SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 22
Descargar para leer sin conexión
Unidad 2. Pensamiento
variacional y trigonométrico.
Fase 3. Trigonometría plana.
Carolina Torres Espinosa Cód: 1005259141
Jaydher Hernando Rojas Jaimes. Cód. 1102372442
Álgebra, trigonometría y geometría analítica-551108
Grupo:13
Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD
Temáticas
 Razones trigonométricas.
 Teorema o ley de seno y coseno.
 Identidades trigonométricas.
 Ecuaciones trigonométricas.
 Aplicaciones trigonométricas.
Razones trigonométricas en triángulos
rectángulos.
Hipotenusa: Lado más lago del triángulo, que en este
caso es el lado opuesto al ángulo de 90°.
Cateto opuesto (CO): Hace referencia al lado que se
encuentra en contraposición al ángulo que se esté
analizando.
Cateto adyacente (CA): Hace referencia al lado que se
encuentra seguido del ángulo analizado.
En los triángulos rectángulos las razones trigonométricas, hacen referencia
a las razones que se dan entre los lados de este triangulo. Estas razones se
plantean de acuerdo a cada uno de los ángulos del triángulo.
Los lados en un triángulo rectángulo se denominan de acuerdo a su
relación con el ángulo analizado:
Razones trigonométricas
𝑆𝑒𝑛 𝑥 =
𝑐𝑜
ℎ
𝐶𝑜𝑠 𝑥 =
𝑐𝑎
ℎ
𝑇𝑎𝑛 𝑥 =
𝐶𝑜
𝐶𝑎
𝐶𝑠𝑐 𝑥 =
ℎ
𝑐𝑜
𝑆𝑒𝑐 𝑥 =
ℎ
𝑐𝑎
𝐶𝑜𝑡 𝑥 =
𝑐𝑎
𝑐𝑜
Las razones trigonométricas básicas son seno, coseno y tangente,
de estas surgen las funciones trigonométricas derivadas, las
cuales son cosecante, secante y cotangente, las cuales plantean
razones trigonométricas reciprocas a las principales.
Ejemplo
11,4 cm
𝑆𝑒𝑛 𝐴 =
𝑐𝑜
ℎ
=
3
11,4
𝐶𝑜𝑠 𝐴 =
𝑐𝑎
ℎ
=
11
11,4
𝑇𝑎𝑛 𝐴 =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
=
3
11
Razones trigonométricas para el ángulo A.
Teorema de seno
La fórmula de este teorema se puede escribir de dos maneras
dependiendo del dato que se esté indagando.
Este teorema establece la relación de proporcionalidad que se da entre
los lados de un triángulo de cualquier tipo, con los senos de los
ángulos opuestos a estos lados. Se emplea cuando conocemos al
menos dos lados y un ángulo apuesto a alguno de estos lados.
Para hallar el valor de un lado:
𝑎
𝑆𝑒𝑛 𝐴
=
𝑏
𝑆𝑒𝑛 𝐵
=
𝑐
𝑆𝑒𝑛 𝐶
Para hallar el valor de un ángulo:
𝑆𝑒𝑛 𝐴
𝑎
=
𝑆𝑒𝑛 𝐵
𝑏
=
𝑆𝑒𝑛 𝐶
𝑐
Nota: Se utilizan dos de las tres partes de la proporcionalidad,
dependiendo de los datos que se tengan y se despeja la incógnita.
Ejemplo:
𝑆𝑒𝑛 𝐴
𝑎
=
𝑆𝑒𝑛 𝐵
𝑏
=
𝑆𝑒𝑛 𝐶
𝑐
𝑆𝑒𝑛 𝐴
𝑎
=
𝑆𝑒𝑛 𝐶
𝑐
𝑆𝑒𝑛 𝐴 =
𝑆𝑒𝑛 𝐶 𝑎
𝑐
𝑆𝑒𝑛 𝐴 =
𝑆𝑒𝑛 75,78° 70
75,4
𝑆𝑒𝑛−1
𝑆𝑒𝑛 𝐴 = 𝑆𝑒𝑛−1
𝑆𝑒𝑛 75,78° 70
75,4
𝐴 = 𝑆𝑒𝑛−1
𝑆𝑒𝑛 75,78° 70
75,4
𝐴 = 64.149°
𝐴 = 64.2°
=75,4
Hallar el valor del ángulo A
por medio de la ley de seno.
Teorema de coseno
Fórmulas del teorema de coseno
 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 ∙ 𝐶𝑜𝑠 𝐴
 𝑏2
= 𝑎2
+ 𝑐2
− 2𝑎𝑐 ∙ 𝐶𝑜𝑠 𝐵
 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 ∙ 𝐶𝑜𝑠 𝐶
Este teorema establece la relación de proporcionalidad que se da entre
los lados de un triángulo cualquiera, con los cosenos de los ángulos
opuestos a dichos lados.
Se emplea principalmente
cuando se conoce:
LAL: Lado, ángulo, lado.
LLL: El valor de los tres
lados del triángulo.
Ejemplo
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 𝐶
𝑐2
= 70 2
+ 50 2
− 2 70 50 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 75,78°
𝑐2 = 4900 + 2500 − 2 70 50 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 75,78°
𝑐2 = 4900 + 2500 − 2 3500 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 75,78°
𝑐2 = 4900 + 2500 − 2 3500 ⋅ 0,245
𝑐2 = 4900 + 2500 − 1719,5
𝑐2
= 5680,5
𝑐2 = 5680,5
𝑐 = 75,369
𝑐 = 75,4𝑚
Hallar el valor del lado c, empleando la ley de coseno.
Identidades trigonométricas
 Las identidades trigonométricas se pueden entender como la
igualdad entre las razones trigonométricas.
 La identidad trigonométrica también se puede entender como una
ecuación que contiene funciones trigonométricas; dicha ecuación
debe ser válida para todos los valores que se le puedan asignar a
las variables.
 Las identidades trigonométricas se emplean para simplificar o
reescribir una expresión matemática que contenga funciones
trigonométricas.
Identidad fundamental
De ella podemos obtener inicialmente dos fórmulas cuando
realizamos el despeje de seno y coseno respectivamente:
La identidad fundamental es de las identidades más importantes
dentro de las funciones trigonométricas, ya que ella establece la
relación entre el teorema de Pitágoras, la relación entre los
lados de un triángulo y el circulo trigonométrico.
𝑆𝑒𝑛2 𝑥 + 𝐶𝑜𝑠2 𝑥 = 1
𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 1 − 𝐶𝑜𝑠2(𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑥) = 1 − 𝑆𝑒𝑛2(𝑥)
Identidades de cociente
Las identidades de cociente hacen referencia a tangente y
cotangente las cuales representa respectivamente la relación
que se puede establecer entre la división o cociente de las
funciones trigonométricas de seno y coseno.
𝑇𝑎𝑛 𝑥 =
𝑆𝑒𝑛(𝑥)
𝐶𝑜𝑠(𝑥)
𝐶𝑜𝑡 𝑥 =
𝐶𝑜𝑠 (𝑥)
𝑆𝑒𝑛(𝑥)
Identidades reciprocas
Las identidades reciprocas se obtienen al aplicar el reciproco a cada
una de las razones trigonométricas de dichas funciones, en las cuales
se obtendrán nuevas fracciones que representan dichas razones.
𝑆𝑒𝑛 𝑥 =
1
𝐶𝑠𝑐(𝑥)
reciproca 𝐶𝑠𝑐 𝑥 =
1
𝑆𝑒𝑛 (𝑥)
𝐶𝑜𝑠 𝑥 =
1
𝑆𝑒𝑐 (𝑥)
reciproca 𝑆𝑒𝑐 𝑥 =
1
𝐶𝑜𝑠 (𝑥)
𝑇𝑎𝑛 𝑥 =
1
𝐶𝑜𝑡 (𝑥)
reciproca 𝐶𝑜𝑡 𝑥 =
1
𝑇𝑎𝑛 (𝑥)
Identidades pitagóricas
Dichas identidades se conocen como pitagóricas, ya que se derivan
del teorema de Pitágoras. Por otra parte, surgen entre la relación de
la identidad fundamental y las identidades del cociente.
𝑇𝑎𝑛2
𝑥 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝐶𝑜𝑡2
𝑥 + 1 = 𝐶𝑠𝑐2
(𝑥)
Ejemplo
Realizar la identidad trigonométrica
𝑆𝑒𝑐 𝑥
𝑇𝑎𝑛 𝑥 + 𝐶𝑜𝑡 𝑥
= 𝑆𝑒𝑛 𝑥
1
𝐶𝑜𝑠 𝑥
𝑇𝑎𝑛 𝑥 + 𝐶𝑜𝑡 𝑥
= 𝑆𝑒𝑛 𝑥
1
𝐶𝑜𝑠 𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥
+
𝐶𝑜𝑠 𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥
= 𝑆𝑒𝑛 𝑥
1
𝐶𝑜𝑠 𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑆𝑒𝑛 𝑥
= 𝑆𝑒𝑛 𝑥
1
𝐶𝑜𝑠 𝑥
𝑆𝑒𝑛2𝑥 + 𝐶𝑜𝑠2𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑆𝑒𝑛 𝑥
= 𝑆𝑒𝑛 𝑥
1
𝐶𝑜𝑠 𝑥
1
𝐶𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑆𝑒𝑛 𝑥
= 𝑆𝑒𝑛 𝑥
1
𝐶𝑜𝑠 𝑥
1
𝐶𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑆𝑒𝑛 𝑥
= 𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥
= 𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛 𝑥
Ecuaciones trigonométricas
 Para resolver ecuaciones trigonométricas se necesita de un buen
manejo de las identidades y de las funciones trigonométricas inversas,
además de principios de álgebra y trigonometría, ya que lo que se
busca es poder despejar el ángulo que satisfaga la respectiva ecuación
trigonométrica.
 Para desarrollar toda ecuación trigonométrica se recomienda reescribir
está en función únicamente de seno o de coseno.
 Finalmente, se debe Identificar de acuerdo a los cuadrantes del plano
cartesiano y en relación con la circunferencia unitaria o
trigonométrica, dependiendo de la respuesta obtenida, los ángulos que
se pueden cumplir para dicha ecuación.
Las ecuaciones trigonométricas hacen referencia a aquellas
identidades que se cumplen exclusivamente para ángulos específico.
Ejemplo
𝑆𝑒𝑛 𝑥 − 2 𝑆𝑒𝑛 𝑥 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 0
1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥 − 2 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 0
1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥 − 2 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 0
−2 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 0 − 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥 =
0 − 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥
−2 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥 =
− 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥
−2 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥 =
−1
−2
𝐶𝑜𝑠 𝑥 =
1
2
𝑥 = 𝐶𝑜𝑠−1
1
2
𝑥 = 60°
𝑥1= 60° 𝑥2 = 360° − 60°
𝑥2 = 300°
Resolver la ecuación
Encontrar los ángulos que
satisfacen la ecuación.
Aplicaciones trigonométricas
Para resolver problemas matemáticos asociados a las funciones
trigonométricas, se recomienda tener conocimientos de las
temáticas abordadas en estas diapositivas además de
conocimientos algebraicos, trigonométricos y geométricos, así
como graficar las situaciones abordadas.
En la vida cotidiana, las funciones trigonometrías poseen una gran cantidad
de aplicaciones que nos permiten resolver distintas problemáticas o
situaciones matemáticas, estas aplicaciones tienen gran impacto en ámbitos
como la ciencia, la ingeniería, la arquitectura y la construcción entre otras,
pues principalmente las funciones trigonométricas nos permiten conocer el
valor de ángulos y de lados en relación a ángulos, lo cual es de gran
relevancia en diferentes ámbitos científicos y de la vida cotidiana.
Ejemplo
Andrea y Claudia corren juntas un trayecto, llegan a un cruce de
caminos rectos (sin ninguna curva), que forman entre sí un ángulo
de 60º y cada una toma un camino. A partir de ese momento, Andrea
camina a 2 km/h y Claudia a 4 km/h ¿A qué distancia estará Andrea
de Claudia al cabo de una hora y media?
1. Hallar la distancia que han recorrido Andrea y Claudia en
cada uno de los caminos, al cabo de una hora y media.
𝐴𝑛𝑑𝑟𝑒𝑎 =
2𝑘𝑚
ℎ
⋅ 1,5ℎ = 3𝑘𝑚
𝐶𝑙𝑎𝑢𝑑𝑖𝑎 =
4𝑘𝑚
ℎ
⋅ 1,5ℎ = 6𝑘𝑚
2. Graficar el problema en GeoGebra.
3. Aplicar la ley de coseno para hallar el valor de b, que es igual a la
distancia entre Andrea y Claudia.
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 𝐵
𝑏2 = 62 + 32 − 2 6 3 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 60°
𝑏2
= 36 + 9 − 2 18 ⋅
1
2
𝑏2 = 36 + 9 − 18
𝑏2 = 27
𝑏2 = 27
𝑏 = 5,19𝑘𝑚
Respuesta: Al cabo de una hora y media Andrea estará a 5,19 km
de Claudia.
Referencias
Castañeda, H. S. (2014). Matemáticas fundamentales para estudiantes de ciencias.
Bogotá, CO: Universidad del Norte. Páginas 153 – 171. https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/69943?page=159
Henao, A. (2012). Funciones Trigonométricas GeoGebra.
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7691
Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.:
Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 237 - 265.
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583

Más contenido relacionado

Similar a Unidad 2_Álgebra, tigonometría y geometría analitica_Grupo 13..pptx

Similar a Unidad 2_Álgebra, tigonometría y geometría analitica_Grupo 13..pptx (20)

Guía 01 Trigonometría del triángulo rectángulo
Guía 01 Trigonometría del triángulo rectánguloGuía 01 Trigonometría del triángulo rectángulo
Guía 01 Trigonometría del triángulo rectángulo
 
Unidad 2.pptx
Unidad 2.pptxUnidad 2.pptx
Unidad 2.pptx
 
Unidad 2.pptx
Unidad 2.pptxUnidad 2.pptx
Unidad 2.pptx
 
Presentacion trigonometria Unidad 2.pptx RAUL SANABRIA
Presentacion trigonometria Unidad 2.pptx RAUL SANABRIAPresentacion trigonometria Unidad 2.pptx RAUL SANABRIA
Presentacion trigonometria Unidad 2.pptx RAUL SANABRIA
 
Unidad 2 - Pensamiento variacional y trigonométrico.pptx
Unidad 2 - Pensamiento variacional y trigonométrico.pptxUnidad 2 - Pensamiento variacional y trigonométrico.pptx
Unidad 2 - Pensamiento variacional y trigonométrico.pptx
 
presentación álgebra.pptx
presentación álgebra.pptxpresentación álgebra.pptx
presentación álgebra.pptx
 
Trabajo practico de matemática
Trabajo practico de matemáticaTrabajo practico de matemática
Trabajo practico de matemática
 
Trabajo practico de matemática
Trabajo practico de matemáticaTrabajo practico de matemática
Trabajo practico de matemática
 
Trabajo practico de matemática
Trabajo practico de matemáticaTrabajo practico de matemática
Trabajo practico de matemática
 
Trabajo practico de matemática
Trabajo practico de matemáticaTrabajo practico de matemática
Trabajo practico de matemática
 
Clase # 15.pptx
Clase # 15.pptxClase # 15.pptx
Clase # 15.pptx
 
Algebra
AlgebraAlgebra
Algebra
 
Tutoria Algebra Ii Bimestre 20082
Tutoria Algebra Ii Bimestre 20082Tutoria Algebra Ii Bimestre 20082
Tutoria Algebra Ii Bimestre 20082
 
07 trigonometria
07 trigonometria07 trigonometria
07 trigonometria
 
Pdf trigonometria
Pdf trigonometriaPdf trigonometria
Pdf trigonometria
 
Pdf trigonometria
Pdf trigonometriaPdf trigonometria
Pdf trigonometria
 
funciones y razones trigonometricas
funciones y razones trigonometricasfunciones y razones trigonometricas
funciones y razones trigonometricas
 
Funciones trigonométricas.pptx
Funciones trigonométricas.pptxFunciones trigonométricas.pptx
Funciones trigonométricas.pptx
 
Trigonometría
TrigonometríaTrigonometría
Trigonometría
 
DIAPOSITIVAS.pptx
DIAPOSITIVAS.pptxDIAPOSITIVAS.pptx
DIAPOSITIVAS.pptx
 

Último

DETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIOR
DETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIORDETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIOR
DETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIORGonella
 
TUTORIA II - CIRCULO DORADO UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO
TUTORIA II - CIRCULO DORADO UNIVERSIDAD CESAR VALLEJOTUTORIA II - CIRCULO DORADO UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO
TUTORIA II - CIRCULO DORADO UNIVERSIDAD CESAR VALLEJOweislaco
 
Uses of simple past and time expressions
Uses of simple past and time expressionsUses of simple past and time expressions
Uses of simple past and time expressionsConsueloSantana3
 
Tema 8.- Gestion de la imagen a traves de la comunicacion de crisis.pdf
Tema 8.- Gestion de la imagen a traves de la comunicacion de crisis.pdfTema 8.- Gestion de la imagen a traves de la comunicacion de crisis.pdf
Tema 8.- Gestion de la imagen a traves de la comunicacion de crisis.pdfDaniel Ángel Corral de la Mata, Ph.D.
 
PROGRAMACION ANUAL DE MATEMATICA 2024.docx
PROGRAMACION ANUAL DE MATEMATICA 2024.docxPROGRAMACION ANUAL DE MATEMATICA 2024.docx
PROGRAMACION ANUAL DE MATEMATICA 2024.docxEribertoPerezRamirez
 
Concurso José María Arguedas nacional.pptx
Concurso José María Arguedas nacional.pptxConcurso José María Arguedas nacional.pptx
Concurso José María Arguedas nacional.pptxkeithgiancarloroquef
 
GUIA DE TEXTOS EDUCATIVOS SANTILLANA PARA SECUNDARIA
GUIA DE TEXTOS EDUCATIVOS SANTILLANA PARA SECUNDARIAGUIA DE TEXTOS EDUCATIVOS SANTILLANA PARA SECUNDARIA
GUIA DE TEXTOS EDUCATIVOS SANTILLANA PARA SECUNDARIAELIASPELAEZSARMIENTO1
 
describimos como son afectados las regiones naturales del peru por la ola de ...
describimos como son afectados las regiones naturales del peru por la ola de ...describimos como son afectados las regiones naturales del peru por la ola de ...
describimos como son afectados las regiones naturales del peru por la ola de ...DavidBautistaFlores1
 
Fichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdf
Fichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdfFichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdf
Fichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdfssuser50d1252
 
Actividad transversal 2-bloque 2. Actualización 2024
Actividad transversal 2-bloque 2. Actualización 2024Actividad transversal 2-bloque 2. Actualización 2024
Actividad transversal 2-bloque 2. Actualización 2024Rosabel UA
 
MODELO DE INFORME DE INDAGACION CIENTIFICA .docx
MODELO DE INFORME DE INDAGACION CIENTIFICA .docxMODELO DE INFORME DE INDAGACION CIENTIFICA .docx
MODELO DE INFORME DE INDAGACION CIENTIFICA .docxRAMON EUSTAQUIO CARO BAYONA
 
4º SOY LECTOR PART2- MD EDUCATIVO.p df PARTE
4º SOY LECTOR PART2- MD  EDUCATIVO.p df PARTE4º SOY LECTOR PART2- MD  EDUCATIVO.p df PARTE
4º SOY LECTOR PART2- MD EDUCATIVO.p df PARTESaraNolasco4
 
Técnicas de grabado y estampación : procesos y materiales
Técnicas de grabado y estampación : procesos y materialesTécnicas de grabado y estampación : procesos y materiales
Técnicas de grabado y estampación : procesos y materialesRaquel Martín Contreras
 
Presentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptx
Presentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptxPresentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptx
Presentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptxRosabel UA
 
PLAN DE TUTORIA- PARA NIVEL PRIMARIA CUARTO GRADO
PLAN DE TUTORIA- PARA NIVEL PRIMARIA CUARTO GRADOPLAN DE TUTORIA- PARA NIVEL PRIMARIA CUARTO GRADO
PLAN DE TUTORIA- PARA NIVEL PRIMARIA CUARTO GRADOMARIBEL DIAZ
 
05 Fenomenos fisicos y quimicos de la materia.pdf
05 Fenomenos fisicos y quimicos de la materia.pdf05 Fenomenos fisicos y quimicos de la materia.pdf
05 Fenomenos fisicos y quimicos de la materia.pdfRAMON EUSTAQUIO CARO BAYONA
 
Fisiologia.Articular. 3 Kapandji.6a.Ed.pdf
Fisiologia.Articular. 3 Kapandji.6a.Ed.pdfFisiologia.Articular. 3 Kapandji.6a.Ed.pdf
Fisiologia.Articular. 3 Kapandji.6a.Ed.pdfcoloncopias5
 
Manejo del Dengue, generalidades, actualización marzo 2024 minsa
Manejo del Dengue, generalidades, actualización marzo 2024 minsaManejo del Dengue, generalidades, actualización marzo 2024 minsa
Manejo del Dengue, generalidades, actualización marzo 2024 minsaLuis Minaya
 

Último (20)

DETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIOR
DETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIORDETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIOR
DETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIOR
 
TUTORIA II - CIRCULO DORADO UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO
TUTORIA II - CIRCULO DORADO UNIVERSIDAD CESAR VALLEJOTUTORIA II - CIRCULO DORADO UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO
TUTORIA II - CIRCULO DORADO UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO
 
Uses of simple past and time expressions
Uses of simple past and time expressionsUses of simple past and time expressions
Uses of simple past and time expressions
 
Tema 8.- Gestion de la imagen a traves de la comunicacion de crisis.pdf
Tema 8.- Gestion de la imagen a traves de la comunicacion de crisis.pdfTema 8.- Gestion de la imagen a traves de la comunicacion de crisis.pdf
Tema 8.- Gestion de la imagen a traves de la comunicacion de crisis.pdf
 
PROGRAMACION ANUAL DE MATEMATICA 2024.docx
PROGRAMACION ANUAL DE MATEMATICA 2024.docxPROGRAMACION ANUAL DE MATEMATICA 2024.docx
PROGRAMACION ANUAL DE MATEMATICA 2024.docx
 
Concurso José María Arguedas nacional.pptx
Concurso José María Arguedas nacional.pptxConcurso José María Arguedas nacional.pptx
Concurso José María Arguedas nacional.pptx
 
GUIA DE TEXTOS EDUCATIVOS SANTILLANA PARA SECUNDARIA
GUIA DE TEXTOS EDUCATIVOS SANTILLANA PARA SECUNDARIAGUIA DE TEXTOS EDUCATIVOS SANTILLANA PARA SECUNDARIA
GUIA DE TEXTOS EDUCATIVOS SANTILLANA PARA SECUNDARIA
 
Aedes aegypti + Intro to Coquies EE.pptx
Aedes aegypti + Intro to Coquies EE.pptxAedes aegypti + Intro to Coquies EE.pptx
Aedes aegypti + Intro to Coquies EE.pptx
 
describimos como son afectados las regiones naturales del peru por la ola de ...
describimos como son afectados las regiones naturales del peru por la ola de ...describimos como son afectados las regiones naturales del peru por la ola de ...
describimos como son afectados las regiones naturales del peru por la ola de ...
 
Fichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdf
Fichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdfFichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdf
Fichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdf
 
Actividad transversal 2-bloque 2. Actualización 2024
Actividad transversal 2-bloque 2. Actualización 2024Actividad transversal 2-bloque 2. Actualización 2024
Actividad transversal 2-bloque 2. Actualización 2024
 
MODELO DE INFORME DE INDAGACION CIENTIFICA .docx
MODELO DE INFORME DE INDAGACION CIENTIFICA .docxMODELO DE INFORME DE INDAGACION CIENTIFICA .docx
MODELO DE INFORME DE INDAGACION CIENTIFICA .docx
 
4º SOY LECTOR PART2- MD EDUCATIVO.p df PARTE
4º SOY LECTOR PART2- MD  EDUCATIVO.p df PARTE4º SOY LECTOR PART2- MD  EDUCATIVO.p df PARTE
4º SOY LECTOR PART2- MD EDUCATIVO.p df PARTE
 
Técnicas de grabado y estampación : procesos y materiales
Técnicas de grabado y estampación : procesos y materialesTécnicas de grabado y estampación : procesos y materiales
Técnicas de grabado y estampación : procesos y materiales
 
Presentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptx
Presentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptxPresentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptx
Presentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptx
 
PLAN DE TUTORIA- PARA NIVEL PRIMARIA CUARTO GRADO
PLAN DE TUTORIA- PARA NIVEL PRIMARIA CUARTO GRADOPLAN DE TUTORIA- PARA NIVEL PRIMARIA CUARTO GRADO
PLAN DE TUTORIA- PARA NIVEL PRIMARIA CUARTO GRADO
 
05 Fenomenos fisicos y quimicos de la materia.pdf
05 Fenomenos fisicos y quimicos de la materia.pdf05 Fenomenos fisicos y quimicos de la materia.pdf
05 Fenomenos fisicos y quimicos de la materia.pdf
 
Fisiologia.Articular. 3 Kapandji.6a.Ed.pdf
Fisiologia.Articular. 3 Kapandji.6a.Ed.pdfFisiologia.Articular. 3 Kapandji.6a.Ed.pdf
Fisiologia.Articular. 3 Kapandji.6a.Ed.pdf
 
Manejo del Dengue, generalidades, actualización marzo 2024 minsa
Manejo del Dengue, generalidades, actualización marzo 2024 minsaManejo del Dengue, generalidades, actualización marzo 2024 minsa
Manejo del Dengue, generalidades, actualización marzo 2024 minsa
 
Aedes aegypti + Intro to Coquies EE.pptx
Aedes aegypti + Intro to Coquies EE.pptxAedes aegypti + Intro to Coquies EE.pptx
Aedes aegypti + Intro to Coquies EE.pptx
 

Unidad 2_Álgebra, tigonometría y geometría analitica_Grupo 13..pptx

  • 1. Unidad 2. Pensamiento variacional y trigonométrico. Fase 3. Trigonometría plana. Carolina Torres Espinosa Cód: 1005259141 Jaydher Hernando Rojas Jaimes. Cód. 1102372442 Álgebra, trigonometría y geometría analítica-551108 Grupo:13 Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD
  • 2. Temáticas  Razones trigonométricas.  Teorema o ley de seno y coseno.  Identidades trigonométricas.  Ecuaciones trigonométricas.  Aplicaciones trigonométricas.
  • 3. Razones trigonométricas en triángulos rectángulos. Hipotenusa: Lado más lago del triángulo, que en este caso es el lado opuesto al ángulo de 90°. Cateto opuesto (CO): Hace referencia al lado que se encuentra en contraposición al ángulo que se esté analizando. Cateto adyacente (CA): Hace referencia al lado que se encuentra seguido del ángulo analizado. En los triángulos rectángulos las razones trigonométricas, hacen referencia a las razones que se dan entre los lados de este triangulo. Estas razones se plantean de acuerdo a cada uno de los ángulos del triángulo. Los lados en un triángulo rectángulo se denominan de acuerdo a su relación con el ángulo analizado:
  • 4. Razones trigonométricas 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 𝑐𝑜 ℎ 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 𝑐𝑎 ℎ 𝑇𝑎𝑛 𝑥 = 𝐶𝑜 𝐶𝑎 𝐶𝑠𝑐 𝑥 = ℎ 𝑐𝑜 𝑆𝑒𝑐 𝑥 = ℎ 𝑐𝑎 𝐶𝑜𝑡 𝑥 = 𝑐𝑎 𝑐𝑜 Las razones trigonométricas básicas son seno, coseno y tangente, de estas surgen las funciones trigonométricas derivadas, las cuales son cosecante, secante y cotangente, las cuales plantean razones trigonométricas reciprocas a las principales.
  • 5. Ejemplo 11,4 cm 𝑆𝑒𝑛 𝐴 = 𝑐𝑜 ℎ = 3 11,4 𝐶𝑜𝑠 𝐴 = 𝑐𝑎 ℎ = 11 11,4 𝑇𝑎𝑛 𝐴 = 𝑐𝑜 𝑐𝑎 = 3 11 Razones trigonométricas para el ángulo A.
  • 6. Teorema de seno La fórmula de este teorema se puede escribir de dos maneras dependiendo del dato que se esté indagando. Este teorema establece la relación de proporcionalidad que se da entre los lados de un triángulo de cualquier tipo, con los senos de los ángulos opuestos a estos lados. Se emplea cuando conocemos al menos dos lados y un ángulo apuesto a alguno de estos lados. Para hallar el valor de un lado: 𝑎 𝑆𝑒𝑛 𝐴 = 𝑏 𝑆𝑒𝑛 𝐵 = 𝑐 𝑆𝑒𝑛 𝐶 Para hallar el valor de un ángulo: 𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝑎 = 𝑆𝑒𝑛 𝐵 𝑏 = 𝑆𝑒𝑛 𝐶 𝑐 Nota: Se utilizan dos de las tres partes de la proporcionalidad, dependiendo de los datos que se tengan y se despeja la incógnita.
  • 7. Ejemplo: 𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝑎 = 𝑆𝑒𝑛 𝐵 𝑏 = 𝑆𝑒𝑛 𝐶 𝑐 𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝑎 = 𝑆𝑒𝑛 𝐶 𝑐 𝑆𝑒𝑛 𝐴 = 𝑆𝑒𝑛 𝐶 𝑎 𝑐 𝑆𝑒𝑛 𝐴 = 𝑆𝑒𝑛 75,78° 70 75,4 𝑆𝑒𝑛−1 𝑆𝑒𝑛 𝐴 = 𝑆𝑒𝑛−1 𝑆𝑒𝑛 75,78° 70 75,4 𝐴 = 𝑆𝑒𝑛−1 𝑆𝑒𝑛 75,78° 70 75,4 𝐴 = 64.149° 𝐴 = 64.2° =75,4 Hallar el valor del ángulo A por medio de la ley de seno.
  • 8. Teorema de coseno Fórmulas del teorema de coseno  𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 ∙ 𝐶𝑜𝑠 𝐴  𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 ∙ 𝐶𝑜𝑠 𝐵  𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 ∙ 𝐶𝑜𝑠 𝐶 Este teorema establece la relación de proporcionalidad que se da entre los lados de un triángulo cualquiera, con los cosenos de los ángulos opuestos a dichos lados. Se emplea principalmente cuando se conoce: LAL: Lado, ángulo, lado. LLL: El valor de los tres lados del triángulo.
  • 9. Ejemplo 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 𝐶 𝑐2 = 70 2 + 50 2 − 2 70 50 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 75,78° 𝑐2 = 4900 + 2500 − 2 70 50 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 75,78° 𝑐2 = 4900 + 2500 − 2 3500 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 75,78° 𝑐2 = 4900 + 2500 − 2 3500 ⋅ 0,245 𝑐2 = 4900 + 2500 − 1719,5 𝑐2 = 5680,5 𝑐2 = 5680,5 𝑐 = 75,369 𝑐 = 75,4𝑚 Hallar el valor del lado c, empleando la ley de coseno.
  • 10. Identidades trigonométricas  Las identidades trigonométricas se pueden entender como la igualdad entre las razones trigonométricas.  La identidad trigonométrica también se puede entender como una ecuación que contiene funciones trigonométricas; dicha ecuación debe ser válida para todos los valores que se le puedan asignar a las variables.  Las identidades trigonométricas se emplean para simplificar o reescribir una expresión matemática que contenga funciones trigonométricas.
  • 11. Identidad fundamental De ella podemos obtener inicialmente dos fórmulas cuando realizamos el despeje de seno y coseno respectivamente: La identidad fundamental es de las identidades más importantes dentro de las funciones trigonométricas, ya que ella establece la relación entre el teorema de Pitágoras, la relación entre los lados de un triángulo y el circulo trigonométrico. 𝑆𝑒𝑛2 𝑥 + 𝐶𝑜𝑠2 𝑥 = 1 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 1 − 𝐶𝑜𝑠2(𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑥) = 1 − 𝑆𝑒𝑛2(𝑥)
  • 12. Identidades de cociente Las identidades de cociente hacen referencia a tangente y cotangente las cuales representa respectivamente la relación que se puede establecer entre la división o cociente de las funciones trigonométricas de seno y coseno. 𝑇𝑎𝑛 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛(𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝐶𝑜𝑡 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 (𝑥) 𝑆𝑒𝑛(𝑥)
  • 13. Identidades reciprocas Las identidades reciprocas se obtienen al aplicar el reciproco a cada una de las razones trigonométricas de dichas funciones, en las cuales se obtendrán nuevas fracciones que representan dichas razones. 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 1 𝐶𝑠𝑐(𝑥) reciproca 𝐶𝑠𝑐 𝑥 = 1 𝑆𝑒𝑛 (𝑥) 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 1 𝑆𝑒𝑐 (𝑥) reciproca 𝑆𝑒𝑐 𝑥 = 1 𝐶𝑜𝑠 (𝑥) 𝑇𝑎𝑛 𝑥 = 1 𝐶𝑜𝑡 (𝑥) reciproca 𝐶𝑜𝑡 𝑥 = 1 𝑇𝑎𝑛 (𝑥)
  • 14. Identidades pitagóricas Dichas identidades se conocen como pitagóricas, ya que se derivan del teorema de Pitágoras. Por otra parte, surgen entre la relación de la identidad fundamental y las identidades del cociente. 𝑇𝑎𝑛2 𝑥 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝐶𝑜𝑡2 𝑥 + 1 = 𝐶𝑠𝑐2 (𝑥)
  • 15. Ejemplo Realizar la identidad trigonométrica 𝑆𝑒𝑐 𝑥 𝑇𝑎𝑛 𝑥 + 𝐶𝑜𝑡 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛 𝑥 1 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝑇𝑎𝑛 𝑥 + 𝐶𝑜𝑡 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛 𝑥 1 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛 𝑥 1 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛 𝑥 1 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝑆𝑒𝑛2𝑥 + 𝐶𝑜𝑠2𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛 𝑥 1 𝐶𝑜𝑠 𝑥 1 𝐶𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛 𝑥 1 𝐶𝑜𝑠 𝑥 1 𝐶𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛 𝑥
  • 16. Ecuaciones trigonométricas  Para resolver ecuaciones trigonométricas se necesita de un buen manejo de las identidades y de las funciones trigonométricas inversas, además de principios de álgebra y trigonometría, ya que lo que se busca es poder despejar el ángulo que satisfaga la respectiva ecuación trigonométrica.  Para desarrollar toda ecuación trigonométrica se recomienda reescribir está en función únicamente de seno o de coseno.  Finalmente, se debe Identificar de acuerdo a los cuadrantes del plano cartesiano y en relación con la circunferencia unitaria o trigonométrica, dependiendo de la respuesta obtenida, los ángulos que se pueden cumplir para dicha ecuación. Las ecuaciones trigonométricas hacen referencia a aquellas identidades que se cumplen exclusivamente para ángulos específico.
  • 17. Ejemplo 𝑆𝑒𝑛 𝑥 − 2 𝑆𝑒𝑛 𝑥 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 0 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥 − 2 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 0 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥 − 2 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 0 −2 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 0 − 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 0 − 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥 −2 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = − 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥 −2 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = −1 −2 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 1 2 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠−1 1 2 𝑥 = 60° 𝑥1= 60° 𝑥2 = 360° − 60° 𝑥2 = 300° Resolver la ecuación Encontrar los ángulos que satisfacen la ecuación.
  • 18. Aplicaciones trigonométricas Para resolver problemas matemáticos asociados a las funciones trigonométricas, se recomienda tener conocimientos de las temáticas abordadas en estas diapositivas además de conocimientos algebraicos, trigonométricos y geométricos, así como graficar las situaciones abordadas. En la vida cotidiana, las funciones trigonometrías poseen una gran cantidad de aplicaciones que nos permiten resolver distintas problemáticas o situaciones matemáticas, estas aplicaciones tienen gran impacto en ámbitos como la ciencia, la ingeniería, la arquitectura y la construcción entre otras, pues principalmente las funciones trigonométricas nos permiten conocer el valor de ángulos y de lados en relación a ángulos, lo cual es de gran relevancia en diferentes ámbitos científicos y de la vida cotidiana.
  • 19. Ejemplo Andrea y Claudia corren juntas un trayecto, llegan a un cruce de caminos rectos (sin ninguna curva), que forman entre sí un ángulo de 60º y cada una toma un camino. A partir de ese momento, Andrea camina a 2 km/h y Claudia a 4 km/h ¿A qué distancia estará Andrea de Claudia al cabo de una hora y media? 1. Hallar la distancia que han recorrido Andrea y Claudia en cada uno de los caminos, al cabo de una hora y media. 𝐴𝑛𝑑𝑟𝑒𝑎 = 2𝑘𝑚 ℎ ⋅ 1,5ℎ = 3𝑘𝑚 𝐶𝑙𝑎𝑢𝑑𝑖𝑎 = 4𝑘𝑚 ℎ ⋅ 1,5ℎ = 6𝑘𝑚
  • 20. 2. Graficar el problema en GeoGebra.
  • 21. 3. Aplicar la ley de coseno para hallar el valor de b, que es igual a la distancia entre Andrea y Claudia. 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 𝐵 𝑏2 = 62 + 32 − 2 6 3 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 60° 𝑏2 = 36 + 9 − 2 18 ⋅ 1 2 𝑏2 = 36 + 9 − 18 𝑏2 = 27 𝑏2 = 27 𝑏 = 5,19𝑘𝑚 Respuesta: Al cabo de una hora y media Andrea estará a 5,19 km de Claudia.
  • 22. Referencias Castañeda, H. S. (2014). Matemáticas fundamentales para estudiantes de ciencias. Bogotá, CO: Universidad del Norte. Páginas 153 – 171. https://elibro- net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/69943?page=159 Henao, A. (2012). Funciones Trigonométricas GeoGebra. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7691 Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 237 - 265. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583