Pratica Pedagogica II

UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
LINCENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA

Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II
Professora: Isolda Giani de Lima

PRÁTICA PEDAGÓGICA 2
Calculando Volumes

BRUNA TIZATTO
ELAINE TONIETTO
LUCILENE DAHMER
MARIANE PASTORE

Caxias do Sul
2008

1

INTRODUÇÃO

Da mesma forma que aprendemos o cálculo de áreas, também aprendemos o cálculo de
volume, com simples fórmulas, e apenas fórmulas. Mas não sabíamos bem o que estávamos
fazendo, e porque fazíamos, mas decorávamos todas elas.
De nada adiantaria sabermos todas as fórmulas de integral, derivada, se não soubéssemos
também para o que podemos utilizar. O cálculo de volumes é uma aplicação prática da Integral
Definida.
Mais precisamente no cálculo do volume dos sólidos de revolução podemos perceber o que
nunca havíamos percebido, que esses sólidos são gerados através da translação da curva de uma
função em torno de um dos eixos.
Com esse estudo que faremos no trabalho, vamos dar sentido a toda a parte de volumes que
aprendemos anteriormente, mas agora com uma boa base, com todas as explicações, para que
possamos saber realmente o que estamos fazendo, e não apenas colocando valores arbitrários
dados, em simples fórmulas decoradas.

2

Calculando Volumes

Cilindro Circular Reto

Definição:
Sejam e dois planos paralelos e distintos; uma reta s secante a esses planos e
perpendicular a ; um círculo C de centro O contido em . Chamamos de cilindro circular reto a
reunião de todos os segmentos paralelos a reta s, que unem um ponto do círculo C a um ponto de
.

Um cilindro circular reto pode ser obtido girando-se uma região retangular em torno de
uma reta que contém um de seus lados. Por isso, o cilindro circular reto pode ser chamado
também de cilindro de revolução, uma vez que é o sólido gerado quando uma região retangular
faz um giro completo em torno do eixo determinado por um de seus lados.

Elementos:

3

Bases: são os círculos de centro O e O de raios de medida r.
Eixo: é a reta OO que passa pelo centro das bases
Geratriz: é todo segmento paralelo à reta OO (eixo) e os extremos são pontos das
circunferências das bases.
Altura: é a distância h, entre os planos que contêm as bases.

Obs.: Em um cilindro circular reto a medida da geratriz é igual a altura.

Secções de um cilindro:
Secção transversal
É a intersecção do cilindro com um plano paralelo às suas bases. A secção tranversal é
um círculo congurente às bases. Todas as secções transversais são congruentes.

Secção Meridiana
É a intersecção do cilindro com um plano que contém o seu eixo.

A secção meridiana de um cilindro circular reto é um retângulo.

Área da superfície de um cilindro circular reto

4

Área da base (A b )
A área da base de um cilindro circular reto é a área de um círculo de raio r.

A b r 2

Área lateral (A l )
Área lateral de um cilindro circular reto é a área de um retângulo de base 2r ( perímetro
da base) e altura h, onde r é o raio do cilindro e h é a altura do cilindro.

A l 2rh

Área total (A t )
A superfície total de um cilindro circular reto é a reunião da superfície lateral com os
dois círculos das bases.

At Al 2 Ab
A t 2rh 2r 2
A t 2r h r

5

Volume de um cilindro circular reto
Volume calculado pela Geometria Espacial
Consideremos um cilindro qualquer e um paralelepípedo , ambos de altura h, apoiados
em um plano horizontal de modo que suas bases sejam equivalentes. Um plano qualquer,
paralelo a corta os dois sólidos determinando regiões planas de áreas iguais.

Assim , pelo princípio de Cavalieri, os dois sólidos são equivalentes, ou seja, têm o
mesmo volume:
V cilindro V paralelepípedo
Como o volume do paralelepípedo é dado por:
V paralelepípedo A b h
Segue que:
V cilindro A b h
Visto que a base do cilindro é um círculo de raio r e área igual a r 2 , podemos escrever a
fórmula acima da seguinte maneira:
V cilindro A b h
V cilindro r 2 h

Volume calculado pela Integral Definida
A integral utilizada para calcular o volume de qualquer sólido de revolução é a seguinte:
b
V Þ f x 2 dx
a

LEI DA FUNÇÃO:

6

f x r, 0 x h

CÁLCULO DO VOLUME:
h
V Þ r 2 dx
0
h
V r 2 x| 0
V r 2 h r 2 0
V r 2 h

Problemas de Aplicação:
Problema 1:
As latas de azeite comercializadas atualmente tem em média 900ml de óleo. Uma certa
empresa decidiu mudar a sua embalagem, e ao invés de ter altura de 18cm, como todas, quer um
design diferente, com 22cm de altura. Qual será o diâmetro da lata, para que não seja necessário
mudar a quantidade de óleo em cada lata?
V r 2 h
900 r 2 22
900
r 22

r 3. 608 6cm
O diâmetro da lata será 7, 22cm.

Problema 2:
Certa bebida é vendida em dois recipientes cilíndricos:
Recipiente1.uma lata de raio da base igual a 3, 1cme altura 11, 6cm;
Recipiente 2. lata de raio da base igual a 3, 1cm e altura 16, 6cm.

Os preços dessa bebida são R$0, 70 e R$1, 10, respectivamente, para cada lata. Qual das duas
embalagens representa melhor preço para o consumidor?

Primeira lata:
V r 2 h
V 9, 61. 11, 6
V 350, 2cm 3
Como 1cm 3 1ml, então:
V 350, 2ml
0, 7
Esta lata custa R$0, 70. Então R$0, 001992.
350, 2
Logo, cada ml de bebida desta primeira lata custa R$0, 001992.

Segunda lata:
V r 2 h
V 9, 61. 16, 6
V 501, 16cm 3
V 501, 16ml

7

1, 1
Esta lata custa R$ 1,10. Então R$0, 002195.
501, 16
Logo, cada ml de bebida desta segunda lata custa R$0, 002195.

Com isto, podemos observar que a embalagem que representa o melhor preço para o
consumidor é a primeira, pois cada ml da primeira lata é mais barato que o da segunda.
Cilindro Circular Reto Eqüilátero

Definição:
Dentre os cilindros retos devemos destacar o cilindro eqüilátero, no qual as geratrizes, e
conseqüentemente as alturas, são congruentes aos diâmetros das bases.

Secções de um cilindro circular reto equilátero:
Secção Meridiana
Em todo cilindro eqüilátero a secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro
da base) .
h 2r

Área da superfície de um cilindro circular reto equilátero
A b r 2

A l 2rh
A l 2r 2r A l 4r 2
h 2r

Área total (A t )

8

At Al 2 Ab
A b r 2 A t 4r 2 2 r 2 A t 6r 2
A l 4r 2
Volume
V r 2 h
V r 2 2r V 2r 3
h 2r


LEI DA FUNÇÃO:
f x r, 0 x 2r

CÁLCULO DO VOLUME:
2r
V Þ r 2 dx
0

V r 2 x| 2r
0
V r 2 2r r 2 0
V 2r 3

Problemas de Aplicação
Problema 1:
O prêmio do próximo Oscar será uma espécie de recipiente em forma de cilindro circular
equilátero, feito de ouro maciço. As caixas nas quais esses prêmios serão transportados aguentam
no máximo 20 quilos. Sabendo que a altura desse prêmio é de 3cm, calcule quantos recepientes
poderão ser colocados em cada uma dessas caixas. Dado: densidade do ouro é de 19g/cm 3 .

Como, em um cilindro equilátero, h 2r, então, r

9

V 2r 3
V 23 3
V 169. 65cm 3
Sabemos que Densidade massa . Assim:
volu m e
D m v
19 m
169. 65
m 3223, 35g
m 3, 223kg

Agora, basta dividirmos o massa total permitida em cada caixa, pela massa de cada prêmio.
20 6, 2
3, 22
Logo, cada caixa poderá transportar até 6 prêmios.

Problema 2:
Paulo dará para sua namorada uma caixa cúbica que dentro tem inscrita uma lata
decorada em forma de cilindro equilátero. Sabendo que o volume da lata é 64cm 3 , qual o
volume da caixa que estará vazio, onde ele poderá colocar outros presentinhos?

Como o cilindro circular equilátero tem altura igual ao diâmetro da base, temos que:
V r 2 h
64 2r 3
r 2 3 4 cm

E como a aresta do cubo é igual ao diâmetro do cilindro, temos a 4 3 4 cm
V cubo a 3
V cubo 256cm 3

V vazio V cubo V cilindro
V vazio 256 64
V vazio 55cm 3

Cone Circular Reto

Definição:
Se C é um círculo contido num plano e V é um ponto fora de , denominamos cone
circular reto o conjunto dos pontos de todos os segmentos, que têm uma extremidade em V e
outra extremidade em C.

10

O cone circular reto é também chamado cone de revolução, pelo fato de ser gerado pela
rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

Elementos:

Vértice: é o ponto V da figura
Base: é a região circular de raio de medida r e centro O.
Eixo: é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.
Geratriz: é cada segmento com uma extremidade no vértice e outra num ponto qualquer
da circunferência.
Altura: é a distância do vértice ao plano que contém a base.

Obs: 1. No cone reto, as geratrizes são congruentes.
2. A partir da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:
g2 h2 r2

11

Secções de um cilindro:
Secção Transversal
A secção transversal é a intersecção do cone com um plano paralelo à sua base, que
neste caso é um círculo.

Secção Meridiana
A secção meridiana, produzida pela intersecção de um cone circular com um plano que
contém o eixo, é um triângulo.

Área da superfície de um cone reto

É a área de um círculo de raio r.

12

A b r 2

Área lateral é a área de um setor circular cujo raio é g (geratriz do cone) e cujo
comprimento do arco é 2r (perímetro da base).
Isso pode ser visualizado se planificarmos a superfície lateral do cone:

A l área de um setor circular
comprimento do arco raio
Al
2
2rg
Al
2
A l rg

Área total (A t )
A superfície total de um cone é a reunião da superfície lateral com o círculo da base.
Assim, a área total do cone é dada por:

At Al Ab
A t rg r 2
A t r g r

Volume
Consideremos um cone qualquer e uma pirâmide, ambos de altura h , apoiados em um
plano horizontal , de modo que suas bases sejam equivalentes. Um plano qualquer, paralelo a
, corta os dois sólidos determinando regiões planas de áreas iguais.

13

Assim, pelo princípio de Cavalieri, os dois sólidos são equivalentes, ou seja, têm o
mesmo volume:
V cone V pirâmide
Como o volume da pirâmide é dado por:
V pirâmide A b h
3
Segue que:
V cone A b h
3

Visto que a base do cone é um círculo de raio r e área r 2 , podemos escrever essa
fórmula da seguinte maneira:
V cone A b h
3
2
V cone r h
3


LEI DA FUNÇÃO:

14

y y0 y y0 m x x0
m x x0 y 0 r x 0
h
m r rx
h y
h

Assim, a Lei da Função é: y r x, 0 x h
h

CÁLCULO DO VOLUME:
2
rx
h
VÞ dx
0 h
2
Þ 0 r 2 x 2 dx
h
V
h
2 3 h
V r2 x
h 3 0
2 3 2 3
V r2 h r2 0
h 3 h 3
2
V r h
3

Problema 1:
Muitos bares servem chope em copos em forma de um cone invertido, chamado Tulipa.
Num certo bar onde Pedro foi beber, tomou 3 dessas tulipas, com altura de 20cm (completamente
cheio) e raio de 4cm. Sabendo que em 100ml de chope há aproximadamente 5ml de álcool, qual
foi a quantidade de álcool que ele ingeriu com esses três copos?
2
V copo r h
3
V copo 16 20
3
V copo 335cm 3
V copo 335ml

Três copos correspondem a, apromimadamente, 1litro de chope. Então, Pedro ingeriu,
aproximadamente, 50ml de álcool nesses três copos.

Problema 2:
Uma casquinha de sorvete, geralmente de formato cônico, tem 6cm de diâmetro e 10cm
de altura.Quanto sorvete você comeria se comprasse ela completamente cheia?
2
V r h
3
V 3 2 10
3
V 94, 2cm 3
V 94, 2ml

Cone Circular Reto Equilátero

15

Definição:
É todo cone reto em que as geratrizes são congruentes ao diâmetro da base g 2r

Secções de um cone circular reto equilátero:
Secção Meridiana
No cone equilátero a secção meridiana é um triângulo equilátero (geratrizes são iguais ao
diâmetro da base).
g 2r

Pelo teorema de Pitágoras:
g2 h2 r2
Como g 2r :
2
2r h2 r2
4r 2 h 2 r 2
h 2 4r 2 r2
h 3r 2
hr 3

Área da superfície de um cone circular reto equilátero:
A b r 2

A l rg
A l r 2r A l 2r 2
g 2r
Área total (A t )
At Al Ab
A b r 2 A t 2r 2 r 2 A t 3r 2
A l 2r 2

Volume

16

V 1 r 2 h
3
g 2r
Como já sabemos, h r 3. Logo,
V 1 r 2 h
3
V 1 r 2 r 3
3
3 3
V r
3


LEI DA FUNÇÃO:
y y
m x x00
y y0 m x x0
m r 0 3
y 0 x 0
r 3 0 3
3 3
m y x
3 3

Assim, a Lei da Função é: y 3
x, 0 x r 3
3

CÁLCULO DO VOLUME:
2
r 3 3
VÞ x dx
0 3

1 x 2 dx
r 3
VÞ
0 3
3 r 3
V 1 x
3 3 0

r 3 3
V 1 0
3 3
3 2
1 r 3 3
V
3 3
3 2
V r
3

Problema 1:

17

Uma ampulheta pode ser considerada como formada por 2 cones idênticos e equiláteros,
unidos pelo vértice, inscritos em um cilindro reto. Encontre a razão R entre o volume de um dos
cones e o volume do cilindro.

Intuitivamente podemos dizer que a altura de cada cone é metade da altura do cilindro.
Então:

2
V cone r h
3
V cone r 2 . h V cilindro r 2 h
3 2
2
V cone r h
6
Assim:
R V cone
V cilindro
r 2 h
R 6
r 2 h
2
R r h . 12
6 r h
R 1
3
Problema 2:
O volume de um cone equilátero é igual a 9 3 cm 3 . Calcule a altura do cone.

3 3
V r
3
3 3
9 3 r
3
r 3cm

Como diâmetro 2r g 6cm, pelo Teorema de Pitágoras:
g2 h2 r2
62 h2 32
h 2 27
h 3 3 cm

Tronco de Cone

18

Definição:
Denominamos tronco de cone de bases paralelas a parte do cone circular reto limitada
pela base e por uma secção transversal qualquer desse cone.

O tronco de cone também pode ser obtido a partir da rotação de um trapézio retângulo
em torno de um de seus lados.
Elementos:

Base do cone deu origem ao tronco com raio de medida r.
Bases: a base maior ( base do cone inicial) e a base menor ( secção transversal do cone)
são paralelas.
Altura: é a distância entre as bases.
Geratriz do tronco: é todo segmento com uma extremidade em cada base contido numa
geratriz do cone que deu origem ao tronco, indicado por g.

Secções de um tronco de cone:
Secção Meridiana
A secção meridiana é determinada pela intersecção do cone com um plano que contenha
a reta OO (seu eixo). Essa secção meridiana é um trapézio de lados g (geratriz do tronco) e bases
2r (diâmetro da base menor) e 2R (diâmetro da base maior).

Área da superfície de um tronco de cone

19

As áreas das bases de um tronco de cone correspondem às áreas dos círculos que
constituem essas bases. Nesse caso, temos:
base maior: A B R 2
base menor: A b r 2

A área lateral do tronco de cone é igual à área lateral do cone primitivo menos a área
lateral do cone destacado (cone menor), isto é:
A l Rg r g G
A l G R r

Área total (A t )
A superfície total de um tronco de cone é a reunião da superfície lateral com as bases. A
área dessa superfície é chamada área total do tronco, a qual indicamos por A t .
At Al AB Ab

Volume
V h R 2 Rr r 2
3


LEI DA FUNÇÃO:

20

y y
m x x00
y y0 m x x0
m R r y r R r x 0
h 0 h
R r xr
m R r y
h
h

Assim, a Lei da Função é: y R r x r, 0 x h
h

CÁLCULO DO VOLUME:

2
VÞ R r xr
h
dx
0 h
2
R r
x2 2 R r xr r 2 dx
h
VÞ
0 h2 h

V Þ
h R22Rr r 2 x 2 2 R r xr r 2 dx
0 h2 h
h
V R 2 2Rr r 2 x 3 2 R r x 2 r r 2 x
h2 3 h 2 0
2 2 3 2
V R 2Rr r h 2 R r h r r2h 0
h2 3 h 2
V h R 2 2Rr r 2 Rrh r 2 h r 2 h
3
2
V R h 2Rrh r 2 h Rrh
3 3 3
2 2
V R h Rrh r h
3 3 3
V 1 h R 2 Rr r 2
3
V h R 2 Rr r 2
3

Problema 1:
Uma vasilha tem a forma de um troco de cone. Tem altura de 10cm, raio da base 8cm e a
abertura de raio 10cm, e está embaixo de uma goteira que pinga 10ml de água a cada
2minutos. Em quanto tempo ela estará cheia?
V h R 2 Rr r 2
3
10
V 3 10 2 10 8 8 2
31, 4
V 100 80 64
3
V 2554cm 3
V 2554ml

Como a troneira pinga 10ml a cada 2 min, então:
2554ml 255, 4 2 min 510 min 9horas
10ml

Problema 2:

21

Um copo tem as seguintes medidas internas: 6cm e 8cm de diâmetro nas bases e 9cm de
altura. Qual é o volume máximo de água que esse copo pode conter em ml?

V h R 2 Rr r 2
3
V 9 4 2 4 3 3 2
3
V 111cm 3
V 111ml

Esfera

Definição:
Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância
ao centro é menor ou igual ao raio R.
Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o
sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por
todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.

Elementos:

Eixo: é a reta que passa pelo centro O da esfera.
Pólos: são as intersecções do eixo com a superfície esférica. Nesse caso, P 1 e P 2 .
Equador: é a circunferência obtida pela intersecção da superfície esférica e um plano
perpendicular ao eixo que passa pelo centro O.
Paralelo: é qualquer seção (circunferência) perpendicular ao eixo x.
Meridiano: é qualquer seção (circunferência) cujo plano passa pelo eixo.

22

Seção da esfera
Seção da esfera: é o círculo obtido pela interseção da esfera e um plano secante a ela. Se
o plano secante contém o centro O da esfera, temos um círculo máximo.

Área da superfície de uma esfera

Área da esfera
A área A de uma superfície esférica de raio r é dada por:
A 4r 2

Volume
Uma esfera pode ser imaginada como a reunião de infinitas pirâmides em torno de um
ponto (centro da esfera).

A altura de cada pirâmide é o raio r da esfera.
Desse modo, a superfície esférica pode ser aproximada por um número finito de n
”polígonos”, cujas áreas são A 1 , A 2 , . . . , A n .
Assim, o volume da esfera é, aproximadamente, igual à soma dos volumes de todas as
pirâmides componentes:
V V 1 V 2 . . . V n
V A 1 r A 2 r . . . A n r
3 3 3
V r A 1 A 2 . . . A n
3

Fazendo n ”tender ao infinito”, podemos escrever: A 1 A 2 . . . A n A 4r 2
Então:
2 3
V r4r ou V 4r
3 3

23


LEI DA FUNÇÃO:
2 2
y yc x xc r2
2 2
y 0 x 0 r2
y2 x2 r2
y2 r2 x2
y r2 x2
y r2 x2
(como metade da circunferência está acima do eixo dos x)

Assim, a Lei da Função é: y r 2 x2 , r x r

CÁLCULO DO VOLUME:
r
V Þ r2 x 2 2 dx
r
r
V Þ r2 x 2 dx
r
r
V r2x x3
3 r
3
r3 r
V r2r r2 r
3 3
V 2 r3 2 r3
3 3
V 4 r 3
3

Problema 1:
Um reservatório de forma esférica tem 9m de raio. Para encher totalmente esse
reservatório são necessárias 20horas. Nessas condições, o reservatório recebe água na razão de
quantos m 3 /h?

24

3
V reservatório 4r
3
V reservatório 4 93
3
V reservatório 3053, 63m 3
Assim, a vazão, em m 3 /h, é 152, 6m 3 /h

Problema 2:
Funde-se 300 esferas com 20mm de diâmetro para fabricar cilindros circulares retos com
20mm de diâmetro e 200mm de altura. Qual o número de cilindros resultante?
3
V esfera 4r
3
V esfera 410 3
3
V esfera 4186, 6mm 3
Como são 300 esferas:
V total 300 4186, 6
V total 1256000mm 3

V cilindro r 2 h
V cilindro 100 200
V cilindro 62831, 85cm 3
Assim, para descobrir quantos cilindro serão produzidos basta dividir o volume total das
esferas pelo volume de cada cilindro.
V total 1256000mm 3 20 cilindros
V cilindro 62831, 85cm 3

OBSERVAÇÃO:
Neste nosso trabalho, no cálculo das fórmulas dos volumes dos sólidos, consideramos as
funções girando em torno do eixo x.

25

CONCLUSÃO

Após este estudo detalhado, provavelmente, ao calcularmos o volume de um sólido, não mais
teremos apenas que decorar as fórmulas para isto, mas sim, saberemos o porquê de cada
elemento, de cada termo.
Dará sentido então ao que realmente significa uma Integral, e para que utilizamos, ficando
mais fácil assim a compreensão e o interesse pelo estudo da mesma.
Com todos esses conceitos e cálculos, poderemos passar aos nossos futuros alunos o que
realmente eles precisam saber sobre volume, e no que eles realmente poderão usar isso na sua
vida. Mostrando essa aplicabilidade, estaremos desempenhando um bom papel de professor,
passando muito mais do que fórmulas, mas sim o conhecimento necessário sobre determinado
conteúdo para cada aluno.

26

BIBLIOGRAFIA

DANTE, Luiz Roberto. Matemática série novo ensino médio. Volume Único. Editora Ática.

BARRETO, Benigno Filho, SILVA, Cláudio Xavier da. Matemática: Aula por Aula.Volume
Único.São Paulo: FTD,2000.

BEZERRA, Manoel Jairo.Matemática. São Paulo: Scipione,1997.

BUCCHI, Paulo. Curso Prático de Matemática. Editora Moderna.

RIBEIRO, Jackson. Matemática ciência e linguagem. Volume Único. Editora Scipione.

GIONANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI, José Ruy Jr. Matemática
Completa.São Paulo: FDT, 2000.

GIONANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI, José Ruy Jr. Matemática
Completa. Volume Único. São Paulo: FDT.

IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIO, Roberta; ALMEIDA,
Nilze de. Matemática: Ciências e Aplicações. Volume 2. 2ª edição. São Paulo: Atual, 2004.

IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIO, Roberta; ALMEIDA,
Nilze de. Matemática: Ciências e Aplicações. Volume Único. São Paulo: Atual, 1997.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e Aplicações. Volume Único. 1ª edição, 4ª
reimpressão. São Paulo: Ática, 2002.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e Aplicações. Volume 1. Edição Reformulada.
São Paulo: Ática, 2007.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e Aplicações. Volume 2. Edição Reformulada.
São Paulo: Ática, 2007.

PAIVA, Manoel. Matemática: conceitos, linguagem e aplicações. Volume 3.1ª ed.São Paulo:
Moderna, 2002.

ANTON, Howard.Cálculo, um novo horizonte.6.ed.Porto Alegre:Bookman, 2000.V. 1.

27

Pratica Pedagogica II

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (19)

Similar a Pratica Pedagogica II

Similar a Pratica Pedagogica II (20)

Más de btizatto1

Más de btizatto1 (20)

Pratica Pedagogica II