: 𝒀𝒊𝒋 = 𝜷 𝟎𝒋 + 𝜸𝒊𝒋 • LEVEL 2: 𝜷 𝟎𝒋 = 𝜸 𝟎𝟎 + 𝝁 𝟎𝒋 • General model: 𝒀𝒊𝒋 = 𝜸 𝟎𝟎 + 𝝁 𝟎𝒋 + 𝜸𝒊𝒋 • 𝑽𝒂𝒓(𝒀𝒊𝒋) = 𝑽𝒂𝒓(𝜸 𝟎𝟎 + 𝝁 𝟎𝒋 + 𝜸𝒊𝒋) = 𝝉 𝟎𝟎+𝝈 𝟐 • 組內相關係數ICC= 𝝆 = 𝝉 𝟎𝟎/𝝉 𝟎𝟎 + 𝝈 𝟐 • 低度組內相關: ICC<.059, • 中度組內相關: 0.059<ICC<0.138 • 高度組內相關: ICC>0.138 http://www.semsoeasy.com.tw/ 65

66. 隨機ANOVA模型 http://www.semsoeasy.com.tw/ 66 如果不設定μ0 等於求全體平均數

67. 隨機ANOVA模型 http://www.semsoeasy.com.tw/ 67 • Run Analysis Run the model shown

68. 隨機ANOVA模型 http://www.semsoeasy.com.tw/ 68 • File View Output

69. Variance Components Analysis • VCA 用來估計隨機殘差變異數的大小 – 尤其是當資料為不平衡設計時 – 必需使用迭代程序估計 (一般為ML estimation) • VCA提供殘差變異數顯著性估計,當變異跨單位存在或不存在時(卡方檢定) http://www.semsoeasy.com.tw/ 69

70. 隨機ANOVA模型 http://www.semsoeasy.com.tw/ 70 (卡方差異值)

71. Estimating Variance Components: Unconditional Model • Var(Yij) = Var(u0j) + Var(rij) = τ0 + σ2 http://www.semsoeasy.com.tw/ 71

72. Estimation Methods • RML: 當群組(j)較少時,可以得到較佳的估計值 FML 具有兩點優勢: – 計算容易 – FML估計迴歸係數及變異數成份的整體卡方值, RML只有變異數成份檢定而已. • 如果比較兩個巢狀模型離異值的差異檢定應採用FML比較理想 http://www.semsoeasy.com.tw/ 72

73. 隨機ANCOVA模型 • LEVEL 1加入預測變數(X) • 當X為類別變數時,斜率應設定為固定效果 𝒀𝒊𝒋 = 𝜸 𝟎𝟎 + 𝜸 𝟏𝟎 𝑿𝒊𝒋 + 𝝁 𝟎𝒋 + 𝜸𝒊𝒋 http://www.semsoeasy.com.tw/ 73

74. 隨機ANCOVA模型 • LEVEL 1加入”性別“預測變數(X) http://www.semsoeasy.com.tw/ 74

75. Variance explained • R2 at level 1 = 1 – (σ2 cond + τcond) / (σ2 uncond + τuncond) = 1 – (.46 + .86) / (.64 + .88) = 1- (1.32/1.52)=.1316 = 13.16% • R2 at level 2 =1 – [(σ2cond / nh) + τcond] / [(σ2 uncond / nh) + τuncond] • nh = the harmonic mean of n for the level 2 units (k / [1/n1 + 1/n2 +…1/nk]) • 調和平均數可利用SPSS計算 http://www.semsoeasy.com.tw/ 75

76. Variance explained • Level 1 增加自變數後,殘差變異數改善的比例 R2 = (τbaseline – τconditional) / τbaseline = (.64 – 46)/.64 =.28 = 28% http://www.semsoeasy.com.tw/ 76

77. 隨機係數的迴歸模型 • LEVEL 1加入預測變數(X) • 當X為連續變數時,斜率應設定為隨機效果 𝒀𝒊𝒋 = 𝜸 𝟎𝟎 + 𝜸 𝟏𝟎 𝑿𝒊𝒋 + 𝝁 𝟎𝒋 + 𝝁 𝟏𝒋 𝑿𝒊𝒋 + 𝜸𝒊𝒋 http://www.semsoeasy.com.tw/ 77

78. 隨機係數的迴歸模型 http://www.semsoeasy.com.tw/ 78

79. Compare model fit using deviance statistics • 檢定模型改善是否顯著? • Other settings Hypothesis Testing http://www.semsoeasy.com.tw/ 79

80. 隨機係數的迴歸模型 • LEVEL 1加入連續變數 (X) • 𝒀𝒊𝒋 = 𝜸 𝟎𝟎 + 𝜸 𝟏𝟎 𝑿𝒊𝒋 + 𝝁 𝟎𝒋 + 𝝁 𝟏𝒋 𝑿𝒊𝒋 + 𝜸𝒊𝒋 http://www.semsoeasy.com.tw/ 80

81. Centering • No centering (common practice in single level regression) • Centering around the group mean ( 𝑿j ) • Centering around the grand mean (M ) http://www.semsoeasy.com.tw/ 81

82. 截距模型 • LEVEL 1: 𝒀𝒊𝒋 = 𝜷 𝟎𝒋 + 𝜸𝒊𝒋 • LEVEL 2: 𝜷 𝟎𝒋 = 𝜸 𝟎𝟎 + 𝜸 𝟎𝟏 𝑾𝒋 + 𝝁 𝟎𝒋 • General Model: 𝒀𝒊𝒋 = 𝜸 𝟎𝟎 + 𝜸 𝟎𝟏 𝑾𝒋 + 𝝁 𝟎𝒋 + 𝜸𝒊𝒋 • LEVEL 2加入預測變數 • LEVEL 2的預測變數影響的是LEVEL 1的截距 http://www.semsoeasy.com.tw/ 82

83. 截距模型 • LEVEL 2加入老師的經驗 http://www.semsoeasy.com.tw/ 83

84. 完整模型(截距及斜率模型) • LEVEL 1: 𝒀𝒊𝒋 = 𝜷 𝟎𝒋 + 𝜷 𝟏𝒋 𝑿𝒊𝒋 + 𝜸𝒊𝒋 • LEVEL 2: 𝜷 𝟎𝒋 = 𝜸 𝟎𝟎 + 𝜸 𝟎𝟏 𝑾𝒋 + 𝝁 𝟎𝒋 𝜷 𝟏𝒋 = 𝜸 𝟏𝟎 + 𝜸 𝟏𝟏 𝑾𝒋 + 𝝁 𝟏𝒋 • General Model: 𝒀𝒊𝒋 = 𝜸 𝟎𝟎 + 𝜸 𝟎𝟏 𝑾𝒋 + 𝜸 𝟏𝟎 𝑿𝒊𝒋 + 𝜸 𝟏𝟏 𝑾𝒋 𝑿𝒊𝒋 + 𝝁 𝟎𝒋 + 𝝁 𝟏𝒋 𝑿𝒊𝒋 + 𝜸𝒊𝒋 http://www.semsoeasy.com.tw/ 84

85. 完整模型(截距及斜率模型) http://www.semsoeasy.com.tw/ 85

86. HLM的統計估計方法 • Estimation Methods – FML (Full Maximum Likelihood) – RML (Restricted Maximum Likelihood) – Empirical Bayes estimation • Parameter estimation – Coefficients and standard errors – Variance Components • Parameter reliability • Centering • Residual files http://www.semsoeasy.com.tw/ 86

87. 87 Multi-level constructs •構面是研究發展及測試理論的組成元件 • Group-level constructs 是將群組當成整體處理並分成以下二種型態 (Kozlowski & Klein, 2000): – Global constructs – Shared constructs

88. 88 Global Constructs •相對客觀,容易觀察,描述群體特徵 •源自於群體層次 • Examples: –老師教學經驗,學校型態或學校地點 •不具“有意義”的組內變異(within-group variability) •測量一般是直覺的

89. 89 Shared Constructs •群組特性是來自於群組成員的組合 •源自於群組成員的態度,認知或行為 •組內變異一般要很低,如此才能從個體層次提升自群體層次 – rwg(j)為必須計算的指標 • Examples: –組織氣侯,主觀規範,認知行為控制

90. What is rwg(j)? • rwg(j)是目前使用最廣泛的interrater agreement指標,特別是針對量表為李克特量表 • rwg(j)因為無法符合常態分配,因此不適合估計φ±2σ的信賴區間 • (j)代表的是構面量表的題數 http://www.semsoeasy.com.tw/ 90

91. 91 Rule-Of-Thumb •實務上一般認為 Rwg(j) >0.70 表示可以接受個別的分數整合成群體分數,當然愈高愈好 • Zohar (2000) cited rWG values in the .70’s and mid .80’s as proof that judgments “were sufficiently homogeneous for within group aggregation” Zohar, D.(2000). A group-level model of safety climate: testing the effect of group climate on microaccidents in manufacturing jobs. Journal of Applied Psychology, 85(4), 587-596.

92. How to calculate rwg(j)? http://www.semsoeasy.com.tw/ 92 James L R, Demaree R G, Wolf G.(1993). Rwg: An Assessment of within- Group Interrater Agreement. Journal of Applied Psychology.78, 306-309.

93. 93 中心化議題再議 • HLM 要求您要對level-1 predictors進行中心化 • 這是重要的決策 – 錯誤的選擇會導致您的測試理論模型與假設結果不一致 – 錯誤的中心化選擇會導致虛假的跨層次干擾效果 • level-2 變數預測 level-1 slope

94. 94 Centering Decisions • Level-1 parameters are used as outcome variables at level-2 • Thus, one needs to understand the meaning of these parameters • Intercept: 當X為0時,Y的期望值 • Slope: X每增加1個單位,Y期望增加某些單位 • Raw metric form: X等於0可能沒有意義

95. 95 Centering Decisions • 3 種選擇 – Raw metric (資料不做中心化) – Grand mean – Group mean • Kreft et al. (1995): raw metric and grand mean equivalent, group mean non- equivalent • Raw metric/Grand mean centering – intercept var = adjusted between group variance in Y • Group mean centering – intercept var = between group variance in Y [Kreft, I.G.G., de Leeuw, J., & Aiken, L.S. (1995). The effect of different forms of centering in Hierarchical Linear Models. Multivariate Behavioral Research, 30, 1-21.]

96. 96 Centering Decisions • 重點是… – Grand mean centering and/or raw metric estimate incremental models • Controls for variance in level-1 variables prior to assessing level-2 variables – Group mean centering • Does NOT estimate incremental models – Does not control for level-1 variance before assessing level-1 variables – Separately estimates with group regression and between group regression

97. 97 Centering Decisions • 當研究包含跨層次交互作用時中心化決策就顯得非常重要 •考慮以下的模型: Level 1: Yij = ß0j + ß1j (Xgrand) + rij Level 2: ß0j =  00 + U0j ß1j =  10 • ß1j群組斜率整合時並未提供不偏的估計 – It actually represents a mixture of both the within and between group slope – Thus, you might not get an accurate picture of cross-level interactions

98. 98 Centering Decisions • Bryk & Raudenbush make the distinction between cross-level interactions and between-group interactions – Cross-level: Group level predictor of level-1 slopes – Group-level: Two group level predictors interacting to predict the level-2 intercept

99. 99 Centering Decisions • Only group-mean centering enables the investigation of both types of interaction • Illustration (Hofmann & Gavin, 1999, J. of Management) – Created two data sets • Cross-level interaction, no between-group interaction • Between-group interaction, no cross-level interaction

100. 100 Centering Decision • Incremental – group adds incremental prediction over and above individual variables – grand mean centering – group mean centering with means added in level-2 intercept model

101. 101 Centering Decision • Mediational – individual perceptions mediate relationship between contextual factors and individual outcomes – grand mean centering – group mean centering with means added in level-2 intercept model

102. 102 Centering Decisions • Moderational – group level variable moderates level-1 relationship – group mean centering provides clean estimate of within group slope – separates between group from cross-level interaction – Practical: If running grand mean centered, check final model group mean centered

103. 103 Centering Decisions • Separate – group mean centering produces separate within and between group structural models

104. http://www.semsoeasy.com.tw/ 104104 三星統計服務有限公司協辦 http://www.semsoeasy.com.tw/

HLM階層線性模型基礎班-三星統計張偉豪

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