SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 218
Descargar para leer sin conexión
Cálculo integral
M. C. Juliho Castillo
3 de marzo de 2017
Escuela de Ciencias Empresariales y Económicas, Universidad Panamericana
1
1 Funciones diferenciables
2 Aproximaciones lineales y diferenciales
Análisis marginal
Aproximación por incrementos
Diferenciales
3 Análisis gráfico de la diferencial de una función
Diferenciación de funciones en forma implicita
Calculando la pendiente de una recta tangente
Aplicaciones a la economía
4 Reglas de diferenciación
Problemas
2
Funciones diferenciables
3
Notación delta
Sea f : R → R una función y x0 en el dominio de f. Sea ∆x
una variación variación infinitesimal, es decir, un cambio muy
pequeño en el valor de x. De manera similar, ∆y una variación
infinitesimal en y = f(x). Entonces
∆y = f(x0 + ∆x) − f (x0) .
4
La tasa o razón de cambio promedio de la función f en el
intervalo [x0, x0 + ∆x] se define como
∆y
∆x
=
f(x0 + ∆x) − f(x0)
∆x
. (1.1)
5
Ejemplo 1.1.
Sea y = f(x) = x2
+ 2x. Comencemos en x0 = 1, que cambia
a x = 1.5. Entonces ∆x = 0.5. El cambio correspondiente en
y es ∆y = f(1.5) − f(1) = 5.25 − 3 = 2.25. Por tanto, la
tasa de promedio de cambio de f en [1, 1.5] es
∆y
∆x
=
2.25
0.5
= 4.5.
6
Ejemplo 1.1.
Sea y = f(x) = x2
+ 2x. Comencemos en x0 = 1, que cambia
a x = 1.5. Entonces ∆x = 0.5. El cambio correspondiente en
y es ∆y = f(1.5) − f(1) = 5.25 − 3 = 2.25. Por tanto, la
tasa de promedio de cambio de f en [1, 1.5] es
∆y
∆x
=
2.25
0.5
= 4.5.
6
Ejemplo 1.1.
Sea y = f(x) = x2
+ 2x. Comencemos en x0 = 1, que cambia
a x = 1.5. Entonces ∆x = 0.5. El cambio correspondiente en
y es ∆y = f(1.5) − f(1) = 5.25 − 3 = 2.25. Por tanto, la
tasa de promedio de cambio de f en [1, 1.5] es
∆y
∆x
=
2.25
0.5
= 4.5.
6
La derivada
Si y = f(x), y x0 está en el dominio de f, entonces por la tasa
de cambio instantanea de f en x0 se entiende el límite de la
tasa promedio de cambio entre x0 y x0 + ∆x cuando ∆x se
aproxima a 0 :
l´ım
∆x→0
∆y
∆x
= l´ım
∆x→0
f(x0 + ∆x) − f(x0)
∆x
siempre que este límite exista. Tal límite se le denomina
derivada.
7
La derivada
Si y = f(x), y x0 está en el dominio de f, entonces por la tasa
de cambio instantanea de f en x0 se entiende el límite de la
tasa promedio de cambio entre x0 y x0 + ∆x cuando ∆x se
aproxima a 0 :
l´ım
∆x→0
∆y
∆x
= l´ım
∆x→0
f(x0 + ∆x) − f(x0)
∆x
siempre que este límite exista. Tal límite se le denomina
derivada.
7
La derivada
Si y = f(x), y x0 está en el dominio de f, entonces por la tasa
de cambio instantanea de f en x0 se entiende el límite de la
tasa promedio de cambio entre x0 y x0 + ∆x cuando ∆x se
aproxima a 0 :
l´ım
∆x→0
∆y
∆x
= l´ım
∆x→0
f(x0 + ∆x) − f(x0)
∆x
siempre que este límite exista. Tal límite se le denomina
derivada.
7
Notación para derivadas
Considere la derivada de f en un punto arbitrario x en su
dominio:
l´ım
∆x→0
∆y
∆x
= l´ım
∆x→0
f(x0 + ∆x) − f(x0)
∆x
.
El valor de la derivada es una función de x y se indicará
mediante cualquiera de las expresiones siguientes:
Dxf(x) =
dy
dx
= y = f (x) =
d
dx
f(x) = l´ım
∆x→0
∆y
∆x
.
El valor f (a) de la derivada de f en un punto especifico a se
indica mediante: dy
dx
|a.
8
Diferenciabilidad
Una función es diferenciable en un punto x0 si la derivada de
la función existe en ese punto.
De hecho, la diferenciabilidad implica la continuidad.
Diremos que una función es diferenciable si lo es en cada
punto de su dominio.
9
Diferenciabilidad
Una función es diferenciable en un punto x0 si la derivada de
la función existe en ese punto.
De hecho, la diferenciabilidad implica la continuidad.
Diremos que una función es diferenciable si lo es en cada
punto de su dominio.
9
Diferenciabilidad
Una función es diferenciable en un punto x0 si la derivada de
la función existe en ese punto.
De hecho, la diferenciabilidad implica la continuidad.
Diremos que una función es diferenciable si lo es en cada
punto de su dominio.
9
Aproximaciones lineales y
diferenciales
10
Aproximaciones lineales y
diferenciales
Análisis marginal
11
Supóngamos que C(x) es el costo toal de la producción de x
unidades de una mercancía en particular. Si x0 unidades están
siendo producidas actualmente, entonces la derivada
C (x0) = l´ım
∆x→0
C(x0 + ∆x) + C(x0)
∆x
es también llamada el costo marginal de producir x0 unidades.
12
Si ∆x = 1, entonces
C (x0) ≈
C(x0 + 1) − C(x0)
1
= C(x0 + 1) − C(x0),
donde ≈ se usa para indicar una aproximación, y no una
igualdad.
13
Definición 2.1.
Si C(x) es el costo total de producir x unidades de una
mercancía, entonces el costo marginal de producir x0 unidades
es la derivada C (x0), la cual aproxima el costo adicional de
producir una unidad más.
14
Figura 2.1: El costo marginal C (x0)
15
Figura 2.2: El costo adicional C(x0 + 1) − C(x0) de incrementar
la produccion una unidad maś.
16
Definición 2.2.
Supongamos que R(x) es el ingreso generado por x unidades
de un bien en particular, mientras que P(x) = R(x) − C(x) es
la ganancia correspondiente. Cuando x = x0 unidades son
producidad, entonces:
El ingreso marginal R (x) aproxima R(x0 + 1) − R(x0) el
ingreso adicional por producir una unidad más.
La ganancia marginal P (x) aproxima P(x0 + 1) − P(x0)
la ganancia adicional por producir una unidad más.
17
Ejemplo 2.1.
Un manufacturador estima que cuando x unidades de un bien
en particular son producidas, el costo total será de
C(x) = 1
8
x2
+ 3x + 98 dolares y, más aún, que todas las
unidades serán vendidas a un precio de p(x) = 1
3
(75 − x)
dolares por unidad.
(a) Encuentre el costo marginal y el ingreso marginal.
(b) Use el costo marginal para estimar el costo de producir la
novena unidad.
(c) ¿Cuál es el costro real de producir la novena unidad?
(d) Use el ingreso marginal para estimar el ingreso derivado de
la venta de la novena unidad.
(e) ¿Cuál es el ingreso real derivado de vender la novena
unidad?
18
Ejemplo 2.2.
Una manufacturador de cámaras digitales estima que cuando x
cientos de camaras son producidos, la ganancia total será
P(x) = −0.0035x3
+ 0.07x2
+ 25x − 200
miles de dorales.
(a) Encuentre la ganacia marginal.
(b) ¿Cuál es la ganancia marginal cuando el nivel de
producción es x = 10, x = 50 y x = 80?
(c) Interprete estos resultados.
19
Aproximaciones lineales y
diferenciales
Aproximación por incrementos
20
Como
f (x0) = l´ım
∆x→0
f(x0 + ∆x) − f(x0)
∆x
,
entonces para ∆x ≈ 0:
f (x0) ≈
f(x0 + ∆x) − f(x0)
∆x
o de manera equivalente
f(x0 + ∆x) − f(x0) ≈ f (x0)∆x.
21
Como
f (x0) = l´ım
∆x→0
f(x0 + ∆x) − f(x0)
∆x
,
entonces para ∆x ≈ 0:
f (x0) ≈
f(x0 + ∆x) − f(x0)
∆x
o de manera equivalente
f(x0 + ∆x) − f(x0) ≈ f (x0)∆x.
21
Como
f (x0) = l´ım
∆x→0
f(x0 + ∆x) − f(x0)
∆x
,
entonces para ∆x ≈ 0:
f (x0) ≈
f(x0 + ∆x) − f(x0)
∆x
o de manera equivalente
f(x0 + ∆x) − f(x0) ≈ f (x0)∆x.
21
Aproximación por incrementos
Si f(x) es diferenciable en x = x0 y ∆x es un cambio
suficientemente pequeño, entonces
f(x0 + ∆x) ≈ f(x0) + f (x0)∆x,
o de manera equivalente, si ∆f = f(x0 + ∆x) − f(x0),
entonces
∆f ≈ f (x0)∆x.
22
Ejemplo 2.3.
Supongamos que el costo total en dolares de manufacturar q
unidades de cierta mercancía es C(q) = 3q2
+ 5q + 10. Si el
nivel actual de producción es de 40 unidades, estime cuanto
cambiará el costo total si son producidas 40.5 unidades.
23
Propagación del error
Ejemplo 2.4.
Durante un procedimiento médico, el tamaño de un tumor de
forma aproximadamente esferica se estima al medir su
diametro usando la fórmula V = 4
3
πR3
para medir su volumen.
Si el diametro medido es 2.5cm, con un error máximo de 2 %,
¿qué tan acertado es la medida del volumen?
24
Control del error
Ejemplo 2.5.
La producción diaria de cierta fábrica es Q(L) = 900L1/3
unidades, donde L denota el tamaño de la fuerza laboral
medida en trabajador-hora. Actualmente, 1000
trabajador-horas son usadas cada día. Estime el número
adicionar de trabajador-horas de fuerza laboral que se
requerirán diariamente para producir 15 unidades.
25
Fórmula de aproximación del cambio porcentual
Si ∆x es un cambio suficientemente pequeño en x, el
correspondiente cambio porcentual en la función f(x) será
100
∆f
f(x)
≈ 100
f (x)∆x
f(x)
.
26
Ejemplo 2.6.
El PIB de cierto país era N(t) = t2
+ 5t + 200 billones de
dolares después de t años a partir del 2000. Estime el cambio
porcentual en el PIB durante el primer cuarto de 2008.
27
Aproximaciones lineales y
diferenciales
Diferenciales
28
Definición 2.3.
Si ∆x ≈ 0, entonces la diferencial de x es dx = ∆x y si
y = f(x) es una función diferenciable de x, entonces
dy = f (x)dx es la diferencial de y.
29
Ejemplo 2.7.
En cada caso, encuentre la diferencial de y = f(x) :
(a) f(x) = x3
− 7x + 2
(b) f(x) = (x2
+ 5)(3 − x − 2x2
)
30
Figura 2.3: Aproximación de ∆x por la diferencial dy.
31
Análisis gráfico de la diferencial
de una función
32
Las ecuaciones del tipo y = f(x) se conocen como explícitas.
Por ejemplo,
y = x2
+ 3x + 1, y =
x3
+ 1
2x − 3
, y =
√
1 − x2.
Sin embargo, algunos problemas están en forma implicita, es
decir, F(x, y) = 0. Por ejemplo
x2
y3
− 6 = 5y3
+ x,
o de manera equivalente
F(x, y) = x2
y3
− 6 − 5y3
− x = 0.
33
Las ecuaciones del tipo y = f(x) se conocen como explícitas.
Por ejemplo,
y = x2
+ 3x + 1, y =
x3
+ 1
2x − 3
, y =
√
1 − x2.
Sin embargo, algunos problemas están en forma implicita, es
decir, F(x, y) = 0. Por ejemplo
x2
y3
− 6 = 5y3
+ x,
o de manera equivalente
F(x, y) = x2
y3
− 6 − 5y3
− x = 0.
33
Análisis gráfico de la diferencial
de una función
Diferenciación de funciones en forma
implicita
34
Si tenemos una ecuación en forma implicita F(x, y) = 0, y
queremos obtener y = dy
dx
, podemos intentar despejar y y
derivar directamente. Sin embargo, esto no siempre es simple o
incluso, posible: Por ejemplo, considere
x2
y + 2y3
= 3x + 2y.
En algunos casos es posible, pero cálcular la derivada puede
ser complicado. Por ejemplo, considere
x2
y3
− 5y3
= x + 6.
Entonces
y =
x + 6
x2 − 5
1/3
.
35
Si tenemos una ecuación en forma implicita F(x, y) = 0, y
queremos obtener y = dy
dx
, podemos intentar despejar y y
derivar directamente. Sin embargo, esto no siempre es simple o
incluso, posible: Por ejemplo, considere
x2
y + 2y3
= 3x + 2y.
En algunos casos es posible, pero cálcular la derivada puede
ser complicado. Por ejemplo, considere
x2
y3
− 5y3
= x + 6.
Entonces
y =
x + 6
x2 − 5
1/3
.
35
Si tenemos una ecuación en forma implicita F(x, y) = 0, y
queremos obtener y = dy
dx
, podemos intentar despejar y y
derivar directamente. Sin embargo, esto no siempre es simple o
incluso, posible: Por ejemplo, considere
x2
y + 2y3
= 3x + 2y.
En algunos casos es posible, pero cálcular la derivada puede
ser complicado. Por ejemplo, considere
x2
y3
− 5y3
= x + 6.
Entonces
y =
x + 6
x2 − 5
1/3
.
35
Si tenemos una ecuación en forma implicita F(x, y) = 0, y
queremos obtener y = dy
dx
, podemos intentar despejar y y
derivar directamente. Sin embargo, esto no siempre es simple o
incluso, posible: Por ejemplo, considere
x2
y + 2y3
= 3x + 2y.
En algunos casos es posible, pero cálcular la derivada puede
ser complicado. Por ejemplo, considere
x2
y3
− 5y3
= x + 6.
Entonces
y =
x + 6
x2 − 5
1/3
.
35
Si tenemos una ecuación en forma implicita F(x, y) = 0, y
queremos obtener y = dy
dx
, podemos intentar despejar y y
derivar directamente. Sin embargo, esto no siempre es simple o
incluso, posible: Por ejemplo, considere
x2
y + 2y3
= 3x + 2y.
En algunos casos es posible, pero cálcular la derivada puede
ser complicado. Por ejemplo, considere
x2
y3
− 5y3
= x + 6.
Entonces
y =
x + 6
x2 − 5
1/3
.
35
Proposición 3.1.
Si f = f(y) y y = y(x) son funciones diferenciables:
df
dx
=
df
dy
dy
dx
= f (y)y (3.1)
Por ejemplo, si y = y(x), entonces
d
dx
y2
=
d
dy
y2 dy
dx
= 2yy .
36
Proposición 3.1.
Si f = f(y) y y = y(x) son funciones diferenciables:
df
dx
=
df
dy
dy
dx
= f (y)y (3.1)
Por ejemplo, si y = y(x), entonces
d
dx
y2
=
d
dy
y2 dy
dx
= 2yy .
36
Diferenciación implicita
Ejemplo 3.1.
Encuentre y = dy
dx
si x2
y + y2
= x3
.
37
Método de Diferenciación Implicita
Suponga que una ecuación define y de manera implicita como
una función diferenciable de x. Para encontrar y = dy
dx
:
1 Diferencie ambos lados de la ecuación con respecto a x.
Recuerde que y es en realidad una función de x y puede
usar la regla de la cadena al diferenciar los términos que
contienen a y.
2 Resuelva la ecuación diferencial algebraicamente para y
en términos de x y y.
38
Análisis gráfico de la diferencial
de una función
Calculando la pendiente de una recta
tangente
39
Ejemplo 3.2.
Encuentre la pendiente de la recta tangente al círculo
x2
+ y2
= 25, en el punto (3, 4)− ¿Cuál es la pendiente en el
punto (3, −4)?
Figura 3.1: Gráfica de x2 + y2 = 25.
40
Ejemplo 3.2.
Encuentre la pendiente de la recta tangente al círculo
x2
+ y2
= 25, en el punto (3, 4)− ¿Cuál es la pendiente en el
punto (3, −4)?
Figura 3.1: Gráfica de x2 + y2 = 25.
40
Ejemplo 3.3.
Encuentre todos los puntos de la gráfica de la ecuación
x2
− y2
= 2x + 4y donde la recta tangente es horizontal.
¿Tiene la gráfica alguna tangente vertical?
Figura 3.2: Gráfica de x2 − y2 = 2x + 4y
41
Ejemplo 3.3.
Encuentre todos los puntos de la gráfica de la ecuación
x2
− y2
= 2x + 4y donde la recta tangente es horizontal.
¿Tiene la gráfica alguna tangente vertical?
Figura 3.2: Gráfica de x2 − y2 = 2x + 4y
41
Análisis gráfico de la diferencial
de una función
Aplicaciones a la economía
42
Ejemplo 3.4.
Suponga que la producción de cierta fábrica es
Q = 2x3
+ x2
y + y3
, donde x es el número de horas de trabajo
especializado y y es el número de horas de trabajo no
especializado. La actual fuerza de trabajo consiste de 30 horas
de trabajo especializado y 20 del que no lo es. Estime el
cambio en el trabajo no especializado y que compense un
incremento de una hora de trabajo no especializado x, de
manera que la producción mantenga su actual nivel.
43
Observación 3.1.
Si Q(x, y) es el nivel de producción, diremos que Q(x, y) = C
es una isocuanta, y la razón de cambio dy
dx
que encontramos
derivando implicitamente se conoce como relación marginal de
sustitución técnica.
44
Reglas de diferenciación
45
Este es un resumen de las propiedades más importantes de la
derivada. Al final, se sugiere una lista de problemas que se
pueden resolver con ayuda de las notas de clase y le serán
útiles para repasar los conceptos básicos, ¡intentelos!
46
Definición 4.1.
La derivada de una función f(x) esta definida como
d
dx
f(x) = l´ım
h→0
f(x + h) − f(x)
h
,
o de manera equivalente,
d
dx
f(x) = l´ım
t→x
f(t) − f(x)
t − x
,
si es que dicho límite existe.
47
Observación 4.1.
En ocasiones, usamos la notación f (x) para la derivada
d
dx
(f(x)).
Al usar esta notación, tenga cuidado en identificar la variable
independiente y la dependiente. Por ejemplo, si y = f(u),
entonces
y =
df
du
.
48
Propiedades fundamentales de la derivada
Sean f, g, u funciones diferenciables y c, k unas constantes.
Linealidad
d
dx
(cf(x) + kg(x)) = c
d
dx
f(x) + k
d
dx
g(x) (4.1)
Regla de Leibniz
d
dx
(f(x)g(x)) =
d
dx
f(x) g(x) + f(x)
d
dx
g(x)
(4.2)
Regla de la cadena
d
dx
(g(u(x))) =
d
du
g(u)
d
dx
u(x) . (4.3)
49
Propiedades fundamentales de la derivada
Sean f, g, u funciones diferenciables y c, k unas constantes.
Linealidad
d
dx
(cf(x) + kg(x)) = c
d
dx
f(x) + k
d
dx
g(x) (4.1)
Regla de Leibniz
d
dx
(f(x)g(x)) =
d
dx
f(x) g(x) + f(x)
d
dx
g(x)
(4.2)
Regla de la cadena
d
dx
(g(u(x))) =
d
du
g(u)
d
dx
u(x) . (4.3)
49
Propiedades fundamentales de la derivada
Sean f, g, u funciones diferenciables y c, k unas constantes.
Linealidad
d
dx
(cf(x) + kg(x)) = c
d
dx
f(x) + k
d
dx
g(x) (4.1)
Regla de Leibniz
d
dx
(f(x)g(x)) =
d
dx
f(x) g(x) + f(x)
d
dx
g(x)
(4.2)
Regla de la cadena
d
dx
(g(u(x))) =
d
du
g(u)
d
dx
u(x) . (4.3)
49
Proposición 4.1.
Si p ≥ 0 es un número entero, entonces
d
dx
(xp
) = pxp−1
. (4.4)
50
Observación 4.2.
La formula 4.4 se puede obtener directamente a partir de la
identidad algebráica
tp
− xp
= (t − x) tp−1
+ tp−2
x + ... + xp−1
,
donde p es necesariamente un entero positivo, o de manera
recursiva a partir de la derivada
d
dx
(x) = 1
(veáse ejericicio 4.1) y la regla de Leibniz.
51
Reglas de diferenciación
Problemas
52
Ejercicio 4.1.
A partir de la definición de la derivada, deduzca que
d
dx
(mx + b) = m, (4.5)
donde m, b son constantes reales.
En particular, deduzca que
db
dx
= 0,
dx
dx
= 1.
53
Ejercicio 4.2.
1 Deduzca que si
f(x) =
g(x)
h(x)
, (4.6)
entonces
f (x) =
g (x) − h (x)f(x)
h(x)
. (4.7)
2 Sustituya (4.6) en (4.7), y simplifique para obtener,
f (x) =
g (x)h(x) − h (x)g(x)
h2(x)
. (4.8)
54
Ejercicio 4.2.
1 Deduzca que si
f(x) =
g(x)
h(x)
, (4.6)
entonces
f (x) =
g (x) − h (x)f(x)
h(x)
. (4.7)
2 Sustituya (4.6) en (4.7), y simplifique para obtener,
f (x) =
g (x)h(x) − h (x)g(x)
h2(x)
. (4.8)
54
Ejercicio 4.3.
Deduzca que si f(x) =
√
x, entonces
f (x) =
1
2
√
x
. (4.9)
Sugerencia 4.1.
Recuerde que (
√
x)2
= x, así que puede derivar de manera
implicita, usando regla de la cadena o puede aplicar la regla de
Leibniz en el lado izquierdo de la identidad
f(x)f(x) = x.
55
Ejercicio 4.4.
Supongamos que y = m
√
xn, con n, m ≥ 0 número enteros.
Entonces
ym
= xn
. (4.10)
Derive implicitamente la ecuación (4.10) (respecto de x),
despeje y y deduzca que
y =
n
m
x( n
m
−1)
. (4.11)
Sugerencia 4.2.
Recuerde que x( n
m
)
:= m
√
xn.
56
Observación 4.3.
La fórmula (4.11) nos dice que la fórmula (4.4) también es
válida cuando p es una fracción mayor o igual que cero.
57
Ejercicio 4.5.
Sea
y =
1
xp
,
donde p es una fracción positiva. Entonces
y · xp
= 1.
Derive de manera implicita (usando la regla de Leibniz) la
ecuación anterior y deduzca que
y = (−p)x−p−1
. (4.12)
58
Observación 4.4.
Como
x−p
:=
1
xp
,
la fórmula (4.12) nos dice que (4.4) sigue siendo válido para
los exponente que son fracciones negativas y junto con 4.11,
nos dice que la fórmula 4.4 es válida para cualquier exponente
fraccionario, en particular, para números enteros.
59
Resumimos todos resultados anteriores en el siguiente:
Teorema 4.2.
Sea y = xp
, donde p es cualquier fracción. Entonces
dy
dx
= pxp−1
. (4.13)
60
5 Integración por sustitución
Modelos de ajuste de precio
Problemas aplicados a los negocios y la economía
6 Integracion por partes y por fracciones parciales
Integración por partes
La ecuación logística
Integración por Fracciones parciales
Problemas aplicados a los negocios y la economía
7 Integral definida y el teorema fundamental del cálculo
Integral Definida
Teorema Fundamental del Cálculo
61
Sustitución en una integral definida
Variación total
62
Integración por sustitución
63
Calcule la siguiente integral:
(3x + 5)7
dx.
La primera solución sería expandir e integrar término a
término.
(%i1)
expand((3*x+5)^7);
( %o1) 2187 x7
+ 25515 x6
+ 127575 x5
+ 354375 x4
+
590625 x3
+ 590625 x2
+ 328125 x + 78125
64
Calcule la siguiente integral:
(3x + 5)7
dx.
La primera solución sería expandir e integrar término a
término.
(%i1)
expand((3*x+5)^7);
( %o1) 2187 x7
+ 25515 x6
+ 127575 x5
+ 354375 x4
+
590625 x3
+ 590625 x2
+ 328125 x + 78125
64
Observación 5.1.
La diferencial de u = f(x) es du = f (x)dx.
Hacemos la sustitución (o cambio de variable) u = 3x + 5 de
manera que du = 3dx o de manera equivalente
dx =
1
3
du.
65
(3x + 5)7
dx = u7 1
3
du
=
1
3
1
8
u8
+ C
=
1
24
u8
+ C
=
1
24
(3x + 5)8
+ C
66
Ejercicio 5.1.
Verifique el resultado anterior, derivando. Sugerencia: Utilice la
regla de la cadena.
67
Método 1 (Integración por sustitución de f(x)dx).
1 Escoja una sustitución u = u(x) que simplifique el
integrando f(x)dx.
2 Exprese toda la integral en términos de u y du = u (x)dx.
Esto significa que todos los términos que involucren tanto
x como dx deben transformarse, para involucrar solo u y
du.
3 Al concluir con el paso 2, la integral debe tener la forma
f(x)dx = g(u)du.
De ser posible, evalue esta transformación encontrando
una antiderivada G(u) para g(u).
4 Reemplace u por u(x) para obtener una antiderivada
F(x) = G(u(x)) para f(x) de manera que
68
Ejemplo 5.1.
Encuentre
√
2x + 7dx
69
Ejemplo 5.2.
Encuentre 8x(4x2
− 3)5
dx.
70
Ejemplo 5.3.
Encuentre x3
ex4+2
dx.
71
Ejemplo 5.4.
Encuentre x
x−1
dx.
72
Ejemplo 5.5.
Encuentre 3x+6√
2x2+8x+3
dx.
73
Ejemplo 5.6.
Encuentre (ln x)2
x
dx
74
Ejemplo 5.7.
Encuentre e5x+2
dx.
75
Ejemplo 5.8.
Encuentre x2+3x+5
x+1
dx.
76
Ejemplo 5.9.
Encuentre 1
1+e−x dx.
77
Ejemplo 5.10 (Cuando la sustitución falla).
Encuentre x4
ex4+2
dx.
78
Ejemplo 5.11.
Encuentre la solución general de la ecuación diferencial
separable
dy
dx
=
√
4 − y2
xy
.
79
Ejemplo 5.12 (Una aplicación que involucra una
sustitución).
Se estima que el precio p en dólares de cada unidad de cierto
bien cambia a una tasa de
dp
dx
=
−135x
√
9 + x2
dónde x (medido en cientos de unidades) es la demanda del
consumidor (el número de unidades adquiridas a este precio).
Supongamos que 400 unidades, es decir, x = 4 son
demandadas cuando el precio es $30 por unidad.
1 Encuentre la función demanda precio p(x).
2 ¿A que precio serán demandadas 300 unidades?
3 ¿Cuantas unidades serán demandadas a un precio de $20
por unidad.
80
Integración por sustitución
Modelos de ajuste de precio
81
Supongamos que S(p) es el número de unidades de cierto
artículo ofrecido en el mercado a un precio p, y D(p) el
número correspondiente de unidades demandas por el mercado
al mismo precio.
El modélo de ajuste de precio de Evans supone que
dp
dt
= k (D − S) ,
donde k > 0.
82
Ejemplo 5.13 (Estudio de ajuste de precio).
Se introduce un producto con precio inicial de $5 por unidad.
La gerente de ventas determina que después de t meses, el
precio estará cambiando a una tasa igual al 2 % de la escasez
D − S, donde la oferta S(p) y la demanda D(p) del producto
(cada una en miles de unidades) está dada por
D = 50 − p, S = 23 + 2p, 0 ≤ p < 9.
1 Plantee y resuelva un problema de valor inicial para el
precio unitario p(t).
2 ¿Qué ingreso debe esperar la gerente a partir de la venta
del producto después de 6 meses?
3 ¿Cuál es el precio de equilibrio pe? Demuestre que p(t) se
aproxima a p en el largo plazo (cuanto t → ∞.)
83
Ejemplo 5.13 (Estudio de ajuste de precio).
Se introduce un producto con precio inicial de $5 por unidad.
La gerente de ventas determina que después de t meses, el
precio estará cambiando a una tasa igual al 2 % de la escasez
D − S, donde la oferta S(p) y la demanda D(p) del producto
(cada una en miles de unidades) está dada por
D = 50 − p, S = 23 + 2p, 0 ≤ p < 9.
1 Plantee y resuelva un problema de valor inicial para el
precio unitario p(t).
2 ¿Qué ingreso debe esperar la gerente a partir de la venta
del producto después de 6 meses?
3 ¿Cuál es el precio de equilibrio pe? Demuestre que p(t) se
aproxima a p en el largo plazo (cuanto t → ∞.)
83
Ejemplo 5.13 (Estudio de ajuste de precio).
Se introduce un producto con precio inicial de $5 por unidad.
La gerente de ventas determina que después de t meses, el
precio estará cambiando a una tasa igual al 2 % de la escasez
D − S, donde la oferta S(p) y la demanda D(p) del producto
(cada una en miles de unidades) está dada por
D = 50 − p, S = 23 + 2p, 0 ≤ p < 9.
1 Plantee y resuelva un problema de valor inicial para el
precio unitario p(t).
2 ¿Qué ingreso debe esperar la gerente a partir de la venta
del producto después de 6 meses?
3 ¿Cuál es el precio de equilibrio pe? Demuestre que p(t) se
aproxima a p en el largo plazo (cuanto t → ∞.)
83
Ejemplo 5.13 (Estudio de ajuste de precio).
Se introduce un producto con precio inicial de $5 por unidad.
La gerente de ventas determina que después de t meses, el
precio estará cambiando a una tasa igual al 2 % de la escasez
D − S, donde la oferta S(p) y la demanda D(p) del producto
(cada una en miles de unidades) está dada por
D = 50 − p, S = 23 + 2p, 0 ≤ p < 9.
1 Plantee y resuelva un problema de valor inicial para el
precio unitario p(t).
2 ¿Qué ingreso debe esperar la gerente a partir de la venta
del producto después de 6 meses?
3 ¿Cuál es el precio de equilibrio pe? Demuestre que p(t) se
aproxima a p en el largo plazo (cuanto t → ∞.)
83
Integración por sustitución
Problemas aplicados a los negocios y la
economía
84
Problema 5.1 (Costo marginal).
En cierta fabrica, el costo marginal es 3(q − 4)2
dólares por
unidad cuando el nivel de producción es q unidades.
1 Exprese el costo total de producción en función de los
gastos indirectos (el costo de producir 0 unidades) y el
número de unidades producidas.
2 ¿Cuál es el costo de producir 14 unidades si el gasto
indicado es $ 436?
85
Problema 5.2 (Ingreso).
El ingreso marginal por la venta de x unidades de cierto
artículo se estima será R (x) = 50 + 3.5xe−0.01x2
dólares por
unidad, donde R(x) es el ingreso en dólares.
Determine R(x), suponiendo que R(0) = 0.
¿Qué ingreso se espera por la venta de 1000 unidades?
86
Problema 5.3 (Utilidad marginal).
Una compañia determina que el ingreso marginal por la
producción de x unidades es R (x) = x(5 − x)3
cientos de
dólares por unidad, y el costo marginal correspondiente
C (x) = 5 + 2x cientos de dólares por unidad. ¿En cuánto
cambia la utilidad cuando el nivel de producción se eleva de 1
a 5 unidades?
87
Problema 5.4 (Oferta).
El propietario de una cadena de comida rápida determina que
si se ofertan x miles de unidades de una nueva comida, el
precio marginal a ese nivel de oferta estará dado por
p (x) = x
(x+3)2 dólares por unidad, donde p(x) es el precio por
unidad a la cual todas las x miles de unidades se venderán.
Actualmente se ofertan 5000 unidades a un precio de $2.20
por unidad.
1 Determine la función de oferta p(x)
2 Si se ofertan 10,000 unidades de alimentos a restaurantes
en la cadena, ¿qué precio unitario se deberá cobrar para
que se vendan todas las unidades?
88
Problema 5.5.
Sean S(t) la función de oferta y D(t), la de demanda.
Suponga que el precio cambia a una tasa proporcional a la
escasez D(t) − S(t), con la constante de propocionalidad k
indicada y el precio inicial p0. En cada ejercicio:
(a) Plantee y resuelva la ecuación diferencial para p(t)
(b) Encuentre el precio unitario del artículo cuando t = 4
(c) Determine lo que sucede con el precio cuando t → ∞
1 S(t) = 3 + t; D(t) = 9 − t; k = 0.01; p0 = 1
2 S(t) = 2 + 3p(t); D(t) = 10 − p(t); k = 0.02; p0 = 1
89
Integracion por partes y por
fracciones parciales
90
Integracion por partes y por
fracciones parciales
Integración por partes
91
Proposición 6.1 (Regla del producto).
Si u, v son diferenciables en x
d
dx
(u(x)v(x)) = u(x)
d
dx
v(x) + v(x)
d
dx
u(x)
De manera breve,
(uv) = u v + uv .
92
En forma diferencial, podemos escribir la regla del producto
como:
d (uv) = udv + vdu,
de donde
uv = udv + vdu.
93
Proposición 6.2 (Integración por partes).
udv = uv − vdu (6.1)
94
Ejemplo 6.1.
Calcule
x2
ln(x)dx
95
Método 2 (Integración por partes).
Para calcular f(x)dx :
(a) Escoja u, v de manera que f(x) = udv.
(b) Encuentre du y v = dv
(c) Aplique la fórmula (6.1)
96
Ejemplo 6.2.
Encuentre
xe2x
dx
97
Ejemplo 6.3.
Encuentre
x
√
x + 5dx
Intente el mismo ejercicio por sustitución.
98
Ejemplo 6.4 (Integración por partes doble).
Encuentre
x2
e2x
dx
99
Integracion por partes y por
fracciones parciales
La ecuación logística
100
Una ecuación diferencial de la forma general
dQ
dt
= kQ (M − Q) (6.2)
con k, M contantes se denomina ecuación logística, y l gráfica
de su solución y = Q(t) se denomina curva logística.
101
Ejemplo 6.5 (Propagación de un rumor).
A las 6 a.m., dos ejecutivos contables de una empresa
corredora, escuchan el rumor de que una nueva acción que se
ofrece, se presentará a medio día. El rumor se propaga a través
de 26 ejecutivos de la empresa a la tasa
dN
dt
= 0.025N (26 − N)
donde N(t) es el número de ejecutivos que oyeron el rumor t
horas después de las 6 a.m.
1 Determine N(t)
2 ¿Cuántos ejecutivos no han oído el rumor a mediodía?
102
Integracion por partes y por
fracciones parciales
Integración por Fracciones parciales
103
En esta sección, consideraremos funciones racionales, es decir,
cocientes de polinomio. De hecho, consideraremos sólamente f.
r. propias, es decir aquellas en las que el dividendo es de grado
estrictamente menor que el divisor.
104
Ejemplo 6.6.
2x4
− 3x3
− 4x2
− 17x − 6
x3 − 2x2 − 3x
dx = 2x + 1 +
4x2
− 14x − 6
x3 − 2x2 − 3x
dx
= x2
+ x +
4x2
− 14x − 6
x3 − 2x2 − 3x
dx
105
Ejercicio 6.1.
Compruebe que
1
4x2
− 14x − 6
x3 − 2x2 − 3x
=
2
x
+
3
x + 1
−
1
x − 3
Este desarrollo se conoce como fracciones parciales.
2
4x2
− 14x − 6
x3 − 2x2 − 3x
dx = 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| − ln |x − 3|
106
Ejemplo 6.7.
Determine
2x + 1
3x2 − 27
dx
107
Ejemplo 6.8.
Evalue
6x2
+ 13x + 6
(x + 2)(x + 1)2
dx
108
Determine
−2x − 4
x3 + x2 + x
dx
109
Integracion por partes y por
fracciones parciales
Problemas aplicados a los negocios y la
economía
110
Problema 6.1 (Costo marginal).
Un fabricante encontró que el costo marginal es
(0.1q + 1)e0.02q
dólares por unidad cuando se produjeron q
unidades. El costo total de producir 10 unidades es $200.
¿Cuál es el costo total de producir las primeras 20 unidades?
111
El problema de valor inicial es
C (q) = (0.1q + 1)e0.02q
, C(10) = 200.
cuya solución es
C(q) = e(0.02q)
(5q − 200) + 383.21
de donde obtenemos C(20) = 234.028.
112
Integral definida y el teorema
fundamental del cálculo
113
Integral definida y el teorema
fundamental del cálculo
Integral Definida
114
Definición 7.1 (Área bajo la curva).
Sea f(x) continua y tal que f(x) ≥ 0 sobre el intervalo
a ≤ x ≤ b. Entonces la región bajo la curva y = f(x) en el
intervalo dado tiene área
A = l´ımn→∞
[f(x1) + ... + f(xn)]∆x
donde xj es el punto extremo izquierdo del j−ésimo intervalo,
si el intervalo a ≤ x ≤ b se divide en n partes iguales, cada
una con longitud
∆x =
b − a
n
.
115
Observación 7.1.
En realidad, podemos elegir cualquier punto xj en el j−ésimo
intervalo. Por ejemplo, es común elegir el punto medio, el otro
extremo (derecho), el punto donde la función alcanza el
máximo en el intervalo o el mínimo.
116
Ejemplo 7.1.
Sea R la región bajo la gráfica de f(x) = 2x + 1 sobre el
intervalo 1 ≤ x ≤ 3, como se muestra en la gráfica 7.1.
Cálcule el área como límite de una suma.
117
La región R se muestra en la figura 7.1, (b) aproximada por 6
rectángulos, cada uno de ancho h =
3 − 1
6
≈ 0.33.
Retomaremos los puntos extremos de cada intervalo y sus
valores en la siguiente tabla:
118
En el ejemplo anterior, el error absoluto se calcula como
Errabs = |Aproximación − Valor Exacto| ,
mientras que el error relativo está dado por
Errrel =
Errabs
Valor Exacto
× 100 %
119
Definición 7.2 (Suma de Riemman).
Sea f(x) una función continua en a ≤ x ≤ b. Se divide el
intervalo a ≤ x ≤ b en n partes iguales, cada una con un
ancho
∆x =
b − a
n
=: h,
y se elige un número xk en cada k−ésimo subintervalo, para
k = 1, ..., n. Se plantea la suma de Riemman:
n
i=0
f(xi)∆x = f(x1)h+...+f(xn)h = (f(x1) + ... + f(xn)) h
120
Definición 7.3 (Integral indefinida).
La integral indefinida de f en el intervalo a ≤ x ≤ b, denotada
por
b
a
f(x)dx
es el límite de la suma de Riemman cuando n → ∞ :
b
a
f(x)dx =
n
i=0
f(xi)∆x.
121
La función f(x) recibe el nombre de integrando, y los número
a y b se conocen como límite inferior y superior de integración,
respectivamente. El proceso de cálcular una integral indefinida
se denomina integración indefinida.
122
Definición 7.4 (Área como integral definida).
Si f(x) es continua y f(x) ≥ 0 en el intervalo a ≤ x ≤ b,
entonces la región R bajo la curva y = f(x) intervalo dado
tiene una área
A =
b
a
f(x)dx.
123
Integral definida y el teorema
fundamental del cálculo
Teorema Fundamental del Cálculo
124
Si la función f(x) es continua en el intervalo a ≤ x ≤ b,
entonces
b
a
f(x)dx = F(b) − F(a) =: F(x)|b
a
donde F(x) es cualquier antiderivada de f(x) en a ≤ x ≤ b.
125
Ejemplo 7.2.
Utilice el TFC para determinar el área de la región bajo la
recta y = 2x + 1 sobre el intervalo 1 ≤ x ≤ 3
Solución.
A =
3
1
(2x + 1) dx = x2
+ x|3
1
(3)2
+ 3 − (1)2
+ (1) = 10
126
Ejemplo 7.2.
Utilice el TFC para determinar el área de la región bajo la
recta y = 2x + 1 sobre el intervalo 1 ≤ x ≤ 3
Solución.
A =
3
1
(2x + 1) dx = x2
+ x|3
1
(3)2
+ 3 − (1)2
+ (1) = 10
126
Ejemplo 7.2.
Utilice el TFC para determinar el área de la región bajo la
recta y = 2x + 1 sobre el intervalo 1 ≤ x ≤ 3
Solución.
A =
3
1
(2x + 1) dx = x2
+ x|3
1
(3)2
+ 3 − (1)2
+ (1) = 10
126
Ejemplo 7.3.
Una parcela de tierra mide 100 pies de ancho y está delimitada
en 3 de sus lados, y por un arroyo en el otro lado del río. Un
agente de bienes raíces determina que se puede establecer un
sistema de coordenadas en el que las calles se representen por
las líneas y = 0, x = 0 y x = 1, y el arroyo por la curva
y = x3
+ 1, dónde x y y se miden en cientos de pies.
Si la tierra en la parcela se avalúa en $12 por pie cuadrado,
¿cual será el valor total de la parcela?
127
128
Ejemplo 7.4.
Evalúe la integral definida
1
0
e−x
+
√
x dx
129
Ejemplo 7.5.
Evalúe 4
1
1
x
− x2
dx.
130
Proposición 7.1 (Reglas para integrales definidas).
Sean f, g funciones continuas en el intervalo a ≤ x ≤ b.
Linealidad: Si c1, c2 son cualesquiera dos constantes,
entonces
b
a
c1f(x) + c2g(x)dx = c1
b
a
f(x)dx + c2
b
a
g(x)dx
Regla aditiva: Si c ∈ [a, b], entonces
b
a
f(x)dx =
c
a
f(x)dx +
b
c
f(x)dx.
131
Problema 7.1.
A partir de la regla aditiva, deduzca las siguiente propiedades:
a
a f(x)dx = 0,
a
c f(x)dx = − c
a f(x)dx
132
Ejemplo 7.6.
Sean f(x), g(x) funciones continuas en −2 ≤ x ≤ 5 y que
satisfacen
5
−2
f(x)dx = 3,
5
−2
g(x)dx = −4,
5
3
f(x)dx = 7.
Utilice esta información para evaluar cada una de las siguientes
integrales definidas:
5
−2 (2f(x) − 3g(x)) dx
3
−2 f(x)dx
133
Integral definida y el teorema
fundamental del cálculo
Sustitución en una integral definida
134
Proposición 7.2.
b
a
f(g(x)) · g (x)dx =
g(b)
g(a)
f(u)du,
donde u = g(x), du = g (x)dx.
135
Ejemplo 7.7.
Cálcule 1
0
8x(x2
+ 1)3
dx
Ejemplo 7.8.
Evalúe
2
1/4
ln(x)
x
dx
136
Ejemplo 7.7.
Cálcule 1
0
8x(x2
+ 1)3
dx
Ejemplo 7.8.
Evalúe
2
1/4
ln(x)
x
dx
136
Integral definida y el teorema
fundamental del cálculo
Variación total
137
Definición 7.5.
Si Q (x) es continua en el intervalo a ≤ x ≤ b, entonces la
variación total de Q(x) cuando varía de x = a a x = b está
dada por
Q(b) − Q(a) =
b
a
Q (x)dx.
138
Ejemplo 7.9 (Determinación de la variación total en el
costo).
En cierta fábrica, el costo marginal es 3(q − 4)2
dólares por
unidad cuando el nivel de producción es de q unidades. ¿En
cuanto se incrementará el costo total de manufactura si el
nivel de producción se aumenta de 6 a 10 unidades?
139
8 Aplicaciones de la Integral Definida
Área entre curvas
Exceso Neto de Utilidad
Curvas de Lorenz
Valor promedio de una función
9 Aplicaciones adicionales
Determinación del valor futuro de una anualidad
Disposición a gastar y curva de excedente de los
consumidores
140
Aplicaciones de la Integral
Definida
141
Aplicaciones de la Integral
Definida
Área entre curvas
142
Definición 8.1.
Si f(x) y g(x) son continuas en el intervalo a ≤ x ≤ b, y
f(x) ≥ g(x) en este intervalo entonces el área A entre las
curvas y = f(x) y y = g(x) en este intervalo está dada por
A =
b
a
(f(x) − g(x)) dx
143
Ejemplo 8.1.
Determine el área de la región R acotada por las curvas
y = −x2
+ 1 y x2
− 1.
144
Ejemplo 8.2.
Determine el área de la región R acotada por las curvas
y = x3
y x2
.
145
Ejemplo 8.3.
Determine el área de la región R acotada por las curvas
y = 4x y x3
+ 3x2
.
146
Ejercicio 8.1.
En los siguientes ejercicios, grafique la región R, delimitadas
por las curvas indicadas y después determine su área.
1 y = x, y = −x y la recta x = 1.
2 el eje x y y = −x2
+ 4x − 3.
3 el eje x y y = x2
− 2x.
4 y = x2
− 2x y y = −x2
+ 4.
5 y = x3
− 3x2
y x2
+ 5x.
147
Aplicaciones de la Integral
Definida
Exceso Neto de Utilidad
148
Suponga que dentro de t años, dos planes de inversión
generarán utilidades P1(t) y P2(t), respectivamente, y que se
espera que las tasas de rentabilidad respectivas, P1(t) y P2(t)
satisfagan P2(t) ≤ P1(t) durante los próximos N años, es
decir, en el intervalo 0 ≤ t ≤ N.
149
Entonces
E(t) = P2(t) − P1(t)
representa el exceo de utilidad del plan 2 sobre el plan 1 en el
tiempo t, y el exceso neto de utilidad
NE = E(N) − E(0)
en el intervalo 0 ≤ t ≤ N esta dado por la integral:
NE =
N
0
E (t)dt =
N
0
(P2(t) − P1(t)) dt.
150
Figura 8.1: Exceso neto de utilidad como el área entre curvas de
las tasas de rentabilidad.
151
Suponga que dentro de t años, uan inversión generará
utilidades a una tasa
P1(t) = 50 + t2
cientos de dólares por año, en tanto que una segunda inversión
generará utilidadea una tasa de P2(t) = 200 + 5t ciento de
dólares por año.
1 ¿Durante cuántos años sobrepasa la tasa de rentabilidad
de la segunda inversión a la primera?
2 Calcule el exceso neto de utilidad para el periodo
determinado en el inciso (a). Interprete el exceso neto de
utilidad como un área.
152
153
Aplicaciones de la Integral
Definida
Curvas de Lorenz
154
Definición 8.2.
La curva de Lorenz de la economía de una sociedad particular
es la gráfica de la función L(x), que denota la fracción del
ingreso nacional anual total recibido por el x100 % de menor
salario del total de trabajadores asalariados en la sociedad,
para 0 ≤ x ≤ 1.
155
Por ejemplo, si el 30 % = 0.030 de menor salario de todos los
trabajadores recibe el 23 % = 0.23 del ingreso total de la
sociedad, entonces
L(.0.30) = 0.23.
156
Observe que L(x) es una función en 0 ≤ x ≤ 1 que tiene las
siguiente propiedades:
1 L(x) es una función creciente;
2 0 ≤ L(x) ≤ 1;
3 L(0) = 0;
4 L(1) = 1;
5 L(x) ≤ x.
157
Observe que L(x) es una función en 0 ≤ x ≤ 1 que tiene las
siguiente propiedades:
1 L(x) es una función creciente;
2 0 ≤ L(x) ≤ 1;
3 L(0) = 0;
4 L(1) = 1;
5 L(x) ≤ x.
157
Figura 8.2: Curva de Lorenz y = L(x) y su índice de Gini
158
El índice de Gini GI, también llamado índice de desigualdad
del ingreso, se puede calcular mediante la fórmula
GI =
1
0 (x − L(x)) dx
1
0 xdx
=
1
0 (x − L(x)) dx
1
2
,
es decir,
GI = 2
1
0
(x − L(x)) dx.
159
160
Ejemplo 8.4.
Una agencia gubernamental determina que las curvas de
Lorenz para la distribución del ingreso para odontólogos y
contratistas en cierto estado están dadas por las funciones
L1(x) = x1.7
, L2(x) = 0.8x2
+ 0.2x,
respectivamente. ¿Para cuál profesión es más justa la
distribución del ingreso?.
161
Aplicaciones de la Integral
Definida
Valor promedio de una función
162
Definición 8.3 (Valor promedio de una función).
Sea f(x) una función que es continua en el intervalo
a ≤ x ≤ b. Entonces el valor promedio V de f(x) en
a ≤ x ≤ b está dado por la integral definida
V =
1
b − a
b
a
f(x)dx
163
Ejemplo 8.5.
Un fabricante determina que t meses después de introducir un
producto nuevo, las ventas de la compañía serán S(t) miles de
dólares, dónde
S(t) =
750t
√
4t2 + 25
¿Cuál es el promedio de las ventas mensuales de la compañía
en los primero 6 meses después de la introducción del
producto nuevo?
164
Ejemplo 8.6.
Como parte de una investigación, se modela la temperatura T
(en ◦
C) en cierta ciudad del norte durante el periodo de 6
A.M. a 6 P.M. mediante la función
T(t) = 3 −
1
3
(t − 4)2
,
para 0 ≤ t ≤ 12, donde t es el número de horas después de las
6 A.M.
1 ¿Cuál es la temperatura promedio en la ciudad durante
las horas de trabajo, de 8 A.M. a 5 P.M.?
2 ¿En qué momento durante el día de trabajo se debe
esperar que la temperatura sea mayor o igual a la
temperatura promedio que se obtuvo en el inciso (a)?
165
Ejemplo 8.6.
Como parte de una investigación, se modela la temperatura T
(en ◦
C) en cierta ciudad del norte durante el periodo de 6
A.M. a 6 P.M. mediante la función
T(t) = 3 −
1
3
(t − 4)2
,
para 0 ≤ t ≤ 12, donde t es el número de horas después de las
6 A.M.
1 ¿Cuál es la temperatura promedio en la ciudad durante
las horas de trabajo, de 8 A.M. a 5 P.M.?
2 ¿En qué momento durante el día de trabajo se debe
esperar que la temperatura sea mayor o igual a la
temperatura promedio que se obtuvo en el inciso (a)?
165
Proposición 8.1 (Interpretación de la tasa del valor
promedio).
El valor promedio de una función f(x) en un intervalo
a ≤ x ≤ b, dónde f(x) es continua, es el mismo que la tasa de
cambio promedio de cualquier antiderivada F(x) de f(x) en el
mismo intervalo.
166
Aplicaciones adicionales
167
Aplicaciones adicionales
Determinación del valor futuro de una
anualidad
168
Se tranfiere dinero a una cuenta, a una tasa constante de
$1200 dólares por año. La cuenta gana intereses a una tasa
anual de 8 % capitalizada continuamente. ¿Cuánto habrá en la
cuenta al cabo de dos años?
169
Observación 9.1.
P0 dólares invertidos a una tasa anual r y capitalizados
continuamente valdrán
P(t) = P0ert
,
después de t años.
170
Figura 9.1: Valor futuro (aproximado) del dinero depositado
durante el j-ésimo subintervalo.
171
Dinéro depositado
(dólares por año) (número de años) = 1200∆t
VF del deposito en el j-ésimo intervalo
1200e0.08(2−tj)
∆t
VF de flujos de ingresos (aprox.)
n
j=1
1200e0.08(2−tj)
∆t
VF del flujo de ingresos
2
0
1200e0.08(2−t)
dt
172
Dinéro depositado
(dólares por año) (número de años) = 1200∆t
VF del deposito en el j-ésimo intervalo
1200e0.08(2−tj)
∆t
VF de flujos de ingresos (aprox.)
n
j=1
1200e0.08(2−tj)
∆t
VF del flujo de ingresos
2
0
1200e0.08(2−t)
dt
172
Dinéro depositado
(dólares por año) (número de años) = 1200∆t
VF del deposito en el j-ésimo intervalo
1200e0.08(2−tj)
∆t
VF de flujos de ingresos (aprox.)
n
j=1
1200e0.08(2−tj)
∆t
VF del flujo de ingresos
2
0
1200e0.08(2−t)
dt
172
Dinéro depositado
(dólares por año) (número de años) = 1200∆t
VF del deposito en el j-ésimo intervalo
1200e0.08(2−tj)
∆t
VF de flujos de ingresos (aprox.)
n
j=1
1200e0.08(2−tj)
∆t
VF del flujo de ingresos
2
0
1200e0.08(2−t)
dt
172
Definición 9.1 (Valor futuro de un flujo de ingresos).
Suponga que se transfiere dinero continuamente a una cuenta
durante un periodo 0 ≤ t ≤ T, a una tasa dada por la función
f(t), y que la cuenta gana interés a una tasa anual r,
capitalizada continuamente. Entonces el valor futuro V F del
flujo de ingresos después de T años está dado por la integral
definida
V F =
T
0
f(t)er(T−t)
dt = erT
T
0
f(t)e−rt
dt.
173
El valor presente de un flujo de ingresos generados a una tasa
continua f(t), durante un plazo especifico de T años, es la
cantidad de dinero V P que se debe depositar hoy, a la tasa de
interés prevaleciente, para generar el mismo ingreso que el
flujo de ingresos durante el mismo periodo de T años:
V P erT
= erT
T
0
f(t)e−rt
dt.
174
El valor presente de un flujo de ingresos generados a una tasa
continua f(t), durante un plazo especifico de T años, es la
cantidad de dinero V P que se debe depositar hoy, a la tasa de
interés prevaleciente, para generar el mismo ingreso que el
flujo de ingresos durante el mismo periodo de T años:
V P erT
= erT
T
0
f(t)e−rt
dt.
174
El valor presente de un flujo de ingresos generados a una tasa
continua f(t), durante un plazo especifico de T años, es la
cantidad de dinero V P que se debe depositar hoy, a la tasa de
interés prevaleciente, para generar el mismo ingreso que el
flujo de ingresos durante el mismo periodo de T años:
V P erT
= erT
T
0
f(t)e−rt
dt.
174
Definición 9.2.
Con las mismas condiciones de la definición anterior, diremos
que el valor presente está dado por
V P =
T
0
f(t)e−rt
dt.
175
Ejemplo 9.1.
Una persona trata de decidir entre dos inversiones. La primera
cuesta $9000 y se espera que genere un flujo de ingresos
continuo a una tasa de
f1(t) = 3000e0.03t
dólares por año. La segunda inversión es una anualidad que
cuesta $12000 para comprar y generar ingreso a una tasa
constante de f2(t) = 4000 dólares por año. Si la tasa anual
permanece fija a 5 % capitalizada continuamente durante los
próximos 5 años, ¿cuál inversión generá más ingreso neto
durante este periodo?
176
Aplicaciones adicionales
Disposición a gastar y curva de
excedente de los consumidores
177
178
Definición 9.3.
La disposición a gastar (total) del consumidor hasta q0
unidades de una mercancía está dada por
WS =
q0
0
D(q)dq
donde p = D(q) es la función de demanda del artículo.
Geométricamente, ésta es el área bajo la curva de demanda
sobre el intervalo 0 ≤ q ≤ q0.
179
El gerente de una granja determina que q toneladas de grano
se venderán cuando el precio sea p(q) = 10 (20 − q2
) dólares
por tonelada. Encuentre el número total de compradores
dispuestos a gastar hasta 3 toneladas de grano.
180
[Excedente del consumidor] = [Cantidad total que
los consumidores están dispuestos a gastar] -
[Gasto real del consumidor por q0 unidades].
181
Definición 9.4 (Excedente del consumidor).
Si q0 unidades de un artículo se venden a un precio de p0 por
unidad y si p = D(q) es la función de demsnda del consumidor
para un artículo, entonces el excedente del consumidor EC
está dado por
EC =
q0
0
D(q)dq − p0q0.
182
Definición 9.5 (Excedente del productor).
Si q0 unidades de un artículo se vende a un precio de p0 dólares
por unidad y p = S(q) es la función de oferta del artículo,
entonces el excedente del productor EP está dado por
EP = p0q0 −
q0
0
S(q)dq
183
Ejemplo 9.2.
Un fabricante de neumáticos estima que los mayoristas
comprarán (demandarán) q miles de neumáticos radiales
cuando el precio sea
p = D(q) = −0.1q2
+ 90 dólares por neumático,,
y el mismo número de neumáticos se ofertará cuando el precio
sea
p = S(q) = 0.2q2
+ q + 50 dólares por neumático.
Determine el precio de equilibrio, así como la cantidad
ofertada y demandada a ese precio.
Determine el excendente de los consumidores y el de los
productores en el precio de equilibrio. 184
Ejemplo 9.2.
Un fabricante de neumáticos estima que los mayoristas
comprarán (demandarán) q miles de neumáticos radiales
cuando el precio sea
p = D(q) = −0.1q2
+ 90 dólares por neumático,,
y el mismo número de neumáticos se ofertará cuando el precio
sea
p = S(q) = 0.2q2
+ q + 50 dólares por neumático.
Determine el precio de equilibrio, así como la cantidad
ofertada y demandada a ese precio.
Determine el excendente de los consumidores y el de los
productores en el precio de equilibrio. 184

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

577544365.u04 poisson - ejercicio resuelto
577544365.u04   poisson - ejercicio resuelto577544365.u04   poisson - ejercicio resuelto
577544365.u04 poisson - ejercicio resueltosaposapoloko
 
Solucionario determinantes
Solucionario determinantesSolucionario determinantes
Solucionario determinantesalfonnavarro
 
Solucionario libro: Probabilidad y estadística para ingenieros 6 ed - walpole
Solucionario libro: Probabilidad y estadística para ingenieros 6 ed - walpoleSolucionario libro: Probabilidad y estadística para ingenieros 6 ed - walpole
Solucionario libro: Probabilidad y estadística para ingenieros 6 ed - walpoleMiguel Leonardo Sánchez Fajardo
 
Estadística Probabilidades
Estadística ProbabilidadesEstadística Probabilidades
Estadística ProbabilidadesEdwin Lema
 
Tarea 9 de probabilidad y estadistica con respuestas
Tarea 9 de probabilidad y estadistica con respuestasTarea 9 de probabilidad y estadistica con respuestas
Tarea 9 de probabilidad y estadistica con respuestasIPN
 
G2.3 calculo de volumen de revolucion, metodo de arandelas2.docx
G2.3   calculo de volumen de revolucion, metodo de arandelas2.docxG2.3   calculo de volumen de revolucion, metodo de arandelas2.docx
G2.3 calculo de volumen de revolucion, metodo de arandelas2.docxJesse Lem
 
Integral definida excedente de los consumidores y de los productores
Integral definida excedente de los consumidores y de los productoresIntegral definida excedente de los consumidores y de los productores
Integral definida excedente de los consumidores y de los productoresYoyner Valdez Valdiviano
 
Problemas Resueltos-plano-inclinado
Problemas Resueltos-plano-inclinadoProblemas Resueltos-plano-inclinado
Problemas Resueltos-plano-inclinadoCarlitos Andrés
 
Formulas de derivadas e integrales
Formulas de derivadas e integralesFormulas de derivadas e integrales
Formulas de derivadas e integralesIvan Vera Montenegro
 
Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)
Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)
Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)ratix
 
Matematica funciones
Matematica   funcionesMatematica   funciones
Matematica funcionesRafael Idase
 
Ejercicios Propuesto: Laboratorio 2 / Estadística Aplicada
Ejercicios Propuesto: Laboratorio 2 / Estadística AplicadaEjercicios Propuesto: Laboratorio 2 / Estadística Aplicada
Ejercicios Propuesto: Laboratorio 2 / Estadística AplicadaAnthony Ulloa Castillo
 
Tarea 6 de probabilidad y estadistica con respuestas
Tarea 6 de probabilidad y estadistica con respuestasTarea 6 de probabilidad y estadistica con respuestas
Tarea 6 de probabilidad y estadistica con respuestasIPN
 
50 ejercicio de estadistica.docx1
50 ejercicio de estadistica.docx150 ejercicio de estadistica.docx1
50 ejercicio de estadistica.docx1Juan Zaruma
 
Examenes resueltos algebra lineal
Examenes resueltos algebra linealExamenes resueltos algebra lineal
Examenes resueltos algebra linealERICK CONDE
 

La actualidad más candente (20)

577544365.u04 poisson - ejercicio resuelto
577544365.u04   poisson - ejercicio resuelto577544365.u04   poisson - ejercicio resuelto
577544365.u04 poisson - ejercicio resuelto
 
2.ejeercicios
2.ejeercicios2.ejeercicios
2.ejeercicios
 
Solucionario determinantes
Solucionario determinantesSolucionario determinantes
Solucionario determinantes
 
Solucionario libro: Probabilidad y estadística para ingenieros 6 ed - walpole
Solucionario libro: Probabilidad y estadística para ingenieros 6 ed - walpoleSolucionario libro: Probabilidad y estadística para ingenieros 6 ed - walpole
Solucionario libro: Probabilidad y estadística para ingenieros 6 ed - walpole
 
Estadística Probabilidades
Estadística ProbabilidadesEstadística Probabilidades
Estadística Probabilidades
 
Modulo Matematica
Modulo MatematicaModulo Matematica
Modulo Matematica
 
Tarea 9 de probabilidad y estadistica con respuestas
Tarea 9 de probabilidad y estadistica con respuestasTarea 9 de probabilidad y estadistica con respuestas
Tarea 9 de probabilidad y estadistica con respuestas
 
G2.3 calculo de volumen de revolucion, metodo de arandelas2.docx
G2.3   calculo de volumen de revolucion, metodo de arandelas2.docxG2.3   calculo de volumen de revolucion, metodo de arandelas2.docx
G2.3 calculo de volumen de revolucion, metodo de arandelas2.docx
 
Derivadas parciales
Derivadas parcialesDerivadas parciales
Derivadas parciales
 
Integral definida excedente de los consumidores y de los productores
Integral definida excedente de los consumidores y de los productoresIntegral definida excedente de los consumidores y de los productores
Integral definida excedente de los consumidores y de los productores
 
Problemas Resueltos-plano-inclinado
Problemas Resueltos-plano-inclinadoProblemas Resueltos-plano-inclinado
Problemas Resueltos-plano-inclinado
 
Formulas de derivadas e integrales
Formulas de derivadas e integralesFormulas de derivadas e integrales
Formulas de derivadas e integrales
 
Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)
Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)
Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)
 
Problemas resueltos(1)
Problemas resueltos(1)Problemas resueltos(1)
Problemas resueltos(1)
 
Operaciones con funciones
Operaciones con funcionesOperaciones con funciones
Operaciones con funciones
 
Matematica funciones
Matematica   funcionesMatematica   funciones
Matematica funciones
 
Ejercicios Propuesto: Laboratorio 2 / Estadística Aplicada
Ejercicios Propuesto: Laboratorio 2 / Estadística AplicadaEjercicios Propuesto: Laboratorio 2 / Estadística Aplicada
Ejercicios Propuesto: Laboratorio 2 / Estadística Aplicada
 
Tarea 6 de probabilidad y estadistica con respuestas
Tarea 6 de probabilidad y estadistica con respuestasTarea 6 de probabilidad y estadistica con respuestas
Tarea 6 de probabilidad y estadistica con respuestas
 
50 ejercicio de estadistica.docx1
50 ejercicio de estadistica.docx150 ejercicio de estadistica.docx1
50 ejercicio de estadistica.docx1
 
Examenes resueltos algebra lineal
Examenes resueltos algebra linealExamenes resueltos algebra lineal
Examenes resueltos algebra lineal
 

Destacado

Destacado (8)

Funciones reales (jose valor)
Funciones reales (jose valor)Funciones reales (jose valor)
Funciones reales (jose valor)
 
Unidad 2 Calculo Diferencial
Unidad 2 Calculo DiferencialUnidad 2 Calculo Diferencial
Unidad 2 Calculo Diferencial
 
Relación y función
Relación y funciónRelación y función
Relación y función
 
Funciones reales
Funciones realesFunciones reales
Funciones reales
 
Matemática Unidad II Tema 4
Matemática Unidad II   Tema 4Matemática Unidad II   Tema 4
Matemática Unidad II Tema 4
 
Ecuacion de la recta ppt.ppt mark
Ecuacion de la recta ppt.ppt markEcuacion de la recta ppt.ppt mark
Ecuacion de la recta ppt.ppt mark
 
Funciones -Variable compleja
Funciones -Variable complejaFunciones -Variable compleja
Funciones -Variable compleja
 
Problemas rsueltos pl
Problemas rsueltos plProblemas rsueltos pl
Problemas rsueltos pl
 

Similar a Cálculo Integral para Empresariales

Similar a Cálculo Integral para Empresariales (20)

Introducción al Calculo Diferencial de una Función Real ccesa007
Introducción al Calculo Diferencial de una Función Real  ccesa007Introducción al Calculo Diferencial de una Función Real  ccesa007
Introducción al Calculo Diferencial de una Función Real ccesa007
 
Trabajo De CáLculo
Trabajo De CáLculoTrabajo De CáLculo
Trabajo De CáLculo
 
Derivadas. aplicaciones
Derivadas. aplicacionesDerivadas. aplicaciones
Derivadas. aplicaciones
 
Derivada de una función
Derivada de una funciónDerivada de una función
Derivada de una función
 
DERIVADAS PARCIALES.pdf
DERIVADAS PARCIALES.pdfDERIVADAS PARCIALES.pdf
DERIVADAS PARCIALES.pdf
 
DERIVADAS PARCIALES.pdf
DERIVADAS PARCIALES.pdfDERIVADAS PARCIALES.pdf
DERIVADAS PARCIALES.pdf
 
Aplicacion de las derivadas
Aplicacion de las derivadas Aplicacion de las derivadas
Aplicacion de las derivadas
 
Aplicaciones del Cálculo Diferencial
Aplicaciones del Cálculo DiferencialAplicaciones del Cálculo Diferencial
Aplicaciones del Cálculo Diferencial
 
Integrales
IntegralesIntegrales
Integrales
 
Integrales area electricidad, electronica y telecomunicaciones [muy bueno]
Integrales   area electricidad, electronica y telecomunicaciones [muy bueno]Integrales   area electricidad, electronica y telecomunicaciones [muy bueno]
Integrales area electricidad, electronica y telecomunicaciones [muy bueno]
 
Suma de funciones
Suma de funcionesSuma de funciones
Suma de funciones
 
Integralindefinida
IntegralindefinidaIntegralindefinida
Integralindefinida
 
1 la antiderivada
1 la antiderivada1 la antiderivada
1 la antiderivada
 
Derivada
DerivadaDerivada
Derivada
 
Limite de funciones
Limite de funcionesLimite de funciones
Limite de funciones
 
Derivadaelias
DerivadaeliasDerivadaelias
Derivadaelias
 
Tecnicas derivacion
Tecnicas derivacionTecnicas derivacion
Tecnicas derivacion
 
Limites
LimitesLimites
Limites
 
Limites
LimitesLimites
Limites
 
Limites
LimitesLimites
Limites
 

Más de Juliho Castillo

Conceptos Estadísticos para la Modelación Predictiva
Conceptos Estadísticos para la Modelación PredictivaConceptos Estadísticos para la Modelación Predictiva
Conceptos Estadísticos para la Modelación PredictivaJuliho Castillo
 
Distribuciones de Probabilidad Especiales
Distribuciones de Probabilidad EspecialesDistribuciones de Probabilidad Especiales
Distribuciones de Probabilidad EspecialesJuliho Castillo
 
Esperanza,Varianza y Covarianza
Esperanza,Varianza y CovarianzaEsperanza,Varianza y Covarianza
Esperanza,Varianza y CovarianzaJuliho Castillo
 
Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad
Variables Aleatorias y Distribuciones de ProbabilidadVariables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad
Variables Aleatorias y Distribuciones de ProbabilidadJuliho Castillo
 
Teoría Básica de Probabilidad
Teoría Básica de ProbabilidadTeoría Básica de Probabilidad
Teoría Básica de ProbabilidadJuliho Castillo
 
Estadística Descriptiva
Estadística DescriptivaEstadística Descriptiva
Estadística DescriptivaJuliho Castillo
 
ULSA 2017-2 Probabilidad y Estadística
ULSA 2017-2 Probabilidad y EstadísticaULSA 2017-2 Probabilidad y Estadística
ULSA 2017-2 Probabilidad y EstadísticaJuliho Castillo
 
Geometric and viscosity solutions for the Cauchy problem of first order
Geometric and viscosity solutions for the Cauchy problem of first orderGeometric and viscosity solutions for the Cauchy problem of first order
Geometric and viscosity solutions for the Cauchy problem of first orderJuliho Castillo
 
Notas de Cálculo Diferencial
Notas de Cálculo DiferencialNotas de Cálculo Diferencial
Notas de Cálculo DiferencialJuliho Castillo
 
Problemario de Álgebra Lineal
Problemario de Álgebra LinealProblemario de Álgebra Lineal
Problemario de Álgebra LinealJuliho Castillo
 
Taller de Matemáticas para Economistas
Taller de Matemáticas para EconomistasTaller de Matemáticas para Economistas
Taller de Matemáticas para EconomistasJuliho Castillo
 
Matemáticas Básicas: Introducción a las Matemáticas Financieras
Matemáticas Básicas: Introducción a las Matemáticas FinancierasMatemáticas Básicas: Introducción a las Matemáticas Financieras
Matemáticas Básicas: Introducción a las Matemáticas FinancierasJuliho Castillo
 
Matemáticas Básicas: Sistemas Lineales
Matemáticas Básicas: Sistemas LinealesMatemáticas Básicas: Sistemas Lineales
Matemáticas Básicas: Sistemas LinealesJuliho Castillo
 
Matemáticas Básicas: Funciones
Matemáticas Básicas: FuncionesMatemáticas Básicas: Funciones
Matemáticas Básicas: FuncionesJuliho Castillo
 
Taller Remedial de Matemáticas
Taller Remedial de MatemáticasTaller Remedial de Matemáticas
Taller Remedial de MatemáticasJuliho Castillo
 
El Teorema Fundamental del Cálculo
El Teorema Fundamental del CálculoEl Teorema Fundamental del Cálculo
El Teorema Fundamental del CálculoJuliho Castillo
 
Brevísima Intruducción a las Sumas de Riemann
Brevísima Intruducción a las Sumas de RiemannBrevísima Intruducción a las Sumas de Riemann
Brevísima Intruducción a las Sumas de RiemannJuliho Castillo
 

Más de Juliho Castillo (20)

Conceptos Estadísticos para la Modelación Predictiva
Conceptos Estadísticos para la Modelación PredictivaConceptos Estadísticos para la Modelación Predictiva
Conceptos Estadísticos para la Modelación Predictiva
 
Distribuciones de Probabilidad Especiales
Distribuciones de Probabilidad EspecialesDistribuciones de Probabilidad Especiales
Distribuciones de Probabilidad Especiales
 
Esperanza,Varianza y Covarianza
Esperanza,Varianza y CovarianzaEsperanza,Varianza y Covarianza
Esperanza,Varianza y Covarianza
 
Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad
Variables Aleatorias y Distribuciones de ProbabilidadVariables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad
Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad
 
Teoría Básica de Probabilidad
Teoría Básica de ProbabilidadTeoría Básica de Probabilidad
Teoría Básica de Probabilidad
 
Estadística Descriptiva
Estadística DescriptivaEstadística Descriptiva
Estadística Descriptiva
 
ULSA 2017-2 Probabilidad y Estadística
ULSA 2017-2 Probabilidad y EstadísticaULSA 2017-2 Probabilidad y Estadística
ULSA 2017-2 Probabilidad y Estadística
 
Geometric and viscosity solutions for the Cauchy problem of first order
Geometric and viscosity solutions for the Cauchy problem of first orderGeometric and viscosity solutions for the Cauchy problem of first order
Geometric and viscosity solutions for the Cauchy problem of first order
 
Chern-Simons Theory
Chern-Simons TheoryChern-Simons Theory
Chern-Simons Theory
 
Notas de Cálculo Diferencial
Notas de Cálculo DiferencialNotas de Cálculo Diferencial
Notas de Cálculo Diferencial
 
Problemario de Álgebra Lineal
Problemario de Álgebra LinealProblemario de Álgebra Lineal
Problemario de Álgebra Lineal
 
Taller de Matemáticas para Economistas
Taller de Matemáticas para EconomistasTaller de Matemáticas para Economistas
Taller de Matemáticas para Economistas
 
Inducción y Recursión
Inducción y RecursiónInducción y Recursión
Inducción y Recursión
 
Teoría de Conjuntos
Teoría de ConjuntosTeoría de Conjuntos
Teoría de Conjuntos
 
Matemáticas Básicas: Introducción a las Matemáticas Financieras
Matemáticas Básicas: Introducción a las Matemáticas FinancierasMatemáticas Básicas: Introducción a las Matemáticas Financieras
Matemáticas Básicas: Introducción a las Matemáticas Financieras
 
Matemáticas Básicas: Sistemas Lineales
Matemáticas Básicas: Sistemas LinealesMatemáticas Básicas: Sistemas Lineales
Matemáticas Básicas: Sistemas Lineales
 
Matemáticas Básicas: Funciones
Matemáticas Básicas: FuncionesMatemáticas Básicas: Funciones
Matemáticas Básicas: Funciones
 
Taller Remedial de Matemáticas
Taller Remedial de MatemáticasTaller Remedial de Matemáticas
Taller Remedial de Matemáticas
 
El Teorema Fundamental del Cálculo
El Teorema Fundamental del CálculoEl Teorema Fundamental del Cálculo
El Teorema Fundamental del Cálculo
 
Brevísima Intruducción a las Sumas de Riemann
Brevísima Intruducción a las Sumas de RiemannBrevísima Intruducción a las Sumas de Riemann
Brevísima Intruducción a las Sumas de Riemann
 

Último

Gestión Financiera. Operaciones a corto plazo
Gestión Financiera. Operaciones a corto plazoGestión Financiera. Operaciones a corto plazo
Gestión Financiera. Operaciones a corto plazoJuan Carlos Mira Navarro
 
APLICACION_DIRECTIVAS_TESORERIA.pdf Sistema integrado
APLICACION_DIRECTIVAS_TESORERIA.pdf Sistema integradoAPLICACION_DIRECTIVAS_TESORERIA.pdf Sistema integrado
APLICACION_DIRECTIVAS_TESORERIA.pdf Sistema integradoTaniaCruzInga
 
Gestión Financiera. Operaciones de constitución. Préstamos
Gestión Financiera. Operaciones de constitución. PréstamosGestión Financiera. Operaciones de constitución. Préstamos
Gestión Financiera. Operaciones de constitución. PréstamosJuan Carlos Mira Navarro
 
Gestión Financiera. Capitalización y descuento compuesto
Gestión Financiera. Capitalización y descuento compuestoGestión Financiera. Capitalización y descuento compuesto
Gestión Financiera. Capitalización y descuento compuestoJuan Carlos Mira Navarro
 
Gestión Financiera. Rentas financieras constantes
Gestión Financiera. Rentas financieras constantesGestión Financiera. Rentas financieras constantes
Gestión Financiera. Rentas financieras constantesJuan Carlos Mira Navarro
 
Lengua y sueños mesoamericanos-Armas de resistencia
Lengua y sueños mesoamericanos-Armas de resistenciaLengua y sueños mesoamericanos-Armas de resistencia
Lengua y sueños mesoamericanos-Armas de resistenciajccastrejon
 
MAPA CONCEPTUAL ECONOMIA, MICRO Y MACROECONOMIA
MAPA CONCEPTUAL ECONOMIA, MICRO Y MACROECONOMIAMAPA CONCEPTUAL ECONOMIA, MICRO Y MACROECONOMIA
MAPA CONCEPTUAL ECONOMIA, MICRO Y MACROECONOMIAjgonzalez051193
 
Gestión Financiera. Rentas fraccionadas y variables
Gestión Financiera. Rentas fraccionadas y variablesGestión Financiera. Rentas fraccionadas y variables
Gestión Financiera. Rentas fraccionadas y variablesJuan Carlos Mira Navarro
 
CARE ECONOMY: LA VIEJA Y NUEVA ECONOMIA DE LOS CUIDADOS.
CARE ECONOMY: LA VIEJA Y NUEVA ECONOMIA DE LOS CUIDADOS.CARE ECONOMY: LA VIEJA Y NUEVA ECONOMIA DE LOS CUIDADOS.
CARE ECONOMY: LA VIEJA Y NUEVA ECONOMIA DE LOS CUIDADOS.ManfredNolte
 
Gestión Financiera. Títulos valores: operaciones bursátiles
Gestión Financiera. Títulos valores: operaciones bursátilesGestión Financiera. Títulos valores: operaciones bursátiles
Gestión Financiera. Títulos valores: operaciones bursátilesJuan Carlos Mira Navarro
 
Gestión Financiera. Financiación externa de la empresa
Gestión Financiera. Financiación externa de la empresaGestión Financiera. Financiación externa de la empresa
Gestión Financiera. Financiación externa de la empresaJuan Carlos Mira Navarro
 
Gestión Financiera. Matemática de las operaciones financieras
Gestión Financiera. Matemática de las operaciones financierasGestión Financiera. Matemática de las operaciones financieras
Gestión Financiera. Matemática de las operaciones financierasJuan Carlos Mira Navarro
 
Mapa-conceptual-del-Descubrimiento-de-America-4.pdf
Mapa-conceptual-del-Descubrimiento-de-America-4.pdfMapa-conceptual-del-Descubrimiento-de-America-4.pdf
Mapa-conceptual-del-Descubrimiento-de-America-4.pdfkrishnnaperezquezada
 
Gestión Financiera. Operaciones Financieras
Gestión Financiera. Operaciones FinancierasGestión Financiera. Operaciones Financieras
Gestión Financiera. Operaciones FinancierasJuan Carlos Mira Navarro
 
Watson, J. B. (1924). El conductismo .pdf
Watson, J. B. (1924). El conductismo .pdfWatson, J. B. (1924). El conductismo .pdf
Watson, J. B. (1924). El conductismo .pdfMatt849623
 
factores que afectan la solubilidad de s
factores que afectan la solubilidad de sfactores que afectan la solubilidad de s
factores que afectan la solubilidad de snaylyjaramillo
 
Gestión Financiera. Capitalización y descuento simple
Gestión Financiera. Capitalización y descuento simpleGestión Financiera. Capitalización y descuento simple
Gestión Financiera. Capitalización y descuento simpleJuan Carlos Mira Navarro
 

Último (17)

Gestión Financiera. Operaciones a corto plazo
Gestión Financiera. Operaciones a corto plazoGestión Financiera. Operaciones a corto plazo
Gestión Financiera. Operaciones a corto plazo
 
APLICACION_DIRECTIVAS_TESORERIA.pdf Sistema integrado
APLICACION_DIRECTIVAS_TESORERIA.pdf Sistema integradoAPLICACION_DIRECTIVAS_TESORERIA.pdf Sistema integrado
APLICACION_DIRECTIVAS_TESORERIA.pdf Sistema integrado
 
Gestión Financiera. Operaciones de constitución. Préstamos
Gestión Financiera. Operaciones de constitución. PréstamosGestión Financiera. Operaciones de constitución. Préstamos
Gestión Financiera. Operaciones de constitución. Préstamos
 
Gestión Financiera. Capitalización y descuento compuesto
Gestión Financiera. Capitalización y descuento compuestoGestión Financiera. Capitalización y descuento compuesto
Gestión Financiera. Capitalización y descuento compuesto
 
Gestión Financiera. Rentas financieras constantes
Gestión Financiera. Rentas financieras constantesGestión Financiera. Rentas financieras constantes
Gestión Financiera. Rentas financieras constantes
 
Lengua y sueños mesoamericanos-Armas de resistencia
Lengua y sueños mesoamericanos-Armas de resistenciaLengua y sueños mesoamericanos-Armas de resistencia
Lengua y sueños mesoamericanos-Armas de resistencia
 
MAPA CONCEPTUAL ECONOMIA, MICRO Y MACROECONOMIA
MAPA CONCEPTUAL ECONOMIA, MICRO Y MACROECONOMIAMAPA CONCEPTUAL ECONOMIA, MICRO Y MACROECONOMIA
MAPA CONCEPTUAL ECONOMIA, MICRO Y MACROECONOMIA
 
Gestión Financiera. Rentas fraccionadas y variables
Gestión Financiera. Rentas fraccionadas y variablesGestión Financiera. Rentas fraccionadas y variables
Gestión Financiera. Rentas fraccionadas y variables
 
CARE ECONOMY: LA VIEJA Y NUEVA ECONOMIA DE LOS CUIDADOS.
CARE ECONOMY: LA VIEJA Y NUEVA ECONOMIA DE LOS CUIDADOS.CARE ECONOMY: LA VIEJA Y NUEVA ECONOMIA DE LOS CUIDADOS.
CARE ECONOMY: LA VIEJA Y NUEVA ECONOMIA DE LOS CUIDADOS.
 
Gestión Financiera. Títulos valores: operaciones bursátiles
Gestión Financiera. Títulos valores: operaciones bursátilesGestión Financiera. Títulos valores: operaciones bursátiles
Gestión Financiera. Títulos valores: operaciones bursátiles
 
Gestión Financiera. Financiación externa de la empresa
Gestión Financiera. Financiación externa de la empresaGestión Financiera. Financiación externa de la empresa
Gestión Financiera. Financiación externa de la empresa
 
Gestión Financiera. Matemática de las operaciones financieras
Gestión Financiera. Matemática de las operaciones financierasGestión Financiera. Matemática de las operaciones financieras
Gestión Financiera. Matemática de las operaciones financieras
 
Mapa-conceptual-del-Descubrimiento-de-America-4.pdf
Mapa-conceptual-del-Descubrimiento-de-America-4.pdfMapa-conceptual-del-Descubrimiento-de-America-4.pdf
Mapa-conceptual-del-Descubrimiento-de-America-4.pdf
 
Gestión Financiera. Operaciones Financieras
Gestión Financiera. Operaciones FinancierasGestión Financiera. Operaciones Financieras
Gestión Financiera. Operaciones Financieras
 
Watson, J. B. (1924). El conductismo .pdf
Watson, J. B. (1924). El conductismo .pdfWatson, J. B. (1924). El conductismo .pdf
Watson, J. B. (1924). El conductismo .pdf
 
factores que afectan la solubilidad de s
factores que afectan la solubilidad de sfactores que afectan la solubilidad de s
factores que afectan la solubilidad de s
 
Gestión Financiera. Capitalización y descuento simple
Gestión Financiera. Capitalización y descuento simpleGestión Financiera. Capitalización y descuento simple
Gestión Financiera. Capitalización y descuento simple
 

Cálculo Integral para Empresariales

  • 1. Cálculo integral M. C. Juliho Castillo 3 de marzo de 2017 Escuela de Ciencias Empresariales y Económicas, Universidad Panamericana 1
  • 2. 1 Funciones diferenciables 2 Aproximaciones lineales y diferenciales Análisis marginal Aproximación por incrementos Diferenciales 3 Análisis gráfico de la diferencial de una función Diferenciación de funciones en forma implicita Calculando la pendiente de una recta tangente Aplicaciones a la economía 4 Reglas de diferenciación Problemas 2
  • 4. Notación delta Sea f : R → R una función y x0 en el dominio de f. Sea ∆x una variación variación infinitesimal, es decir, un cambio muy pequeño en el valor de x. De manera similar, ∆y una variación infinitesimal en y = f(x). Entonces ∆y = f(x0 + ∆x) − f (x0) . 4
  • 5. La tasa o razón de cambio promedio de la función f en el intervalo [x0, x0 + ∆x] se define como ∆y ∆x = f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x . (1.1) 5
  • 6. Ejemplo 1.1. Sea y = f(x) = x2 + 2x. Comencemos en x0 = 1, que cambia a x = 1.5. Entonces ∆x = 0.5. El cambio correspondiente en y es ∆y = f(1.5) − f(1) = 5.25 − 3 = 2.25. Por tanto, la tasa de promedio de cambio de f en [1, 1.5] es ∆y ∆x = 2.25 0.5 = 4.5. 6
  • 7. Ejemplo 1.1. Sea y = f(x) = x2 + 2x. Comencemos en x0 = 1, que cambia a x = 1.5. Entonces ∆x = 0.5. El cambio correspondiente en y es ∆y = f(1.5) − f(1) = 5.25 − 3 = 2.25. Por tanto, la tasa de promedio de cambio de f en [1, 1.5] es ∆y ∆x = 2.25 0.5 = 4.5. 6
  • 8. Ejemplo 1.1. Sea y = f(x) = x2 + 2x. Comencemos en x0 = 1, que cambia a x = 1.5. Entonces ∆x = 0.5. El cambio correspondiente en y es ∆y = f(1.5) − f(1) = 5.25 − 3 = 2.25. Por tanto, la tasa de promedio de cambio de f en [1, 1.5] es ∆y ∆x = 2.25 0.5 = 4.5. 6
  • 9. La derivada Si y = f(x), y x0 está en el dominio de f, entonces por la tasa de cambio instantanea de f en x0 se entiende el límite de la tasa promedio de cambio entre x0 y x0 + ∆x cuando ∆x se aproxima a 0 : l´ım ∆x→0 ∆y ∆x = l´ım ∆x→0 f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x siempre que este límite exista. Tal límite se le denomina derivada. 7
  • 10. La derivada Si y = f(x), y x0 está en el dominio de f, entonces por la tasa de cambio instantanea de f en x0 se entiende el límite de la tasa promedio de cambio entre x0 y x0 + ∆x cuando ∆x se aproxima a 0 : l´ım ∆x→0 ∆y ∆x = l´ım ∆x→0 f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x siempre que este límite exista. Tal límite se le denomina derivada. 7
  • 11. La derivada Si y = f(x), y x0 está en el dominio de f, entonces por la tasa de cambio instantanea de f en x0 se entiende el límite de la tasa promedio de cambio entre x0 y x0 + ∆x cuando ∆x se aproxima a 0 : l´ım ∆x→0 ∆y ∆x = l´ım ∆x→0 f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x siempre que este límite exista. Tal límite se le denomina derivada. 7
  • 12. Notación para derivadas Considere la derivada de f en un punto arbitrario x en su dominio: l´ım ∆x→0 ∆y ∆x = l´ım ∆x→0 f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x . El valor de la derivada es una función de x y se indicará mediante cualquiera de las expresiones siguientes: Dxf(x) = dy dx = y = f (x) = d dx f(x) = l´ım ∆x→0 ∆y ∆x . El valor f (a) de la derivada de f en un punto especifico a se indica mediante: dy dx |a. 8
  • 13. Diferenciabilidad Una función es diferenciable en un punto x0 si la derivada de la función existe en ese punto. De hecho, la diferenciabilidad implica la continuidad. Diremos que una función es diferenciable si lo es en cada punto de su dominio. 9
  • 14. Diferenciabilidad Una función es diferenciable en un punto x0 si la derivada de la función existe en ese punto. De hecho, la diferenciabilidad implica la continuidad. Diremos que una función es diferenciable si lo es en cada punto de su dominio. 9
  • 15. Diferenciabilidad Una función es diferenciable en un punto x0 si la derivada de la función existe en ese punto. De hecho, la diferenciabilidad implica la continuidad. Diremos que una función es diferenciable si lo es en cada punto de su dominio. 9
  • 18. Supóngamos que C(x) es el costo toal de la producción de x unidades de una mercancía en particular. Si x0 unidades están siendo producidas actualmente, entonces la derivada C (x0) = l´ım ∆x→0 C(x0 + ∆x) + C(x0) ∆x es también llamada el costo marginal de producir x0 unidades. 12
  • 19. Si ∆x = 1, entonces C (x0) ≈ C(x0 + 1) − C(x0) 1 = C(x0 + 1) − C(x0), donde ≈ se usa para indicar una aproximación, y no una igualdad. 13
  • 20. Definición 2.1. Si C(x) es el costo total de producir x unidades de una mercancía, entonces el costo marginal de producir x0 unidades es la derivada C (x0), la cual aproxima el costo adicional de producir una unidad más. 14
  • 21. Figura 2.1: El costo marginal C (x0) 15
  • 22. Figura 2.2: El costo adicional C(x0 + 1) − C(x0) de incrementar la produccion una unidad maś. 16
  • 23. Definición 2.2. Supongamos que R(x) es el ingreso generado por x unidades de un bien en particular, mientras que P(x) = R(x) − C(x) es la ganancia correspondiente. Cuando x = x0 unidades son producidad, entonces: El ingreso marginal R (x) aproxima R(x0 + 1) − R(x0) el ingreso adicional por producir una unidad más. La ganancia marginal P (x) aproxima P(x0 + 1) − P(x0) la ganancia adicional por producir una unidad más. 17
  • 24. Ejemplo 2.1. Un manufacturador estima que cuando x unidades de un bien en particular son producidas, el costo total será de C(x) = 1 8 x2 + 3x + 98 dolares y, más aún, que todas las unidades serán vendidas a un precio de p(x) = 1 3 (75 − x) dolares por unidad. (a) Encuentre el costo marginal y el ingreso marginal. (b) Use el costo marginal para estimar el costo de producir la novena unidad. (c) ¿Cuál es el costro real de producir la novena unidad? (d) Use el ingreso marginal para estimar el ingreso derivado de la venta de la novena unidad. (e) ¿Cuál es el ingreso real derivado de vender la novena unidad? 18
  • 25. Ejemplo 2.2. Una manufacturador de cámaras digitales estima que cuando x cientos de camaras son producidos, la ganancia total será P(x) = −0.0035x3 + 0.07x2 + 25x − 200 miles de dorales. (a) Encuentre la ganacia marginal. (b) ¿Cuál es la ganancia marginal cuando el nivel de producción es x = 10, x = 50 y x = 80? (c) Interprete estos resultados. 19
  • 27. Como f (x0) = l´ım ∆x→0 f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x , entonces para ∆x ≈ 0: f (x0) ≈ f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x o de manera equivalente f(x0 + ∆x) − f(x0) ≈ f (x0)∆x. 21
  • 28. Como f (x0) = l´ım ∆x→0 f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x , entonces para ∆x ≈ 0: f (x0) ≈ f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x o de manera equivalente f(x0 + ∆x) − f(x0) ≈ f (x0)∆x. 21
  • 29. Como f (x0) = l´ım ∆x→0 f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x , entonces para ∆x ≈ 0: f (x0) ≈ f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x o de manera equivalente f(x0 + ∆x) − f(x0) ≈ f (x0)∆x. 21
  • 30. Aproximación por incrementos Si f(x) es diferenciable en x = x0 y ∆x es un cambio suficientemente pequeño, entonces f(x0 + ∆x) ≈ f(x0) + f (x0)∆x, o de manera equivalente, si ∆f = f(x0 + ∆x) − f(x0), entonces ∆f ≈ f (x0)∆x. 22
  • 31. Ejemplo 2.3. Supongamos que el costo total en dolares de manufacturar q unidades de cierta mercancía es C(q) = 3q2 + 5q + 10. Si el nivel actual de producción es de 40 unidades, estime cuanto cambiará el costo total si son producidas 40.5 unidades. 23
  • 32. Propagación del error Ejemplo 2.4. Durante un procedimiento médico, el tamaño de un tumor de forma aproximadamente esferica se estima al medir su diametro usando la fórmula V = 4 3 πR3 para medir su volumen. Si el diametro medido es 2.5cm, con un error máximo de 2 %, ¿qué tan acertado es la medida del volumen? 24
  • 33. Control del error Ejemplo 2.5. La producción diaria de cierta fábrica es Q(L) = 900L1/3 unidades, donde L denota el tamaño de la fuerza laboral medida en trabajador-hora. Actualmente, 1000 trabajador-horas son usadas cada día. Estime el número adicionar de trabajador-horas de fuerza laboral que se requerirán diariamente para producir 15 unidades. 25
  • 34. Fórmula de aproximación del cambio porcentual Si ∆x es un cambio suficientemente pequeño en x, el correspondiente cambio porcentual en la función f(x) será 100 ∆f f(x) ≈ 100 f (x)∆x f(x) . 26
  • 35. Ejemplo 2.6. El PIB de cierto país era N(t) = t2 + 5t + 200 billones de dolares después de t años a partir del 2000. Estime el cambio porcentual en el PIB durante el primer cuarto de 2008. 27
  • 37. Definición 2.3. Si ∆x ≈ 0, entonces la diferencial de x es dx = ∆x y si y = f(x) es una función diferenciable de x, entonces dy = f (x)dx es la diferencial de y. 29
  • 38. Ejemplo 2.7. En cada caso, encuentre la diferencial de y = f(x) : (a) f(x) = x3 − 7x + 2 (b) f(x) = (x2 + 5)(3 − x − 2x2 ) 30
  • 39. Figura 2.3: Aproximación de ∆x por la diferencial dy. 31
  • 40. Análisis gráfico de la diferencial de una función 32
  • 41. Las ecuaciones del tipo y = f(x) se conocen como explícitas. Por ejemplo, y = x2 + 3x + 1, y = x3 + 1 2x − 3 , y = √ 1 − x2. Sin embargo, algunos problemas están en forma implicita, es decir, F(x, y) = 0. Por ejemplo x2 y3 − 6 = 5y3 + x, o de manera equivalente F(x, y) = x2 y3 − 6 − 5y3 − x = 0. 33
  • 42. Las ecuaciones del tipo y = f(x) se conocen como explícitas. Por ejemplo, y = x2 + 3x + 1, y = x3 + 1 2x − 3 , y = √ 1 − x2. Sin embargo, algunos problemas están en forma implicita, es decir, F(x, y) = 0. Por ejemplo x2 y3 − 6 = 5y3 + x, o de manera equivalente F(x, y) = x2 y3 − 6 − 5y3 − x = 0. 33
  • 43. Análisis gráfico de la diferencial de una función Diferenciación de funciones en forma implicita 34
  • 44. Si tenemos una ecuación en forma implicita F(x, y) = 0, y queremos obtener y = dy dx , podemos intentar despejar y y derivar directamente. Sin embargo, esto no siempre es simple o incluso, posible: Por ejemplo, considere x2 y + 2y3 = 3x + 2y. En algunos casos es posible, pero cálcular la derivada puede ser complicado. Por ejemplo, considere x2 y3 − 5y3 = x + 6. Entonces y = x + 6 x2 − 5 1/3 . 35
  • 45. Si tenemos una ecuación en forma implicita F(x, y) = 0, y queremos obtener y = dy dx , podemos intentar despejar y y derivar directamente. Sin embargo, esto no siempre es simple o incluso, posible: Por ejemplo, considere x2 y + 2y3 = 3x + 2y. En algunos casos es posible, pero cálcular la derivada puede ser complicado. Por ejemplo, considere x2 y3 − 5y3 = x + 6. Entonces y = x + 6 x2 − 5 1/3 . 35
  • 46. Si tenemos una ecuación en forma implicita F(x, y) = 0, y queremos obtener y = dy dx , podemos intentar despejar y y derivar directamente. Sin embargo, esto no siempre es simple o incluso, posible: Por ejemplo, considere x2 y + 2y3 = 3x + 2y. En algunos casos es posible, pero cálcular la derivada puede ser complicado. Por ejemplo, considere x2 y3 − 5y3 = x + 6. Entonces y = x + 6 x2 − 5 1/3 . 35
  • 47. Si tenemos una ecuación en forma implicita F(x, y) = 0, y queremos obtener y = dy dx , podemos intentar despejar y y derivar directamente. Sin embargo, esto no siempre es simple o incluso, posible: Por ejemplo, considere x2 y + 2y3 = 3x + 2y. En algunos casos es posible, pero cálcular la derivada puede ser complicado. Por ejemplo, considere x2 y3 − 5y3 = x + 6. Entonces y = x + 6 x2 − 5 1/3 . 35
  • 48. Si tenemos una ecuación en forma implicita F(x, y) = 0, y queremos obtener y = dy dx , podemos intentar despejar y y derivar directamente. Sin embargo, esto no siempre es simple o incluso, posible: Por ejemplo, considere x2 y + 2y3 = 3x + 2y. En algunos casos es posible, pero cálcular la derivada puede ser complicado. Por ejemplo, considere x2 y3 − 5y3 = x + 6. Entonces y = x + 6 x2 − 5 1/3 . 35
  • 49. Proposición 3.1. Si f = f(y) y y = y(x) son funciones diferenciables: df dx = df dy dy dx = f (y)y (3.1) Por ejemplo, si y = y(x), entonces d dx y2 = d dy y2 dy dx = 2yy . 36
  • 50. Proposición 3.1. Si f = f(y) y y = y(x) son funciones diferenciables: df dx = df dy dy dx = f (y)y (3.1) Por ejemplo, si y = y(x), entonces d dx y2 = d dy y2 dy dx = 2yy . 36
  • 51. Diferenciación implicita Ejemplo 3.1. Encuentre y = dy dx si x2 y + y2 = x3 . 37
  • 52. Método de Diferenciación Implicita Suponga que una ecuación define y de manera implicita como una función diferenciable de x. Para encontrar y = dy dx : 1 Diferencie ambos lados de la ecuación con respecto a x. Recuerde que y es en realidad una función de x y puede usar la regla de la cadena al diferenciar los términos que contienen a y. 2 Resuelva la ecuación diferencial algebraicamente para y en términos de x y y. 38
  • 53. Análisis gráfico de la diferencial de una función Calculando la pendiente de una recta tangente 39
  • 54. Ejemplo 3.2. Encuentre la pendiente de la recta tangente al círculo x2 + y2 = 25, en el punto (3, 4)− ¿Cuál es la pendiente en el punto (3, −4)? Figura 3.1: Gráfica de x2 + y2 = 25. 40
  • 55. Ejemplo 3.2. Encuentre la pendiente de la recta tangente al círculo x2 + y2 = 25, en el punto (3, 4)− ¿Cuál es la pendiente en el punto (3, −4)? Figura 3.1: Gráfica de x2 + y2 = 25. 40
  • 56. Ejemplo 3.3. Encuentre todos los puntos de la gráfica de la ecuación x2 − y2 = 2x + 4y donde la recta tangente es horizontal. ¿Tiene la gráfica alguna tangente vertical? Figura 3.2: Gráfica de x2 − y2 = 2x + 4y 41
  • 57. Ejemplo 3.3. Encuentre todos los puntos de la gráfica de la ecuación x2 − y2 = 2x + 4y donde la recta tangente es horizontal. ¿Tiene la gráfica alguna tangente vertical? Figura 3.2: Gráfica de x2 − y2 = 2x + 4y 41
  • 58. Análisis gráfico de la diferencial de una función Aplicaciones a la economía 42
  • 59. Ejemplo 3.4. Suponga que la producción de cierta fábrica es Q = 2x3 + x2 y + y3 , donde x es el número de horas de trabajo especializado y y es el número de horas de trabajo no especializado. La actual fuerza de trabajo consiste de 30 horas de trabajo especializado y 20 del que no lo es. Estime el cambio en el trabajo no especializado y que compense un incremento de una hora de trabajo no especializado x, de manera que la producción mantenga su actual nivel. 43
  • 60. Observación 3.1. Si Q(x, y) es el nivel de producción, diremos que Q(x, y) = C es una isocuanta, y la razón de cambio dy dx que encontramos derivando implicitamente se conoce como relación marginal de sustitución técnica. 44
  • 62. Este es un resumen de las propiedades más importantes de la derivada. Al final, se sugiere una lista de problemas que se pueden resolver con ayuda de las notas de clase y le serán útiles para repasar los conceptos básicos, ¡intentelos! 46
  • 63. Definición 4.1. La derivada de una función f(x) esta definida como d dx f(x) = l´ım h→0 f(x + h) − f(x) h , o de manera equivalente, d dx f(x) = l´ım t→x f(t) − f(x) t − x , si es que dicho límite existe. 47
  • 64. Observación 4.1. En ocasiones, usamos la notación f (x) para la derivada d dx (f(x)). Al usar esta notación, tenga cuidado en identificar la variable independiente y la dependiente. Por ejemplo, si y = f(u), entonces y = df du . 48
  • 65. Propiedades fundamentales de la derivada Sean f, g, u funciones diferenciables y c, k unas constantes. Linealidad d dx (cf(x) + kg(x)) = c d dx f(x) + k d dx g(x) (4.1) Regla de Leibniz d dx (f(x)g(x)) = d dx f(x) g(x) + f(x) d dx g(x) (4.2) Regla de la cadena d dx (g(u(x))) = d du g(u) d dx u(x) . (4.3) 49
  • 66. Propiedades fundamentales de la derivada Sean f, g, u funciones diferenciables y c, k unas constantes. Linealidad d dx (cf(x) + kg(x)) = c d dx f(x) + k d dx g(x) (4.1) Regla de Leibniz d dx (f(x)g(x)) = d dx f(x) g(x) + f(x) d dx g(x) (4.2) Regla de la cadena d dx (g(u(x))) = d du g(u) d dx u(x) . (4.3) 49
  • 67. Propiedades fundamentales de la derivada Sean f, g, u funciones diferenciables y c, k unas constantes. Linealidad d dx (cf(x) + kg(x)) = c d dx f(x) + k d dx g(x) (4.1) Regla de Leibniz d dx (f(x)g(x)) = d dx f(x) g(x) + f(x) d dx g(x) (4.2) Regla de la cadena d dx (g(u(x))) = d du g(u) d dx u(x) . (4.3) 49
  • 68. Proposición 4.1. Si p ≥ 0 es un número entero, entonces d dx (xp ) = pxp−1 . (4.4) 50
  • 69. Observación 4.2. La formula 4.4 se puede obtener directamente a partir de la identidad algebráica tp − xp = (t − x) tp−1 + tp−2 x + ... + xp−1 , donde p es necesariamente un entero positivo, o de manera recursiva a partir de la derivada d dx (x) = 1 (veáse ejericicio 4.1) y la regla de Leibniz. 51
  • 71. Ejercicio 4.1. A partir de la definición de la derivada, deduzca que d dx (mx + b) = m, (4.5) donde m, b son constantes reales. En particular, deduzca que db dx = 0, dx dx = 1. 53
  • 72. Ejercicio 4.2. 1 Deduzca que si f(x) = g(x) h(x) , (4.6) entonces f (x) = g (x) − h (x)f(x) h(x) . (4.7) 2 Sustituya (4.6) en (4.7), y simplifique para obtener, f (x) = g (x)h(x) − h (x)g(x) h2(x) . (4.8) 54
  • 73. Ejercicio 4.2. 1 Deduzca que si f(x) = g(x) h(x) , (4.6) entonces f (x) = g (x) − h (x)f(x) h(x) . (4.7) 2 Sustituya (4.6) en (4.7), y simplifique para obtener, f (x) = g (x)h(x) − h (x)g(x) h2(x) . (4.8) 54
  • 74. Ejercicio 4.3. Deduzca que si f(x) = √ x, entonces f (x) = 1 2 √ x . (4.9) Sugerencia 4.1. Recuerde que ( √ x)2 = x, así que puede derivar de manera implicita, usando regla de la cadena o puede aplicar la regla de Leibniz en el lado izquierdo de la identidad f(x)f(x) = x. 55
  • 75. Ejercicio 4.4. Supongamos que y = m √ xn, con n, m ≥ 0 número enteros. Entonces ym = xn . (4.10) Derive implicitamente la ecuación (4.10) (respecto de x), despeje y y deduzca que y = n m x( n m −1) . (4.11) Sugerencia 4.2. Recuerde que x( n m ) := m √ xn. 56
  • 76. Observación 4.3. La fórmula (4.11) nos dice que la fórmula (4.4) también es válida cuando p es una fracción mayor o igual que cero. 57
  • 77. Ejercicio 4.5. Sea y = 1 xp , donde p es una fracción positiva. Entonces y · xp = 1. Derive de manera implicita (usando la regla de Leibniz) la ecuación anterior y deduzca que y = (−p)x−p−1 . (4.12) 58
  • 78. Observación 4.4. Como x−p := 1 xp , la fórmula (4.12) nos dice que (4.4) sigue siendo válido para los exponente que son fracciones negativas y junto con 4.11, nos dice que la fórmula 4.4 es válida para cualquier exponente fraccionario, en particular, para números enteros. 59
  • 79. Resumimos todos resultados anteriores en el siguiente: Teorema 4.2. Sea y = xp , donde p es cualquier fracción. Entonces dy dx = pxp−1 . (4.13) 60
  • 80. 5 Integración por sustitución Modelos de ajuste de precio Problemas aplicados a los negocios y la economía 6 Integracion por partes y por fracciones parciales Integración por partes La ecuación logística Integración por Fracciones parciales Problemas aplicados a los negocios y la economía 7 Integral definida y el teorema fundamental del cálculo Integral Definida Teorema Fundamental del Cálculo 61
  • 81. Sustitución en una integral definida Variación total 62
  • 83. Calcule la siguiente integral: (3x + 5)7 dx. La primera solución sería expandir e integrar término a término. (%i1) expand((3*x+5)^7); ( %o1) 2187 x7 + 25515 x6 + 127575 x5 + 354375 x4 + 590625 x3 + 590625 x2 + 328125 x + 78125 64
  • 84. Calcule la siguiente integral: (3x + 5)7 dx. La primera solución sería expandir e integrar término a término. (%i1) expand((3*x+5)^7); ( %o1) 2187 x7 + 25515 x6 + 127575 x5 + 354375 x4 + 590625 x3 + 590625 x2 + 328125 x + 78125 64
  • 85. Observación 5.1. La diferencial de u = f(x) es du = f (x)dx. Hacemos la sustitución (o cambio de variable) u = 3x + 5 de manera que du = 3dx o de manera equivalente dx = 1 3 du. 65
  • 86. (3x + 5)7 dx = u7 1 3 du = 1 3 1 8 u8 + C = 1 24 u8 + C = 1 24 (3x + 5)8 + C 66
  • 87. Ejercicio 5.1. Verifique el resultado anterior, derivando. Sugerencia: Utilice la regla de la cadena. 67
  • 88. Método 1 (Integración por sustitución de f(x)dx). 1 Escoja una sustitución u = u(x) que simplifique el integrando f(x)dx. 2 Exprese toda la integral en términos de u y du = u (x)dx. Esto significa que todos los términos que involucren tanto x como dx deben transformarse, para involucrar solo u y du. 3 Al concluir con el paso 2, la integral debe tener la forma f(x)dx = g(u)du. De ser posible, evalue esta transformación encontrando una antiderivada G(u) para g(u). 4 Reemplace u por u(x) para obtener una antiderivada F(x) = G(u(x)) para f(x) de manera que 68
  • 98. Ejemplo 5.10 (Cuando la sustitución falla). Encuentre x4 ex4+2 dx. 78
  • 99. Ejemplo 5.11. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial separable dy dx = √ 4 − y2 xy . 79
  • 100. Ejemplo 5.12 (Una aplicación que involucra una sustitución). Se estima que el precio p en dólares de cada unidad de cierto bien cambia a una tasa de dp dx = −135x √ 9 + x2 dónde x (medido en cientos de unidades) es la demanda del consumidor (el número de unidades adquiridas a este precio). Supongamos que 400 unidades, es decir, x = 4 son demandadas cuando el precio es $30 por unidad. 1 Encuentre la función demanda precio p(x). 2 ¿A que precio serán demandadas 300 unidades? 3 ¿Cuantas unidades serán demandadas a un precio de $20 por unidad. 80
  • 101. Integración por sustitución Modelos de ajuste de precio 81
  • 102. Supongamos que S(p) es el número de unidades de cierto artículo ofrecido en el mercado a un precio p, y D(p) el número correspondiente de unidades demandas por el mercado al mismo precio. El modélo de ajuste de precio de Evans supone que dp dt = k (D − S) , donde k > 0. 82
  • 103. Ejemplo 5.13 (Estudio de ajuste de precio). Se introduce un producto con precio inicial de $5 por unidad. La gerente de ventas determina que después de t meses, el precio estará cambiando a una tasa igual al 2 % de la escasez D − S, donde la oferta S(p) y la demanda D(p) del producto (cada una en miles de unidades) está dada por D = 50 − p, S = 23 + 2p, 0 ≤ p < 9. 1 Plantee y resuelva un problema de valor inicial para el precio unitario p(t). 2 ¿Qué ingreso debe esperar la gerente a partir de la venta del producto después de 6 meses? 3 ¿Cuál es el precio de equilibrio pe? Demuestre que p(t) se aproxima a p en el largo plazo (cuanto t → ∞.) 83
  • 104. Ejemplo 5.13 (Estudio de ajuste de precio). Se introduce un producto con precio inicial de $5 por unidad. La gerente de ventas determina que después de t meses, el precio estará cambiando a una tasa igual al 2 % de la escasez D − S, donde la oferta S(p) y la demanda D(p) del producto (cada una en miles de unidades) está dada por D = 50 − p, S = 23 + 2p, 0 ≤ p < 9. 1 Plantee y resuelva un problema de valor inicial para el precio unitario p(t). 2 ¿Qué ingreso debe esperar la gerente a partir de la venta del producto después de 6 meses? 3 ¿Cuál es el precio de equilibrio pe? Demuestre que p(t) se aproxima a p en el largo plazo (cuanto t → ∞.) 83
  • 105. Ejemplo 5.13 (Estudio de ajuste de precio). Se introduce un producto con precio inicial de $5 por unidad. La gerente de ventas determina que después de t meses, el precio estará cambiando a una tasa igual al 2 % de la escasez D − S, donde la oferta S(p) y la demanda D(p) del producto (cada una en miles de unidades) está dada por D = 50 − p, S = 23 + 2p, 0 ≤ p < 9. 1 Plantee y resuelva un problema de valor inicial para el precio unitario p(t). 2 ¿Qué ingreso debe esperar la gerente a partir de la venta del producto después de 6 meses? 3 ¿Cuál es el precio de equilibrio pe? Demuestre que p(t) se aproxima a p en el largo plazo (cuanto t → ∞.) 83
  • 106. Ejemplo 5.13 (Estudio de ajuste de precio). Se introduce un producto con precio inicial de $5 por unidad. La gerente de ventas determina que después de t meses, el precio estará cambiando a una tasa igual al 2 % de la escasez D − S, donde la oferta S(p) y la demanda D(p) del producto (cada una en miles de unidades) está dada por D = 50 − p, S = 23 + 2p, 0 ≤ p < 9. 1 Plantee y resuelva un problema de valor inicial para el precio unitario p(t). 2 ¿Qué ingreso debe esperar la gerente a partir de la venta del producto después de 6 meses? 3 ¿Cuál es el precio de equilibrio pe? Demuestre que p(t) se aproxima a p en el largo plazo (cuanto t → ∞.) 83
  • 107. Integración por sustitución Problemas aplicados a los negocios y la economía 84
  • 108. Problema 5.1 (Costo marginal). En cierta fabrica, el costo marginal es 3(q − 4)2 dólares por unidad cuando el nivel de producción es q unidades. 1 Exprese el costo total de producción en función de los gastos indirectos (el costo de producir 0 unidades) y el número de unidades producidas. 2 ¿Cuál es el costo de producir 14 unidades si el gasto indicado es $ 436? 85
  • 109. Problema 5.2 (Ingreso). El ingreso marginal por la venta de x unidades de cierto artículo se estima será R (x) = 50 + 3.5xe−0.01x2 dólares por unidad, donde R(x) es el ingreso en dólares. Determine R(x), suponiendo que R(0) = 0. ¿Qué ingreso se espera por la venta de 1000 unidades? 86
  • 110. Problema 5.3 (Utilidad marginal). Una compañia determina que el ingreso marginal por la producción de x unidades es R (x) = x(5 − x)3 cientos de dólares por unidad, y el costo marginal correspondiente C (x) = 5 + 2x cientos de dólares por unidad. ¿En cuánto cambia la utilidad cuando el nivel de producción se eleva de 1 a 5 unidades? 87
  • 111. Problema 5.4 (Oferta). El propietario de una cadena de comida rápida determina que si se ofertan x miles de unidades de una nueva comida, el precio marginal a ese nivel de oferta estará dado por p (x) = x (x+3)2 dólares por unidad, donde p(x) es el precio por unidad a la cual todas las x miles de unidades se venderán. Actualmente se ofertan 5000 unidades a un precio de $2.20 por unidad. 1 Determine la función de oferta p(x) 2 Si se ofertan 10,000 unidades de alimentos a restaurantes en la cadena, ¿qué precio unitario se deberá cobrar para que se vendan todas las unidades? 88
  • 112. Problema 5.5. Sean S(t) la función de oferta y D(t), la de demanda. Suponga que el precio cambia a una tasa proporcional a la escasez D(t) − S(t), con la constante de propocionalidad k indicada y el precio inicial p0. En cada ejercicio: (a) Plantee y resuelva la ecuación diferencial para p(t) (b) Encuentre el precio unitario del artículo cuando t = 4 (c) Determine lo que sucede con el precio cuando t → ∞ 1 S(t) = 3 + t; D(t) = 9 − t; k = 0.01; p0 = 1 2 S(t) = 2 + 3p(t); D(t) = 10 − p(t); k = 0.02; p0 = 1 89
  • 113. Integracion por partes y por fracciones parciales 90
  • 114. Integracion por partes y por fracciones parciales Integración por partes 91
  • 115. Proposición 6.1 (Regla del producto). Si u, v son diferenciables en x d dx (u(x)v(x)) = u(x) d dx v(x) + v(x) d dx u(x) De manera breve, (uv) = u v + uv . 92
  • 116. En forma diferencial, podemos escribir la regla del producto como: d (uv) = udv + vdu, de donde uv = udv + vdu. 93
  • 117. Proposición 6.2 (Integración por partes). udv = uv − vdu (6.1) 94
  • 119. Método 2 (Integración por partes). Para calcular f(x)dx : (a) Escoja u, v de manera que f(x) = udv. (b) Encuentre du y v = dv (c) Aplique la fórmula (6.1) 96
  • 121. Ejemplo 6.3. Encuentre x √ x + 5dx Intente el mismo ejercicio por sustitución. 98
  • 122. Ejemplo 6.4 (Integración por partes doble). Encuentre x2 e2x dx 99
  • 123. Integracion por partes y por fracciones parciales La ecuación logística 100
  • 124. Una ecuación diferencial de la forma general dQ dt = kQ (M − Q) (6.2) con k, M contantes se denomina ecuación logística, y l gráfica de su solución y = Q(t) se denomina curva logística. 101
  • 125. Ejemplo 6.5 (Propagación de un rumor). A las 6 a.m., dos ejecutivos contables de una empresa corredora, escuchan el rumor de que una nueva acción que se ofrece, se presentará a medio día. El rumor se propaga a través de 26 ejecutivos de la empresa a la tasa dN dt = 0.025N (26 − N) donde N(t) es el número de ejecutivos que oyeron el rumor t horas después de las 6 a.m. 1 Determine N(t) 2 ¿Cuántos ejecutivos no han oído el rumor a mediodía? 102
  • 126. Integracion por partes y por fracciones parciales Integración por Fracciones parciales 103
  • 127. En esta sección, consideraremos funciones racionales, es decir, cocientes de polinomio. De hecho, consideraremos sólamente f. r. propias, es decir aquellas en las que el dividendo es de grado estrictamente menor que el divisor. 104
  • 128. Ejemplo 6.6. 2x4 − 3x3 − 4x2 − 17x − 6 x3 − 2x2 − 3x dx = 2x + 1 + 4x2 − 14x − 6 x3 − 2x2 − 3x dx = x2 + x + 4x2 − 14x − 6 x3 − 2x2 − 3x dx 105
  • 129. Ejercicio 6.1. Compruebe que 1 4x2 − 14x − 6 x3 − 2x2 − 3x = 2 x + 3 x + 1 − 1 x − 3 Este desarrollo se conoce como fracciones parciales. 2 4x2 − 14x − 6 x3 − 2x2 − 3x dx = 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| − ln |x − 3| 106
  • 130. Ejemplo 6.7. Determine 2x + 1 3x2 − 27 dx 107
  • 131. Ejemplo 6.8. Evalue 6x2 + 13x + 6 (x + 2)(x + 1)2 dx 108
  • 132. Determine −2x − 4 x3 + x2 + x dx 109
  • 133. Integracion por partes y por fracciones parciales Problemas aplicados a los negocios y la economía 110
  • 134. Problema 6.1 (Costo marginal). Un fabricante encontró que el costo marginal es (0.1q + 1)e0.02q dólares por unidad cuando se produjeron q unidades. El costo total de producir 10 unidades es $200. ¿Cuál es el costo total de producir las primeras 20 unidades? 111
  • 135. El problema de valor inicial es C (q) = (0.1q + 1)e0.02q , C(10) = 200. cuya solución es C(q) = e(0.02q) (5q − 200) + 383.21 de donde obtenemos C(20) = 234.028. 112
  • 136. Integral definida y el teorema fundamental del cálculo 113
  • 137. Integral definida y el teorema fundamental del cálculo Integral Definida 114
  • 138. Definición 7.1 (Área bajo la curva). Sea f(x) continua y tal que f(x) ≥ 0 sobre el intervalo a ≤ x ≤ b. Entonces la región bajo la curva y = f(x) en el intervalo dado tiene área A = l´ımn→∞ [f(x1) + ... + f(xn)]∆x donde xj es el punto extremo izquierdo del j−ésimo intervalo, si el intervalo a ≤ x ≤ b se divide en n partes iguales, cada una con longitud ∆x = b − a n . 115
  • 139. Observación 7.1. En realidad, podemos elegir cualquier punto xj en el j−ésimo intervalo. Por ejemplo, es común elegir el punto medio, el otro extremo (derecho), el punto donde la función alcanza el máximo en el intervalo o el mínimo. 116
  • 140. Ejemplo 7.1. Sea R la región bajo la gráfica de f(x) = 2x + 1 sobre el intervalo 1 ≤ x ≤ 3, como se muestra en la gráfica 7.1. Cálcule el área como límite de una suma. 117
  • 141. La región R se muestra en la figura 7.1, (b) aproximada por 6 rectángulos, cada uno de ancho h = 3 − 1 6 ≈ 0.33. Retomaremos los puntos extremos de cada intervalo y sus valores en la siguiente tabla: 118
  • 142. En el ejemplo anterior, el error absoluto se calcula como Errabs = |Aproximación − Valor Exacto| , mientras que el error relativo está dado por Errrel = Errabs Valor Exacto × 100 % 119
  • 143. Definición 7.2 (Suma de Riemman). Sea f(x) una función continua en a ≤ x ≤ b. Se divide el intervalo a ≤ x ≤ b en n partes iguales, cada una con un ancho ∆x = b − a n =: h, y se elige un número xk en cada k−ésimo subintervalo, para k = 1, ..., n. Se plantea la suma de Riemman: n i=0 f(xi)∆x = f(x1)h+...+f(xn)h = (f(x1) + ... + f(xn)) h 120
  • 144. Definición 7.3 (Integral indefinida). La integral indefinida de f en el intervalo a ≤ x ≤ b, denotada por b a f(x)dx es el límite de la suma de Riemman cuando n → ∞ : b a f(x)dx = n i=0 f(xi)∆x. 121
  • 145. La función f(x) recibe el nombre de integrando, y los número a y b se conocen como límite inferior y superior de integración, respectivamente. El proceso de cálcular una integral indefinida se denomina integración indefinida. 122
  • 146. Definición 7.4 (Área como integral definida). Si f(x) es continua y f(x) ≥ 0 en el intervalo a ≤ x ≤ b, entonces la región R bajo la curva y = f(x) intervalo dado tiene una área A = b a f(x)dx. 123
  • 147. Integral definida y el teorema fundamental del cálculo Teorema Fundamental del Cálculo 124
  • 148. Si la función f(x) es continua en el intervalo a ≤ x ≤ b, entonces b a f(x)dx = F(b) − F(a) =: F(x)|b a donde F(x) es cualquier antiderivada de f(x) en a ≤ x ≤ b. 125
  • 149. Ejemplo 7.2. Utilice el TFC para determinar el área de la región bajo la recta y = 2x + 1 sobre el intervalo 1 ≤ x ≤ 3 Solución. A = 3 1 (2x + 1) dx = x2 + x|3 1 (3)2 + 3 − (1)2 + (1) = 10 126
  • 150. Ejemplo 7.2. Utilice el TFC para determinar el área de la región bajo la recta y = 2x + 1 sobre el intervalo 1 ≤ x ≤ 3 Solución. A = 3 1 (2x + 1) dx = x2 + x|3 1 (3)2 + 3 − (1)2 + (1) = 10 126
  • 151. Ejemplo 7.2. Utilice el TFC para determinar el área de la región bajo la recta y = 2x + 1 sobre el intervalo 1 ≤ x ≤ 3 Solución. A = 3 1 (2x + 1) dx = x2 + x|3 1 (3)2 + 3 − (1)2 + (1) = 10 126
  • 152. Ejemplo 7.3. Una parcela de tierra mide 100 pies de ancho y está delimitada en 3 de sus lados, y por un arroyo en el otro lado del río. Un agente de bienes raíces determina que se puede establecer un sistema de coordenadas en el que las calles se representen por las líneas y = 0, x = 0 y x = 1, y el arroyo por la curva y = x3 + 1, dónde x y y se miden en cientos de pies. Si la tierra en la parcela se avalúa en $12 por pie cuadrado, ¿cual será el valor total de la parcela? 127
  • 153. 128
  • 154. Ejemplo 7.4. Evalúe la integral definida 1 0 e−x + √ x dx 129
  • 156. Proposición 7.1 (Reglas para integrales definidas). Sean f, g funciones continuas en el intervalo a ≤ x ≤ b. Linealidad: Si c1, c2 son cualesquiera dos constantes, entonces b a c1f(x) + c2g(x)dx = c1 b a f(x)dx + c2 b a g(x)dx Regla aditiva: Si c ∈ [a, b], entonces b a f(x)dx = c a f(x)dx + b c f(x)dx. 131
  • 157. Problema 7.1. A partir de la regla aditiva, deduzca las siguiente propiedades: a a f(x)dx = 0, a c f(x)dx = − c a f(x)dx 132
  • 158. Ejemplo 7.6. Sean f(x), g(x) funciones continuas en −2 ≤ x ≤ 5 y que satisfacen 5 −2 f(x)dx = 3, 5 −2 g(x)dx = −4, 5 3 f(x)dx = 7. Utilice esta información para evaluar cada una de las siguientes integrales definidas: 5 −2 (2f(x) − 3g(x)) dx 3 −2 f(x)dx 133
  • 159. Integral definida y el teorema fundamental del cálculo Sustitución en una integral definida 134
  • 160. Proposición 7.2. b a f(g(x)) · g (x)dx = g(b) g(a) f(u)du, donde u = g(x), du = g (x)dx. 135
  • 161. Ejemplo 7.7. Cálcule 1 0 8x(x2 + 1)3 dx Ejemplo 7.8. Evalúe 2 1/4 ln(x) x dx 136
  • 162. Ejemplo 7.7. Cálcule 1 0 8x(x2 + 1)3 dx Ejemplo 7.8. Evalúe 2 1/4 ln(x) x dx 136
  • 163. Integral definida y el teorema fundamental del cálculo Variación total 137
  • 164. Definición 7.5. Si Q (x) es continua en el intervalo a ≤ x ≤ b, entonces la variación total de Q(x) cuando varía de x = a a x = b está dada por Q(b) − Q(a) = b a Q (x)dx. 138
  • 165. Ejemplo 7.9 (Determinación de la variación total en el costo). En cierta fábrica, el costo marginal es 3(q − 4)2 dólares por unidad cuando el nivel de producción es de q unidades. ¿En cuanto se incrementará el costo total de manufactura si el nivel de producción se aumenta de 6 a 10 unidades? 139
  • 166. 8 Aplicaciones de la Integral Definida Área entre curvas Exceso Neto de Utilidad Curvas de Lorenz Valor promedio de una función 9 Aplicaciones adicionales Determinación del valor futuro de una anualidad Disposición a gastar y curva de excedente de los consumidores 140
  • 167. Aplicaciones de la Integral Definida 141
  • 168. Aplicaciones de la Integral Definida Área entre curvas 142
  • 169. Definición 8.1. Si f(x) y g(x) son continuas en el intervalo a ≤ x ≤ b, y f(x) ≥ g(x) en este intervalo entonces el área A entre las curvas y = f(x) y y = g(x) en este intervalo está dada por A = b a (f(x) − g(x)) dx 143
  • 170. Ejemplo 8.1. Determine el área de la región R acotada por las curvas y = −x2 + 1 y x2 − 1. 144
  • 171. Ejemplo 8.2. Determine el área de la región R acotada por las curvas y = x3 y x2 . 145
  • 172. Ejemplo 8.3. Determine el área de la región R acotada por las curvas y = 4x y x3 + 3x2 . 146
  • 173. Ejercicio 8.1. En los siguientes ejercicios, grafique la región R, delimitadas por las curvas indicadas y después determine su área. 1 y = x, y = −x y la recta x = 1. 2 el eje x y y = −x2 + 4x − 3. 3 el eje x y y = x2 − 2x. 4 y = x2 − 2x y y = −x2 + 4. 5 y = x3 − 3x2 y x2 + 5x. 147
  • 174. Aplicaciones de la Integral Definida Exceso Neto de Utilidad 148
  • 175. Suponga que dentro de t años, dos planes de inversión generarán utilidades P1(t) y P2(t), respectivamente, y que se espera que las tasas de rentabilidad respectivas, P1(t) y P2(t) satisfagan P2(t) ≤ P1(t) durante los próximos N años, es decir, en el intervalo 0 ≤ t ≤ N. 149
  • 176. Entonces E(t) = P2(t) − P1(t) representa el exceo de utilidad del plan 2 sobre el plan 1 en el tiempo t, y el exceso neto de utilidad NE = E(N) − E(0) en el intervalo 0 ≤ t ≤ N esta dado por la integral: NE = N 0 E (t)dt = N 0 (P2(t) − P1(t)) dt. 150
  • 177. Figura 8.1: Exceso neto de utilidad como el área entre curvas de las tasas de rentabilidad. 151
  • 178. Suponga que dentro de t años, uan inversión generará utilidades a una tasa P1(t) = 50 + t2 cientos de dólares por año, en tanto que una segunda inversión generará utilidadea una tasa de P2(t) = 200 + 5t ciento de dólares por año. 1 ¿Durante cuántos años sobrepasa la tasa de rentabilidad de la segunda inversión a la primera? 2 Calcule el exceso neto de utilidad para el periodo determinado en el inciso (a). Interprete el exceso neto de utilidad como un área. 152
  • 179. 153
  • 180. Aplicaciones de la Integral Definida Curvas de Lorenz 154
  • 181. Definición 8.2. La curva de Lorenz de la economía de una sociedad particular es la gráfica de la función L(x), que denota la fracción del ingreso nacional anual total recibido por el x100 % de menor salario del total de trabajadores asalariados en la sociedad, para 0 ≤ x ≤ 1. 155
  • 182. Por ejemplo, si el 30 % = 0.030 de menor salario de todos los trabajadores recibe el 23 % = 0.23 del ingreso total de la sociedad, entonces L(.0.30) = 0.23. 156
  • 183. Observe que L(x) es una función en 0 ≤ x ≤ 1 que tiene las siguiente propiedades: 1 L(x) es una función creciente; 2 0 ≤ L(x) ≤ 1; 3 L(0) = 0; 4 L(1) = 1; 5 L(x) ≤ x. 157
  • 184. Observe que L(x) es una función en 0 ≤ x ≤ 1 que tiene las siguiente propiedades: 1 L(x) es una función creciente; 2 0 ≤ L(x) ≤ 1; 3 L(0) = 0; 4 L(1) = 1; 5 L(x) ≤ x. 157
  • 185. Figura 8.2: Curva de Lorenz y = L(x) y su índice de Gini 158
  • 186. El índice de Gini GI, también llamado índice de desigualdad del ingreso, se puede calcular mediante la fórmula GI = 1 0 (x − L(x)) dx 1 0 xdx = 1 0 (x − L(x)) dx 1 2 , es decir, GI = 2 1 0 (x − L(x)) dx. 159
  • 187. 160
  • 188. Ejemplo 8.4. Una agencia gubernamental determina que las curvas de Lorenz para la distribución del ingreso para odontólogos y contratistas en cierto estado están dadas por las funciones L1(x) = x1.7 , L2(x) = 0.8x2 + 0.2x, respectivamente. ¿Para cuál profesión es más justa la distribución del ingreso?. 161
  • 189. Aplicaciones de la Integral Definida Valor promedio de una función 162
  • 190. Definición 8.3 (Valor promedio de una función). Sea f(x) una función que es continua en el intervalo a ≤ x ≤ b. Entonces el valor promedio V de f(x) en a ≤ x ≤ b está dado por la integral definida V = 1 b − a b a f(x)dx 163
  • 191. Ejemplo 8.5. Un fabricante determina que t meses después de introducir un producto nuevo, las ventas de la compañía serán S(t) miles de dólares, dónde S(t) = 750t √ 4t2 + 25 ¿Cuál es el promedio de las ventas mensuales de la compañía en los primero 6 meses después de la introducción del producto nuevo? 164
  • 192. Ejemplo 8.6. Como parte de una investigación, se modela la temperatura T (en ◦ C) en cierta ciudad del norte durante el periodo de 6 A.M. a 6 P.M. mediante la función T(t) = 3 − 1 3 (t − 4)2 , para 0 ≤ t ≤ 12, donde t es el número de horas después de las 6 A.M. 1 ¿Cuál es la temperatura promedio en la ciudad durante las horas de trabajo, de 8 A.M. a 5 P.M.? 2 ¿En qué momento durante el día de trabajo se debe esperar que la temperatura sea mayor o igual a la temperatura promedio que se obtuvo en el inciso (a)? 165
  • 193. Ejemplo 8.6. Como parte de una investigación, se modela la temperatura T (en ◦ C) en cierta ciudad del norte durante el periodo de 6 A.M. a 6 P.M. mediante la función T(t) = 3 − 1 3 (t − 4)2 , para 0 ≤ t ≤ 12, donde t es el número de horas después de las 6 A.M. 1 ¿Cuál es la temperatura promedio en la ciudad durante las horas de trabajo, de 8 A.M. a 5 P.M.? 2 ¿En qué momento durante el día de trabajo se debe esperar que la temperatura sea mayor o igual a la temperatura promedio que se obtuvo en el inciso (a)? 165
  • 194. Proposición 8.1 (Interpretación de la tasa del valor promedio). El valor promedio de una función f(x) en un intervalo a ≤ x ≤ b, dónde f(x) es continua, es el mismo que la tasa de cambio promedio de cualquier antiderivada F(x) de f(x) en el mismo intervalo. 166
  • 196. Aplicaciones adicionales Determinación del valor futuro de una anualidad 168
  • 197. Se tranfiere dinero a una cuenta, a una tasa constante de $1200 dólares por año. La cuenta gana intereses a una tasa anual de 8 % capitalizada continuamente. ¿Cuánto habrá en la cuenta al cabo de dos años? 169
  • 198. Observación 9.1. P0 dólares invertidos a una tasa anual r y capitalizados continuamente valdrán P(t) = P0ert , después de t años. 170
  • 199. Figura 9.1: Valor futuro (aproximado) del dinero depositado durante el j-ésimo subintervalo. 171
  • 200. Dinéro depositado (dólares por año) (número de años) = 1200∆t VF del deposito en el j-ésimo intervalo 1200e0.08(2−tj) ∆t VF de flujos de ingresos (aprox.) n j=1 1200e0.08(2−tj) ∆t VF del flujo de ingresos 2 0 1200e0.08(2−t) dt 172
  • 201. Dinéro depositado (dólares por año) (número de años) = 1200∆t VF del deposito en el j-ésimo intervalo 1200e0.08(2−tj) ∆t VF de flujos de ingresos (aprox.) n j=1 1200e0.08(2−tj) ∆t VF del flujo de ingresos 2 0 1200e0.08(2−t) dt 172
  • 202. Dinéro depositado (dólares por año) (número de años) = 1200∆t VF del deposito en el j-ésimo intervalo 1200e0.08(2−tj) ∆t VF de flujos de ingresos (aprox.) n j=1 1200e0.08(2−tj) ∆t VF del flujo de ingresos 2 0 1200e0.08(2−t) dt 172
  • 203. Dinéro depositado (dólares por año) (número de años) = 1200∆t VF del deposito en el j-ésimo intervalo 1200e0.08(2−tj) ∆t VF de flujos de ingresos (aprox.) n j=1 1200e0.08(2−tj) ∆t VF del flujo de ingresos 2 0 1200e0.08(2−t) dt 172
  • 204. Definición 9.1 (Valor futuro de un flujo de ingresos). Suponga que se transfiere dinero continuamente a una cuenta durante un periodo 0 ≤ t ≤ T, a una tasa dada por la función f(t), y que la cuenta gana interés a una tasa anual r, capitalizada continuamente. Entonces el valor futuro V F del flujo de ingresos después de T años está dado por la integral definida V F = T 0 f(t)er(T−t) dt = erT T 0 f(t)e−rt dt. 173
  • 205. El valor presente de un flujo de ingresos generados a una tasa continua f(t), durante un plazo especifico de T años, es la cantidad de dinero V P que se debe depositar hoy, a la tasa de interés prevaleciente, para generar el mismo ingreso que el flujo de ingresos durante el mismo periodo de T años: V P erT = erT T 0 f(t)e−rt dt. 174
  • 206. El valor presente de un flujo de ingresos generados a una tasa continua f(t), durante un plazo especifico de T años, es la cantidad de dinero V P que se debe depositar hoy, a la tasa de interés prevaleciente, para generar el mismo ingreso que el flujo de ingresos durante el mismo periodo de T años: V P erT = erT T 0 f(t)e−rt dt. 174
  • 207. El valor presente de un flujo de ingresos generados a una tasa continua f(t), durante un plazo especifico de T años, es la cantidad de dinero V P que se debe depositar hoy, a la tasa de interés prevaleciente, para generar el mismo ingreso que el flujo de ingresos durante el mismo periodo de T años: V P erT = erT T 0 f(t)e−rt dt. 174
  • 208. Definición 9.2. Con las mismas condiciones de la definición anterior, diremos que el valor presente está dado por V P = T 0 f(t)e−rt dt. 175
  • 209. Ejemplo 9.1. Una persona trata de decidir entre dos inversiones. La primera cuesta $9000 y se espera que genere un flujo de ingresos continuo a una tasa de f1(t) = 3000e0.03t dólares por año. La segunda inversión es una anualidad que cuesta $12000 para comprar y generar ingreso a una tasa constante de f2(t) = 4000 dólares por año. Si la tasa anual permanece fija a 5 % capitalizada continuamente durante los próximos 5 años, ¿cuál inversión generá más ingreso neto durante este periodo? 176
  • 210. Aplicaciones adicionales Disposición a gastar y curva de excedente de los consumidores 177
  • 211. 178
  • 212. Definición 9.3. La disposición a gastar (total) del consumidor hasta q0 unidades de una mercancía está dada por WS = q0 0 D(q)dq donde p = D(q) es la función de demanda del artículo. Geométricamente, ésta es el área bajo la curva de demanda sobre el intervalo 0 ≤ q ≤ q0. 179
  • 213. El gerente de una granja determina que q toneladas de grano se venderán cuando el precio sea p(q) = 10 (20 − q2 ) dólares por tonelada. Encuentre el número total de compradores dispuestos a gastar hasta 3 toneladas de grano. 180
  • 214. [Excedente del consumidor] = [Cantidad total que los consumidores están dispuestos a gastar] - [Gasto real del consumidor por q0 unidades]. 181
  • 215. Definición 9.4 (Excedente del consumidor). Si q0 unidades de un artículo se venden a un precio de p0 por unidad y si p = D(q) es la función de demsnda del consumidor para un artículo, entonces el excedente del consumidor EC está dado por EC = q0 0 D(q)dq − p0q0. 182
  • 216. Definición 9.5 (Excedente del productor). Si q0 unidades de un artículo se vende a un precio de p0 dólares por unidad y p = S(q) es la función de oferta del artículo, entonces el excedente del productor EP está dado por EP = p0q0 − q0 0 S(q)dq 183
  • 217. Ejemplo 9.2. Un fabricante de neumáticos estima que los mayoristas comprarán (demandarán) q miles de neumáticos radiales cuando el precio sea p = D(q) = −0.1q2 + 90 dólares por neumático,, y el mismo número de neumáticos se ofertará cuando el precio sea p = S(q) = 0.2q2 + q + 50 dólares por neumático. Determine el precio de equilibrio, así como la cantidad ofertada y demandada a ese precio. Determine el excendente de los consumidores y el de los productores en el precio de equilibrio. 184
  • 218. Ejemplo 9.2. Un fabricante de neumáticos estima que los mayoristas comprarán (demandarán) q miles de neumáticos radiales cuando el precio sea p = D(q) = −0.1q2 + 90 dólares por neumático,, y el mismo número de neumáticos se ofertará cuando el precio sea p = S(q) = 0.2q2 + q + 50 dólares por neumático. Determine el precio de equilibrio, así como la cantidad ofertada y demandada a ese precio. Determine el excendente de los consumidores y el de los productores en el precio de equilibrio. 184