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FRACCIONES ALGEBRÁICAS




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LOGARITMOS


1. Calcular por la definición de logaritmo el valor de y.



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2. Calcula el valor de x aplicando la definición de logarítmo .


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3. Conociendo que log 2 = 0.3010, calcula los siguientes logaritmos decimales .


   1.




   2.




   3.




   4.
4. Calcular los logaritmos de de las expresiones que se indican:



     1.




     2.




            =




POLINOMIOS

1.   Descomponer en factores y hallar las raíces de:

          1. P(x) = 2x 3 − 7x 2 + 8x − 3



                  P(1) = 2 · 1 3 − 7 · 1 2 + 8 · 1 − 3 = 0
(x −1 ) · (2x 2 − 5x + 3 )


                         2
         P(1) = 2 · 1         −5 · 1 + 3 = 0




         (x −1 ) 2 · (2x −3 ) = 2 (x − 3/2 ) · (x −1 ) 2



         Las raíces son: x = 3/2 y x = 1




2. x 3 − x 2 − 4



         {±1, ±2, ±4 }


                    3            2
         P(1) = 1       − 1          − 4 ≠ 0


                             3             2
         P(−1) = (−1)            − (−1)        − 4 ≠ 0


                    3            2
         P(2) = 2       − 2          − 4 = 8 − 4 − 4 = 0




         (x − 2) · (x 2 + x + 2 )



         x2+ x + 2 = 0




         (x − 2) · (x 2 + x + 2 )



         Raíz: x = 2.
3. x 3 + 3x 2 −4 x − 12



                 {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 }



                 P(1) = 1 3 + 3 · 1 2 − 4 · 1 − 12 ≠ 0



                 P(−1) = (−1) 3 + 3 · (−1) 2 − 4 · (−1) − 12 ≠ 0



                 P(2) = 2 3 + 3 · 2 2 − 4 · 2 − 12 = 8 + 12 − 8 − 12 = 0




                 (x − 2) · (x 2 + 5x +6)



                 x 2 + 5x +6 = 0




                 (x − 2) ·(x + 2) ·(x +3)



                 Las raíces son : x = 2, x = − 2, x = − 3.




3.   Encontrar el valor de k para que al dividir 2x 2 − kx +2 por (x − 2) dé de resto 4.



           P(2) = 2 · 2 2 − k · 2 +2 = 4



           10 - 2k = 4             − 2k = − 6      k = 3


4.   Determinar el valor de m para que 3x 2 + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces.



           P(1) = 3 · 1 2 + m · 1 + 4 = 0



           3 + m + 4 = 0                 m = − 7


5. Hallar un polinomo de cuarto grado que sea divisible por x 2 − 4 y se anule para x = 3 y
x= 5.
(x − 3) · (x − 5) · (x 2 − 4) =



         (x 2 −8 x + 15) · (x 2 − 4) =



         = x 4 − 4x 2 − 8x 3 +32x + 15x 2 − 60 =



         = x 4 − 8x 3 + 11x 2 +32x − 60


6. Calcular el valor de a para que el polinomi o x 3 − ax +8 tenga la raíz x= − 2, y calcular las otras
raíces.



         P(−2) = (−2) 3 − a · (−2) +8 = 0          − 8 + 2a +8 = 0           a= 0




         (x + 2) · (x 2 − 2x + 4)



         x 2 − 2x + 4 = 0




         No tiene más raíces reales.

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Ejercicios resueltos de fracciones algebraicas, logaritmos y polinomios

  • 3. 14. 15. 16. LOGARITMOS 1. Calcular por la definición de logaritmo el valor de y. 1. 2. 3. 6.
  • 4. 2. Calcula el valor de x aplicando la definición de logarítmo . 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 3. Conociendo que log 2 = 0.3010, calcula los siguientes logaritmos decimales . 1. 2. 3. 4.
  • 5. 4. Calcular los logaritmos de de las expresiones que se indican: 1. 2. = POLINOMIOS 1. Descomponer en factores y hallar las raíces de: 1. P(x) = 2x 3 − 7x 2 + 8x − 3 P(1) = 2 · 1 3 − 7 · 1 2 + 8 · 1 − 3 = 0
  • 6. (x −1 ) · (2x 2 − 5x + 3 ) 2 P(1) = 2 · 1 −5 · 1 + 3 = 0 (x −1 ) 2 · (2x −3 ) = 2 (x − 3/2 ) · (x −1 ) 2 Las raíces son: x = 3/2 y x = 1 2. x 3 − x 2 − 4 {±1, ±2, ±4 } 3 2 P(1) = 1 − 1 − 4 ≠ 0 3 2 P(−1) = (−1) − (−1) − 4 ≠ 0 3 2 P(2) = 2 − 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0 (x − 2) · (x 2 + x + 2 ) x2+ x + 2 = 0 (x − 2) · (x 2 + x + 2 ) Raíz: x = 2.
  • 7. 3. x 3 + 3x 2 −4 x − 12 {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 } P(1) = 1 3 + 3 · 1 2 − 4 · 1 − 12 ≠ 0 P(−1) = (−1) 3 + 3 · (−1) 2 − 4 · (−1) − 12 ≠ 0 P(2) = 2 3 + 3 · 2 2 − 4 · 2 − 12 = 8 + 12 − 8 − 12 = 0 (x − 2) · (x 2 + 5x +6) x 2 + 5x +6 = 0 (x − 2) ·(x + 2) ·(x +3) Las raíces son : x = 2, x = − 2, x = − 3. 3. Encontrar el valor de k para que al dividir 2x 2 − kx +2 por (x − 2) dé de resto 4. P(2) = 2 · 2 2 − k · 2 +2 = 4 10 - 2k = 4 − 2k = − 6 k = 3 4. Determinar el valor de m para que 3x 2 + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces. P(1) = 3 · 1 2 + m · 1 + 4 = 0 3 + m + 4 = 0 m = − 7 5. Hallar un polinomo de cuarto grado que sea divisible por x 2 − 4 y se anule para x = 3 y x= 5.
  • 8. (x − 3) · (x − 5) · (x 2 − 4) = (x 2 −8 x + 15) · (x 2 − 4) = = x 4 − 4x 2 − 8x 3 +32x + 15x 2 − 60 = = x 4 − 8x 3 + 11x 2 +32x − 60 6. Calcular el valor de a para que el polinomi o x 3 − ax +8 tenga la raíz x= − 2, y calcular las otras raíces. P(−2) = (−2) 3 − a · (−2) +8 = 0 − 8 + 2a +8 = 0 a= 0 (x + 2) · (x 2 − 2x + 4) x 2 − 2x + 4 = 0 No tiene más raíces reales.