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Práctica 6 Cinematica y Dinamica FI

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PRÁCTICA 6
            MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO RIGIDO

Fecha de realización: 29-octubre-2012

Fecha de entrega: 5-noviembre-2012

                  Laboratorio de Cinemática y Dinámica

                         Facultad de Ingeniería

               Universidad Nacional Autónoma De México
                               o       Fernando Sánchez

                                   o    Yahvé Ledezma

                           o       Emma Carolina Alfaro


                                   Realizado por:

                                       o       Aranzazu

                                        o       Karina

                                        o      Priscila

                                           o    Isabel
MARCO TEÓRICO
                                               MOMENTO DE INERCIA
RESUMEN
Se realizaron una serie de ejercicios con      El momento de inercia es una medida
ayuda del material proporcionado por el        de la inercia rotacional de un cuerpo.
laboratorio como fue marco metálico con        Cuando un cuerpo gira en torno a uno
accesorios, una barra de metal, una            de los ejes principales de inercia, la
fotocompuerta, un flexómetro,        Con       inercia    rotacional     puede     ser
dichos materiales se pudieron cuantificar
                                               representada como una magnitud
el numero de oscilaciones que produjo la
                                               escalar llamada momento de inercia,
barra, así como las medidas de la barra
para poder calcular el momento de              en el caso más general posible la
inercia de la misma                            inercia rotacional debe representarse
                                               por medio de un conjunto de
Primero, se puso en movimiento la barra        momentos de inercia y componentes
contando asi 10 de oscilaciones que            que forman el llamado tensor de
debía de realizar la barra para poder
                                               inercia. La descripción tensorial es
obtener el periodo promedio de la
                                               necesaria para el análisis de sistemas
oscilación, cabe resaltar que el material
                                               complejos.
proporcionado        contaba     medias
oscilaciones     por    lo   que   estas       El momento de inercia refleja la
consideraciones se tuvieron que tener en
                                               distribución de masa de un cuerpo o
cuenta a la hora de capturar los datos y
                                               de un sistema de partículas en
llevar acabo los cálculos.
                                               rotación, respecto a un eje de giro,
Después de esta actividad, se llevo            sólo depende de la geometría del
acabo la medición de la barra midiendo         cuerpo y de la posición del eje de
así su altura, su ancho y su largo.            giro; pero no depende de las fuerzas
                                               que intervienen en el movimiento.
OBJETIVOS                                      Es el valor escalar del momento
       Calcular el momento de inercia de       angular longitudinal de un sólido
       una barra de metal, utilizando dos      rígido.
       métodos diferentes.
                                               Ecuaciones del momento de inercia
INTRODUCCION                                   El momento de inercia de un cuerpo
Con el número de oscilaciones, y el promedio   indica su resistencia a adquirir una
del periodo de las antes descritas, así como   aceleración angular.
las medidas de la barra proporcionada por el
                                               Dado un sistema de partículas y un
laboratorio, se pretende         conocer el
                                               eje arbitrario, el momento de inercia
momento de inercia por dos caminos o
                                               del mismo se define como la suma de
métodos diferentes.                            los productos de las masas de las
                                               partículas por el cuadrado de la
                                               distancia r de cada partícula a dicho
eje. Matemáticamente se expresa                   velocidad v es     , mientras que
como:                                             la energía cinética de un cuerpo
                                                  en rotación con velocidad angular
                       (1)
                                                  ω es      , donde es elmomento
Para un cuerpo de masa continua                   de inercia con respecto al eje de
(Medio continuo), se generaliza                   rotación.
como:
                                               La conservación de la cantidad de
                                               movimiento o momento lineal tiene
                                      (2)      por equivalente la conservación
                                               del momento angular :
El subíndice V de la integral indica
que se integra sobre todo el volumen
del cuerpo. Se resuelve a través de
                                                                         (4)
una integral triple.
                                               El vector momento       angular,    en
Este concepto desempeña en el
                                               general, no tiene la misma dirección
movimiento de rotación un papel
                                               que el vector velocidad angular .
análogo al de masa inercial en el
                                               Ambos vectores tienen la misma
caso del movimiento rectilíneo y
                                               dirección si el eje de giro es un eje
uniforme. La masa es la resistencia
                                               principal de inercia. Cuando un eje es
que presenta un cuerpo a ser
                                               de simetría entonces es eje principal
acelerado en traslación y el Momento
                                               de inercia y entonces un giro
de Inercia es la resistencia que
                                               alrededor de ese eje conduce a un
presenta un cuerpo a ser acelerado
                                               momento angular dirigido también a
en rotación. Así, por ejemplo, la
                                               lo largo de ese eje.
segunda ley de Newton:           tiene
como equivalente para la rotación:             Teorema de Steiner o teorema de los
                                               ejes paralelos
                             (3)
                                               Establece que el momento de inercia
   donde:                                      con respecto a cualquier eje paralelo
                                               a un eje que pasa por el centro de
       es el momento aplicado al              masa, es igual al momento de inercia
       cuerpo.                                 con respecto al eje que pasa por el
       es el momento de inercia del           centro de masa más el producto de la
       cuerpo con respecto al eje de           masa por el cuadrado de la distancia
       rotación y                              entre los dos ejes:
                 es          la aceleración
       angular.                                                                  (5)
   Siempre y cuando la distancia con
   respecto al sistema de referencia              donde: Ieje es el momento       de
   permanezca constante.                          inercia respecto al eje que     no
   La energía cinética de un cuerpo               pasa     por   el   centro      de
                                                         (CM)
   en        movimiento         con               masa; I eje es el momento       de
                                                  inercia para un eje paralelo     al
anterior que pasa por el centro de   2. Determinar las áreas de las
   masa; M (Masa               Total)      partes,           designarlas
   y h (Distancia entre los dos ejes       por                .
   paralelos considerados).             3. Determinar las coordenadas
La demostración de este teorema            del centro de masas de estas
resulta inmediata si se considera la         partes        con respecto a
descomposición de coordenadas                los ejes X e Y. Y calcular el
relativa     al       centro      de
                                           cdm             de    toda    la
masas C                inmediata:          figura formada por todas las
                                           áreas parciales anteriores.
                                        4. Calcular las distancias de los
                                           cdm de cada área respecto al
                                           cdm total de la figura.
          (6)                           5. Calcular los momentos de
                                           inercia de las partes respecto
                                           a sus ejes de centro de masas
                                           (que serán paralelos a x e y).
                                           Designar       como:     e     ,
                                           para el área i-ésima.
          (7)                           6. Calcular el momento de inercia
                                           de cada parte respecto a los
                                  (8)      ejes x e y aplicando el
                                           teorema del eje paralelo, es
                                           decir, el teorema de Steiner:y
donde el segundo término es nulo
puesto que la distancia vectorial                                     (9)
promedio de masa en torno al centro
de masa es nula, por la propia                                       (10)
definición de centro de masa.
El centro de gravedad y el centro de
masa pueden no ser coincidentes,
dado que el centro de masa sólo         7.   Calcular los momentos de
                                             inercia del área compuesta a
depende de la geometría del cuerpo,
                                             partir de los momentos
en cambio, el centro de gravedad
                                             anteriores: e
depende del campo gravitacional en
                                                                     (11)
el que está inmerso dicho cuerpo.
Pasos para calcular el momento de
inercia de áreas compuestas
                                                                     (12)
   1. Dividir el área compuesta en
      varias partes que sean simples
DESARROLLO EXPERIMENTAL                   Primeramente se midio el tiempo con
                                          ayuda del programa y el tiempo
  EQUIPOS         Y      MATERIALES
                                          promedio de oscilación fue de 1.3931
NECESARIOS
                                          [s].
      Marco metálico con accesorios
      Barra de metal                      Con el análisis de nuestro sistema
      Interfaz Science Workshop           mecánico:
      750 con accesorios
      Flexómetro
      Computadora
      Vernier
      Fotocompuerta

                                                at

                                                                 an




PROCEDIMIENTO
                                                           T

1.-Se verifico que todo el material se
encontrara en buen estado para
poder trabajar con él.

2.- Se instalo el arreglo para poder
contabilizar las oscilaciones, se
conecto el equipo a la computadora y
se verifico que la barra oscilara en la
línea de acción del sensor.
                                                               mg

ANÁLISIS Y RESULTADOS
Con un sistema de referencia er , eθ




                eθ

                                       θ



                                θ            C/2

                 er


                                           m= 0.076 [kg]

                                           Tabla 1. Tiempo de oscilaciones con
                                           la interfaz:

                                           Tiempo ( s )
                                                1.3931
                                                2.6064
                                                3.8168
                                                5.0243
                                                6.2289
                                                7.4311
a=0.33 [cm]                                     8.6314
                                                9.7992
b= 1.85 [cm]

c= 50 [cm]

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Práctica 6 Cinematica y Dinamica FI

  • 1. PRÁCTICA 6 MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO RIGIDO Fecha de realización: 29-octubre-2012 Fecha de entrega: 5-noviembre-2012 Laboratorio de Cinemática y Dinámica Facultad de Ingeniería Universidad Nacional Autónoma De México o Fernando Sánchez o Yahvé Ledezma o Emma Carolina Alfaro Realizado por: o Aranzazu o Karina o Priscila o Isabel
  • 2. MARCO TEÓRICO MOMENTO DE INERCIA RESUMEN Se realizaron una serie de ejercicios con El momento de inercia es una medida ayuda del material proporcionado por el de la inercia rotacional de un cuerpo. laboratorio como fue marco metálico con Cuando un cuerpo gira en torno a uno accesorios, una barra de metal, una de los ejes principales de inercia, la fotocompuerta, un flexómetro, Con inercia rotacional puede ser dichos materiales se pudieron cuantificar representada como una magnitud el numero de oscilaciones que produjo la escalar llamada momento de inercia, barra, así como las medidas de la barra para poder calcular el momento de en el caso más general posible la inercia de la misma inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de Primero, se puso en movimiento la barra momentos de inercia y componentes contando asi 10 de oscilaciones que que forman el llamado tensor de debía de realizar la barra para poder inercia. La descripción tensorial es obtener el periodo promedio de la necesaria para el análisis de sistemas oscilación, cabe resaltar que el material complejos. proporcionado contaba medias oscilaciones por lo que estas El momento de inercia refleja la consideraciones se tuvieron que tener en distribución de masa de un cuerpo o cuenta a la hora de capturar los datos y de un sistema de partículas en llevar acabo los cálculos. rotación, respecto a un eje de giro, Después de esta actividad, se llevo sólo depende de la geometría del acabo la medición de la barra midiendo cuerpo y de la posición del eje de así su altura, su ancho y su largo. giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. OBJETIVOS Es el valor escalar del momento Calcular el momento de inercia de angular longitudinal de un sólido una barra de metal, utilizando dos rígido. métodos diferentes. Ecuaciones del momento de inercia INTRODUCCION El momento de inercia de un cuerpo Con el número de oscilaciones, y el promedio indica su resistencia a adquirir una del periodo de las antes descritas, así como aceleración angular. las medidas de la barra proporcionada por el Dado un sistema de partículas y un laboratorio, se pretende conocer el eje arbitrario, el momento de inercia momento de inercia por dos caminos o del mismo se define como la suma de métodos diferentes. los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho
  • 3. eje. Matemáticamente se expresa velocidad v es , mientras que como: la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular (1) ω es , donde es elmomento Para un cuerpo de masa continua de inercia con respecto al eje de (Medio continuo), se generaliza rotación. como: La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene (2) por equivalente la conservación del momento angular : El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Se resuelve a través de (4) una integral triple. El vector momento angular, en Este concepto desempeña en el general, no tiene la misma dirección movimiento de rotación un papel que el vector velocidad angular . análogo al de masa inercial en el Ambos vectores tienen la misma caso del movimiento rectilíneo y dirección si el eje de giro es un eje uniforme. La masa es la resistencia principal de inercia. Cuando un eje es que presenta un cuerpo a ser de simetría entonces es eje principal acelerado en traslación y el Momento de inercia y entonces un giro de Inercia es la resistencia que alrededor de ese eje conduce a un presenta un cuerpo a ser acelerado momento angular dirigido también a en rotación. Así, por ejemplo, la lo largo de ese eje. segunda ley de Newton: tiene como equivalente para la rotación: Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos (3) Establece que el momento de inercia donde: con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de  es el momento aplicado al masa, es igual al momento de inercia cuerpo. con respecto al eje que pasa por el  es el momento de inercia del centro de masa más el producto de la cuerpo con respecto al eje de masa por el cuadrado de la distancia rotación y entre los dos ejes:  es la aceleración angular. (5) Siempre y cuando la distancia con respecto al sistema de referencia donde: Ieje es el momento de permanezca constante. inercia respecto al eje que no La energía cinética de un cuerpo pasa por el centro de (CM) en movimiento con masa; I eje es el momento de inercia para un eje paralelo al
  • 4. anterior que pasa por el centro de 2. Determinar las áreas de las masa; M (Masa Total) partes, designarlas y h (Distancia entre los dos ejes por . paralelos considerados). 3. Determinar las coordenadas La demostración de este teorema del centro de masas de estas resulta inmediata si se considera la partes con respecto a descomposición de coordenadas los ejes X e Y. Y calcular el relativa al centro de cdm de toda la masas C inmediata: figura formada por todas las áreas parciales anteriores. 4. Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura. (6) 5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que serán paralelos a x e y). Designar como: e , para el área i-ésima. (7) 6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los (8) ejes x e y aplicando el teorema del eje paralelo, es decir, el teorema de Steiner:y donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial (9) promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia (10) definición de centro de masa. El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa sólo 7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a depende de la geometría del cuerpo, partir de los momentos en cambio, el centro de gravedad anteriores: e depende del campo gravitacional en (11) el que está inmerso dicho cuerpo. Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas (12) 1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples
  • 5. DESARROLLO EXPERIMENTAL Primeramente se midio el tiempo con ayuda del programa y el tiempo EQUIPOS Y MATERIALES promedio de oscilación fue de 1.3931 NECESARIOS [s]. Marco metálico con accesorios Barra de metal Con el análisis de nuestro sistema Interfaz Science Workshop mecánico: 750 con accesorios Flexómetro Computadora Vernier Fotocompuerta at an PROCEDIMIENTO T 1.-Se verifico que todo el material se encontrara en buen estado para poder trabajar con él. 2.- Se instalo el arreglo para poder contabilizar las oscilaciones, se conecto el equipo a la computadora y se verifico que la barra oscilara en la línea de acción del sensor. mg ANÁLISIS Y RESULTADOS
  • 6. Con un sistema de referencia er , eθ eθ θ θ C/2 er m= 0.076 [kg] Tabla 1. Tiempo de oscilaciones con la interfaz: Tiempo ( s ) 1.3931 2.6064 3.8168 5.0243 6.2289 7.4311 a=0.33 [cm] 8.6314 9.7992 b= 1.85 [cm] c= 50 [cm]
  • 7. Para el cálculo del momento de Tabla 2. Tiempo con cronometro. inercia: Tiempo [s] 1.24 …(12) 2.36 3.78 Donde: 5.06 m: masa de la barra. 6.25 7.46 c: longitud de la barra. 8.7 9.97 g: 9.78 m/s^2 Con este nuevo periodo de oscilación T: periodo de oscilación. de 1.24 [s] se calcula el momento de inercia: Para nuestro periodo de oscilación dado por la interfaz el momento de IG= -2.9407 x 10-3 [kg m2] inercia es: El momento de inercia teorico esta -3 2 IG= -2.4663 x 10 [kg m ] dado por la siguiente expresión: Tambien probamos el periodo de oscilación con la ayuda de un … (13) cronometro de mano, los tiempos se IG= 1.5855x 10-3 [kg m2] muestran en la siguiente tabla: Comparando cada valor obtenido con este ultimo valor teorico. IG[kg m2] IG teorica [kg m2] Error [1] Error % -2.94E-03 1.59E-03 8.55E-01 85.5 -2.47E-03 1.59E-03 5.56E-01 55.6 dados por la interfaz igual a - CONCLUSIONES 2.4663x10-3, por otro lado, se hicieron Al realizar esta práctica, observamos mediciones manuales con un el comportamiento de la barra de cronometro de donde salió un metal a la hora de dejarla caer y ver promedio de oscilación de 1.24 [s] y la oscilación que se provocaba. un momento de inercia de -2.9407x10-3. Con los cálculos que procedieron, A la hora de comparar dichos valores nos dimos cuenta de que el tiempo con el momento de inercia teórico se promedio de oscilación fue de 1.3931 dio un error grande, esto pudo ocurrir [s], dato importante para saber el debido a algún error cometido momento de inercia con los datos durante la práctica.
  • 8. Con dicha práctica podemos decir que el momento de inercia refleja la …(10) distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en …(11) rotación, solo depende de la geometría del cuerpo y la posición del eje de giro y no de las fuerzas que …(12) pueden intervenir en el movimiento. Donde: APÉNDICE m: masa de la barra. Las ecuaciones de movimiento: c: longitud de la barra. …(1) g: 9.78 m/s^2 T: periodo de oscilación. …(2) Para el calculo de IG teórica se situó en un solo eje con la formula: …(3) Si θ es muy pequeño θ≈sin(θ) … (13) …(4) Referencias de consulta Paul E. Tippens, FISICA, …(5) CONCEPTOS Y APLICACIONES, 3ra edición en español, McGraw-hill. …(6) BEER, Ferdinand. Mecanica vectorial para ingenieros 8a edicion. McGrawHill. 2010. Pág. …(7) 1322-1332. …(8) …(9)