O documento discute os conceitos básicos de conjuntos, incluindo: (1) Definições de conjunto segundo Bourbaki e Cantor; (2) Exemplos de conjuntos; (3) Relação de pertinência; (4) Conjunto universo; (5) Conjunto unitário e conjunto vazio.

1. Semana 9: Conjunto
Disciplina: Estruturas Lógico - Dedutivas

2. Conjuntos
Tipos de conjuntos
Noção de Conjuntos
Definição
Segundo N.Bourbaki:”Um conjunto é formado de elementos
suscetı́veis de possuı́rem certas propriedades e de terem entre si, ou
com elementos de outros conjuntos, certas relações”.
Definição
Segundo G. Cantor: ”Chama-se conjunto grupamento num todo
de objetos, bem definidos discernı́veis, de nossa percepção ou de
nosso entendimento, chamados os elementos do conjunto.”
Prof. Liliana J. Semana 9

3. Conjuntos
Tipos de conjuntos
Noção de Conjuntos
São exemplos de conjuntos:
1 O conjunto dos livros de uma biblioteca,
2 O conjunto das letras da palavra “Matemática”,
3 O conjunto das vogais do alfabeto português: a,e,i,o,u,
4 O conjunto dos polinômios de grau ı́mpar.
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4. Conjuntos
Tipos de conjuntos
Noção de Conjuntos
Um conjunto designa-se geralmente por uma letra latina maiúscula:
A, B, C, . . . , X, Y , Z
Os objetos que constituem um conjunto denominam-se elementos
do conjunto, e representam-se habitualmente pelas letras latinas
minúsculas:
a, d, c, . . . , x, y, z
O conjunto A cujos elementos são a, b, c, . . . , representa-se pela
notação:
A = {a, b, c, . . .}
que se lê: “A é o conjunto cujos elementos são a, b, c, . . .”.
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5. Conjuntos
Tipos de conjuntos
Noção de Conjuntos
Exemplo
1 Conjunto das vogais do alfabeto português: {a, e, i, o, u}
2 Conjunto dos nomes dos dias da semana que começam pela
letra s:
{segunda, sexta, sábado}
3 Conjunto dos nomes dos cinco continentes:
{Europa, Ásia, África, América, Oceania}
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6. Conjuntos
Tipos de conjuntos
Relação de Pertinência
Definição
Para indicar que um elemento x pertence ao conjunto A,
escreve-se: x ∈ A, notação devido ao matemático italiano
GIUSEPPE PEANO e que se lê: “x pertence a A”.
Com o mesmo significado de x ∈ A, escreve-se A ∋ x, que se lê:
“A contém x”
Definição
Para exprimir, ao invés, que um elemento x não pertence ao
conjunto A, escreve-se: x /
∈ A, que se lê: “x não pertence a A”.
Com o mesmo significado de x /
∈ A, escreve-se A ∋
/ x, que se lê: “A
não contém x”
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7. Conjuntos
Tipos de conjuntos
Relação de Pertinência
Exemplo
Seja A = {a, e, i, o, u}. Temos:
a ∈ A, b /
∈ A, e ∈ A, f /
∈ A, i, o, u ∈ A.
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8. Conjuntos
Tipos de conjuntos
Conjunto Universo
As palavras “elemento”e “conjunto”têm muitas vezes significado
relativo, pois um mesmo ente pode ser elemento em relação a
certos entes e conjunto em relação a outros entes.
Assim, por exemplo, uma turma de um colégio é um elemento do
conjunto das turmas do colégio, mas também é um conjunto de
alunos do colégio; analogamente, uma reta é um elemento do
conjunto de todas as retas, mas também é um conjunto de pontos,
etc.
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9. Conjuntos
Tipos de conjuntos
Conjunto Universo
Nestas condições, quando se deseja estudar um assunto qualquer
com o rigor da Matemática, cumpre primeiro que tudo precisar
quais são os entes considerados nesse assunto como elementos.
Definição
Chama-se conjunto universo ou apenas universo de uma teoria o
conjunto de todos os entes que são sempre considerados como
elementos nessa teoria.
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10. Conjuntos
Tipos de conjuntos
Conjunto Universo
Assim, em Geometria o universo é o conjunto de todos os pontos,
ou seja, o espaço.
O universo também é por vezes chamado conjunto fundamental da
teoria e representa-se sempre pela letra U.
Num diagrama de VENN, os elementos do universo U são
geralmente representados por pontos internos a um quadrado (ou
retângulo) e os demais conjuntos por cı́rculos contidos no
quadrado (ou retãngulo).
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11. Conjuntos
Tipos de conjuntos
Conjunto Unitário
Conjunto Vazio
Conjunto Unitário
Consideremos no universo R a equação x2 − 6x + 9 = 0. É fácil
ver que existe um número real x e um só que verifica esta equação:
o número 3. Somos assim levados a escrever:
{x ∈ R | x2
− 6x + 9 = 0} = {3}
e dizer que o conjunto das soluções da equação x2 − 6x + 9 = 0
tem um único elemento.
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12. Conjuntos
Tipos de conjuntos
Conjunto Unitário
Conjunto Vazio
Conjunto Unitário
Definição (Conjunto Unitário)
Chama-se conjunto unitário todo conjunto A constituı́do de um
único elemento, a.
Escreve-se: A = {a}, e diz-se que A é o conjunto unitário
determinado pelo elemento a.
Importa notar que uma coisa é um conjunto unitário e outra coisa
é o elemento que o determina. Assim, temos:
3 ∈ {3} porém não 3 = {3}
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13. Conjuntos
Tipos de conjuntos
Conjunto Unitário
Conjunto Vazio
Conjunto Unitário
Exemplo
São conjuntos unitários:
1 {x ∈ N | x2 − 9 = 0}
2 {x ∈ N | 3 < x < 5}
3 {y ∈ R | y3 − 8 = 0}
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14. Conjuntos
Tipos de conjuntos
Conjunto Unitário
Conjunto Vazio
Conjunto Vazio
Consideremos em R a condição x + 1 = x. Trata-se, como logo se
reconhece, de uma condição impossı́vel, pois não existe nenhum
número real que a verifique. Pois bem, por comodidade de
linguagem, convenciona-se dizer que o conjunto de elementos que
verificam uma condição impossı́vel é o conjunto vazio ou o
conjunto sem elemento algum.
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15. Conjuntos
Tipos de conjuntos
Conjunto Unitário
Conjunto Vazio
Conjunto Vazio
Assim, por exemplo, em vez de dizer que não há fósforos numa
caixa, pode dizer-se que a caixa está vazia ou ainda que o conjunto
dos fósforos na caixa é vazio.
O conjunto vazio em um determinado universo designa-se pelo
sı́mbolo ∅. Assim, no universo R:
{x | x + 1 = x} = ∅
{x | x2 < 0} = ∅
{x | x ̸= x} = ∅
{x | 0x = 5} = ∅
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