Un testo di fisica (termodinamica) con esperienze di laboratorio del prof. Germano Grasso

1. APPUNTI DI FISICA
TERMODINAMICA
Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino
LE LEGGI DEI GAS PERFETTI
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2. APPUNTI DI FISICA
TERMODINAMICA
Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino
IL GAS PERFETTO
Alcuni elementi chimici come l’Idrogeno, l’Elio, l’Azoto, l’Ossigeno, il Fluoro, il Neon, l’Argon, il
Cloro, il Kripton, lo Xeno e il Radon, sono presenti in natura - se non combinati con altri -
solitamente allo stato gassoso.
Altri, come ad esempio il carbonio e lo zolfo - pur trovandosi più comunemente allo stato solido -
se opportunamente combinati, possono dar luogo a composti gassosi quali l’Ossido di carbonio,
l’Anidride carbonica, l’Ammoniaca, l’Acetilene, il Metano, il Protossido d’azoto, l’Anidride
solforosa.
Inoltre, composti ed elementi chimici liquidi, se sottoposti a valori particolari di pressione e/o
temperatura, passano allo stato aeriforme.
Notevole è il caso dell’acqua la cui molecola, formata da due atomi di idrogeno ed uno d’ossigeno,
è quasi sempre reperibile sottoforma liquida o solida, tuttavia, non di rado, passa allo stato
aeriforme di vapor d’acqua comportandosi più o meno come un gas.
La “fase gassosa”, com’è definita la particolare condizione di alcuni elementi chimici o molecole
composite, è caratterizzata da una scarsissima coesione molecolare, dalla conseguente mancanza di
forze di attrazione o repulsione (coesione interna) e dal fatto che le molecole presenti possono
essere immaginate a distanze reciproche enormemente grandi rispetto alle loro dimensioni reali.
Non potendo però immaginare completamente nullo il volume occupato dalle molecole gassose ed
escludere completamente la possibilità di urti o interazioni molecolari, specialmente nel caso di gas
poco rarefatti, è abitudine definire “GAS REALE” un qualsiasi elemento o composto chimico che è
normalmente in fase gassosa.
D’altra parte se un “gas reale” qualsiasi è caratterizzato da valori di pressione, temperatura e
volume superiori a quelli definiti rispettivamente:
PC Pressione critica
VC Volume critico
TC Temperatura critica
esso si comporta seguendo in modo piuttosto regolare alcune semplici leggi sperimentali quali le
Leggi di Gay-Lussac, la Legge di Boyle e la Legge di Stato.
I parametri che caratterizzano le condizioni in cui si trova il gas – pressione, volume e temperatura
– sono appunto definite “VARIABILI DI STATO”.
In questo caso è possibile affermare che:
Un qualsiasi “gas reale” caratterizzato da valori delle variabili di stato superiori ai corrispondenti
valori critici per il gas considerato, segue fedelmente le leggi sperimentali citate ed è definito, in
questo caso, un “GAS PERFETTO”.
Per il gas perfetto diventa teoricamente possibile considerare nulle le interazioni e nullo sia il
volume molecolare che il valore dell’energia potenziale posseduta dalle molecole.
La teoria dei gas perfetti è particolarmente utile per lo studio delle trasformazioni di stato dei
sistemi termodinamici ed è una solida base dalla quale partire per lo studio dei “gas reali”.
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Le Leggi sperimentali prima accennate sono relazioni di collegamento tra le tre variabili di stato che
permettono di stabilire, in determinate condizioni, il valore di una delle tre variabili in funzione
delle altre due supponendo di essere a conoscenza di alcuni parametri caratteristici.
Ad esempio, utilizzando la Legge di stato dei gas perfetti, risulta possibile determinare in modo
univoco il valore della temperatura alla quale si trova un gas se si conoscono i valori di pressione e
volume oltre che il numero di moli e la costante di stato R .
pV
T 
n R
IL SISTEMA TERMODINAMICO IDEALE A GAS PERFETTO
Un qualsiasi dispositivo in grado di trasferire ai o dai sistemi esterni l’energia sottoforma di
“CALORE” e/o “LAVORO” trattenendone per sé una parte oppure cedendone una parte che già gli
apparteneva, è definito “SISTEMA TERMODINAMICO”.
Il termine “termodinamico” è, di per sé, significativo in quanto chiarisce immediatamente che il
dispositivo (o sistema) può essere sottoposto a differenti livelli termici (differenti temperature) e
quindi costretto a cedere o acquisire calore e, nel contempo, essendo in grado di subire
modificazioni dinamiche a carico del suo aspetto esterno, ha la capacità di compiere o subire una
determinata quantità di lavoro.
Conviene subito anticipare che la presenza di un sistema termodinamico – assunto quale attore
principale di un evento di scambio energetico – presuppone la contemporanea presenza di almeno
un altro sistema in grado di interagire con il primo.
Un corpo caldo è in grado di raffreddarsi, cedendo calore, solo se esiste un altro sistema in grado di
assorbirlo.
Gli altri sistemi – anch’essi per un certo verso da considerarsi termodinamici – sono essenzialmente
costituiti dal mondo esterno che circonda il sistema principale e possono essere pensati
rispettivamente alla stessa stregua di serbatoi nei quali il sistema principale, alternativamente, si
procura o cede calore oppure riversa o preleva energia sottoforma di lavoro meccanico.
Senza la presenza dei sistemi esterni, il sistema principale, come si vedrà più avanti, non può
operare alcuno scambio ed è quindi inutile.
Con il termine “termodinamico” si può inoltre pensare ad un dispositivo in grado di modificare in
continuazione, in un senso o nell’altro, il proprio livello termico o temperatura e i parametri ad essa
collegati.
E’ un sistema termodinamico, anche se non in senso strettamente legato alla definizione, una
resistenza elettrica quando è utilizzata dai forni per riscaldare o cuocere le vivande, per inviare aria
calda quando è inserita in un asciugacapelli, per innalzare la temperatura dell’acqua se è inserita in
un boiler oppure per produrre vapore se inserita in un ferro da stiro.
Il funzionamento di una resistenza elettrica è piuttosto semplice e comprensibile:
Inizialmente la resistenza e l’ambiente esterno in cui è immersa sono alla stessa temperatura.
Se pensiamo alla resistenza come al sistema termodinamico principale, allora l’ambiente
esterno sarà il secondo sistema.
Ad un certo istante e da un altro sistema esterno – da considerare di capacità illimitata – è
trasferita al sistema principale una certa quantità di energia sottoforma di corrente elettrica
che comincia ad attraversare la resistenza.
Il terzo sistema – quello che fornisce energia dall’esterno - è immediatamente individuato
nel fornitore di energia elettrica ed è chiaro che si tratta di un secondo serbatoio di capacità
limitata solo dal contratto di fornitura.
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Il sistema principale comincia quindi ad utilizzare l’energia fornita dall’esterno per variare i
propri parametri termici caratteristici dell’istante iniziale. Ciò significa che la temperatura
del sistema aumenta velocemente. Dal momento stesso in cui la temperatura del sistema
principale supera la temperatura del sistema esterno, la resistenza comincia a trasmettere
calore cercando di ripristinare lo stato d’equilibrio iniziale.
Lo stato transitorio iniziale è solitamente di breve durata e può essere descritto nel modo
seguente:
 Mentre la temperatura del sistema principale aumenta, una parte di energia elettrica
fornita è direttamente scambiata con l’ambiente esterno sottoforma di calore in
quanto i sistemi cercano di riportarsi in equilibrio termico, mentre, una parte è
utilizzata dallo stesso sistema principale per innalzare ancor di più il proprio livello
termico.
Come si vedrà più avanti, la quota di energia assorbita dal sistema principale è
utilizzata a livello microscopico per innalzare l’energia cinetica molecolare e, di
conseguenza, una funzione di stato che sarà definita “Energia interna”.
Volendo interpretare meccanicamente le modalità con le quali aumenta l’energia
interna si potrebbero descrivere così:
 La corrente elettrica reale in un conduttore è provocata dall’applicazione, ai
capi del conduttore stesso, di una differenza di potenziale che costringe le
cariche elettriche di conduzioni negative (elettroni) a muoversi da punti a
potenziale minore verso punti a potenziale maggiore.
 Il loro movimento è reso difficoltoso dal fatto che in un materiale solido le
molecole sono a stretto contatto e gli spazi sono limitati.
 Per questo motivo il movimento degli elettroni può essere assimilato a quello
di un autoveicolo con il freno a mano tirato; l’auto si muove comunque, ma
l’attrito provocato dallo sfregamento delle pastiglie sui dischi è causa di
considerevoli aumenti di temperatura degli apparati frenanti e degli organi
meccanici collegati.
Il processo così descritto sembra essere desiderato dal sistema termodinamico
principale che, però in effetti, lo subisce.
 L’aumento di temperatura a carico del sistema principale provoca un incremento
della quota di energia totale ceduta all’ambiente per irraggiamento, convezione e
conduzione.
 Il termine della fase transitoria si ottiene nell’istante in cui la temperatura del sistema
principale è così elevata rispetto a quella del sistema esterno che la quota di energia
termica scambiata istantaneamente pareggia l’energia elettrica prelevata dal terzo
sistema. La temperatura del sistema principale risulta stazionaria e il sistema
trasforma di continuo l’energia elettrica in energia termica.
 Anche la temperatura del secondo sistema, nel frattempo, è aumentata.
 Durante la fase transitoria lo stato termico del sistema principale subisce una
modificazione definita, in special modo, dalla differenza di temperatura iniziale e
finale della resistenza, mentre lo stato termico del secondo si modifica anch’esso
passando dalla temperatura iniziale – quella dell’ambiente che lo contiene – a quella
finale, ottimale per la cottura.
Per la precisione, oltre al sistema principale (resistenza) che esegue materialmente la
trasformazione energetica utilizzando l’energia del terzo sistema e trasmettendola al
secondo, specialmente se si considera una resistenza inserita in un forno, dovremo
considerare l’esistenza di un quarto sistema che contiene sia quello principale sia il secondo.
Il quarto sistema, termicamente isolato dal secondo, non risente delle trasformazioni a carico
del primo e del secondo e non ha nessun contatto con il terzo.
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Il quarto sistema è l’ambiente “cucina” ove è inserito il forno e, almeno teoricamente, non
dovrebbe modificare i propri parametri termici iniziali.
Il quarto sistema è dunque, contrariamente a quanto detto inizialmente, il serbatoio termico
illimitato.
Inoltre il secondo sistema – o forno – contiene, a sua volta, un quinto sistema in grado di
prelevare calore dal secondo ed operare un’ulteriore trasformazione.
Esso subisce la trasformazione che più è desiderabile da chi materialmente dà inizio alla
stessa: la cottura.
Il sistema principale torna poi in tempi brevi alla situazione termica iniziale allorché cessa
l’afflusso energetico di corrente elettrica.
La resistenza si raffredda rapidamente cedendo ancora calore al secondo sistema che
provvede poi anche al suo personale raffreddamento cedendo calore al quarto sistema.
Il quarto sistema – l’ambiente cucina – risente in modo minino delle trasformazioni dei
sistemi in esso contenuti in quanto dotato di elevata inerzia termica.
Figura 1 – SCHEMA DI SISTEMI TERMODINAMICI
Il sistema descritto, pur essendo in grado di soddisfare pienamente le nostre necessità del momento
– cioè provvedere a cuocere i cibi – trasformando quasi integralmente l’energia elettrica in calore,
non risponde del tutto alle caratteristiche richieste dalla definizione di sistema termodinamico.
Non è in grado, infatti, così come concepito e costruito, di provvedere alla trasformazione di energia
termica in energia meccanica mentre, le maggiori esigenze dell’umanità sono proprio legata alla
possibilità di costruire macchine in grado di fornire energia meccanica cioè lavoro direttamente
utilizzabile.
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A questo scopo è possibile la realizzazione di un dispositivo in grado di soddisfare tali esigenze e
rispondente quindi alla definizione di “Sistema termodinamico ideale”.
Il Sistema termodinamico di cui si parla è costituito, essenzialmente e in linea di principio, da:
 Un cilindro con pareti realizzate utilizzando materiali e modalità tali, da impedire l’afflusso
di calore sia in uscita che in ingresso.
Devono inoltre essere molto limitati o comunque determinati gli scambi di calore tra il
contenuto e il cilindro stesso.
Se il dispositivo fosse assimilato ad un calorimetro ad acqua, allora “l’equivalente in acqua”,
sarebbe analogo quantità di calore scambiato dal contenuto con le pareti.
 Da un pistone scorrevole e a tenuta stagna anch’esso costruito in modo da evitare la
trasmissione di calore da e verso l’esterno e in modo da assorbire e/o trasmettere calore, dal
o verso il contenuto, in termini infinitesimi.
Dovrà inoltre essere considerato nullo l’attrito tra pistone e cilindro mentre lo stesso è in
movimento.
 Una serie di pesi o masse note da disporre sulla parte superiore del pistone – quella a
contatto con l’ambiente esterno – in modo da garantire l’equilibrio statico dello stesso
quando sottoposto alla pressione esercitata dal contenuto del cilindro.
 Da una parete di fondo che, secondo le esigenze nei confronti del calore, può avere le
caratteristiche di un perfetto isolante o di perfetto conduttore.
Attraverso il fondo del cilindro sono permessi o impediti gli scambi di calore con i sistemi
esterni.
 Una sorgente termica esterna di capacità termica illimitata se rapportata alla capacità termica
del cilindro e caratterizzata da temperatura superiore a quella del dispositivo e del suo
contenuto.
 Una sorgente termica esterna di capacità illimitata se rapportata alla capacità termica del
cilindro e caratterizzat da una temperatura inferiore a quello del dispositivo e del suo
contenuto.
 Un sistema autonomo in grado di modificare, aumentando o diminuendo, i livelli termici
delle sorgenti esterne descritte.
Si tratta semplicemente di un generatore di calore, a gas o elettrico, e di un gruppo
frigorifero.
 Un sistema esterno di capacità termica illimitata ed in grado di contenere tutti i sistemi. Tale
sistema è l’ambiente esterno definito dalla temperatura e dalla pressione esistenti durante la
sperimentazione.
 Un rubinetto a tenuta collocato sul fondo del recipiente cilindrico allo scopo di permettere
l’uscita e l’ingresso di gas nel recipiente.
 Un apparecchio in grado di misurare ed eventualmente registrare in modo continuo i valori
di temperatura del contenuto del cilindro (termometro)
 Un apparecchio in grado di misurare ed eventualmente registrare in modo continuo i valori
di pressione del contenuto del cilindro (misuratore di pressione – manometro)
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 Un apparecchio in grado di misurare la pressione e la temperatura dell’ambiente esterno
 Un apparecchio in grado di misurare ed eventualmente registrare in modo continuo i valori
dello spostamento del pistone rapportandoli alla superficie del cilindro e ricavando di
conseguenza il volume del contenuto.
 Una certa quantità di moli di un gas con caratteristiche tali da poterlo definire “GAS
PERFETTO”.
Tale gas sarà contenuto nel cilindro e trattenuto dal pistone a tenuta stagna.
Con un tale dispositivo – o macchina termodinamica - è possibile condurre esperienze relative alla
dilatazione dei gas, agli scambi di energia termica tra il dispositivo e i sistemi termici confinanti,
alle variazioni di energia interna della macchina e agli scambi di energia meccanica ora possibili in
virtù della possibilità che ha il sistema termodinamico di variare in continuazione la propria
geometria strutturale attraverso la modificazione della posizione del pistone mobile.
Figura 2 – SISTEMA TERMODINAMICO IDEALE
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LA DILATAZIONE DEI GAS
LE LEGGI SPERIMENTALI DI GAY-LUSSAC
TRASFORMAZIONI ISOCORE E ISOBARE
Utilizzando il dispositivo illustrato è possibile, ad esempio, studiare il comportamento di un gas
simile al gas perfetto, nei confronti dei parametri caratteristici quali il volume, la pressione e la
temperatura.
Considerando che la fase aeriforme non possiede volume proprio, ma, contrariamente alla fase
liquida, occupa sempre tutto il recipiente che lo contiene, è definito come “volume di gas” quello
del recipiente che lo contiene e lo confina dall’ambiente esterno.
Se si immagina di riempire di gas il cilindro del sistema termodinamico e, successivamente,
impedire, con un dispositivo di blocco, i movimenti del pistone stesso, è facile comprendere che si è
realizzato un recipiente il cui volume è costante nel tempo.
In questo caso, qualora il gas subisca trasformazioni di stato variando le sue condizioni rispetto a
quelle iniziali, si dirà che le trasformazioni avvengono comunque senza variazione di volume cioè “
a volume costante”.
Una trasformazione a volume costante sarà definita “ISOCORA”.
Il risultato di una trasformazione “ISOCORA” è la variazione della pressione e della temperatura ed
è, per analogia, assimilabile a ciò che succede ad un materiale solido quando la sua dilatazione per
effetto termico è impedita da vincoli rigidi esterni.
Essendo impedita la dilatazione, compaiono, sui vincoli esterni e sul corpo stesso, forze di pressione
di elevata intensità sovente responsabili del cedimento e rottura dei vincoli e/o della struttura.
Al gas contenuto nel recipiente, essendo impedita la dilatazione, esercita, con l’aumento della
temperatura, pressioni sempre crescenti sulle pareti del recipiente.
Considerato che durante la trasformazione a volume costante è impedito il movimento del pistone si
conclude che il sistema termodinamico non può scambiare energia meccanica con l’ambiente
esterno ma solo energia termica.
Lo scambio termico risulta solo a carico della variazione di energia interna del sistema
termodinamico.
Se, al contrario, dopo avere riempito il cilindro di gas, si comincia a variarne la temperatura
lasciando libertà di movimento al pistone e controllando che la pressione rimanga costante durante
la trasformazione, si noterà una variazione di volume accompagnata anche dalla variazione della
geometria strutturale del recipiente.
Il gas è libero di dilatarsi e la trasformazione è definita “a pressione costante” o “ISOBARA”.
La trasformazione “ISOBARA” permette lo scambio di energia termica, meccanica e la variazione
dell’energia interna propria del sistema.
TRASFORMAZIONE A VOLUME COSTANTE
ISOCORA
Legge di Gay-Lussac
 Scambi energetici consentiti:
 SCAMBIO TERMICO DA E VERSO L’AMBIENTE ESTERNO
 VARIAZIONE DELL’ENERGIA INTERNA DEL SISTEMA
 Scambi energetici NON consentiti:
 SCAMBIO DI ENERGIA MECCANICA CON L’AMBIENTE ESTERNO
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TRASFORMAZIONE A PRESSIONE COSTANTE
ISOBARA:
Legge di Gay-Lussac
 Scambi energetici consentiti:
 SCAMBIO TERMICO DA E VERSO L’AMBIENTE ESTERNO
 SCAMBIO ENERGIA MECCANICA DA E VERSO L’AMBIENTE ESTERNO
 VARIAZIONE DELL’ENERGIA INTERNA DEL SISTEMA
LA LEGGE DI BOYLE-MARIOTTE
LA TRASFORMAZIONE ISOTERMICA O ISOTERMA
Qualora al gas contenuto nel recipiente sia concessa la possibilità di variare contemporaneamente il
volume e la pressione e, nel contempo, mantenga costante il proprio livello termico, si dirà che esso
ha subito una trasformazione “ISOTERMA” a temperatura costante.
La trasformazione “ISOTERMA” - a temperatura costante – di un gas perfetto, segue piuttosto
fedelmente la legge sperimentale di Boyle-Mariotte.
Al sistema termodinamico sono consentiti gli scambi termici, energetici e la variazione di energia
interna.
TRASFORMAZIONE A TEMPERATURA COSTANTE
ISOTERMA
Legge di Boyle.Mariotte
 Scambi energetici consentiti:
 SCAMBIO TERMICO DA E VERSO L’AMBIENTE ESTERNO.
 SCAMBIO ENERGIA MECCANICA DA E VERSO L’AMBIENTE ESTERNO
 VARIAZIONE DELL’ENERGIA INTERNA DEL SISTEMA
SECONDA LEGGE DI GAY-LUSSAC
TRASFORMAZIONE ISOCORA A VOLUME COSTANTE
E’ una legge sperimentale che descrive la trasformazione del sistema termodinamico al quale è
impedita la possibilità di variare la propria geometria strutturale.
In altre parole:
 Il gas è confinato in un recipiente il cui pistone mobile è bloccato in posizione fissa e
sono quindi impediti gli scambi di energia meccanica da e verso l’ambiente esterno. La
pressione del gas è direttamente proporzionale alla temperatura.
La legge sperimentale di Gay-Lussac è la seguente:
p  p 0  1    t   p 0  p 0    t
Supponiamo di utilizzare il sistema termodinamico ideale descritto precedentemente con l’ipotesi di
procedere sperimentalmente in un luogo ove la pressione atmosferica sia inferiore a quella che,
normalmente, si ha a livello del mare ed avere a disposizione una certa quantità di gas ad un solo
componente contenuto in un recipiente a pressione.
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Pensiamo di utilizzare il seguente procedimento:
1. FASE 1 - Eliminazione dell’aria contenuta nel cilindro del sistema termodinamico.
Eliminiamo facilmente l’aria contenuta inizialmente nel cilindro spingendo verso il basso il
pistone, mentre la valvola di scarico è aperta.
Quando il pistone è a contatto con il fondo del cilindro provvediamo a chiudere la valvola di
scarico impedendo così l’afflusso di altra aria.
Il dispositivo è completamente vuoto e, sulla superficie del pistone rivolta verso l’ambiente
esterno, agisce sicuramente la sola pressione atmosferica p * che, per ipotesi, manteniamo
ad un valore più basso della pressione atmosferica normale a livello del mare p a .
Figura 3 – FASE 1- ELIMINAZIONE ARIA (PISTONE A CONTATTO CON IL FONDO CILINDRO)
2. FASE 2 - Caricamento del pistone.
Disponiamo sul pistone una certa quantità di piccole masse m note sino al raggiungimento
di una massa complessiva M .
Il valore totale della massa M può essere ottenuto pensando di applicare infinite
masse m di valore infinitamente piccolo.
Alla fine, sulla superficie superiore del pistone, sarà applicato il seguente sistema di forze:
 Forza dovuta alla pressione atmosferica in ambiente:
2
Fa  p * S    r  p * N 
In cui si indica con r il raggio interno del cilindro.
Le unità di misura sono:
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S  m
r  m
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N
p* 
2
m
 Forza dovuta alla presenza delle masse note:
i N
Fg   m g  M g N 
i1
Sulla superficie inferiore del pistone non sono presenti forze in quanto, con l’eliminazione
dell’aria, è stato generato il vuoto assoluto.
Il sistema di forze è dunque costituito da una forza che, complessivamente, mantiene il
pistone a contatto con il fondo del cilindro ed il cui valore è:
F t  Fa  F g  M  g    r  p *
2
In realtà, almeno sino a quando pistone e fondo del cilindro sono a contatto, la forza totale
esterna è controbilanciata dalla reazione vincolare di uguale valore e segno contrario
applicata al pistone dal fondo del recipiente.
Figura 4 – FASE 2 – CARICAMENTO DEL PISTONE
3. FASE 3 - Immissione del gas.
Collegando la valvola di scarico ad un serbatoio di gas in pressione mediante un tubo a
tenuta e aprendo successivamente la valvola, si regola l’afflusso gas dal serbatoio a
pressione al cilindro del sistema termodinamico.
Il pistone comincia a sollevarsi, quando la pressione del gas all’interno del cilindro supera il
valore:
Ft M g
p1   2
 p*
S r
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Continuando ad immettere gas e a regolare la pressione d’immissione agendo sulla valvola
del serbatoio si provocherà la risalita del pistone sino ad una quota desiderata e il
raggiungimento di un volume V 1 .
La risalita del pistone si blocca nel momento in cui la pressione del gas all’interno del
cilindro è esattamente pari al valore precedente.
E’ ovvio che il valore della pressione interna può essere modificato agendo in modo
opportuno sulla quantità di massa disposta sul pistone.
Alla fine dell’operazione si richiude la valvola di scarico e si scollega il recipiente
contenente gas compresso.
Il cilindro è ora pieno di un gas con caratteristiche tali da poterlo assimilare a gas perfetto e i
cui parametri sono i seguenti:
M g
 p1  2
 p*
r
 V1
 t1  0  C Si suppone di effettuare le operazioni ad una temperatura
superiore a 0°C

Durante tutte le operazioni di immissione gas, il fondo mobile e termo-isolante del cilindro è
rimasto posizionato in modo da impedire lo scambio termico con l’ambiente esterno.
Figura 5 – FASE 3 – IMMISSIONE GAS
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4. FASE 4 - Scambio termico a volume costante con un sistema termodinamico esterno alla
temperatura t  0  C .
Ora il pistone è bloccato in modo tale da impedirne il movimento verso il basso e, nello
stesso tempo, mantenere costante il volume di gas nel cilindro.
E’ poi rimosso il fondo termo-isolante - scoprendo così il fondo conduttore del cilindro - al
quale si pone a contatto un sistema di capacità termica infinita ad un livello termico di
t 0  0  C  .
Il sistema termodinamico contenente gas comincia a scambiare energia termica con il
sistema esterno più freddo sino al raggiungimento della temperatura caratteristica della
sorgente esterna.
Il sistema esterno costituisce, per il sistema termodinamico in esame, una sorgente entro cui
riversare energia termica in eccesso cioè raffreddarsi.
Per definizione, la capacità di ricevere calore senza modificare il proprio livello termico, è
tipica di una sorgente avente capacità infinita.
Ad esempio il mare ha le caratteristiche di sorgente a capacità termica infinita nei riguardi di
un qualsiasi oggetto ad un livello termico diverso che gli è posto a contatto.
Durante la cessione di calore alla sorgente esterna – tramite il fondo conduttore – il gas del
sistema termodinamico non modifica il proprio volume, ma comincia a diminuire la
pressione esercitata sulle pareti del cilindro, cosicché se il pistone non fosse bloccato
tenderebbe a scendere.
La trasformazione del gas a contatto con il sistema esterno, che avviene in tempi
considerevoli, ha, come risultato finale, la variazione dei parametri caratteristici dai valori
iniziali precedenti ai seguenti valori finali:
M g
da: p1  2
 p*
r
V1
t1  0  C
a: p2  p1
V 2  V1
t 2  0  C 
Da manometro a mercurio installato su una delle pareti o sul fondo del recipiente sarà
possibile, a questo punto ed utilizzando la Legge di Stevin, la misurazione della pressione
p 2 corrispondente al livello termico finale t 2  0   C  :
p 2  p *   Hg   h
In cui:
 N 
 Hg Peso specifico mercurio  3
m 
h Dislivello manometro m 
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Dalla lettura o calcolo della pressione p 2 che il gas esercita sulle pareti del cilindro –
compresi fondo e superficie interna pistone – è poi possibile determinare la massa M 1 da
disporre sul pistone in modo tale da poterlo sbloccare senza che si abbia movimento.
Dalla relazione:
M1 g
p2  2
 p*
r
E dal confronto con la precedente, si ottiene:
M1 g
p2  2
 p *  p *   Hg   h
r
Ed infine il valore della nuova massa:
2
  r  Hg   h
M 1

g
Rispetto alla massa M collocata in precedenza, la massa M 1 ha un valore minore quindi
occorre procedere con l’eliminazione di una quantità di massa  m :
m  M  M 1
Dopo aver tolto dal pistone la quantità  m è possibile sbloccarlo senza che si abbiano
spostamenti dello stesso.
Il sistema termodinamico può ora scambiare energia meccanica e termica con l’ambiente
esterno mentre, il sistema di capacità infinita e livello termico t  0   C  continua ad
essere in contatto con il fondo conduttore del cilindro.
Figura 6 – FASE 4 – SCAMBIO TERMICO A VOLUME COSTANTE CON SORGENTE A t=0° C
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5. FASE 5 – Variazione della pressione e del volume a temperatura costante.
Continuando il contatto del sistema termodinamico con il sistema esterno a 0° si procede
variando la pressione p 2 aggiungendo o togliendo gradatamente piccole masse m dal
pistone sino ad un valore di pressione esattamente pari alla pressione atmosferica normale a
livello del mare, alla temperatura di 0° C:
 N 
p 0  101 . 325  2 
m 
La trasformazione del gas sarà talmente lenta da essere definita “Quasi-statica” e, oltre alla
variazione di pressione, sarà accompagnata dalla variazione di volume e da scambi di
energia termica in un senso o nell’altro tra il sistema termodinamico e il sistema a capacità
infinita tali da mantenere inalterata la temperatura al valore t 2  0   C  .
Alla fine della trasformazione “isoterma” i nuovi parametri caratteristici del gas saranno:
 N 
p3  p 0  101 . 325  2 
m 
V3
t 3  0  C 
Sarebbe adesso possibile, conoscendo l’equazione generale di stato dei gas perfetti,
determinare la quantità di gas – sottoforma di numero di moli – immessa nel cilindro
all’inizio della sperimentazione, ma si tralascia il calcolo per riprenderlo successivamente.
La fase 5 è conclusa con l’eliminazione del sistema esterno a temperatura 0° C, il ripristino
della parete di fondo termo-isolante e con il bloccaggio del pistone nella posizione finale
alla quale corrisponde la pressione del gas p 0 .
Figura 7 – FASE 5 – VARIAZIONE PRESSIONE E VOLUME A TEMPERATURA COSTANTE
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16. APPUNTI DI FISICA
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6. FASE 6 – Variazione della temperatura a volume costante.
E’ la fase conclusiva che permette di ricavare i dati necessari alla dimostrazione della Legge
di Gay-Lussac relativa alla dilatazione di un gas a volume costante.
Il pistone è bloccato quindi non si avranno scambi di energia meccanica con l’ambiente
esterno.
Le condizioni iniziali del gas sono le precedenti:
 N 
p3  p 0  101 . 325  2 
m 
V3
t 3  0  C 
A questo punto è rimossa la parete di fondo termo-isolante ed il sistema termodinamico è
posto a contatto con una nuova sorgente a capacità termica infinita e livello termico
t 4  0  C  .
La temperatura del gas comincerà gradatamente ad aumentare portandosi, alla fine, alla
stessa temperatura della sorgente.
Nel contempo la pressione subirà un aumento sino alla pressione p 4 , superiore p 0 , ed il
volume rimarrà naturalmente invariato.
La dilazione del gas è impedita e, di conseguenza, sale la pressione.
I risultati concernenti la pressione e la temperatura saranno annotati con precisione.
Il valore della pressione si potrà ricavare utilizzando il solito manometro oppure
aumentando le masse per mantenere fisso il pistone.
Il procedimento è reiterato ponendo a contatto con il gas sorgenti termiche a temperatura
sempre maggiore ed annotando sia le temperature che le pressioni caratteristiche
dell’equilibrio termico.
E’ comunque possibile utilizzare anche sorgenti con temperatura inferiore a 0° C.
In questo caso si noterà un abbassamento della pressione che sarà annotata.
Figura 8 – FASE 6 – VARIAZIONE DELLA PRESSIONE A VOLUME COSTANTE.
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7. FASE 7 – Costruzione del diagramma pressione-temperatura e verifica della Legge
sperimentale di Gay-Lussac per trasformazioni a volume costante.
Utilizzando i risultati ottenuti dalla FASE 6 è realizzato un diagramma cartesiano che riporta
sulle ascisse i valori delle temperature delle sorgenti utilizzate per riscaldare o raffreddare il
gas contenuto nel cilindro e, in corrispondenza, i valori calcolati o misurati della pressione
esercitata dal gas sulle pareti.
I parametri iniziali saranno costituiti dal punto di coordinate t  t 0  0   C  e
 N 
p 0  1  atm   101 . 325  2  , rappresentativo dei valori tipici della FASE 5, mentre,
m 
tutti i punti successivi sono ricavati misurando le temperature delle diverse sorgenti e il
corrispettivo valore della pressione del gas.
Il diagramma ottenuto rappresenta graficamente la funzione analitica che, utilizzando come
variabile indipendente il valore della temperatura in gradi Celsius, restituisce un
corrispondente valore della pressione del gas.
La funzione risulta di tipo direttamente proporzionale rispetto al semplice valore della
variabile ed è quindi rappresentata da una retta inclinata rispetto all’asse orizzontale delle
temperature.
La retta deve intersecare l’asse verticale delle pressioni per il valore nullo della temperatura
 N 
ove la pressione risulta uguale alla pressione atmosferica normale p 0  101 . 325  2 
.
m 
Analiticamente la funzione p  t  sarà del tipo:
p  t   p 0   p  p 0  tg      t  t 0 
p t   p 0  m  t  t 0 
In cui il coefficiente angolare m è dato da una qualsiasi delle seguenti relazioni:
p1  p 0 p2  p0 pn  p0
m    .......... .. 
t1  t 0 t2  t0 tn  t0
In cui:
 N 
p 0  101 . 325  2 
m 
t0  0 C 
Sperimentalmente il coefficiente m ha il valore pressoché costante per tutti i punti trovati:
m    p 0  0 , 003661 p0
Considerando che l’equazione della retta:
p t   p 0  m  t  t 0 
è valida anche per i punti caratterizzati da temperature negative e che il coefficiente m è
anche dato da:
p0  p
m 
t0  t
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Con il valore p e t corrispondenti al punto in cui, teoricamente, la retta interseca l’asse
delle temperature:
p  0
Si ottiene:
p0
m   p0 
t
Da cui si ricava il valore incognito della temperatura alla quale la pressione del gas
contenuto nel cilindro teoricamente si annulla:
1 1
t       273 ,16  C 
 0 , 003661
Il valore teorico di temperatura, espressa in gradi Celsius, alla quale si annulla la pressione
del gas, corrisponde alla minima temperatura raggiungibile ed è definito “ZERO
ASSOLUTO” in quanto ad essa corrisponde il valore nullo della temperatura misurata con la
scala Kelvin:
t   273 ,16  C   T  0 K 
Il valore del coefficiente  , pressoché costante quando un gas può essere considerato
“perfetto”, si ottiene dunque da:
 C  1 
1
  0 , 003661 
273 ,16
E rappresenta fisicamente l’incremento (decremento) di pressione, rapportata alla pressione
atmosferica normale, per ogni aumento (diminuzione) di temperatura di un grado.
L’equazione rappresentativa delle trasformazioni ISOCORE – a volume costante – di un gas
perfetto contenuto in un sistema termodinamico ideale, detta anche LEGGE DI GAY-
LUSSAC, può quindi essere scritta nella forma:
p t   p 0  m  t  t 0   p 0    p 0  t  t 0 
Sinteticamente:
p0
p  p0  t ISOCORA (VOLUME COSTANTE)
273 ,16
p  p 0  1    t 
 C 
1 1
Con:  
273 ,16
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Figura 9 – DIAGRAMMA TRASFORMAZIONE ISOCORA – SECONDA LEGGE DI GAY-LUSSAC
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20. APPUNTI DI FISICA
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LA TRASFORMAZIONE ISOCORA E LA SCALA ASSOLUTA DI TEMPERATURA.
La Legge di Gay-Lussac valida per trasformazioni isocore – a volume costante – è più facilmente
rappresentata se si effettua uno spostamento della scala delle temperature adottando la scala
assoluta o scala Kelvin.
Basta spostare l’origine degli assi nel punto rappresentativo dello zero assoluto e variare tutti i
valori di temperatura rapportandoli ai Kelvin:
Figura 10 – LEGGE DI GAY-LUSSAC – TRASFORMAZIONE ISOCORA – SCALA ASSOLUTA
L’equazione caratteristica può quindi essere facilmente scritta nella forma seguente:
p T   m  T
In cui in coefficiente angolare m è dato da:
p0 p0
m  
T0 273 ,16
Per cui:
p0
p  T ISOCORA (VOLUME COSTANTE)
T0
Oppure:
p  T0  p 0  T (AREE UGUALI DEI RETTANGOLI)
p T
 (LEGGE DI SIMILITUDINE DI TRIANGOLI SIMILI)
p0 T0
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INTERPRETAZIONE DELLA LEGGE DI GAY-LUSSAC ESPRESSA IN KELVIN
La Legge di Gay-Lussac relativa alla trasformazione isocora e con l’utilizzo della scala assoluta di
temperatura è interpretata facilmente se si considera il diagramma cartesiano che la rappresenta.
Figura 11 – ISOCORA ESPRESSA CON LA SCALA ASSOLUTA
AREE UGUALI DI RETTANGOLI:
Il significato fisico della relazione:
p  T0  p 0  T
comporta, sul diagramma cartesiano p ; T , l’uguaglianza delle due aree rettangolari aventi basi
rispettivamente uguali l’una alla temperatura assoluta T 0 l’altra alla temperatura T corrispondente
alla pressione p , ed altezze rispettivamente l’una uguale alla pressione p l’altra alla pressione p 0 .
Figura 12 – UGUAGLIANZA DELLE AREE
21

22. APPUNTI DI FISICA
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Considerato che tale uguaglianza deve valere per qualsiasi altra coppia di punti comunque disposti
nel piano cartesiano a condizione che essi siano posizionati sulla retta di proporzionalità p  T  , ad
esempio due punti che definiremo 1 e 2 ognuno caratterizzato da condizioni di pressione e
temperatura:
Punto 1  p 1 ; T1
Punto 2  p 2 ; T2
Si ottiene:
p 1  T 2  p 2  T1
In questo modo si svincola la Legge di Gay-Lussac dalla conoscenza delle condizioni di pressione e
temperatura particolari relative alla temperatura di 273,16 K.
SIMILITUDINE DI TRIANGOLI SIMILI:
Anche la relazione:
p T

p0 T0
ha un particolare significato geometrico relativamente al diagramma caratteristico della
trasformazione isocora in quanto generata dalla semplice regola di similitudine tra triangoli simili:
Figura 13 – REGOLA DI SIMILITUDINE
Anche in questo caso si possono svincolare i punti considerando l’altra relazione equivalente:
p2 T2

p1 T1
Ovviamente le due interpretazioni sono coincidenti.
22

23. APPUNTI DI FISICA
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TRASFORMAZIONE ISOCORA.
PRECISAZIONI CIRCA LA PRESSIONE p 0 DEL GAS A TEMPERATURA NULLA.
La trasformazione di un gas contenuto in un sistema termodinamico ideale, da uno stato iniziale A
a uno stato finale B , se avviene a volume costate – ISOCORA -, è descritto dalla Seconda Legge di
Gay-Lussac ricavata in modo sperimentale utilizzando il dispositivo descritto precedentemente.
La Legge di Gay-Lussac può essere scritta tenendo conto della temperatura assoluta utilizzando la
scala Kelvin oppure della temperatura espressa in gradi centigradi o Celsius:
p  p 0  1     t  Scala Celsius - ISOCORA
p0
p  T Scala assoluta o Kelvin - ISOCORA
T0
In entrambi i casi, per determinare la pressione del gas ad una determinata temperatura, occorre
conoscere il valore della pressione che lo stesso gas eserciterebbe nel recipiente di volume V
qualora la temperatura del sistema sia nulla (Celsius) oppure abbia un valore di 273,16 (Kelvin).
Nell’utilizzare il dispositivo termodinamico ideale si è considerato, durante la FASE 5, di portare il
gas ad una temperatura t 0  0   C  ed ad una pressione p 0 pari alla pressione atmosferica
normale alla stessa temperatura  p 0  101 . 325 Pascal  .
Ci si potrebbe domandare se la Legge di Gay-Lussac mantiene comunque la sua validità anche nel
caso in cui, a temperatura nulla, la pressione fosse diversa dal valore scelto prima in modo
arbitrario.
Potremmo ad esempio domandarci cosa succede, relativamente alla pressione, ad una certa quantità
di gas compresso contenuto in una ruota d’automobile qualora la temperatura dovesse aumentare
passando da zero ad un determinato valore.
Certamente la pressione iniziale alla temperatura nulla, dell’aria contenuta in una ruota, non è pari
alla pressione atmosferica normale ma sicuramente di parecchio superiore e non sono rari i casi in
cui, specialmente alle alte velocità, il riscaldamento della ruota è notevolissimo.
La dilatazione a volume costante (il contenitore dell’aria o pneumatico non cambia in modo
apprezzabile il suo volume, anche se la temperatura aumenta) ha sicuramente come risultato un
aumento della pressione ma, tale aumento sarà ancora proporzionale alla pressione a temperatura
nulla e, se la risposta è positiva, a quale pressione: quella reale iniziale o alla pressione
 N 
p 0  101 . 325  2
 dell’esperienza precedente?
 m 
Per rispondere a questo quesito si può ancora ricorrere al sistema termodinamico ideale partendo
però, in questo caso, dalla FASE 5.
Al termine della FASE 5 il gas aveva assunto la temperatura caratteristica della sorgente fredda,
cioè 0   C  , e la pressione p 0 pari alla pressione atmosferica normale.
Per far ciò si erano variate le masse appoggiate al pistone sino al raggiungimento dei valori
richiesti.
Ora, mantenendo sempre a contatto il sistema termodinamico con la sorgente fredda a 0° C,
aumentiamo nuovamente il numero di masse sul pistone in modo “Quasi-statico” aspettando ogni
volta che il sistema raggiunga la temperatura d’equilibrio con la sorgente fredda.
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24. APPUNTI DI FISICA
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Se sufficientemente lenta, la trasformazione del gas sarà di tipo “ISOTERMICO” a temperatura
costante.
Il pistone tenderà verso il fondo del cilindro riducendo progressivamente il volume a disposizione
del gas e, di conseguenza, aumenterà la pressione dello stesso sulle pareti, pistone e fondo del
cilindro.
Possiamo aumentare la pressione in modo arbitrario esattamente come succede durante la fase di
gonfiaggio di una ruota, anche se il procedimento risulta completamente diverso.
Infatti, durante la fase di gonfiaggio, si ottiene un aumento di pressione a volume costante
immettendo una quantità d’aria sempre maggiore, mentre, nel nostro caso, l’aumento di pressione è
causato da una diminuzione di volume e non alla variazione della quantità di gas nel cilindro che,
evidentemente, rimane la stessa.
1
In ogni caso la FASE 5 si conclude, quando la pressione ha raggiunto un valore arbitrario p o
diverso dal precedente p 0 .
A semplice titolo d’esempio si potrebbe decidere di portare la pressione ad un valore pari a 3 volte
il valore della pressione atmosferica normale, cioè:
 N 
1
p 0  3  p 0  3  101 . 325  2   303 . 975  Pascal 
m 
A detta pressione il volume del gas sarà nettamente inferiore al volume determinato nella
precedente FASE 5.
Anche in questo caso, supponendo di essere già a conoscenza della Legge di Boyle-Mariotte o
dell’equazione generale di stato, saremmo in grado di determinare il volume finale del gas, ma,
come in precedenza si preferisce posticipare il calcolo.
Iniziamo adesso una nuova FASE 6 che si svolgerà esattamente con le stesse modalità precedenti:
Dopo aver eliminato la sorgente fredda alla temperatura di 0° C sostituendola con una
sorgente più calda (ad esempio 50° C) e bloccato il pistone per mantenere costante il
volume, aspettiamo che il gas raggiunga lo stato d’equilibrio termico con la sorgente e
annotiamo la nuova pressione raggiunta p 50  .
Reiteriamo l’operazione sostituendo le sorgenti, utilizzando sorgenti sempre più calde (si
potrebbe ad esempio incrementare di 50° C la temperatura di ogni sorgente) ed annotando le
relative pressioni d’equilibrio p 100  , p 150  , p 200  ,........ p 400  .
Potremmo reiterare l’operazione utilizzando sorgenti a temperatura inferiore t  50  , t  100 
ottenendo le relative pressioni.
Anche in questo caso la parte sperimentale si conclude ed inizia la trascrizione dei risultati sul
grafico cartesiano pressione e temperatura.
Rispetto al precedente si è modificato il punto caratteristico iniziale in quanto la pressione
corrispondente alla temperatura t 0  0   C  è stata arbitrariamente innalzata ad un valore
1  N 
p 0  303 . 975  2  , ma, nel contempo, si nota un aumento dell’inclinazione della retta
m 
rappresentativa della funzione p  t  e il mantenimento di un punto fisso in corrispondenza del valore
nullo della pressione e della temperatura corrispondente allo zero assoluto.
In altre parole:
La retta p  t  è più inclinata rispetto alla precedente e l’aumento d’inclinazione è causato da una
rotazione in senso antiorario attorno al punto di coordinata p  0 .
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25. APPUNTI DI FISICA
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Figura 14 – TRASFORMAZIONE ISOCORA – PRESSIONO INIZIALI DIVERSE – CONFRONTO.
Analiticamente la nuova funzione p  t  sarà analoga alla precedente, cioè:
p  t   p 0   p  p 0  tg   1    t  t 0 
1 1
p t   p 0  m 1  t  t 0 
1
In cui il coefficiente angolare m 1 è dato da una qualsiasi delle seguenti relazioni:
1 2 1
p1  p 0 p2  p0 pn  p0
m    .......... .. 
t1  t 0 t2  t0 tn  t0
In cui:
1  N 
p 0  303 . 975  2 
m 
t0  0 C 
Sperimentalmente il coefficiente m 1 ha il valore pressoché costante per tutti i punti trovati:
1 1
m 1    p 0  0 , 003661  p 0
Si nota che, pur modificando il valore di pressione iniziale, il valore del coefficiente
angolare m 1 , diverso dal precedente, continua ad avere un valore pari alla stessa frazione
della pressione iniziale.
In pratica il valore  continua ad essere pari a 0,003661.
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26. APPUNTI DI FISICA
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Considerando che l’equazione della retta:
p t   p 0  m 1  t  t 0 
1
è valida anche per i punti caratterizzati da temperature negative e che il coefficiente m 1 è
anche dato da:
1
p0  p
m1 
t0  t
Con il valore p e t corrispondenti al punto in cui, teoricamente, la retta interseca l’asse
delle temperature:
p  0
Si ottiene:
1
1 p0
m1    p0 
t
Da cui si ricava il valore incognito della temperatura alla quale la pressione del gas
contenuto nel cilindro teoricamente si annulla:
1 1
t       273 ,16  C 
 0 , 003661
Il valore del coefficiente  , pressoché costante quando un gas può essere considerato
“perfetto”, si ottiene dunque da:
 C  1 
1
  0 , 003661 
273 ,16
E rappresenta fisicamente l’incremento (decremento) di pressione, rapportato, questa volta
al valore della pressione iniziale del gas alla temperatura di 0° C, per ogni aumento
(diminuzione) di temperatura di un grado.
Rispetto all’equazione precedente la differenza di pressione per ogni aumento o diminuzione
1
della temperatura del gas di un grado è maggiore in quanto maggiore è il prodotto   p 0 .
L’equazione caratteristica di una trasformazione isocora segue dunque ancora la Legge di
Gay-Lussac anche se la pressione iniziale è diversa dalla precedente.
Sinteticamente:
1
1 p0
p  p0  t ISOCORA (VOLUME COSTANTE)
273 ,16
p  p 0  1    t 
1
 C 
1 1
Con:  
273 ,16
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Utilizzando la scala delle temperature assolute si ottiene:
Figura 15 – ISOCORA – SCALA ASSOLUTA DELLE TEMPERATURE
1
p0
p  T ISOCORA (VOLUME COSTANTE)
T0
Oppure:
p  T0  p 0  T
1
p T
1

p0 T0
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2° LEGGE DI GAY-LUSSAC _ TRASFORMAZIONE ISOCORA – ESERCIZI.
ESERCIZIO 1:
Un pneumatico d’automobile è gonfiato alla pressione di 3 atmosfere e l’aria, da ritenersi in prima
approssimazione un gas perfetto, si porta alla temperatura ambiente t a  20   C  .
Supponendo che, durante il moto dell’autoveicolo, l’aria subisca un innalzamento di temperatura
pari a  t  70   C  e che il volume della ruota non subisca apprezzabili cambiamenti, determinare
la pressione dell’aria alla nuova temperatura.
Soluzione:
La trasformazione del gas contenuto nella ruota è evidentemente ISOCORA in quanto non è
modificato il volume iniziale.
Il gas assorbe calore dall’ambiente a causa degli inevitabili attriti, di conseguenza, non potendo
scambiare energia meccanica, aumenta la propria energia interna che causa l’aumento di pressione.
Si può quindi applicare la Legge di Gay-Lussac relativamente al tipo di trasformazione.
Utilizzando la legge ricavata utilizzando la scala di temperatura assoluta si ha:
p2 T2

p1 T1
In cui:
p2  x Pressione finale alla temperatura t 2  t a  70  90   C 
 N 
p 1  3 atm  3  101 . 325    303 . 975  Pascal  Pressione iniziale alla temperatura t a  20 
m 
T 2  temperatur a assoluta finale  363 ,16 K 
T 1  temperatur a assoluta iniziale  293 ,16  K 
Otteniamo quindi:
T2 363 ,16 K
p2   p1   303 . 975  Pa   376 . 557  Pa   3 , 716  atm 
T1 293 ,16 K
ESERCIZIO 2:
L’idrogeno contenuto in un serbatoio avente volume V  30 m 3  , alla pressione iniziale
p i  2 atm , è riscaldato da una temperatura iniziale t i  20  ad una finale t f  450  .
Determinare la pressione finale p 2 .
Soluzione:
Si utilizza la legge:
p2 T2

p1 T1
Da cui:
T2 723 ,16 K
p2   p1   2  atm  4 , 93  atm   499 . 532  Pa 
T1 293 ,16 K
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29. APPUNTI DI FISICA
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ESERCIZIO 3:
Determinare la pressione di un gas perfetto alla temperatura di 100° C, sapendo che alla
temperatura di 30° C e allo stesso volume la pressione risultava 1, 4  10 5  Pa  .
Soluzione:
Si utilizza la legge:
p2 T2

p1 T1
Da cui:
T2 373 ,16 K
p2   p1   1 , 4  10
5
 Pa   1 , 72  10
5
 Pa 
T1 303 ,16 K
ESERCIZIO 4:
Qual è la temperatura t 2 dell’aria, contenuta in un recipiente sigillato, alla pressione
p 2  1 , 05  bar  se alla pressione p 1  1 , 27  bar  la temperatura è t 1  40   C  ?
Soluzione:
Si utilizza la legge:
p2 T2

p1 T1
Da cui:
p2 1 , 05  bar 
T2   T1   313 ,16  258 , 91 K 
p1 1 , 27  bar 
Otteniamo quindi:
t 2  258 , 91  273 ,16   14 , 25   C 
E’ possibile pervenire ad un risultato analogo utilizzando la legge di Gay-Lussac scritta per le
temperature espresse in gradi centigradi:
p  p 0  1     t 
Occorre prima calcolare la pressione p 0 che il gas eserciterebbe alla temperatura t 0  0  C  , poi
con tale pressione e la pressione finale determinare temperatura finale corrispondente:
p 1  p 0  1     t 
Da cui:
p1 1 , 27  bar 
p0    1 ,1078  bar 
 t   40   C  
1   1  
 
 273 ,16   273 ,16   C  
E poi:
p 2  p 0  1     t 
p2
1
p2 p0
1    t   t 
p0 
Ottenendo:
29

30. APPUNTI DI FISICA
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1 , 05  bar 
1
1 ,1078  bar 
t    14 , 25   C 
1
273 ,16 
La temperatura corrispondente alla pressione di 1,05 bar è quindi t 2   14 , 25   C 
ESERCIZIO 5:
Un gas alla temperatura t 0  0  C  è contenuto in un recipiente cilindrico chiuso da un pistone che
ha una superficie S  3 cm 2  .
Il pistone è in equilibrio ed esercita sul gas una pressione pari a p 0  3 kPa .
Determinare il valore della nuova massa da appoggiare sul pistone quando la temperatura del gas è
innalzata di un valore pari a  t  50   C  in modo tale che il pistone non cambi posizione.
Soluzione:
Si tratta di una trasformazione a volume costante in quanto il pistone non deve cambiare posizione.
Occorre quindi calcolare il valore della pressione che eserciterà il gas alla nuova temperatura sulla
superficie interna del pistone.
La pressione p 50  è data:
p2 T2 T2 323 ,16  N 
  p 50    p0   3  kPa  3 , 546  kPa   3546  Pa   3546  
2
p0 T0 T0 273 ,16  m 
La differenza di pressione tra quella finale e quella iniziale deve essere bilanciata dal
posizionamento di una nuova massa sulla superficie esterna del pistone, tale per cui:
M g
p 
S
Quindi:
 3 . 546  3 . 000 
 N 
   3  10
4
m 2 
p S 2
m 
M    0 , 01669  kg   16 , 69 g 
g  m 
9 , 81  
2
s 
Lo stesso calcolo utilizzando la legge con le temperature in gradi Celsius:
Calcolo della pressione alla temperatura di 50° C:
 50   C    N 
p 50   p 0   1     t   3  kPa    1 

  3 , 549  kPa   3 . 549 
 
 273 ,16   C   m
2

Determino poi la massa seguendo lo stesso calcolo precedente:
 N 
549    3  10
4
m 2 
p S 2
m 
M    0 , 01679  kg   16 , 79 g 
g  m 
9 , 81  
2
s 
I risultati sono leggermente diversi per la diversa approssimazione.
30

31. APPUNTI DI FISICA
TERMODINAMICA
Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino
PRIMA LEGGE DI GAY-LUSSAC
TRASFORMAZIONE ISOBARA A PRESSIONE COSTANTE
Anche la prima legge di Gay-Lussac è di tipo sperimentale ed è nuovamente utilizzato il sistema
termodinamico ideale a gas perfetto.
Contrariamente alla precedente è ora la pressione a rimanere costante durante tutta la fase finale di
riscaldamento e/o raffreddamento del gas, mentre, il volume da esso occupato nel cilindro risulta
variabile in dipendenza della temperatura.
La legge analitica di una trasformazione ideale “ISOBARA” è nella forma della precedente isocora:
V  V 0  1     t 
In cui si intendono:
V Volume occupato dal gas nel sistema alla temperatura finale
V0 Volume occupato dal gas nel sistema alla temperatura di riferimento t 0  0   C 
t Differenza di temperatura tra le fasi iniziali e finali del sistema
 Coefficiente sperimentale il cui valore è sensibilmente uguale a quello di  per l’isocora
Anche in questo caso, come si vedrà, è possibile utilizzare una forma semplificata della Legge
qualora si decida di utilizzare la scala assoluta delle temperature:
V0
V  T
T0
La sperimentazione utilizza lo stesso dispositivo ideale a gas perfetto già descritto per la
trasformazione a volume costante in una condizione iniziale preparatoria corrispondente all’inizio
della FASE 6.
Ciò significa che le prime cinque fasi possono essere considerate identiche alle precedenti.
FASE 6 – Variazione continua della temperatura del sistema con mantenimento della
pressione iniziale.
Contrariamente alla sperimentazione precedente, relativa alla trasformazione isocora, si
tiene conto, annotandolo, del volume occupato dal gas alla temperatura iniziale del sistema
termodinamico.
Ricordando che il sistema è collegato ad una sorgente alla temperatura t 0  0   C  e
considerando che entrambi sono in equilibrio termico, si conclude immediatamente che la
temperatura del sistema è pari a quello della sorgente.
Facendo inoltre riferimento a quanto illustrato a proposito del valore iniziale di pressione
circa la corrispondenza o meno alla pressione atmosferica normale è già possibile anticipare
che, anche a proposito del volume, vale la stessa regola:
 La variazione di volume a pressione costante dipenderà unicamente dal valore iniziale
dello stesso alla temperatura nulla e sarà costituita sempre dalla stessa frazione. In buona
sostanza si ribadisce l’esistenza di un coefficiente moltiplicatore costante avente le stesse
caratteristiche di  .
Non occorre quindi riportare il volume iniziale, come si fatto inizialmente per la pressione,
al valore che normalmente occuperebbe una mole di gas alla pressione atmosferica normale
e alla temperatura nulla.
Detto questo, occorre ora variare la temperatura del gas mantenendo costante la pressione
che lo stesso esercita sulle pareti del cilindro.
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32. APPUNTI DI FISICA
TERMODINAMICA
Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino
Il pistone, essendo sbloccato, è libero di muoversi per effetto della dilazione del gas che non
è quindi più impedita.
Durante la trasformazione la massa M applicata al pistone non sarà variata in modo tale da
garantire la costanza della pressione interna pari al valore iniziale:
M g  p*
p0 
2
r
Il sistema termodinamico è ora in grado di modificare la propria geometria strutturale
cedendo o assorbendo dai sistemi ad esso collegati anche lavoro meccanico per effetto dello
spostamento del pistone il quale incrementa, oltre tutto, la sua energia potenziale.
La temperatura del gas è variata applicando di volta in volta, come al solito, sorgenti a
temperatura crescente ed aspettando il tempo necessario per permettere ai sistemi di
riportare l’equilibrio termico.
Le quantità di calore cedute, di volta in volta, dai sistemi esterni al sistema termodinamico
attraverso la parete conduttrice di fondo serviranno sia per la dilatazione del gas sia
all’incremento dell’energia interna dello stesso.
Si ricorda che l’unico risultato di una trasformazione isocora era l’incremento o il
decremento dell’energia interna in quanto al sistema termodinamico non era concessa la
possibilità di scambiare energia meccanica.
Possiamo già quindi immaginare che per ottenere la stessa variazione di energia interna del
gas, nel caso di trasformazione isobara, sia necessario scambiare una maggiore quantità di
calore con il sistema esterno.
Procedendo ad esempio con sorgenti caratterizzate da un variazione di temperatura di 50°
una dall’altra, occorrerà prendere nota con misurazioni accurate del volume occupato dal gas
per ogni condizione d’equilibrio semplicemente misurando il volume tra il fondo del
cilindro e la parte interna del pistone.
Figura 16 – FASE 6 – TRASFORMAZIONE ISOBARA A PRESSIONE COSTANTE
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33. APPUNTI DI FISICA
TERMODINAMICA
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FASE 7 – Costruzione del diagramma e della legge analitica della trasformazione isobara.
I risultati ottenuti annotando, per ogni variazione di temperatura, il relativo valore del
volume V saranno utilizzati per la costruzione di un diagramma cartesiano di assi V ; t .
Il diagramma sarà rappresentato abbastanza fedelmente da una retta inclinata passante per il
punto, sull’asse del volume, di coordinate:
 V0 
 
t0  0 C 
E, come si vedrà, per il punto sull’asse delle temperature, caratterizzato dalle coordinate:
V  0 
 
 t   273 ,16  C 
La retta sarà caratterizzata dall’equazione:
V t   V0   V  V0  m  t  t 0 
In cui il coefficiente angolare m ha un valore:
m  .  V0
Il coefficiente angolare m rappresenta, questa volta, l’incremento di volume subito dal gas
per una variazione di temperatura di 1 grado e, come nel caso della trasformazione isocora, è
una frazione, di valore  , del volume iniziale alla temperatura nulla.
Tale frazione è ancora uguale a:
1
   0 , 003661
273 ,16   C 
Quindi, alla fine, la prima Legge di Gay-Lussac, relativa alla trasformazione isobara, risulta
nelle seguenti forme:
V t   V 0    V 0   t  t 0   V 0  1     t  t 0  
 t  t0   t 
V t   V0  1    V0  1   LEGGE GAY-LUSSAC
 273 ,16   273 ,16 
TRASFORM. ISOBARA
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34. APPUNTI DI FISICA
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Figura 17 – PRIMA LEGGE DI GAY-LUSSAC – TRASFORMAZIONE ISOBARA.
LA TRASFORMAZIONE ISOBARA E LA SCALA ASSOLUTA DI TEMPERATURA.
La Prima Legge di Gay-Lussac valida per trasformazioni isobare – a pressione costante – è più
facilmente rappresentata se si effettua uno spostamento della scala delle temperature adottando la
scala assoluta o scala Kelvin.
Basta spostare l’origine degli assi nel punto rappresentativo dello zero assoluto e variare tutti i
valori di temperatura rapportandoli ai Kelvin:
Figura 18 – LEGGE DI GAY-LUSSAC – TRASFORMAZIONE ISOCORA – SCALA ASSOLUTA
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35. APPUNTI DI FISICA
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L’equazione caratteristica può quindi essere facilmente scritta nella forma seguente:
V T   m  T
In cui in coefficiente angolare m è dato da:
V0 V0
m  
T0 273 ,16
Per cui:
V0
V  T ISOBARA (PRESSIONE COSTANTE)
T0
Oppure:
V  T0  V0  T (AREE UGUALI DEI RETTANGOLI)
V T
 (LEGGE DI SIMILITUDINE DI TRIANGOLI SIMILI)
V0 T0
Svincolando anche in questo caso il punto origine si ottengono le due relazioni equivalenti:
V 1  T 2  V 2  T1
V2 T2

V1 T1
In questo modo si svincola la Legge di Gay-Lussac dalla conoscenza delle condizioni di pressione e
temperatura particolari relative alla temperatura di 273,16 K.
35

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1° LEGGE DI GAY-LUSSAC _ TRASFORMAZIONE ISOBARA – ESERCIZI.
ESERCIZIO 1:
Supponendo di scaldare un volume di gas pari a V1  100 dm  con pressione costante, da una
3
temperatura t 1  25   C  ad una temperatura t 2  100   C  , determinare il volume finale occupato
dal gas.
Soluzione:
La trasformazione è isobara, si può quindi applicare la prima Legge di Gay-Lussac nella forma:
V2 T2

V1 T1
Da cui si ottiene:
K 
 100 dm   125 ,16 dm 
T2 373 ,16 3 3
V2   V1 
T1 298 ,16  K 
Allo stesso risultato si perviene utilizzando la formula con la temperatura in Celsius ove, però
occorre prima determinare il volume occupato dal gas alla temperatura nulla:
V 1  V 0  1     t 1  t 0 
V0 
V1

100 dm 3   91 , 61 dm  3

1    t1 1  0 , 003661 C  1   25 C 
Ed infine:
V 2  V 0  1     t 2  t 0   91 , 61 dm  3
  1  0 ,003661 C  1   100 C    125 ,15 dm 3 
ESERCIZIO 2:
Calcolare la temperatura alla quale bisogna portare una massa di idrogeno affinché il suo volume, di
20 litri alla temperatura di 20° C, salga a 30 litri, supponendo che la pressione rimanga costante
durante la trasformazione.
Soluzione:
La trasformazione è isobara, per cui:
V2 T2

V1 T1
V2 30  l 
T2   T1   293 ,16 K   439 , 74 K   166 , 58   C 
V1 20  l 
Utilizzando la scala Celsius:
V 20   V 0   1     t 20   t 0 
V 20  20 l 
V0  

 18 , 63 l 
1  0 , 003661  20  1  0 , 003661  20
V t  x  V 0   1     t  t 0 
36

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Da cui:
30  l 
1    t  t 0  
18 , 63  l 
1 , 61  1 0 , 61
t  t0    166 , 62  C 
 0 , 003661
t  166 , 62   C 
Risultato analogo al precedente.
ESERCIZIO 3:
Una certa quantità di gas, inizialmente alla temperatura t 0  0   C  , subisce una trasformazione in
cui è triplicato il suo volume mantenendo costante la pressione.
Qual è la temperatura del gas al termine della trasformazione?
Soluzione:
La trasformazione è isobara e, definendo V 0 il volume occupato alla temperatura iniziale, si
ottiene:
Vf Tf

V0 T0
Da cui si ottiene:
Vf 3  V0
Tf   T0   T 0  3  T 0  3  273 ,16 K   819 , 48 K   546 , 32   C 
V0 V0
Oppure:
V f  V 0  1    t f 
3  V0
1    tf   3
V0
31 2
tf    2  273 ,16  546 , 32   C 
 0 , 003661
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38. APPUNTI DI FISICA
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ESERCIZIO 4:
In un cilindro di raggio r  30  cm  ed altezza indefinita è contenuta una quantità di gas che
occupa inizialmente un volume V i  5 m  alla temperatura t i  50   C  . Il pistone di massa
3
M  30  kg  è in equilibrio e la pressione dell’ambiente esterno è una frazione pari all’ 85 % della
pressione atmosferica normale.
Determinare, supponendo che il gas subisca una trasformazione isobara, l’aumento di energia
potenziale del pistone, quando la temperatura è incrementata di  t  800   C  .
Soluzione:
La pressione del gas contenuto nel cilindro è pari a:
2 2 2
pi    r  M  g  p *   r  M  g  0 ,85  p a    r
 m 
30  kg   9 , 81  2 
M g s   N   N 
pi   0 , 85  p a   0 , 85  101 . 325  2   87 . 168  2 
 r
2
  0 ,3
2
m 2
m  m 
87 . 168
pi   0 , 86  atm 
101 . 325
Considerato che la trasformazione è isobara, tale pressione si manterrà costante con l’aumento di
temperatura.
Il volume occupato dal gas dopo l’incremento di temperatura sarà:
V 850 
T 850 

V 50  T 50 
Da cui:
1 . 123 ,16  K 
V 850 
 
5 m
3
  17 , 38 m  3
323 ,16  K 
Ad un incremento di volume pari a:
V 850 
 V 50   17 , 38  5  12 , 38 m   3
Corrisponde un incremento di quota del pistone pari a:
2
  r   h   V  12 , 38 m   3
Da cui si ricava:
12 , 38 m  3

h   43 , 81  m 
3 ,14  0 , 3
2
m  2
E il relativo incremento di energia potenziale:
 N 
 E P  M  g   h  30  kg   9 , 81    43 , 81  m   12 . 893 N  m   12 . 893  J 
 kg 
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39. APPUNTI DI FISICA
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LEGGE DI BOYLE-MARIOTTE
TRASFORMAZIONE ISOTERMA A TEMPERATURA COSTANTE.
Come si è visto, le due Leggi di Gay-Lussac descrivono il comportamento di un gas dal punto di
vista della variabilità della pressione e del volume in funzione del solo parametro di stato
“temperatura”.
La trasformazione è definita ISOBARA se, con la variazione di temperatura, è il solo volume a
modificarsi, mentre la pressione rimane costante; è definita ISOCORA se, con la temperatura, si
modifica la pressione ed il volume rimane inalterato.
Se, al contrario, è la temperatura a rimanere costante durante la trasformazione, gli altri due
parametri – pressione e volume – subiranno delle variazioni.
La trasformazione a temperatura costante è definita “ISOTERMICA” o “ISOTERMA” ed è
descritta dalla Legge sperimentale di Boyle-Mariotte.
La Legge di Boyle-Mariotte (ISOTERMA) e le due Leggi di Gay-Lussac (ISOBARA e ISOCORA),
unitamente, saranno poi utilizzate quali basi di partenza per lo studio della “Legge Generale di Stato
dei gas perfetti” ove compariranno la “Costante Generale di stato” e la quantità molecolare effettiva
di gas.
Anche la Legge di Boyle-Mariotte è di tipo sperimentale ed anche in questo caso, per studiarla,
conviene utilizzare il sistema termodinamico ideale contenente gas perfetto.
Prima di iniziare l’utilizzo teorico del sistema ideale occorre, però, anticipare alcune informazioni
che sono emerse in modo sufficientemente chiaro dallo studio delle trasformazioni isocore ed
isobare.
La più o meno rapida compressione di un gas, contenuto nel sistema termodinamico in
equilibrio termico con una sorgente esterna, provoca un brusco aumento di temperatura e di
pressione e una conseguente variazione dello stato di equilibrio termico precedente.
Il gas soggetto ad una compressione si riscalda e, per mantenersi in equilibrio termico con la
sorgente a capacità infinita, deve poter cedere energia termica alla stessa.
La rapidità e l’entità della compressione determinano, in prima approssimazione, il valore
della variazione termica.
Una pompa per bicicletta si riscalda durante le compressioni dello stantuffo.
Se la compressione è effettuata in modo “Quasi-statico”, ad esempio appoggiando al pistone
piccoli pesi in aggiunta a quelli già presenti, il riscaldamento del gas è minimo e uniforme in
tutto il cilindro ma la temperatura del sistema è comunque sempre superiore a quella della
sorgente esterna e lo scambio termico per riportare l’equilibrio è inevitabile anche se di
durata ridotta.
La più o meno rapida espansione determina, al contrario, una diminuzione di temperatura e
il conseguente prelievo, dalla sorgente, di una certa quantità di energia termica.
La brusca espansione del liquido frigorifero in pressione all’interno dell’evaporatore
provoca l’immediata trasformazione da fase liquida a fase gassosa e il conseguente
raffreddamento del sistema ad esso collegato.
E’ questo il principio di funzionamento dei frigoriferi e dei condizionatori estivi.
Sia la compressione che l’espansione del gas, essendo esso inizialmente in equilibrio con la
sorgente a capacità termica infinita, devono essere necessariamente provocate dall’azione di
forze esterne e dal conseguente flusso, in entrata o uscita, di energia meccanica.
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40. APPUNTI DI FISICA
TERMODINAMICA
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In altre parole:
 Ogni compressione è accompagnata dall’aumento di temperatura e da lavoro
meccanico che, dall’esterno, affluisce nel sistema termodinamico. Dal punto di vista
del sistema tale lavoro è positivo, mentre, dal punto di vista dell’ambiente esterno
esso è negativo.
 Ogni espansione è accompagnata dalla diminuzione di temperatura e da lavoro
meccanico che, dal sistema, affluisce all’ambiente esterno. Dal punto di vista del
sistema tale lavoro è negativo, mentre, dal punto di vista dell’ambiente esterno esso è
positivo. Considerando che l’ambiente esterno è, per noi, particolarmente importante
in quanto rappresenta il mondo in cui viviamo, possiamo cominciare a notare la
particolare importanza dell’espansione del gas.
 Da quanto si affermato, si può anche concludere che le sorgenti collegate al sistema
termodinamico sono due:
L’una alternativamente cede o acquisisce calore (la sorgente a capacità termica
infinita), l’altra (il mondo esterno), di solito, alternativamente acquisisce o cede
lavoro meccanico.
Il sistema termodinamico agisce pertanto come tramite ai trasferimenti di energia
termica e meccanica.
Come si vedrà più avanti, i cicli chiusi seguiti dai sistemi termodinamici per il
trasferimento di energia meccanica verso il mondo esterno, richiedono la presenza
contemporanea di due sorgenti a differente temperatura.
Tornando alla trasformazione “ISOTERMA”, la sperimentazione utilizza lo stesso dispositivo
ideale a gas perfetto già descritto per la trasformazione a volume costante e a pressione costante in
una condizione iniziale preparatoria corrispondente all’inizio della FASE 6.
Ciò significa che le prime cinque fasi possono essere considerate identiche alle precedenti.
FASE 6 – Variazione continua della pressione e del volume mantenendo costante la
temperatura del sistema termodinamico. La trasformazione è di tipo “QUASI-STATICO”.
Contrariamente alle sperimentazioni precedenti, relative alle trasformazioni isocora ed
isobara, si tiene conto, annotandoli, dei valori di pressione e volume del gas alla temperatura
iniziale.
Ricordando che il sistema è collegato ad una sorgente alla temperatura t 0  0   C  e
considerando che entrambi sono in equilibrio termico, si conclude immediatamente che la
temperatura del sistema è pari a quello della sorgente.
I parametri di stato che caratterizzano il gas nelle condizioni iniziali sono dunque:
p0 ; V0 ; t0
Il pistone è quindi sbloccato e libero di muoversi.
Aggiungendo, di volta in volta, piccole masse si noterà l’abbassamento del pistone, la
contemporanea diminuzione di volume e un piccolo incremento della temperatura del
sistema che in poco tempo si riporterà in equilibrio con sorgente esterna collegata.
Durante la reiterazione delle operazioni la temperatura continua a rimanere costante ed
uguale a quella della sorgente mentre ad ogni aumento di pressione corrisponderà una
diminuzione di volume.
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